2020高三数学复习专题——指数与指数函数2

当 x>0 时， y>1 ；
当 x>0 时， 0<y<1 ；
当 x<0 时， 0<y<1 ；
当 x<0 时， y>1 ；
在 R 上是增函数
在 R 上是减函数
1
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1. 3 a 6 a 等于 ( )
A.-
a
B.-
a
C.-
a
D.
a
x
2. 函数 y= 2 3 的图象与直线 y=x 的位置关系是 ( )
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2019-6-24
指数与指数函数
一、知识梳理 1.指数 ⑴ n 次方根的定义： 若 xn=a，则称 x 为 a 的 n 次方根，“ n
”是方根的记号 .
在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，
0 的奇次方根是 0；正数
的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，
A.0<a<1 且 b>0
B.a>1 且 b>0
C.0<a<1 且 b<0
D.a>1 且 b<0
函数 y＝ ax＋ b－ 1 的图象经过第二、三、四象限，大致图象如图．所以函数必为减函数．
故 0<a<1.又当 x＝ 0 时， y<0 ，即 a0＋ b－ 1<0，∴ b<0.
12、若函数 y (1 ) |1 x| m的图象与 x 轴有公共点，则 m 的取值范围是（
0 的偶次方根是 0，负数没有偶次方根 .
⑵ n 次方根的性质
①当 n 为奇数时， n a n
； ②当 n 为偶数时， n a n
a a=
a
(a 0), (a 0).
⑶ 分数指数幂的意义
m
①a
n
n
=
am
；
m
②a
n=
1
m
an
1 =
n am
（ a＞ 0，m、n 都是正整数，
n＞ 1） .
2. 指数幂的运算性质
轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到 的，函数图象如图所示． 当 k<0 时，直线 y＝ k 与函数 y＝ |3x－1|的图象无交点，即方程无解；当 k＝ 0 或 k≥ 1 时，直线 y＝ k 与函数 y＝ |3x－ 1|的图象有惟一的交点，所以方程有一解； 当 0<k<1 时，直线 y＝k 与函数 y＝|3x－ 1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解．
x 1x ( ) ,x 0 3
则不等式 | f (x) |
1
的解集为 ____________.
3
解：本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法
. 属于基础知识、基本运算的考查 .
1 （ 1）由 | f ( x) |
3
x0 11 x3
3 x 0.
1 （ 2）由 | f ( x) |
3
x0
x
11 33
x0
x
11 33
0 x 1.
∴不等式 | f (x) |
1
的解集为
x| 3
x
1 ，∴应填
3,1 .
3
3
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2019-6-24
题型三：指数函数的图像与应用
6、 比较
3
2
与
3
3
32
的大小．
4
解：在同一直角坐标系中作出函数
y＝
4 9
x与
y＝
3 4
x 的图象，考察
x＝3时 y 值大小， 2
递减．故选 B.
16、若关于 x 的方程 |ax－ 1|＝ 2a(a>0 ，a≠ 1)有两个不等实根，则 a 的取值范围是 (
)
A ． (0,1)∪ (1，＋∞ )
B ． (0,1)
C． (1，＋∞ )
解： 若 a>1，如图 (1)为 y＝|ax－ 1|的图象，
1 D． (0， 2)
与 y＝ 2a 显然无交点；当 0<a<1 时， 如图 (2) ，要使 y＝ 2a 与 y＝|ax－ 1|的图象
|2a－ 1|＝ a
a＝ 0
因此应有 |2b－ 1|＝ b ，解得 b＝ 1 ，所以有 a＋ b＝1，选 A.
20.（ 2012 上海）已知函数 f ( x) e|x a|（ a 为常数）。若 f (x) 在区间 [1, ) 上是增函数，则 a 的取值范围
是
。
解 :令 t x a ，则 t x a 在区间 [ a, ) 上单调递增， 而 y et 为增函数， 所以要是函数 f ( x) e x a
23、设函数 f x
Hale Waihona Puke a 2x a 2 2 x 1 为奇函数 . 求：
（ 1）实数 a 的值；（ 2）用定义法判断 f x 在其定义域上的单调性 .
2019-6-24
24、设 f x
ex a
a e x 是定义在 R 上的函数 .
(1) f x 可能是奇函数吗？ (2) 若 f x 是偶函数，试研究其单调性 .
6 、化简：
1
a4
a
1 13
3 ＝ ________ ；
xy2·
－1
xy ·
xy
＝
________ ；
0.25
0.5
1
1
3
6250.25 ＝
27
_______.
4 (1) － a－ 1 (2)xy (3)0
三、典例精析
题型一：指数式的运算 1、化简 :
⑴1 52
0
31
9 45
1
17 3 ⑵4
27
0.02560.25
）
2
A． m≤－ 1
B．－ 1≤ m<0
C． m≥ 1
D． 0<m≤ 1
4
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x
13、函数
y＝
xa |x|
(0< a<1) 图象的大致形状是下列图形中的
________． (填序号 )
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解： 函数定义域为
{ x|x∈ R，x≠ 0} ，且 y＝ xax＝ |x|
故 m 的取值范围是 [ － 5，＋ ∞）． 26、如果函数 y＝ a2x＋2ax－ 1( a>0，且 a≠ 1)在 [－ 1,1] 上的最大值是 14，求 a 的值． 解： 令 t＝ ax，则 y＝ t2＋ 2t－ 1，对称轴方程为 t＝－ 1，
1) 的图象可能是（
a
D.a<b<1<d<c ）
解：当 a 1 时单调递增，
1 0 ，故 A 不正确； y ax 1 恒不过点 (1,1)，所以 B 不正确；
a
a
当 0 a 1 时单调递减，
1 0 ，故 C 不正确 ； D 正确 .
a
11. 若函数 y=ax+b-1(a>0 且 a≠ 1的) 图象经过二、三、四象限，则一定有 ( )
题型四：指数函数单调性的运用 19、设函数 f(x)＝ |2x－ 1|的定义域和值域都是 [a， b](b>a)，则 a＋b 等于 ( )
A ．1
B．2
C．3
D．4
解： 因为 f(x)＝ |2x－ 1|的值域为 [a， b] ，所以 b>a≥ 0，而函数 f(x)＝ |2x－ 1|在 [0 ，＋ ∞) 内是单调递增函数，
(1)若 f(x)＝ 2，求 x 的值； (2) 若 2tf(2 t)＋ mf(t) ≥0 对于 t∈ [1,2] 恒成立，求实数 m 的取值范围．
解： (1) 当 x<0 时， f(x)＝0；
当
x≥
0
时，
f(x)＝
2
x－
1 2x.
由条件可知
2
x－
1 2x＝
2
，即
22x－2·2x－ 1＝0，
解得 2x＝ 1± 2.
在 [1, ) 单调递增，则有 a 1，所以 a 的取值范围是 ( ,1] 。
21、已知
x2
2
x
≤
(
1 )
x
2，
求函数
y= 2X
2 X 的值域。
4
22、要使函数 y=1+2 x+4xa 在 x∈ (－∞ ,1] 上 y＞ 0 恒成立，求 a 的取值范围 .
6
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11
(a 4b 2 )4 3 b
a
(a 3 a2b) (b 3 ab2 ) 1 1
⑷
3a 3b
3b
3
3
1
3、已知 x 2
1
x2
x2 3 ，求 x2
x2 3
x2
的值；
2
题型二：解指数方程 4、解方程 ⑴ 4 x+2x-2=0
⑵ 4x+|1－ 2x|=11.
5.（ 2011 北京）若函数 f ( x)
1 , x0
∵ 49<34，
3
3
∴
4 9
23 <4
2 ，
3
∴
2 3
3<
3 4
2 .
7、函数 f(x)＝ ax－b 的图象如下图，其中 a、b 为常数，则下列结论正确的是 (
)
A ． a＞1， b＞ 0
B ． a＞ 1， b＜ 0
C． 0＜a＜ 1， b＞0
D． 0＜ a＜ 1， b＜ 0
解： 由图象知 0＜ a＜ 1，又 a0－b＝ a－b＜ 1 ∴－ b＞ 0 ∴ b＜ 0，故选 D.