《电路基础》第20讲 正弦量与相量法的基本概念

F1·F2=F ej
F逆时针旋转一个角度 ，模不变
ej 称为旋转因子。
j
e2
= cos
+
j sin
=+j
2
2
e j(
2
)
=
c o s (
2
)
+
j
s i n (
2
)
=
j
Im
+ j I
0
I
Re
e j = cos( ) + j sin( ) = 1
I jI
+j , –j , -1 都可以看成旋转因子。
L
di dt
+
Ri
=
us
当激励uS为正弦量时,方程的特解是与uS同频率的正弦量。
设
i(t) = Im cos(ωt+i) = Re[Imejωt］
uS(t) = USm cosωt =Re［ USme jωt］
代入微分方程得：
L
d dt
•
[I
m
e
jt
]+
R
•
Re[I
m
e
jt
]
=
•
Re[U
Sm
e
jt
]
u, i u i
0
u i
t
7
特殊相位关系：
= 0， 同相：
u, i
u
i
0
t
= ( 180o ) ，反相：
u, i
i
u
0
t
u, i u i
0
= 90°正交
u 领先 i 90°
或 i 落后 u 90°
t
不说 u 落后 i 270°
或i 领先 u 270°
规定： | | (180°)
8
3、正弦量的有效值
（1）定义：
DEF
I=
上式表明：
1
T
T i2dt
0
周期量的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周 期内积分的平 均值取平方根 。
∴ 周期量的有效值又称为方均根值。
（2）物理意义：
有效值是一个在效应上（如电流的热电效应）与周期量在一 个周期内的平均效应相等的直流量。
9
物理意义 i(t)
R
W1 =
T i 2 (t )Rdt
f = 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
解： i = 50 2cos(314t + 15o ) A
3、 相量图
i(t) = 2Icos(ω t + i ) I= Ii u(t) = 2Ucos(t + u ) U= Uu
•
U
•
I u i
16
4、 相量运算 (1) 同频率正弦量相加减
u1(t ) = 2 U1 cos(t + 1) = Re(
L
di dt
+
Ri
=
us
•
•
(R + jL) I m = U Sm
24
第20讲 正弦量与相量法的基本概念
结束
作业：P266 4-2 预习: 电路定律的相量形式、阻抗与导 纳
25
1、复数及运算 （1） 复数F表示形式： F=a+jb
F =|F| e j =|F|∠
欧拉公式: e j = cos + j sin
F=|F|(cos+jsin)
a = F cos , b = F sin
F = a2 + b2 , = arctan b
a
Im
b
F
0
a Re
F = a + jb
Im
u1(t ) u2 (t ) = 2 381cos(t + 30 )
•
U2
•
U1
•
•
U1 U2
-120o
•
U2
•
•
U1+ U2
21
例 2 如图所示电路, 已知R = 2 Ω, L = 1H, 激励uS(t) = 8 cos ωt (V), ω=2rad/s, 求电流i(t)的稳态响应。
解： 列KVL方程为
第20讲 正弦量与相量法的基本概念
学习重点: 1、正弦量三要素的概念，周期、频率与角频率的关系； 2、相位差及其物理含义； 3、正弦量的有效值及其物理含义； 4、振幅相量、有效值相量的概念； 5、正弦量的相量运算。
1
一. 正 弦量(P145)
电路中凡是按正弦(余弦)规律随时间作周期变化的电压或电 流称为正弦电压或正弦电流，统称为正弦量。它可以用正弦函 数表示，也可以用余弦函数表示。本课程用余弦函数表示，即
复常数
A(t)包含了三要素：I， y ， 复常数包含了I , 。
•
称 I = I 为正弦量 i(t) 对应的有效值相量。
14
•
i(t) = 2I cos(t + ) I = I
正弦量的有效值相量表示:
以正弦量的有效值作为相量的模 正弦量的初相位作为相量的幅角
•
u(t) = 2U cos(t + ) U = U
例1. 已知 i = 141.4cos(314t + 30o )A u = 311.1cos(314t 60o )V
试用有效值相量表示 i, u 。
解：
•
I
= 10030o A
•
U = 220 60o V
振幅相量:
•
Um
= Ume ju
= Umu
=
•
2U
15
u 错误的写法：
U
i
I
例2.
•
已知I = 5015o A,
注意:只适用正弦量
Im = 2I
i(t) = Im cos(t + ) = 2I cos(t + )
同理: u(t ) = Um cos(t + ) = 2U cos(t + )
★ 正弦量的有效值与最大值之间有固定的 2 关系，即
Im = 2I Um = 2U
11
二、 相 量 法 的 基 本 概 念（P149）
发生在计时起点之后, 则φu (或φi )<0, 如图(c)所示;如果正最大值
恰发生在t = 0处, 则φu (或φi) = 0, 如图(b)所示。
6
2、同频率正弦量的相位差
设 u(t)=Umsin( t+ u), i(t)=Imsin( t+ i)
相位差 = ( t+ u)- ( t+ i)= u- i >0， u 领先(超前)i ，或i 落后(滞后) u <0， i 领先(超前) u，或u 落后(滞后) i
b
F
|F|
0
a Re
F = F e j =| F |
12
（2） 复数运算
(a)加减运算——直角坐标 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)
(b) 乘除运算——极坐标 （3） 旋转因子
F1 F2 = F1 F2 1 + 2
F1 F2
=
F1 e j1 F2 e j2
=
F1 F2
1 2
复数 F1= ej = cos + jsin = 1∠ , F2=F
u=Umcos(t + u) i = Imcos(t + i )
(1) Um(Im )：正弦量的振幅。是正弦量在整个振荡过程中 达到的最大值。
(2) (t + u)和(t + i)：相位角或相位。它反映了正弦量
变化的进程。
（3）u(i)称为正弦电压(电流)的初相角, 简称初相, 它是正
弦量t =0时刻的相角。
设 i(t)=Imcos( t + )
def
I=
1 T i 2 (t )dt
T0
I =
1 T
T 0
I
2 m
cos2
(
t
+
)
dt
T cos2( t + ) dt = T 1 + cos 2(t + ) dt = 1 t T = 1 T
0
0
2
20 2
பைடு நூலகம்I=
1 T
I
2 m
T 2
=
Im 2
= 0.707Im
22
L
d dt
•
[I
m
e
jt
]+
R
•
Re[I
m
e
jt
]
=
•
Re[U
Sm
e
jt
]
•
•
•
Re[ jL I m e jt ] + Re[R I m e jt ] = Re[U Sm e jt ]
•
•
Re[(R + jL) I m e jt ] = Re[U Sm e jt ]
•
•
(R + jL) I m = U Sm
i I
证明：
di jI
dt
di = d Re[ 2Ie j t ] dt dt
= Re d [ 2Ie j t ] dt
= Re[ 2 Ij e j t ]
i I
idt
1
j
I
18
小结
① 正弦量
正弦波形图
相量
有效值相量 振幅相量
相量图
② 相量法只适用于激励为同频正弦量的线性时不变电路。
N
线性
1
2
N
线性
非
线性
不适用 ③ 相量法可以用来求强迫响应是正弦量的任意常系数线
性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。
19
例 1 如有两个同频率的正弦电压分别为
u1(t) = 2220cos t (V) u2(t) = 2220cos(t 120) (V)
求 u1+u2 和 u1u2。 解：
•
U1
3
正弦电压与电流
4
初相角的单位为弧度(rad)或度(°)。通常在-π≤ φu (或φi)≤π 的主值范围内取值。
初相角的大小与计时起点有关。因本课程用余弦函数表示正
弦量，因而用最大值发生的时刻与t=0时相比较。如果正弦量的正
最大值发生在计时起点(t = 0)之前 , 则φu (φi)>0, 如图(a)所示; 如
2
(4) ：正弦量的角频率（rad/s）。 它是正弦量的相位随
时间变化的速率。即
= d (t + ) dt 与 有关的参量：
周期：T
T=2π
=2π／T
频率：f
f =1／T
=2πf
频率的单位：HZ，赫兹
其它常用单位：
1KHZ=103HZ
1MHZ=106HZ
1GHZ=109HZ
我国工业用电的频率为50HZ。在工程实际中，常以频率的大小 作为区分电路的标志，如高频电路，低频电路等。
•
Im
=
•
U Sm
R + jL
=
8 0 2+ j2
I
US j
=
80
= 2 2e j(45) (A)
22 + 22 arctan 2
2
i(t) = 2 2 cos(t 45) (A)
23
可见, 采用相量后, 以i(t)为未知量的微分方程变换 为以相量为未知量的代数方程。
•
i(t) Im
微分方程 代数方程
13
2、 正弦量的相量表示
复函数 A(t ) = 2Iej(t+ )
= 2Icos(t + ) + j 2Isin(t + ) 若对A(t)取实部：
Re[ A(t )] = 2Icos(t + )
i = 2Icos(t + ) A(t ) = 2Iej(t+ )
A(t)还可以写成
A(t ) = 2 I ej ej t = 2 Ie j t
2
•
U
1
e
j
t
)
u2 (t ) =
2 U2 cos(t + 2) = Re(
2
•
U
2
e
j
t
)
u(t) = u1(t)+ u2(t)
= Re(
2
•
U
1
e
j
t
)
+
Re(
2
•
U
2
e
j
t
)
= Re(
•
2U1
e jt
+
2
•
U
2
e
j
t
)
= Re[
2
•
(U
1
+
•
U
2
)e
j
t
]
U
得：
U= U1 + U2
17
（2） 正弦量的微分、积分运算
0
电压有效值
I R
W2=I 2RT
I 2 RT = T i 2 (t )Rdt 0 I = 1 T i 2 (t )dt T0
def
U=
1 T u2 (t )dt
T0
注意：工程上一般所说的正弦电压、电流的大小都是指有效值。交
流测量仪表的读数、电气设备铭牌上的额定值都是有效值。
10
（3） 正弦电流、电压的有效值
-120o
•
U 1 = 220
0 ,
•
U 2 = 220
120
•
U2
+ •
•
U 1 + U2 = 220
0
220
120
•
•
U1+ U2
= 220 (cos0 + j sin 0) + 220[cos(120) + j sin(120)] = 110 j190.5 = 1102 + (190.5)2 arctan 190.5 = 220 60
110
u1(t ) + u2 (t ) = 2 220cos(t 60 )
20
•
•
U 1 U2 = 220
0
220
120
= 220 (cos 0 + j sin 0) 220 [cos(120 ) + j sin(120 )]
= 330 + j190 .5 = 330 2 +190 .52 arctan 190 .5 = 38130 330