代数方程综合复习
代数方程综合复习
） D．4 ．
A．1；
B．2 ；
C．3 ；
2、解下列方程组 （1） ① x 2 y 12 , 2 2 x 3 x y 2 y 0 . ② （2）解方程组 ① x 2 y 2 20 2 2 x 5 xy 6 y 0 ②
6．列方程（组）解应用题 例 1、某校初三年级 280 名师生计划外出考察，乘车往返．客运公司有两种车型可供选择，每辆大客车比每辆中巴车 多 20 个座位．学校计算后得知，如果租用中巴车若干辆，师生刚好坐满全部座位；如果租用大客车，不仅少租２辆 车，而且师生坐完后还多 30 个座位．求中巴车和大客车各有多少个座位？
6. 某中学库存 960 套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校．现有甲、乙两个木工小组都想承揽这项业务．经协商后得 知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用 20 天；乙小组每天比甲小组多修 8 套；学校每天需付甲小组修理费 80 元，付乙小组 120 元． （1）求甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套． （2）在修理桌凳过程中，学校要委派一名维修工进行质量监督，并由学校负担他每天 10 元的生活补助．现有以下 三种修理方案供选择： ①由甲单独修理；②由乙单独修理；③由甲、乙共同合作修理． 你认为哪种方案既省时又省钱？试比较说明．
三．总结反思 四．课后练习 m5 1 1 1.关于的 x 方程 无解,则 m _________ x2 x2
2. 用换元法解方程
x 2x 3x 2 3 1 时,设 y 2 ,则原方程可化为关于 y 的一元二次方程为 2 x 1 x x 1
3. 某品牌电器每台 500 元,两次降价后变为每台 405 元,则平均每次降价的百分率是 _________
变式演练： 1． 关于 x 的方程 (bx)2 1 0
代数方程复习(教师版讲义)
基本内容 代数方程复习知识精要一、基本概念：一元整式方程：方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式。
二项方程：一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边为零的方程。
其一般式为Ax^n+b=0(其中a ≠0, b ≠0,n 为正整数).双二次方程:只含有偶数次项的一元四次方程.其一般形式为:ax^4+bx^2+c=0(a ≠0) 无理方程：方程中含有根式,并且被开方数含有未知数的代数式.二元二次方程组:仅含有两个未知数,并且含有未知数项的最高次数为2的整式方程.二、整式方程的解法1. 一元一次方程和一元二次方程的解法2. 含字母系数的整式方程的解法3. 特殊的高次方程的解法（1）二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n的解法二项方程的定义：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另外一边是零，那么这样的方程叫做二项方程。
关于x 的一元n 次二项方程的一般形式是),0,0(0是正整数n b a b ax n ≠≠=+二项方程的解法及根的情况：一般地，二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n可变形为ab x n-= 可见，解一元n 次二项方程，可以转化为求一个已知数的n 次方根，运用开方运算可以求出这个方程的根。
二项方程的根的情况：对于二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n， 当n 为奇数时，方程只有且只有一个实数根。
当n 为偶数时，如果0<ab ，那么方程有两个实数根，且这两个实数根互为相反数；如果0>ab ，那么方程没有实数根。
（2）双二次方程的解法 双二次方程的定义：只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程。
关于x 的双二次方程的一般形式是)0(024≠=++a c bx ax 双二次方程的解法：可以用“换元法”解形如)0,0,0(024≠≠≠=++c b a c bx ax 的双二次方程。
就是用y 代替方程中的x 2，同时用y 2代替x 4，将方程转化为关于y 的一元二次方程ay 2+by +c =0。
线性代数复习题答案
A . ⇒ A =| A | A ⇒ ( A ) = | A| 1 1 1 1 ∗ −1 ⇒| ( A ) |= | A|= = 2 = . 3 2 | A| | A| 4 16
∗ −1
∗ −1
2. 已知4阶方阵A的特征值为−1, 1, 2, 3 , 则|2A| = −96 解:
| 2 A |= 2 4 | A |= 2 4 ( − 1) ⋅1 ⋅ 2 ⋅ 3 = −96.
0 1 0 1 0 0 0 1 −1 −1 0 0 1 = 0 0 −1 . −1 ∴ A = 1 0 1 0 −1 0 2 0 0 2 −1 0 1 0 0 −1 0 1 1 0 −1 0
ξ 3 = ( 0 ,1,1) , 则A = __________ .
0 1 0 解:取 P = (ξ 1 ,ξ 2 ,ξ 3 ) = 1 0 1 , −1 0 1 1 0 0 1 0 0 −1 则P AP = 0 −1 0 . ⇒ A = P 0 −1 0 P −1 . 0 0 −1 0 0 −1
补：
增广矩阵为
1 1 λ −2 1 λ 1 −2 λ 1 1 λ − 3
λ −2 1 1 λ −2 1 1 1 λ 1 −2 → 0 λ −1 1− λ 0 λ 1 1 λ − 3 0 0 −(λ −1)(λ + 2) 3(λ −1)
λ1 = 1, λ 2 = λ3 = −1,
ξ1 = ( 0 ,1, −1) ,ξ 2 = (1, 0 , 0 ) ,
T T
ξ 3 = ( 0 ,1,1) ,
T
线性代数甲(复习)(1)
1
2
3
例14 设Rn中有两组向量
( I ){1, 2 ,... k }, ( II ){1, 2 ,...nk 1}(1 k n)
证明：若(I)中的每一个向量与(II)中的每一组向量皆 正交，则(I)(II)两组向量必有一组为线性相关。
五、特征值与特征向量
.矩阵A与B合同 A与B的特征值中，正特征值个数相等，负特征值个数相等 r A r B A B 矩阵可对角化的性质与判定
A有n个线性无关的特征向量 对于A的每个特征值i , 其重数ki n r i E A .n阶矩阵A可对角化 A有n个不同的特征值 A为实对称矩阵
六、二次型
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：
1. 将二次型表成矩阵形式 f xT Ax, 求出A;
2. 求出A的所有特征值 1 , 2 ,, n ; 3. 求出对应于特征值的特 征向量1 , 2 ,, n ;
4. 将特征向量 1 , 2 ,, n正交化, 单位化, 得
三、矩阵
关于方阵的可逆 & 不可逆
n阶方阵A可逆
（即A是非奇异方阵）
（即A是满秩方阵） A可以表达成若干个初等矩阵的乘积 齐次线性方程组 只有零解 非齐次线性方程组 只有唯一解 A的n个特征值全不为0
n阶方阵A不可逆
（即A是奇异方阵） （即A是降满秩方阵） A不可以表达成若干个初等矩阵的乘积 齐次线性方程组 有非零解 非齐次线性方程组 没有解或者有无穷多解 A的n个特征值中至少有一个为0
二、线性方程组
二、线性方程组
定理2.3.1（Page 57）线性方程组AX=b有解
数学考试方程代数与等式知识复习
等式：等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。
等式的基本性质：等式两边同时乘以(或除以)一个相同的数，等式仍然成立。
方程式：含有未知数的等式叫方程式。
一元一次方程式：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。
学会一元一次方程式的例法及计算。
即例出代有的算式并计算。
代数：代数就是用字母代替数。
代数式：用字母表示的式子叫做代数式。
如：3x =ab+c分数分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数,叫做分数。
分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的.大，分子小的小。
异分母的分数相比较，先通分然后再比较;若分子相同，分母大的反而小。
分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。
分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。
分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
倒数的概念：1.如果两个数乘积是1，我们称一个是另一个的倒数。
这两个数互为倒数。
1的倒数是1，0没有倒数。
分数除以整数(0除外)，等于分数乘以这个整数的倒数。
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数(0除外)，分数的大小分数的除法则：除以一个数(0除外)，等于乘这个数的倒数。
真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。
假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。
假分数大于或等于1。
带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数(0除外)，分数的大小不变。
线性代数复习题含答案
（C ）a +a ,a +a ,a +a （D ）a −a ,a −a ,a −a
1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1
分析：（A ）含有0 的向量组一定线性相关，0 +0a2 +0a3 0 ；
分析：∵A 的特征值是 1，2，−3 ．
∴ A −E 0 ， A −2E 0 ， A +3E 0 ．
∴ （A ）A −E ，（D ）A −2E ，（C ）A +3E 不可逆．
二． 填空题
1． 已知a31a21a13a5k a44 是 5 阶行列式中的一项且带正号，则i 5 ，k 2 ．
⎪ 21 1 22 2 2n n 2
⎨
⎪
n n−1 n−2 2 1 n n−1 n−2 2 1
共交换了n −2 次；……；r 与r 交换，共交换了 1 次．
2 1
( )
（A ）D D （B ）D =−D （C ）D =−1 2 D （D ）D =−1 D
（C ）一定无解 （D ）不能确定是否有解
分析：系数行列式D 0 =⇒R A <n ，方程组无解或无穷多解
( )
( ) ( )
) 1 ( ) 1
⎛a11 a12 a13 ⎞
2 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( ) 1
分析：r 依次与r ,r ,,r ,r 交换，共交换了n −1次（r 移到第 1 行）；r 依次与r ,,r ,r 交换，
1 2 3
----------------------- Page 2-----------------------
（A ）0,a ,a （B ）a ,2a ,a
线性代数综合复习资料
《线性代数》综合练习资料第一章 n 阶行列式一、判断题1．如果n （n>1）阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行成比例。
（ × ） 2．如果n （n>1）阶行列式的值等于零，则行列式中必有一行全为零。
（ × ） 3．交换一个行列式的两行（或两列），则行列式值改变符号 ( √ ). 4. 已知n 阶矩阵A 各列元素之和为0，则A ＝0 ( √ ) 5．ij ijA a D ,33⨯=为ij a 的代数余子式,则0231322122111=++A a A a A a . ( √ )6、齐次线性方程组有非零解，则系数行列式的值一定为零。
（ √ ）7、1122121233443434a b a b a a b b a b a b a a b b ++=+++ （ × ）二.填空题：1．多项式=)(x P 333322221111x c b a x c b a xcb a （其中a,b,c 是互不相同的数）的根是 ,,x a x b x c === .2.. 三阶行列式 D ＝333222111435214352143521a a k a a a k a a a k a +++++++++ = 0 。
3、(),____1________.nn ij ij D a a D a a ===-=-若则4.设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且|A |=3，|B|=2，C=00A B⎛⎫⎪⎝⎭，则|C |=______()16nm-⋅_____. 5、设四阶行列式3214214314324321，ij A 是其()j i ,元的代数余子式，则_______3331=+A A ，_______3432=+A A .根据定义求即可 6 ．已知4阶行列式D 的第一行元素分别是－1，1，0，2；第四行元素对应的余子式依次为5，x ，7，4，则x ＝ 3-7、已知n 阶行列式100110111 =D ，则D 的所有元素的代数余子式之和等于 n .三.选择题1、设）（则B a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D =---===333231312322212113121111333231232221131211324324324,1 （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）12．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7，4， 则D= ( A )（A ） -15 （B ） -5 （C ） 5 （D ） 1 3、已知四阶行列式A 的值为2，将A 的第三行元素乘以―1加到第四行的对应元素上去，则现行列式的值（ A ）（A ） 2 ； （B ） 0 ； （C ） ―1 ； （D ） ―24、n 阶行列式D 不为零的充分必要条件是（ D ）（A ）D 中至少有n n -2个元素不为零 （B ）D 中所以元素都不为零（C ）D 的任意两列元素之间不成比例 （D ）以D 为系数行列式的非齐次线性方程组有唯一解5．如果行列式02002000110011=kk k ，则（ A ）。
代数方程专题复习
代数方程专题复习例题分析：例1．解方程组例2．例3．例4． k为何值时，方程组。
（1）有两组相等的实数解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解。
例5．解方程组例6．解方程组。
例7．解方程组例8．解方程组例9．解方程组例10：【代数方程应用题分类】行程问题：路程=速度×时间顺流逆流航行问题中：顺流速度=船速+水速，逆流速度=船速－水速；1、货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,已知小车每小时比货车多行驶20千米,求两车的速度各为多少设货车的速度为x 千米/小时,依题意列方程正确的是（ ） （A ）203525-=x x ； （A ）x x 352025=-； （A ）203525+=x x ； （A ）xx 352025=+. 2、A 、B 两地相距900千米，甲、乙两车分别由A 、B 两地同时出发相向而行，经过8小时它们在途中C 处相遇，相遇后甲再过4小时到达B 地，乙再过16小时到达A 地，求两车速度.3、一轮船顺流下行120千米,然后逆流返航,已知水速1千米/小时,逆流比顺流多化3小时,求顺流速度.4、甲、乙两地之间一部分是上坡路，其余是下坡路.某人骑自行车从甲地到乙地共需2小时40分，从乙地返回甲地少用20分钟，已知在他骑自行车走下坡路比上坡路每小时多走6千米，甲、乙两地相距36千米，求从甲地到乙地上、下坡的长度.5、一段高速公路全程限速110千米/时（即任一时刻的车速都不能超过110千米/时.以下是张师傅和李师傅行驶完这段全程为400千米的高速公路时的对话片断.张：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，少用我一个小时就跑完了全程，还是慢点.”李：“虽然我的时速快，但最大时速不超过我平均时速的10%，可没有超速违法啊.”李师傅超速违法吗？为什么？6、如图1，x 轴表示一条东西方向的道路，y 轴表示一条南北方向的道路.小丽和小明分别从十字路口O 点处同时出发，小丽沿着x 轴以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着y 轴以5千米/时的速度由南向北前进.有一颗百年古树位于图中的P 点处，古树与x 轴、y 轴的距离分别是3千米和2千米.问：（1）离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等？（2）离开路口后经过多少时间，两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上？ 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间 1、某项工程，若甲单独做2天后，剩下部分由乙去做，则乙还需要做的天数等于甲单独做完此项工程的天数；若乙单独做2天后，剩余的工程由甲去做，则甲还需3天完成.问甲、乙单独完成此工程各需多少天？ 2．装配车间原计划在若干天内装配出44台机床，最初3图1x y OP西南 东北小AB小3．解方程或方程组：（1） （2）4．解下列方程：（1） ；（2）；5．解下列方程组：（1）⎩⎨⎧=+-023x ，12=2y + x 22y xy （2） ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-12092222y xy x y x 【应用】 1）一般行程问题某人驾车从A 地到B 地，出发2小时后，车子出了点毛病，耽搁半小时修好了车，为了弥补耽搁的时间，他将车速增加到原来的1.6倍，结果按时到达。
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3、高中就要毕业了，几位同学准备学业考试结束后结伴去杭州旅游，预计共需费用1200元，后来又有2位同学参加进来，但总的费用不变，于是每人可少分担30元，试求共有几位同学准备结伴去杭州旅游？
三、解方程或方程组
1） 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
四、应用题
1、沪杭磁悬浮新型交通建设项目目前已经开工开工，预计于2010年上海世博会开幕前正式投入使用。现假设上海到杭州的铁路与磁悬浮的路程均为168千米，磁悬浮列车行驶的平均速度比现在的铁路列车行驶的平均速度每分钟快5.5千米，乘坐磁悬浮列车比现在的铁路列车要少用88分钟，问磁悬浮列车平均每分钟行驶几千米?
一、填空题
1、方程 的解为； 的解为。
2、方程 的解为；方程 的解为。
3、如果代数式 与 的值相等，则x＝。
4、用换元法解分式方程 时，如果设 ，那么原方程可以化为关于y的整式方程，它可以是。
5、方程组 的解是。
6、二元二次方程 化为两个二元一次方程，它们是。
二元二次方程 化为两个二元一次方程，它们是。
7、甲、乙两人完成某项工作，甲单独完成比乙单独完成快15天，如果甲单独先工作10天，再由乙单独工作15天就可以完成这项工作的 ，求甲、乙两人单独完成这项工作各需多少天。
8、近年来由于受国际油价影响，汽油价格不断上涨，请根据下面信息帮助小明计算今年5月份汽油价格。
信息1：今年5月份汽油价格比去年5月份汽油价格每升多1.8元；
7、一个水池，有甲、乙两进水管。若独开甲管注满水池需p小时，而独开乙管注满水池需q小时，那么两个水管同时开放，要_________小时才注满水池。
8、某校组织初三学生春游，有m名师生租用45座的大客车若干辆，共有4个空座位，那么租用大客车的辆数是____________（用m的代数式表示）。
9、关于x的无理方程 没有实数根，则k的取值范围是。
5、小明与小杰同时从学校出发，骑自行车前往距离学校18千米的公园．已知小明比小杰平均每小时多行6千米，但由于小明在路上修自行车而耽搁了半个小时，结果两人同时到达公园．求小明与小杰平均每小时各行多少千米？
6、甲、乙两货车分别从相距300千米的A、B两车站相向而行，相遇后甲车再经过4小时到达B站，乙车再经过你9小时到达A站，求甲、乙两车的速度。
4、陈海公路上一路段的道路维修工作准备对外招标，现有甲、乙两个工程队竞标，竞标资料上显示：若由两队合做，6天可以完成，共需工程费用7800元；若单独完成此项工程，甲
队比乙队少用5天，但甲队每天的工程费比乙队多300元。工程指挥部决定从这两个队中
选一个队单独完成此项工程，若从节省资金的角度考虑，应该选Biblioteka 哪个工程队？为什么？二、选择题
10、下列无理方程中，有实数解的是…………………………………………（）
(A) (B) (C) (D)
11、下列方程中 其中无实数解的方程的个数是………………………（）
(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4
12、如果解分式方程 产生增根，则 =…………………（）
(A) 3; (B) 2; (C) 1; (D) 0
信息2：用150元给汽车加油，加油量去去年少18.75升。
签字确认
学员教师班主任