2.4 随机变量的数学期望及性质
随机变量的数学期望解读
离散、连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 课堂练习
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分 布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的 全部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了.
N
证明: E
n
k nk
C C M M N M
k C C n
C C k0
N
n
n N k 1
k 1 (n1)(k 1) M 1 ( N 1)(M 1)
M CNn
C n1 N量X的概率密度为f(x)，如
果积分 xf (x)dx 绝对收敛，则称该积分的值
为随机变量X的数学期望或者均值，记为EX，即
即
E( X ) xk pk
k 1
若级数发散 xk pk ，则称X的数学期望不存在。
k 1
例1 谁的技术比较好? 甲、乙两个射手 , 他们射击的分布律分别为
甲射手
击中环数 8 9 10
概率
0.3 0.1 0.6
乙射手
击中环数 8 9 10
概率
0.2 0.5 0.3
试问哪个射手技术较好?
解 设甲、乙射手击中的环数分别为 X1, X2 . E( X1) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E( X2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
E(X ) x f (x)dx
如果积分 x f (x)dx 发散，则称X的数学期
望不存在。
注： E(X)是一个实数而非变量, 并非所有的随机变 量都存在数学期望。
2.4数学期望的定义及性质
第四节 数学期望的定义及性质引例：赌场规定，赌客以掷骰子的方式决定输赢，每掷一次骰子，点数ξ在4以上可赢10元，点数ξ为4可赢2元，点数ξ在4一下则输掉8元。
考虑，从总体上看，或平均来看，一个赌徒，每次掷骰子是输还是赢？输赢的钱数为多少？粗糙的做法：102(8)433++-=，因此说，赌徒平均每赌一次，赢得43元。
从直觉就可以判断，上述做法是不合理的，应为没有考虑到每次掷骰子，赢10元，赢2元，输8元的可能性是不同的。
所以，不能把它们平等地加在一起除以3。
考虑下面的做法：如果共掷了N 次骰子，其中点数在4以上的结果共有a N 次，点数为4的结果共有b N 次，点数小于4的结果共有c N 次。
平均来看，赌徒每赌一次，赢（输）的钱数为102(8)102(8)a b c a b c N N N N N NN N N N⋅+⋅+-⋅=⋅+⋅+-⋅上式等号右边是一个加权平均，赢10元，2元，输8元的权重a N N ，b N N ，cN N分别是赢10元，2元，输8元这三种结果在N 次赌博中发生的频率。
这样计算出来的平均值比102(8)3++-合理得多。
但是，用这种方法计算的平均值仍有缺陷，因为对于不同的N ，权重，也即频率a N N ，b N N ，c NN可能不同，因此得到的平均值不同；另外，即使N 相同，今天赌N 次得到的权重a N N ，b N N ，c NN和明天赌N 次得到的权重也未必相同。
因此需要进一步探索更合理的计算均值的方法。
由概率的频率定义知道，当赌博的总次数N →∞时，赢10元，2元，输8元的频率aN N，b N N ，c NN分别趋近于它们的概率a P ，b P ，c P ，再注意到概率的内涵：一个随机事件的概率是做一次随机试验这个随机事件发生的可能性，因此，用a P ，b P ，c P 取代a N N ，b NN，cN N作为权重计算平均值，即 102(8)a b c P P P ⋅+⋅+-⋅显然，上式最能恰当的反映赌客平均每次掷骰子输赢的情况。
随机变量的数学期望
P{ X = xiY = y j } = pij ,i , j = 1,2,
则 E( Z ) = E[ g ( X , Y )] = ∑ ∑ g ( x i , y j ) pij .
j i
型随机变量, (2) 若(X,Y)是连续型随机变量,联合概率密度为 , ) 连续型随机变量 f(x,y),则 ( , )
1 k 1 1 k k E 因此, 因此, ( X ) = q + (1 + ) (1 q ) = 1 q + , k k k
N个人需化验的次数的数学期望为 个人需化验的次数的数学期望为 例如, 例如,
0.9910 0.1 = 0.804 , 1 k 就能减少验血次数. 当 q > 时, 就能减少验血次数.
E( X) = ∫ xf ( x)dx
∞
+∞
13
例5
设随机变量X的概率密度函数为 设随机变量 的概率密度函数为
3 x 2 , 0 < x < 1 f ( x) = 其它 0 , 的数学期望. 求X的数学期望. 的数学期望
解
E( X ) = ∫
+∞ ∞
1 0
xf ( x ) dx
2
=∫
3 x 3 x dx = . 4
+∞
+∞
=∫
+∞ 0
x e dx = 2 .
2
18
x
设随机变量( , ) 例8 设随机变量(X,Y)的联合概率密度为
1 3 3 2 , < y < x, x > 1 y f ( x, y) = 2 x y x 0, else 1 ). 求 E(Y ), E( XY
解 E(Y ) =
2024管综数学大纲
2024管综数学大纲2024管综数学大纲考试时间：2024年考试科目：数学考试范围：管综数学课程内容一、数学分析1. 函数与极限1.1 函数概念及性质1.2 极限的定义与性质1.3 极限运算法则1.4 常用函数的极限1.5 无穷小与无穷大2. 导数与微分2.1 导数的定义与性质2.2 基本微分法则2.3 高阶导数与导数应用2.4 微分中值定理2.5 泰勒展开与误差估计3. 积分与应用3.1 定积分的概念与性质3.2 基本积分法则3.3 不定积分的计算3.4 牛顿-莱布尼茨公式3.5 定积分的应用4. 微分方程与应用4.1 常微分方程的基本概念4.2 一阶线性微分方程4.3 高阶线性常系数微分方程 4.4 非齐次线性微分方程4.5 微分方程的应用二、线性代数1. 线性方程组1.1 线性方程组的概念与性质 1.2 矩阵与线性方程组的关系 1.3 矩阵的运算与性质1.4 线性方程组的解的判定1.5 线性方程组解的性质2. 矩阵与行列式2.1 矩阵的基本概念和运算2.2 逆矩阵与可逆矩阵2.3 行列式的基本概念和运算 2.4 方阵的特征值与特征向量 2.5 线性变换与相似矩阵3. 向量空间与线性变换3.1 向量空间的基本概念和性质 3.2 基与坐标3.3 线性变换的概念与性质3.4 线性变换的矩阵表示3.5 线性变换的应用4. 内积空间与正交变换4.1 内积空间的基本概念和性质4.2 内积空间的标准正交基4.3 向量的内积与长度4.4 正交变换的概念与性质4.5 正交变换的矩阵表示三、概率统计与随机过程1. 概率论基础1.1 随机事件与概率的概念1.2 概率的运算法则1.3 条件概率与独立性1.4 随机变量的概念与分布1.5 数理统计基本概念2. 随机变量与分布2.1 常见离散分布（如二项分布、泊松分布） 2.2 常见连续分布（如均匀分布、正态分布） 2.3 函数的随机变量2.4 随机变量的数学期望与方差2.5 大数定律与中心极限定理3. 统计推断3.1 抽样与抽样分布3.2 置信区间的估计3.3 假设检验3.4 方差分析与回归分析3.5 统计推断的应用4. 随机过程4.1 随机过程的基本概念4.2 随机过程的分类与性质4.3 马尔可夫链与转移概率矩阵4.4 平稳随机过程与自相关函数4.5 随机过程的应用注意事项：本大纲仅供参考，实际考试内容以官方发布的考试大纲为准。
数学期望及其性质
随机变量的数字特征
§1 数学期望
§1 数学期望
例 1：某班有 N 个人，其中有 ni 个人为 ai 分， i = 1,2,L k ，
∑n
i =1
k
i
= N ， 求平均成绩。
解：
k ni 1 k 平均成绩为: ∑ ai ni = ∑ ai N i =1 N i =1 ni 若用 X 表示成绩，则 P{X = ai } ≈ N k k ni ai ⋅ ≈ a i ⋅ P{ X = a i } N i =1 i =1
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第十三章 随机变量的数字特征
§1 数学期望
例4
设离散型随机变量 X 的分布律为： X 0 1 2 P 0.1 0.2 0.7
则 EXห้องสมุดไป่ตู้= 0*0.1+1*0.2+2*0.7 =1.6
若离散型随机变量 X 的分布律为： X 0 1 2 P 0.7 0.2 0.1 EX = 0*0.7+1*0.2+2*0.1 =0.4
n =1 ∞
时，才能保证级数 ∑ x n pn 的和与其级数 ∑ x n pn
n =1 n =1
∞
∞
的求和顺序无关．
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第十三章 随机变量的数字特征
§1 数学期望
例2
甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出： X：甲击中的环数；
Y：乙击中的环数；
X P
Y P
8 0.1
8 0 .2
9 0.3
9 0 .5
到站时间 8:10,9:10 概率 1/6 8:30,9:30 8:50,9:50 3/6 2/6
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第十三章 随机变量的数字特征
概率论与数理统计魏宗舒第二章(4)
若
i , j =1
∑ g( x , y ) p
i j
∞
ij
绝对收敛，则有
i , j =1
E (Z ) =
∑ g(x , y ) p .
i j ij
∞
数学期望的性质 则有 （1）设 C 为常数，
E(C) = C
（2）设 C 为常数，X 是一个随机变量，则有
E(CX ) = CE( X )
则有 （3）设 a , b 为常数，X ,Y 是随机变量，
E( XY ) = E( X )E(Y )
推广 设 X i ( i = 1 , 2 ,L , n) 是相互独立的 随机变量， 则有
E( X1 X2 LXn ) = E( X1 )E( X2 )LE( Xn )
§2.5 方差的定义和性质
方差（ 方差（Variance） ） 前面我们介绍了随机变量的数学期望，它 体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量 的一个重要的数字特征。 但对有些实际问题，仅仅知道平均值是不 够的。
k
k
这就是通常所说的加权平均（概率为权数）。 加权平均（概率为权数） 加权平均
他们的射击水平 例2 甲、乙两人射击， 由下表给出 X ：甲击中的环数 Y ：乙击中的环数
X P
8 9 10 0.1 0.3 0.6
Y P
8 9 10 0.2 0.5 0.3
试问哪个人的射击水平较高？
解：甲、乙二人的平均射击环数为
我们讨论了随机变量 在前面的课程中， 如果知道了随机变量 X 的概率分 及其分布， 布，那么 X 的全部概率特征也就知道了。 在实际问题中，概率分布一般是 然而， 而在一些实际应用中，人们并 较难确定的。 只要 不需要知道随机变量的一切概率性质， 知道它的某些数字特征就够了。 在对随机变量的研究中，确定某 因此， 些数字特征 数字特征是非常重要的。 数字特征
随机变量及期望
随机变量及期望随机变量是概率论中的基本概念之一，它描述了随机现象的数学特征。
在概率论和统计学中，我们经常需要研究和分析随机变量的性质，而期望是随机变量的重要统计特征之一。
一、随机变量的定义和分类随机变量是一个定义在样本空间上的实值函数，它的取值不确定，依赖于随机试验的结果。
根据随机变量的取值类型，可以将随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。
1. 离散型随机变量离散型随机变量的取值是一些离散的数值，通常是整数或有限个实数。
例如，掷一枚骰子的点数就是一个离散型随机变量，它的取值范围是1到6。
2. 连续型随机变量连续型随机变量的取值是一个区间上的任意实数，取值可能是无限个。
例如，一个人的体重就是一个连续型随机变量。
二、随机变量的分布函数和密度函数随机变量的分布函数是指随机变量的取值在不同区间的概率。
对于离散型随机变量，可以通过概率质量函数来描述其分布函数；对于连续型随机变量，可以通过概率密度函数来描述其分布函数。
1. 离散型随机变量的分布函数对于一个离散型随机变量，其分布函数是一个非递减的右连续函数，定义为F(x) = P(X ≤ x)，其中X表示随机变量，x表示实数。
2. 连续型随机变量的分布函数对于一个连续型随机变量，其分布函数F(x)是一个非递减的连续函数，定义为F(x) = P(X ≤ x)，其中X表示随机变量，x表示实数。
三、随机变量的期望期望是随机变量的重要特征之一，它刻画了随机变量的平均取值。
对于离散型随机变量和连续型随机变量，期望的计算方法有所不同。
1. 离散型随机变量的期望对于一个离散型随机变量X，其期望E(X)的计算公式为E(X) =Σx·P(X=x)，其中x表示离散随机变量X的每个取值，P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。
2. 连续型随机变量的期望对于一个连续型随机变量X，其期望E(X)的计算公式为E(X) =∫xf(x)dx，其中f(x)表示连续随机变量X的概率密度函数。
随机变量函数的数学期望
(二) 方差的性质
1、常数的方差等于0
证明： D(c) E(c Ec)2 E(c c)2 0
2、随机变量和常数之和的方差就等于这个随机变量的方差。 证明：
D( c) E[ c E( c)]2 E[ c E c]2 E( E )2 D
§4.1 数学期望与方差
一.数学期望
随机变量x及它所取的数和相应频率的乘积和,称为x的平 均数(属于加权平均)也称为随机变量的数学期望或均值.
(一)离散型随机变量的数学期望
定义1 离散型随机变量X 有概率函数 P(X=xk)=Pk (k=1,2,....)
若级数 xk pk 绝对收敛,则称这个级数为X 的数学期望 k 1
ba 2
2
可见均匀分布的数学期望为区间的中值.
2.随机变量函数的数学期望
定理1 设Y是随机变量X的函数,Y=g(X)(g是连续函数)
(若1)若 Xg是(x离k ) 散pk绝型对 随机收变敛量,则,它E的(Y分) 布E律[g为( XP{)X] =xk}=gp(kx. k
K=1,2,..
k x) 2
f
(x)dx
1
a (x3 kx)2 dx
2a a
a2 (15a4 42ka2 35k) E(C)=C.
(2) E( +C)=E +C
证明：对离散型随机变量
E( C) (xi C) p(xi ) xi p(xi ) Cp(xi ) E C
E1 0.2 (80 85 90 95 100) 90 E2 0.2 (85 87.5 90 92.5 95) 90 D1 (80 90)2 0.2 (85 90)2 0.2 (90 90)2 0.2
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6
5 且E i p i 1 1 p i 0 1 , i 1,2, ,6 6 E E 1 2 6 E 1 E 2 E 6
5 20 6 1 6
注 2 随机变量的数学期望若存在，必唯一。 注 3 随机变量的数学期望若存在，是一个刻划随机变量取值平均的实数。
例1、若 例2、若
例3、若
b 1, p ，求E 。 b n, p ，求E 。
p ，求 E 。
例4、若 服从几何分布，求 E 。
E (1 ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环),
E ( 2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
故甲射手的技术比较好.
一、数学期望的定义
， ，， , 定义 2.6 设有离散型随机变量 ,分布列为 p xk , k 01
若函数 y x 连续，且
n 0
xn p xn ,
则 的数学期望存在，且有
E E n 0 xn p xn 。
推论1 若随机变量 的数学期望存在，则
E n 0 m0 xn , ym p xn , ym
推论2 若 E 和E 皆存在，则 E a b aE bE , a, b R。
推论3 若 和 相互独立，且数学期望皆存在，则 E E E 。
例5、10件产品中有2件一级品，7件二级品和1件三级品，从中任取 出3件。和 分别表示取出的一级品和二级品件数，求 E 和E 。
解
η
ξ
0
0
1
0
2
1/120
p.m
1/120
0 1
2 3
pn.
E =0
0
21/120
14/120
42/120
7/120
0
21/120
63/120 35/120
E a b aE b, a, b R。
例6、若 例7、若
b 50,0.02 ，求E 1 。
。 p 5 ，求 E 2 1
2, 2 , 求 E 。 10, 2
例8、已知 U 10,0.1 , g
定理 2.2 设有离散型随机矢量 , ,联合分布列为 p xn , ym , n, m 0,
若函数 z x, y 连续，且
n 0
m0
xn , ym p xn , ym ,
则 , 的数学期望存在，且有
若 绝对收敛 , 即 x p x n0 xn p xn , n n 0 n
则称其为 的数学期望（Mathematical Expectation），记为 E ，即
E n 0 xn p xn 。
注１随机变量的数学期望可能存在，也可能不存在。 2 。
例10、若在某电路中，电流I和电阻R是相互独立的随机变
量，分别服从参数为0.5和2的Poisson分布，求电压V=IR的
数学期望。
解
E I 0.5, E R 2,
且I和R是相互独立，则
E V E IR E I E R 0.5 2 1。
35/120
7/15
0
7/15
0
1/15
7 7 1 9 1 2 , 15 15 15 15 1 21 63 35 1 2 3 2.1 120 120 120 120
E =0
二、数学期望的性质
， ，， , 定理 2.1 设有离散型随机变量 ,分布列为 p xk , k 01
10
解： E Eg g k p k k 0
k k 0 g k C10 p k q10 k 10
k 2 0.9 C 0.1 0.9 10 k 2 C10 0.1k 0.910k 10 1 10 1 9 10
4.1112086
例11、20个互不相识的人在某建筑物底层进入同一部电梯， 楼上共有6层。假若每个乘客在6层楼中任何一层走出电梯的可能 性相同，且电梯中乘客只出不进，求直到电梯中乘客走空时电梯 需停次数的平均值。 解 令η为直到电梯中乘客走空时电梯需停次数。
0, 第i层楼无人走出电梯 i ，i 1, 2, 1, 第i层楼有人走出电梯 ,6， 则 1 2
第二章 离散型随机变量
§2.4 数学期望及性质 引例 谁的技术比较好?
甲、 乙两个射手, 他们射击的分布律分别 为
甲射手
击中环数 概率 击中环数 概率 8 9 10
0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10
乙射手
0 .2 0 .5 0 .3
试问哪个射手技术较好?
解 设甲、乙射手击中的环数分别为 1 , 2 .