【卓顶精品】最新省高考数学正余弦定理.doc
高考数学专题讲解：正余弦定理
高考数学专题讲解：正余弦定理 第一章：正余弦定理知识点与推导【知识点一】：正弦定理。
内容：在三角形中，每一条边与对角正弦的比值相等，相等的比值等于三角形外接圆直径。
关系式：ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,。
满足：r CcB b A a 2sin sin sin ===，其中r 2为三角形外接圆直径。
证明：①BbA a sin sin =。
过点C 作AB 的垂线，垂足为D 。
如下图所示：在ACD Rt ∆中：A b CD b CD A sin sin =⇒=；在BCD Rt ∆中：B a CD a CDB sin sin =⇒=。
AaB b B a A b CD sin sin sin sin =⇒==。
证明：②r Aa2sin =，其中r 2为三角形外接圆直径。
如下图所示：根据直径所对的圆周角等于009090=∠⇒BCD 。
在BCD Rt ∆中：r Dar a D BD BC D 2sin 2sin sin =⇒=⇒=。
根据所对弧长相同的两个圆周角相等D A D A sin sin =⇒=⇒，r Aar D a 2sin 2sin =⇒=。
【知识点二】：余弦定理。
内容：在三角形中，一条边的平方等于另外两条边的平方和减去二倍两边乘积再乘以夹角余弦。
关系式：ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,。
满足：①A bc c b a cos 2222-+=；②B ac c a b cos 2222-+=；③C ab b a c cos 2222-+=。
证明：A bc c b a cos 2222-+=。
过点C 作AB 的垂线，垂足为D 。
如下图所示：在ACD Rt ∆中：A b CD b CD A sin sin =⇒=；A b c AD AB BD A b AD bADA cos cos cos -=-=⇒=⇒=。
在BCD Rt ∆中：根据勾股定理得到：A b A bc c A b A b c A b BD CD a 2222222222cos cos 2sin )cos ()sin (+-+=-+=+=A bc c b A bc c A A b cos 2cos 2)cos (sin 222222-+=-++=。
正余弦定理知识点总结及高考考试题型
正余弦定理知识点总结及高考考试题型正余弦定理是初中数学中不可避免的知识点之一，也是高中数学中必须掌握的内容之一。
在实际应用中，正余弦定理有着广泛的应用，因此掌握正余弦定理在数学学习中是非常重要的。
本文将介绍正余弦定理的知识点及在高考考试中的应用。
一、正余弦定理的概念正余弦定理也叫余弦定理，是解题方法中的三角函数法。
它适用于求三角形的任意一边或角，无论是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都可以应用。
正余弦定理是指在一个三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方和与这两边对应的角的余弦值的积的两倍之差。
二、正余弦定理的公式设三角形ABC中，a、b、c是三角形的三边，A、B、C是三角形的三个内角，则正余弦定理的公式如下：①cosA=(b²+c²-a²)/2bc②cosB=(a²+c²-b²)/2ac③cosC=(a²+b²-c²)/2ab其中，a表示边BC对应的角，b表示边AC对应的角，c表示边AB对应的角。
三、正余弦定理的应用1、求任意三角形的边长求三角形的边长是初学者需要掌握的基本应用之一。
那么设一个三角形，已知除一边外的两边及夹角，用正余弦定理求另一边的长度。
例如：已知三角形ABC中，a=9，b=12，∠C=120°，求c。
解：根据正余弦定理中的公式③cosC=(a²+b²-c²)/2ab，可以推导出c²=a²+b²-2abcosC，代入数值：c²=9²+12²-2×9×12×cos120°。
cos120°=-0.5，所以c²=169，c=13。
因此，三角形ABC的边长c=13。
2、求三角形内的角度求出三角形的内角度量也是三角形解题的基本应用之一。
用正余弦定理解题时，需要掌握反三角函数的概念及应用。
高二数学正余弦定理
3 a c
sin A sin C
ab c
abc
sin A sin B sin C sin A sin B sin C
正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边和角，如
a b sin A sin B
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，可以求其他角 的正弦值，如
回头看错例2 回头看错例1
1
6
2 D
3 边长为 3R、外接圆半径为R
4 31
2
余弦定理
a2 b2 c2 2bc cosA
c2 a2 b2 2ab cosC
b2 a2 c2 2ac cosB
余弦定理两种形式
cos
2 120
3 a 3.696; B 392/ ;C 8228/
A
b2
c2 2bc
a2
cosC
b2
a2 c2 2ba
cos
B
a2
c2 b2 2ac
余弦定理及其推论的基本作用 ①已知三角形的任意两边及 它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
余弦定理是勾股定理的推广
勾股定理是余弦定理的特例
例4 图
例5 图
1 3
已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边和角如的正弦值如已知三角形的任意两边与其中一边的对角正弦定理的基本作用为
正弦定理 和 余弦定理
正弦定理内容
a b c 2R sin A sin B sin C
1 a b
sin A sin B
abc sin A sin B sin C
余弦定理和正弦定理(一)-高考数学复习
＞0，所以 sin C ＜ sin B cos A ，即 sin （ A ＋ B ）＜ sin B cos A ，所
以 sin A cos B ＜0.因为 sin A ＞0，所以 cos B ＜0，即 B 为钝角，所以
△ ABC 为钝角三角形.
目录
高中总复习·数学
解题技法
判定三角形形状的两种常用途径
等或余弦定理变形公
2 ＋ 2 −2
cos A ＝
等求解.
2
目录
高中总复习·数学
1. 在△ ABC 中，已知 b ＝40， c ＝20， C ＝60°，则此三角形的解的情
况是（
）
A. 有一解
B. 有两解
C. 无解
D. 有解但解的个数不确定
解析：
由正弦定理得
＝
，∴
sin
sin
40×
余弦定理和正弦定理（一）
目录
C O N T E N T S
1
2
3
考点 分类突破
微专题 8
课时 跟踪检测
课堂演练
考点 分类突破
精选考点 典例研析 技法重悟通
PART
1
目录
高中总复习·数学
利用正、余弦定理解三角形
【例1】
（2023·天津高考16题节选）在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所
对的边分别是 a ， b ， c .已知 a ＝ 39 ， b ＝2， A ＝120°.
π
sin B ，即 A ＝ 或
2
A ＝ B ，故△ ABC 为直角三角形或等腰三角形.
目录
高中总复习·数学
2.
sin
在△ ABC 中，
高考数学(文)一轮复习文档：第三章 三角函数、解三角形 第7讲正弦定理与余弦定理 Word版含答案
第7讲 正弦定理与余弦定理, )1．正弦定理和余弦定理(1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin_B ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1．辨明两个易误点(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，可能出现一解、两解或无解，所以要注意分类讨论．(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．2．余弦定理的推导过程如图，设CB →＝a ，CA →＝b ， AB →＝c .则c ＝a －b ，所以|c |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |cos C . 即c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 同理可证a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B .3．三角形解的判断1.教材习题改编在△ABC 中，A ＝45°，C ＝30°，c ＝6，则a 等于( ) A ．3 2 B ．6 2 C ．2 6D ．3 6B 由正弦定理得a sin A ＝csin C，所以a ＝6sin 45°sin 30°＝6×2212＝6 2.2.教材习题改编在非钝角△ABC 中，2b sin A ＝3a ，则B 角为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2C 由正弦定理得b sin A ＝a sin B ，所以2a sin B ＝3a ，即sin B ＝32，又B 非钝角，所以B ＝π3，故选C. 3.教材习题改编已知△ABC 的三边之比为3∶5∶7，则最大角为( ) A ．2π3B ．3π4C ．5π6D ．7π12A 由三边之比为a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，可设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝（3k ）2＋（5k ）2－（7k ）22×3k ×5k ＝－12，又0<C <π，所以C ＝2π3.4.教材习题改编在非钝角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，S △ABC ＝32，则c 等于________． 由三角形面积公式得12×1×2×sin C ＝32，即sin C ＝32，又0°<C ≤90°， 所以C ＝60°，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×1×2×cos 60°＝3， 所以c ＝ 3. 3利用正、余弦定理解三角形(高频考点)利用正、余弦定理解三角形是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．高考对正、余弦定理的考查主要有以下两个命题角度： (1)由已知求边和角；(2)解三角形与三角函数相结合．(1)(2016·高考全国卷乙)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A ． 2B ． 3C ．2D ．3(2)(2016·高考全国卷丙)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝( )A ．310 B ．1010C ．55D ．31010(3)(2016·高考全国卷甲)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．【解析】 (1)由余弦定理，得4＋b 2－2×2b cos A ＝5，整理得3b 2－8b －3＝0，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D.(2)设BC 边上的高为AD ，则BC ＝3AD ，DC ＝2AD ，所以AC ＝AD 2＋DC 2＝5AD .由正弦定理，知ACsin B＝BCsin A，即5AD22＝3AD sin A，解得sin A ＝31010，故选D.(3)法一：因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，从而sin B ＝sin(A＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.由正弦定理a sin A ＝bsin B，得b ＝a sin B sin A ＝2113. 法二： 因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，从而cos B ＝－cos(A＋C )＝－cos A cos C ＋sin A ·sin C ＝－45×513＋35×1213＝1665.由正弦定理a sin A ＝csin C，得c ＝a sin C sin A ＝2013.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b ＝2113.法三：因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝2013.从而b ＝a cos C ＋c cos A ＝2113.法四：如图，作BD ⊥AC 于点D ，由cos C ＝513，a ＝BC ＝1，知CD ＝513，BD ＝1213.又cos A ＝45，所以tan A ＝34，从而AD ＝1613.故b ＝AD ＋DC ＝2113.【答案】 (1)D (2)D (3)2113利用正、余弦定理解三角形的应用(1)解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．角度一 由已知求边和角1．在△ABC 中，2a cos A ＋b cos C ＋c cos B ＝0，则角A 为( ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6C 由余弦定理得2a cos A ＋b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac＝0，即2a cos A ＋a ＝0，所以cos A ＝－12，A ＝2π3.故选C.角度二 解三角形与三角函数相结合2．(2017·安徽皖南八校联考)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－sin x ，n ＝(1，sin x ＋3cos x )，x ∈R ，函数f (x )＝m ·n .(1)求f (x )的最小正周期及值域；(2)已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝0，a ＝3，bc ＝2，求△ABC 的周长．(1)由题知f (x )＝－sin 2x －3sin x cos x ＋32＝cos 2x －3sin x cos x ＋12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，因为x ∈R ，所以－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， 故f (x )的值域为．(2)f (A )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＋1＝0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，由A ∈(0，π)，得A ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc ，又a ＝3，bc ＝2，所以(b ＋c )2＝9，b ＋c ＝3，所以△ABC 的周长为3＋ 3.利用正、余弦定理判定三角形的形状在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，试判断△ABC 的形状． 【解】 法一：利用边的关系来判断： 由正弦定理得sin C sin B ＝c b，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b.又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2，所以a ＝b . 又因为a 2＋b 2－c 2＝ab .所以2b 2－c 2＝b 2，所以b 2＝c 2， 所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c . 所以△ABC 为等边三角形． 法二：利用角的关系来判断： 因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以sin C ＝sin(A ＋B )， 又因为2cos A sin B ＝sin C ，所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin(A －B )＝0.又因为A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B ， 又由a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°<C <180°，所以C ＝60°， 所以△ABC 为等边三角形．判断三角形形状的两种途径(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系，通过三角函数恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论，在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形D 因为(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )， 所以b 2＝a 2，所以2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B .法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， 所以sin 2A cos A sinB ＝sin 2B sin A cos B ，又sin A ·sin B ≠0，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin 2A ＝sin 2B . 在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B .所以A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D. 法二：由正弦定理、余弦定理得：a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，所以a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， 所以(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， 所以a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0， 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．故选D.与三角形面积有关的问题(2017·唐山统考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c sin B＝b cos C ＝3.(1)求b ；(2)若△ABC 的面积为212，求c .【解】 (1)由正弦定理得sin C sin B ＝sin B cos C ， 又sin B ≠0，所以sin C ＝cos C ，C ＝45°. 因为b cos C ＝3， 所以b ＝3 2.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝212，c sin B ＝3，所以a ＝7.又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝25，所以c ＝5.与三角形面积有关问题的解题策略(1)求三角形的面积．对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题．一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且(2b －c )·cos A＝a cos C .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，b ＝2c ，求△ABC 的面积． (1)由(2b －c )cos A ＝a cos C ，得2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ，即2sin B cos A ＝sin(A ＋C )，所以2sin B cos A ＝sin B ， 因为0<B <π，所以sin B ≠0， 所以cos A ＝12，因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)因为a ＝3，b ＝2c ， 由(1)得A ＝π3，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4c 2＋c 2－94c 2＝12， 解得c ＝3，所以b ＝2 3.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×23×3×32＝332., )——正、余弦定理的应用(本题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．(1)(2)(1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos 2B ＝sin 2C .(3分) 又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ， 解得tan C ＝2.(6分)(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)，得 sin C ＝255，cos C ＝55.(8分)因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010.(9分)由正弦定理得c ＝22b3，(10分)又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，(11分)故b ＝3.(12分)(1)本题是解三角形与三角恒等变换的结合，求解中首先利用正弦定理把边的关系转化为三角函数关系，再利用恒等变换，再次应用正弦定理，求解所求问题．(2)计算准确，争取得满分①公式运用要准确，这是计算正确的前提．②算数要准确无误，尤其注意正、负号的选择，计算时要尽量利用学过的公式简化计算过程．, )1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2a sin B ，则A ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．75°A 因为在锐角△ABC 中，b ＝2a sinB ，由正弦定理得，sin B ＝2sin A sin B ，所以sinA ＝12，又0°<A <90°，所以A ＝30°.2．(2017·兰州一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝7，b ＝3，c ＝2，则A ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2C 易知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋22－（7）22×3×2＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，故选C.3．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定C 由正弦定理得b sin B ＝csin C， 所以sin B ＝b sin Cc＝40×3220＝3>1.所以角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定B 依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin B ·cosC ＋cos B sin C ＝sin 2A ，有sin(B ＋C )＝sin 2A ，从而sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，解得sin A ＝1，所以A ＝π2，故选B.5．(2017·东北三校高三模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝13，sin C ＝3sin B ，且S △ABC ＝2，则b ＝( )A ．1B ．2 3C ．3 2D ．3A 因为cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝12bc sin A ＝2，所以bc ＝3.又sin C ＝3sin B ，所以c ＝3b ，所以b ＝1，c ＝3，故选A.6．(2017·大连一模)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高为( ) A ．32 B ．332C ．34D ． 3B 在△ABC 中，由余弦定理可得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ，因为AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，所以7＝AB 2＋4－4×AB ×12，所以AB 2－2AB －3＝0，所以AB ＝3，作AD ⊥BC ，垂足为D ，则在Rt △ADB 中，AD ＝AB ×sin 60°＝332，即BC 边上的高为332.7．(2016·高考山东卷改编)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝________.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2b 2－2b 2cos A ，所以2b 2(1－sin A )＝2b 2(1－cosA )，所以sin A ＝cos A ，即tan A ＝1，又0<A <π，所以A ＝π4.π48．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，得－14＝22＋32－c22×2×3，解得c ＝4. 49．(2017·海淀期末检测)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，a sinA sinB ＋b cos 2A ＝2a ，则角A 的取值范围是________．由已知及正弦定理得sin 2A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sinB (sin 2A ＋cos 2A )＝2sinA ，所以sinB ＝2sin A ，所以b ＝2a ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4a 2＋c 2－a 24ac ＝3a 2＋c 24ac≥23ac 4ac ＝32，当且仅当c ＝3a 时取等号，因为A 为三角形的内角，且y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，所以0<A ≤π6，则角A 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π6.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π610．(2017·广东揭阳一模)已知△ABC 中，角A 、32B 、C 成等差数列，且△ABC 的面积为1＋2，则AC 边的长的最小值是________．因为A 、32B 、C 成等差数列，所以A ＋C ＝3B ，又A ＋B ＋C ＝π， 所以B ＝π4，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 由S △ABC ＝12ac sin B ＝1＋2得ac ＝2(2＋2)，由余弦定理及a 2＋c 2≥2ac ， 得b 2≥(2－2)ac ，即b 2≥(2－2)×2(2＋2)，所以b ≥2，所以AC 边的长的最小值为2. 211．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知c －b ＝2b cos A . (1)若a ＝26，b ＝3，求c ； (2)若C ＝π2，求角B .(1)由c －b ＝2b cos A 及余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，得c －b ＝2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－a 2c，即a 2＝b 2＋bc ，所以(26)2＝32＋3c ，解得c ＝5. (2)因为c －b ＝2b cos A ，所以由正弦定理得sin C －sin B ＝2sin B cos A ，又C ＝π2，所以1－sin B ＝2sin B cos A ，所以1－sin B ＝2sin B cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ， 所以1－sin B ＝2sin 2B ， 即(2sin B －1)(sin B ＋1)＝0， 所以sin B ＝12或sin B ＝－1(舍去)，因为0＜B ＜π2，所以B ＝π6.12．在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________. 如图，在△ABD 中，由正弦定理，得 AD sin B ＝ABsin ∠ADB ， 所以sin ∠ADB ＝22. 由题意知0°<∠ADB <60°， 所以∠ADB ＝45°，所以∠BAD ＝180°－45°－120°＝15°. 所以∠BAC ＝30°，∠C ＝30°， 所以BC ＝AB ＝ 2. 在△ABC 中，由正弦定理， 得ACsin B ＝BCsin ∠BAC，所以AC ＝ 6. 613．(2017·湖北三市第二次联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a sin B ＝－b sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3.(1)求A ；(2)若△ABC 的面积S ＝34c 2，求sin C 的值． (1)因为a sin B ＝－b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3，所以由正弦定理得sin A ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3，即sin A ＝－12sin A －32cos A ，化简得tan A ＝－33， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝5π6. (2)因为A ＝5π6，所以sin A ＝12，由S ＝34c 2＝12bc sin A ＝14bc ，得b ＝3c ， 所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝7c 2，则a ＝7c ， 由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝714. 14．(2017·河南郑州模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos 2C －cos 2A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋C ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C . (1)求角A 的值；(2)若a ＝3且b ≥a ，求2b －c 的取值范围． (1)由已知得2sin 2A －2sin 2C＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫34cos 2C －14sin 2C ， 化简得sin A ＝±32， 因为A 为△ABC 的内角， 所以sin A ＝32，故A ＝π3或2π3. (2)因为b ≥a ，所以A ＝π3.由正弦定理得b sin B ＝c sin C ＝asin A＝2，得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ， 故2b －c ＝4sin B －2sin C ＝4sin B －2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B＝3sin B －3cos B ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.因为b ≥a ， 所以π3≤B <2π3，则π6≤B －π6<π2， 所以2b －c ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6∈[3，23)．。
高中数学正弦余弦定理
高中数学正弦余弦定理一、引言在高中数学中，我们学习了许多与三角函数相关的知识，其中包括正弦、余弦等。
在实际应用中，这些概念常常与几何图形和三角形的边长、角度等相关联。
其中，正弦定理和余弦定理是计算三角形边长和角度的重要工具。
本文主要介绍高中数学中的正弦定理和余弦定理，并结合具体例子进行分析和说明。
二、正弦定理在三角形ABC中，任取一边a，作对边a上的高h，设h的长为h，角A、角B、角C的对边分别为a、b、c。
根据正弦定理，我们有以下等式成立：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，sinA、sinB、sinC分别代表角A、角B和角C的正弦值。
这些等式表明，在一个三角形中，边长与对应的正弦值成正比，比例系数相等。
从而，可以利用已知的边长和角度，求解未知的边长和角度。
举例来说，如果在一个三角形中，已知边长a、b和角A，我们可以利用正弦定理来求解未知的边长c和角B。
具体的计算步骤如下：1. 利用已知条件计算sinA的值；2. 根据正弦定理，利用sinA的值和已知边长a的比例，计算出边长c；3. 利用sinA的值和边长c的比例，求解角B。
正弦定理不仅适用于求解三角形的边长和角度，还可以帮助我们解决一些实际问题。
例如，如果我们需要求解一个三角形的高度、角度或边长，但是只知道其中的一些条件，我们可以利用正弦定理来解决这个问题。
三、余弦定理在三角形ABC中，任取一边c，作对边c上的高h，设h的长为h，角A、角B、角C的对边分别为a、b、c。
根据余弦定理，我们有以下等式成立：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC其中，cosC为角C的余弦值。
这个等式表明，在一个三角形中，一条边的平方等于另外两条边的平方之和减去这两条边的积与夹角的余弦乘积。
余弦定理同样适用于求解三角形的边长和角度。
举例来说，如果在一个三角形中，已知边长a、b和角C，我们可以利用余弦定理来求解未知的边长c和角A。
具体的计算步骤如下：1. 利用已知条件计算cosC的值；2. 根据余弦定理，利用已知边长a、b和cosC的值，求解边长c；3. 利用cosC的值和边长c的比例，求解角A。
[高三数学]正弦定理和余弦定理课件
![[高三数学]正弦定理和余弦定理课件](https://img.taocdn.com/s3/m/e4b379692e60ddccda38376baf1ffc4fff47e27d.png)
工具
第三章 三角函数
3．在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三 角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的 原则和方法．“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口．
工具
第三章 三角函数
工具
第三章 三角函数
从近两年的高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考的热点．主 要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常 与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象 和性质等交汇命题，多以解答题的形式出现，属解答题中的低档题．
又∵ 2＜ 3，即 a＜b，∴A＜B＝60°，∴A＝45°.
答案： B
工具
第三章 三角函数
2．△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 a、b、c 成等
比数列，且 c＝2a，则 cos B 等于( )
1
3
2
2
A.4
B.4
C. 4Dຫໍສະໝຸດ 3解析： 由已知得 b2＝ac，c＝2a， ∴cos B＝a2＋2ca2c－b2＝5a24－a22a2＝34. 答案： B
(1)求角 A 的大小； (2)若 a＝ 3，S△ABC＝3 43，试判断△ABC 的形状，并说明理由． 解析： (1)方法一：∵(2b－c)cos A－acos C＝0， 由正弦定理得(2sin B－sin C)cos A－sin Acos C＝0. ∴2sin Bcos A－sin(A＋C)＝0，sin B(2cos A－1)＝0， ∵0＜B＜π，∴sin B≠0，cos A＝12. ∵0＜A＜π，∴A＝π3.
由余弦定理知 a2＝c2＋b2－2cbcos A，
将 a＝2 7及①代入，得 c2＋b2＝52, ③
余弦定理和正弦定理(二)-高考数学复习
（1）若 D 是 BC 的中点，求 AD 的长度；
解：∵ AB ＝2， AC ＝4，△ ABC 的面积为2 3 ，
1
∴ S △ ABC ＝ AB ·AC ·sin
2
∴ sin ∠ BAC ＝
1
∠ BAC ＝ ×2×4×
2
3
，又∠ BAC 为钝角，
2
sin ∠ BAC ＝2 3 ，
目录
高中总复习·数学
A ＞ sin B ；③ a － b ＜ c ＜ a ＋ b 及三角函数的性质、三角恒等变
换公式等推导证明.
目录
高中总复习·数学
△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 cos
A ）＋
2（ π ＋
2
5
cos A ＝ .
4
（1）求 A ；
解：由已知得 sin
即 cos
2A－
2A＋
5
cos A ＝ ，
4
1
cos A ＋ ＝0.所以（
4
1
cos A － ）2＝0，
2
1
cos A ＝ .
2
π
由于0＜ A ＜π，故 A ＝ .
3
目录
高中总复习·数学
（2）若 b － c ＝
3
a ，证明：△ ABC 是直角三角形.
3
解：证明：由正弦定理及已知条件可得 sin B － sin C ＝
又 sin
2A＋
cos
2 A ＝1，∴
3 10
sin A ＝
.
10
目录
高中总复习·数学
（2）设 AB ＝5，求 AB 边上的高.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
正弦、余弦定理一.教学内容：正弦、余弦定理 二.教学重、难点： 1.重点：正弦、余弦定理。
2.难点：运用正、余弦定理解决有关斜三角形问题。
【典型例题】[例1]已知在ABC ∆中，︒=∠45A ，2=a ，6=c 解此三角形。
解：由正弦定理得23222645sin 26sin =⋅=︒⋅=C∵6sin =A c 322=⨯2=a ，6=c ，623<<∴有两解，即︒=∠60C 或︒=∠120C︒=︒-︒-︒=∠754560180B 或︒=︒-︒-︒=∠1545120180B由BA a b sin sin =得13+=b 或13-=b∴13+=b ，︒=∠60C ，︒=∠75B 或13-=b ，︒=∠120C ，︒=∠15B[例2]不解三角形，判断下列三角形解的个数。
（1）5=a ，4=b ，︒=120A （2）7=a ，14=b ，︒=150A （3）9=a ，10=b ，︒=60A （4）50=c ，72=b ，︒=135C 解：（1）232354120sin sin <⨯=︒=a b B ，∴ABC ∆有一解。
（2）1150sin sin =︒=a bB ∴ABC ∆无解（3）93523910sin sin =⨯==A a bB 而193523<<∴当B 为锐角时，满足935sin =B 的︒<<︒9060B ，故对应的钝角B 有︒<<︒12090B ，也满足A+B ︒<180，故ABC ∆有两解。
（4）22sin sin 5072sin sin =>==C C c C b B∴︒>45B ∴︒>+180C B ∴ABC ∆无解 [例3]已知在ABC ∆中，︒=∠45A ，2=a ，6=c 解此三角形。
解：由余弦定理得：445cos 62)6(22=︒⋅-+b b ∴02322=+-b b ∴13±=b又C b b cos 222)6(222⨯-+=∴21cos ±=C ，︒=∠60C 或︒=∠120C∴︒=∠75B 或︒=∠15B ∴13+=b ，︒=∠60C ，︒=∠75B 或13-=b ，︒=∠120C ，︒=∠15B[例4]已知a 、b 、c 是ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边，S 是ABC ∆的面积，若4=a ，5=b ，35=S ，求c 的长度。
解：∵4=a ，5=b ，35sin 21==C ab S∴23sin =C ∴︒=60C 或︒120∴当︒=60C 时，21222=-+=ab b a c ∴21=c当︒=120C 时，61222=++=ab b a c ∴61=c[例5]在ABC ∆中，A 、B 、C 成等差数列，1=b ，求证：21≤+<c a证明：方法一：由正弦定理：C cB b A a sin sin sin ==得CB bA B b c a sin sin sin sin +⋅=+)]120sin([sin 332)sin (sin 332A A C A -︒+=+=)30sin(2︒+=A ∵︒<<︒1200A ∴︒<︒+<︒1503030A ∴2)30sin(21≤︒+<A方法二：∵︒=60B ，1=b ∴︒=-+60cos 2222ac b c a∴ac c a =-+122∴122=-+ac c a ∴4)(3)(22=-++c a c a ∴22)(34)(c a c a --=+ ∵1||0<-≤c a ∴3)(302<-≤c a ∴4)(342≤--c a 即4)(2≤+c a ∴2≤+c a 又1>+c a ∴21≤+<c a [例6]在ABC ∆中，已知)13(-=a b ，︒=30C ，求A 、B 。
解：由余弦定理，ab c b a C 22330cos cos 222-+==︒=∴)13(3)324(2222-=--+a c a a ∴22)32(a c -=∴aa c 21332-=-=由正弦定理：︒-=-=30sin 213sin )13(sin aB a Aa ∴2230sin 2sin =︒=B∵b a >∴B A >∴B 为锐角∴︒=45B ∴︒=︒+︒-︒=105)3045(180A[例7]已知ABC ∆中，B b aC A sin )()sin (sin 2222-=-，外接圆半径为2。
（1）求C ∠（2）求ABC ∆面积的最大值解：（1）由B b a C A sin )()sin (sin 2222-=-∴R b b a R c R a 2)()44(22222-=-2∴2=R ∴222b ab c a -=-∴ab c b a =-+222 ∴212cos 222=-+=ab c b a C 又︒<<︒1800C ∴︒=60C（2）B A abC ab S sin sin 322321sin 21=⨯==)sin 120cos cos 120(sin sin 32)120sin(sin 32A A A A A ︒-︒=-︒⋅=232cos 232sin 23sin 3cos sin 32+-=+=A A A A A23)302sin(3+︒-=A∴当︒=1202A 即︒=60A 时，233max =S[例8]在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 依次成等比数列，求BB B y cos sin 2sin 1++=的取值范围。
解：∵ac b =2∴2121)(2122cos 22222≥-+=-+=-+=a c c a acacc a acb c a B∴30π≤<B)4sin(2cos sin cos sin )cos (sin cos sin 2sin 12π+=+=++=++=B B B B B B B B B B y∵πππ12744<+<B ∴1)4sin(22≤+<πB ∴21≤<y[例9]在ABC ∆中，若三边长为连续三个正整数，最大角是钝角，求此最大角。
解：设1-=k a ，k b =，1+=k c ，*N k ∈且1>k∵C 是钝角∴0)1(242cos 222<--=-+=k k ab c b a C 解得41<<k ∵*N k ∈∴2=k 或3 当2=k 时，1cos -=C （舍去）当3=k 时，41cos -=C ∴)41arccos(-=c ∴最大角为)41arccos(- 【模拟试题】（答题时间：60分钟） 一.选择题：1.在ABC ∆中，一定成立的等式是（） A.B b A a sin sin = B.B b A a cos cos = C.A b B a sin sin =D.A b B a cos cos =2.在ABC ∆中，若a bB A =cos cos ，则ABC ∆是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰或直角三角形 3.已知ABC ∆中，AB=1，BC=2，则C ∠的取值范围是（）A.]6,0(πB.)2,0(πC.]2,6(ππ D.]3,6(ππ4.ABC ∆中，若A b a sin 23=，则B 为（） A.3πB.6πC.3π或π32 D.6π或π655.ABC ∆的三边满足ab c b a c b a 3))((=-+++，则C ∠等于（） A.︒15 B.︒30 C.︒45 D.︒606.在ABC ∆中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（）A.223B.233C.23D.337.ABC ∆中，“B A sin sin =”是“A=B ”的（）条件 A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要8.ABC ∆中，C C B B A 222sin sin sin sin sin ++=，则A 等于（）A.︒30B.︒60C.︒120D.︒1509.ABC ∆中，︒=30B ，350=b ，150=c ，则这个三角形是（） A.等边三角形B.Rt 三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形10.在ABC ∆中，kC cB b A a ===sin sin sin ，则k =（）A.2RB.RC.4RD.21R二.填空：1.在ABC ∆中，已知7=a ，8=b ，1413cos =C ，则最大角的余弦值为 。
2.在ABC ∆中，C B A sin cos 2sin =，则三角形为 。
3.在ABC ∆中，:6:)13(::+=c b a 2，则最小角为 。
4.若)(341222a c b S -+=∆，则A= 。
三.解答题：1.在ABC ∆中，BC=a ，b AC =，a ，b 是02322=+-x x 的两个根，且)cos(2B A + =1，求（1）角C 的度数（2）AB 的长（3）ABC ∆的面积。
2.在ABC ∆中，10=c ，︒=45A ，︒=30C ，求a 、b 和B 。
3.若2，3，P 为三边组成一个锐角三角形，求x 的范围。
4.在ABC ∆中，若C B A cos sin 2sin =，C B A 222sin sin sin +=，试判断ABC ∆形状。
【试题答案】一.1.C2.D3.A4.C5.D6.B7.C8.C9.D10.A 二.1.71-2.等腰三角形3.︒454.︒30 三.1.解：（1）21)cos()](cos[cos -=+-=+-=B A B A C π∴︒=120C（2）∵a 、b 是02322=+-x x 的两个根∴⎩⎨⎧=⋅=+232b a b a∴10)(cos 2222222=-+=++=⋅⋅-+=ab b a ab a b C BC AC BC AC AB ∴10=AB（3）23sin 21=⋅=∆C b a S ABC 2.解：∵C cA a sin sin =∴21030sin 45sin 10sin sin =︒︒⋅==C A c a︒=+-︒=105)(180C A B ∴C cB b sin sin =∴)26(5105sin 20+=︒=b3.解：∵ABC ∆为锐角∆∴⎪⎩⎪⎨⎧>>>0cos 0cos 0cos C B A 且51<<x∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<>-+>-+>-+51032023032222222222x x x x ∴⎪⎩⎪⎨⎧<<><5151322x x x ∴135<<x4.解：∵C B A 222sin sin sin +=∴222c b a +=∴ABC ∆为∆Rt 且︒=∠90A ∴︒=+90C B ，C B -︒=90∴C B cos sin =由C B A cos sin 2sin ⋅=∴B 2sin 21=∴21sin 2=B∵B 为锐角∴22sin =B ∴︒=45B ∴︒=45C∴ABC ∆是等腰直角三角形。