希望杯2013年初二试题及答案
八年级数学希望杯第1-22届试题汇总(含答案与提示)
希望杯第一届（1990）第二试试题 (1)希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题 (5)希望杯第三届（1992年）初中二年级第二试题 (10)希望杯第四届（1993年）初中二年级第一试试题 (18)希望杯第四届（1993年）初中二年级第二试试题 (24)希望杯第五届(1994年)初中二年级第一试试题 (26)希望杯第五届(1994年)初中二年级第二试试题 (32)第六届(1995年)初中二年级第一试试题 (45)希望杯第六届(1995年)初中二年级第二试试题 (50)希望杯第七届（1996年）初中二年级第一试试题 (56)希望杯第七届（1996年）初中二年级第二试试题 (62)希望杯第八届（1997年）初中二年级第一试试题 (72)希望杯第八届（1997年）初中二年级第二试试题 (79)第九届（1998年）初中二年级第一试试题 (88)希望杯第九届（1998年）初中二年级第二试试题 (98)1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (108)2000年第十一届“希望杯”数学竞赛初二第一试 (111)2000年第十一届“希望杯”数学竞赛初二第二试 (114)2001年希望杯第十二届初中二年级第一试试题 (119)2001年希望杯第12届八年级第2试试题 (122)2002年第十三届全国数学邀请赛初二年级第一试 (129)2002年度初二“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (132)2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试 (139)2003年第十四届“希望杯”(初二笫2试) (142)2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二 (148)2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试 (151)2005年第十六届希望杯初二第1试试题 (157)2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (159)2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (163)2006年第十七届“希望杯’’数学邀请赛第二试 (166)2007年第十八届”希望杯“全国数学邀请赛第一试 (171)2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (173)2008年第19届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题 (179)2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (183)2009年第20届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (186)2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (193)2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (195)2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (201)希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分）1.等腰三角形周长是24cm，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是[ ]A．7.5 B．12. C．4. D．12或42.已知P=2)1989(11991199019891988-++⨯⨯⨯，那么P 的值是[ ]A ．1987B ．1988.C ．1989D ．19903．a ＞b ＞c ，x ＞y ＞z ，M=ax+by+cz ，N=az+by+cx ，P=ay+bz+cx ，Q=az+bx+cy ，则[ ]A ．M ＞P ＞N 且M ＞Q ＞N.B ．N ＞P ＞M 且N ＞Q ＞MC ．P ＞M ＞Q 且P ＞N ＞Q.D ．Q ＞M ＞P 且Q ＞N ＞P4．凸四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1,则∠BDA=[ ]A ．30°B ．45°.C ．60°.D ．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割[ ]A ．是不存在的.B ．恰有一种.C ．有有限多种，但不只是一种.D ．有无穷多种二、填空题:（每题1分，共5分）1． △ABC 中，∠∠B=90°，∠C 的平分线与AB 交于L ，∠C 的外角平分线与BA 的延长线交于N ．已知CL=3，则CN=______．2． 2(2)0ab -=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++的值是_____. 3． 已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是______．4． ΔABC 中, ∠B=300,三个两两互相外切的圆全在△ABC 中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______． 5． 设a,b,c 是非零整数,那么a b c ab ac bc abc a b c ab ac bc abc++++++的值等于_________.三、解答题:（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和A ＇B ＇C ＇D ＇，且正方形A ＇B ＇C ＇D ＇的顶点A ＇在正方形ABCD 的中心．当正方形A ＇B ＇C ＇D ＇绕A ＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n 之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n 由小到大排成一列n 1＜n 2＜n 3＜n 4……，试求：n 1·n 2之值．答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积S A＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴S A＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n．即 n1=4，n2=7∴ n1×n2=4×7=28．希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于( )A．1 ; B．2; C．3; D．42．两个正数m，n的比是t(t＞1)．若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为( )A.ts; Bs-ts; C.1tss+; D.1st+.3.y>0时( )4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a，b，c的关系可以写成( ) A．a＜b＜c. B．(a-b)2+(b-c)2=0. C．c＜a＜b. D．a=b≠c5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE．则∠BAE是∠BAC的 ( )A．4倍. B．3倍. C．2倍. D．1倍6．D是等腰锐角三角形ABC的底边BC上一点，则AD，BD，CD满足关系式( )A.AD 2=BD 2+CD 2. B ．AD 2＞BD 2+CD 2. C ．2AD 2=BD 2+CD 2. D ．2AD 2＞BD 2+CD 27.方程2191()1010x x -=+的实根个数为( ) A ．4 B ．3. C ．2 D ．18.能使分式33x y y x-的值为的x 2、y 2的值是( )A.x 2y 22，y 2C. x 2y 22，y 29．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ．则x+y+z+u 的值为 ( )A ．17B ．15.C ．13D ．1110．两个质数a ，b ，恰好是x 的整系数方程x 2-21x+t=0的两个根,则b a a b +等于( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538. 二、填空题（每题1分，共10分）1.1989×19911991-1991×19891988=______．2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．边数为a ，b ，c 的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111a b c++=_________. 5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,则正整数a=_______. 6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒 出13升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD 中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是______．8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______．9.2x x +++______.10．已知两数积ab ≠1．且2a2+1234567890a+3=0,3b2+1234567890b+2=0,则ab=______.三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1.已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO∥FK，OH∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989 (1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°．10．由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。
希望杯八年级数学竞赛试题及答案
3x+2y=64．已知a是正整数，方程组⎨的解满足x>0，y<0，则a的值是（）12．如果实数a≠b，且10a+b全国数学邀请赛初二第一试一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。
1．下列运动属于平移的是（）（A）乒乓球比赛中乒乓球的运动．（B）推拉窗的活动窗扇在滑道上的滑行．（C）空中放飞的风筝的运动．（D）篮球运动员投出的篮球的运动．2．若x=1满足2m x2-m2x-m=0，则m的值是（）（A）0．（B）1．（C）0或1．（D）任意实数．3．如图△1，将APB绕点B按逆时针方向旋转90 后得到△A'P'B'，若BP=2，那么PP'的长为()（A）22．（B）2．（C）2．（D）3．⎧ax+4y=8⎩（A）4．（B）5．（C）6．（D）4，5，6以外的其它正整数．5．让k依次取1，2，3,…等自然数，当取到某一个数之后，以下四个代数式：①k+2；②k2；③2k；④2k 就排成一个不变的大小顺序，这个顺序是（）（A）①<②<③<④．（B）②<①<③<④．(C)①<③<②<④．(D)③<②<①<④．6．已知1个四边形的对角线互相垂直，且两条对角线的长度分别是8和10,那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形的面积是（）（A）40．（B）202．（C）20．（D）102．7．Let a be the length of a diagonal of a square,b and c be the length of two diagonals of a rhombu s respectively. If b:a=a:c,then the ratio of area of the square and rhomb us is()（A）1：1．（B）2：3．（C）1：2．（D）1：2．(英汉词典：length长度；diagonal对角线；squar e正方形；r h o mbus菱形；respectively分别地；ratio比；ar ea面积)8．直角三角形有一条边长为11，另外两边的长是自然数，那么它的周长等于（）．（A）132．（B）121．（C）120．（D）111．9．若三角形三边的长均能使代数式是x2-9x+18的值为零，则此三角形的周长是（）．（A）9或18．（B）12或15．（C）9或15或18．（D）9或12或15或18．10．如图2，A、B、C、D是四面互相垂直摆放的镜子，镜面向内，在镜面D上放了写有字母“G”的纸片，某人站在M处可以看到镜面D上的字母G在镜面A、B、C中的影像，则下列判断中正确的是（）（A）镜面A与B中的影像一致．（B）镜面B与C中的影像一致．（C）镜面A与C中的影像一致．（D）在镜面B中的影像是“G”．二、A组填空题（每小题4分，共40分）11．如图3，在△BMN中，BM=6，点A、C、D分别在MB、BN、MN上，且四边形ABCD是平行四边形，∠NDC=∠MDA，则 ABCD的周长是．a+1=，那么a+b的值等于．10b+a b+121．解分式方程 213．已知 x = a +b M 是 M 的立方根， y = 3 b - 6 是 x 的相反数，且 M =3 a -7，那么 x 的平方根是．14．如图 4，圆柱体饮料瓶的高是 12 厘米，上、下底面的直径是6 厘米．上底面开有一个小孔供插吸管用， 小孔距离上底面圆心 2 厘米，那么吸管在饮料瓶中的长度最多是= 厘米．15．小杨在商店购买了a 件甲种商品，b 件乙种商品，共用 213 元，已知甲种商品每件 7 元，乙种商品每件 19 元，那么 a + b 的最大值是 ．16． ABC 是边长为 2 3 的等边三角形。
希望杯竞赛初二试题及答案
希望杯竞赛初二试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 已知x+y=5，x-y=1，求2x+3y的值。
A. 12B. 11C. 10D. 92. 一个数的平方等于该数本身，这个数可能是：A. 1B. -1C. 1或-1D. 03. 如果一个三角形的两边长分别是5和12，第三边长x满足三角形的三边关系，那么x的取值范围是：A. 7 < x < 17B. 2 < x < 14C. 5 < x < 13D. 12 < x < 154. 一个圆的半径为3，求圆的面积。
A. 28.26B. 9C. 18D. 365. 若a^2 + b^2 = 13，且a + b = 5，求ab的值。
A. 6B. 2C. 12D. 无法确定6. 一个等差数列的前三项分别为2，5，8，求第10项的值。
A. 27B. 29C. 21D. 227. 一个长方体的长、宽、高分别是2，3，4，求其体积。
A. 24B. 12C. 36D. 488. 一个数的绝对值是5，这个数可能是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 09. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，求斜边的长度。
A. 5B. 6C. 7D. 810. 若a、b、c是三角形的三边，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是：A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 无法确定二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的相反数是-8，这个数是________。
12. 一个数的立方等于-27，这个数是________。
13. 一个数的平方根是4，这个数是________。
14. 一个数的倒数是2，这个数是________。
15. 一个圆的直径是10，这个圆的周长是________。
16. 若a、b互为倒数，则ab=________。
17. 一个数的平方是25，这个数是________。
18. 一个数的绝对值是3，这个数可能是________。
2013年初中希望杯100大题(有答案)
2013年希望杯100大题日期：2013年1月1．计算：34134547⎡⎤⎛⎫÷+⨯=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.2．计算：11201220142012201320132014⎛⎫⨯⨯+⎪⨯⨯⎝⎭＝.3．计算：1111232349899100+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝.4．计算：495(0.20.345)0.60.789562+⨯⨯⨯＝.5．计算：33333333331357911131517192481632641282565121024+++++++++= .6．计算：111111111111111123523572357235⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-++++⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ .7．兄弟俩都有点傻,以为只有自己过一年长一岁而别人不会长,某天,哥哥对弟弟说：“再过3年我的年龄就是你的2倍。
”弟弟说：“不对,再过3年我和你一样大。
”今年,他们俩分别是 、 岁。
8．有一堆黑白棋子,黑棋的粒数是白棋的2倍,每次从中取出白棋3粒黑棋5粒,白棋恰好取完时黑棋还剩20粒,则原来这堆棋子共有 粒。
9．如图1,边长12cm的正方形与直径为16cm的圆部分重叠,若没有重叠的两空白部分的面积分别是S1,S2,则S1－S2＝,（π取3）10．有一列数：8,18,24,49,55,60,65,77,81,98,100。
它们的最小公倍数是。
（以乘方形式表示,不用写出计算结果）11．王老师将200块糖分给了甲乙丙三个小朋友,甲比乙的2倍还要多,乙比丙的3倍还要多,那么甲最少有块糖,丙最多有块糖。
12．建军路小学有钢琴、小提琴这两个兴趣班,这两个班的学员都是来自A班或B班的。
钢琴班有13来自A班,小提琴班有37来自B班,并且钢琴班的总人数是小提琴班总人数的97倍,那么这两个兴趣班中来自B班的学生人数与总人数的比值是。
13．定义：“如果一个数有12个约数,那么称这样的数为‘好数’”。
则将所有的“好数”由小到大依次排列,第三个是。
数学初二希望杯试题及答案
数学初二希望杯试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14159B. πC. 0.33333…D. √22. 如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，且满足a^2 + b^2 = c^2，这个三角形是什么类型的三角形？A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形3. 一个数的平方根是4，这个数是多少？A. 16B. 8C. -16D. 44. 以下哪个表达式的结果不是正数？A. -1 + 2B. √4C. -√4D. (-2)^25. 一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π6. 一个数的倒数是1/3，这个数是多少？A. 3B. 1/3C. 1/9D. 97. 如果一个角的余角是30°，那么这个角是多少度？A. 60°B. 45°C. 30°D. 15°8. 一个正方体的棱长是3，那么它的体积是多少？A. 27B. 9C. 3D. 19. 一个数的绝对值是5，这个数可能是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 010. 以下哪个是二次根式？A. √3B. √(-1)C. √(2x)D. √(2x+1)二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的立方根是2，这个数是______。
12. 如果一个数的相反数是-5，那么这个数是______。
13. 一个数的绝对值是10，这个数可能是______或______。
14. 如果一个角的补角是120°，那么这个角是______。
15. 一个数的平方是25，这个数是______或______。
16. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，斜边的长度是______。
17. 一个数的平方根是±3，这个数是______。
18. 一个数的倒数是1/4，这个数是______。
19. 一个圆的直径是10，那么它的半径是______。
初二数学希望杯试题及答案
初二数学希望杯试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果一个数的平方等于16，那么这个数是：A. 4B. -4C. 4或-4D. 163. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 84. 一个数的绝对值是5，这个数可以是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 05. 以下哪个表达式的结果不是整数？A. 3 + 2 = 5B. 7 - 5 = 2C. 4 × 2 = 8D. 6 ÷ 2 = 3二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的平方根是4，那么这个数是_________。
7. 如果一个数的立方等于-27，那么这个数是_________。
8. 一个数的倒数是2，那么这个数是_________。
9. 一个数的相反数是-3，那么这个数是_________。
10. 如果一个数的平方等于9，那么这个数是_________。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知一个长方体的长、宽、高分别是3cm、4cm、5cm，求这个长方体的体积。
12. 已知一个圆的半径是7cm，求这个圆的面积。
13. 已知一个等腰三角形的底边长是6cm，两腰长是5cm，求这个等腰三角形的面积。
初二数学希望杯试题答案一、选择题答案1. B2. C3. A4. C5. D二、填空题答案6. 167. -38. 1/29. 310. ±3三、解答题答案11. 长方体的体积 = 长× 宽× 高= 3cm × 4cm × 5cm =60cm³。
12. 圆的面积= π × 半径² = 3.14 × 7cm × 7cm = 153.86cm²。
13. 等腰三角形的面积 = (底× 高) / 2。
希望杯初二上试题及答案
希望杯初二上试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪项不是中国四大名著之一？A. 《红楼梦》B. 《西游记》C. 《水浒传》D. 《聊斋志异》2. 地球自转一周的时间是多久？A. 12小时B. 24小时C. 48小时D. 72小时3. 人体最大的器官是什么？A. 心脏B. 肝脏C. 皮肤D. 肺4. 以下哪个选项是正确的化学方程式？A. H2 + O2 → H2OB. 2H2 + O2 → 2H2OC. H2 + O2 → 2H2OD. 2H2 + O2 → H2O5. 光年是长度单位，表示光在一年内传播的距离，那么光年的数值是多少？A. 9.46万亿公里B. 9.46亿公里C. 9.46万公里D. 9.46公里二、填空题（每题2分，共10分）1. 圆周率π的近似值是_______。
2. 牛顿第一定律也被称为_______。
3. 世界上最高的山峰是_______。
4. 人体内含量最多的元素是_______。
5. 光合作用的主要产物是_______。
三、解答题（每题10分，共20分）1. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，求该直角三角形的斜边长。
2. 一个物体从静止开始做匀加速直线运动，经过5秒后的速度为10m/s，求物体的加速度。
四、简答题（每题15分，共30分）1. 请简述牛顿三大运动定律的内容。
2. 描述光合作用的过程及其对生态系统的重要性。
五、实验题（每题20分，共20分）1. 根据实验数据，绘制出小车在斜面上下滑时的速度-时间图，并分析小车的运动情况。
答案：一、选择题1. D2. B3. C4. B5. A二、填空题1. 3.141592. 惯性定律3. 珠穆朗玛峰4. 氧5. 氧气和葡萄糖三、解答题1. 根据勾股定理，斜边长为√(3²+4²) = √(9+16) = √25 = 5cm。
2. 物体的加速度为10m/s² ÷ 5s = 2m/s²。
历年1-16届希望杯初二年级竞赛试卷(共34份)[下学期]
希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题 (2)希望杯第一届（1990年）初中二年级第二试试题 (6)希望杯第二届（1991年）初中二年级第一试试题 (10)希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题 (17)希望杯第三届（1992年）初中二年级第一试试题 (23)希望杯第三届（1992年）初中二年级第二试试题 (28)希望杯第四届（1993年）初中二年级第一试试题 (37)希望杯第四届（1993年）初中二年级第二试试题 (45)希望杯第五届（1994年）初中二年级第一试试题 (53)希望杯第五届（1994年）初中二年级第二试试题 (60)希望杯第六届（1995年）初中二年级第一试试题 (69)希望杯第六届（1995年）初中二年级第二试试题 (71)希望杯第七届（1996年）初中二年级第一试试题 (78)希望杯第七届（1996年）初中二年级第二试试题 (86)希望杯第八届（1997年）初中二年级第一试试题 (97)希望杯第八届（1997年）初中二年级第二试试题 (105)希望杯第九届（1998年）初中二年级第一试试题 (115)希望杯第九届（1998年）初中二年级第二试试题 (118)希望杯第十届（1999年）初中二年级第一试试题 (129)希望杯第十届（1999年）初中二年级第二试试题 (133)希望杯第十一届（2000年）初中二年级第一试试题 (137)希望杯第十一届（2000年）初中二年级第二试试题 (140)希望杯第十二届（2001年）初中二年级第一试试题 (145)希望杯第十二届（2001年）初中二年级第二试试题 (150)希望杯第十三届（2002年）初中二年级第一试试题 (156)希望杯第十三届（2002年）初中二年级第二试试题 (158)希望杯第十四届（2003年）初中二年级第一试试题 (167)希望杯第十四届（2003年）初中二年级第二试试题 (169)希望杯第十五届（2004年）初中二年级第一试试题 (174)希望杯第十五届（2004年）初中二年级第二试试题 (177)第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试 (180)第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试 (184)第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试 (188)第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试 (192)希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题（每题1分，共10分）以下每个题目里列出的A ，B ，C ，D ，四个结论中，有且仅有一个是正确的，请你在括号内填上你认为是正确的那个结论的英文字母代号．1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )A ．45°B ．75°C ．55°D ．65°2．2的平方的平方根是 ( )A ．2B ． 2C ．±2D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( )A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 1 4. ΔABC,若AB=π27,则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B B ．∠C ＞∠B ＞∠AC ．∠B ＞∠A ＞∠CD ．∠C ＞∠A ＞∠B5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．76．725-的立方根是[ ]（A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+.7．把二次根式aa 1-⋅化为最简二次根式是[ ] (A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( )A ．2组B ．3组C ．4组D ．5组9.已知 1112111222222--÷-+++-⨯--++x y x y xy y y x y xy x 等于一个固定的值，则这个值是( )A ．0.B ．1.C ．2D ．4.把f 1990化简后，等于 ( )A ．1-x x . B.1-x. C.x 1. D.x. 二、填空题（每题1分，共10分） 1..________6613022=-2.().__________125162590196.012133=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷- 3.89850-+=________.4．如图2，∠A=60°，∠1=∠2，则∠ABC 的度数是______．5．如图3,O 是直线AB 上一点,∠AOD=117°,∠BOC=123°,则∠COD 的度数是____度．6．△ABC 中，∠C=90°，∠A 的平分线与∠B 的平分线交于O 点，则∠AOB 的度数是______度．7．计算下面的图形的面积（长度单位都是厘米）（见图4）.答：______．8．方程x 2+px+q=0，当p ＞0，q ＜0时，它的正根的个数是______个．9．x ，y ，z 适合方程组 826532113533451x y z x z x y x y z x y x y z -+++⎧=-⎪⎪++-+⎪+=⎨⎪+=-⎪⎪⎩则1989x-y+25z=______．10．已知3x 2+4x-7=0，则6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=______．答案与提示一、选择题提示：1．因为所求角α=5(90°-α),解得α=75°．故选(B)．2．因为2的平方是4，4的平方根有2个，就是±2．故选(C)．3．以x=1代入，得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0．故选(A)．＜3，根据大边对大角，有∠C＞∠B＞∠A．5．如图5，数一数即得．又因原式中有一个负号．所以也不可能是(D)，只能选(A)．7．∵a＜0，故选(C)．8．有△ABE，△ABM，△ADP，△ABF，△AMF等五种类型．选(D)．9．题目说是一个固定的值，就是说：不论x，y取何值，原式的值不变．于是以x=y=0代入，得：故选(B)．故选(A)．二、填空题提示：4．∠ADC=∠2+∠ADB=∠1+∠ADB=180°--∠A=120°所以∠ADC的度数是120度．5．∠COD度数的一半是30度．8．∵Δ=p2-4q＞p2．9．方程组可化简为：解得： x=1，y=-1，z=0．∴1989x-y+25z=1990．10．∵6x4+11x3-7x2-3x-7=(3x2+4x-7)(2x2+x+1)而3x2+4x-7=0．希望杯第一届（1990年）初中二年级第二试试题一、选择题（每题1分，共5分）以下每个题目里给出的A ，B ，C ，D 四个结论中，有且仅有一个是正确的．请你将正确结论的英文字母代号填到括号内．1．等腰三角形周长是24cm ，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是( )A ．7.5B ．12C ．4D ．12或42.已知P=2)1989(11991199019891988-++⨯⨯⨯，那么P 的值是[ ]A ．1987B ．1988.C ．1989D ．19903．a ＞b ＞c ，x ＞y ＞z ，M=ax+by+cz ，N=az+by+cx ，P=ay+bz+cx ，Q=az+bx+cy ，则有( )A ．M ＞P ＞N 且M ＞Q ＞NB ．N ＞P ＞M 且N ＞Q ＞MC ．P ＞M ＞Q 且P ＞N ＞QD ．Q ＞M ＞P 且Q ＞N ＞P4．凸四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1∶3,则∠BDA=[ ]A ．30°B ．45°C ．60°D ．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割( )A ．是不存在的B ．恰有一种C ．有有限多种，但不只是一种D ．有无穷多种二、填空题（每题1分，共5分）1．△ABC 中，∠CAB ∠B=90°，∠C 的平分线与AB 交于L ，∠C 的外角平分线与BA 的延长线交于N ．已知CL=3，则CN=______．2.21(2)0a ab --=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++L L 的值是_____.3．已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是______．4.ΔABC 中, ∠B=30053三个两两互相外切的圆全在△ABC 中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______．5.设a,b,c 是非零整数,那么a bcabacbc abca b c ab ac bc abc ++++++的值等于_________.三、解答题（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD和A＇B＇C＇D＇，且正方形A＇B＇C＇D＇的顶点A＇在正方形ABCD的中心．当正方形A＇B＇C＇D＇绕A＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1＜n2＜n3＜n4……，试求：n1·n2之值．答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即a b=k×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即a b=177．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积S A＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴S A＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)． 而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n ． 又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n ．即 n 1=4，n 2=7∴ n 1×n 2=4×7=28．希望杯第二届（1991年）初中二年级第一试试题一、选择题（每题1分，共15分）以下每个题目的A ，B ，C ，D 四个结论中，仅有一个是正确的．请在括号内填上正确的那个结论的英文字母代号．1．如图24，已知AB=8，AP=5，OB=6，则OP 的长是( )A ．2B ．3C ．4D ．52．方程x 25x+6=0的两个根是( )A ．1，6B ．2，3C ．2， 3D ．1， 63．已知△ABC 是等腰三角形，则( )A ．AB=ACB ．AB=BCC ．AB=AC 或AB=BCD ．AB=AC 或AB=BC 或AC=BC 22345(13)41(5)34b c ---==-+,则a,b,c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．a=b=c C ．a=c ＞b D ．a=b ＞c(1)BO5.若a ≠b,则(b-a)a b -等于[ ]A.33()a b -;B.33()a b ---;C.33()a b --;D.33()b a --6．已知x ，y 都是正整数，那么三边是x ，y 和10的三角形有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．无数多个 7．两条直线相交所成的各角中， ( )A ．必有一个钝角B ．必有一个锐角C ．必有一个不是钝角D ．必有两个锐角8．已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补，则这两个角( )A ．一个是锐角另一个是钝角B ．都是钝角C ．都是直角D ．必有一个角是直角 9．方程x 2+|x|+1=0有( )个实数根．( )A ．4B ．2C ．1D ．010．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去2，仍得原数，这个两位数是( )A ．26B ．28C ．36D ．3811．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是 ( )A ．179B ．181C ．183D ．185 12.如果231,x x >+那么323(2)(3)x x +-+等于[ ]A ．2x+5B ．2x5 C ．1D ．113．方程2x 5+x 4-20x 3-10x 2+2x+1=0有一个实数根是 ( ) A.53+; B.52+; C.32+; D.53-14．当a ＜1时，方程(a 3+1)x 2+(a 2+1)x (a+1)=0的根的情况是 ( ) A ．两负根 B ．一正根、一负根且负根的绝对值大 C ．一正根、一负根且负根的绝对值小 D ．没有实数根15．甲乙二人，从M 地同时出发去N 地．甲用一半时间以每小时a 公里的速度行走，另一半时间以每小时b 公里的速度行走；乙以每小时a 公里的速度行走一半路程，另一半路程以每小时b 公里的速度行走．若a ≠b 时，则( )到达N 地．( )A ． 二人同时B ．甲先C ．乙先D ．若a ＞b 时，甲先到达，若a ＜b 时，乙先二、填空题（每题1分，共15分）1．一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于______度．2.有理化分母:5757-+=______________.3.方程10x x ++=的解是x=________.4．分解因式：x 3+2x 2y+2xy 2+y 3=______．5．若方程x 2+(k 29)x+k+2=0的两个实数根互为相反数，则k 的值是______．6．如果2x 2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c 是同一个多项式的不同形式,那么a bc+=__.7．方程x 2y 2=1991有______个整数解．8．当m______时，方程(m 1)x 2+2mx+m 3=0有两个实数根．9．如图25，在直角△ABC 中，AD 平分∠A ，且BD ∶DC=2∶1，则∠B 等于______度．DCBAGEDCFEDCBA10．如图26，在圆上有7个点，A ，B ，C ，D ，E ，F ，和G ，连结每两个点的线段共可作出______条．11．D ，E 分别是等边△ABC 两边AB ，AC 上的点，且AD=CE ，BE 与CD 交于F ，则∠BFC 等于______度．12．如图27，△ABC 中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的角平分线，DF ∥AB 交AE 延长线于F ，则DF 的长为______．13．在△ABC 中，AB=5，AC=9，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是______． 14．等腰三角形的一腰上的高为10cm ，这条高与底边的夹角为45°，则这个三角形的面积是______．15．已知方程x 2+px+q=0有两个不相等的整数根，p ，q 是自然数，且是质数，这个方程的根是______．答案与提示一、选择题提示：1．∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3．∴选(B)．2．∵以2，3代入方程，适合．故选(B)．3．∵有两条边相等的三角形是等腰三角形．∴选(D)．4．∵a=1，b=-1，c=1．∴选(C)．6．∵x=y＞5的任何正整数，都可以和10作为三角形的三条边．∴选(D)．7．两直线相交所成角可以是直角，故而(A)，(D)均不能成立．∴选(C)．8．设两个角为α,β.则(α+β)+(α-β)=180°,即α=90°．故选(D)．9．∵不论x为何实数，x2+|x|+1总是大于零的．∴选(D)．即7a=2b+2，可见a只能为偶数，b+1是7的倍数．故取(A)．11．设这11个连续奇数为：2n+1，2n+3，2n+5，…，2n+21．则(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+…+(2n+21)=1991．即 11(2n+11)=1991．解得n=85．∴第六个数是2×85+11=181．故选(B)．∴选(A)．13．原方程可化为(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0．即 (2x+1)(x4-10x2+1)=0．即 x4-10x2+1=0．故取(C)．14．a＜-1时，a3+1＜0，a2+1＞0，a+1＜0．而若方程的两根为x1，x2，则有15．设M，N两地距离为S，甲需时间t1，乙需时间t2，则有∴t1＜t2，即甲先．另外：设a=1，b=2，则甲走6小时，共走了9公里，这时乙走的时间为从这个计算中，可以看到，a，b的值互换，不影响结果．故取(B)．二、填空题提示：1．设所求角为α，则有(180°-α)-(90°-α)=90°．4．x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2)=(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y)=(x+y)(x2+xy+y2)5．设二根为x1，-x1，则x1+(-x1)=-(k2-9)．即k2-9=0．即k=±3．又，要有实数根，必须有△≥0．即 (k2-9)2-4(k+2)＞0．显然 k=3不适合上面的不等式，∴k=-3．6．由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式，故由x=1代入，得c=-2；x2项的系数相等，有a=2，这时再以x=0代入，得-1=a-b+c．即b=1．7．x2-y2=1991，(x-y)(y+x)=11×181可以是9．BD∶DC=2∶1，故有AB∶AC=2∶1，直角三角形斜边与直角边之比为2∶1，则有∠B=30°．10．从A出发可连6条，从B出发可连5条，（因为BA就是AB），从C出发可连4条，…，从F出发可连一条．共计1+2+3+4+5+6=21（条）．另法：每个点出发均可连6条，共有42条．但每条都重复过一次，11．如图28．∠F=∠1+∠A+∠2．又：△ADC≌△CEB．∴∠1=∠3．∴∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°．12．△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，故AD又是垂线，又是分角线，故∠BAD=60°，∠ADB=90°．又：AE是分角线，故∠DAE=∠EAB=30°．又：DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°．在△ADF中，∠DAF=∠F=30°．∴AD=DF．而在△ADB中，AB=9，∠B=30°．13．∵4＜BC＜14．∴当BC为4时，BD=CD=2，AD＜7．当BC=14时，BC=CD=7，有AD＞2．∴2＜AD＜7．14．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°，则顶角是90°，高就是腰，其长为10cm．15．设两根为x1，x2．则x1+x2=-p① x1x2=q②由题设及①，②可知，x1，x2均为负整数．q为质数，若q为奇数，则x1，x2均为奇数．从而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之和为-2，且不相等，这是不可能的．若q 为偶数（只能是2），两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1和-2． ∴方程的根是-1和-2．希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题（每题1分，共10分）以下每个题目里给出的A ，B ，C ，D 四个结论中，有且仅有一个是正确的．请你在括号内填上你认为是正确的那个结论的英文字母代号．1．如图29，已知B 是线段AC 上的一点，M 是线段AB 的中点，N 为线段AC 的中点，P 为NA 的中点，Q 为MA 的中点，则MN ∶PQ 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．两个正数m ，n 的比是t(t ＞1)．若m+n=s ，则m ，n 中较小的数可以表示为 ( ) A.ts; Bs-ts; C.1ts s +; D.1s t+. 3.y>0时,3x y -等于( )A.-x xy ;B.x xy ;C.-x xy -;D.x xy -.4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a ，b ，c 的关系可以写成 ( )A ．a ＜b ＜cB ．(a b)2+(b c)2=0C ．c ＜a ＜bD ．a=b ≠c5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE ．则∠BAE 是∠BAC 的 ( ) A ．4倍 B ．3倍 C ．2倍 D ．1倍6．D 是等腰锐角三角形ABC 的底边BC 上一点，则AD ，BD ，CD 满足关系式( )A ．AD 2=BD 2+CD 2B ．AD 2＞BD 2+CD 2C ．2AD 2=BD 2+CD 2 D ．2AD 2＞BD 2+CD 2( ) 7.方程2191()1010x x -=+的实根个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．18.能使分式33x y y x-的值为1123的x 2、y 2的值是( ) A.x 2=1+3，y 2=2+3; B. x 2=2+3，y 2=2-3; C. x 2=7+43，y 2=7-43; D. x 2=1+23，y 2=2-3.9．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ．则x+y+z+u 的值为( )A ．17B ．15C ．13D ．11 10．两个质数a ，b ，恰好是x 的整系数方程x 2-21x+t=0的两个根,则b aa b+等于( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538.二、填空题（每题1分，共10分）1.1989×199119911991×19891988=______．2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．边数为a ，b ，c 的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111a b c++=_________.5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,则正整数a=_______.6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒出13升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD 中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是______． 8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______． 9.2243x x +++的最小值的整数部分是______.10．已知两数积ab≠1．且 2a2+1234567890a+3=0,3b2+1234567890b+2=0,则a=______.b三、解答题（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1．已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO∥FK，OH∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989(1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°．10．由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞2b，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK ∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。
“希望杯”数学邀请赛培训题(初二年级)附答案
“希望杯”数学邀请赛培训题初中二年级选择题（以下每个题的四个选择支中，仅有一个是正确的）1，已知,0〉-a b 且0≥a ，那么||222b a b ab a +-+- （ ） （A ）化简为0 （B ）化简为－b 2（C ）化简为－a 2 （D ）不能再化简2．已知a 是任意实数，有4个不等式：①a a 〉2；②a a 〉2；③22〉+a a ；④a a 〉+12，那么不等式关系一定成立的有（ ）个。
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43．已知关于x 的方程4)2(3)32(2-++=++m x x m m 有唯一解，那么m 的值的情况是（ ）。
（A ）2-=m （B ）0=m （C ）2-≠m 或0≠m （D ）2-≠m 且0≠m4．已知关于x 的方程22)1(a ax x a -=+的解是负数，那么a 的值的情况是（ ）（A ）1-≠a （B ）1〈a （C ）1〈a 且0≠a （D ）1〉a5．已知寻于任意有理数b a ,，关于y x ,的二元一次方程b a y b a x b a +=+--)()(都有一组公共解，则公共解为（ ） （A ）⎩⎨⎧==00y x （B ）⎩⎨⎧-==10y x （C ）⎩⎨⎧=-=01y x （D ）⎩⎨⎧==11y x6．设,2002200120012002,2001200020002001==N M 则N M 与的关系是（ ）（A ）N M ＝ （B ）N M 〉 （C ）N M 〈 （D ）1＝MN7．若b a ,为有理数且满足,322〈b a 那么22)()3(b a b a ++与3的大小关系是（ ）（A ）3)()3(22〈++b a b a （B ）3)()3(22〉++b a b a（C ）3)()3(22=++b a b a （D ）无法确定的8．已知a 为正数，且[],1)(=+++b b b a a a 则b a +的值是（ ） （A ）43 （B ）2 （C ）1 （D ）219．5个有理数中，若其中任意4个数的和都大于另一个数，那么这5个有理数中（ ）（A ）最多有4个是0 （B ）最多有2个是0（C ）最多有3个是0 （D ）最多有1个是010．把自然数n 的各位数字之和记为),(n S如++===+===42)(,247;1183)(,38n S n n S n 7＝13，若对于某些自然数满足 ,2007)(=-n S n 则n 的最大值是（ ）（A ）2025 （B ）2023 （C ）2021 （D ）201911．已知四个方程①0232=++x ；②0234=-x ；③03514=-+-x x ；④24=+-x x ，其中有实数解的方程的个数是（ ）个。
历届希望杯全国中学生数学竞赛试题
第三届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第三届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第四届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第四届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第五届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第五届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第七届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第七届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第八届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第八届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第九届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第九届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第十届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第十届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试。
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第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛
初二 第1试试题
2013年3月17日 上午8:30至10:00
一、选择题（每小题4分，共40分） 1．有下列五个等式：（ ） ①13+=x y ；②122-=x y ；③x y =
；④x y =；⑤x y =；其中，表示“y 是x 的函数”的有（ ）
（A ）1个． （B ）2个． （C ）3个． （D ）4个．
2．点()m ，7-和点()n ，8-都在直线62--=x y 上，则m 和n 的大小关系是（ ） （A ）n m >． （B ）n m <． （C ）n m =． （D ）不能确定的． 3．下列命题中，正确的是（ ） （A ）若0>a ，则a
a 1>
． （B ）若2
a a >，则1>a ．
（C ）若10<<a ，则2
a a >． （D ）若a a =，则0>a ．
4．若定义“⊙”：a ⊙b a b =，如3⊙283==2，则3⊙2
1等于（ ）
（A ）
81
． （B ）8． （C ）
61
． （D ）
2
3
．
5．以下关于平行四边形的判定中，不正确的是（ ）
（A ）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． （B ）两组对边分别相等的四边形是平行四边形． （C ）对角线相等的四边形是平行四边形． （D ）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
6．用一根长为a ，并且没有伸缩性的线围成面积为S 的等边三角形．在这个等边三角形内任取一点P ，则点P 到等边三角形三条边的距离之和为（ ） （A ）
a
S 2． （B ）
a
S 4． （C ）
a
S 6． （D ）
a
S 8．
7．若199199<<-x ，且100-=x m 的值为整数，则m 的值有（ ） （A ）100个． （B ）101个． （C ）201个． （D ）203个． 8．已知32+
=
x ，且()8614
8
+=+y x
x ，则y 的值是（ ）
（A ）10． （B ）15． （C ）20． （D ）30．
9．If a right triangle has edge lengths b a -，a ，and b a +（a and b are both positive integers ），then the perimeter of the triangle might be （ ）
（A ）60． （B ）70． （C ）80． （D ）90．
（英语小词典：right triangle 直角三角形；positive integers 正整数；perimeter 周长） 10．小王与小李约定下午3点在学校门口见面，为此，他们在早上8点将自己的手表对准，小王于下午3点到达学校门口，可是小李还没到，原来小李的手表比正确时间每小时慢4分钟．如果小李按他自己的手表在3点到达，则小王还需要等（ ）（正确时间）
（A ）26分钟． （B ）28分钟． （C ）30分钟． （D ）32分钟． 二、A 组填空题（每小题4分，共40分） 11．若1255
1
2=+x ，则()
=-+x
x 20122 ．
12．计算：=------1222222201120122013 ．
13．用边长为1cm 的小正方形在桌面上摆放成如图1所示的塔状图形，则第n 次所摆图形的周长是 cm ．（用关于n 的代数式表示）
14．有两个函数b ax y +=和5+=cx y ，学生甲求出它们图象的交点的正确坐标()23-，，学生乙因抄错c 而
得出交点坐标⎪⎭
⎫ ⎝⎛4143，，则函数b ax y +=的解析式是 ．
15．如图2，三个正比例函数的图象分别对应解析式：①ax y =，②bx y =，③cx y =，若将c b a ，，从小到大排列，则应当是 ．
16．如图3，在正方形ABCD 中，E 、G 、F 分别是AB 、AD 、BC 边上的点，若BE =2AE ，AG =1，BF =2，︒=∠90GEF ，则GF 的长是 ．
17．一个三角形的三条边的长分别是3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是3，23-x ，12-x ．若这两个三角形全等，则x 的值是 ．
18．有甲、乙、丙三种商品，购甲3件，乙7件，丙1件，需3.15元；购甲4件，乙10件，丙1件，需4.20元．若购甲、乙、丙各1件，则需 元． 19．设a ，b 是实数，且
a
b b
a
-=
+-
+11111，则b
a a
b +++++1111的值时 ．
20．将不大于20的正偶数分成两组，使得第一组中数的乘积能被第二组
中数的乘积整除，则商的最小值是 ．
三、B 组填空题（每小题8分，共40分）
21．数学老师用10道题作为一次课堂练习，课代表将全班同学的答题情况绘制成条形统计图，如图4所示．观察此图可知，每位同学答对的题的个数组成的样本众数是 ，中位数是 ． 22．方程312=+-x x 的解是 或 ． 23．若关于x 的方程
2
34
2
22
+=
-+
-x x mx x 有增根，则=m 或 ．
24．Let 20131=⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
x y x ，x and y are both positive integers ，then the largest value of y x + is ，the smallest value of y x + is ． （英语小词典：value 值） 25．已知00≠≥≥=++a c b a c b a ，，，则
a
c 的最大值是 ，最小值是 ．
附加题（每小题10分，共20分）
1．A 商品的单价是50元，B 商品的单价是60元，几所学校各付款1220元购买了这两种商品，任意2所学校购买的A 商品的数量都不同．则参加这次采购的学校最多有 所．
2．十进制中，右边的数码比左边的数码大的数叫做上升数，如134，258．那么三位数中的上升数有 个；在三位上升数中，3的倍数有 个．
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C A C C B B A C 题号 11 12 13 14
15 16
17 18 19 20 答案 -1 1 4n
1+-=x y
c<a<b
10
3
1.05 3 7 题号
21
22 24 25
答案 8；9 2；34
-
2013；507
2
1-；2-
题号 附加题1
附加题2 答案 4
84；30。