广义Fornberg-Whitham方程的某些非线性波解
广义Bernoulli方程及其解法
短篇园地广义B ernou lli 方程及其解法Ξ邹泽民 (梧州师专数学系 广西贺州 542800)摘要 本文将一阶微分方程中的B ernou lli 方程d y d x =P (x )y +Q (x )y n 推广到一类一阶非线性方程d y d x =Q (x )f (y )+P (x )f (y ) ∫1f (y )d y (其中1f (y )可积)并得到其初等解法。
关键词 广义B ernou lli 方程 变量代换 一阶线性方程通解在一阶微分方程中,有一些类型的非线性微分方程可经适当的初等变量代换化为线性微分方程,最典型的范例就是B ernou lli 方程的解法。
于是借助于初等变换方法我们可以得到更一般的一类一阶非线性微分方程的解法。
1 广义B ernou lli 方程设函数1f ()可积,形如d y d x =Q (x )f (y )+P (x )f (y ) ∫1f (y )d y(1)的一阶非线性微分方程称为广义Bernou lli 方程。
定理1 广义B ernou lli 方程d y d x =Q (x )f (y )+P (x )f (y ) ∫1f (y )d y 的通解为5(y )=∫1f (y )d y =e ∫P (x )d x [Q (x )e -∫P (x )d xd x +c ]证明 由函数1f (y )可积,令5(y )=∫1f (y )d y又f (y )≠0由(1)可变形为1f (y )d y d x =Q (x )+P (x ) ∫1f (x )d yd (∫1f (y )d y )d x =P (x ) ∫1f (y )d y +Q (x )再令u =5(y )=∫1f (y )d y即d ud x=P (x )u +Q (x )为关于未知函数u 的一阶线性非齐次方程,其通解为u =5(y )=∫1f (y )d y =e ∫P (x )d x [Q (x )e -∫P (x )d xd x +c ]若函数f (y )分别取几类特殊函数时,(1)便有下列几种常见的特殊形式方程,分别有 推论 Bernou lli 方程型d y d x =Q (x )y n +P (x )y n∫1ynd y(2)则有11当n =0时,方程(2)即为一阶线性非齐次方程,通解为y =e∫P (x )d x[∫Q (x )e -∫P (x )d xd x +c ]92V o l 14,N o 12M ar .,2001 高等数学研究STUD IES I N COLL EGE M A TH E M A T I CS Ξ21当n =1时,方程(2)即为d y d x =Q (x )y +P (x )y ln y ,通解为ln y =e∫P (x )d x[Q (x )e -∫P (x )d xd x +c ]31当n ≠0时,且n ≠1时,方程(2)的通解为y1-n=(1-n )e ∫P (x )d x [∫Q (x )e -∫P (x )d xd x +c ] 事实上,此时f (y )=y n定理2 方程d y d x =Q (x )a ny+P (x )(3)通解为a -ny=a -n ∫P (x )d x[c -n ln a ∫Q (x )a n ∫P (x )d xd x ]证明 由方程d y d x =Q (x )a ny +P (x )变形为a -ny d y d x =Q (x )+P (x )a -ny即-1n ln a d (a -ny )d x =Q (x )+P (x )a -nyd (a -ny )d x=-n ln aQ (x )-n ln aP (x )a -ny令a -ny =u 即d ud x =-n ln aQ (x )-n ln aP (x )u 通解为 u =a -ny=e -n ln a ∫P (x )d x[-n ln a ∫Q (x )e n ln a ∫P (x )d x d x +c ]=a-n ∫P (x )d x[c -n ln a ∫Q (x )a n ∫P x (d xd x ]事实上,若方程(1)中的f (y )=a ny时方程即为d y d x =Q (x )a ny +P (x )a ny∫1anyd y也即d y d x =Q (x )a ny -1n ln aP (x )为方程(3)的类型。
（N＋1）维广义的Boussinesq方程的精确显式非线性波解
（N＋1）维广义的Boussinesq方程的精确显式非线性波解温振庶【摘要】研究（N＋1）维广义的Boussinesq方程的非线性波解。
利用动力系统定性理论和分支方法，获得它的多种非线性波解的精确显式表达式，这些解包括孤立波解，爆破解，周期爆破解和扭波型解。
%In this paper,we study the nonlinear wave solutions for the (N+1 )-dimensional generalized Boussinesq ing the bifurcation method and qualitative theory of dynamical systems,we obtain many exact explicit expressions of the nonlinear wave solutions for the equation.These solutions contain solitary wave solutions,blow-up solutions,peri-odic blow-up solutions,and kink-shaped solutions.【期刊名称】《华侨大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(037)003【总页数】6页(P380-385)【关键词】(N+1)维广义的Boussinesq方程;孤立波解;爆破解;周期爆破解;扭波型解【作者】温振庶【作者单位】华侨大学数学科学学院，福建泉州 362021【正文语种】中文【中图分类】O175.292007年，Yan[1]引入(N+1)维广义的Boussinesq方程,即式(1)中：τ≠0是常数；N>1是一个整数.文献[1]利用半行波相似变换得到几类解.Guo等[2]采用辅助方程方法得到方程(1)的几种Jacobi椭圆函数解.Liu等[3]研究(2+1)维Boussinesq方程的精确周期孤立波解，即Abdel等[4]研究(2+1)维广义的Boussinesq方程的孤立波解，即本文从动力系统的角度[4-21]研究方程(1)的非线性波解，获得它的多种非线性波解的精确显式表达式，这些解包括孤立波解，爆破解，周期爆破解和扭波型解. 将代入方程(1),得到对式(4)积分两次，并设积分常数为0，得到令y=φ′，得到一个平面系统,即其首次积分为当n为偶数时，系统(6)有2个奇点(φ0,0)和(φ1,0)，其中，.当n为奇数，且时，系统(6)有3个奇点(φ0,0)和(±φ1,0).假设(φi,0)是系统(6)的一个奇点，系统(6)的线性化系统在奇点(φi,0)的特征值为根据动力系统的定性理论，有如下引理1.引理1 当n是偶数时，有1) 如果c2-N>0，且τ>0，则φ1>0=φ0，且(φ0,0)是一个鞍点，而(φ1,0)是一个中心.2) 如果c2-N>0，且τ<0，则φ1<0=φ0，且(φ0,0)是一个鞍点，而(φ1,0)是一个中心.3) 如果c2-N<0，且τ>0，则φ1<0=φ0，且(φ0,0)是一个中心，而(φ1,0)是一个鞍点.4) 如果c2-N<0，且τ<0，则φ1>0=φ0，且(φ0,0)是一个中心，而(φ1,0)是一个鞍点.当n是奇数时，有1) 如果c2-N>0，且τ>0，则-φ1<0=φ0<φ1，且(φ0,0)是一个鞍点，而(±φ1,0)是中心.2) 如果c2-N<0，且τ<0，则-φ1<0=φ0<φ1，且(φ0,0)是一个中心，而(±φ1,0)是鞍点.证明通过分析系统(6)的线性化系统在奇点的特征值，很容易证明引理1.因此，基于以上分析，得到系统(6)的分支相图如图1，2所示.为了方便表述，对于一个给定的常数c，假定.主要结果表述为如下3个命题.命题1 1) 当n为偶数，且c2-N>0时，方程(1)有孤立波解、爆破解，表达式分别为2) 当n为偶数，且c2-N<0时，方程(1)有周期爆破解，表达式为证明1) 当c2-N>0时，在图1(a)和图1(b)中有一条通过鞍点(φ0,0)的同宿轨.根据式(7)可以得到同宿轨的表达式为式(11)，(12)中：.把式(11)或式(12)代入系统(6)的第一个方程，并沿着同宿轨积分，得到根据式(13)或式(14)，得到式(8)中的孤立波解u1；而根据式(15)或式(16)，可以得到式(9)中的爆破解u2.2) 当c2-N<0时，在图1(c)和图1(d)中有一条与中心(φ0,0)的Hamiltonian相同的轨道.根据式(7)，此轨道的表达式为式(11)或式(12).把式(11)或式(12)代入到系统(6)的第一个方程，并沿着此轨道积分，得到式(15)或式(16).由此，得到式(10)中的周期爆破解u3.命题2 1) 当n为偶数，且c2-N<0时，方程(1)有孤立波解和爆破解.特别地，取n=2，孤立波解和爆破解的表达式分别为2) 当n为偶数，且c2-N>0时，方程(1)有周期爆破解.特别地，取n=2，周期爆破解的表达式为证明1) 当c2-N<0时，在图1(c)和图1(d)中有一条通过鞍点(φ1,0)的同宿轨.由分支方法知，方程(1)有孤立波解和爆破解.特别地，取n=2，则由式(7)，得到同宿轨的表达式为式(20)，(21)中：.把式(20)或式(21)代入到系统(6)的第一个方程，并沿着同宿轨积分，得到由式(22)或式(23)，得到式(17)的孤立波解u4，而根据式(24)或式(25)，得到式(18)的爆破解u5.2) 当c2-N>0时，在图1(a)和图1(b)中有一条与中心(φ1,0)的Hamiltonian相同的轨道.由分支方法知，方程(1)有孤立波解和爆破解.特别地，取n=2，则由式(7)，把式(20)或式(21)代入系统(6)的第一个方程，并沿着此轨道积分，可以得到式(24)或式(25).由此，也就得到式(19)中的周期爆破解u6.命题3 1) 当n为奇数，且c2-N>0,τ>0时，方程(1)有孤立波解，表达式为2) 当n为奇数，且c2-N<0,τ<0时，方程(1)有周期爆破解，即此外，方程(1)有扭波型解和爆破解.特别地，取n=3，扭波型解和爆破解的表达式分别为式(28)中：β≥0是一个实数.特别地，取n=5，扭波型解为式(30)中：γ是一个任意的实数.证明1) 当c2-N>0,τ>0时，在图2(a)中有两条通过鞍点(φ0,0)的同宿轨.根据式(7)，同宿轨的表达式为式(11).沿着同宿轨积分，得到式(26)中的孤立波解.2) 当c2-N<0,τ<0时，在图2(b)中有两条与中心(φ0,0)的Hamiltonian相同的轨道.根据式(7)，此轨道的表达式为式(11).沿着此轨道积分，得到式(27)中的周期爆破解.此外，图2(b)中还有两条连接两个鞍点(φ1,0)和(-φ1,0)的异宿轨，由分支方法知，方程(1)有扭波型解和爆破解.特别地，取n=3，则由式(7)，异宿轨的表达式为式(31)中：.把式(31)代入到系统(6)的第一个方程，并沿着异宿轨积分，得到由式(32)，得到式(28)中的扭波型解；而根据式(33)，可以得到式(29)中的爆破解. 类似地，取n=5，异宿轨的表达式为式(34)中：.把式(34)代入系统(6)的第一个方程，并沿着异宿轨积分，得到式(35)中：q是一个任意常数.由式(35)得到式(30)中的扭波型解为.利用动力系统定性理论和分支方法，研究(N+1)维广义的Boussinesq方程的非线性波解，获得它的多种非线性波解的精确显式表达式，这些解包括孤立波解，爆破解，周期爆破解和扭波型解.【相关文献】[1] YAN Zhenya.Similarity transformations and exact solutions for a family of higher-dimensional generalized Boussinesq equations[J].Physics Letters A,2007,361(3):223-230. 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广义Burgers方程的精确解
广义Burgers方程的精确解
作者：于海杰
来源：《赤峰学院学报·自然科学版》 2011年第11期
于海杰
（赤峰学院初等教育学院，内蒙古赤峰 024000）
摘要：利用截断展开法及行波变换求解了广义Burgers方程的精确解.这种方法也用于求解其他非线性发展方程的精确解.
关键词：截断展开；广义Burgers方程；精确解
中图分类号：O175.2 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2011）11-0017-02
长期以来求解非线性发展方程一直是物理学家和数学家研究的重要课题，虽然现在方法很多，如反散射法，Hopf-Cole变换，Darboux变换等，但求解非线性方程仍是一个长期而艰巨的任务.本文利用截断展开法及行波变换给出广义Burgers方程的多个精确解.
1 广义Burgers方程的精确解
下面考虑广义Burgers方程[1]
2 结语与讨论
这种方法还可用于求解广义Burger-Fisher方程ut+unux-uxx=u-un+1及广义Fisher方程u1-uxx=u-un+1，其中F(?孜)满足的方程不同则可以求出不同的解.
参考文献：
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〔2〕斯仁道尔吉,孙炯.两个非线性发展方程自Backlund变换及精确形波解[J].内蒙古师范大学学报,2002，31（2）：95-99.
〔3〕范恩贵,张鸿庆.非线性孤子方程的齐次平衡法[J].物理学报,1998，47（3）：353-361.。
几类分数阶微分方程的近似解析解
摘要摘要在近几十年里，分数阶导数越来越引起数学家与物理学家的关注。
分数阶导数的定义有二十种之多，最常被人使用的有：Riemann-Liouville定义，Caputo定义，Jumare’s定义和Conformable定义等。
随着分数阶导数的发展，很多物理工程上的数学模型都可以最终转换成为分数阶微分方程的定解问题，例如：控制论和智能机器人、系统处理和信号识别、热学和光学系统、材料科学及力学和材料系统等。
但是，我们要想找到分数阶微分方程的精确解是相当困难的事情，从而人们转向求分数阶微分方程的近似解析解。
因此，一些逼近方法被应用于求解分数阶微分方程。
目前，在求解分数阶微分方程中比较有效的逼近方法有：同伦摄动法（HPM），同伦分析法（HAM），Adomian分解法(ADM)，变分迭代法（VIM），有限元方法，有限差分方法，线性多步算法和小波分析方法等。
对于上述算法都有其自身的优点与局限性。
在本文中，我们结合了分数阶Sumudu变换和分数阶Elzaki变换，建立了几种新的分数阶微分方程的逼近算法，这些新的算法被成功地应用于求不同类型的分数阶微分方程的近似解析解，通过将新的算法所得逼近解与已有的结果比较，得出我们建立的新的逼近算法具有计算简单、有效、精确度更高等优点。
在本文中我们也成功建立了求解局部分数阶微分方程逼近解的新算法。
本文所建立的四种求分数阶微分方程近似解析解的算法如下：1.分数阶同伦分析变换算法（FHATM）。
分数阶同伦分析变换算法（FHATM）的优点是所求分数阶微分方程的逼近解被辅助参数h所控制，合适的选取h的值将大大加速逼近解的收敛速度，在分数阶同伦分析变换算法中我们加入了分数阶Elzaki变换，使得求解过程简单快捷，通过和传统的经典算法比较可以得出：一些经典的算法可归结为分数阶同伦分析变换算法（FHATM）。
我们使用分数阶同伦分析变换算法（FHATM）成功求解非线性的时间分数阶Fornberg-Whitham方程，二维时间分数阶扩散方程，二维时间分数阶波方程和三维时间分数阶扩散方程。
广义Baouendi—Grushin向量场上的一类Caffarelli-Kohn-Nirenberg型不等式
（ ２ ）
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收稿 日期： ０ ９ １－ ９ 修订 日期： ０ ０ ０ ．９ ２ ０ －００ ； ２ １－ ８３
关键词：Ｃ ｆ ｒｌ— ｈ — ｒｎ ｅｇ型不等式； Ｂ ｏ ｅ ｄ— ｕ ｈｎ向量场． ａ ａｅｌＫｏ ｎ Ｎｉ ｂ ｒ ｉ ｅ ａｕｎ ｉ Ｇｒ ｓｉ
ＭＲ（０ ０ ２ ０ ）主题分类：３Ｈ ０ ２ Ｄ ０ 中圉分类号： ７ ． 文献标识码： ５ ２； ６ １ Ｏ１５ ５ Ａ
文章编号：１０—９８２ １）５１８—９ ０３３９ （０１０—１１ ０
摘要：受 Ｃ ｆ ｒｌ ａ ａｅｌ ｉ等建立欧 氏空间上 Ｃａ ａｅｌＫｏ ｎ Ｎ ｒｎ ｅｇＣ ｆ ｒｌ— ｈ — ｉ ｂ ｒ （ ＫＮ）不等式的思想方法 ｉ ｅ
启发，该文结合广义 Ｂ ｏ ｅｄ－ ｒｓｉ（ — 向量场上极坐标变换 ，通过 选取不同的辅助函 ａｕｎ ｉ ｕｈｎＢ Ｇ） Ｇ 数 ，给 出广义 Ｂ— 向量场上 ＣＫＮ 型不等式成立的必要条件 ；从广义 Ｂ Ｇ 向量场上 Ｈａｄ — Ｇ ｒ ｙ Ｓ ｂ ｌｖ型不等 式出发 ，结合插值、 ＨＳｄ ｒ不等式等工具，通过对参数的精细讨论 ，证 明广 ｏ ｏｅ ｌｅ 义 Ｂ Ｇ 向量场上 Ｐ＝ ２时 Ｃ － ＫＮ 型不等式成立的必要条件也是 充分条 件．
数学物理学报
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广 义 Ｂａ ｕ ｎ ｉ ｕ ｈｎ向量 场 上 的一 类 ｏ ｅ ｄ— ｓ ｉ Ｇｒ Ｃ ｆ ｒｌ． ｈ ． ｒｎ ｅｇ型不等式 ａ ａｅｌＫｏ ｎＮｉ ｂ ｒ ｉ ｅ
博戈留波夫方程
博戈留波夫方程一、博戈留波夫方程的概述博戈留波夫方程（Bogoliubov Equation）是描述量子流体中粒子非线性相互作用的偏微分方程。
该方程在物理学中有广泛的应用，特别是在超流、玻色-爱因斯坦凝聚和等离子体物理等领域。
博戈留波夫方程的解可以提供这些系统中粒子行为的详细信息，从而有助于深入理解这些复杂系统的性质。
二、博戈留波夫方程的起源博戈留波夫方程由苏联物理学家尼古拉·博戈留波夫在20世纪40年代提出。
最初，该方程是为了描述超导体的电磁性质而建立的。
后来，随着量子力学和统计物理学的进一步发展，博戈留波夫方程的应用范围逐渐扩大，成为研究量子流体、等离子体和凝聚态物理等领域的重要工具。
三、博戈留波夫方程的数学表述博戈留波夫方程的一般形式为：ΔΨ(r, t) + V(r)Ψ(r, t) + ∫d^3r' U(r-r') n(r', t)Ψ(r', t) = i∂Ψ(r, t)/∂t量子力学中常用的波函数Ψ(r, t)描述了粒子在空间和时间中的状态，Δ是拉普拉斯算子，V(r)是势能，U(r-r')是相互作用的势能，n(r', t)是粒子密度。
该方程将粒子在空间和时间中的行为与系统的势能和相互作用联系起来，提供了系统演化过程中的动力学信息。
四、博戈留波夫方程的应用领域1.超流：在超流状态下，流体表现出异常的流动特性，如零摩擦阻力。
博戈留波夫方程可以描述超流状态下粒子的行为和动力学特性。
2.玻色-爱因斯坦凝聚：当物质冷却到接近绝对零度时，粒子会形成玻色-爱因斯坦凝聚态，表现出新的量子特性。
博戈留波夫方程可以用来描述这种凝聚态的微观结构和动力学行为。
3.等离子体物理：等离子体是由带电粒子组成的复杂系统，表现出丰富的非线性行为。
博戈留波夫方程在等离子体物理中用于描述带电粒子的运动和相互作用。
4.其他领域：除了上述领域，博戈留波夫方程还应用于超导、超导电子学、原子分子物理和天体物理等领域。
非线性薛定谔方程的孤子解和怪波解
非线性薛定谔方程的孤子解和怪波解摘要：光纤中光波的传输模型一直是当前研究的热点理论模型之一，从非线性薛定谔方程到金格堡-朗道方程，都试图对其进行更好的阐释，其次对于非线性动力学系统中，非线性薛定谔方程的解有呈现出非常多有趣的特征，对于其中特定解的研究能够让我们了解脉冲演化的本质，所以本文主要从孤子解的传输入手，并且简单介绍了怪波解的解形式。
薛定谔方程又称薛定谔波动方程，是量子力学的一个基本方程，同时又是量子力学的基本假设之一，由奥地利物理学家薛定谔1926年在《量子化就是本征值问题》中提出的，它在量子力学中的地位非常重要，相当于牛顿定律对于经典力学一样。
随着人们对世界的不断探索，非线性现象逐渐走进人们的视野，这种现象一般大都用非线性偏微分方程的数学模型来描述，显然线性方程已经不能满足人们的需求。
1973年，Hasegawa从含有非线性项的色散方程中推导出了非线性薛定谔方程。
非线性薛定谔方程(NLS)是普适性很强的一个基本方程，最简单的形式是：其中为常数。
因为这个方程在几乎所有的物理分支及其他科学领域得到了广泛的应用，如超导，光孤子在光纤中传播，光波导，等离子体中的Langnui波等，所以许多学者对此方程的研究投入了很大的热情，至今还在生机勃勃的向前发展着。
1 分步傅里叶法计算演化过程对于处理非线性性薛定谔方程，常用的数值仿真方式为分步傅里叶方法，为了简单起见，只考虑二阶色散和自相位调制，不考虑高阶色散、自陡以及四波混频等高阶非线性效应。
上述方程中做2β为二阶色散，γ表示Kerr效应系数，g和α分别代表光纤中的增益和损耗。
对上述方程转化到频域，先不考虑增益和损耗。
可以得到2kk k k kdAi A i a adzβγ=∆+F.其中222kiββ∆=Ω令()expk kA B i zβ=∆可以得到()2expkk k kdBi a a i zdzγβ=-∆F以上方程可以用四阶龙格库塔直接求解，但是速度较慢，所以我们需要做差分处理。
数学物理方程中的非线性波动方程研究
数学物理方程中的非线性波动方程研究在数学和物理学领域中，非线性波动方程是一类重要的数学模型，它们广泛应用于描述各种具有非线性行为的现象和过程。
本文将对非线性波动方程进行研究，并探讨其在实际应用中的意义和影响。
一、非线性波动方程的定义和性质非线性波动方程是一类具有非线性项的偏微分方程，常用的非线性波动方程包括Korteweg–de Vries (KdV) 方程、非线性Schrödinger (NLS) 方程等。
这些方程在研究光学、水波、声波等领域中起到了重要的作用。
非线性波动方程的数学模型一般形式如下：\[u_{xt} = F(u, u_x, u_{xx}, u_{xxx}, ...)\]其中，\(u\) 是波动的解，\(x\) 和 \(t\) 分别表示空间和时间，\(F\) 是非线性项函数。
非线性波动方程的性质与线性波动方程有较大的不同。
首先，非线性波动方程的解不再满足叠加原理，即两个或多个解的简单相加不能得到一个新的解。
其次，非线性波动方程可以出现孤立波解，即在无外力驱动的情况下，波动可以保持稳定而不衰减。
此外，非线性波动方程还表现出一些特殊的现象，如特征速度的变化、波的相互作用等。
二、非线性波动方程的应用和意义非线性波动方程在多个领域中都具有重要的应用价值，并对相关学科的发展做出了重要贡献。
1. 光学领域：非线性光学是非线性波动方程在光学领域的应用之一。
通过非线性波动方程，可以研究光在非线性介质中的传播和相互作用，为解释和实现非线性光学现象提供了理论基础。
例如，非线性光学中的自聚焦效应和光孤子现象，都可以通过非线性Schrödinger方程进行建模和解释。
2. 水波领域：非线性水波方程可以用来描述海洋中的大气尺度运动、风浪和海浪等现象。
通过非线性水波方程的研究，可以预测和模拟海洋中的海浪传播、波浪破碎等过程，对沿海工程的设计和海岸线的维护具有重要意义。
3. 力学领域：非线性波动方程在力学领域的应用较为广泛，尤其在固体力学和流体力学中。
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Abstract
In this paper, the qualitative theory of differential equations and the bifurcation method of dynamical systems are used to find nonlinear wave solutions of the generalized Fornberg-Whitham equation. When n = 2, we obtained four nonlinear wave solutions. When n = 3, we obtained one nonlinear wave solution.
(5)
证明了光滑和非光滑行波解的存在性，并给出了显示孤立波解[12]。 本文主要研究当 n = 2, 3 时，方程(1)的某些非线性波解。
2. 主要结果
当 n = 2 时，令
( ) c0 = 4 2 + 4 − b
(6)
( ) c1 =
1 1+ 2
1− 4b
(7)
( ) c2 =
1 1− 2
1− 4b
n +1
f0
(ϕ
)
=(b
−
c
)ϕ
+
n
1 +
ϕ 1
n +1
(39)
则
f (ϕ )= g + f0 (ϕ )
(40)
系统(34)变为
= ddddϕττy=
(ϕ − c) y f (ϕ ) − y2
(41)
DOI: 10.12677/aam.2020.99187
1593
应用数学进展
朱贇，刘锐
显然，系统(41)的奇点都在 ϕ 轴或直线 ϕ = c 上。由(40)可得
u1 ( x,t ) ， u2 ( x, t ) ， u3 ( x,t ) ， u4 ( x, t ) ， u5 ( x,t ) 的正确性
D[u,t] − D[u, x, x,t] + bD[u, x] + unD[u, x]
− 3D[u, x] D[u, x, x] − uD[u, x, x, x].
朱贇，刘锐
ρ
=
1 40
−12bc
+ 12c 2
−
63 125
c4
−
q 13500
c
+
2916 125
lc7
−
243 125
2
l 3c6
+
1
36bl 3c3
+ 126 125
1
l 3c5
+
2 3
(c
−
1
b)l3
−
7 375
1
13 l
c3
−
1 1500
2
13 l
c2
(25)
u5
(
x,
t
)
具体推导如下。
3. 行波系统及首次积分
首先，对方程(1)做行波变换
u ( x,t )= ϕ (ξ ), ξ= x − ct
(28)
其中 c > 0 为常波速。 得到常微分方程
3ϕ′ϕ′′ + ϕϕ′′′ + cϕ′ − cϕ′′′ − bϕ′ − ϕ nϕ′ = 0
(29)
再将方程(29)进行积分一次，得到
ut − uxxt + 3uu=x 2uxuxx + uuxxx
(3)
这样完全可积和双 Hamilton 结构[8]等良好性质，一直并未引起广泛研究。直到近年来，F-W 方程重新引 起了大家的关注。
当 b = 1，n = 2 时，He 和 Meng 等人给出了方程(1)的尖孤立波解[9]，Liang 给出了精确的行波解[10]。 此外，Yang 和 Fan 将 F-W 方程推广成二元 F-W 方程
1 4
c0
(15)
1) 当 b ≤ 0 ，且 0 < c < c0 , c ≠ c1 时， u1 ( x,t ) ， u2 ( x,t ) ， u3 ( x,t ) ， u4 ( x,t ) 是方程(1)的解；
2)
当
0
<
b
<
1 4
，且
b
<
c
<
c0 , c
≠
c1, c
≠
c2
时，
u1
(
x,t )
，
u2
(
f0′(ϕ ) = (b − c) + ϕn
(42)
当=n 2m +1 时， f0′(ϕ ) 有一个零点
1
ϕn=0 (c − b)n
(43)
为 f (ϕ ) 的极小值点。
当n
=
2m
时，
f0′(ϕ ) 有两个零点
±ϕn0
，其中
−ϕ
0 n
为
f
(ϕ )
的极大值点， ϕn0 为
f
(ϕ )
的极小值点。
令
( ) g
1
γ
=− c 5
−
9
l
1 3
c2
5
+
1 13 30 l
(20)
p = −54000b + 54000c −1512c3
(21)
=q 629856c6 + p2
(22)
=e 4 c + 2γ
(23)
5
l= 2
(24)
p+q
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应用数学进展
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2020, 9(9), 1589-1603 Published Online September 2020 in Hans. /journal/aam https:///10.12677/aam.2020.99187
Keywords
Fornberg-Whitham Equation, Traveling Wave System, Bifurcation, Exact Solutions
文章引用: 朱贇, 刘锐. 广义 Fornberg-Whitham 方程的某些非线性波解[J]. 应用数学进展, 2020, 9(9): 1589-1603. DOI: 10.12677/aam.2020.99187
令
Hn
(ϕ,
y)
= (ϕ − c)2
y2
−
(n
+
2
3)(
n
+
1)
ϕ
n
+3
−
(n
+
2c
2)(
n
+
1)
ϕ
n
+
2
(36)
+
2 3
(b
−
c)ϕ3
+
(
g
+
c
(c
−
b))ϕ2
−
2gcϕ
则有
h = Hn (ϕ, y)
(37)
4. 分支曲线
令
f (ϕ ) = g + (b − c)ϕ + 1 ϕ n+1
(38)
(ϕ
−
c)2
y2
−
(n
+
2
3)(n
ϕ n+3
+ 1)
−
(n
+
2c
ϕ n+2
2)(n +1)
+
2 3
(b
− c)ϕ3
+
(g
+
c(c
− b))ϕ 2
− 2gcϕ
= h
(35)
所以两个系统除了奇直线 ϕ = c 之外有相同的拓扑相图。因此我们可以通过研究系统(34)的相图达到研究 系统(32)的相图的目的。
朱贇，刘锐
Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). /licenses/by/4.0/
(c − b)ϕ + [ϕ′]2 + (ϕ − c)ϕ′′ − 1 ϕ n+1 = g
(30)
n +1
其中，g 为积分常数。 令
dϕ = y dξ
(31)
将(31)带入方程(30)，得到平面系统
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应用数学进展
朱贇，刘锐
dϕ
dξ
=
y
2)
当
0
<
b
<
2 33
，且
0
&
c31 , c
≠
c32
时，
u5
( x,t ) 是方程(1)的解；
3)
当b
=
2 33
，且
0
<
c
<
+∞, c
≠
c31
时，
u5
( x,t ) 是方程(1)的解；