角的概念与表示(教案)-参考模板
7.3角的概念与表示
川沙中学南校徐莲
教学目标
1. 理解角的概念，掌握角的有关名称，并能用字母正确表示角.
2. 能识读并画出方向角.
3. 经历角的概念的形成与角的表示过程，体会数学的严谨性、规范性、简洁性.
4. 经历方向角的表示过程来体会数学与生活的密切关系.
教学重点
1.角的概念及表示法.
2.方向角的表示.
教学难点
1.角的概念及内部和外部的认识.
2.方向角的识别与表示.
一.引入课题：角
背景图：时钟、剪刀、五角星、墙面.
二. 新课
1. 角的两种定义
角是具有公共端点的两条射线组成的图形.
这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边.
角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形.初始
位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.
2. 角的内部和外部
角的始边转到角的终边所经过的平面部分，叫
做角的内部，简称角内.
本书中所说的角，除了周角外，未加说明的
角是指小于平角的角
3. 角的表示方法
（1）用三个大写字母表示，如∠AOB或∠BOA
（注意：顶点字母必须写在中间）.
顶点：
边：
（2）用角的顶点字母表示，如：∠O（只有一个角时）.
（3）用一个数字表示，如:∠1、∠2.
（4）也可用一个希腊字母表示，
如：∠α、∠β、∠γ.
练一练
(1)在下面图中用阴影表示∠1的外部.
(2) ①给角标出字母，写出角的记号，并指明角的顶点和边.
②D、E分别是CB、CA上的点，∠ACB与∠DCE是同一个角吗？
③∠DCE和∠CDE指的是同一个角吗？
④∠E这种记法有错误吗？若有，请加以改正.
4. 方向角
探索：如图，射线ON、OE、OS、OW分别表示从
点O出发北、东、南、西的四个方向.你能说出图中射
线OA，OB，OC，OD分别表示什么方向吗？
用射线表示方向的一种基本形式：
例题：已知迪斯尼乐园在川沙中学南校约南偏西
35°的方向，如果用点O表示川沙中学南校，用点A
表示迪斯尼乐园，画出从川沙中学南校到迪斯尼乐园
方向的射线.
练习：已知川沙人民医院在川沙中学南校约北偏东55°的方向，如果用点O表示川沙中学南校，用点B表示川沙人民医院，请画出从川沙中学南校到川沙人民医院方向的射线.
三. 课堂小结
四. 作业
练习册7.3
拓展练习
如图，点A表示A城，点D表示D城.
（1）D在A的什么方向？
（2）如果B城在A城的南偏西60°方向，请画出从A城到B城方向的射线.
（3）如果C城在A城的东北方向，在D城的正东方向，请确定C城的位置.（用点C表示）
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角的概念与表示(教案)
7.3角的概念与表示 川沙中学南校徐莲 教学目标 1. 理解角的概念，掌握角的有关名称，并能用字母正确表示角. 2. 能识读并画出方向角. 3. 经历角的概念的形成与角的表示过程，体会数学的严谨性、规范性、简洁性. 4. 经历方向角的表示过程来体会数学与生活的密切关系. 教学重点 1.角的概念及表示法. 2.方向角的表示. 教学难点 1.角的概念及内部和外部的认识. 2.方向角的识别与表示. 一.引入课题：角 背景图：时钟、剪刀、五角星、墙面. 二. 新课 1. 角的两种定义 角是具有公共端点的两条射线组成的图形. 这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边. 角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个 位置所成的图形.初始位置的那条射线叫做角的 始边，终止位置的那条射线叫做角的终边. 2. 角的内部和外部 角的始边转到角的终边所经过的平面部分，叫做角的内部，简称角内. 本书中所说的角，除了周角外，未加说明的 角是指小于平角的角 3. 角的表示方法 （1）用三个大写字母表示，如∠AOB或∠BOA （注意：顶点字母必须写在中间）. 顶点： 边： （2）用角的顶点字母表示，如：∠O（只有一个角时）.
（3）用一个数字表示，如:∠1、∠2. （4）也可用一个希腊字母表示， 如：∠α、∠β、∠γ. 练一练 (1)在下面图中用阴影表示∠1的外部. (2) ①给角标出字母，写出角的记号，并指明角的顶点和边. ②D、E分别是CB、CA上的点，∠ACB与∠DCE 是同一个角吗？ ③∠DCE和∠CDE指的是同一个角吗？ ④∠E这种记法有错误吗？若有，请加以改正. 4. 方向角 探索：如图，射线ON、OE、OS、OW分别表示 从点O出发北、东、南、西的四个方向.你能说出图中 射线OA，OB，OC，OD分别表示什么方向吗？ 用射线表示方向的一种基本形式：例题：已知迪斯尼乐园在川沙中学南校约 南偏西35°的方向，如果用点O表示川沙中 学南校，用点A表示迪斯尼乐园，画出从川沙 中学南校到迪斯尼乐园方向的射线.
(完整版)角的概念的推广(教学设计)
§2 角的概念的推广 【教学目标】 1.通过实例，理解角的概念推广的必要性，了解任意角的概念，根据角的旋转方向，能判断正角、负角和零角； 2.学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法； 3.通过观察、联想得出相应的数学规律的学习过程，体会由特殊到一般的数学思维方法. 【教学重点】 1.了解任意角的概念，初步理解正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的概念； 2.初步学会终边相同的角的表示方法. 【教学难点】 终边相同的角的集合的表示方法. 【教学方法】 六环节分层导学法 【课前准备】 （学案导学）教师编印导学案，提前两天下发，指导学生完成并检查. 学生预习教材P6-8相关内容，完成优化设计基础知识梳理部分和导学案自主学习部分内容，形成对角的概念的推广的初步认识；学有余力的同学尝试完成优化设计典型例题领悟部分和导学案合作探究部分，至少明确本节课的研究主线. （小组交流）学生分组交流讨论，分享自己的学习心得，解决个别同学存在的困惑，共同梳理出自己小组存在的问题，以便在课堂上得到及时解决。 （检查反馈） 学生自主学习能力比较差，主要存在以下问题： 1)书写不够规范，角的单位“°”容易漏写； 2)思维不够严谨，审题不仔细，做题往往不注意条件； 3)终边相同的角的表示方法掌握不熟练； 4)概念辨析缺乏方法. 完成较好的学生有：白焕焕、杨宇、杨强、何楠.
【教学过程】 一、导入新课 初中阶段我们学习了“角的概念”，请大家思考一下问题： （1）初中学过的角是如何定义的，角的范围又是怎样的？ （2）跳水运动员在空中身体的旋转周数如何用角度来表示？ （3）汽车在前进和后退中，车轮转动的角度如何表示才合理？ （4）工人师傅在拧紧或拧松螺丝时，扳手转动的角度如何表示比较合适？ 学生围绕以上问题进行讨论，从而得出正角、负角和任意角的有关概念. 教师对学生的回答进行总结，并强调：在日常生活中，我们经常要遇到大于360°的角及按不同方向旋转而成的角，这些都说明了我们研究推广角的概念的必要性. 之后提出本节课的主要问题，即在初中学习的基础上，将角的概念推广到任意角. 【板书】角的概念的推广 二、展示评价 学生以组推荐代表展示导学案的完成情况，并回答问题：本节课中学习了哪些新概念，这些概念分别是如何定义的？其他同学补充完善，不同组别之间展开交流点评，教师根据学生的回答情况进行板书，并点拨、激励、评价. 展示形式：实物投影展示导学案的完成情况，口头表述回答教师所提问题. 三、导引探究 教师引导学生重点探究象限角的判定与终边相同角的表示方法，学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法. 探究1：判断角所在象限 例1在0°~360°之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： （1）480°；（2）-760°；（3）932°； 归纳小结：判断角α所在象限的方法：先在0°~360°之间，找出与所求角终边相同的角β，因为α与β终边相同，因此只需判断角β所在象限，即为角α所在象限. 跟踪训练1：象限角的概念： 第一象限角的集合可表示为____________ ______； 第二象限角的集合可表示为_________ ________ _； 第三象限角的集合可表示为；
三角函数基本概念和表示
第三章三角函数 第一节三角函数及概念 复习要求： 1．任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．三角函数 （1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； （2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式。 知识点： 1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转 到终止位置OB，就形成角α。旋转开始时的射线OA叫做角的 始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。 2.角的分类 为了区别起见，我们规定: 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。 如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。 3.象限角 角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。 （1）第一象限角的集合： |22, 2 k k k Z π απαπ ?? <<+∈ ???? （2）第二象限的集合： |22, 2 k k k Z π απαππ ?? +<<+∈ ????。 （3）第三象限角的集合： 3 |22, 2 k k k Z π αππαπ ?? +<<+∈ ????。 （4）第四象限角的集合： 3 |222, 2 k k k Z π απαππ ??+<<+∈ ???? 4.轴线角
角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。若角的终边落在坐标轴上,称这个角为轴线角。它不属于任何象限,也称为非象限角。 5.终边相同的角 所有与角α终边相同的角连同角α在内，构成的角的集合，称之为终边相同的角。记为： {} |360,S k k Z ββα==+?∈或 {} |2,S k k Z ββαπ==+∈。它们彼此相差 2()k k Z π∈，根据三角函数的定义知，终边相同的角的各种三角函数值都相等。 6.区间角 区间角是指介于两个角之间的所有角，如5| ,6 666π πππααα???? =≤≤ =????? ???。 7，角度制与弧度制 角度制：规定周角的1 360为1度的角，记作0 1，它不会因圆的大小改变而改变， 与r 无关 弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad 或1弧度或1(单位可以省略不写)。 角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地,正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。 8.角的度量 （1）角的度量制有：角度制，弧度制 （2）换算关系：角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π=o 。 3602π=o ，180rad π=o ， 10.01745()180rad rad π= ≈o ，1801()57.30rad π=≈o o （3 9.在半径为r 的圆中，弧长l 所对的圆心角的弧度数为||α=l r 。 10.
角的定义和表示方法习题
1．下图中表示∠ABC的图是（）． 2．下列关于角的说法正确的是（）． A．两条射线组成的图形叫做角； B．延长一个角的两边； C．角的两边是射线，所以角不可以度量； D．角的大小与这个角的两边长短无关 3．下列语句正确的是（）． A．由两条射线组成的图形叫做角 B．如图，∠A就是∠BAC C．在∠BAC的边AB延长线上取一点D； D．对一个角的表示没有要求，可任意书定 4．如图所示，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形是（）． 5．从一个钝角的顶点，在它的内部引5条互不相同的射线，?则该图中共有角的个数是（）． A．28 B．21 C．15 D．6
1.如图，图中的角表示出来错误的是（ ） A.∠AOB B.∠BOC C.∠AOC D.∠O 2.如图，∠α的表示正确的是（ ） A.∠A B.∠ACB C.∠ABC D.∠B 3．如图所示，用一个大写字母表示的角错误的（ ) A.∠B B.∠A C.∠C D.∠D 4.如上题图所示，图中不属于以A?为顶点的角是（ ） A.∠BAC B.∠BAD C.∠A D.∠EAC 5.如图以A 为顶点的角有( )个？ A.1个 B.3个 C.6个 D.10个 A
1.用不同的方法表示图1中∠2的是（ ） A.∠O B.∠COE C.∠AOC D.∠AOE 2.图2中，下列表示角的方法错误的为（ ） （A ）∠AOB （B ） ∠BOC （C ） ∠a ( D ) ∠O 3.把图3中的角表示成下列形式：(1)∠APO ，(2)∠AOP ,(3)∠OPC ，(4)∠O,(5)∠COP,(6)∠P, (7)∠α其中正确的有（ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4.如图，射线AC 和射线 AB 构成的角是（ ） A.∠ABC B.∠ACB C.∠BAC D.∠A 5.如上题图∠BDC 的两边分别是( ) A.BD 和BC B.DB 和DC C.CB 和CD D.CD 和BD O 图3
角的概念
课题：角的概念推广（第一课时） 教学目的： 1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。 2.掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法。 3.从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化观点审视事物，从而深刻理解推广后的角的概念。 教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。教学难点：终边相同的角的表示 内容分析： 本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法。树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。教学方法可以选为讨论法，通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的。 教学过程： 一、复习引入： 1．回忆：初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。 这种概念的优点是形象、直观、容易理解，角的范围是，但其仅从图形的形状来定义角，弊端在于“狭隘”。 2．生活中很多实例会不在范围 如：体操运动员转体，跳水运动员向内、向外转体 经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？ 这些例子不仅不在范围，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，用运动的思想来研究角的概念。 二、讲解新课： 1．角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线 OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点． 突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边” ⑵．“正角”与“负角”“零角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，“正角”与“负角”是由旋转的方向决定的。 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：角或可以简记成。 ⑶意义 用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。 1° 角有正负之分如：a=210° b=-150°g=660°
角的概念
2°角可以任意大 实例：体操动作：旋转2周（360°X 2=720° 3周（360°X 3=108。3°还有 零角一条射线，没有旋转 角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量。 2．“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的正半轴重合，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限,我们称其为界限角） 下面由学生自己分别举出终边在一、二、三、四象限的角以及界限角（各举两例）例如：30°、390°、-330°是第一象限角，- 1 95 °、1 20°是第二象限角,585°、1 1 80 °是第三象限角，300°、-60°是第四象限角。90°、0°、-180°都是界限角。 3．终边相同的角 ⑴ 观察：390 ，-330 角，它们的终边都与30 °角的终边相同 ⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与个周角的和： 390°=30°+ 360 ° -330 °=30°-360 ° 30°=30°+0X 360 ° 对于任意一个角，若其终边与a相同，那么它们之间都相差360°的整数倍。 ⑶结论：所有与角a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合： （即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和。）⑷注意以下三点：
（1） a 是任意角； （2）与a 之间是“ +号”， 如-30 °，应看成+（-30 ）°； （3）终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍． 三、讲解范例： 例1：写出与下列各角终边相同的角的集合，并指出它们是哪个象限的角（1）（2）（3）（4） 解：（1）与终边相同的角的集合是 因为是第一象限角，所以集合中的角都是第一象限的角。 （2）与终边相同的角的集合是 因为是第二象限角，所以集合中的角都是第二象限的角。 （3）与终边相同的角的集合是 因为是第三象限角，所以集合中的角都是第三象限的角。 （4）与终边相同的角的集合是 因为是第四象限角，所以集合中的角都是第四象限的角。 四、课堂练习： 1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？ （答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90°的角可能是零角或负角故它不一定是锐角） 2.已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列 各角，并指出它们是哪个象限的角？
角概念推广优秀教案
【课题】5．1 角的概念推广 【教学目标】 知识目标： ⑴了解角的概念推广的实际背景意义； ⑵理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念． 能力目标： （1）会判断角所在的象限； （2）会求指定范围内与已知角终边相同的角； （3）培养观察能力和计算技能． 情感目标： （1）经历推广角的概念及随之带来的新知识的认知过程，树立科学探究精神； （2）参与数学建模过程，感受生活中的数学模型，体会数学知识的应用. 【教学重点】 终边相同角的概念． 【教学难点】 终边相同角的表示和确定． 【教学设计】 （1）以丰富的生活实例为引例,引入学习新概念——角的推广； （2）在演示——观察——思维探究活动中，使学生认识、理解终边相同的角； （3）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力； （4）在反思交流中，总结知识，品味学习方法． 【教学备品】 教学课件、学习演示用具（两个硬纸条一个扣钉）． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】
0°（1）（2）
终边在坐标轴上的角叫做界限角，例如，0°、90°、180°、270°、360°、?90°、?270°角等都是界限角． 运用知识强化练习 教材练习5.1.1 ．在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象限的角： ⑴ 60°；⑵?210°；⑶225°；⑷?300°． 动手操作实验观察 用图钉联结两根硬纸条，将其中一根固定在OA的位置，将另一根先转动到OB的位置，然后再按照顺时针方向或逆时
终边相同的角有无限多个，它们所组成的集合为
角终边相同的角的集合是 说明写出终边在y轴上的角的集合．
人教版初一数学上册4.3角的概念与表示
4.3.1 角的概念与表示 江家集镇中学王明亮 教学目标 1.掌握角的两种定义及有关概念； 2.掌握角的四种表示方法； 3.会用含方向角的射线表示方向，会通过测量说出一个点在已知参照点的什么方向上； 4.提高抽象、概括能力及操作实践能力. 教学重点与难点 1.角的两种定义及表示法； 2.会用含方向角的射线表示方向 教学流程设计 教学过程 情景引入
观察：多媒体显示一个角的图形 操作：由学生操作画角的过程. 思考：什么样的图形叫做角，即角的定义是什么? 二.学习新课：角的定义. 1角的定义1角是具有公共端点的两条射线组成的图形. 观察：多媒体演示：秒针在钟面上转动； 操作：学生动手操作：把圆规的两只脚由并在一起到逐渐把一只脚旋转到另一个位置； 思考：在秒针的转动过程中，有没有给我们形成角的形象？那么角又 可以是怎样形成的呢？ 2.角的定义2:角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成 的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边. 说明：由学生画出角的过程，来体验角的定义的含义，并且由学生自己用文字语言来概括角的定义，比教师给出定义要有效，同时还能够提高学生的概括、归纳的文字语言的能力.其中，定义1学生较易归纳出来，而定义2可能有些困难，教师可适当作一些提示，例如，是什么线绕着什么作怎样的运动等. 3.角的表示方法： (1).用一个角的符号/,加上三个大写英文字母表示.例如，/ ABC / XYZ.
(2).用一个角的符号加上表示顶点的一个大写字母表示.例如, / A、/ B.
(3) . 用一个角的符号/，加上一个希腊字母表示.例如，/ a 、/B (4) .用一个角的符号/，加上一个数字表示.例如，/ 1、/ 2 四.练习与巩固： (1).分别说出/ ABC / EFG / MON 勺顶点和边. 角 / ABC / EFG / MON 顶点 边 (3).用一个大写字母或一个希腊字母表示图中的角 (4).图中共有( )角，并分别用一个大写字母或三个大写字母 表示 5. 方向角： 观察：上海市的部分地图. 思考：从图中你能说出中山公园在人民广场的什么方向上? (2).用三个大写字母表示下列图形中的角: E D
沪教版(五四学制)六年级数学下册教案：7.2角的概念与表示
基本内容角 知识精要 概念 定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边. 定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边. (1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. (2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. （3）两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角，它的度数等于这个角的度数的和（或差）. 表示方法 表示方法用三个大写字母 来表示用一个大写字母来 表示 用数字来 表示角 用希腊字母来 表示角 图示 角平分线: 从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线. 互余：如果两个角的度数和是，那么这两个角叫做互为余角，简称互余。（其中一个角称为另一个角的余角。) 互补：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为补角，简称互补。（其中一个角称为另一个角的补角。） （注：同角（或等角）的余角和补角相等。） 角的度量单位换算：
热身练习 一、判断题 1、一条直线是一个平角；（ⅹ） 2、小于钝角的角都是锐角；（√） 3、如果和两角互补，和两角互余，那么；（√） 4、互补的两个角中一定有一个角是锐角。（ⅹ） 5、有公共端点的两条射线叫做角。（ⅹ） 6、角的边的长短，决定了角的大小。（ⅹ） 7、互余且相等的两个角都是45°的角。（√） 8、若两个角互补，则其中一定有一个角是钝角。（ⅹ） 二、选择题 1、钟表上的时间指示为两点半，这时时针和分针之间所形的成的（小于平角）角的度数（ B ）。 A. B. C. D. 2、一个锐角的余角加上，就等于（ C ） A.这个锐角的两倍数 B.这个锐角的余角 C.这个锐角的补角 D.这个锐角加上 3、已知、都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算的结果依次是30°、35°、60°、75°，其中恰有正确结果．这个正确结果是（ C ） A.30° B.35° C.60° D.75° 4、如图，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝30°．图中互补的角有（ B ） A.10对 B.4对 C.3对 D.14对 5、下列说法中正确的是（ A ） A. 角是由一条射线旋转而成的 B. 角的两边可以度量 C. 一条直线就是一个平角 D. 平角的两边可以看成一条直线 6、下列四个图形中，能用∠，∠O，∠AOB三种方式正确表示同一个角的图形是（ C ） A B C D 7、下列说法中正确的是（ C ） A. 一个角的补角一定比这个角大 B. 一个锐角的补角是锐角
数学本质概念——角
数学本质概念 －角－ 纯数四 陈映妤
一、分年细目中的「角」 二、「角」的概念 数学上的角概念和日常生活中所谈到的角，所表示的意义有时是不太一样的。儿童角概念的认知，有其发展的顺序性，先由具体的经验、察觉，渐进发展至抽象概念的理解。以下先就角概念加以阐释，再说明儿童的学习发展特征及指导原则。 1、一般生活中所说的角概念 一般人对角的认识，常是真正角概念的局部：一个角有个线段当作边，两边中夹着一块区域，产生一个尖尖的顶点。此外，常以角的顶点或顶点的邻近区域来描述角，如桌角，墙角，三角形上的角，四边形上的角，.....，等，由于角的形象大都以有限度的对象呈现，因此，角的边也常以线段表示。 2、理想的角概念 从实际经验及数学上的定义，角的意义可分成以下三方面来说明(Michael C.1989)： (1)角是一双定出两个方向间的差量之射线。 (2)角是自同一端点射出的两射线围出的一个平面区域。 (3)角是一射线绕其端点旋转一个程度的量。 因此，理想化的角概念，可简单说成是自一点朝两个不同的方向延伸出两条射线的结构，角的边是射线而不是线段(在旋转产生角的情况下，虽然旋转是一种动作，动作停止，其现象即消失，但它有一个起始方向和终止方
向，此二方向可用两条射线来表示)，此两射线是制程角的张开活动的限制边界。不论代表此射线的线段长短(此时的长短，只是线段的另一端点的不同而已)如何，均可完成同样的限制活动。 事实上，平面上的有限图形(如多边形)中，并不包含任何角，而只包含了角顶点的邻近区域。构成角顶点的邻近区域线段长度的不同，会使角顶点的邻近区域有所不同。同时，角与角的内部是共生的(二者同时出现)，角的两边之张开程度大小，不因为边长的差异而有所不同。 三、专家学者怎么看待「角度」单元内容 （一）心理学家谈儿童「角」的认知概念 1、Piaget的角概念发展阶段论 Piaget和Inhelder（1971）以三个有关角的测量设计来分析儿童角的概念，结果将儿童角的概念发展依年龄分成四个阶段，分别是阶段I（4-5岁）阶段IIA（6岁）此两阶段仅能藉由视觉估测来画图形，无法运用工具测量；阶段IIB（6-7岁）能做长度测量，但不会做角度测量；阶段IIIA（7-9岁），在复制角时，能以直尺维持线段的斜度，但无法觉察角的存在；阶段IIIB（9岁-9岁6个月）利用直角当作参考角，以直线测量的方式，找出斜度和垂直底边的高；阶段IV（大于9岁6个月）能摆脱图形本身的影响，画出补助线和高，能将角的概念普遍化。 2、Vygotsky社会文化互动论 Vygotsky并未真正对儿童角概念进行什么研究，但他提出二个很重要的名词，是在教角概念时必须要思考的问题，一个是自发性的概念（spontaneous concepts），这是一种由下而上，透过具体，每天的生活经验所获得的知识，像「桌角尖尖的，要小心」，便是对角概念所产生的自发性概念；另一个是科学性的概念（scientific concepts），指的是一种抽象，系统化的知识，这种知识，往往经由正式的学校教育来习得，它是一种由上而下的学习，必须藉由文字当中介，例如数学中，角的构成要素是始边、终边、支点和旋转的区域，这种科学性的概念，儿童无法直接看到，必须藉由文字或语言来学习，所以教师教学时，要能从儿童自发性概念，引导到科学性的概念，才能协助儿童对科学概念学习，发展出较高的知觉、抽象和控制的思考能力。 （二）数学家谈「角」的数学内涵 1、Van Hiele的几何思考阶段论 Van Hiele夫妇提出儿童对于几何学习是具有五个不同的思考发展阶段，每个阶段有其不同的特征，若经由适当的教学，学生的经验可从较低阶段的几何思考，到较高阶段的严密性思考，各发展阶段特征如下（朱建正，2002a；
沪教版小学数学六年级下册教学设计《7.3角的概念与表示》教案
沪教版小学数学六年级下册教学设计 7.3 角的概念与表示 教学目标 1.掌握角的两种定义及有关概念； 2.掌握角的四种表示方法； 3.会用含方向角的射线表示方向，会通过测量说出一个点在已知参照点的什么方向上； 4.提高抽象、概括能力及操作实践能力. 教学重点与难点 1.角的两种定义及表示法； 2.会用含方向角的射线表示方向. 教学流程设计 教学过程 一．情景引入 观察：多媒体显示一个角的图形. 操作：由学生操作画角的过程. 思考：什么样的图形叫做角，即角的定义是什么？ 二．学习新课：角的定义 .
1．角的定义1：角是具有公共端点的两条射线组成的图形. 观察：多媒体演示：秒针在钟面上转动； 操作：学生动手操作：把圆规的两只脚由并在一起到逐渐把一只脚旋转到另一个位置； 思考：在秒针的转动过程中，有没有给我们形成角的形象？那么角又可以是怎样形成的呢？ 2．角的定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边. 说明：由学生画出角的过程，来体验角的定义的含义，并且由学生自己用文字语言来概括角的定义，比教师给出定义要有效，同时还能够提高学生的概括、归纳的文字语言的能力.其中，定义1学生较易归纳出来，而定义2可能有些困难，教师可适当作一些提示，例如，是什么线绕着什么作怎样的运动等. 3．角的表示方法： （1）．用一个角的符号∠，加上三个大写英文字母表示.例如，∠ABC、∠XYZ. 角的表示方法 方法一：用三个大写字母表示。方法二：用一个大写字母表示。方法三：用一个希腊字母表示方法四：用一个数字表示。 （2）．用一个角的符号∠，加上表示顶点的一个大写字母表示.例如，∠A、∠B.
角的概念与表示
基本内容 角 知识精要 概念 定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边. 定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边. (1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. (2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. （3）两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角，它的度数等于这个角的度数的和（或差）. 表示方法 表示方法 用三个大写字母来表示 用一个大写字母来表示 用数字来 表示角 用希腊字母来 表示角 图示 AOB ∠ A ∠ 1∠ α∠ 角平分线: 从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线. 互余：如果两个角的度数和是?90，那么这两个角叫做互为余角，简称互余。（其中一个角称为另一个角的余角。) 互补：如果两个角的度数的和是?180，那么这两个角叫做互为补角，简称互补。（其中一个角称为另一个角的补角。） （注：同角（或等角）的余角和补角相等。） 角的度量单位换算：061'=? 061''='
热身练习 一、判断题 1、一条直线是一个平角；（ ⅹ ） 2、小于钝角的角都是锐角；（ √ ） 3、如果α和β两角互补，α和γ两角互余，那么γβα2-=；（ √ ） 4、互补的两个角中一定有一个角是锐角。（ ⅹ ） 5、有公共端点的两条射线叫做角 。（ ⅹ ） 6、角的边的长短，决定了角的大小。（ ⅹ ） 7、互余且相等的两个角都是45°的角。（ √ ） 8、若两个角互补，则其中一定有一个角是钝角。（ ⅹ ） 二、选择题 1、钟表上的时间指示为两点半，这时时针和分针之间所形的成的（小于平角）角的度数（ B ）。 A.?120 B.?105 C.?100 D.?90 2、一个锐角的余角加上?90，就等于（ C ） A.这个锐角的两倍数 B.这个锐角的余角 C.这个锐角的补角 D.这个锐角加上?90 3、已知α、β都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算 5 1 )(βα+的结果依次是30°、35°、60°、75°，其中恰有正确结果．这个正确结果是（ C ） A.30° B.35° C.60° D.75° 4、如图，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝30°．图中互补的角有（ B ） A.10对 B.4对 C.3对 D.14对 5、下列说法中正确的是（ A ） A. 角是由一条射线旋转而成的 B. 角的两边可以度量
角的定义
D O E C B A 角的定义 定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。 定义2：角还可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 角的表示方法 ⑴用三个大写字母来表示 ⑵用一个大写字母来表示，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个。 ⑶用数字来表示角 ⑷用希腊字母来表示角 角的度量计算 角的度量单位是度、分、秒。把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做1?。 把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记做1'，1度60=分(160'?=) 把一分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记做1''，1分60=秒(160'''=) 角的分类 1周角360=? 1平角180=? 1直角90=? 1周角2=平角 1平角2=直角 锐角α(090α<
角的概念与表示方法
《角的概念与表示方法》同步试题 安徽省芜湖市南瑞实验学校吴永刚 一、选择题 1．如图所示，用两种方法表示的为同一个角的是( )． A．∠1和∠C B．∠2和∠C C．∠3和∠A D．∠4和∠B 考查目的：考查角的表示方法和读图识图能力． 答案：D． 解析：当角顶点处只有一个角时，才可用一个大写字母或希腊字母、数字来表示，故答案应选择D． 2．如图所示，下列关于角的说法错误的是( )． A．∠1与∠AOB表示同一个角 B．∠AOC可用∠O来表示 C．图中共有三个角∠AOB、∠AOC、∠BOC D．∠β表示的是∠BOC 考查目的：考查角的表示方法和读图识图能力． 答案：B． 解析：当角顶点处不只一个角时，需用三个大写字母分别表示或在单个角的顶点处标记希腊字母、数字来表示，故答案应选择B． 3．如图，图中包含小于平角的角的个数有( )． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 考查目的：考查平角的概念和读图识图能力． 答案：D． 解析：图中角除∠BDC为平角外，∠B、∠C、∠BAD、∠BAC、∠DAC、∠BDA、∠CDA均为小于180°的角． 二、填空题 4．如图所示，图中能用一个大写字母表示的角是______；以A?为顶点的角有_______个，它们分别是________________．
考查目的：考查角的概念及表示方法． 答案：∠B和∠C；6；∠BAE、∠BAD、∠BAC、∠EAD、∠EAC和∠DAC． 解析：角的表示方法有多种，要根据题目的具体要求加以选择． 5．已知：如图所示． （1）用三个大写字母表示:∠1就是，∠2就是，∠3就是，∠4就是． （2）图中共有个小于平角的角，其中可以用一个大写字母表示的角有个． 考查目的：考查角的概念、表示方法，以及读图分析能力． 答案：（1）∠DBA或∠DBE，∠DBC，∠BAD，∠BDC；（2）9，1． 解析：（1）将数字标注角改为用三个大写字母时要注意顶点的字母应书写在中间位置；（2）除去平角，顶点A处有2个角，顶点B、D处各有3个角，顶点C处有1个角，故共有9个角，其中用一个大写字母表示的角只有∠C． 6．如图，点O在直线AE上，图中小于平角的角共有________个． 考查目的：考查角的概念以及读图能力． 答案：9． 解析：∠AOE是平角，图中小于平角的角共有∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠COD，∠COE，∠DOE，共9个． 三、解答题 7．如图所示，图中共有多少个角，能用一个字母表示的角是哪个？把图中所有的角都表示出来． 考查目的：考查角的概念、表示方法，以及读图分析能力．
沪教版六年级下册数学7.3角的概念与表示教案
7.3 角的概念与表示 教学目标 1.掌握角的两种定义及有关概念； 2.掌握角的四种表示方法； 3.会用含方向角的射线表示方向，会通过测量说出一个点在已知参照点的什么方向上； 4.提高抽象、概括能力及操作实践能力. 教学重点与难点 1.角的两种定义及表示法； 2.会用含方向角的射线表示方向. 教学流程设计 教学过程 一．情景引入 观察：多媒体显示一个角的图形. 操作：由学生操作画角的过程. 思考：什么样的图形叫做角，即角的定义是什么？ 二．学习新课：角的定义. 1．角的定义1：角是具有公共端点的两条射线组成的图形. 归纳总结 创设情景 实践体验 概括归纳 角的定义 角的表示方法 理解、巩固 创设情景 提出问题 引发思考 方向角的定义及简单的运用
观察：多媒体演示：秒针在钟面上转动； 操作：学生动手操作：把圆规的两只脚由并在一起到逐渐把一只脚旋转到另一个位置； 思考：在秒针的转动过程中，有没有给我们形成角的形象？那么角又可以是怎样形成的呢？ 2．角的定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边. 说明：由学生画出角的过程，来体验角的定义的含义，并且由学生自己用文字语言来概括角的定义，比教师给出定义要有效，同时还能够提高学生的概括、归纳的文字语言的能力.其中，定义1学生较易归纳出来，而定义2可能有些困难，教师可适当作一些提示，例如，是什么线绕着什么作怎样的运动等. 3．角的表示方法： （1）．用一个角的符号∠，加上三个大写英文字母表示.例如，∠ABC 、∠XYZ. 角的表示方法: 方法一：用三个大写字母表示。 ∠AOB 或∠BOA O A B 方法二：用一个大写字母表示。 ∠O 方法三：用一个希腊字母表示。 ∠α、∠β、∠γ 方法四：用一个数字表示。 ∠1、∠2、∠3 β γ α 1 23 O A B C D （2）．用一个角的符号∠，加上表示顶点的一个大写字母表示.例如，∠A 、∠B. （3）．用一个角的符号∠，加上一个希腊字母表示.例如，∠α、∠β
4.3.1角的概念及表示方法
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 4.3.1角的概念及表示方法 4. 3. 1 角的概念及表示方法 4. 3. 1 角的概念及表示方法学习目标 1．通过实际生活中对角的认识，建立起几何中角的概念，并能掌握角的两个定义方法． 2．掌握角的各种表示方法． 3．掌握平角、周角和直角的概念．温故知新、知识链接 1、在实际生活中有没有由直线与直线或射线与射线，线段与线段组成的图形？ 2、从这些图形中，你能归纳出它们的共图特点吗？自主学习、新知探究 1、认识角： 角的两边都有一个公共的_____点，组成角的两边的是_____线． 2、角的定义： 有公共端点的_____________组成的图形叫做角． 3、组成角有两个条件 (1) 两条射线叫做角的________． (2) 公共的端点叫做角________． 4、角的第二个定义： 一条射线 OA 由原来位置绕着它的端点 O 旋转到另一个位置OB 所成的图形． O 兵法秘笈： 我们平时画角的时候，只能将边画成两条线段，这是由于只能用角的一部分来研究角，而角的定义中边是两条射线，也就是说这两条边可以无限延伸． 5、直角、平角、周角的定义． (1) 射线 OA 绕点 O 旋转，当终止位置 OB 与起始位置 OA 成一条直线时，所成的角叫做平角． (2) 射线 OA 绕点 O 旋转，当终止位置OB 与起始位置OA 第一次重合时，所成的角叫做周 1 / 10
角的概念
教案
第一课时 教学过程： 一、利用5分钟介绍三角函数背景,激发学生的学习兴趣,体现数学的应用. 同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。如本章章头图提到的问题，用三角学知识来解的话，会很简单，以后大家将会体会到。 二、复习0○～360○角的概念 提问：初中时，我们已学习了0○～360○角的概念，它是如何定义的呢？ (角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形) 讲解:如下图所示，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。 O A 三、角概念的推广 1.手表如果快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？ （逆时针旋转300；顺时针旋转300） 2．在日常生活中，我们经常要遇到大于360○的角以及按不同方向旋转而成的角，这些都说明了我们研究推广角概念的必要性。同学们再思考一下，举出几个现实生活中“大于360○的角或按不同方向旋转而成的角”的例子。 （自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时所成的角） 3.为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，如教材中图2中的角为正角，它等于300与7500；我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角。记作α 那么同学们猜猜看，负角怎么规定呢？零角呢？ 4．按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。
最新5.1任意角的概念(1)教案
5.1课题：任意角的度量（1）教案 教学目的：1、初步懂得用运动的观点观察角的形成过程，知道存在0°到360°间的角。 2、理解任意角和象限角的概念，会判断一个角所在象限。 3、掌握终边相同的角的一般形式和集合表示方法。 教学重点：任意角概念的理解 教学过程： （一）、引入 一、回顾角的定义： 是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。 二、角的范围是： 0°到360° （二）、新课 一、我们在观看高台跳水时，会听到解说员说：刚才一个动作是向前翻腾两周半。那么 这个运动员旋转了多少度？如果向后翻腾两周半呢？ 答：转一周是360°，转两周是720°半周呢？180°。即共旋转了900°。 为区分向前向后翻腾，我们可以用正负角表示。若向前翻腾两周半为+900°，则向后翻腾两周半为-900°。 看来角不仅限于0°到360°。初中学的角的概念有局限性。有必要对角从新定义。 二、角的有关概念： 1、角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。 2、角的名称： 3、角的分类： （1）正角：射线按逆时针方向旋转形成的角。 （2）负角：射线按顺时针方向旋转形成的角。 （3）零角：射线没有旋转（始边与终边重合）形成的角。 4、注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． 5、练习：请说出角α、β、γ各是多少度？ 顶点 A O
三、象限角的概念： 1、定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，那么角的终边(端 点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。 2、终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ° k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和。 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角。 四、典型例题（3个，基础的或中等难度） 例1、如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 终边O 1B 的角在第一象限； 终边O 2B 的角在第四象限； 终边O 3B 的角在第三象限。 例2、在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴60°；⑵120°；⑶240°；⑷300°；⑸420°；⑹480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 例3、在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限 角。⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇． 答：⑴240°；第三象限角；⑵280°；第四象限角；⑶129°48＇；第二象限角； 例4、⑴写出与－1840°角终边相同的角的集合M ； ⑵把－1840°角写成k ·360°+ α (0°≤α < 360°)的形式； ⑶若角α∈M ，且α∈[－360°，360°]，求角α． 解：⑴ M ＝{α | α = k ·360°－1840°，k ∈Z}． ⑵ －1840°＝－6×360°＋320°． ⑶∵α∈M ，且－360°≤α≤360°， ∴－360°≤k ·360°－1840°≤360°． ∴1840°≤k ·360°≤2200°，9 55937≤≤k ∵k ∈Z ，∴k ＝5，6故α =－40°或α =320°。