概率统计习题

一、概率公式的题目1、已知()()()0.3,0.4,0.5,P A P B P AB === 求().P B A B ⋃解：()()()()()()()()0.70.510.70.60.54P A P AB P AB P B A B P A B P A P B P AB --⋃====+-⋃+-2、已知()()()0.7,0.4,0.2,P A P B P AB === 求().P A A B ⋃解：()()()()()()()0.220.70.29P A A B P AB P A A B P A B P A P B P AB ⎡⎤⋃⎣⎦⋃====+⋃+-。

3、已知随机变量(1)X P ，即X 有概率分布律{}1(0,1,2)!e P X k k k -=== ，并记事件{}{}2,1A X B X =≥=<。

求：（1）()P A B ⋃； （2） ()P A B -； （3） ()P B A 。

解：（1）()(){}{}111()12,1111P A B P A B P AB P X X P X e -⋃=-⋃=-=-<≥=-==-；（2）(){}{}{}{}1()2,1210112;P A B P AB P X X P X P X P X e --==≥≥=≥=-=-==-（3）()()(){}{}{}{}{}111,201.20122P BA P X X P X e P B A P X P X P X e P A --<<======<=+=4、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，它是甲射中的概率是多少？解： 设A=“甲射击一次命中目标”，B=“乙射击一次命中目标”， (())()()()()()()P A A B P A P A A B P A B P A P B P AB 侨==+-=0.660.750.60.50.60.58==+-5、为了防止意外，在矿内同时设两种报警系统,A B ，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A 为0.92，系统B 为0.93，在A 失灵的条件下，B 有效的概率为0.85，求： （1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）B 失灵的条件下，A 有效的概率。

解：设=A “系统A 有效”,=B “系统B 有效”,()()()0.92,0.93,0.85P A P B P B A ===,()()()()()()()()()()1.0.988P A B P A P B P AB P A P AB P A P A P B A ⋃=+-=+=+=()()()()()()()()()()()0.070.080.152.0.8290.07P ABP B P A P B A P B P AB P A B P B P B P B ---⨯=====6、由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A ）的概率为415，刮风（记作事件B ）的概率为715，既刮风又下雨的概率为110，求()()()(1);(2);(3)P A B P B A P A B ⋃。

解：()()()1310(1)71415P AB P A B P B ===； ()()()1310(2)4815P AB P B A P A ===()()()()47119(3)15151030P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-=。

二、已知密度（函数）求概率的题目1、某批晶体管的使用寿命X(小时)的密度函数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥=1000100100)(2x x x x f ，　，　，任取其中3只，求使用最初150小时内，无一晶体管损坏的概率。

解：任一晶体管使用寿命超过150小时的概率为设Y 为任取的5只晶体管中使用寿命超过150小时的晶体管数，则)32,3(~B Y .故有2、某城市每天耗电量不超过一百万千瓦小时，该城市每天耗电率（即每天耗电量/百万瓦小时）是一个随机变量X ，它的分布密度为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他0101122x x x x f ，若每天供电量为80万千瓦小时，求任一天供电量不够需要的概率？解：每天供电量80万千瓦小时，所以供给耗电率为：80万千瓦小时/百分千瓦小时=0.8，供电量不够需要即实际耗电率大于供给耗电率。

所以{}()()1120.80.80.81210.0272P X f x dx x x dx >==-=⎰⎰。

3、某种型号的电子管的寿命X （以小时计）具有以下的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧>=其它010001000)(2x x x f ，32100100)()150(1501502150=-===>=∞+∞+∞+⎰⎰ xdx x dx x f X P p 278)31()32()3(0333=⋅==C Y P现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命大于 1500小时的概率是多少？解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为32)321(1)1(1000110001)1500(1)1500(15001000150010002=--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=-=≤-=>⎰x dx x X P X P令Y 表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。

则)32,5(~B Y ，{}24323224311132511)31()32()31(1)1()0(1)2(1)2(54155=-=⨯+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⋅+-==+=-=<-=≥C Y P Y P Y P Y P4、某些生化制品的有效成分如活性酶，其含量会随时间而衰减。

当有效成分的含量降至实验室要求的有效计量下，该制品便被视为失效。

制品能维持其有效剂量的时间为该制品的有效期，它显然是随机变量，记为X 。

多数情况下，可以认为X 服从指数分布。

设它的概率密度函数为：⎩⎨⎧≥<=-0,0,0)(x e x x f x λλ （x 的单位为月）（1）从一批产品中抽取样品，测得有50％的样品有效期大于３4个月，求参数λ的值。

（2）若一件产品出厂12个月后还有效，再过12个月后它还有效的概率有多大？解：指数分布的分布函数为{}⎩⎨⎧<≥-=≤=-001x x e x X P x F x λ）（ （１）{}34ln 2341(34)0.5,0.0234P X F eλλ->=-===≈解出 （２）{}{}{}787.0122412421202.01202.02402.0===>>=>>⨯-⨯-⨯-e ee X P X P X X P5、设K 在（-1，5）上服从均匀分布，求x 的方程24420x Kx K +++=有实根的概率。

解：要想x 有实根，则()224161620B AC K K ∆=-=-⨯+≥则2K 1K ≥≤-或者，又因为()~1,5K U -三、分布函数、密度函数的题目1、设随机变量X 的分布函数为0()arcsin1x a x F x A B a x aa x a≤-⎧⎪⎪=+-<≤⎨⎪>⎪⎩，(1) 求系数A ，B ； (2) 求22aa P X ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭； (3) 求X 的分布密度。

解：（1）由F(x)在,a a -处的右连续性知⎪⎩⎪⎨⎧=+=-1202B A B A ππ 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==π121B A （2）122223a a a a P X F F ⎧⎫⎛⎫⎛⎫-<<=--=⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭（3）因为)()('x F x f =，则()0x af x x a<=≥⎩2、设随机变量X 的分布函数为 ()0,arctan ,1,x a x F x A B a x aa x a ≤-⎧⎪⎪=+-<≤⎨⎪>⎪⎩，求：（1）常数,A B ； （2）0P X ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭； （3）X 的密度函数()f x 。

解：（1）由分布函数的右连续性知：()()()()0lim lim arctan 4arctan lim 14x a x a x a x F a F x A B A B a a F a A B A B F x a ππ+++→-→-→⎧-===+=-⎪⎪⎨⎪=+=+==⎪⎩，所以1124204A A B B A B πππ⎧⎧=+=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩；（2）()100333P X F F ⎧⎫⎛⎫⎪⎪<<=-= ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎩⎭⎝⎭；（3） ()()222,()0,a a x aa x f x F x π⎧-<<⎪+'==⎨⎪⎩其它。

3、设随机变量X 的分布函数为 ()20,0,011,1x F x Ax x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩，求：)1(常数A ； )2({}0.30.7P X <<； )3(X 的密度函数()f x 。

解：（1）由分布函数的右连续性知：()()11lim 1x F A F x +→===，所以1A =； （2）{}()()0.30.70.70.30.4P X F F <<=-=； （3） ()2,01()0,x x f x F x <<⎧'==⎨⎩其它。

4、设随机变量X 的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=-00,22x x eB A x F x 求：（1）系数B A ,； （2）{}9ln 4ln <<X P ； （3）X 的密度函数。

解： (1) 由于()x F 在()∞+∞-,内连续，()()00lim lim 2002==+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-→→++F B A Be A x F x x x 又 ()1lim lim 22==⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+∞→+∞→A BeA x F x x x 故1-=B ()⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-00,122x x e x F x(2) {}9ln 4ln <<X P=()()4ln 9ln F F -=613121=-(3) X 的密度函数为 ()()⎪⎩⎪⎨⎧≤>='=-00022x x ex x F x f x ,,5、设连续性随机变量X 的分布函数为 2,0()0,0.x A Be x F x x -⎧+>=⎨≤⎩，求：(1)常数A ，B ； (2){11}P X -<<； (3) X 的密度函数()f x 。

解：（1）由分布函数的右连续性及性质知：()()()()20000lim lim 1lim x x x x F F x A Be A B F F x A ++-→→→+∞⎧===+=+⎪⎨+∞===⎪⎩，所以0111A B A A B +==⎧⎧⇒⎨⎨==-⎩⎩； （2）{}()()211111P X F F e --<<=--=-；（3） ()22,0()0,x e x f x F x x -⎧>'==⎨≤⎩。