Finsler几何统一场与信息物理学
witten的几何朗兰兹纲领
witten的几何朗兰兹纲领
几何朗兰兹纲领是由德国数学家Hermann Weyl于1926年提出的一个数学研究纲领，主要涉及到几何和群论的问题。
该纲领包含以下几个核心思想：
1. 幻影理论：Weyl提出了一种集合论框架，用于研究几何中的对称性，并建立起几何和群论之间的联系。
他引入了一种称为“幻影”的概念，用于描述几何中的对称性操作，以及通过这些操作引入的交换子和规范场。
2. 数学基础的重要性：Weyl主张几何学必须建立在坚实的数学基础之上，并提倡使用集合论和拓扑学等现代数学工具来研究几何问题。
他认为只有完善的数学基础才能推动几何学的发展和进步。
3. 自然和人工的结合：Weyl认为纯粹的几何学应该从自然而非人为的现象中汲取灵感和启示。
他强调了几何学与物理学之间的紧密联系，并主张几何学应该对自然界的现象进行建模和解释。
4. 相对性与统一性：Weyl提出了一种将相对论和量子力学统一起来的想法。
他认为几何学应该包括一种新的度规概念，能够描述时空的弯曲和扭曲，以及粒子的运动轨迹。
5. 基本问题的探索：Weyl指出了几何学中一些基本问题的研究方向，例如黎曼几何的推广和应用、纳数人流形的分类、李群和李代数的研究等。
他认为通过解决这些基本问题，可以推
动几何学的发展和应用。
总的来说，几何朗兰兹纲领提出了一种将几何学与其他数学分支和物理学相结合的新的研究方法和思路，并成为了20世纪几何学发展的重要里程碑之一。
Finsler几何统一场与信息物理学
- 1 -Finsler 几何统一场与信息物理学叶 鹰浙江大学信息资源管理研究所(310028)yye@摘 要： 将Finsler 几何的数学形式与物理意义相结合，确立了Finsler 几何统一场与信息物理学的数学表示。
用Finsler 几何中的Hilbert 形式作为统一场势A，以Chern 联络的曲率形式作为统一场强F，提出用TrF∧*F 代表的偶数维作用项和Chern-Simons 形式代表的奇数维作用项共同构成统一作用量，将序间、空间、时间对应的Cartan 张量作为真实物理状态，从而获得Finsler 几何中的信息物理统一场。
关键词： Finsler 几何；Finsler 空间；几何场论；统一场论；信息物理学1. 引 言1985年Asanov 曾对Finsler 几何中的相对论、宇宙论进行过探讨[1]，近年的研究揭示了Finsler 空间对物理学的重要意义[2-3]，参考主流数学物理研究的几何统一论、超弦理论和M 理论[4-6]，在笔者前期工作[7]和曹盛林教授研究成果[8-10]基础上赋予Finsler 几何以实在的信息物理意义，结果具有统一场论价值。
数学方法取自[11-12]。
2. Finsler 几何场Finsler 几何是Riemann 几何的自然拓广，或者说是没有二次限制的Riemann 几何，其中去掉齐性条件的Finsler 几何也称Lagrange 几何。
Finsler 几何相应于Riemann 几何的有关参量如下：对于纤维丛(E,p,B,F,G)(E 为丛空间，B 为底空间，p:E→B 是满连续映射，F 即纤维，G 是有效作用于F 上的变换群)，相应于切丛TM 上的Riemann 度规：2/121)(j i ij dx dx g d =τ (1)射影化切丛PTM 或球丛SM 上的Finsler 度规为：),...;,...(11n n dx dx x x f d =τ (2)其中f 是Finsler 函数。
芬斯勒几何一个充满生机的数学领域
芬斯勒几何一个充满生机的数学领域(总12页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除芬斯勒几何:一个充满生机的数学领域标签：曲率度量数学家研究空间2006-12-02 20:10阅读(40)评论(0)历史沿革1854年，黎曼著名演讲[1]发展了一类基于弧长元素ds=F(x1,…,xn,dx1，…，dxn)的度量几何（最初叫广义度量空间理论）.一个重要的特殊情形是F2(x,dx)=gij(x)dxidxj.由此确定的几何即是被后人命名的黎曼几何.黎曼在黎曼几何中引进了曲率概念，推广了高斯在二维曲面上的工作.对于一般的广义度量，黎曼给出了一个具体例子：F(x,y)={(y1)4+…+(yn)4}1/4,y=dx.黎曼断言基于这种广义度量的微分几何能够像黎曼几何一样得到发展，但他认为计算将非常复杂，因此很难对微分不变量赋予恰当的几何意义.最终黎曼只研究了具有二次型限制的度量，即黎曼度量.1900年，Hilbert在巴黎发表了关于23个数学问题的著名演讲，一般情形的广义度量空间理论包含在第23个问题“变分法”中.在随后的几年中，一些数学家从变分法的几何处理出发研究了广义度量.其中的主要代表人物就是ndsberg，他在1907年引入了后来被L.Berwald称为Landsberg曲率的几何量，这是芬斯勒几何中的第一个非黎曼几何量.1918年，芬斯勒（Paul Finsler,1894-1970）在哥延根大学完成了他的博士论文.在论文中，芬斯勒研究了广义度量，引入了所谓的基本张量gij(x,y)=(2F2/yiyi)/2,和C-张量（我们现在称为Cartan张量）ner命名这类空间为Berwald空间）.黎曼空间和局部Minkowski空间均是特殊的Berwald空间.1981年，Szabó证明了：除黎曼空间和Minkowski空间外，恰好存在54类不可约和整体对称非黎曼Berwald空间，使得所有其它单连通和完备的Berwald空间都能整体地分解为上述56种空间的笛卡尔积[4].（3）研究和发展了二维芬斯勒空间理论（1927年，1941年）.（4）在他身后发表的论文（1947年）中，他定义和讨论了具有标量旗曲率和常数旗曲率的芬斯勒度量，开创了芬斯勒几何中的一个重要研究领域.1933年，法国著名数学家Elie Cartan(1869-1951)发表了他的第一篇关于芬斯勒几何的论文，主题是关于芬斯勒度量的共形变换的若干注记，同时预告了他的确定一个芬斯勒空间联络的公理系统.1934年，Cartan发表了他关于芬斯勒几何的著名论文[5]，详细介绍了他的确定芬斯勒空间联络（我们称之为Cartan联络）的公理系统.Cartan引入了线性元（line element）空间（即射影化切丛PTM)概念，将他的欧氏联络理论推广到了芬斯勒空间.Cartan联络不满足无挠条件，但与芬斯勒度量是相容的.Cartan联络与Berwald联络及其相应的各类曲率张量对后来的芬斯勒几何研究产生了重要影响，并促进了芬斯勒几何在物理学、生物（态）学等领域中的应用研究.1941年，G.Randers从广义相对论的研究中引出了一个形如F(x,y)=α(x,y)+β(x,y)的芬斯勒度量，其中α(x,y)为一个黎曼度量，代表引力场；β(x,y)=bi(x)yi为一个1-形式，代表电磁场.Randers度量在电子显微镜及统一场论等领域的研究中有重要应用，在芬斯勒几何的研究中也扮演了一个非常重要的角色.对任意芬斯勒流形（M，F）在PTM上有一个整体定义的微分形式ω:=Fyidxi,称为Hilbert形式.（M，F）上曲线的长度恰由ω的积分给出.1943年，数学大师陈省身教授从Hilbert形式的外微分出发研究了芬斯勒空间中的欧氏联络，构造了我们现在称之为Chern联络的一类重要联络[6].Chern联络满足无挠条件且与度量几乎相容，这也使得它在芬斯勒几何的研究中具有独到的优势.1948年，陈省身教授解决了芬斯勒流形的局部等价性问题：怎样才能确定两个已知的芬斯勒度量结构只差一个坐标变换？这一问题的解决再次涉及到了芬斯勒空间中的欧氏联络及其曲率[7].利用Chern联络，人们已将黎曼几何中的许多重要定理推广到了芬斯勒空间，并从其结构方程出发得到了许多芬斯勒流形的非黎曼几何性质（如见[8]）.在二十世纪五十年代至六十年代初，有两位数学家是值得一提的.一位是Herbert Busemann，他研究和讨论了芬斯勒空间的体积形式，为人们研究芬斯勒空间的体积比较定理、探讨芬斯勒流形的整体性质奠定了基础；他还强调了研究Minkowski何的重要性，扩展了人们对芬斯勒空间的认识.另一位是南非数学家Hanno Rund，他是这一时期在芬斯勒几何领域的一位代表人物.H.Rund的著作[9]曾激励了许多年轻数学家开始研究芬斯勒几何.在这一时期还崛起了两个重要的芬斯勒几何研究群体：以Berwald的学生O.Varga为代表的匈牙利研究群体和以T.Okada及M.Matsumoto为代表的日本研究群体，他们的研究工作对后来芬斯勒几何的发展产生了深刻影响.当我们在回顾芬斯勒几何的发展历程时，也应该注意到这样一个事实：自芬斯勒几何在1918年诞生之后的近七十年间，芬斯勒几何没有得到像黎曼几何那样的繁荣和普及，许多重要内容并未得到人们的重视.一个主要原因是由于计算的相对复杂性，一个简单的公式往往会随着计算的深入很快变得非常复杂，客观上制约了芬斯勒几何的发展.另一个主要的原因是，当时的许多几何学家只是把芬斯勒空间片面地看作黎曼空间的推广而仅仅致力于将黎曼几何中的结果推广到芬斯勒几何，却对芬斯勒几何中的非黎曼几何量（即那些在黎曼流形上为零的几何量）认识不足，忽略了对芬斯勒几何中那些与黎曼几何不同的性质和结构的研究.幸运的是这种状况从上世纪九十年代初开始有了根本的变化.这首先要感谢数学大师陈省身先生的大力倡导和鼓励.凭着对芬斯勒几何的深刻理解和洞察力，陈先生与美籍华人数学家沈忠民及D.Bao等人在这一时期发表了一系列重要成果（如见[8,10]），将芬斯勒几何带入了一个真正繁荣的时期.同时，我们已处在一个科技时代，运用计算机进行符号计算和大规模计算已成为现实，这极大地促进了对芬斯勒几何的研究.如人们已构造出大量具有重要曲率性质的芬斯勒度量，为对芬斯勒度量进行深入研究提供了重要启示和支撑.近年来，芬斯勒几何得到快速而长足的发展.芬斯勒几何中的各种曲率（黎曼几何量与非黎曼几何量）已得到广泛关注和研究，它们对芬斯勒空间结构的影响也越来越为人们所理解（如见[11]）.与此同时，芬斯勒几何的理论与方法在数学及其它众多自然科学领域中的应用价值也日益突出（如见[12,13]）.芬斯勒几何已显现出充满勃勃生机的发展势头.2 芬斯勒几何的若干重要进展芬斯勒几何中的旗曲率（flag curvature）是黎曼几何中截面曲率的自然拓广.给定流形M上的一个芬斯勒度量F，旗曲率是切平面P和P中方向y的函数K=K(P，y).如果旗曲率只是切丛TM\{0}上的标量函数K=K(x,y)，我们称F具有标量旗曲率（scalar flag curvagure）.特别地，若K=常数，我们称F具有常数旗曲率.芬斯勒几何中的一个重要问题是研究和刻划具有标量（常数）旗曲率的芬斯勒度量，这也是芬斯勒几何学家十分关注的一个热点问题.芬斯勒几何中与此相关的另一重要问题是研究和刻划射影平坦芬斯勒度量，这是正则情形下的Hilbert第四问题.一个重要的基本事实是：射影平坦芬斯勒度量必然具有标量旗曲率.在黎曼几何情形，Beltrami证明了：一个黎曼度量是射影平坦的充分必要条件是它具有常曲率.然而，我们可以找到无穷多个具有标量（常数）旗曲率的芬斯勒度量，它们是非射影平坦的.人们也已找到了许多具有标量旗曲率的芬斯勒度量，它们的旗曲率不是常数.这表明刻划和分类具有标量（常数）旗曲率的芬斯勒度量的工作远比黎曼几何情形复杂，其内容也比黎曼几何情形要丰富得多.由于计算的相对复杂性，对特殊情形的研究和例子在芬斯勒几何中是非常重要的.芬斯勒几何学家首先对Randers度量作了大量深入研究.2003年，美籍华人数学家沈忠民（Z.Shen）首先完成了对射影平坦且具有常数旗曲率的Randers度量的分类；然后，他又分别利用Taylor展开式和代数方程刻划了射影平坦且具有常数旗曲率的芬斯勒度量的局部度量结构；在此基础上，沈忠民与D.Bao等人运用黎曼流形上的Zermelo 导航术完成了对具有常数旗曲率的Randers度量的分类（见[11]）.日本数学家M.Matsumoto等人也对具有常数旗曲率的Randers度量的分类作了大量工作（如见[13]）.进一步，人们研究了一类比Randers度量更一般化且在生物（态）学、物理学等领域中有重要背景的芬斯勒度量——（α,β）-度量．（α,β）-度量是一类非常丰富的可计算的芬斯勒度量，它们在芬斯勒几何中扮演了一个非常重要的角色.近年来，人们之所以能对芬斯勒几何中的各种曲率展开研究并能更好地理解其几何意义，这要部分地归功于对（α,β）-度量的研究.人们目前已完全确定了某些重要而特殊的射影平坦且具有常数旗曲率的（α,β）-度量的局部结构，为确定一般的射影平坦且具有常数旗曲率的芬斯勒度量的局部结构提供了有力支撑，也丰富了这一领域的研究内容.在芬斯勒几何中存在若干重要的几何量（如（平均）Cartan张量、S曲率、（平均）Landsberg曲率、（平均）Berwald 曲率等），它们在黎曼空间中是等于零的，因而被称为非黎曼几何量.我们说，黎曼几何量（如旗曲率，Ricci曲率等）刻划空间的形状，而非黎曼几何量则描述空间的“色彩”.已有的研究表明：芬斯勒度量的旗曲率与非黎曼几何量有密切联系.因此，在研究具有标量（常数）曲率的芬斯勒度量的结构和性质的时候，人们自然地要考虑度量所满足的某种非黎曼曲率（几何量）性质.华人数学家在这一领域的研究中得到了一系列重要结果：刻划了具有标量旗曲率且具有迷向S曲率的芬斯勒度量的旗曲率，并首先完成了对局部射影平坦且具有迷向S曲率的Randers度量的分类；更一般地，运用Zermelo导航术思想，完成了对具有标量旗曲率且具有迷向S曲率的Randers度量的分类；进而又完成了对局部射影平坦且具有迷向S曲率的芬斯勒度量的分类.人们也对具有其它非黎曼曲率性质（如具有相对迷向的（平均）Landsberg曲率）的芬斯勒度量作了大量研究，得到了一系列富有意义的成果.有关这方面的工作可参见[11,14,15].这一方向的研究正方兴未艾，对深入研究具有标量（常数）旗曲率的芬斯勒度量的结构和性质有重要意义，对揭示这类度量的神秘面纱必将产生深远的影响.芬斯勒几何学家在刻划芬斯勒度量局部结构方面取得的成果为研究芬斯勒度量的整体性质奠定了重要基础，为对芬斯勒度量作整体分析提供了大量例子.近十几年来，芬斯勒几何学家对芬斯勒度量的整体性质作了大量研究，并取得了一系列重要结果（参见[8,16,17]）.如关于常旗曲率芬斯勒空间的整体结构，法国籍伊朗裔数学家AkbarZadeh证明了：在紧致流形上，任何具有负常数旗曲率的芬斯勒度量一定是黎曼度量，任何旗曲率为0的芬斯勒度量一定是局部Minkowski度量.进一步，莫小欢与沈忠民证明了：在维数大于2的紧致芬斯勒流形上，若芬斯勒度量具有标量旗曲率且其旗曲率是负的，则芬斯勒度量一定是Randers度量[18]（这也说明了研究Randers度量的重要性）.另一方面，作为研究芬斯勒度量整体性质的重要基础，人们对芬斯勒几何中若干重要的比较定理作了深入研究.我们知道，在黎曼几何中，BishopGromov体积比较定理在黎曼流形的整体微分几何中扮演了一个非常重要的角色.1997年，沈忠民引入了S-曲率（即mean covariation）,建立了一个关于芬斯勒度量的体积比较定理，将黎曼几何中的BishopGromov体积比较定理推广到了芬斯勒流形，并得到了若干关于芬斯勒流形的准紧性（percompactness）和有限性（finiteness）定理.他还进一步研究了S曲率为0的完备芬斯勒流形的共轭半径的重要性质.另一方面，相对于芬斯勒度量的局部性质而言，目前人们对芬斯勒度量整体性质的研究仍远远不够，对芬斯勒度量整体性质的认识还不够丰富.可以肯定，芬斯勒度量的整体性质必将是几何学家们的新的研究热点.芬斯勒子流形几何是芬斯勒几何的重要组成部分，是芬斯勒几何学家长期关注的重点之一.人们一直在努力探求芬斯勒子流形的局部与整体结果，进而促使人们更好地理解芬斯勒流形的结构与性质，并已取得了一些重要成果.如沈忠民于1998年引入了芬斯勒子流形的平均曲率与法曲率概念，得到了关于Minkowski空间中子流形的若干的整体结果，并以n维欧氏空间为底流形构造出了一个芬斯勒度量，使得相应的芬斯勒流形不可能等距地嵌入到任何Minkowski空间中.同时，人们对Minkowski空间中子流形的若干其它重要问题也开展了卓有成效的研究工作.但就总体而言，对芬斯勒子流形几何的研究并没有与黎曼子流形几何同步，还有很多重要问题未得到应有的重视和研究，有待几何学家去探索和耕耘.近几年来，中国数学家也在研究芬斯勒流形的调和映照方面取得了若干重要进展.同时，来自芬斯勒几何的整体（通常是非线性的）分析问题也在挑战着从事几何分析的数学家们.3 展望由于芬斯勒几何中相对复杂的计算，刻划具有标量旗曲率的芬斯勒度量的工作还远未彻底完成，很多具有标量旗曲率的芬斯勒度量的分类工作还没有做.即使对具有常数旗曲率的芬斯勒度量，人们也远未完成其分类的工作.因此，研究和刻划具有标量（常数）旗曲率的芬斯勒度量的性质和结构仍然是芬斯勒几何发展中的一个重点.根据目前芬斯勒几何的发展趋势可以预计，人们将在不久的将来构造出更多的满足一定曲率条件的芬斯勒度量的例子，并完成对某些具有重要应用背景且具有特殊曲率性质的（α，β）-度量的分类.在此基础上，人们将逐步完成对具有标量旗曲率且具有某些特殊曲率性质的芬斯勒度量的分类，具有标量旗曲率的芬斯勒度量的神秘面纱将逐渐被人们揭开.芬斯勒度量的整体几何与拓扑性质将是芬斯勒几何的另一个研究热点.这一方向的研究包括：进一步揭示非黎曼几何量对芬斯勒度量整体结构和旗曲率的影响，深入研究具有标量旗曲率的芬斯勒度量的整体结构，对芬斯勒度量作整体分析并研究芬斯勒度量的刚性，探究Ricci曲率与芬斯勒流形拓扑的关系，特别是研究和揭示Einstein度量空间的拓扑结构等.目前人们已知的芬斯勒度量的局部性质及大量具有重要价值的例子将为这一领域的研究提供强有力的支撑.我们可以期待在这一领域会有一系列重要进展.芬斯勒子流形几何对丰富芬斯勒几何理论富有重要价值.这一领域的研究内容是令人向往的.如关于黎曼流形的切丛与单位切球丛的几何及黎曼流形上的极小或调和单位向量场已被广泛研究和讨论，并且仍是前沿研究的一个热点之一.但在芬斯勒几何情形，相应的内容还没有得到足够的重视，相关结果还很少.因此，芬斯勒几何学家将在未来的研究工作中深入研究芬斯勒流形的切丛与单切球丛的几何，并深入研究芬斯勒流形上的极小或调和单位向量场，探讨极小子流形与调和映照的联系以及它们的几何变分特征，在一定的曲率条件下讨论调和映照的稳定性.这些内容都是十分重要和有趣的课题.当然，要对芬斯勒几何的未来作出一个准确、全面的预测是非常困难的.这里，我们不妨借用陈省身先生的一个观点来结束本文：“整体黎曼几何在二十世纪后半叶得到了巨大的发展.我相信，在二十一世纪，微分几何的主要部分应是黎曼-芬斯勒几何.”参考文献［1］B.Riemann,Uber die Hypothesen,welche der Geometrie zugrund liegen,1854.English trandlation from M.Spivak,A Comprehensive Introduction to Differential Geometiy(second edition),vol.2,135-153,Publish or Perish,1979.［5］E.Cartan,Les espaces de Finsler,Actualités79,Paris,1934.［9］H.Rund,The differential geometry of Finsler spaces, Springer-Verlag,1959.［10］Z.Shen,Differential geometry of spary and Finsler spaces,Kluwer Academic ublishers, 2001.［15］Xinyue Cheng and Z.Shen,Randers metrics with special cruvature properties,Osaka J.of Mathematics, 40(2003),87—101.［18］Mo Xianhuan and Z.Shen,On negatively curved Finsler manifolds of scalar curvature, Canadian Math. Bull.(to appear).。
陈省身什么是几何学
• 爱因斯坦说，为什么需要7年我才能从特殊相对论过渡到广义相对谕呢？他说因为 我觉得坐标都应该有几何或物理意义。爱因斯坦是一个对学问非常严谨的人，他觉 得没有意义的坐标不大容易被接受，所以耽误了他很多年，他才不能不接受，就是 因为空间的概念被推广了。 • 同样我回头再讲一点欧几里德。那时的欧几里德的《几何原本》并不仅仅是几何， 而是整个数学。因为那时候的数学还没有发现微积分，无穷的观念虽然已经有了， 不过不怎么普遍。我再说一点，就很可惜的是欧几里德的身世我们知道得很少，只 知道他大概生活在纪元前三百年左右。他是亚历山大学校的几何教授，他的《几何 原本》大概是当时的一个课本。亚历山大大学是希腊文化最后集中的一个地方。因 为亚历山大自己到过亚历山大，因此就建立了当时北非的大城，靠在地中海。但是 他远在到亚洲之后，我们知道他很快就死了。之后，他的大将托勒密 （PtolelmyySoter）管理当时的埃及区域。托勒密很重视学问，就成立了一个大学。
• 我刚才讲到高斯与黎曼把坐标一般化，使坐标不一定有意义，这 对几何学产生的问题可大了。因为空间就变成一块一块拼起来的 东西。那想怎么去研究它呢？怎么知道空间有不同的性质呢？甚 至怎么区别不同的空间？我这里有几个圆，画了几个不同的空间， 可惜我没法把它投影出来。不过，总而言之空间的个数是无穷的， 有很多很多不同的空间。现在对于研究几何的人就产生一个基本 问题，你怎橡去研究它。这样一个基本的学问现在就叫Topology， 拓朴学。它是研究整个空间的性质，如什应叫空间的连续性，怎 样的两个空间在某个意义上是相同的，等等。这样就发展了许多 许多的工具。这个问题也讨论了。黎曼生活在1826~1866年。德 国的教学制度在博士毕业之后，为了有资格在大学教书，一定要 做一个公开演讲，这个公开的演讲就是所谓的Habilitationschrift. 黎曼在1854年到哥廷根大学去做教授，做了一个演讲，这个在几 何上是非常基本的文献，就讨论了这些问题。
有关物理的三个名词
没错，物理和无理其实本是一家的，就好比混沌之气，你手携盘古斧而来，便分了清浊高下，但论其本源，却还是那一气。
可见，物理和物理学是紧密联系但是不同的。物理学只是物理的表现形式，但我们知道，就好比一个李代数可以有无穷种不同的表示一样，真正的物理的表现形式可以有很多很多种，只不过他们之间是相互等同的，同构的。
就好比量子力学。
如果我们把量子力学看作物理，那么量子力学就有三种看上去不同但实际上等价的物理学：矩阵力学、波动力学，以及路径积分力学。海森堡、薛定谔以及费曼三人曾经为了谁是真正的量子力学而争论不休，最后被证明，他们是相互等价的。
物理学，基本上可以说是人类可以发展到的物理理论的极致了，但，依然不是物理本身，也不是物理的忠实表示，存在着一定的偏离。
当然，也许以后某个超级文明可以克服这种描述与理解上的偏差，从而使得物理学是物理的忠实表示，但即使这样，不同的超级文明可以会得到看上去很不一样的物理理论，当然，它们是同构的。不过，可以肯定的是，这种文明不是人类——至少不是现在的人类。
当然，这个问题本身和“事物的发展规律”一样，是个有等于无的叙述。比如，什么是“自然”？自然界中的东西就是自然？那人类算不算自然界中的东西？阿猫阿狗算不算自然界中的东西？难道都是物理的最大理想了？这个叫物理的最扯理想。
退而求其次，我们把视野狭隘化一点，就把相互作用的规律当作物理的最大理想好了，那么我们现在可以说，最核心的物理，就是研究相互作用的规律——当然，这里依然有很大的不确定元素在，比如，是什么东西的相互作用？我打你一拳也是相互作用啊。这里暂定为基本粒子的相互作用。这么一来，基本上物理的核心就成了粒子物理，也许按照现在的分类方法还要加上宇宙学与引力论。
物理经典书籍教材推介
物理经典书籍教材推介个人以为国内好的物理教材不太多，很多教材内容严谨可是易读性不强。
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《Mathematical methods for Physics and engineering》by Riley涵盖了几乎所有物理研究需要的数学知识，没有过度苛求证明严格性且说明形象有趣读起来超级有成绩感，不像国内的数理方式写得过于太抽象，用户界面不太友好呵呵。
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举重假设轻地谈了很多深刻的数学领域，例如拓扑和“形式(form)”。
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《Classical Mechanics- Systems of Particles and Hamiltonian Dynamics》by Greiner清楚地讲述了理论力学的内容，尽管书厚，但说明清楚没有冗余，超级适合自学。
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《Classical Electrodynamics》及《习题解答》by JacksonJackson那个词几乎已经专指这本神作了，难度高但循序渐进不失自学性。
Finsler几何及Sasaki几何中的若干问题的开题报告
Finsler几何及Sasaki几何中的若干问题的开题报告题目：Finsler几何及Sasaki几何中的若干问题摘要：Finsler几何是非黎曼几何中的一个分支，是一种几何结构，它一般情况下考虑的是弧长的率函数与切向量的线性组合，不同于黎曼几何使用点间距离的度量。
本文主要研究Finsler几何及Sasaki几何中的一些问题，其中包括：1. Finsler度量的标量曲率及其性质；2. Finsler度量的体积元的表达式；3. Finsler度量下的测地线问题；4. Sasaki度量下的Einstein方程组解的性质。
关键词：Finsler几何；Sasaki几何；标量曲率；体积元；测地线；Einstein方程组正文：1. Finsler度量的标量曲率及其性质Finsler度量的标量曲率是用来描述该几何结构下的曲率的性质，与Riemann几何中的Riemann曲率有类似的地位。
Finsler几何中的标量曲率被定义为Finsler度量的Hessian矩阵的迹。
Finsler度量的Hessian矩阵是一个二阶张量，它描述了Finsler度量的二阶导数信息，从而可以刻画出Finsler度量在该点附近的曲率。
在Finsler几何中，标量曲率是一个非常重要的量，它能够描述Finsler度量在某一点上的几何性质，例如曲率、哪些方向上有最大的曲率、光滑曲线的扭曲程度等等。
2. Finsler度量的体积元的表达式Finsler几何中的体积元是用来描述空间中物体的大小的，它通常被用来计算几何结构下的体积和测度。
在Finsler几何中，体积元通常是由Finsler度量的Hessian矩阵和一个标量体积函数决定的，从而我们可以推导出Finsler几何中体积元的表达式。
体积元的表达式是一个二阶张量，用来描述某个区域内物体的体积大小和形状。
3. Finsler度量下的测地线问题测地线是称为是该几何结构下最短路径的道路。
在Finsler几何中，由于使用的度量不同于黎曼度量，因此其测地线的性质也存在着一些差异。
finsler几何 相对论
Finsler几何是一种扩展了欧几里得几何的数学领域，由德国数学家Finsler在20世纪初提出。
它提供了一种更广泛的方式来描述空间的几何性质，不仅限于传统的欧几里得几何。
在Finsler几何中，距离函数可以是非欧几里得的，这使得它可以更好地描述现实世界中的许多现象。
相对论，特别是广义相对论，是由爱因斯坦提出的物理理论。
它描述了重力是如何通过时空结构来表现的。
在广义相对论中，重力被描述为是由于物质对时空的扭曲所产生的几何效应。
Finsler几何和相对论之间的联系在于，它们都超越了传统的欧几里得几何观念。
Finsler几何提供了一种更广泛的几何框架，而相对论则提供了一个具体的物理模型，描述了时空的几何性质。
这种联系表明，Finsler几何可能为理解相对论和其他物理理论提供更深入的几何洞察。
Finsler几何和宇宙常数
物理学为什么要引进新的几何?
初等几何和微积分
牛顿利用初等几 何和微积分的数 学工具,依据行 星运动的三定律 ,得出了著名的 万有引力公式。
伪黎曼几何
爱因斯坦利用黎曼几 何加上狭义相对论的 时空结构要求假定了 有引力场存在的时空 ，构成号差为2（或 －2）的伪黎曼几何 ，成功地发展了牛顿 的引力理论。并得到 天文观测证实。
Continuous Processes and The Catastrophe
The Newtonian theory and Einstein’s relativity theory only consider smooth, continuous processes. The catastrophe theory, however, provides a universal method for the study of all jump transitions, discontinuities and sudden qualitative changes.
The Hamilton Principle
Definite Lagrangian
1 ,, q s , t ) L(q1 ,, qs , q
or briefly
and
, t ) L ( q, q
, t )dt S L (q, q
The Energy
The Momentum
2
2
2
2
2
2
4
4 1/ 2
The Finsler geometry
The Finsler metric function concerns tangent bundles TM of an n-dimensional differentiable manifold M (Asanov, 1996) .
场论 国外教材
场论国外教材
在电磁学领域，有一些经典的场论教材值得推荐。
在国外，Landau和Lifshitz的《经典场论》和Nastase的教材是值得关注的。
此外，Rubakov 的教材和Thirring的经典数学物理也提供了深入的场论知识。
在研究生阶段，可以参考斯特莱顿的《电磁理论》和的《经典电动力学》。
朗道的《场论》和《连续媒质电动力学》也是深入了解场论的重要资源。
此外，还有一些适合本科生的教材，如费曼的讲义第一、二卷和Griffith的《电动力学导论》。
如果需要更详尽和透彻的讲解，可以参考郑钧的《电磁场与波》。
对于更深入的学习和研究，古典名著和原始文献如麦克斯韦的《电磁通论》以及爱因斯坦等人的《相对论原理》中洛伦兹等经典论文也是重要的参考资料。
请注意，以上提到的教材仅供参考，可以根据个人需求和实际情况选择合适的教材。
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- 1 -Finsler 几何统一场与信息物理学叶 鹰浙江大学信息资源管理研究所(310028)yye@摘 要： 将Finsler 几何的数学形式与物理意义相结合，确立了Finsler 几何统一场与信息物理学的数学表示。
用Finsler 几何中的Hilbert 形式作为统一场势A，以Chern 联络的曲率形式作为统一场强F，提出用TrF∧*F 代表的偶数维作用项和Chern-Simons 形式代表的奇数维作用项共同构成统一作用量，将序间、空间、时间对应的Cartan 张量作为真实物理状态，从而获得Finsler 几何中的信息物理统一场。
关键词： Finsler 几何；Finsler 空间；几何场论；统一场论；信息物理学1. 引 言1985年Asanov 曾对Finsler 几何中的相对论、宇宙论进行过探讨[1]，近年的研究揭示了Finsler 空间对物理学的重要意义[2-3]，参考主流数学物理研究的几何统一论、超弦理论和M 理论[4-6]，在笔者前期工作[7]和曹盛林教授研究成果[8-10]基础上赋予Finsler 几何以实在的信息物理意义，结果具有统一场论价值。
数学方法取自[11-12]。
2. Finsler 几何场Finsler 几何是Riemann 几何的自然拓广，或者说是没有二次限制的Riemann 几何，其中去掉齐性条件的Finsler 几何也称Lagrange 几何。
Finsler 几何相应于Riemann 几何的有关参量如下：对于纤维丛(E,p,B,F,G)(E 为丛空间，B 为底空间，p:E→B 是满连续映射，F 即纤维，G 是有效作用于F 上的变换群)，相应于切丛TM 上的Riemann 度规：2/121)(j i ij dx dx g d =τ (1)射影化切丛PTM 或球丛SM 上的Finsler 度规为：),...;,...(11n n dx dx x x f d =τ (2)其中f 是Finsler 函数。
相应于Riemann 几何的Levi-Civita 联络：j j i i e De E M T E D ω=⊗Γ→Γ),*()(:,i j j i d ωωω∧= (3)式中⊗代表张量积，T*M 是余切丛，j e 是矢量丛E 的标架。
Finsler 几何的Chern 联络为： j j i i e De TM p PTM T TM p D ω=⊗Γ→Γ),*)(*()*(:,ij j i d ωωω∧= (3)相应于Riemann 曲率：- 2 - l j i kjl i k R ωω∧=Ω21 (4) Finsler 几何的Chern 曲率由两部分构成： m n j i kjm l j i kjl i k P R ωωωω∧+∧=Ω21 (5) 其中i kjm i kjl P R 和分别为第一类Chern 曲率张量和第二类Chern 曲率张量。
满足： f x RC R R nm nkl ijm jikl ijkl 2−=+ (6) i jkm i kjm P P = (7)其中ijm C 是Cartan 张量。
旗曲率K(b)则定义为：ji ij b b K b K −=)( (8)k ljl ik ij R K δ−= (9)其中ik δ是Kronecker 符号。
用Finsler 几何的旗曲率替换Riemann 几何的截面曲率，Riemann 几何的结果一般都能平移到Finsler 几何中。
如Bianchi 恒等式和测地线方程在形式上就完全相同：Bianchi 恒等式：0=++i lkj i jlk i kjl R R R (10) 测地线方程： 022=Γ+ds dx ds dx ds x d k j i jk i(11) 其中ijk Γ是Riemann 联络，也称Christoffel 符号，取决于度规： )(21l jk k lj j lk il i jkx g x g x g g ∂∂−∂∂+∂∂=Γ (12) 对于一个几何统一场，关键的几个几何概念与物理概念的对应意义理解为：(1)度规：度规是坐标变换下保持不变的几何量，其物理意义是广义空间距离。
由于每个变换均对应一个变换群G，所以不同对称性可用不同对称群来表征，如SU(5)、SU(6)、SO(10)、SO(12)等等。
(2)联络：几何联络对应物理场势。
(3)曲率：几何曲率对应物理场强。
(4)测地线：几何测地线即短程线，其物理意义是运动方程，也就是作用量变分之解。
(5)变分原理：几何变分原理对应物理最小作用量原理，是几何场和物理学的核心原理。
在数学上，对矢量b a 和，外积(wedge product)∧定义为：a b b a ∧−=∧ (13)k 次微分形式(k-形)定义为：j ii i i i i k i i dx dx dx x a k k ≠∧∧∧=,...)(121...ω (14)- 3 -其中1-形i i dx x a )(1=ω；2-形j i ij dx dx x a ∧=)(2ω；3-形k j i ijk dx dx dx x a ∧∧=)(3ω；等等。
微分形式比张量形式在数学表达上更加简洁明晰。
k-形的相应外微分为：j i i i i k i i dx dx dx x a d k ≠∧∧∧∂∂=,...1ω (15) 在三维空间中，0-形的外微分相当于梯度，1-形的外微分相当于旋度，2-形的外微分相当于散度。
协变外微分则相当于规定了一个联络(势)：ii k k i i d D Ω=∧−=ωωωω (16)此即第一Cardan 方程或第一结构方程。
同时有第二Cardan 方程或第二结构方程成立： j i j k k i j i d Ω+∧=ωωω (17)对于无挠场，0=i D ω，故有： i k k i d ωωω∧= (3)这就是Levi-Civita 联络和Chern 联络，它们都是无挠联络。
对于具有光滑边界D ∂的定向微分流形S，Stokes 定理成立：∫∫∂=D D d ωω (18)Gauss-Bonnet 公式也应成立：∑∫∫∫=−++∂ii D g D D ds kKdS )(2)(πχαπ (19) 其中K 为高斯曲率、kg 为测地曲率，D 为S 曲面上的区域，D ∂为曲面边界。
χ(D) 是Euler 示性数。
i α为外角。
Gauss-Bonnet 公式揭示的全曲率与示性类的关系成为几何量与拓扑量之间的纽带。
对于一个实n 维可微流形M 及其切丛TM 上的双变量集标量函数f(x,y)，Finsler 曲面是指积分∫=dx dy y dx y y x f /',)',,( (20) Riemann 几何则是'),(),(2),(2y y x G y y x F y x E f ++=时的特例。
3. 信息物理中的Finsler 几何统一场考虑任意可微且对iy 是r 阶的正齐次函数f(x,y)： ),(),(y x f k ky x f r = (21)其中k>0，r 为实数。
j i ij y y y x g y x f ),(),(2= (22)Finsler 度规为：- 4 -ji ij y y y x f y x g ∂∂∂=),(21),(22 (23) 其基本张量为：j i ij g g ωω⊗= (24)Hilbert 形式为： i i dx y f ∂∂=ω (25) Cartan 张量为：k j i ijk C C ωωω⊗⊗= (26) j i k j i ijk yy f y y y f C ∂∂∂=∂∂∂∂=22232141 (27) Cartan 张量是Finsler 几何偏离Riemann 几何程度的度量。
Chern 联络为ij ω，满足：无挠性 i j j i d ωωω∧= (3)几乎与度量相容性 k m ijk ji ij C ωωω2−=+ (28)在信息物理中，f(x,y)→f(r,s,t)，r,s,t 分别为序间、空间、时间。
以Hilbert 形式ω作为场势A，以Chern 联络的曲率形式 i k Ω作为场强F，由于曲率形式的F 只描述了偶数维，应加上描述奇数维的参量，所以选用Chern-Simons 形式12−k ω，将Lagrange 函数写为： 12*−+∧=k F TrF L ω (29)其中*为Hodge 算符。
相应于k=3，Chern-Simons 形式为：)5323)(()10121(5325325A dA A dA A Tr A FA A F Tr ++=+−=ω (30) 其中F 2是F∧F 的缩写，余类似。
一般情况下，Chern-Simons 形式为：),(1112−−∫=k t k F A Tr dt k ω (31)或 )(12k k F Tr d =−ω (32)TrF∧*F 和12−k ω相结合，即统一了偶数维和奇数维几何，也统一了Abel 规范(交换群)和非Abel 规范(非交换群)。
作用量函数S 为：12*−∫∫+∧=k F TrF S ω (33)结合以上各式，对于Finsler 几何统一场来说，问题是能否在将第一项解释为弱电相互作用的同时，把其余几项分别解释成引力相互作用、强相互作用以及耦合作用。
- 5 -4. Finsler 几何中的信息物理学将信息物理的序间(order)、空间(space)、时间(time) 概念[7]充实到Finsler 几何中，以m, E, I 分别表示质量、能量和信息，ρ, ε, η 分别为质量密度、能量密度和信息密度(序率密度)。
由定义引进：ds s M )(∫=ρ 或 ds dM s /)(=ρ (34) dt t E )(∫=ε 或 dt dE t /)(=ε (35) dr r I )(∫=η或 dr dI r /)(=η (36) 质量、能量和信息之间的关系有：2mc E = (37)2ITh E = (38) Tm h c I 22= (39) 其中c 为光速，h 为Planck 常数，k 为Boltzmann 常数；T 是温度。
按照用Chern 联络的曲率形式 ik Ω作为场强F 的思想，有： m n j i kjm l j i kjl P R F ωωωω∧+∧=21 (40) )(21ji ij k m ijk C ωωω+−= (41) k j i ijk ts r f C ∂∂∂∂=2341 (42) 与Riemann 几何中曲率与能量-动量张量平衡而获得Einstein 场方程类似，Finsler 几何中应有与Cartan 张量C 相平衡的应力张量T，使得：ijk ijk T t s r f C ),,(= (43)成立。