高中数学函数的极值典型例题

利用导数求函数的极值
例 求下列函数的极值：
1．x x x f 12)(3-=；2．x e x x f -=2)(；3．.21
2)(2-+=x x x f 分析：按照求极值的基本方法，首先从方程0)(='x f 求出在函数)(x f 定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值．
解：1．函数定义域为R ．).2)(2(3123)(2-+=-='x x x x f
令0)(='x f ，得2±=x ．
当2>x 或2-<x 时，0)(>'x f ，
∴函数在()2,-∞-和()+∞,2上是增函数；
当22<<-x 时，0)(<'x f ，
∴函数在（－2，2）上是减函数．
∴当2-=x 时，函数有极大值16)2(=-f ，
当2=x 时，函数有极小值.16)2(-=f
2．函数定义域为R ．x x x e x x e x xe x f ----=-=')2(2)(2
令0)(='x f ，得0=x 或2=x ．
当0<x 或2>x 时，0)(<'x f ，
∴函数)(x f 在()0,∞-和()+∞,2上是减函数；
当20<<x 时，0)(>'x f ，
∴函数)(x f 在（0，2）上是增函数．
∴当0=x 时，函数取得极小值0)0(=f ，
当2=x 时，函数取得极大值2
4)2(-=e f ．
3．函数的定义域为R ． .)
1()1)(1(2)1(22)1(2)(22222++-=+⋅-+='x x x x x x x x f
令0)(='x f ，得1±=x ．
当1-<x 或1>x 时，0)(<'x f ，
∴函数)(x f 在()1,-∞-和()+∞,1上是减函数；
当11<<-x 时，0)(>'x f ，
∴函数)(x f 在（－1，1）上是增函数．
∴当1-=x 时，函数取得极小值3)1(-=-f ，
当1=x 时，函数取得极大值.1)1(-=f
说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件 综合运用，方可实现解题的正确性．解答本题时应注意0)(0='x f 只是函数
)(x f 在0x 处有极值的必要条件，
如果再加之0x 附近导数的符号相反，才能断定函数在0x 处取得极值．反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误．
复杂函数的极值
例 求下列函数的极值：
1．)5()(32-=x x x f ；2．.6)(2--=x x x f
分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定．在函数)(x f 的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点．这两类点就是函数)(x f 在定义内可能取到极值的全部“可疑点”．
解：1．.3)2(533)5(2)5(32
)(33323x
x x x x x x x x f -=+-=+-=' 令0)(='x f ，解得2=x ，但0=x 也可能是极值点．
当0<x 或2>x 时，0)(>'x f ，
∴函数)(x f 在()0,∞-和()+∞,2上是增函数；
当20<<x 时，0)(<'x f ，
∴函数)(x f 在（0，2）上是减函数．
∴当0=x 时，函数取得极大值0)0(=f ，
当2=x 时，函数取得极小值343)2(-=f ．
2．⎪⎩⎪⎨⎧<<-++-≥-≤--),
32(,6),32(,6)(22x x x x x x x x f 或 ∴⎪⎩
⎪⎨⎧=-=<<-+->-<-').32(,),32(,12),32(,12)(x x x x x x x x f 或不存在或
令0)(='x f ，得21=
x ． 当2-<x 或32
1<<x 时，0)(<'x f ， ∴函数)(x f 在()2,-∞-和⎪⎭⎫
⎝⎛3,21上是减函数；
当3>x 或2
12<<-x 时，0)(>'x f ， ∴函数)(x f 在()+∞,3和⎪⎭⎫ ⎝⎛
-21,2上是增函数．
∴当2-=x 和3=x 时，函数)(x f 有极小值0， 当21=x 时，函数有极大值4
25． 说明：在确定极值时，只讨论满足0)(0='x f 的点附近的导数的符号变化情况，确定极值是不全面的．在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值．本题1中0=x 处，2中
2-=x 及3=x 处函数都不可导，
但)(x f '在这些点处左右两侧异号，根据极值的判定方法，函数)(x f 在这些点处仍取得极值．从定义分析，极值与可导无关．
根据函数的极值确定参数的值
例 已知)0()(2
3≠++=a cx bx ax x f 在1±=x 时取得极值，且1)1(-=f ．
1．试求常数a 、b 、c 的值；
2．试判断1±=x 是函数的极小值还是极大值，并说明理由．
分析：考察函数)(x f 是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为0)(='x f 的根建立起由极值点1±=x 所确定的相关等
式，运用待定系数法求出参数a 、b 、c 的值．
解：1．解法一：c bx ax x f ++='23)(2．
1±=x 是函数)(x f 的极值点，
∴1±=x 是方程0)(='x f ，即0232
=++c bx ax 的两根，
由根与系数的关系，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-）（）（2 ,131 ,032a
c a b 又1)1(-=f ，∴1-=++c b a ， （3）
由（1）、（2）、（3）解得2
3,0,21-===c b a ． 解法二：由0)1()1(='=-'f f 得
023=++c b a ， （1）
023=+-c b a （2）
又1)1(-=f ，∴1-=++c b a ， （3）
解（1）、（2）、（3）得2
3,0,21-===
c b a ． 2．x x x f 2321)(3-=，∴).1)(1(232323)(2+-=-='x x x x f 当1-<x 或1>x 时，0)(>'x f ，当11<<-x 时，.0)(<'x f
∴函数)(x f 在()1,-∞-和()+∞,1上是增函数，在（－1，1）上是减函数．
∴当1-=x 时，函数取得极大值1)1(=-f ，
当1=x 时，函数取得极小值1)1(-=f ．
说明：解题的成功要靠正确思路的选择．本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化，在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向．可见出路在于“思想认识”．在求导之后，不会应用0)1(=±'f 的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍．。