全等三角形的判定方法五种例题
《初中数学》5全等三角形的判定
全等三角形的判定知识集结知识元SSS 法证明三角形全等知识讲解1.1、SSS判定方法的语言描述•边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．2.2、SSS判定方法的证明结构若利用SSS来证明△ABC和全等，则标准表述如下：在△ABC和中，，∴.例题精讲SSS 法证明三角形全等例1.'如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，△ABC≌△AED吗？试说明．'例2.'已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，求证：△ABC≌△DEF．'例3.'如图，AD=CB，AB=CD，求证：△ACB≌△CAD．'全等性质和判定的综合应用-SSS知识讲解在证明边、角相等的题目中，常会用到的方法就是证明三角形全等，得到全等后，再利用全等三角形的性质得到对应边相等、对应角相等.在证明三角形全等的方法选择上，也要根据已知条件来决定，当已知条件多集中在边的时候，常会用到SSS法来证明.例题精讲全等性质和判定的综合应用-SSS例1.'已知：如图，AD=BC，AC=BD．猜想AE与BE的数量关系并证明．'例2.'已知：如图，点D是△ABC内一点，AB=AC，∠1=∠2．求证：AD平分∠BAC．'SAS 法证明三角形全等知识讲解例题精讲SAS 法证明三角形全等例1.如图所示，全等的三角形是（）A．Ⅰ和ⅡB．Ⅱ和ⅣC．Ⅱ和ⅢD．Ⅰ和Ⅲ例2.'如图所示，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：△ABC≌△DEC．'例3.'如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．求证：EC=BF．'全等性质和判定的综合应用-SAS知识讲解在证明边、角相等时，要首选利用三角形全等来证明，同时要注意：证明两直线平行等价于证明对应角相等.例题精讲全等性质和判定的综合应用-SAS例1.'如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．'例2.'如图，△ABC中，过点B作射线BF∥AC，已知E点为BC边上一点，D点为射线BF上一点，且AC=BE，BC=BD．求证：AB=ED．'例3.'如图，BC⊥CA，BC=CA，DC⊥CE，DC=CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF，求证：BF⊥AE．'ASA 法证明三角形全等知识讲解例题精讲ASA 法证明三角形全等例1.'已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF=CE，BE∥DF，∠A=∠C．求证：△ABE≌△CDF．'例2.'在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°．求证：△AEF≌△BCF．'例3.'如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC≌△DEC．'全等性质和判定的综合应用-ASA知识讲解在证明边、角相等时，要首选利用三角形全等来证明，同时要注意：证明两直线平行等价于证明对应角相等.例题精讲全等性质和判定的综合应用-ASA例1.如图，某人把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，则他带的是第三块玻璃去，依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS例2.'如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O，若∠1=42°，求∠BDE的度数．'例3.'如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．（1）求证：△AEC≌△BED；（2）若∠1=42°，求∠BDE的度数．'AAS 法证明三角形全等知识讲解例题精讲AAS 法证明三角形全等例1.如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件使得△ABC≌△DEF．例2.'已知：如图AC，BD相交于点O，∠A=∠D，AB=CD，求证：△AOB≌△DOC．'例3.'如图，已知AB⊥AC，AB=AC，DE过点A，且CD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为点D，E．求证：△ADC≌△BEA．'全等性质和判定的综合应用-AAS知识讲解在证明边、角相等时，要首选利用三角形全等来证明，同时要注意：证明两直线平行等价于证明对应角相等.例题精讲全等性质和判定的综合应用-AAS例1.如图，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于D，AE=5cm，BD=2cm，则DE的长是（）A．8B．5C．3D．2例2.'如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC∥DF．求证：BE=CF．'例3.'（1）如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A点的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD=DE+CE．（2）若直线AE绕点A旋转到图2的位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE 的关系如何？请予以证明．'HL 法证明三角形全等知识讲解1、HL判定方法的语言描述斜边和一条直角边应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2、HL判定方法的证明结构若利用HL来证明Rt△ABC和全等，假设，则标准表述如下：在Rt△ABC和中，∴.例题精讲HL 法证明三角形全等例1.使两个直角三角形全等的条件是（）A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等D．斜边及一条直角边对应相等例2.'如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．'例3.'如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，EA⊥AB，FD⊥AD，AB=CD，若用“HL”证明Rt△AEC≌Rt△DFB，需添加什么条件？并写出你的证明过程．'全等性质和判定的综合应用-HL知识讲解在直角三角形中证明边、角相等时，首先要考虑利用直角三角形全等来证明.例题精讲全等性质和判定的综合应用-HL例1.'如图，在△ABC中，AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE=CF，求证：∠ACB=90°．'例2.'如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．'选择合适的方法证明三角形全等-分析型知识讲解根据已知条件分析具体可以使用哪种判定方法是非常重要的一种能力，例题精讲同时对几种判定方法的熟练掌握是掌握全等判定的基础.例题精讲选择合适的方法证明三角形全等-分析型例1.如图，在△ADO和△BCO中，下列给出的条件能使△ADO≌△BCO的是（）A．OD=OC，BC=AD B．OA=OB，OC=ODC．OB=OA，AD=BC D．BD=AC，BC=AD例2.利用尺规作图，通过下面所示的条件，不能作出唯一三角形的是（）A．已知三角形三条边的长度B．已知三角形两条边的长度和这两条边其中一边所对的角C．已知三角形两条边的长度及其夹角D．已知三角形的两个角及其夹边例3.'已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE、BD交于点O．AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．（1）如图1，求证：AE=BD；（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．'选择合适的方法证明三角形全等-证明型知识讲解根据已知条件分析具体可以使用哪种判定方法是非常重要的一种能力，同时对几种判定方法的熟练掌握是掌握全等判定的基础.规范证明过程的书写格式也是本章需要重点关注的内容.例题精讲选择合适的方法证明三角形全等-证明型例1.如图，点D，E分别在AB，AC上，AD=AE，BE与CD交于点O，下列条件不能判定△ABE≌△ACD的是（）A．∠B=∠C B．BE=CDC．AB=AC D．∠CEB=∠BDC例2.'如图，已知∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB相交于F．求证：△CEB≌△ADC．'全等三角形判定的多次应用知识讲解两个三角形全等可以得到相应的对应边相等、对应角相等，而对应边相等、对应角相等也可以通过几种判定方法来证明三角形全等，所以比较复杂的综合问题就需要对这两个过程不断地循环使用，此类问题对综合分析能力要求较高.例题精讲全等三角形判定的多次应用例1.'已知：如图，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠BOC=∠COD，线段AC交线段OB于点M，线段BD交线段OC于点N，请说明OM=ON的理由．'例2.'如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分∠BAC．求证：OB=OC．'例3.'如图，已知AB∥CD，CF∥BE，OB=OC，求证：AE=DF．'利用三角形全等处理动点问题知识讲解全等三角形主要的特点就是对应边、对应角相等，所以常会利用全等三角形的性质来处理动点问题中的三角形全等，此时需要注意的是分类讨论思想的应用，具体哪条边是对应边是一个典型的分类讨论的点.例题精讲利用三角形全等处理动点问题例1.'如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm．一条线段PQ=AB，并且P、Q两点分别在线段AC和过A点且垂直于AC的射线AM上运动．问当P点位于AC的什么位置时由P、Q、A点构成的三角形与△ABC全等？并说明理由．'例2.'如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？'当堂练习单选题练习1.如图，点D，E分别在AB，AC上，AD=AE，BE与CD交于点O，下列条件不能判定△ABE≌△ACD的是（）A．∠B=∠C B．BE=CDC．AB=AC D．∠CEB=∠BDC练习2.利用尺规作图，通过下面所示的条件，不能作出唯一三角形的是（）A．已知三角形三条边的长度B．已知三角形两条边的长度和这两条边其中一边所对的角C．已知三角形两条边的长度及其夹角D．已知三角形的两个角及其夹边练习3.如图，某人把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，则他带的是第三块玻璃去，依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS练习1.'已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，求证：△ABC≌△DEF．'练习2.'已知：如图，点D是△ABC内一点，AB=AC，∠1=∠2．求证：AD平分∠BAC．'练习3.'如图，在△ABC中，AB=AC，点D是△ABC内一点，AD=BD，且AD⊥BD，连接CD．过点C作CE⊥BC交AD的延长线于点E，连接BE．过点D作DF⊥CD交BC于点F．若BD=DE，求证：BF=CF．'练习4.'如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC≌△DEC．'练习5.'如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．求证：AF=CD．'练习6.'如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△ABC≌△BAD．'练习7.'如图，在△ABC中，AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE=CF，求证：∠ACB=90°．'练习8.'如图，AB∥CD，AD∥BC，点E、F分别在AC、CD上，且AE=CF，求证：DE=BF．'练习9.'如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？'练习10.'如图，已知四边形ABCD中，AB=10厘米，BC=8厘米，CD=12厘米，∠B=∠C，点E为AB 的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD 上由C点向D点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由．（2）当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等．'练习11.'在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P．求证：△EBC≌△FCB．'练习12.'图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．'练习13.'如图，△ABC中，过点B作射线BF∥AC，已知E点为BC边上一点，D点为射线BF上一点，且AC=BE，BC=BD．求证：AB=ED．'练习14.'如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．求证：EC=BF．'。
全等三角形判定经典
11.2三角形全等的判定ABC DEF（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS ”。
表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，AB DEAC DF BC EF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）。
例1. 如图所示，AB ＝CD ，AC ＝DB 。
求证：△ABC ≌△DCB 。
A BCD分析：由已知可得AB ＝CD ，AC ＝DB ，又因为BC 是两个三角形的公共边，所以根据SSS 可得出△ABC ≌△DCB 。
证明：在△ABC 和△DCB 中，∵⎩⎨⎧AB ＝CD AC ＝DB BC ＝CB，∴△ABC ≌△DCB （SSS ）评析：证明格式：①点明要证明的两个三角形；②列举两个三角形全等的条件（注意写在前面的三角形，条件也放在前面），用大括号括起来；③条件按照“SSS ”顺序排序；④得出结论，并把判断的依据注在后面。
“ASA ”。
表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，B E BC EF C F∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△DEF （ASA ）。
例2. 如图所示，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF ，求证：AB ＝CD 。
ABEFCD分析：要证明AB ＝CD ，由于AB 、CD 分别是△ABF 和△DCE 的边，可尝试证明△ABF ≌△DCE ，由已知易证：∠B ＝∠C ，∠AFB ＝∠DEC ，下面只需证明有一边对应相等即可。
事实上，由BE ＝CF 可证得BF ＝CE ，由ASA 即可证明两三角形全等。
证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C （两直线平行，内错角相等） 又∵AF ∥DE ，∴∠AFC ＝∠DEB （同上） ∴∠AFB ＝∠CED （等角的补角相等）又∵BE ＝CF ，∴BE －EF ＝CF －EF ，即BF ＝CE 在△ABF 和△DCE 中，()()()B C BF CE AFB CED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩已证已证已证∴△ABF ≌△DCE （ASA ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）角边”或“AAS ”。
全等三角形的判定方法五种的证明
全等三角形的判定方法五种的证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：全等三角形（即三角形的所有对应边和角都相等）在几何学中具有重要意义，因为它们有着很多共性特征和性质。
在实际问题中，我们常常需要判定两个三角形是否全等，以便解决一些几何问题。
下面我们将介绍五种判定方法，并给出它们的证明。
一、SSS法则（边边边全等）首先我们来介绍SSS法则，即如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，AC=DF，BC=EF。
我们要证明三角形ABC全等于三角形DEF。
【证明过程】由已知条件可知，三角形ABC和三角形DEF的三边分别相等。
所以可以得到以下对应关系：AB=DEAC=DFBC=EF三角形的两边之和大于第三边，所以我们有以下结论：AB+AC>BCDE+DF>EF由于AB=DE，AC=DF，BC=EF，所以根据上述两个不等式可得：AB+AC>BCAB+AC>BC所以三角形ABC与三角形DEF全等。
由于∠C=∠F，所以我们有以下结论：∠A+∠C+∠B=180°∠A+∠F+∠E=180°由于∠C=∠F，所以可以将两个等式相减，得到：∠B-∠E=0∠B=∠E四、HL法则（斜边-直角-斜边全等）由于∠A=∠D，∠B=∠E，所以可以使用AA法则证明三角形ABC 与三角形DEF全等。
我们介绍了五种全等三角形的判定方法以及它们的证明。
这些方法在解决几何问题中起着至关重要的作用，希望大家能够掌握并灵活运用这些方法。
如果遇到类似的题目，可以根据不同情况灵活选择合适的方法来判定三角形的全等关系。
通过不断练习和思考，相信大家能够在几何学习中取得更好的成绩。
【2000字】第二篇示例：全等三角形是指具有完全相同的三边和三角形的一种特殊情况。
在几何学中，全等三角形之间具有一些特殊的性质和关系。
正确判断两个三角形是否全等是解决几何问题的关键。
三角形全等的判定(全部)
454cm3cmD C B A(2)(1)D CB AF ED C BA F E DC BA F EDC B A ED C B A三角形全等的判定（边角边）班级___________姓名______________一. 做一做:如图，已知两条线段和一个角，以这两条线段 为边，以这个角为这两边的夹角，画一个三角形。
(图1)把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有 的三角形全等吗？换两条线段和一个角试试，是否有同样 的结论 二.结论：三.典型例题：例1.如图，在△ABC 中，AB=AC,AD 平分∠BAC ， 求证：△AB D ≌△ACD想一想：你还能得到那些结论？练习：根据下列条件，判断下面的三角形是否全等，并说 明理由。
(1)AC=DF ,∠C=∠F,BC=EF;(2)BC=BD,∠ABC=∠ABD.如图1，以长的线段为已知角的邻边，短的线段 为已知角的对边，画一个三角形。
把你画的三角形 与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形全等 吗？此时符合条件的三角形的形状能有多少种呢？例2.如图A 、D 、F 、B 在同一条直线上，AD=BF ，AE=BC 且A E ∥BC 。
求证：(1)△AEF ≌△BCD (2)E F ∥CD四.巩固练习：1.如图，A B ∥DE,DF=BC,若 △AB C ≌△DEF ，还需要补充的条件是（ ）A.AC=EFB.AB=DEC.∠B=∠ED.不用补充 2.在△ABC 中，D 是BC 边的中点，A D ⊥BC ，那么下列说 法错误的是（ ）A.△AB D ≌△ACDB.∠B=∠CC.AD 是△ABC 的高D.△ABC 是等边三角形 3.已知，如图，AB=AE,AC=AD, ∠EAD=∠BAC 求证：ED=BCD CB AE DC B AD CB AE D CB A ED CBAF E D C B A F EDCBA五.课后练习：1.如图，如果AB=AC,AD=AE ，那么不增加任何条件 ________（填 “可以”或“不可以”）判断△AB E ≌△ACD 。
三角形全等的判定(含例题)
1．判定两个三角形全等的基本事实：边边边（SSS）（1）基本事实：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“__________”或“SSS”．（2）这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因．2．判定两个三角形全等的基本事实：边角边（SAS）（1）基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“__________”．（2）此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．【注意】（1）此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要误认为有两边一角就能判定两个三角形全等．（2）在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件．3．判定两个三角形全等的基本事实：角边角（ASA）（1）基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“__________”．（2）用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识．4．判定两个三角形全等的基本事实：角角边（AAS）（1）基本事实：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“__________”．（2）这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等．5．直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边（HL）（1）基本事实：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“________”．（2）“HL ”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立． 【归纳】判定两个三角形全等常用的思路方法如下： HL SAS SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎩一直角边一斜边—已知两边找夹角—找另一边—边为角的对边—找任一角—找夹角的另一边—已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角—找边的对角—找夹边—已知两角找任一角的对边—K 知识参考答案：1．（1）边边边2．（1）SAS 3．（1）ASA4．（1）AAS5．（1）HLK —重点 三角形全等的判定K —难点 三角形全等的判定和性质的综合运用 K —易错三角形全等的判定一、用边边边（SSS ）证明三角形全等明确要证明全等的两个三角形，在书写两个三角形全等时，“≌”左边三角形的三边与“≌”右边三角形的三边的前后顺序要保持一致．【例1】如图，ABC △中，AB AC =，EB EC =，则由“SSS ”可判定A ．ABD △≌ACD △B ．ABE △≌ACE △△D．以上答案都不对C．BDE△≌CDE【答案】B二、用边角边（SAS）证明三角形全等此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．【例2】如图，AB=AC，添加下列条件，能用SAS判断△ABE≌△ACD的是A．∠B=∠C B．∠AEB=∠ADC C．AE=AD D．BE=DC【答案】C【解析】∵AB=AC（已知），∠A=∠A（公共角），∴只需要AE=AD，∴△ABE≌△ACD，故选C．三、用角边角、角角边（ASA、AAS）证明三角形全等1．不能说“有两角和一边分别相等的两个三角形全等”，这是因为：假设这条边是两角的夹边，则根据角边角可知正确；假设一个三角形的一边是两角的夹边，而与另一个三角形相等的边是其中一等角的对边，则两个三角形不一定全等．2．有三个角对应相等的两个三角形不一定全等．【例3】如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长，就得出AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是A．SSS B．SASC．SAA D．ASA【答案】D【解析】∵BF⊥AB，DE⊥BD，∴∠ABC=∠BDE．又∵CD=BC，∠ACB=∠DCE，∴△EDC≌△ABC（ASA）．故选D．【例4】如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠A=∠D，BF=EC，AB∥DE，若∠1=80°，求∠BFD 的度数．四、用斜边、直角边（HL）证明直角三角形全等1．当证明两个直角三角形全等时，若不适合应用“HL”，也可考虑用“SAS”“ASA”或“AAS”来证明．2．在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可，在实际证明中可根据条件灵活选用不同的方法．【例5】如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌△Rt△DCF，则还需要添加一个条件是A．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB=DC【答案】D五、全等三角形的判定和性质的综合寻找解决问题的思路方法可以从求证的结论出发，结合已知条件，逐步寻求解决问题所需要的条件．同时要注意对图形本身隐含条件的挖掘，如对顶角、公共角、公共边等．【例6】如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，则∠D的度数为A．50°B．30°C．80°D．100°【答案】B【解析】∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB（SAS），∴∠D=∠B=30°．故选B．【例7】如图，已知∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC．求证：BC=AD．【解析】∵∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC，∴∠DAB=∠CBA．在△ADB与△BCA中，CAB DBA AB ABDAB CBA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADB≌△BCA（ASA），∴BC=AD．。
第3讲探索三角形全等的条件(二)
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）
（2）一个锐角和斜边对应相等；
（）
（3）两直角边对应相等；
（）
（4）一条直角边和斜边对应相等． （ ）
【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SA根据全等三角形的判定来判断.
4、【答案】A 【解析】解：∵OM=ON，CM=CN，OC 为公共边， ∴△MOC≌△NOC（SSS）．∴∠MOC=∠NOC 故选：A．
5【答案】AH=CB； 【解析】∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为 D、E， ∴∠BEC=∠AEC=90°， 在 Rt△AEH 中，∠EAH=90°﹣∠AHE， 又∵∠EAH=∠BAD， ∴∠BAD=90°﹣∠AHE， 在 Rt△AEH 和 Rt△CDH 中，∠CHD=∠AHE， ∴∠EAH=∠DCH， ∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE， 所以根据 AAS 添加 AH=CB 或 EH=EB； 根据 ASA 添加 AE=CE． 可证△AEH≌△CEB．
【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有 5 种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.
例 3、如图，AB⊥AC 于 A，BD⊥CD 于 D，若 AC=DB，则下列结论中不正确的是（ ）
A．∠A=∠D B．∠ABC=∠DCB C．OB=OD D．OA=OD 【答案与解析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．做题时要结合 已知条件与全等的判定方法逐一验证． 解：∵AB⊥AC 于 A，BD⊥CD 于 D ∴∠A=∠D=90°（A 正确） 又∵AC=DB，BC=BC ∴△ABC≌△DCB(HL) ∴∠ABC=∠DCB（B 正确） ∴AB=CD 又∵∠AOB=∠C ∴△AOB≌△DOC(AAS) ∴OA=OD（D 正确） C 中 OD、OB 不是对应边，不相等． 故选 C． 【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、 SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全 等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
全等三角形五个判定同步练习[1]解读
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1 / 811.2 全等三角形的判定（SSS ）1、如图1，AB=AD ，CB=CD ，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD 的度数是( )A.120°B.125°C.127°D.104°2、如图2，线段AD 与BC 交于点O ，且AC=BD ，AD=BC ，•则下面的结论中不正确的是( ) A.△ABC ≌△BAD B.∠CAB=∠DBA C.OB=OC D.∠C=∠D3、在△ABC 和△A 1B 1C 1中，已知AB=A 1B 1，BC=B 1C 1，则补充条件____________，可得到△ABC ≌△A 1B 1C 1．4、如图3，AB=CD ，BF=DE ，E 、F 是AC 上两点，且AE=CF ．欲证∠B=∠D ，可先运用等式的性质证明AF=________，再用“SSS ”证明______≌_______得到结论．5、如图，AB=AC ，BD=CD ，求证：∠1=∠2．6、如图，已知AB=CD ，AC=BD ，求证：∠A=∠D ．7、如图，AC 与BD 交于点O ，AD=CB ，E 、F 是BD 上两点，且AE=CF ，DE=BF.请推导下列结论：⑴∠D=∠B ；⑵AE ∥CF ．8、已知如图，A 、E 、F 、C 四点共线，BF=DE ，AB=CD.⑴请你添加一个条件，使△DEC ≌△BFA ； ⑵在⑴的基础上，求证：DE ∥BF.12.2 全等三角形的判定(SAS)1、如图1，AB ∥CD ，AB=CD ，BE=DF ，则图中有多少对全等三角形( )A.3B.4C.5D.62、如图2，AB=AC ，AD=AE ，欲证△ABD ≌△ACE ，可补充条件( ) A.∠1=∠2 B.∠B=∠C C.∠D=∠E D.∠BAE=∠CAD3、如图3，AD=BC ，要得到△ABD 和△CDB 全等，可以添加的条件是( ) A.AB ∥CD B.AD ∥BC C.∠A=∠C D.∠ABC=∠CDA2 / 8D CBA 4、如图4，AB 与CD 交于点O ，OA=OC ，OD=OB ，∠AOD=________，•根据_________可得到△AOD ≌△COB ，从而可以得到AD=_________．5、如图5，已知△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，请补充完整过程说明△ABD ≌△ACD 的理由． ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠________=∠_________(角平分线的定义). 在△ABD 和△ACD 中，∵____________________________， ∴△ABD ≌△ACD （ ） 6、如图6，已知AB=AD ，AC=AE ，∠1=∠2，求证∠ADE=∠B.7、如图，已知AB=AD ，若AC 平分∠BAD ，问AC 是否平分∠BCD ？为什么？8、如图，在△ABC 和△DEF 中，B 、E 、F 、C ，在同一直线上，下面有4个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的一个作为结论，写一个真命题，并加以证明.①AB=DE ； ②AC=DF ； ③∠ABC=∠DEF ； ④BE=CF.9、如图⑴，AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，点C 是BD 上一点，且BC=DE ，CD=AB ．⑴试判断AC 与CE 的位置关系，并说明理由．⑵如图⑵，若把△CDE 沿直线BD 向左平移，使△CDE 的顶点C 与B 重合，此时第⑴问中AC 与BE 的位置关系还成立吗？(注意字母的变化)全等三角形（三）AAS 和ASA【知识要点】1．角边角定理（ASA ）：有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.2．角角边定理（AAS ）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 【典型例题】例1．如图，AB ∥CD ，AE=CF ，求证：AB=CDADCFO3 / 8例2．如图，已知：AD=AE ，ABE ACD ∠=∠，求证：BD=CE.例3．如图，已知：ABD BAC D C ∠=∠∠=∠.，求证：OC=OD. 例4．如图已知：AB=CD ，AD=BC ，O 是BD 中点，过O 点的直线分别交DA 和BC 的延长线于E ，F.求证：AE=CF.例5．如图，已知321∠=∠=∠，AB=AD.求证：BC=DE.例6．如图，已知四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，点F 在AD 上，点E 在BC 上，AF=CE ，EF 的对角线BD 交于O ，请问O 点有何特征？【经典练习】1.△ABC 和△C B A '''中，C B C B A A ''='∠=∠,'，C C '∠=∠则△ABC 与△C B A ''' .2．如图，点C ，F 在BE 上，,,21EF BC =∠=∠请补充一个条件，使△ABC ≌DFE,补充的条件是 .3．在△ABC 和△C B A '''中，下列条件能判断△ABC 和△C B A '''全等的个数有（ ）AABD C EO12 3AFDOBEC4 / 8①A A '∠=∠ B B '∠=∠，C B BC ''= ②A A '∠=∠，B B '∠=∠，C A C A ''=' ③A A '∠=∠ B B '∠=∠，C B AC ''= ④A A '∠=∠，B B '∠=∠，C A B A ''=' A ． 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4．如图，已知MB=ND ，NDC MBA ∠=∠，下列条件不能判定是△ABM ≌△CDN 的是（ ）A ． N M ∠=∠ B. AB=CD C ． AM=CN D. AM ∥CN 5．如图2所示， ∠E =∠F =90°，∠B =∠C ，AE =AF ，给出下列结论：①∠1=∠2 ②BE=CF ③△ACN ≌△ABM ④CD=DN其中正确的结论是_________ _________。
专题2 全等三角形判定方法的选择（含答案）
专题2 全等三角形判定方法的选择知识解读三角形全等判定方法的选择 已知条件可供选择的判定方法一边和这边邻角对应相等 选边：只能选角的另一边（SAS ）选角：可选另外两对角中任意一对角（AAS ，ASA ）一边及它的对角对应相等 只能再选一角：可选另外两对角中任意一对角（AAS ）两边对应相等 选边；只能选剩下的一边（SSS ） 选角：只能选两边的夹角（SAS ）两角对应相等只能选边：可选三条边的任意一对对应边（AAS ．ASA ）典例示范一、从变换的角度理解“全等” 1．轴对称变换例1如图1－2－1，点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，且AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，求证：BD ＝CE ．【提示】从结论“BD ＝CE ”来看，有两种思路，思路一：通过证明△BOD ≌△COE 得到对应边相等；思路二：通过证明“△ACD ≌△ABE ”得到AD ＝AE ，然后运用等式性质证得．从题设看，由“AB ＝AC ，∠B ＝∠C ”加上公共角∠A ，可得△ACD ≌△ABE ，所以我们考虑使用思路二给出证明过程．【解答】A图1-2-1OE BD【技巧点评】哪些情况下，可考虑利用全等的性质来证明线段相等和角相等呢？本题中，这个图形很显然是轴对称图形，而BD 和CE 也是轴对称的，这时候就可以考虑把BD 和CE 置于一对轴对称的三角形中，且BD 和CE 恰好是一对对应边.跟踪训练1．如图1－2－2，已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CE ＝F B ．求证：AF ＝DE ．图1-2-2ADC2．旋转变换例2如图1－2－3，AD 是△ABC 的中线，在AD 及其延长线上截取DE ＝DF ，连接CE ，BF ，试判断△BDF 与△CDE 全等吗？BF 与CE 有何位置关系？【提示】若△BDF 与△CDE 全等，需要寻找三个相等的要素，题中已知一对对顶角相等，由中线可得到BD ＝CD ，加上DE ＝DF ，即可根据“SAS ”得到两个三角形全等．【解答】图1-2-3FD ABCE【技巧点评】本题是一个简单的全等证明题，本题意在说明图中△BDF 与△CDE 是中心对称的图形．，其中一个三角形可以看作另一个三角形绕点D 旋转180°得到．从中心对称的角度寻找相等的线段和相等的角，可以为证明全等提供方便．跟踪训练2．如图1－2－4，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E ，求证：BC ＝E D ．21图1-2-4D EBCA二、线段和角度相等，常考虑证全等例3如图1－2－5，AC 交BD 于点O ，AC ＝BD ，AB ＝CD ，求证：∠C ＝∠B ．【提示】要证明∠C ＝∠B ，可考虑将∠C 和∠B 置于一对三角形中，证明两个三角形全等，由于本题图中△AOB 和ACOD 全等不容易证明，可考虑连接AD ，证明△ACD 与△DBA 全等．【解答】图1-2-5AOD跟踪训练3．已知，如图1－2－6，AD ⊥DB ，BC ⊥CA ，AC ，BD 相交于点O ，且AC ＝BD ，求证：AD ＝B C ．图1-2-6OCDBA【技巧点评】 由于全等三角形的对应角相等，对应边相等，因此证明两个三角形全等是证明两个角相等和两条线段相等常用的方法．利用全等三角形证明线段相等和角相等的思路：对应边（角）相等→两个三角形全等→线段相等或者角相等，可以看出全等三角形类似于一个桥梁，建立起角度相等与线段相等、线段相等与另两条相等的线段、角相等与另一对相等的角之间的联系．跟踪训练4．如图1－2－7，A ，D ，B 三点在同一条直线上，△ADC ，△BDO 均为等腰三角形，AO ，BC 的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论．图1-2-7BCAD O三、借助“同角的余角相等”寻找相等的角例4如图1－2－8，在△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，F 是BD 上一点，BF ＝AC ，G 是CE 延长线一点，CG ＝AB ，连接AG ，AF ．（1）求证：∠ABD ＝∠ACE ；（2）探求线段AF ，AG 有什么关系，并证明．【提示】（1）∠ABD ，∠ACE 都和∠BAC 互余，根据“同角的余角相等”可证明∠ABD ＝∠ACE ；（2）由已知条件“BF ＝AC ”“CG ＝AB ” “∠ABD ＝∠ACE ”可证明△ABF ≌△GCA ，AF ，AG 恰好是这对全等三角形的对应边，所以这两条线段的大小关系是相等．又由于∠G ＝∠BAF ，∠G ＋∠GAE ＝90°，因此∠GAF ＝90°，所以AF 和AG 的位置关系是垂直．【解答】图1-2-8EGD ABCF【技巧点评】（1）当已知两条边相等，要证明两个三角形全等时，“同角的余角相等”是常用的证明夹角相等的手段．（2）要证明两直线垂直，证明夹角等于90°也是常用思路，当夹角是由两个角的和组成的时候，常考虑证明这两个角的和等于90°．跟踪训练5．如图1－2－9，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ．求证：AB ＝F C ．图1-2-9DFE CAB四、从等腰、等边、正方形中获取全等所需的元素例5如图1－2－10，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F ．求证：DB ＝BF ．【提示】要证明DB ＝BF ，由于D 为BC 的中点，所以CD ＝BD ，因此本题可转证CD ＝BF ，将这两条线段放置到三角形中，可证明△ACD ≌△CBF ．【解答】图1-2-10ED A【技巧点评】本题证明△ACD ≌△CBF 需要的三个要素AC ＝BC ，∠CAD ＝∠BCF ，∠ACD ＝∠CBF 都和△ABC 是等腰直角三角形相关．当题目中出现等边三角形、等腰三角形、正方形、菱形等条件时，往往图形中隐含着一对全等三角形，这对全等三角形的一对对应边往往和等边三角形、等腰三角形、正方形、菱形的边长相等有关．跟踪训练6．如图1－2－11，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A ，D 重合，连接BE ，E C ．试猜想线段BE 和EC 的数量关系和位置关系，并证明你的猜想．图1-2-11EACBD拓展延伸五、AAS 华丽变全等例6 如图1-2-12，在△ABC 中，∠DBC ＝∠ECB ＝21∠A ，求证：BE ＝CD ．ABCD E F【提示】要证明BE ＝CD ，一般考虑证明两个三角形全等，而△DCF 和△EBF 显然不全等，本题有三种构造全等的方法，如图1-2-13①②③．【解答】GFE D CBAHFE D CBAFE D CBAH G【技巧点评】本题△BEF 和△CDF 虽然不全等，但是∠BFE ＝∠CFD ，加之可证FB ＝FC 以及待证的BE ＝CD 见这两个三角形虽然不全等，但也有3对相等的要素．构造全等三角形可将小三角形补上一部分，或者将大三角形截去一部分．跟踪训练7．如图1-2-14，OC 平分∠AOB ，点D 、E 分别在OA 、OB 上，点P 在OC 上，且有PD ＝PE ，求证：∠PDO ＝∠PEB ．(有三种解法)图1-2-12图1-2-13② ③①P OD C BA E竞赛链接例7 (全国初中数学竞赛浙江赛区题)如图1-2-15，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠BCD ＝90°，BC ＝CD ，E 是AD 延长线上一点，若DE ＝AB ＝3cm ，CE ＝42cm ，则AD 的长是 ．【提示】如图1-2-16，连接CA ，构造△BAC ≌△DEC ，利用勾股定理求出AE 的长．EDCB AAB CDE【技巧点评】勾股定理——如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2． 跟踪训练8．(希望杯竞赛题)如图1-2-17，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，那么图中的全等三角形共有( )A ．5对B ．6对C ．7对D ．8对图1-2-14图1-2-15图1-2-16F OABCDE培优训练1．如图1-2-18，AC ，BD 交于点E ，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC ＝BD ．4321ABCED2．如图1-2-19，已知AD ＝AE ，AB ＝AC ．求证：BF ＝FC ．ABCDEF3．如图1-2-20，已知△ABD 、△AEC 都是等边三角形，AF ⊥CD 于F ，AH ⊥BE 于H ，问： (1)BE 与CD 有何数量关系?为什么? (2)AF 、AH 有何数量关系?O HFEDCBA4．如图1-2-21，△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∠ACD ＝∠BCE ＝90°，AE 交DC 于点F ，BD 分别交CE ，AE 于点G ，H 试猜测线段AE 和BD 的位置关系和数量关系，并说明理由．图1-2-17图1-2-18图1-2-19图1-2-20DBCFH AE G5．将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图1-2-22①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F ． (1)求证：AF ＋EF ＝DE ；(2)若将图1-2-22①中的△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图1-2-22②中画出变换后的图形，并直接写出(1)中的结论是否仍然成立．AC BABCE FD6．如图1-2-23，AD 是△ABC 的高，作∠DCE ＝∠ACD ，交AD 的延长线于点E ，点F 是点C 关于直线AE 的对称点，连接AF ． (1)求证：CE ＝AF(2)在线段AB 上取一点N ，使∠ENA ＝21∠ACE ，EN 交BC 于点M ，连接AM 请你判断∠B 与∠MAF 的数量关系，并说明理由．DBAF CN M直击中考7．★★(2017江苏常州)如图1-2-24，在四边形ABCD 中，点E 在AD 上，∠BCE ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠D ，BC ＝CE ． (1)求证：AC ＝CD ；①图1-2-21②图1-2-22图1-2-23(2)若AC ＝AE ，求∠DEC 的度数．ECDBA8．(凉山州中考题)如图1-2-25，△ABO 与△CDO 关于O 点中心对称，点E 、F 在线段AC 上，且AF ＝． 求证：FD ＝BE ．FBECDAO9．(内江中考题)如图1-2-26，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，D 为AB 上一点．求证：AE ＝BD ．CDEA10．(重庆中考题)如图1-2-27，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 为AC 边的中点，过点A 作AD ⊥AB交BE 的延长线于点D ．CG 平分∠ACB 交BD 于点G ，F 为AB 边上一点，连接CF ，且∠ACF ＝∠CBG ． 求证：(1)AF ＝CG ； (2)CF ＝2DE ．图1-2-24图1-2-25图1-2-26GCDFEBA挑战竟赛11．(希望杯竞赛题)如图1-2-28，在△ABC 中，∠ACB ＝60°，∠BAC ＝75°，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 交于H ，则∠CHD ＝ ．HBCE ADBGF E ADC12．(希望杯竞赛题)如图1-2-29，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，∠BCA 的平分线交AD 于F ，交AB 于E ，FG ∥BC 交AB 于G ．AE ＝4，AB ＝14，则BG ＝ ．图1-2-27图1-2-28图1-2-29。
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全等三角形的判定方法五种例题
三角形是初中数学学习中的重要内容之一，而全等三角形又是其
中比较基础且重要的一部分。
那么，如何判断两个三角形是否全等呢？我们可以从以下5个方法入手。
第一种方法：角角角（AAA）判定法。
当两个三角形的对应角度
相等时，就可以判断它们是全等的。
例如：若在两个三角形中角A、角B、角C分别对应相等，则这两个三角形就全等。
第二种方法：边角边（AAS）判定法。
当两个三角形的两边和夹
角分别相等时，就可以判断它们是全等的。
例如：若在两个三角形中，两边AB、AC相等，并且夹角A的大小也相等，则这两个三角形就全等。
第三种方法：角边角（ASA）判定法。
当两个三角形的一对角和
对应边相等，且另外一对角也相等时，就可以判断它们是全等的。
例如：若在两个三角形中，角A、边BC和角C分别对应相等，并且角B
的大小也相等，则这两个三角形全等。
第四种方法：直角边（HL）判定法。
当两个直角三角形的一条直
角边和另外一条边相等时，就可以判断它们是全等的。
例如：若在两
个三角形中，直角边AB、边AC的长度分别相等，并且三角形ABC还有一个相等的直角，则这两个三角形就全等。
第五种方法：全等多边形拼凑法。
将一个三角形分割成两个或多
个小三角形，然后将这些小三角形重新拼凑成另一个三角形。
如果这
个三角形和另一个给定的三角形重合，则它们是全等的。
例如：将一
个三角形ABC划分成两个小三角形，分别是三角形ABE和三角形AEC，然后将它们重新拼凑成三角形FDC，如果三角形FDC和另一个给定的三角形重合，则这两个三角形就全等。
在实际操作时，我们可以根据题目所给条件，选择一种或多种判
定方法，来判断两个三角形是否全等。
因为不同的题目所给条件不同，因此我们要灵活掌握这些判定方法，并且要根据具体情况加以分析和
判断。
只有将这些方法掌握好，才能在解题中灵活应用，提高我们的解题能力。