2012届高三数学一轮复习基础导航：9.3基本不等式

9.3基本不等式【考纲要求】1、了解基本不等式的证明过程.[来源:学科网ZXXK]2、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 【基础知识】1、基本不等式(1)222(,,a b ab a b R a b +≥∈=当且仅当时，等号成立），(2)a+b(,,2a b R a b +≥∈=当且仅当时，等号成立）变形公式：2()(,,2a b ab a b R a b +≤∈=当且仅当时，等号成立）基本不等式(2)常用来求最小值，其变形公式常用来求最大值；求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可。

2、使用基本不等式求最值时，要注意观察收集题目中的数学信息（正数、定值等），然后变形，配凑出基本不等式的条件。

[来源:学,科,网]3、使用基本不等式求最值，如果等号成立的条件不成立，就说明不能取到该最值，必须寻找另外的方法（如：函数的单调性和数形结合等）求最值。

【例题精讲】例1 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：∵a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ＋3. ∵a >0，b >0，c >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ＋3≥9.例2 某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f (n )表示前n 年的纯利润总和，(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)．(1)该厂从第几年开始盈利？(2)若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案更合算？解：由题意知f (n )＝50n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n ＋n n －12×4－72.＝－2n 2＋40n －72(1)由f (n )>0，即－2n 2＋40n －72>0，解得2<n <18. 由n ∈N *知，从经三年开始盈利． (2)方案①：年平均纯利润f n n ＝40－2⎝⎛⎭⎪⎫n ＋36n ≤16， 当且仅当n ＝6时等号成立．故方案①共获利6×16＋48＝144(万元)，此时n ＝6. 方案②：f (n )＝－2(n －10)2＋128. 当n ＝10，f (n )max ＝128.[来源:学科网ZXXK] 故方案②共获利128＋16＝144(万元)比较两种方案，获利都是144万元，但由于第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案更合算．9.3基本不等式强化训练【基础精练】1.设x 、y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y ＝1，则xy 的最小值为 ( )A ．4B ．4 3C ．9D ．162．设a >0，b >0.若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为 ( )A ．8B ．4C ．1 D.143．已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2 4．若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝ax ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过同一个定点，则当1a ＋1b取最小值时，函数f (x )的解析式是________．5.已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则 ( ) A ．ab ≤12 B ．ab ≥12 C ．a 2＋b 2≥2 D ．a 2＋b 2≤36．设a 、b 是正实数， 以下不等式 ①ab >2ab a ＋b ；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab>2恒成立的 序号为 ( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 7．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8.[来源:学科网ZXXK]8.某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0<t ≤30)的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出(如前10天的平均售出为f (10)10)的月饼最少为( )A ．18B ．27C ．20D ．169．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货 物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．10.若a 是2－b 与2＋b 的等比中项，则2ab |a |＋|b |的最大值为 ( )A. 2 B ．1 C.24 D.2211．若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ，当且仅当a x ＝by时取等号．利用以上结论，函数f (x )＝2x＋91－2x (x ∈(0，12))取得最小值时x 的值为( ) A ．1 B.15 C ．2 D.1312．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值 为________．13．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的 深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建 造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．[来源:学科网ZXXK]【拓展提高】1．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm 2，画面的宽与高的比为λ(λ<1)，画面的上下各留8 cm 的空白，左右各留5 cm 的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？2.为了提高产品的年产量，某企业拟在2010年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x 万件与投入技术改革费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2010年该产品的利润y 万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m 万元的函数；(2)该企业2010年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【基础精练参考答案】1.D 【解析】：由32＋x ＋32＋y ＝1可得xy ＝8＋x ＋y .∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)， 即xy －2xy －8≥0，可解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.2.B 【解析】：∵3是3a与3b的等比中项，∴(3)2＝3a ·3b. 即3＝3a ＋b，∴a ＋b ＝1.此时1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋(b a ＋a b )≥2＋2＝4(当且仅当a ＝b ＝12取等号)．[来源:]3.C 【解析】：(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋a ·x y ＋y x＋a≥a ＋1＋2a ·x y ·yx ＝a ＋2 a ＋1，当且仅当a ·x y ＝y x等号成立， 所以(a )2＋2a ＋1≥9，即(a )2＋2a －8≥0，得a ≥2或a ≤－4(舍)， 所以a ≥4，即a 的最小值为4. 4. f (x )＝(22－2)x ＋1＋1【解析】：函数f (x )＝ax ＋1＋1的图象恒过(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(12a ＋b )(1a＋1b )＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋ 2.当且仅当b ＝22a 时取等号，将b ＝22a 代入12a ＋b ＝1得a ＝22－2，故f (x )＝(22－2)x ＋1＋1.5.C 【解析】：法一：由a ＋b2≥ab 得ab ≤(a ＋b2)2＝1，又a 2＋b 2≥2ab ⇒2(a 2＋b 2)≥(a＋b )2⇒a 2＋b 2≥2.法二：(特值法)取a ＝0，b ＝2满足a ＋b ＝2，代入选项可排除B 、D.又取a ＝b ＝1满足a ＋b ＝2.但ab ＝1，可排除A.6.D 【解析】：∵a 、b 是正实数，∴①a ＋b ≥2ab ⇒1≥2ab a ＋b ⇒ab ≥2ab a ＋b.当且仅当a ＝b 时取等号，∴①不恒成立；②a ＋b >|a －b |⇒a >|a －b |－b 恒成立；③a 2＋b 2－4ab ＋3b2＝(a －2b )2≥0，当a ＝2b 时，取等号，∴③不恒成立；④ab ＋2ab≥2ab ·2ab＝22>2恒成立．7.证明：∵a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，[来源:] ∴(1a －1)(1b －1)(1c －1)＝(1－a )(1－b )(1－c )abc＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc≥2bc ·2ac ·2ababc＝8.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．8.A 【解析】：平均销售量y ＝f (t )t ＝t 2＋10t ＋16t ＝t ＋16t＋10≥18.当且仅当t ＝16t，即t ＝4∈等号成立，即平均销售量的最小值为18.9.5【解析】：设仓库建在离车站d 千米处，由已知y 1＝2＝k 110，得k 1＝20，∴y 1＝20d ，y 2＝8＝k 2·10，得k 2＝45，∴y 2＝45d ，∴y 1＋y 2＝20d＋4d 5≥2 20d ·4d5＝8， 当且仅当20d ＝4d5，即d ＝5时，费用之和最小．10.B 【解析】：∵a 是2－b 与2＋b 的等比中项， ∴a 2＝2－b 2⇒a 2＋b 2＝2.[来源:]根据基本不等式知2ab |a |＋|b |≤2|a |·|b ||a |＋|b |≤a 2＋b 22＝1.即2ab|a |＋|b |的最大值为1.11.B 【解析】：由a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y 得，f (x )＝222x ＋321－2x ≥(2＋3)22x ＋(1－2x )＝25.当且仅当22x ＝31－2x 时取等号，即当x ＝15时f (x )取得最小值25.[来源:学,科,网] 12.32【解析】：因为x >a ，所以2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥2 2(x －a )·2x －a ＋2a ＝2a ＋4，即2a ＋4≥7，所以a ≥32，即a 的最小值为32.13.【解析】：(1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162x米．[来源:学,科,网Z,X,X,K]则总造价f (x )＝400×(2x ＋2×162x )＋248×2x ＋80×162＝1 296x ＋1 296×100x＋12 960＝1 296(x ＋100x)＋12 960≥1 296×2 x ·100x＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x ＝100x(x >0)，即x ＝10时取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元． (2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<162x ≤16，∴1018≤x ≤16.设g (x )＝x ＋100x (1018≤x ≤16)， 由函数性质易知g (x )在上是增函数， ∴当x ＝1018时(此时162x＝16)，g (x )有最小值，即f (x )有最小值1 296×(1018＋80081)＋12 960＝38 882(元)．∴当长为16米，宽为1018米时，总造价最低，为38 882元．【拓展提高参考答案】1．【解析】：设画面的高为x cm ，宽为λx cm ，则λx 2＝4840，设纸张面积为S ，则有S ＝ (x ＋16)(λx ＋10)＝λx 2＋(16λ＋10)x ＋160＝5000＋4410⎝⎛⎭⎪⎫8λ＋5λ≥6760， 当且仅当8λ＝5λ时，即λ＝58时，S 取最小值，此时，高x ＝4840λ＝88 cm ，宽λx ＝58×88＝55 cm. 如果λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34，则上述等号不能成立．现证函数S (λ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34上单调递增．设23≤λ1<λ2≤34，则S (λ1)－S (λ2)＝4410⎝⎛⎭⎪⎫8λ1＋5λ1－8λ2－5λ2＝4410()λ1－λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫8－5λ1λ2，因为λ1λ2≥23>58⇒8－5λ1λ2>0，又λ1－λ2<0，所以S (λ1)－S (λ2)<0，故S (λ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34上单调递增，因此对λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34，当λ＝23时，S (λ)取得最小值．。