28.1锐角三角函数(第2课时)
28.1.2锐角三角函数教案
一、教学内容
本节课选自《数学》八年级下册第28章“锐角三角函数”的28.1.2节，主要内容为锐角三角函数的定义、性质和应用。具体包括以下知识点：
1.锐角三角函数的定义：正弦、余弦、正切的定义及表示方法。
2.锐角三角函数的性质：正弦、余弦、正切随角度变化的规律。
3.锐角三角函数的值：特殊角度（30°、45°、60°）的正弦、余弦、正切值。
在小组讨论环节，学生们对于锐角三角函数在实际生活中的应用提出了许多有趣的例子。这让我感到很高兴，因为他们不仅理解了理论知识，还能够将其运用到实际情境中。不过，我也意识到在引导讨论时，我需要提供更多开放性的问题，以激发学生的创新思维和深度思考。
最后，总结回顾环节中，学生们的反馈让我了解到他们对于本节课的知识点有了较好的掌握。但是，我也发现了一些学生在应用方面还存在困难。为了帮助他们更好地消化吸收这些知识，我计划在下一节课开始时，先进行一个小测验，以巩固他们对锐角三角函数的理解。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解锐角三角函数的基本概念。锐角三角函数是描述直角三角形中角度与边长关系的数学函数。它们在解决实际问题，如测量、建筑等领域具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过测量树的高度，展示如何运用锐角三角函数解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正弦、余弦、正切这三个函数的定义及性质。对于难点部分，如特殊角度的记忆，我会通过图形和记忆法来帮助大家理解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《锐角三角函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量物体高度或距离的情况？”（如测量树的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索锐角三角函数的奥秘。
(人教版)九年级数学下册同步课件：28.第2课时 30°,45°,60°角的三角函数值
知识与技能 熟记30°，45°，60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数． 过程与方法 1．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力． 2．培养学生观察、比较、分析、概括的能力． 情感、态度与价值观 经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性，感受数学 说理的必要性、说理过程的严谨性，养成科学、严谨的学习态度．
(3)若∠A＝30°，则ac＝________．
二、共同探究，获取新知 (1)探索 30°，45°，60°角的三角函数值． 师：观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？ 生：一副三角尺中有四个锐角，它们分别是 30°，60°，45°，45°. 师：sin30°等于多少呢？你是怎样得到的？与同伴交流．
生：sin30°＝12.sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值， 与直角三角形的大小无关．我们不妨设 30°角所对的边长为 a(如图所示)，根据 “直角三角形中 30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边长等于 2a. 根据勾股定理，可知 30°角的邻边长为 3a，所以 sin30°＝2aa＝21.
第一列，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大． 第二列，余弦值随角度的增大而减小． 师：第三列呢？
生：第三列是30°，45°，60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中 的一个锐角，所以tan45°＝1比较特殊．随着角度的增大，正切值也在增大．
(2)进一步探究锐角的三角函数值． 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°.
重点 30°，45°，60°角的三角函数值． 难点 与特殊角的三角函数值有关的计算．
一、复习巩固 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°.
28,1 锐角三角函数 第二课时-九年级数学下册课件(人教版)
A. 3
12
B. 3
6
C. 3
3
D.
3 2
4 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，∠CAB＝∠ACB， 过点B 作BE⊥AB 交AC 于点E. (1)求证：AC⊥BD； (2)若AB＝14，cos∠CAB＝ 7 ，
8
求线段OE 的长．
(1)证明：∵∠CAB＝∠ACB，∴)， ∴cos α＝ 1 .
2
常见错解：∵方程2x
2－5x＋2＝0的解是x1＝2，x2＝
1 2
，
∴cos α＝2或cos α＝ 1 .忽略了cos α (α 为锐角)
2
的取值范围是0＜cos α＜1.
易错点：忽视锐角三角函数值的范围而致错.
1 如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD，BC 相交于点P， 如果∠DPB＝α，那么 CD 等于( B )
∴ ▱ABCD是菱形．∴AC⊥BD.
(2)解：在Rt△AOB 中，cos ∠OAB＝ AO 7 ，AB＝14，
AB 8
∴AO＝
7 8
AB＝
49 4
.
在Rt△ABE 中，cos ∠EAB＝ AB 7 ，
AE 8
AB＝14，∴AE＝
8 7
AB＝16，
∴OE＝AE－AO＝16－
BC 5
C
（1）
解： AB AC2 BC2 22 32 13,
┌
所以
sin A BC
3
3
13 ,
sin B AC
2
2 13 ,
AB 13 13
AB 13 13
cos A AC 2 2 13 , AB 13 13
tan A BC 3 .
28.1锐角三角函数(2) 余弦、正切学案
斜边c对边abC B A28．1锐角三角函数（2） 余弦、正切学案一．知识巩固。
（每个题目5分，合计20分）1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，当锐角A 确定时， ∠A 的对边与斜边的比是 ，2、 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D 。
已知AC= 5 ，BC=2，那么sin ∠ACD ＝（ ）A ．53B ．23C ．255D ．523、 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA 和sinB 的值．4、在 90,=∠∆C ABC Rt 中，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则 ∠A 的正弦值 （ ） A ．扩大2倍 B ．缩小2倍 C ．扩大4倍 D ．不变二．新知探究。
（每个题目10分，合计100分）1、类似于正弦的情况， 如图在Rt △BC 中，∠C=90°，当锐角A 的大小确定时，∠A 的邻边与斜边的比、∠A 的对边与邻边的比也分别是 ．我们 把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的 ，记作 ；把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的 ，记作 。
2、当∠A=30°时，我们有cosA=cos30°=； 当∠A=45°时，我们有tanA=tan45°= ．(1)CB A436CB A判断题 4、cos x =21=60°． （ ）5、α是锐角，且sin α=23，则α=30°． （ ）6、cos45°－cos15°=cos30°=23． （ ）7、若α为锐角，则2)1(cos -α=cos α－1．（ ） 8、若A 为锐角则0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1． （ ） 9、 若a 为锐角，则sin a +cos a ＞1． （ ） 10、已知:Rt △ABC 中,∠C=90°,cosA=35,AB=15,则AC 的长是( ).A.3B.6C.9D.12三．运用提高。
教案的撰写方法与技巧
28.1 锐角三角函数
第2课时 余弦与正切
新知导入
试一试：根据所学知识，按要求完成下列问题.
B'' B' B
A
C C' C''
根据正弦的定义sinA= BC = B'C' = B''C''
AB A'B' A''B''
新知探究
可借助优教平台的“【探究动画】锐角三角函数-余弦” 互动资源，动态、直观、辅助探究与发现.
解：∵CD⊥AB, ∴∠ADC=90°， ∴∠A+∠ACD=90°.
∵∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠A. 在Rt△ABC中，
AC AB2 BC2 32 22 5
∴tanA=
BC AC
=
2 5，
5
∴tan∠BCD=tanA= 2 5 .
5
随堂练习
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=25，BC=7. (1)求AC的长； (2)求锐角A的正弦值、余弦值和正切值.
点击优教平台“同步课堂”-“课堂教学”， 使用本课时“互动课堂”训练.
1.△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosα的值是（ C ）
A. 3
4
B. 3
5
C. 4
5
D. 4
3
随堂练习
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. 3
(1)若AC=6，BC=8，则cosA=____5____； (2)若AC=5，cosA= 5 ，则AB=___1_3_____.
即 AC ＝ BC A'C' B'C'
人教新课标版初中九下28.1锐角三角函数(2)ppt课件
1+ 3 2
B.
1+ 2 2
C.
2+ 3 2
D． D．
2
3 ． 如 图 2 所 示 ， AB 是 斜 靠 在 墙 上 的 长 梯 ， AB 与 地 面 的 夹 角 为 α ， 当 梯 顶 A 下 滑 1m 至 A ′ 时 ， 梯 脚 B 滑 至 B′ ， A′ B′ 与 地 面 的 夹 角 为 β ， 若 tanα = tan α A． A ． 4m
电 子 教 案 目 标 呈 现 教 材 分 析 教 学 流 程 同 步 演 练 课 后 练 习
复习引入 探索新知 反馈练习 拓展提高 小结作业
1.我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正 1.我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正 弦的？为什么可以这样定义它? 弦的？为什么可以这样定义它? 在上一节课中我们知道，如图所示， 2. 在上一节课中我们知道，如图所示，在 Rt△ABC中 C=90° 当锐角A确定时， Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时， 的对边与斜边的比就随之确定了, ∠A的对边与斜边的比就随之确定了,现在要 其他边之间的比是否也确定了呢？ 问：其他边之间的比是否也确现 教 材 分 析 教 学 流 程 同 步 演 练 课 后 练 习
复习引入 探索新知 反馈练习 拓展提高 小结作业 范例
例 1： 如 图 ， 在 Rt△ ABC 中 ， ∠ C=90° ， BC= 6， sinA= ： △ ° ， 求 cosA、 tanB 的 值 ． 、
B 斜的c A ∠A的的的b ∠A的的的a C
电 子 教 案 目 标 呈 现 教 材 分 析 教 学 流 程 同 步 演 练 课 后 练 习
复习引入 探索新知 反馈练习 拓展提高 小结作业 探究
28.1锐角三角函数(第2课时)
BC AB AC 13 12 5 BC 5 B sin A AB 13
2 2 2 2
12
13
A
AC 12 cos A AB 13
倍 速 课 时 学 练
BC 5 tan A AC 12
AC 12 sin B AB 13 BC 5 cos B AB 13 AC 12 tan B BC 5
B
解：∵
BC sin A AB
A
6
BC 5 AB 6 10 sin A 3
又
C
AC AB2 BC2 102 62 8
倍 速 课 时 学 练
AC 4 AC 4 cos A , tan B AB 5 BC 3
练
习
1. 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值． C 解：由勾股定理
2. 在Rt△ABC中，如果各边长都扩大2倍，那么锐角A的正弦值、余 弦值和正切值有什么变化？
解：设各边长分别为a、b、c，∠A的三个三角函数分别为
a b a sin A ， A ， A cos tan c c b
则扩大2倍后三边分别为2a、2c
cos A
斜边
c
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即
A的对边 a tan A A的邻边 b
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
例题示范
3 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝ 5 ，求 cosA、tanB的值．
义务教育课程标准实验教科书
九年级下册
28.1锐角三角函数（第2课时）
锐角三角函数(第2课时)教案 2022—2023学年人教版数学九年级下册
28.1 锐角三角函数第2课时一、教学目标【知识与技能】1.通过类比正弦函数，理解余弦函数、正切函数的定义，进而得到锐角三角函数的概念；2.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.【过程与方法】通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.【情感态度与价值观】经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力.二、课型新授课三、课时第2课时共4课时四、教学重难点【教学重点】理解余弦、正切概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边的比值、直角边之比是固定值.【教学难点】熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、铅笔.六、教学过程(一)导入新课（出示课件2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.当∠A确定时，∠A的对边与斜边的比就确定，此时，其他边之间的比是否也确定呢？(二)探索新知知识点一余弦的定义如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D，∠C=∠F=90°，则AC DF=成立吗？为什么？（出示课件4）AB DE学生思考后，师生共同解答：（出示课件5）∵∠A=∠D，∠C=∠F=90°，∴∠B=∠E.从而sinB=sinE，因此AC DF=.AB DE教师归纳：（出示课件6）在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=.A b c∠=的邻边斜边教师强调：从上述探究和证明过程，可以得到互余两角的三角函数之间的关系：对于任意锐角α，有cos α=sin(90°－α),或sin α=cos(90°－α).（出示课件7）出示课件8，教师对照正弦、余弦的定义，对两个概念注意事项加以强调：1.sinA 、cosA 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形).2.sinA 、cosA 是一个比值（数值）.3.sinA 、cosA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关.出示课件9，学生独立思考后口答，教师订正.知识点二 正切的定义如图，△ABC 和△DEF 都是直角三角形，其中∠A=∠D ，∠C=∠F=90°，则BC EF AC DF=成立吗？为什么？（出示课件10）学生自主证明，一生板演，教师巡视，并用多媒体展示. 证明：∵∠C=∠F=90°，∠A=∠D ，∴Rt △ABC ∽Rt △DEF. ∴BC AC EF DF =， 即BC EF AC DF=. 教师问：当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是唯一确定的吗？（出示课件11）学生独立思考后，师生共同总结：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与邻边的比是一个固定值.（出示课件12）如图：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA.即tanA=a .A A b∠=∠的对边的邻边出示课件14，教师问：如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？学生答：互为倒数.教师问：锐角A 的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？学生答：锐角A 的正切值可以等于1；当a=b 时；可以大于1，当a ＞b 时.出示课件15，学生独立思考后口答，教师订正.知识点三 锐角三角函数的定义出示课件16：锐角A 的正弦、余弦、和正切统称∠A 的锐角三角函数.考点1 已知直角三角形两边求锐角三角函数的值.例 如图，△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA ，cosA ，tanA 的值.（出示课件17）学生思考后，师生共同解答.解：由勾股定理,得2222=106AC AB BC --， 因此，63sin ==105BC A AB =， 84cos 105AC A AB ,===63tan ==.84BC A AC = 师生共同总结：已知直角三角形中的两条边求锐角三角函数值的一般思路是：当所涉及的边是已知时，直接利用定义求锐角三角函数值；当所涉及的边是未知时，可考虑运用勾股定理的知识求得边的长度，然后根据定义求锐角三角函数值．（出示课件18）出示课件19，学生独立思考后口答，教师订正.考点2 已知一边及一锐角三角函数值求函数值.例 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6，3sin 5A =，求cosA,tanB 的值．学生独立思考后，师生共同解答.解：∵在Rt △ABC 中，sin BC A AB=， ∴5610sin 3BC AB A =⨯==. 又22221068AC AB BC =-=-=， ∴4cos 5AC A AB ==，4tan .3AC B BC == 教师强调：在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值，即可求出其它的所有锐角三角函数值.出示课件21，学生独立思考后一生板演，教师订正.(三) 课堂练习（出示课件22-28）练习课件22-28相应题目，约用时15分钟。
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因为0＜sinA ＜1, 0＜sinB ＜1,
sin A cos B cos A sin B 1 tan A tan B
B
0＜cosA ＜1, 0＜cosB ＜1, tan A＞0, tan B＞0 所以，对于任何一个锐角α ，有 0＜sin α ＜1，
0＜cos α ＜1， tan α ＞0，
AC 12 sin B AB 13 BC 5 cos B AB 13 AC 12 tan B BC 5
3 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝ 4
求：sinA、cosB的值． 解： tan A
，
BC 3 AC 4 ∵AC＝8
B
C
BC
B
解：∵
BC sin A AB
A
6
BC 5 AB 6 10 sin A 3
又
C
AC AB2 BC2 102 62 8
AC 4 AC 4 cos A , tan B AB 5 BC 3
例题示范
变题： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝
2 sin A sin 45 2
探究
情境探究
B
如图，在Rt△ABC中，∠C ＝90°，当锐角A确定时， ∠A的对边与斜边的比就随 之确定，此时，其他边之 间的比是否也确定了呢？ 为什么？
斜边c 对边a
A
邻边b
C
当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比 也分别是确定的，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine）， 记作cosA，即 A的邻边 b
sin A cos A
3.求证：sin
2
A cos 1
2
A
C
注:千万记住结论哦!
小结
如图，Rt△ABC中， ∠C=90度，
BC sin A , cos A AB AC sin B , cos B AB AC , tan A AB BC , tan B AB BC AC AC BC
2 2
A
C
sin cos 1
3 3 AC 8 6 4 4
8
A
AB AC 2 BC2 82 62 10BC 6 3 sin A AB 10 5
BC 6 3 cos B AB 10 5
3. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC, （1）求证：AC=BD；
例题示范
例3： 如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若
DPB
CD 那么 (B AB
)
1 A.sin , B.cos , C.tan , D. tan
变题： 如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若
AB=10，CD=6，求
sin .
C D
复习回顾:
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比
叫做∠A的正弦（sine），记住sinA 即 B 斜边 A 当∠A＝30°时，我们有
A的对边 a sin A 斜边 c
c
b
a 对边 C
sin A sin 30
当∠A＝45°时，我们有
1 2
在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
cos A
斜边
c
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即
tan A
A的对边 a A的邻边 b
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
例题示范
3 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝ 5 ，求 cosA、tanB的值．
15 ，求 17
B
sinA、tanA的值． 解：∵
AC 15 cos A AB 17
A C
设AC=15k，则AB=17k
所以 BC
AB 2 AC 2 (17k ) 2 (15k ) 2 8k
BC 8k 8 sin A , AB 17 k 17 BC 8k 8 tan A AC 15k 15
4 sin 5
A
P
O B
练
习
1. 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值． C 解：由勾股定理
BC AB AC 13 12 5 BC 5 B sin A AB 13
2 2 2 2
12
13
A
AC 12 cos A AB 13
BC 5 tan A AC 12
12 （2）若 sin C ，BC=12，求AD的长。 13
A
B
D
C
4. 如图，在△ABC中， ∠ C=90度，若∠ ADC=45度，BD=2DC， 求tanB及sin∠BAD. A
B
D
C
例题示范
例2： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90° B 1.求证：sinA=cosB，sinB=cosA 2.求证：tan A