2012-2013B类高等数学期中试卷
2012年—2013第一学期高等数学期中试卷
x 0 x
二、单项选择题 (每小题3分,共15分) 1 . 函 数 y f ( x ) 在 x 0 处 可 导 是 该 函 数 在 点 x 0 连 续 的 ( C )
(A)充要条件； (B)必要条件； (C)充分条件； (D)既非充分也非必要条件.
2.下列正确的式子是 ( D )
(A) lim(11)x e, (B) lim(11)x e,
x0xx x(C) lim(11)x e,
1
(D) lim(1x)x e.
x x
x0
3 .设 f(x )可 导 且 yf(sin x ),则 d y (B ) d x
三、求下列函数的极限（每小题6分，共24分）
5x4 x
1.lim
x1
x1
3 1 x2 1
2. lim x0
tan2 x
3. lim( 2x 1)x1. x 2x3
4 . 方 程 e y x y e 确 定 的 函 数 y y ( x ) ， 求 y ( 0 ) .
四、解答题（每小题8分，共40分）
x
1 (B)lxi m 02x1,
1
(D)lim ex. x 0
5.设 函 数 yf(x)在 点x0处 可 导 ,当 自 变 量 x由 x0 增 加 到 x0x时 ,记 y为 f(x)的 增 量 ,dy为 f(x)的 微 分 ,则limydy等 于 ( B ) x 0 x
( A ) 1 ， ( B ) 0 ， ( C ) 1 ， ( D ) .
-2012-2013学年-高等数学(2-1)期中考试试卷---答案
-2012-2013学年-高等数学(2-1)期中考试试卷---答案2012—2013学年第一学期《高等数学(2-1)》期中试卷（工科）专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2012年11月25日页号一二三四五六总分本页满分32 18 10 16 16 8本页得分阅卷人注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；B ．(0)f 是()f x 的极小值；C ．(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点；D ．(0)f 是()f x 的极大值.3. 当x →∞时，若21ax bx c++与11x +为等价无穷小，则,,a b c 之值为（ B ）． A ．0,1,1a b c ===； B ．0,1a b ==,c 为任意常数；C ．0a =，,b c 为任意常数； D. ,,a b c 均为任意常数.4.设220()(),0x x f x x g x x ⎧>=≤⎩，其中()g x 是有界函数，则()f x 在 0x =处（ D ）. A ．极限不存在；B.极限存在但不连续；C.连续但不可导；D.可导. 5. 设()f x 在0x 可导且01()2f x '=，则0x ∆→时，0|x x dy =是x ∆的（ C ）.A ．等价无穷小；B.高阶无穷小；C.同阶但非等价无穷小；D 低阶无穷小.三、计算题（共4小题，每小题5分，共20分）1.求极限0x →解：（方法一）200sin 12lim lim 11cos 2x x x xx x→→==-；（方法二）001lim 11cos x x x →→==-； （方法三）洛比达法则001sin 11cos cos sin lim 1sin 2cos 21sin x x x x x x x x x x xx x →→→+-+-===+. 2. 设函数()y y x =由方程sin()(0,)xy y xe x x y ππ=>-<<确定，求其在1x =处的切线方程.解：两边取对数得：sin()(1)ln xy y x =-，两边对x 求导，有1cos()()ln y xy y xy y x x-''+=+， 又由于1x =时，sin 0y =，y ππ-<<，可得0y =，代入得(1)1y '=-，故在1x =处的切线方程为(1)y x =--，即10x y +-=.3. 设3arctan 6x t t y t t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，求221d y t dx =. 解：222363(1)111dy dy t dt t dx dx dt t +===+++； 22222()66(1)()1211d dy d y d dy t t t dt dx dx dx dx dx t dt t +====+++，故 2241d y t dx ==.本页满分10分本页得分4. 求极限21)(cos lim x x x →. 解：（方法一）2211cos 1cos 100lim(cos )lim(1cos 1)x x x x x x x x --→→=+- 20cos 11lim 2x x x e e →--==； （方法二）22222111sin 1222sin 2200lim(cos )lim (cos )lim(1sin )xx x x xx x x x x x e ---→→∞→==-=； （方法三）洛比达法则sin 2cos 220111ln(cos )lim 200lim(cos )lim x x x x x x x x x x e e e -→-→→===.四、应用题（共3小题，每小题8分，共24分）1. 已知()sin 2ln(1),0()1,0ax a b x x x x f x e x ++-⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩在0x =处可导，试求出a 与b .解：由于()f x 在0x =处可导，必连续，故(0)(0)(0)0f f f -+===，又000()sin 2ln(1)()sin 2ln(1)(0)lim lim lim 2x x x a b x x a b x x f a b x x x++++→→→++-+-==+=+-，可得20a b +-=，即2a b +=；又由于()f x 在0x =处可导，则(0)(0)f f -+''=，又 01(0)lim ax x e f a x--→-'==， 本页满分16分 本页得分2200200()sin 2ln(1)sin ln(1)(0)lim 2lim 1cos 11lim lim [sin ]1(1)x x x x a b x x x x f x x x x x x x +++++→→→→++-+-'==--==--=--， 故1,3a b =-=.2. 有一底半径为R cm ，高为h cm 的圆锥容器，今以253cm /s 自顶部向容器内注水，试求当容器内水位等于锥高的一半时水面上升的速率.解：设t 时刻，水的体积，水面半径及水的深度分别为,,V r x ，由于2211()33V R h r h x ππ=--， 又从相似三角形可知：r h x R h -=，即h x r R h-=， 可得3222332211()1[()]333h x R V R h R h h x hh πππ-=-=--，两边对t 求导，得 222()dV R dx h x dt dt hπ=-， 由已知条件25dV dt =，2h x =，代入得2100dx dt R π=，即水面上升的速率为2100cm/s Rπ. 3. 试讨论方程)0(,ln >=a ax x 有几个实根.解：令()ln ,(0,)f x x ax x =-∈+∞，则 1()f x a x '=-，令()0f x '=，解得驻点1x a =，列表如下： x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1a 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ ()f x ' + 0 — 本页满分16分本页得分()f x 最大值1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭可得，()f x 的最大值为1(ln 1)f a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，讨论如下： （1） 当1a e =时，10f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，方程ln x ax =有唯一的实根； （2） 当10a e <<时，10f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，又由于 00lim ()lim (ln )x x f x x ax ++→→=-=-∞； ln lim ()lim ()x x x f x x a x→+∞→+∞=-=-∞， 故方程ln x ax =有两实根，分别位于10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内； 当1a e >时，10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，方程ln x ax =没有实根. 五、证明题（共2小题，每小题8分，共16分）1．设函数()f x 在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，且(0)0f =，0)2(=f ，证明：存在(0,2)ξ∈，使得()()f f ξξ'=.证明：令()()x F x e f x -=，则()F x 在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，且由于(0)0f =，0)2(=f ，易得(0)(2)0F F ==，根据罗尔定理，至少存在(0,2)ξ∈，使得()0F ξ'=，即()()0e f e f ξξξξ--'-+=，又0e ξ-≠，可得()()f f ξξ'=.本页满分8分本页2．证明：当0>x 时，x x x x <+<+)1ln(1. 证明：（方法一）设t t f ln )(=，则)(t f 在[1,1]x +上连续，在(1,1)x +内可导，由 Lagrange 中值定理，得ln(1)ln11x x ξ+-=，11x ξ<<+，故1111x ξ<<+，即1ln(1)11x x x +<<+，整理得，x x xx <+<+)1ln(1. （方法二）：对()ln(1)f t t =+在[0,]x 上应用Lagrange 中值定理.（方法三）：利用函数的单调性. 得分。
福建省福州市2012-2013年高二数学第二期期中考试卷
第6题图福建师大附中2012-2013学年第二学期期中考试卷高二数学选修2-2 (理科)本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．复103i+i 是虚数单位）的共轭复数是 A. 3i -+ B.3i - C.3i -- D. 3i +2．用反证法证明命题：“若整数系数的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，则,,a b c 中至少有一个是偶数”， 反设正确的是A.假设,,a b c 都是偶数B.假设,,a b c 都不是偶数C.假设,,a b c 至多有一个是偶数D.假设,,a b c 至多有两个是偶数3．设()ln(21)f x x =-，若()f x 在0x 处的导数0'()1f x =，则0x 的值为A.12e +B.32C.1D. 344．有一段“三段论”推理：对于可导函数()f x ，若()f x 在区间(,)a b 上是增函数，则'()0f x >对(,)x a b ∈恒成立，因为函数3()f x x =在R 上是增函数，所以'2()30f x x =>对x R∈恒成立.以上推理中A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.推理正确5．设O 是原点，向量→→OB OA ,对应的复数分别为i i 23,32+--（i 是虚数单位），那么向量→BA 对应的复数是A.i 55+-B.i 55--C.i 55+D.i 55- 6． A.32 B.329-C.332D.335 7．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是),3()3,(+∞--∞ B. )3,3(-),3[]3,(+∞--∞ D. ]3,3[-8．设P 、Q 是两个非空集合，定义*{(,)|,,}P Q a b a P b Q a b =∈∈≠.若}2,1,0{=P ，}4,3,2,1{=Q ，则Q P *中的元素有A.4个B.7个C.10个D.12个10．,120b x dx =⎰，则,a b 的大小关系为( ) A.a b > B.a b = C.a b < D.,a b 的大小与n 11．在区间(0,)π的一个子区间．．单调函数，则实 12．，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第58个数对是A. (2,10)B. (3,9)C. (5,7)D. (3,8) 第Ⅱ卷 共90分二、填空题：本大题有5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．已知∈m R ，复数()(1)m i i -+为纯虚数（i 为虚数单位），则=m ***** .14．已知某物体的运动方程是2()205s t t t =-++（其中s 的单位是米，t 的单位是秒）,则米/秒.15．16．若函数3()3f x x x =-在区间(1,)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是*****.17．设S V 、分别表示面积和体积，如ABC ∆面积用ABC S ∆表示，三棱锥O ABC -的体积用O ABC V - 表示．对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则||||0OB OA OA OB ⋅+⋅=.将它类比到平面的情形是：若O 是ABC ∆内一点，有0OBC OCA OBA S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+⋅=.将它类比到空间的情形应该是：若O 是三棱锥A BCD -内一点，则有*****.三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本小题满分12分） 已知函数2()()x f x e x a =-,其图象记为曲线C .曲线C 在点(0,(0))A f 处切线的斜率为3-.（Ⅰ）求曲线C 在点A 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的极值.19．（本小题满分10分）阅读材料：已知12,a a R ∈，121a a +=，求2212a a +的取值范围.解：设2212()()()f x x a x a =-+- 22222121212()()()22()f x x a x a x a a x a a =-+-=-+++∵2212()()()0f x x a x a =-+-≥对x R ∈恒成立根据你对阅读材料的理解和体会，已知,,n a R ∈，121n a a a +++=，其中2n ≥， 且*n N ∈，求22212n a a a +++的取值范围.20．（本小题满分10分）数列{}n a 的通项12(1)n n a n +=-⋅，观察以下规律：111a ==1214(12)a a +=-=-+1231496123a a a ++=-+==++…… 试写出数列{}n a 的前n 项和n S 的公式，并用数学归纳法加以证明．21．(本小题满分12分) 已知函数233)(x ax x f -=，0a ≠． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()()x g x e f x =在[02]，上单调递减，求实数a 的取值范围．22．(本小题满分12分)甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资源，因此，甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入.在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t （吨）满足函数关系吨产品必须赔付甲方s 元（以下称s 为赔付价格）.（Ⅰ）实施赔付方案后，试将乙方的年利润W （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量.（赔付后实际年利润＝赔付前的年利润－赔付款总额）（Ⅱ）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额20.002y t =（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？（净收入＝赔付款总额－经济损失金额）23．（本小题满分14分） 已知函数2()ln f x a x x =-，1x =是()f x 的一个极值点.(Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若方程()0f x m +=在内有两个不等实根，求m 的取值范围（其中e 为自然对数的底数）；（Ⅲ）令x x f x g 3)()(+=，若()g x 的图象与x 轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x (其中12x x <)，(参考数据：7.27.02ln ≈≈e )。
广东省实验中学2012-2013学年高二数学上学期期中试题 文 北师大版
某某实验中学2012-2013学年（上）高二级期中考试文科数学本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的某某和考生号填写在答卷和答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡上填涂学号．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷交回． 参考公式：2=4S R π球表面积第一部分 基础检测(共100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线0133=++y x 的倾斜角是（ ）A ．30 B ．60 C ．120 D ．1352．下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是（ ）Ａ．10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≥≥ Ｂ．10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≤≤Ｃ．10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≥≤ Ｄ．1022x y x y +-⎧⎨-+⎩≤≥03．如图Rt O A B '''∆是一平面图形的直观图，斜边2O B ''=则这个平面图形实际的面积是（ ） A ．22B ．1C 2D ．224．以)1,5(),3,1(-B A 为端点的线段的垂直平分线方程是（ ）Ａ．083=--y x B ．043=++y x C ．063=+-y x D ．023=++y xxy11-2-O15．一个棱锥的三视图如右图所示，则这个棱锥的体积是（ ） A ．6 B ．12 C ．24 D ．366．四棱锥P —ABCD 5ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与PA 所成角的余弦值为 （ ）A 5B 25C ．45D ．357．直线03)1(:1=--+y k kx l 和02)32()1(:2=-++-y k x k l 互相垂直，则=k （ ）A ．-3或-1B ．3或１C ．-3或１D ．-1或38．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱BB 1的中点，则下列结论中错误．．的是（ ） A ．D 1O ∥平面A 1BC 1 B ．D 1O ⊥平面MACC ．异面直线BC 1与AC 所成的角等于60°D ．二面角M －AC －B 等于90° 9．下列命题中，错误的是（ ）A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两个不同平面平行C ．若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线D ．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β10．过原点引直线l ，使l 与连接A(1，1)和B(1，-1)两点的线段相交，则直线l 倾斜角的取值X 围是（ ） A ．],43[]4,0[πππ⋃ B ．]43,4[ππ C ．]4,4[ππ- D ．),43[]4,0[πππ⋃二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．光线自点），（33-A 射出，经过x 轴反射以后经过点)5,2(B 。
河南省中原名校2012-2013学年高二上学期期中联考数学(理)试题(B卷).pdf
中原名校2012—2013学年第一学期期中联考 高二理科数学试卷 命题：济源一中理数命题组 责任老师：张红艳 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列结论中，错误的是 （ ） A．均为正数，则 B．为正数，则 C．其中 D． 2．若数列是等比数列，则下列命题正确的个数是 （ ） ①，是等比数列 ②是等差数列 ③，是等比数列 ④，是等比数列。
A．4 B．3 C．2 D．1 3．三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形 的另一边长为 （ ） A．52 B． C．16 D．4 4．不等式的解集为 ( ) A． B． C． D． 5．等差数列中，前三项依次为，则= ( ) A． B． C． 24 D． 6．在中，三个内角所对的边为，且 （ ） A． B．— C． D．— 7．锐角中,分别是三内角的对边,设,则的取值范围（ ） A． B．C． D． 8．观察下列各式：,，，,, 则 （ ） A．28 B．76 C．123 D．199 9．在中,分别是三内角的对边, 的面积。
若向量， 满足, 则∠C= （ ） A．. B． C． D． 10．已知△的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角 形的周长是 （ ） A． B． C． D． 11．已知函数，若对于任意的恒成立，则 的 最小值等于 （ ）A． B．-3 C． D．-6 12．设数列的前项和为,,若 ，则的值为 （ ） A．1007 B．1006 C．2012 D．2013 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.） 13．在△中， . 14．设满足约束条件：则的取值范围为 . 15．已知，若恒成立，则实数的取值范围是 . 16．已知函数,各项均为正数的数列满足,若, 则 . 三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 17．（本小题10分）在中,分别是三内角的对边,已知的面积，求第三边的大小. 18．（本小题12分）数列对任意，满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 19．（本小题12分）在中，角的对边分别是，点在直线上， （1）求角的值； （2）若，求的面积. 20．（本小题12分）某公司今年年初用25万元引进一种新的设备,投入设备后每年收益为21 万元.该公司第年需要付出设备的维修与工人工资等费用总和的信息如下图. （1）求； （2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利； （3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？ 21．（本小题12分）设数列满足,且 （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，证明:. 22．（本小题12分）设是坐标平面上的一系列圆，它们的圆心都在轴的 正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数，圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列. （1）证明：为等比数列； （2）设，求数列的前项和. 中原名校2012---2013学年第一学期期中联考 高二理科数学试题参考答案 一、选择题： BCBDD BDCAD AA 二、填空题： 13. 1或2 ；14. ； 15. ； 16. 三、解答题： 17. ……………4分 …………………………………………… 6分 （1）当时， ………………………………8分 (2)当时， ……………………… 10分 18.解：（1）由已知得，故数列是等差数列，且公差. ……２分 又，得，所以. …………………………………………４分 （2）由（１）得，， 所以 . ……………………………………6分 . ……………………………………12分 19.解：（1）由题得， 由正弦定理，得，即.……3分 由余弦定理得，得.…………………6分 （2）由，得，从而.………9分 所以的面积. …………………………12分 20．解：（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得： ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分 （2）设纯收入与年数n的关系为f(n),则： ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 由f(n)>0得n2-20n+25<0 解得 又因为n,所以n=2,3,4,……18.即从第2年该公司开始获利 ┄┄┄┄┄┄┄┄8分 （3）年平均收入为=20- ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分 当且仅当n=5时，年平均收益最大.所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大。
-2012-2013学年-高等数学(2-1)期中考试试卷---答案
-2012-2013学年-高等数学(2-1)期中考试试卷---答案2012—2013学年第一学期《高等数学(2-1)》期中试卷（工科）专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2012年11月25日页号一二三四五六总分本页满分32 18 10 16 16 8本页得分阅卷人注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；4．试卷本请勿撕开，否则作废； 5．本试卷正文共6页。
一、 填空题（共5小题，每小题4分，共20分）1．设函数1(1sin ),0(),xx x f x a x ⎧⎪-≠=⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =1e - .2．设()f x 在2x =处连续，且2()lim32x f x x →=-，则(2)f '= 3 . 3．设22ln arctana y x a x=+，则dy=22x adx x a-+ . 4. 函数ln(12)y x =+，则()(0)n y = 1(1)(1)!2n n n --- . 5. 曲线21x y e -=-的下凸区间是____[22_____________________.二、选择题（共5小题，每小题4分，共20分） 1．设函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=-，则0x =是()f x 的（ C ）．A ．连续点；B ．可去间断点；C. 跳跃间断点；D ．无穷间断点.2. 设()f x 有二阶连续导数且(0)0f '=，()lim 1||x f x x →''=，则下列说法正确的是（ B ）． A ．(0)f 不是()f x 的极值，(0,(0))f 不是曲线()y f x =的拐点；本页满分32分 本页得分B ．(0)f 是()f x 的极小值；C ．(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点；D ．(0)f 是()f x 的极大值. 3. 当x →∞时，若21ax bx c++与11x +为等价无穷小，则,,a b c 之值为（ B ）． A ．0,1,1a b c ===； B ．0,1a b ==,c 为任意常数； C ．0a =，,b c 为任意常数； D. ,,a b c 均为任意常数.4. 设220()(),x x f x xx g x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处（ D ）.A ．极限不存在；B.极限存在但不连续；C.连续但不可导；D.可导.5. 设()f x 在0x 可导且01()2f x '=，则0x ∆→时，0|x x dy =是x ∆的（ C ）.A ．等价无穷小；B.高阶无穷小；C.同阶但非等价无穷小；D 低阶无穷小.三、计算题（共4小题，每小题5分，共20分） 1. 求极限01sin 1x x x →+-解：（方法一）200sin 1sin 12lim lim 11cos 2x x x xx x x x→→+==-； （方法二）2001sin 1lim11cos 1sin 1x x x x x x x x →→+==-++； （方法三）洛比达法则本页满分18分 本页得分01sin 11cos cos sin lim 1sin 2cos 21sin x x x x x x x x xx xx x →→→+-+-===+. 2. 设函数()y y x =由方程sin()(0,)xy y xe x x y ππ=>-<<确定，求其在1x =处的切线方程.解：两边取对数得：sin()(1)ln xy y x =-，两边对x 求导，有1cos()()ln y xy y xy y x x-''+=+， 又由于1x =时，sin 0y =，y ππ-<<，可得0y =，代入得(1)1y '=-，故在1x =处的切线方程为(1)y x =--，即10x y +-=.3. 设3arctan 6x t t y t t=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，求221d y t dx =. 解：222363(1)111dydy t dt t dx dx dt t +===+++；22222()66(1)()1211d dy d y d dy t t t dt dx dx dx dx dx t dt t +====+++，故 2241d yt dx ==.本页满分10分 本页得分4. 求极限21)(cos lim x x x →.解：（方法一）2211cos 1cos 10lim(cos )lim(1cos 1)x x x x x x x x --→→=+-20cos 11lim2x x xe e→--==；（方法二）22222111sin 1222sin 22lim(cos )lim (cos )lim(1sin )x x x x x x x x x x x e---→→∞→==-=；（方法三）洛比达法则sin 2cos 22111ln(cos )lim 2lim(cos )lim xx xx x x x x x x e e e-→-→→===.四、应用题（共3小题，每小题8分，共24分）1. 已知()sin 2ln(1),0()1,0ax a b x x x x f x e x ++-⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩在0x =处可导，试求出a 与b .解：由于()f x 在0x =处可导，必连续，故(0)(0)(0)0f f f -+===，又00()sin 2ln(1)()sin 2ln(1)(0)lim lim lim 2x x x a b x x a b x x f a b x x x++++→→→++-+-==+=+-，可得20a b +-=，即2a b +=；又由于()f x 在0x =处可导，则(0)(0)f f -+''=，又 01(0)lim ax x e f a x--→-'==， 本页满分16分 本页得分2200200()sin 2ln(1)sin ln(1)(0)lim 2lim1cos 11lim lim [sin ]1(1)x x x x a b x x x x f x x x x x x x +++++→→→→++-+-'==--==--=--， 故1,3a b =-=.2. 有一底半径为R cm ，高为h cm 的圆锥容器，今以253cm /s 自顶部向容器内注水，试求当容器内水位等于锥高的一半时水面上升的速率. 解：设t 时刻，水的体积，水面半径及水的深度分别为,,V r x ，由于2211()33V R h r h x ππ=--，又从相似三角形可知：r h x R h -=，即h xr R h-=，可得3222332211()1[()]333h x R V R h R h h x hh πππ-=-=--，两边对t 求导，得 222()dV R dxh x dt dt hπ=-， 由已知条件25dV dt =，2hx =，代入得2100dx dt R π=，即水面上升的速率为2100cm/s Rπ. 3. 试讨论方程)0(,ln >=a ax x 有几个实根. 解：令()ln ,(0,)f x x ax x =-∈+∞，则1()f x a x '=-，令()0f x '=，解得驻点1x a=，列表如下：x10,a ⎛⎫⎪⎝⎭ 1a1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '+—本页满分16分 本页得分()f x最大值1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭可得，()f x 的最大值为1(ln 1)f a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，讨论如下：（1） 当1a e =时，10f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，方程ln x ax =有唯一的实根；（2） 当10a e<<时，10f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，又由于 00lim ()lim (ln )x x f x x ax ++→→=-=-∞；ln lim ()lim ()x x xf x x a x→+∞→+∞=-=-∞， 故方程ln x ax =有两实根，分别位于10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内；当1a e >时，10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，方程ln x ax =没有实根.五、证明题（共2小题，每小题8分，共16分）1．设函数()f x 在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，且(0)0f =，0)2(=f ，证明：存在(0,2)ξ∈，使得()()f f ξξ'=.证明：令()()x F x e f x -=，则()F x 在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，且由于(0)0f =，0)2(=f ，易得(0)(2)0F F ==，根据罗尔定理，至少存在(0,2)ξ∈，使得()0F ξ'=，即()()0e f e f ξξξξ--'-+=，又0e ξ-≠，可得()()f f ξξ'=.本页满分8分 本页2．证明：当0>x 时，x x xx<+<+)1ln(1. 证明：（方法一）设t t f ln )(=，则)(t f 在[1,1]x +上连续，在(1,1)x +内可导，由 Lagrange 中值定理，得ln(1)ln11x x ξ+-=，11x ξ<<+，故1111x ξ<<+，即1ln(1)11x x x +<<+，整理得，x x xx<+<+)1ln(1. （方法二）：对()ln(1)f t t =+在[0,]x 上应用Lagrange 中值定理.（方法三）：利用函数的单调性.得分。
辽东南协作体2012-2013学年度下学期期中高二(理)数学B
辽东南协作体2012——2013年度下学期期中考试高二数学理科试卷（B 卷）本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题，60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 已知i 是虚数单位，则ii-+11= A ．1 B ．i C ．-1 D ．-i2．一质点做直线运动，由始点经过ts 后的距离为s=31t 3-6t 2+32t ，则速度为0的时刻是（ ） A ．t=4s B ．t=8s C ．t=4s 与t=8s D ．t=0s 与t=4s3． 已知a=1+7，b=3+5，c=4，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ． a>b>cB ．c >a>bC ．c>b> aD ． b>c >a4．函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f ’(x)在(a,b)内的图像如图所示，泽函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)……(n+n)=2n·1·3·5……(2n-1)( n ∈N* ) ”时，从n=k 到n=k+1，给等式的左边需要增乘的代数式是（ ）A ．2k+1B ．1)22)(12(+++k k k C ．11k 2++k D ．13k 2++k6．函数f(x)=(x-3)e x 的单调增区间是（ ）A ．（2，+∞）B ．（0，3）C ．（1，4）D ．（-∞，2） 7．曲线y=sinx 与x 轴在区间[0，π]上所围成的图形面积是（ ）A ．0B ．-2C ．2D ．48．设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图像如图所示，则导函数y=f ’(x)可能为（ ）9．曲线y=x e21在点（4，e 2）处的切线与坐标轴所围城三角形的面积为（ ）A ．29 e 2B ．4 e 2C ．2 e 2D ．e 2 10．设f(x),g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x<0时，f ’(x)g(x)+f(x)g ’(x)>0，且g （-3）=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是（ ）A ．（-3,0）⋃ （3，+∞）B ．（-3,0）⋃ （0，3）C ．（-∞，-3）⋃ （3，+∞）D ．（-∞，-3）⋃（0，3）11．函数f(x)=x 3-3x 2-9x+3，若函数g(x)=f(x)-m 在x ∈[-2,5]上有3个零点，则m 的取值范围为（ ）A ．[1, 8）B ．（-24,1]C ．[1,8]D ．（-24,8）12．若f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf ’(x)+f(x)≤0，对任意正数a,b,c 若a<b ，则必有（ ）A ．bf(a) ≤af(b)B ．af(b) ≤bf(a)C ．af(a) ≤f(b)D ．bf(b) ≤f(a)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2012-2013学年度第二学期高二数学期中考试试题及答答案
１2012--2013学年第二学期期中考试高二年级数学(理科)试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 1-i 的虚部为（ ） A ．1 B ．i C ．-1 D ．i - 2．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒 3. 若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ）A s i nα B cos α C sin cos αα+ D 2s i n α4．函数53y x x =+的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞5.复数ii+1对应的点落在 （ ）A ．第一象限 （B ）第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6. 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个7.曲江区决定从去年招考的12名大学生村官中挑选3个人担任村长助理，则甲、丙至少有1人入选，乙没有入选的不同选法的种数为 ( )（Ａ）220 (Ｂ) 165 (Ｃ)84 (Ｄ).818. 用反证法证明命题：若整系数方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ）.A 、假设,,a b c 都是偶数B 、假设,,a b c 都不是偶数C 、假设,,a b c 中至多有一个偶数D 、假设,,a b c 中至多有两个偶数二．填空题9.编号为1 ~8的八个小球按编号从小到大顺序排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，三个涂白色，求恰好有三个连续的小球涂红色，则涂法共有____种．10. 由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为11. 设平面α内两个向量的坐标分别为（1，0，0）、（0，-1，0），则平面α的一个单位法向量是12．若a ，b ∈{ 0，1，2，3，4，5，6}则复数a bi +中不同的虚数有 个. 13. 函数y =x 3－3x 的极大值为m ，极小值为n ，则m -n 为14.已知函数),4()0,(,,()(23+∞⋃-∞∈+++=k d c b d cx bx x x f 为常数），当时，0)(=-k x f 只有一个实根；当k ∈（0，4）时，0)(=-k x f 有3个相异实根，现给出下列四个命题：①04)(=-x f 和0)(='x f 有一个相同的实根； ②()0f x =和0)(='x f 有一个相同的实根；③03)(=-x f 的任一实根大于()10f x -=的任一实根； ④05)(=+x f 的任一实根小于02)(=-x f 的任一实根.其中正确命题的序号是三．解答题(共六个答题，满分为80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.（本题满分12分）设复数z ，满足z 292z iz i ∙+=+，求复数z ．16．（本题满分12分）已知函数 )0(ln 6)(>=x x x f 和 )(x g = a x 2 + 8x （a 为常数）的图象在 x = 3 处有平行切线. （1）求 a 的值；２（2）求函数)()()(x g x f x F -=的极大值和极小值．17. （本题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和*1()n n S na n =-∈N ． （1）计算1a ，2a ，3a ，4a ；（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．18.（本题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD ==，,,E F H分别是线段,,PA PD AB 的中点． （Ⅰ）求证：PB //平面EFH ； （Ⅱ）求证：PD ⊥平面AHF ； （Ⅲ）求二面角H EF A --的大小．19. （本题满分14分）如图所示，设点P 在曲线2x y =上，从原点向A （2，4）移动，如果直线OP ，曲线2x y =及直线x=2所围成的面积分别记为1S 2S 。
2012—2013学年高二数学上学期期中考试题
2012—2013学年度上学期期中考试高二数学试题【新课标】本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
考试时间100分钟。
第I 卷 选择题（共48分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1、ABC ∆中，A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若222c b a <+，则ABC ∆的形状是 A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或直角三角形2、等比数列{}n a 是递增数列，若51a a 60-=，42a a 24-=则公比q 为A ．21B ．2C ．221-或 D ．212或 3、下列判断正确的是A ．a=7，b=14，A=30o，有两解B ．a=30，b=25，A=150o，有一解C ．a=6，b=9，A=45o，有两解D ．a=9，b=10，A=60o，无解4、设110a b <<，则下列不等式成立的是A ．22a b >B．a b +> C ．11()()22ab> D ．2ab b <5、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤-110y y x x y ，表示的平面区域的面积是A ．49B ．29 C ．89D ．36、在ABC ∆中，三边c b a ,,与面积S 的关系是4222c b a S -+=，则∠C 的度数为A ．030B ．060C ．045D ．0907、在a 和b 两个数之间插入n 个数，使它们与a 、b 组成等差数列，则该数列的公差为A ．b an- B ．1b an -+ C ．1b an ++ D ．2b an -+ 8、在ABC ∆中，b=8，3,c = 060A =则此三角形的外接圆的面积为A ．1963B ．1963π C ．493π D ．4939、关于x 的不等式01)1()1(22<----x a x a 的解集为R ，则实数a 的取值范围是A ．⎥⎦⎤⎝⎛-1,53 B ．()1,1- C ．(]1,1-D ．⎪⎭⎫⎝⎛-1,53 10、数列12,,,,1-n x x x 的前n 项和为A ．xx n--11B ．x x n ---111C ．xx n --+111D ．以上均不正确11、已知不等式0322<--x x 的解集为A ；不等式062>+--x x 的解集为B ；不等式02<++b ax x 的解集为A B ，则b a +的值为A ．3-B ．1C ．1-D ．312、已知数列}{n a 的通项公式为*)(21log 2N n n n a n ∈++=，设其前n 项和为S n ，5-<n S 成立的自然数n A ．有最大值63B ．有最小值63C ．有最大值32D ．有最小值32第II 卷（非选择题，共72分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13、已知数列{}n a 的通项公式是n a n 226-=，若此数列的前n 项和n S 最大，则n 的值为14、设y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+01y x y y x ，则y x z +=2的最大值为 ;15、已知正数y x ,满足12=+y x ，则yx 11+的最小值为 ; 16、已知三个数成等比数列，它们的和是13，它们的积是27，则这三个数为 ．三、解答题（本大题共5小题，共56分。
山东省师大附中2012-2013学年高二数学下学期期中试题 理 新人教B版
山东师大附中2011级第二学年第三学段学分认定考试数学试题（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共120分.测试时间120分钟. 第Ⅰ卷（共48分） 注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题卡上.2． 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.不能答在测试卷上.一、选择题：本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数32iz i-+=+的共轭复数是（ ） A. 2i + B. 2i - C. 1i -+ D. 1i --2.设复数z 满足关系式||2z z i +=+，那么z 等于（ ）A. 34i -+ B. 34i - C. 34i -- D. 34i +3.若复数2(R)12bib i-∈+的实部和虚部互为相反数，则b =（ ）23 C. 23- D.24. 5576C C -=( )A. 68CB. 67CC. 47CD. 46C5.8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（ ）A. 8289A AB. 8289A CC. 8287A AD. 8287A C6.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）A.70种B.80种C.100种D.140种 7. 21()ln(2)2f x x b x =-++在∞（-1，+）上单调递减，则b 的取值范围是（ ）A. ∞（-，-1）B. ∞（-1，+）C. 1]-∞-（，D. [1-+∞，）8.已知函数32()33(2)1f x x ax a x =++++在其定义域上没有极值，则a 的取值范围是（ ）A. (12)-，B. [12]-，C. (,1)(2,)-∞-⋃+∞D. (,1][2)-∞-⋃+∞， 9.设ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ,内切圆半径为r ，则2Sr a b c=++。
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杭州师范大学2012—2013学年第一学期期中
《高等数学》(B 类)测试卷
专业 班级 学号 姓名
一、选择题（每小题3分，共计24分）
1、设()[]()()a x f a x f ，x f y ，a -++=<
<则的定义域是函数1,0510的定义域是（ ）
A ．[]a a ，-1
B ．⎥⎦
⎤⎢⎣⎡5
4,51 C ．[]a a ，+1 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡5651， 2、数列{}n x （ ）
A ．单调时，必收敛
B ．有界时，必收敛
C ．无界时，必发散
D ．发散时，必无界
3、在以下条件中（ ）不是函数)(x f 在0x 处连续的充分条件
A ．)(lim )(lim 00x f x f x x x x -+→→= B. )()(lim 00x f x f x x =→ C. )(0x f '存在 D. )(x f 在0x 处可微
4、设0()f x '存在， 则h
h x f h x f h 2)()(lim 000--+→=( ) A ．0()f x ' B. 01()2
f x ' C. 02()f x ' D. 02()f x '- 5、在以下条件中（ ）是函数)(x f 在0x 处有导数的充分必要条件
A ．)(x f 在0x 处连续 B. )(x f 在0x 处可微 C. x
x x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim 000存在 D. )(lim 0x f x x '→存在 6、设)()2)(1()(n x x x x x f +++= ，则=')0(f （ ）
A ．0
B ．1
C ．n
D ．!n
7、当0→x 时，函数)cos 1(2
1x y -=是x 的( ) A ．较高阶无穷小 B ．较低阶无穷小 C ．同阶无穷小 D ．等价无穷小
8、下列结论正确的是( )
A ．e x x x =-
∞→)11(lim B ．e x
x x =+-∞→)11(lim C ．e x x x =--∞→1)11(lim D ．e x x x =+∞→2)11(lim
二、填空题（每小题3分，共计18分）
9、=∞→x
x x 1sin lim 10、设函数1
12
()1x f x e -=+ ，则1x =是()f x 的第 类间断点
11、函数x y =
在点)2,4(处的切线方程为 12、如果3
22sin 3lim 0=→x mx x ，则m = 13、由0=+-y x e e xy 确定隐函数()==dy ，x y y 求微分
14、已知)11(x
x f y -+=,且x x f arctan )(='，求='=0x y
三、计算题(每题6分，共计36分)
15、x
x x x 211lim ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+∞→
16、3020
10)
15()23()12(lim ++-∞→x x x x
17、x x x tan 0lim +→
18、)1cos 1(lim 2x
x x -∞→
19、求函数)ln(tan cos )2
ln(tan
x x x y -=的导数y '
20、设)(x y y =是参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=t
y t x arctan 1ln 2确定的函数，求x d y d 22
四、解答题(共计22分)
21、(8分)函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=01
0)1ln()(x x x kx x f ，若)(x f 在点0=x 处可导，求k 及 )
0(f '值。
22、(7分)设函数x x x x f sin )23()(2+-=，则方程0)(='x f 在),0(π内根的个数至少有几个？为什么？
23、(7分) 如果3)0(-=f ，且对任意的x 有5)(≤'x f ，证明:(2)7f ≤。