齿轮的例题
机械原理典型例题齿轮
⑴两齿轮的参数：分度圆r1，r2；基圆rb1，rb2；顶圆
ra1，ra2；标准中心距a；
r1
m 2
z1
1.5
20
30mm
m r2 2 z2 45mm
rb1 r1cos 28.19mm rb2 r2cos 42.29mm
ra1=r1 ham 33mm a r1 r2 75mm
ra2 r2 ham 48mm
r 分度圆
中线
节线
（2）如滚刀位置和齿条移动速度 不变，而轮坯的角速度 w=1/23.5rad/s，则此时被切齿 数为多少？它相当于哪种变位齿轮？ 变位系数x为多少？
1）切制标准齿轮 分度圆与中线相切
（齿条中线与节线重合） r=mZ/2=90mm L=r=90mm V 刀=ωr=4mm/s
2）V 刀=4mm/s=ωr’ r’=V刀/ ω =4×23.5=94mm Z’=2r’/m=94 X=（L实际-L标准）/m
r2I’=30.6mm
2-3啮合： r2Ⅱ’ a23’=r2Ⅱ’+ r3’=70.5 i23= r3’/r2Ⅱ’=Z3/Z2=40/30
r2Ⅱ’=30.21mm
例2：有3个正常齿制且压力角α=20°标准齿轮，
m1=2mm，Z1=20，m2=2，Z2=50，m3=5， Z3=20。这3个齿轮的齿形有何不同？可以用同一把 成形铣刀加工吗？可以用同一把滚刀加工吗？
（3）如滚刀位置及截面齿条移动速度不变，轮坯 w=1/22.1rad/s，则此时被切齿轮的变化系数x=多 少？齿数Z等于多少？最后的加工结果如何？
例3: 用滚刀范成法加工一个齿轮，已知齿数Z=90，m=2mm， (1)轮坯由滚齿机传动机构带动，以w=1/22.5rad/s的角速度转动。 在切制标准齿轮时，滚刀轴向截面的齿条中线相对于轮坯中心的距离 L应等于多少？这时滚刀轴向截面齿条移动速度V刀等于多少？
齿轮机构典型例题
例1 已知z 1=15，z 2=53，z 3=56，z 4=14，中心距a 12= a 34=70mm ，压力角 α=αn=20°，模数m = m n = 2mm ，正常齿。
试问：（1） 如两对齿轮均采用直齿圆柱齿轮，采用何种传动类型，可以满足中心距a 12= a 34=70mm ，此时啮合角各为多大？ （2） 如轮1、2采用斜齿轮，轮3、4仍采用直齿圆柱齿轮（a ） 轮1，2的螺旋角？ （b ） 轮1是否根切？（c ） 轮3、4不发生根切的最小变位系数？（d ） 若为防止根采用变位齿轮，则轮3、4的分度圆齿顶圆齿根圆有何变化？解：（1）因为两对齿轮传动的实际中心距为而所以轮3、4采用标准齿轮传动或高度变位齿轮传动可满足实际中心距的要求。
而轮1、2必须采用正传动才可以满足实际中心距的要求。
轮3、4的啮合角为：轮1、2的啮合角为：（2）（a ）轮1、2的螺旋角（b ）轮1会发生根切。
因为斜齿轮不发生根切的最小齿数为：mma a 703412='='()()m mz z m a m m z z m a 70145622)(268531522)(243342112=+=+==+=+=︒=='20αα︒='∴=⨯='='24913.094.07068cos cos αααa a ()()()︒=-=∴=⨯+=+=∴+=73.13971.0702531522cos cos 2212121ββββa z z m z z m a n n（c ）轮3、4不发生根切的最小变位系数为：最小变位系数为正值，说明为了避免根切，要采用正变位；最小变位系数为负值，说明该齿轮在x ≥x min =－2.29的条件下采用负变位也不会根切。
（d ）为防止小齿轮根切，采用高度变位齿轮传动。
因为轮4为正变位齿轮，所以其分度圆不变，齿顶圆增大，齿根圆也增大。
因为轮3为负变位齿轮，所以其分度圆不变，齿顶圆减小，齿根圆也减小。
齿轮设计例题分解
K K A K v K H K H 11.12 11.423 1.594
（6）校正分度圆直径
K＝1.594
d1 d1t 3 K / Kt 65.396 3 1.594 / 1.3mm 69.995mm
（7）计算模数 模数 m=d1/z1= 69.995/24mm= 2.92mm
（7）计算比较大、小齿轮的YFaYSa/[σF]
YFa 1YSa 1 2.65 1.58 0.01379 [ F ]1 303.57 YFa 2YSa 2 2.226 1.764 0.01644 [ F ]2 238.86 大齿轮的YFaYSa/[σF]比较大
2）设计计算
计算与说明
1.选齿轮类型、精度等级、材料及齿数 1）选用直齿圆柱齿轮 2）运输机属于一般机械，速度不高选择精度等级7级 3）选材料 表10-1 小齿轮：40Cr调质，平均取齿面硬度为280HBS 大齿轮：45钢调质，平均取齿面硬度为240HBS
主要结果
直齿轮 7级精度 小齿轮 280HBS 大齿轮 240HBS
数（即采用前者不会发生弯曲疲劳失效）。而齿面接触疲劳强度主要 决定于齿轮的直径，因此可在直径不变的情况下，增加齿数，降低模
数。采用由弯曲疲劳强度计算得出的模数2.05并圆整为标准值
m=2.5mm，按接触强度算得的分度圆直径 d1=69.995mm，算出小 齿轮齿数:
z1 = d1/m = 69.995/2.5 ≈28
Kt ＝1.3
φ
d
＝1
计算与说明
（3）计算小齿轮转矩T1 T1＝9.55×106×P/n1=9.55×106×10/960= 9.948×104 N· mm （4）弹性系数ZE 由表10-6，弹性系数
齿轮传动例题
a0
F
F
F
F
F
•
•
4.齿轮受力方向的判别 圆周力 F ：主动轮 与转动方向相反 从动轮 与转动方向相同 径向力F ：各自指向轮心 轴向力F ：圆锥齿轮 从小端指向大端 圆柱齿轮：主动轮 应用左（右）手定则，拇指方向即为轴向力方向 从动轮 与 主动轮的轴向力相反 5.根据给定工况，正确设计齿轮传动 熟悉不同工况下可能产生的主要失效形式（轮齿的折断、齿面疲劳点蚀、齿面磨损、 齿面胶合、轮齿塑性变形等，参见表4.1 ) ，正确确定设计准则，结合工况需求选择材 料、热处理方式及加工精度，在强度计算中，合理地选择各相关参数，掌握参数选择 原则，正确解释设计过程。 6.载荷系数引人的目的及主要影响因素 载荷系数K（K = K K K K ）综合考虑了齿轮由于工作特性、制造及安装误差、 齿轮及其支承变形等因素引起的外部及内部附加动载荷、偏载及载荷分配不均等因素 对轮齿受力及应力的影响，利用计算载荷对齿轮进行强度计算，可以使所设计的齿轮 更安全、更符合实际工况需求。关于各系数引人的意义、主要影响因素及改进措施等 可参见表4.2。 7.熟练分析齿轮主要参数的选择原则 1 a m z z d m z (1）模数m和齿数 z 的选择。因为 ， 2 当d 1 或a一定时，齿轮的接触 应力与m 和z的组合无关，因此软齿面闭式传动时，在满足齿根弯曲强度条件的基础上， m 尽可能取小值，而z尽可能取大值，常取 18-30 -2 z （但要注意传递动力时m 1.5 mm) ，因为齿数z多，可增大重合度 ，使传动平稳， m 小，可减小滑动速度，增加 z z 与z 应互质为好。在硬齿面闭式传动中，按齿根弯曲 耐磨和抗胶合性能。 z 且 z 17-20 ，以免传动尺寸过大。在开式传动中，由弯曲强度求得m 后应再 强度条件, =
齿轮例题
例1：某传动装置中有一对渐开线标准直齿圆柱齿轮（正常齿），大齿轮已损坏，小齿轮的齿数z1=24，齿顶圆直径da1=78mm, 中心距a=135mm, 试计算大齿轮的主要几何尺寸及这对齿轮的传动比。
78=m(24+2) m=3a=m/2(z1+z2) 135=3/2(24+z2) z2 =66 d a2=3×66+2×3=204d f2=3×66-2×1.25×3=190.5i=66/24=2.75例 2 一对按标准中心距安装的正常齿制的外啮合渐开线标准直齿圆柱齿轮 ,小齿轮已损坏,需配制。
今测得两轴中心距,大齿轮齿数，齿顶圆直径,压力角，试确定小齿轮的模数、齿数、压力角、分度圆直径、齿顶圆直径。
解由得小齿轮的模数由得小齿轮的齿数小齿轮为正常齿制渐开线标准齿轮 ,其压力角小齿轮的分度圆直径小齿轮的齿顶圆直径例3：已知一对标准安装外啮合标准直齿圆柱齿轮的参数为：z1=22, z2=33,a=20°, m=2.5,ha*=1,求重合度e。
若两轮中心距比标准值大1mm, 则其重合度又为多少？解：(1) r1=mz1/2=2.5x22/2=27.5r2=mz2/2=2.5x33/2=41.25r a1=r1+ha=27.5+2.5 x1=30r a2=r2+ha=41.25+2.5 x1=43.75r b1=r1cos a=27.5 xcos20°=25.84r b2=r2cos a=41.25 xcos20°=38.75a a1=arcos(r b1/r a1)=arccos(25.84/30)=30°32´a a2=arcos(r b2/r a2)=arccos(38.76/43.75)=27°38´e=[z1(tg a a1- tga)+ z2(tg a a2- tga)]/2π=1.629(2)标准中心距a=r1+r2=27.5+41.25=68.75a´=a+1=69.75cosαˊ=acosa/a´=68.75cos20°/69.75=0.92622αˊ=22°9´e=[z1(tg a a1- tga´)+ z2(tg a a2- tga´)]/2π=1.252例4：已知一对标准直齿圆柱齿轮的参数为：z1=19, z2=42, a=20°, m=5,ha*=1, 若中心距增大至刚好连续传动，求这时的αˊ，d1´, d2´,a´ ,分度圆分离距离Da，轮齿径向间隙c。
斜齿轮例题
Y Fa 1Y Sa 1
= =
270 2 ×1 .58
= 85 .44 = 55 .70
[σ F 2 ]
Y Fa 2Y Sa 2
220 2 .17 ×1 .82
由弯曲强度公式： 由弯曲强度公式：
F2 220 T ≤ bd m ε = × 115 × 76.67 × 3 × 2.79 1F 2 KY Y Y 1 n α 2 × 1.2 × 2.17 × 1.82 × 0.941 Fa 2 Sa 2 β = 1.8 × 106 N − mm
由接触强度公式， 由接触强度公式，
T1H ≤
(
[σ H ]
ZEZH
2 K (u +1)
) bd
2
2 1 uε α
=
(189.5752.48 )2 ×115×76.672 ×5×2.79 8×
2×1.2×(5+1)
= 9.8 × 10 N − mm
5
2、讨论弯曲强度 、 比较： 比较：
[σ F 1 ]
= 440 N
= 440 N
Fa 2 = − Fa 3 = Ft 3tgβ 3 =
tgβ 3 =
sin β 3 =
440×mn 3Z 3 2 T2
=
440×5×21 2×1.64×105
= 0.14085
β 3 = 8°5′50′′
（3）自行完成 ）
举例1 一斜齿圆柱齿轮减速器、已知： r/min， 举例1、一斜齿圆柱齿轮减速器、已知：n1=955 r/min， 25， =125， mm， mm， 11.98° Z1＝25，Z2=125，mn=3 mm，b=115 mm，β＝11.98°，
K=l.2 ，[σ H1] =600 MPa ，[σ H2] =550 MPa，[σ F1] =270 =2， =2.17， =1.58， MPa ，[σ H2] =220 MPa ， YFa1=2， YFa2=2.17， Ysa1=1.58， =1.82， Ysa2=1.82， ZE=189.8 (MPa)1/2 ，ZH=2.48, εα=2.79, =0.941， Yβ=0.941， 附公式： 附公式：
齿轮基本知识40问题及答案
齿轮基本知识40问题及答案（转）1.什么是齿廓啮合基本定律，什么是定传动比的齿廓啮合基本定律？齿廓啮合基本定律的作用是什么？答：一对齿轮啮合传动，齿廓在任意一点接触，传动比等于两轮连心线被接触点的公法线所分两线段的反比，这一规律称为齿廓啮合基本定律。
若所有齿廓接触点的公法线交连心线于固定点，则为定传动比齿廓啮合基本定律。
作用；用传动比是否恒定对齿廓曲线提出要求。
2.什么是节点、节线、节圆？节点在齿轮上的轨迹是圆形的称为什么齿轮？答：齿廓接触点的公法线与连心线的交点称为节点，一对齿廓啮合过程中节点在齿轮上的轨迹称为节线，节线是圆形的称为节圆。
具有节圆的齿轮为圆形齿轮，否则为非圆形齿轮。
3.什么是共轭齿廊？答：满足齿廓啮合基本定律的一对齿廓称为共轭齿廓。
4.渐开线是如何形成的？有什么性质？答：发生线在基圆上纯滚动，发生线上任一点的轨迹称为渐开线。
性质：（1）发生线滚过的直线长度等于基圆上被滚过的弧长。
（2）渐开线上任一点的法线必切于基圆。
（3）渐开线上愈接近基圆的点曲率半径愈小，反之则大，渐开线愈平直。
（4）同一基圆上的两条渐开线的法线方向的距离相等。
（5）渐开线的形状取决于基圆的大小，在展角相同时基圆愈小，渐开线曲率愈大，基圆愈大，曲率愈小，基圆无穷大，渐开线变成直线。
（6）基圆内无渐开线。
5.请写出渐开线极坐标方程。
答： rk = rb / cos αk θk= inv αk = tgαk一αk6.渐开线齿廓满足齿廓啮合基本定律的原因是什么？答；（1）由渐开线性质中，渐开线任一点的法线必切于基圆（2）两圆的同侧内公切线只有一条，并且两轮齿廓渐开线接触点公法线必切于两基圆，因此节点只有一个，即i12 ＝ω1 / ω2 ＝ O2P / O1P ＝r2′/ r1′= rb2 / rb1 = 常数7．什么是啮合线？答：两轮齿廓接触点的轨迹。
8．渐开线齿廓啮合有哪些特点，为什么？答：（1）传动比恒定，因为 i12 ＝ω1 /ω2＝r2′/r1′ ，因为两基圆的同侧内公切线只有一条，并且是两齿廓接触点的公法线和啮合线，因此与连心线交点只有一个。
齿轮受力分析例题
1
Ⅱ
2
Ⅰ
Ⅳ
4
5
6 位置1
Ⅲ
位置2
3
Ⅳ
1
Fr1 ⊙Fa1 Fa2 ○× Ft1
Ft2 Fr2
Ⅱ
Ⅰ
4
Ft4 Fa4
○×
⊙Ft3
Fa3
6 位置1
Fa5 5 ○⊙×FtF5 a6
Ft6 Ⅲ
位置2
3 2
1 Fa2
Ⅱ
2
Ⅰ
Ⅳ
Fa5
4
5
·
Fr5 Ft6
Ⅲ
6 Fa3 位置1 位置2
3
解：（1）蜗轮的螺旋线方向为左旋； （2）齿轮3为左旋，齿轮4为右旋； （3）蜗轮2和齿轮3的轴向力如图所示；
（4）Ⅲ轴上圆锥齿轮5应放置在右边的位置2； （5）5轮所受力的方向如图所示。
Fr1 Fn1
Fr2 Ft2 tan
Fa1
cos n cos1
Ft 2
cos n cos1
2T2
d 2cos n cos1
Fnc KFn
蜗轮的材料相对较弱， 仅计算蜗轮的σH 与σF，将蜗 轮视为斜齿轮，将式 （11.8）、将式（11.10）作 为计算σH 与σF 的基础。
作用力的方向(示意图）
右
蜗轮的转向→ 与Fa 1 反向
FaF1r1
Ft1
Fa2
Ft2
Fr2
Fr1 Fa1 Ft1
Fa2 Ft2 Fr2
右
例题1
传动中，蜗杆(左旋)主动，转向如图所示。圆柱齿 轮为斜齿轮，为使Ⅱ、Ⅲ轴的轴向力平衡，试确定： (1)蜗轮2的螺旋线方向； (2)齿轮3、4螺旋线方向； (3)蜗轮2和齿轮3所受轴向力方向； (4) Ⅲ轴上圆锥齿轮6应放置在左边的位置1或是右边 的位置2？ (5)在图上画出5轮所受力的方向；
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一对闭式软齿面标准直齿圆柱齿轮传动，已知中心距a = 175mm ，齿数比u = 4，齿宽b 1=65mm ，b 2 = 60mm ，小齿轮为主动，其转速n 1= 960 rpm ，大、小齿轮均为钢制，两齿轮的许用接触应力分别为 [σH ] 1 = 650 Mpa,，[σH ] 2 = 620 Mpa ，载荷系数K =1.3。
试按接触疲劳强度计算该对齿轮所能传递的最大名义功率P kW 。
提示：u
u bd KF Z Z t H E H 1
1±⋅=σ Z E =189.8 MPa 1/2 , Z H =2.5 ∵ ()u d a +=
12
1
∴ 70411752121=+⨯=+=u a d mm 2分
2b b ==60 mm []6202==H H σσ MPa 2分 又 1
1
2d T F t =
∴ 满足齿面接触疲劳强度的条件式可写为
[]H H
E H u
bd u KT Z Z σσ≤+=211)
1(2 2分
故[]4.154445
1443.1270605.28.1896201222
212
1=+⋅⨯⨯⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=+⋅⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛≤u u K bd Z
Z T H
E H σN·mm 2分 又 1
6
110
55.9n P
T ⨯= N·mm ∴ 53.151055.9960
4.154445105
5.96
611=⨯⨯=⨯⋅=n T P kW 2分
一对渐开线标准直齿圆柱齿轮传动，小齿轮的齿根弯曲应力σF 1 =280 MPa 。
已知小齿轮齿数z 1 = 25，齿数比u = 4，[σF ] 1=300 MPa ，[σF ] 2=275 MPa 。
试问：
（1）大齿轮2齿根上产生多大的弯曲应力σF 2？
（2）两个齿轮是否均满足齿根弯曲疲劳强度的要求？ （3）哪一个齿轮的弯曲疲劳强度较高？ 提示：Sa Fa t
F Y Y bm
KF =
σ 齿形系数Y Fa 及应力校正系数Y Sa
（1）大齿轮齿数 10025412=⨯==uz z 1.5分 查表得：
79
.159
.118.262.22121====Sa Sa Fa Fa Y Y Y Y 1.5分
28.26259
.162.279
.118.2280112212=⨯⨯⨯=⋅
=Sa Fa Sa Fa F F Y Y Y Y σσ MPa 2.5分
（2） ∵ ][][2211F F F F σσσσ<<
∴ 两齿轮均满足齿根弯曲疲劳强度的要求。
3分 （3）
0714
.1]
[1
1=F F σσ
0485.1]
[2
2=F F σσ
2
21
1]
[]
[F F F F σσσσ>
∴ 小齿轮的齿根弯曲疲劳强度较高。
（1.5分）。