结构动力学数值算法
结构动力学_运动控制方程_分段解析法
结构动力学运动控制方程分段解析法1. 引言1.1 概述在工程领域中，结构动力学是研究结构物体受外界力或激励下的响应和振动特性的一门学科。
结构动力学广泛应用于建筑、桥梁、飞机等领域，对于确保结构物的安全性和稳定性具有重要意义。
随着现代科技的发展，运动控制方程在结构动力学中扮演着至关重要的角色。
通过运动控制方程，我们可以深入理解和预测结构物运动的规律，并为其设计合适的控制策略。
因此，研究和解析这些方程是结构动力学研究中必不可少的一部分。
1.2 文章结构本文将按照以下顺序进行组织和阐述：首先，在第二部分中，我们将简要介绍结构动力学的定义和原理，以及涉及到的动力学方程。
接着，在第三部分中，我们将详细介绍分段解析法作为一种常见的求解方法，包括其基本原理、算法步骤以及相关应用案例。
在第四部分中，我们将描述所设计实验的参数设置，并对实验结果进行分析和讨论。
最后，在第五部分中，我们将总结本文的主要结论，并展望未来研究方向。
1.3 目的本文的主要目的是通过对结构动力学和运动控制方程的介绍，以及分段解析法的应用案例分析，进一步加深对相关理论和方法的理解。
同时，希望为研究者提供一个清晰、系统的框架，以便于更好地理解和应用这些内容。
鉴于分段解析法在结构动力学领域具有广泛应用和良好效果，本文还旨在为读者提供相关方法在实际工程问题中的指导参考。
2. 结构动力学2.1 定义和原理结构动力学是一门研究物体在受到外部力作用下的运动规律的领域。
它主要涉及质点的运动学和动力学，以及刚体与弹性体的运动特性。
在结构工程中，结构动力学用于分析和预测建筑物、桥梁、飞机等工程结构在自然环境或人为作用下的响应情况，并提供相应的设计依据。
2.2 动力学方程结构动力学理论通过牛顿定律和哈密顿原理等基本原理推导出结构系统的运动方程。
这些方程描述了结构物各个部分之间的相互关系，并包括质量、刚度、阻尼等参数。
根据实际工程问题，可以选择合适的数值解法求解这些方程，从而得到结构系统随时间变化的运动状态。
结构动力学
m ∆t2
+
c 2∆t
⎞⎠⎟ui+1
=
pi
−
⎛ ⎝⎜
k
−
2m ∆t2
⎞⎠⎟ui
−
⎛ ⎝⎜
m ∆t2
−
c 2∆t
⎟⎞⎠ui−1
中心差分法的数值稳定性证明
设体系为无阻尼，并设外荷载p=0 (算法的稳定性与外荷载无关),则 中心差逐步积分法的递推公式可以写成如下形式：
u&0
=
u1 − u−1 2∆t
u&&0
=
u1
−
2u0 + u−1 ∆t 2
u−1
=
u0
−
∆tu&0
+
∆t 2 2
u&&0
u&&0
=
1 m
(
p0
−
cu&0
−
ku0 )
⎛
5中.3心中差心分差法分计法算步骤：⎜⎝
m ∆t 2
+
c 2∆t
⎞ ⎟⎠
ui
+1
=
pi
−
⎛ ⎜⎝
k
−
2m ∆t 2
⎞ ⎟⎠
ui
−
⎛ ⎜⎝
u&(τ ) = A1 + (ωD A3 − ζωn A2 )e−ζωnτ cosωDτ − (ωD A2 + ζωn A3 )e−ζωnτ sin ωDτ
其中，
A0
=
pi k
− 2ζαi kωn
,
A1
=
αi
k
,
A2 = ui − A0,
08结构动力学数值分析方法.pdf
1/87结构动力学教师：刘晶波助教：宝鑫清华大学土木工程系2016年秋2/87结构动力学第5章动力反应数值分析方法3/87主要内容：❑数值算法中的基本问题❑分段解析法❑中心差分法❑一般时域逐步积分法的构造❑Newmark —β法❑Wilson —θ法❑时域逐步积分算法的新发展❑结构非线性反应分析4/875.1数值算法中的基本问题5/875.1数值算法中的基本问题前面介绍了二种结构动力反应分析方法：时域分析方法—Duhamel 积分法，频域分析方法—Fourier 变换法。
●这两种方法适用于处理线弹性结构的动力反应问题。
当外荷载为解析函数时，采用这两种方法一般可以得到体系动力反应的解析解，当荷载变化复杂时无法得到解析解, 通过数值计算可以得到动力反应的数值解。
●这两种分析方法的特点是均基于叠加原理，要求结构体系是线弹性的，当外荷载较大时，结构反应可能进入物理非线性(弹塑性)，或结构位移较大时，结构可能进入几何非线性，这时叠加原理将不再适用。
此时可以采用时域逐步积分法求解运动微分方程。
6/875.1 数值算法中的基本问题时域逐步积分法——Step-by-step methods 结构动力反应分析的时域直接数值计算方法：（1）分段解析法；（2）中心差分法；（3）平均加速度法；（4）线性加速度法；（5）Newmark －β法；（6）Wilson －θ法；（7）Houbolt 法；（8）广义α法；•••••••••时域逐步积分法是结构动力分析问题中一个得到广泛研究的课题，也是得到广泛应用的计算方法。
7/875.1 数值算法中的基本问题采用叠加原理的时域和频域分析方法（Duhamel 积分，Fourier 变换），假设结构在全部反应过程中都是线性的，而时域逐步积分法，只假设在一个时间步距内是线性的，相当于用分段直线来逼近实际的曲线。
时域逐步积分法研究的是离散时间点上的值，例如位移和速度为：而这种离散化正符合计算机存贮的特点。
结构动力学克拉夫
结构动力学克拉夫结构动力学是研究结构在外力作用下的变形和运动规律的学科。
它能够揭示结构的响应特性，并应用于工程和建筑物的设计、分析和优化等领域。
在结构动力学中，克拉夫方法是一种常用的数值分析方法，可以有效地求解结构的动力响应。
下面将详细介绍克拉夫方法的原理和应用。
克拉夫方法是一种离散激励动力分析方法，适用于求解线性多自由度系统的动力响应。
克拉夫方法的基本原理是离散化结构，将其简化为一系列互相连接的质点，然后通过求解质点的加速度、速度和位移来获取结构的动态特性。
克拉夫方法中引入了模态分析的概念，将结构的振型表示为一系列正交的模态，并通过求解每个模态的响应来得到结构的总响应。
在应用克拉夫方法进行结构动力分析时，首先需要建立结构的有限元模型。
该模型需要包括结构的几何形状、材料特性和边界条件等信息。
然后，通过解结构的动力方程可以得到结构的模态频率和振型。
一般情况下，结构的模态频率并不是均匀分布的，其中低频模态对结构的响应起主导作用。
因此，在求解结构的总响应时，可以只考虑前几个重要的低频模态。
在进行克拉夫分析时，需要给定一个外力激励。
这个外力激励可以是单个点的冲击载荷、均匀分布的动力载荷或者地震作用等。
通过将外力激励进行傅里叶变换，可以将其转化为频域中的振动谱。
然后，根据每个模态的频率和阻尼比，可以得到每个模态的响应谱。
最后，通过叠加所有模态的响应谱，可以得到结构的总响应谱。
这个总响应谱描述了结构在给定的外力激励下的动力响应特性。
克拉夫方法的优点是能够考虑结构的动态特性和边界条件，同时对结构的几何形状和材料特性并不敏感。
它可以用来分析和优化各种类型的结构，包括桥梁、建筑物、风力发电机塔等。
克拉夫方法可以帮助工程师预测结构的响应，并在设计阶段进行结构的优化，以提高结构的稳定性和安全性。
然而，克拉夫方法也有一些局限性。
首先，克拉夫方法仅适用于线性多自由度系统，对于非线性或者含有阻尼的系统，需要进行额外的处理。
结构动力学数值算法
K xn1 Qn1
参数不同选取包含着三个经典算法
1）
1 2
，
1 4
Newmark 平均加速度法， 梯形公式
2）
1 2
，
1 6
Newmark 线加速度法
3）
1 2
，
0
中心差分法
纽马克法的解题步骤
初始值计算
（1）形成系统矩阵 K，M 和 C
（2）定初始值
x0
，
.
x0
，
..
x0
。
（3）选择时间步长 t ，参数 、 （按上页选）。
其中 A1，A2，A3 为该矩阵的三个特征向量，分 别为矩阵的迹的一半、各阶主子式的和以及矩阵的 行列式，分别表达如下：
A1
18
6
32 2
3 2
(2 2
32
6)
2
32
A2
42
32 3 62 2 18 (2 2 6)
12
A3
6
6
2 32 (2 2
2 2
6)
3
32
此外，在几个不同时刻应用数值算法，然后将
（2）求解 t t 时刻的位移
(LDLT )xtt Qtt
（3）计算 t t 时刻的加速度和速度
..
.
..
xtt a0 (xtt xt ) a2 xt a3 xt
.
.
..
..
xtt xt a6 xt a7 xtt
5.1.2 威尔逊- 法的解题步骤 1. 初始值计算 （1）形成系统矩阵 K，M 和 C
如果算法的稳定性要求对步长的选取有限制，称 算法是有条件稳定的，反之为无条件稳定的。
判断方法：放大矩阵的谱半径小于等于 1 成立的 充分条件是
结构动力学中的常用数值方法
第五章 结构动力学中的常用数值方法5．1．结构动力响应的数值算法....0()(0)(0)M x c x kx F t x a x v ⎧++=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩当c 为比例阻尼、线性问题→模态叠加最常用。
但当C 无法解耦，有非线性存在，有冲击作用（激起高阶模态，此时模态叠加法中的高阶模态不可以忽略）。
此时就要借助数值积分方法，在结构动力学问题中，有一类方法称为直接积分方法最为常用。
所识直接是为模态叠加法相对照来说，模态叠加法在求解之前，需要对原方程进行解耦处理，而本节的方法不用作解耦的处理，直接求解。
（由以力学，工程中的力学问题为主要研究对象的学者发展出来的）中心差分法的解题步骤1. 初始值计算（1） 形成刚度矩阵K ，质量矩阵M 和阻尼矩阵C 。
（2） 定初始值0x ，.0x ，..0x 。
（3） 选择时间步长t ∆，使它满足cr t t ∆<∆，并计算 021()a t =∆，112a t=∆，202a a =（4） 计算...0011122t x x x x a a -∆=-+（5） 形成等效质量阵01M a M a C -=+ （6） 对M -阵进行三角分解T M LDL -= 2．对每一时间步长（1） 计算时刻t 的等效载荷21()()t t t tt Q Q K a M x a Ma C x --∆=---- （2） 求解t t +∆时刻的位移 ()Tt t t L D L x Q -+∆=（3） 如需要计算时刻t 的速度和加速度值，则.1()t t t t t x a x x +∆-∆=-..0(2)t t t t t t x a x x x +∆-∆=-+若系统的质量矩阵和阻尼矩阵为对角阵时，则计算可进一步简化。
纽马克法的解题步骤1.初始值计算（1）形成系统刚度矩阵K ，质量矩阵M 和阻尼矩阵C（2）定初始值0x ，.0x ，..0x 。
（3）选择时间步长t ∆，参数γ、σ。
建筑结构动力学分析与优化
建筑结构动力学分析与优化建筑结构动力学是研究建筑物在外部力作用下的振动特性及其对结构性能的影响的学科。
通过动力学分析与优化，可以确保建筑物在受到地震、风载等外部力作用时具有良好的稳定性和抗震性能，保障人员生命安全和财产安全。
本文将从动力学分析的基本原理、优化方法以及应用实例三个方面进行论述。
一、动力学分析的基本原理建筑结构的动力学分析主要包括模型建立、载荷确定和响应计算三个步骤。
模型建立：建筑结构的动力学分析通常使用有限元法进行数值计算。
首先，需要根据实际建筑物的几何形状和材料性质，建立数学模型，并将建筑物划分为离散的有限元。
然后，根据结构的自由度选择适当的元素类型，进行节点和单元的编号，建立有限元模型。
载荷确定：在动力学分析中，主要考虑地震荷载和风荷载对建筑物的作用。
地震荷载可通过地震波的反应谱法确定，其中包括地震波的地面运动加速度响应谱、波重组和结构响应计算。
风荷载可通过风洞试验和数值模拟获得，考虑风速、风向、建筑物高度等因素。
响应计算：在完成模型建立和载荷确定后，可以通过数值计算方法进行响应计算。
主要包括模态分析、时程分析和频率响应分析等方法。
模态分析用于确定建筑物的固有振动频率和振型，时程分析用于模拟地震或风荷载的时间历程，并计算结构的响应结果。
频率响应分析则可以用于考察结构在特定频率下的响应情况。
二、优化方法在动力学分析中的应用优化方法是在规定的约束条件下，寻求最优解的一种数学方法。
在建筑结构动力学分析中，优化方法可以应用于结构的设计和参数的优化。
结构设计优化：通过对建筑结构设计进行优化，可以提高结构的性能和节约材料成本。
优化方法可以通过调整结构的截面尺寸、布置方案以及材料参数等来实现。
常用的优化算法包括遗传算法、粒子群算法和模拟退火算法等。
参数优化：在建筑结构动力学分析中，存在许多影响结构响应的参数。
通过优化这些参数，可以得到结构的最佳性能。
例如，可以通过调整建筑物的阻尼比来控制结构的振动响应。
结构动力学模型修正的三步策略及其实践
结构动力学模型修正的三步策略及其实践结构动力学模型是用于分析和研究结构的动力行为的数学模型。
尽管结构动力学模型在很多情况下可以提供准确的结果，但由于结构的复杂性和工程实际情况的不确定性，模型的修正是非常必要的。
本文将介绍结构动力学模型修正的三步策略，并阐述其实践。
第一步是模型参数的修正。
模型参数的修正主要是通过与实测数据进行比较来确定。
首先，需要进行环境激励测试，如使用人工激励或天然地震等方式对结构进行加速度响应测试。
然后，将实测数据与模型响应进行比较，并通过优化算法（如最小二乘法或遗传算法）来确定模型参数。
模型参数的修正可以包括质量、刚度、阻尼等参数的调整，以使模型响应与实测数据尽可能接近。
参数的修正不仅可以提高模型的准确性，还可以揭示结构的动力行为。
第二步是模型结构的修正。
模型结构的修正主要是在模型的几何构造和材料特性方面进行调整。
首先，需要对结构进行实测，并将实测结果与模型结果进行比较。
如果模型的动力响应与实测结果不符，就需要对结构的几何构造和材料特性进行修正。
例如，可以进行模型的网格划分调整以提高模型的精度，或者对材料特性进行修正，如杨氏模量、泊松比等参数的调整。
模型结构的修正可以使得模型更加贴近实际结构，从而提高模型的准确度。
第三步是数值算法的修正。
数值算法的修正主要是通过对求解结构动力学方程的数值方法进行改进来提高模型的准确性。
常用的数值求解方法包括频域分析、时域分析等。
在进行数值算法的修正时，可以采用更加精确的数值求解方法，如改进的辛方法或改进的双曲正弦方法等。
此外，还可以通过减小时间步长或增加采样点数来提高数值解的准确性。
数值算法的修正可以提高模型的计算稳定性和精度，从而提高模型的准确性。
以上是结构动力学模型修正的三步策略及其实践方法。
模型参数的修正可以通过与实测数据的比较来进行；模型结构的修正可以通过实测结果的比较来进行；数值算法的修正可以通过改进数值求解方法或减小时间步长来进行。
结构动力学方程的显式与隐式数值计算
将 时 间域 ０～ 等分 为 个 时 间间隔 △ （ ｔ ／ ） 假 Ａ ＝Ｔ ｎ ，
执 行 。近年来 发 展 了一些 行 之 有效 的解 决 方 法 ， 中 其 显 式积 分格式 对 于强载荷 条 件下 的非线 性结 构动 力分 析最为 有效 。 本 文从理 论 上详 细推 导 了动力 学方 程 的显 式 隐式 时间积 分格 式 ， 对 经 典 显 式 积分 格 式 在 求解 含 阻 尼 针
＝ ＋
Ｍ ＝∑ ：∑ ｐ Ｔｄ ＮＮ Ｖ
收 稿 日期 ：０ ９ Ｏ — ２ ２０ 一 ８ １
＝
＋
譬
作者简介 ： 李初哗 （９ ６一） 男 ， １６ ， 山东潍坊人 ， 高级工程师 ， 研究方向为大型结构 的有 限元分析和优 化计算 。
２１ ０ ０年 １月
李初哗 等 ： 结构动力学 方程的显式与隐式数值计算
中图分类号 ： ２２ ２ ０ ４ ．
文献标 识码 ： Ａ
文章编号 ：６ １ ６ ４ （ ００ ０ ． ０ ８ ０ １７ — ５ Ｘ ２ １ ） １ ０５ ． ５
引言
动力 学方 程 的求解 效 率 、 算 精 度 、 计 收敛 性 、 定 稳 性是设 计 有 限元 分 析 软 件 考 虑 的 主要 问 题 ， 如果 不考 虑材料 、 态和 几何 非线 性 ， 状 动力 学方 程从 形式 上 可看
李初晔 ， 王增新
（ 北京航 空制造工 程研 究所 ， 北京 １０ ２ ） ００４
摘 要： 从理论上详细推导 了动力学方程的显式隐式时间积分数值 计算方法 ， 对经典 中心差分格 针
式在 求 解 阻尼 结 构 计 算 效 率 降低 的 问题 ， 究提 出 了一 种 新 的 显 式 积 分 格 式 ， 论 证 明该 数 值 积 分 研 理
结构动力学方程常用数值解法教学文案
结构动力学方程常用数值解法结构动力学方程常用数值解法对于一个实际结构，由有限元法离散化处理后，动力学方程可写为：...M x C x Kx F t++=()从数学角度看，这是一个常系数的二阶线性常微分方程组，计算数学领域，常微分数值算法常用的有两大类：－、针对一阶微分方程数值积分法发展的欧拉法，中点法，Rugge-kutta（龙格—库塔）方法。
二、直接基于二阶动力学方程发展的方法。
对结构动力学问题的数值求解，常用的有两大类：一是坐标变换法，它是对结构动力方程式，在求解之前，进行模态坐标变换，实际上就是一种Rize变换，即把原物理空间的动力方程变换到模态空间中去求解。
现在，普遍使用的方法是模态（振型）迭加法。
二是直接积分法，它是对结构动力方程式在求解之前不进行坐标变换，直接进行数值积分计算。
这种方法的特点是对时域进行离散，然后将该时刻的加速度和速度用相邻时刻的各位移线性组合而成。
通常又称为逐步积分法。
模态迭加方法，比较常用，但如下情况通常使用直接积分方法（即求解之前不进行模态分析）一、非比例阻尼，非线性情况。
二、有冲击作用，激起高频模态，力作用持续时间较短，模态迭加计算量太大。
一振型迭加法与Duhamel积分数值解按照有限单元法的一般规则, 经过边界条件的约束处理, 结构在强迫振动时多自由度体系的运动平衡方程可以表示为:&&& (1)++=MU CU KU R其中, M 是体系的质量矩阵, C 是体系的阻尼矩阵, 而K 则是刚度矩阵. R 为外荷载向量. U 、U &和U &&则分别是体系单元节点的位移、速度和加速度向量. 上述动力平衡方程实质上是与加速度有关的惯性力MU &&和与速度有关的阻尼力CU &及与位移有关的弹性力KU 在时刻t 与荷载的静力平衡。
振型叠加法是把多自由度体系的结构的整体振动分解为与振型次数相对应的单自由度体系, 求得各个单自由度体系的动力响应后, 再进行叠加得出结构整体响应. 振型叠加法原理是利用结构无阻尼自由振动的振型矩阵作为变换矩阵, 将结构动力方程式(1)式变换成一组非耦合的微分方程. 逐个地求解这些方程后, 将解叠加即可得到动力方程的解。
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A1
1 2
traceA
1 2
( A11
A22 ) ,
A2 det A A11A22 A12 A21
对 Newmak 方法有：
[1 (2 1) ( v 1)2 ]
A1
24 D
,
[1 (2 2) ( 1)2]
1）模态迭加
2）直接积分
模态迭加方法，比较常用，但如下情况通常使用
直接积分方法（即求解之前不进行模态分析）
i) 非比例阻尼，非线性情况。
ii) 有冲击作用，激起高频模态，力作用持续时间
较短，模态迭加计算量太大。
Newmark 类方法
1）
x(tn1 )
x(tn
)
t
x&(tn
)
1 2
t
2 &x&(tn
， a1
t
a3
1
2
1 ， a4
1， a5
t 2
(
2)
a6 t(1 ) ， a7 t
（4）形成等效刚度矩阵 K
K K a0M a1C
（5） K 矩阵进行三角分解
2.对下一时间步
K LDLT
（1）计算 t t 时刻的等效载荷
.
..
.
..
Qtt Qt M (a6xt a2 xt a3 xt ) C(a1xt a4 xt a5 xt )
x(tn 1 )
x(tn )
t
.
x(tn )
t 2 3
..
x(tn )
t 2 6
..
x(tn1)
O(t 4 )
.
x(tn1)
.
x(tn )
t 2
..
x(tn )
t 2
..
x(tn1)
O(t3)
1）可以直接略去高阶项 2）用变权来调节
xn1
xn
tx&n
[( 1 2
)
&x&n
&x&n1]t 2
刻的近似值。两个离散时刻间隔称为步长，步长可
以相同（等步长），也可以不同（变步长）。
计算数学领域，常微分数值算法常用的有两大类
1） 针对一阶微分方程数值积分法发展的欧拉法，
中点法，Rugge-kutta（龙格—库塔）方法。
2）直接基于二阶动力学方程发展的方法
对结构动力学问题的数值求解，常用的有两大类
结构动力学
第五章 结构动力学数值算法
主讲教师：于开平 哈尔滨工业大学航天学院
5.1 结构动力学中常用数值方法
M
..
.
x C x Kx
x(0) x0
F (t)
.
x(0) v0
基本思想：首先给定待求时间长度 T，t [0,T]，
在其中取一系列离散点（i=0,1,…,n），我们不去求
x(t)，只求 x(ti ) 即可，即给出待求响应在各离散时
yn An y0
显然计算的第 n 步的值与 A 直接有关。 例如，Newmak 方法：
A At1 Ad
1 h22
At
h
2
2h2
1
2h
，
Ad
1
h2 2
(1 2 )2
h(1 )2
h[1 h(1 2 )]
1 2h(1 )
矩阵 A 的特征多项式为
det(A I ) 2 2A1 A2 0
x&n1 x&n [(1 )&x&n &x&n1]t
然后假设在 tn1 时刻近似满足运动方程
M&x&n1 Cx&n1 Kxn1 Fn1
通过变换将速度和加速度用位移表示，代入运动方
程，只剩 n+1 时刻位移一个未知数，得
K xn1 Qn1
参数不同选取包含着三个经典算法
1）
1 2
，
分别在相邻的不同时刻应用算法可得如下一般形式
yk1 Ayk Lk
A
为放大矩阵或称逼近算子， 为载荷逼近算子。 Lk
yk
xk , xk1,
xT k m1
yk1 xk1, xk , xkm T
有的也 定义为 yk
xk , hvk
T或
xk , hvk , h2ak
T
对自由振动情况有
（2）求解 t t 时刻的位移
(LDLT )xtt Qtt
（3）计算 t t 时刻的加速度和速度
..
.
..
xtt a0 (xtt xt ) a2 xt a3 xt
.
.
..
..
xtt xt a6 xt a7 xtt
5.1.2 威尔逊- 法的解题步骤 1. 初始值计算 （1）形成系统矩阵 K，M 和 C
.
..
（2）定初始值 x0 ， x 0 ， x 0 。
（3）选择时间步长，并计算积分常数
1.4
a0
6
(t)2
， a1
3
t
， a2
2a1
a3ห้องสมุดไป่ตู้
t
2
， a4
a0
， a5
a2
a6
1 3
， a7
t 2
， a8
t 2 6
（4）形成等效刚度
K
K K a0M a1C
（5）将等效刚度进行三角分解
K LDLT
对线性结构动力学问题，已经有证明对整个 多自由度的积分，等价于将模态分解后对单自由 度的积分的结果进行模态叠加，因此可以通过对 单自由度问题的分析，来说明算法的特性，其中 阻尼均假设为比例阻尼。
5.2.1 算法用于结构动力学方程的有限差分表示
x 2 x 2 x f (t)
以下算法的性能分析，均将算法用于这个方程。
2.对每一个时间步长
（1）计算 t t 时刻的等效载荷
.
..
Rtt Qt (Qtt Qt ) M (a0xt a2 xt 2 xt )
.
..
C(a1xt 2 xt a3 xt )
（2）求解 t t 时刻的位移
(LDLT )xtt Rtt （3）计算在 t t 时刻的加速度、速度和位移
1 4
Newmark 平均加速度法， 梯形公式
2）
1 2
，
1 6
Newmark 线加速度法
3）
1 2
，
0
中心差分法
纽马克法的解题步骤
初始值计算
（1）形成系统矩阵 K，M 和 C
（2）定初始值
x0
，
.
x0
，
..
x0
。
（3）选择时间步长 t ，参数 、 （按上页选）。
并计算积分常数:
a0
1
t 2
..
.
..
xtt a4 (xtt xt ) a5 xt a6 xt
x&tt x&t a7 (&x&tt &x&t )
xtt xt tx&t a8 (&x&tt &x&t )
5．2 结构动力响应数值算法性能分析
算法数值计算结果如何评价，针对不同的结 构动力响应计算问题应该如何选择更合适的算法 等是非常重要的问题。这就需要深入研究算法的 数值计算性能，也就是算法的计算精度、稳定性 等。
)
1 6
t
3&x&&(tn
)
O(t
4
)
2）
.
x(tn 1 )
.
x(tn
)
t
..
x(tn
)
1 2
t
2
...
x(tn
)
O(t
3)
..
..
...
3） x(tn1) x(tn ) t x(tn ) O(t 2 )
..
..
由 3）得
...
x(tn )
x(tn1) t
x(tn )
O(t) 代入
1），2）得