1.1映射与函数
高数高等数学1.1映射与函数
说明 (1) 分段函数对应不同的区间，函数有不同的表达式. (2) 分段函数表示一个函数，不是几个函数. (3) 分段函数的定义域是各分区间的定义域的并集.
1 例6 设 f ( x ) 2 1 解 f ( x) 2
0 x1
求 f ( x 2) .
解
2( x 2) 1, 0 x 2 1 f ( x 2) 4 ( x 2), 1 x 2 2
2 x 5, 2 x,
2 x 1 1 x 0
.
几个特殊的函数举例 (1)常函数
开区间
( a , b ) { x a x b}
o
闭区间
a
b
x
[a , b ] { x a x b }
o
a
b
x
半开区间
[a , b ) { x a x b}
( a , b] { x a x b }
无限区间
有限区间
称a, b为区间的端点， 称b－a为这些区间的长度.
1, 当 x > 0 0, 当x = 0
1 ,
1
当x<0
y4
3 2 1
o
-1
x
x sgn x x
(4)取整函数 y x
[x]表示不超过x 的最大整数
-4 -3 -2 -1 o -1 1 -2 -3 -4
2 3 4
x
(5)狄利克雷函数
y
1 1 当x是有理数时 • y D( x ) o• 0 当x是无理数时 无理数点
f (sin x ) (sin x )3 1
高等数学上册1.1 映射与函数
一、映 射
二、函 数
第一章 函数与极限
一、映射
1. 映射的概念
定义1
设 X 、Y 是两个非空集合, 若存在一个法则 , 使得对X中
每个元素, 按法则 , 在Y中有唯一确定的与之对应, 则称
为从 X 到 Y 的映射. 记作 : X→Y.
X
定义域
D =X
第一节 映射与函数
()
()=
若既是满射又是单射, 则称为双射或一一映射.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
注 映射又称为算子, 在不同数学分支中有不同的名称.
Y
非空集X
上的泛函
数集Y
非空集X
上的变换
非空集Y
实数集X
上的函数
实数集Y
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 逆映射与复合映射
注 分段函数是一个函数,不是多个函数.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 函数的几种特性
设函数 = () 的定义域为D , 且数集 ⊂ D 或区间 I ⊂ D .
(1) 有界性
∀ ∈ , ∃ > 0, 使 () ≤, 称 () 在上有界.否则称无界.
∀ > 0, ∃0 ∈ , 使|( 0)|≥M, 称() 在I上无界.
<0
第一章 函数与极限
例8 设为任一实数,不超过的最大整数称为的整数部分,记作[].
例如:
5
= 0,
7
阶梯曲线
2 = 1, [π] = 3, [−1] = −1, [−3.5] = −4.
求函数 = [] 的定义域和值域并画图.
高一数学目录
高一数学目录一、函数与映射1.1 函数的概念1.1.1 函数的定义1.1.2 函数的表示方法1.1.3 函数的定义域与值域1.2 映射的概念1.2.1 映射的定义1.2.2 映射与函数的关系二、函数的性质2.1 函数的单调性2.1.1 单调增函数与单调减函数2.1.2 单调性的判断方法2.2 函数的奇偶性2.2.1 奇函数与偶函数的定义2.2.2 奇偶性的判断与应用2.3 函数的周期性2.3.1 周期函数的定义2.3.2 周期函数的性质三、指数与对数3.1 指数函数3.1.1 指数函数的定义3.1.2 指数函数的性质3.2 对数函数3.2.1 对数函数的定义3.2.2 对数函数的性质3.3 指数与对数的运算3.3.1 指数运算规则3.3.2 对数运算规则四、三角函数4.1 三角函数的定义4.1.1 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义4.1.2 三角函数的周期性4.2 三角函数的图像与性质4.2.1 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像4.2.2 三角函数的性质五、三角恒等变换5.1 三角函数的和差公式5.1.1 正弦和差公式5.1.2 余弦和差公式5.1.3 正切和差公式5.2 倍角公式与半角公式5.2.1 倍角公式5.2.2 半角公式六、平面向量6.1 向量的基本概念6.1.1 向量的定义6.1.2 向量的表示6.2 向量的运算6.2.1 向量的加法与减法6.2.2 向量的数乘6.3 向量的应用6.3.1 向量在几何中的应用6.3.2 向量在物理中的应用七、直线与方程7.1 直线的方程7.1.1 斜截式方程7.1.2 点斜式方程7.1.3 截距式方程7.1.4 一般式方程7.2 直线的性质7.2.1 直线的斜率7.2.2 直线的平行与垂直八、圆与方程8.1 圆的方程8.1.1 标准方程8.1.2 一般方程8.2 圆的性质8.2.1 圆心与半径8.2.2 圆的对称性8.3 圆与直线的位置关系8.3.1 相交8.3.2 相切8.3.3 相离。
映射与函数知识点总结
映射与函数知识点总结一、映射与函数的概念1.映射的定义：将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的一些元素的规律称为映射。
对于给定的两个集合A和B，如果每个元素a∈A都有一个元素b∈B与之对应，那么就称集合A到集合B的映射。
记作f：A→B。
2.函数的定义：函数是一种特殊的映射，它满足每个元素a∈A只能对应一个元素b∈B的规律。
对于给定的两个集合A和B，如果每个元素a∈A都有唯一的元素b∈B与之对应，那么就称集合A到集合B的函数。
记作f：A→B。
3.定义域和值域：函数f的定义域是指所有可能作为函数输入的数的集合，通常用符号D(f)表示；函数f的值域是指函数所有可能的输出的数的集合，通常用符号R(f)表示。
二、映射与函数的性质1.单射：也称为一一对应，指当对于集合A中的不同元素a1和a2，它们在集合B中的对应元素f(a1)和f(a2)也不相同。
换句话说，每个元素a∈A都对应着集合B中唯一的元素。
2.满射：也称为映满函数，指函数的值域与集合B相同，即函数的所有可能的输出都在集合B中。
3.双射：即同时满足单射和满射的函数，也称为一一映射。
4.奇函数和偶函数：如果对于函数f的定义域中的每一个实数x，都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f是奇函数；如果对于函数f的定义域中的每一个实数x，都有f(-x)=f(x)成立，则称函数f是偶函数。
5.反函数：如果函数f的定义域和值域都是实数集，且对于函数f中的每一对实数(x,y)，都有y=f(x)，则存在一个函数g，使得对于函数g中的每一对实数(y,x)，都有x=g(y)。
这样的函数g称为函数f的反函数。
三、映射与函数的应用1.函数关系式：映射与函数可以描述实际问题中的各种关系，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
通过分析函数关系式，我们可以了解函数的性质和特点，从而应用到各种实际问题中。
2.函数的图像：通过绘制函数的图像，可以直观地表达函数的变化规律，了解函数的增减性、奇偶性、周期性等。
2024年人教版高二数学复习知识点总结
2024年人教版高二数学复习知识点总结第一章函数与方程1.1 函数与映射函数的定义、函数的性质、函数的四则运算、复合函数、反函数映射的定义、映射的性质、一一映射、单射、满射1.2 一元二次函数及其应用一元二次函数的定义、一元二次函数的图像、一元二次函数的性质、一元二次函数的解析式、一元二次函数的图像与解析式的关系、一元二次函数的最值、一元二次函数的应用1.3 不等式不等式的定义、解不等式、不等式的性质、不等式的运算、一元一次不等式、一元二次不等式1.4 线性规划线性规划的定义、线性规划中的常见问题、线性规划的解法、线性规划的应用第二章三角函数与解三角形2.1 三角函数三角函数的定义、三角函数的性质、三角函数的图像、三角函数的周期、三角函数的关系式2.2 平面向量平面向量的定义、平面向量的运算、平面向量的线性运算、平面向量的数量积、平面向量的夹角、平面向量的投影、平面向量的正交2.3 解三角形解直角三角形、解一般三角形、解等腰三角形、解等边三角形、解特殊三角形、解复合三角形第三章数列与数项级数3.1 数列的概念数列的定义、数列的性质、数列的通项、数列的分类、数列的极限3.2 数列的通项公式等差数列、等比数列、等差数列与等比数列的关系、通项公式的推导方法、通项公式的应用3.3 数列的求和部分和、数列的前n项和、无穷数列的求和、等差数列的求和、等比数列的求和、部分和公式的应用3.4 级数级数的定义、级数的性质、无穷级数的收敛性、级数的求和、级数的应用第四章导数与导数应用4.1 导数的基本概念导数的定义、导数的性质、导数的基本运算、导数与函数的图像关系4.2 导数的应用函数的单调性、函数的极值、函数的曲线与切线、函数的凹凸性、函数的拐点、函数的极限与导数4.3 高阶导数和隐函数高阶导数的定义、高阶导数的求法、高阶导数的性质、隐函数的导数、隐函数的高阶导数第五章积分与积分应用5.1 不定积分不定积分的定义、不定积分的性质、不定积分的基本公式、不定积分的线性运算5.2 定积分定积分的定义、定积分的性质、定积分的线性运算、定积分的几何意义、定积分的求法5.3 微分方程微分方程的定义、微分方程的解、一阶微分方程、二阶微分方程、线性微分方程、微分方程的应用5.4 积分应用反常积分、曲线长度、曲线面积、体积、几何应用、物理应用以上是____年人教版高二数学的复习知识点总结，共计____字。
1-1 映射与函数
例： f ( x ) x 2 在[0, )上单调增加
在 ( , 0]上单调减少 在 ( , )上不是单调的
函数的几种特性
3．函数的奇偶性
设函数f (x) 的定义域D关于原点对称
如果对于任一 x D, f ( x ) f ( x )恒成立
那么称函数f (x)为偶函数
四则运算
函 数
构造 复合映射
构造
基本初等函数
基本初等函数与初等函数
基本初等函数 幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次
的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数
否则称为非初等函数
概念
概念 初等函数
逆映射
集 合 区 邻 间 域
即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,
则称f为X到Y上的映射或满射 若对X中任意两个不同的元素
则称f为X到Y的单射 若映射 f 既是满射又是单射, 则称 f 为一一映射或双射. X f
它们的像
逆映射 若f 是从X到Y的单射，可定义一个从 对每个 规定
到X的新映射g
这x满足
这个映射g称为f的逆映射，记作 注 (1) 只有单射才存在逆映射 (2) 逆映射
1 y f ( x ), x f ( D) y f ( x ), x D 的反函数记成 一般地，
注 (1) f 在D上单调增加（减少），f 1 必定存在
1 且 f 在f (D)上也单调增加（减少）
(2) 函数y=f (x)与其反函数 y f 1 ( x ) 的图形 关于直线y=x对称
函数的几种特性
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
重庆大学高等数学教材答案
重庆大学高等数学教材答案在此提供《重庆大学高等数学教材答案》的文章。
重庆大学高等数学教材答案第一章：函数与极限1.1 函数与映射函数是数学中的重要概念之一。
在高等数学教材中，函数被定义为一个一一对应的关系，其中每个自变量对应唯一的一个因变量。
映射是函数的另一个称呼，用来描述函数的输入和输出之间的对应关系。
通过函数和映射的理论，我们可以深入理解数学中的变化规律和性质。
1.2 极限的概念极限是高等数学中的基础概念之一。
在定义中，我们说函数f当自变量趋于某个特定值时，对应的函数值趋于一个确定的常数L，则称函数f在该自变量趋于特定值的情况下有极限L。
通过研究函数的极限，我们可以了解函数的收敛性、趋势以及它们的性质。
第二章：导数与微分2.1 导数的定义与性质导数是函数在某一点上的局部变化率，通过导数可以研究函数的变化趋势以及各点上的斜率。
在高等数学教材中，我们学习了导数的定义以及导数的一些性质，如导数与函数的连续性、导数的四则运算等。
2.2 微分的概念与应用微分是导数的一种形式，通过微分我们可以研究函数的变化率和函数在某一点上的线性逼近。
微分在实际问题中的应用非常广泛，例如在物理学中，通过微分可以描述物体的运动轨迹和速度变化。
第三章：定积分与不定积分3.1 定积分的概念与性质定积分是高等数学中的重要内容之一，它是对函数在一定区间上面积的度量。
通过定义和性质，我们可以计算函数在给定区间上的定积分，并将其应用于求解几何问题、物理问题等。
3.2 不定积分的计算与应用不定积分是定积分的一种逆运算，通过不定积分我们可以找到函数的原函数。
通过学习不定积分的计算方法，我们可以应用于求解一些特定问题，例如计算曲线的长度、求解微分方程等。
第四章：级数4.1 数列极限的概念与性质数列极限是研究函数序列收敛性的一个重要概念。
通过掌握数列极限的定义和性质，我们可以判断函数序列是否收敛，并了解函数序列的收敛趋势。
4.2 级数的概念与性质级数是数列的和的概念，通过级数我们可以了解数列的求和情况。
高等数学教材第八版本
高等数学教材第八版本第一章函数与映射高等数学是大学数学中的重要基础课程，主要涉及函数、极限、微积分等内容。
而在高等数学教材第八版本中，函数与映射是第一章的重点内容。
本章将引导学生深入了解函数与映射的定义、性质和应用。
1.1 函数的概念与性质函数是实数集之间的一种特殊关系，它将每个自变量与唯一一个因变量相对应。
在本章中，我们将学习函数的各种定义方式，例如显式定义、隐式定义、参数方程等。
此外，我们还将研究函数的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
1.2 映射与复合函数映射是一种更一般的函数关系，它可以将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
在本节中，我们将学习映射的定义、分类以及常见的映射表示方法，如箭头图、集合对集合的表示法等。
此外，我们还将讨论复合函数的概念，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
1.3 反函数与参数方程在某些情况下，我们需要找到一个函数的逆函数，以便求解方程或解决实际问题。
本节将介绍反函数的概念与求解方法，并且会讨论参数方程的基本概念与应用。
第二章极限与连续性函数的极限与连续性是高等数学中的重要概念，对理解微积分和实分析等学科有着重要作用。
在高等数学教材第八版本中，极限与连续性是第二章的重点内容。
2.1 函数的极限函数的极限是函数在无穷接近某一点时的行为，它是微积分的基础。
在本节中，我们将学习函数极限的定义、性质以及极限存在的判定方法。
此外，我们还将研究函数的左极限和右极限，并探讨无穷极限的概念与性质。
2.2 连续与间断函数的连续性是指函数在某一点上无间断，即函数图像没有突变。
本节将介绍函数连续性的定义与判定方法，包括闭区间上的连续性、间断点的分类等。
2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大是描述函数在某一点上逼近某些特殊值的概念。
本节将讲解无穷小与无穷大的定义、性质以及它们与函数极限的关系。
第三章导数与微分导数是微积分的核心概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
在高等数学教材第八版本中，导数与微分是第三章的重点内容。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y y M
M
y=f(x) o -M x 有界 I
x0
o -M I 无界
x
(2) 单调性
x1 , x2 I , 当 x1 x2 时,
若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f (x) 为 I 上的
y
x o
xx
f (x ) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
(4) 周期性
x D, l 0 , 且 x l D , 若 f ( x l ) f ( x)
则称 f (x )为周期函数 ,称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ). f (t ) y
2
y f (x)
因变量
或
f ：x
y, x X
定义域
自变量
f(x)是f在x处的函数值，函数值的全体（是Y的一 个子集）称做函数f的值域．
说明: 1.与初等数学中称因变量y是函数的说法不同,
定义中称对应法则f 是函数, 这一方式表明, 函数本质是变量之间的对应关系. 2. 定义中,并未规定对应法则f 必须用数学公式 来表现, 尽管这是最常用的形式. 依据定义, 还可以采用曲线、表格，甚至文字等各种方 式表示对应法则.
19世纪，人们对函数概念的认识飞跃到一个新 的阶段，这就是建立了变量与函数之间的对应关系， 因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部 分。 上世纪20年代，又产生了新的现代函数定义： “若对集合M的任意元素 x ,总有集合N上确定的元 素 y 与之对应，则称在集合M上定义了一个函数， 记为y f (x ) ，元素 x 称为自变元，元素y 称 为因变元。”
17世纪末，莱布尼兹首先用了“function”一 词．不过，当时这个词是用来表示“幂”、“坐标” 以及“切线长”等概念，意义含糊． 1718年，达朗贝尔给函数下的定义是： “所谓 变量的函数，就是指由这些变量和常量所组成的解析 表达式”．
1748年，欧拉又给出函数的定义： “函数就 是一条随意可以描画的曲线”．
的函数，在这里自变元是线段，因变元是数．至此， 函数的概念就更加一般化了．
二、函数的概念
1.函数的定义 定义1 设x, y是两个变量，X是x的变化范围． Y是y的变化范围，f 是对应法则．若对X中的每个 x值，依据对应法则f ，Y中有唯一确定的值y与之
对应，则称对应法则f 是定义在X上的函数，记作
新的函数定义与老的函数定义从形式上看，
只相差几个字，如把“数”改为“元素”，讨论
的对象 但实质上并非几 从“数的范围”进入到“一般集合”．
字之差，而是概念上的重大发展，是数学发展道路
上的重大转折，近代的“泛函分析”可以作为这种转 折的标志，它研究的是一般集合上的函数关系，根 据近代函数定义，我们可以说，线段的长度是线段
y= u,
u 1 x ,
2
y 1 x2
注: 1.不是任何两个函数都可复合成一个 复合函数.
例如,y=arcsinu 和 u=2+x2 就不能复合成一个复 合函数．因为 u=2+x2 的定义域内的任何x 值所对 应的u值都使 y=arcsinu 没有意义． 2.复合函数可以由两个以上的函数复合而成.
o 2 x
2 o
周期为
2 周期为 2
t
注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常函数 f ( x) C 狄里克雷函数 f (x)
1,
0,
x 为有理数 x 为无理数
三.初等函数
1.复合函数
每 毁 林 亩
造成
x
面水 积土 u流 亩失
f
带来
f
损直 失接 y经 元济
x u y
假设u=φ(x),y=f(u)，那么y是u的函数，而u
又是x的函数，即变量y经变量u的中转最终是x的 函数,我们把类似的实际问题抽象为一个数学概
念—复合函数.
定义2
设y是u的函数y = f (u) ， u是x的函数
u=g(x)，而且当x在g(x)的定义域或定义域的一部分 取值时， 所对应的u值使y = f (u)有定义， 则称 y = f [g(x)] 是由y = f (u) 和u=g(x) 构成的复合函数 ． 中间变量 例第1章来自§1.1映射与函数
数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进 入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微 分和积分也就立刻成为必要的了. 恩格斯
一、 函数概念的形成与发展 二、 函数的概念 三、 初等函数
一、函数概念的形成与发展
在封建社会里，由于生产力水平不高，人们对 数学的需要停留在常量数学范围内，到了16、17世纪， 社会多方面的需求需要人们对各种“运动”进行研究， 这就为函数概念的产生提供了客观上的基础。
3. 定义中, 对法则f 的一个基本要求是,它必须
能以确定的方式指定唯一的一个y值与x值对
应.
2. 函数的几种特性 设函数 y f ( x) , x D , 且有区间 I D . (1) 有界性 x I , M 0 , 使 f ( x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
x 例如, y cot , 2
y u , u cot v, v x .
2
2. 反函数 定义3 设X是严格单调函数y = f (x)的定义域，
Y = f (X)是它的 值域．任给y∈Y，由于f (x)严格
单调，存在唯一的一个x∈X使 f (x) = y，则x也
是y的函数, 称为y=f (x)的反函数, 记为 x = f -1(y)． 函数y=f (x)称为直接函数. y = f (x)和x = f -1(y)互为 反函数． 一般地, y = f (x), x∈X 的反函数记为y= f -1(x), x∈Y .
单调增函数.
y
若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f (x) 为 I 上的 单调减函数 .
(3) 奇偶性
x1 x 2
x
x D, 且有 x D, 若 f ( x) f ( x) , 则称 f (x) 为偶函数;
若 f ( x) f ( x) , 则称 f (x) 为奇函数. 说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当