数字控制器的离散化设计技术

摘要综合引言技术方法简介与分析仿真分析总结参考文献控制器就是自动化控制系统的核心。

控制器的任务是按照一定的控制规律，产生满足工艺要求的控制信号，以输出驱动执行器，达到自动控制的目的。

在传统的模拟控制系统中，控制器的控制规律或控制作用是由仪表或电子装置的硬件电路完成的，而在计算机控制系统中，除了计算机装置以外，更主要的体现在软件算法上，即数字控制器的设计上。

最少拍控制器是基于准确的被控对象而建立的一种控制算法。

随动系统是一种速度跟踪系统，它的主要性能指标是快速性，要求系统的输出值尽快地跟踪给定值地变化。

应用数字控制器设计的随动系统的快速性一般以系统需要多少个采样周期数来表征。

通常称一个采样周期为一拍，无疑在越少的拍数内，系统的输出能跟上给定值，则系统的快速性越好。

最少拍控制就是为满足这一要求的一种离散化设计方法。

所谓最少拍控制，就是要求闭环系统对于某个典型的输入，设计D(z)使闭环系统响应在最少的采样周期内（最少拍）达到采样点上无静差的稳态，且闭环脉冲传递函数具有以下形式：Φ(z)= Φ1z-1+Φ2z-2+…ΦN z-N其中N为可能情况下的最小正数。

这一形式表明闭环系统的脉冲响应在N个采样周期后变为零，即系统在N拍之内达到稳定。

关键词：离散化设计最小拍数字控制综合引言控制器的发展概述：在计算机开始应用于控制系统之前，工业控制系统主要有具备简单测量控制功能的就地式气动仪表来监控，用气动和液压执行元件，比如气缸、气泵、液压缸、液压泵、液压马达等驱动设备。

实际上一直到现在，这些元件仍然是控制系统中重要的组件，在很多轻工业和中小企业里，还是基本的控制组件。

随着电气化和电子化以及计算机和通信技术的发展，计算机控制技术和系统逐渐进入工业控制领域，并迅速成为了主流技术，它不仅直接用于生产的自动化监控，而且也是企业上层管理信息系统的数据源和基础核心模块。

常用的控制器：通用工业控制计算机即工业PCDCS工控机PLC（取代继电器线路和以进行顺序控制为主）嵌入式工控机控制系统的发展趋势：由于现代控制工程中有如下一些特点：不确定模型高度非线性复杂的任务要求所以对控制系统有了更高的要求，智能控制系统应运而生，应用普遍的有：模糊控制神经元网络控制先进工程控制技术方法简介与分析离散系统设计是指在给定系统性能指标的条件下，设计出控制器的控制规律和相应的数字控制算法。

其实，设计离散系统（即计算机控制系统），主要就是设计数字控制器。

离散化设计方法（直接数字设计法）：该方法将被控对象和保持器组成的连续部分离散化，求出系统的脉冲传递函数，然后直接应用离散控制理论的一套方法进行分析和综合，设计出满足控制指标的数字控制器。

数字控制器的离散化设计步骤数字控制器的连续化设计是把计算机控制系统近似看作连续系统，所用的数学工具是微分方程和拉氏变换；而离散化设计是把计算机控制系统近似看作离散系统，所用的数学工具是差分方程和Z 变换，完全采用离散控制系统理论进行分析，直接设计数字控制器。

计算机采样控制系统基本结构如图1所示。

图中G0(s)是被控对象的传递函数，H(s)是零阶保持器的传递函数，G(z)是广义被控对象的脉冲传递函数，D(z)是数字控制器的脉冲传递函数， R(z)是系统的给定输入，C(z)是闭环系统的输出，φ(z)是闭环系统的脉冲传递函数。

零阶保持器的传递函数为：s e s H Ts--=1)( （5-1） 广义被控对象的脉冲传递函数为：[])()()(0s G s H Z z G = （5-2）由图可以求出开环系统的脉冲传递函数为：)()()()()(z G z D z E z C z W ==（5-3）闭环系统的脉冲传递函数为：计算机采样控制系统基本结构图()()()()()1()()C z D z G z z R z D z G z Φ==+ （5-4）误差的脉冲传递函数为：()1()()1()()e E z z R z D z G z Φ==+ （5-5）显然)(1)(z z e Φ-=Φ （5-6）由式（5-4）可以求出数字控制器的脉冲传递函数为：)](1)[()()(z z G z z D Φ-Φ=（5-7）如果已知被控对象的传递函数G0(s)，并且可以根据控制系统的性能指标确定闭环系统的脉冲传递函数φ(z)，由上式可以得到离散化方法设计数字控制器的步骤：（1）根据式（5-2）求出广义被控对象的脉冲传递函数G(z)。

（2）根据系统的性能指标要求和其它约束条件，确定闭环系统的脉冲传递函数φ(z)。

（3）根据式（5-7）求出数字控制器的脉冲传递函数D(z)。

（4）根据数字控制器的脉冲传递函数D(z)，求出差分方程，编写控制程序。

（5）与硬件连接，进行系统调试。

自动控制系统中，有三种典型的输入形式，本章提到的输入信号一般是指典型输入，其表示形式为：（1）单位阶跃输入：111)(1)()(1)(--===z z R s s R t t r ，， （2）单位速度输入（单位斜坡输入）：2112)1()(1)()(---===z Tz z R s s R t t r ，，（T 为采样周期）（3）单位加速度输入：3111232)1(2)1()(1)(21)(----+===z z z T z R s s R t t r ，，由此得到典型输入信号Z 变换的一般形式q z z A z R )1()()(1--=（5-8）式中A(z)是R(z)中不包含(1-z-1)因子的关于z-1的多项式，q 是输入信号因子，只能取正整数，上面的三种典型输入中，q 分别取1，2，3。

最少拍无差随动系统的设计在采样过程中，称一个采样周期为一拍。

计算机控制系统中，往往要求系统的输出能够以最快的响应速度准确跟踪期望值的变化，最少拍控制就是根据这个要求提出的一种设计方法。

最少拍无差数字控制器的设计任务就是根据式（5-7）求出数字控制器的脉冲传递函数D(z)，使闭环系统在某种特定的典型输入作用下，能以最少拍结束响应过程，而且在采样时刻系统不存在稳态误差，输出能够准确地跟踪输入。

因此最少拍无差系统的闭环脉冲传递函数形式为：nn z a z a z a z ---+++=Φ 2211)( (5-9)式中n 是使系统在有限拍内达到稳态无静差的所有设计中所能取的最小正整数。

从其表现形式可以看出，闭环系统的脉冲响应经过n 个采样周期后变为零，即系统在n 拍达到稳态。

为使所设计的控制器满足最少拍特性，在设计中提出以下具体要求： （1）快速性要求在各种使系统在有限拍内达到稳态无静差的所有设计中，n 取最小正整数，也就是说系统的调节时间最短，达到稳态所需要的采样周期最少。

（2）无静差要求也就是系统的准确性要求，对于特定的典型输入，当系统达到稳态，其闭环输出在采样时刻能够准确的跟踪输入，系统不存在静差，即c(kT)=r(kT)，e(kT)=0。

（3）数字控制器的物理可实现性要求最少拍数字控制器应该是物理可实现的，即数字控制器的输出只与当前的输入信号、以前的输入和输出信号有关，而与将来的输入信号无关。

（4）稳定性要求经过最少拍控制，闭环系统必须是稳定的。

典型输入下理想最少拍无差系统的设计1、典型输入下理想最少拍无差系统的闭环脉冲传递函数φ(z)的确定典型输入是指输入信号的脉冲传递函数R(z)具备式（5-8）的Z 变换形式，“理想”是指被控对象为不带纯滞后的稳定环节，即其脉冲传递函数G(z)不存在单位圆上以及单位圆外的零极点，并且不含纯滞后环节。

由式（5-5）和（5-6）可知，系统的偏差E(z)为：[])()(1)()()(z R z z R z z E e Φ-=Φ= （5-10）由最少拍无差设计的准确性要求，稳态误差应该为零，根据终值定理，系统的稳态误差为：[])()(1)1(lim )()1(lim )(1111z R z z z E z e z z Φ--=-=∞-→-→[]0)1()()(1)1(lim 111=-Φ--=--→qz z z A z z （5-11）因为A(z) 不包含(1-z-1)，所以欲使上式为零，必须使)()1()(1)(1z F z z z p e --=Φ-=Φ 且p ≥q （5-12）式中F(z)是关于z-1的待定系数多项式。

所以)()1(1)(1z F z z p---=Φ 且p ≥q （5-13） 由最少拍无差设计的快速性要求，φ(z)应具备式（5-9）的表现形式，其常数项为0，n 取最小值，所以 F(z)=1，p=q因此最少拍无差控制器设计时应选择φ(z)和φe (z)为：qe q z z z z )1()()1(1)(11---=Φ--=Φ (5-14)此时最少拍无差数字控制器的脉冲传递函数D(z)为:q qz z G z z z G z z D )1)(()1(1)](1)[()()(11-----=Φ-Φ= (5-15)2、三种典型输入下的理想最少拍无差控制系统设计与分析 （1）单位阶跃输入此时111)(--=z z R ，输入信号因子q=1，带入式（5-14）得：11111)1()()1(1)(-----=-=Φ=--=Φz z z z z z q e q因此有：1)()()(=Φ=z R z z E e即 0e(2)e(1)1e(0)==== ， 进一步求出闭环系统的输出：+++=-=Φ=-----321111)()()(z z z z z z R z z C即 1c(2)c(1)0c(0)==== ，针对单位阶跃输入，最少拍无差控制使系统只需一拍就可以达到稳态，在采样点上输出能准确地跟踪输入，静差为零，过渡过程结束。

此时控制器的脉冲传递函数为：)1)(()](1)[()()(11---=Φ-Φ=z z G z z z G z z D（2）单位速度输入此时211)1()(---=z Tz z R ，输入信号因子q=2，带入式（5-14）得：21121211)1()1()(2)1(1)1(1)(-------=-=Φ-=--=--=Φz z z z z z z z q e q因此有： 121121)1()1()()()(----=--=Φ=Tz z Tz z z R z z E e即 0)4()3(e(2)e(1)0e(0)===== e e T ，， 进一步求出闭环系统的输出：21121)1()2()()()(------=Φ=z Tz z z z R z z C+++=---432432Tz Tz Tz即 T ，T ，T ，4c(4)3c(3)2c(2)0c(1)c(0)=====， 针对单位速度输入，最少拍无差控制使系统只需两拍就可以达到稳态，满足设计的准确性和快速性要求。