改极坐标与参数方程互化训练教案资料
第36讲 极坐标与参数方程-教案
一.自我诊断 知己知彼1. 若圆M 的方程为，则圆M 的参数方程为 ．【答案】【解析】由圆M 的方程224x y +=,可知圆心()0,0,半径为 2.所以圆M 的参数方程为:. .2．已知圆M ：x 2+y 2-2x -4y +1=0，则圆心M 到直线43,31,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）的距离为 ．【答案】2【解析】由于圆M 的标准方程为：22(1)(2)4x y -+-=，所以圆心(1,2)M ， 又因为直线43,31,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）消去参数t 得普通方程为3450x y --=，422=+y x )(sin 2cos 2为参数ααα⎩⎨⎧==y x )(sin 2cos 2为参数ααα⎩⎨⎧==y x由点到直线的距离公式得所求距离2d ==；故答案为：2．3在极坐标系中，点（2，6π）到直线θρsin ＝2的距离等于________． 【答案】1【解析】在极坐标系中，点（2，6π1），直线θρsin ＝2对应直角坐标系中的方程为y ＝2，所以点到直线的距离为1． 4设曲线的参数方程为（是参数，），直线的极坐标方程为，若曲线与直线只有一个公共点，则实数的值是 ．【答案】7【解析】曲线的普通方程为()()22116x a y -+-=，直线的普通方程3450x y +-=，直线l 与圆C相切，则圆心(),1a 到l 的距离345475a d d +-==⇒= 5．直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程是cos ,(1sin ,x y θθθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，则圆心C 的极坐标是 ． 【答案】)6,2(π【解析】由圆C的参数方程是cos ,(1sin ,x y θθθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数）得⎩⎨⎧-=-=1s in 3c os y x θθ可得圆的标准方程为1)1()3(22=-+-y x ，圆心坐标为)1,3(，离圆心的距离33tan ,21)3(22==+=θρ，由题意6πθ=，则圆心C 的极坐标是)6,2(π．二.温故知新 夯实基础1．平面直角坐标系C 4cos 14sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩θ0>a l 3cos 4sin 5ρθρθ+=C l a C l设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎪⎩⎪⎨⎧==0>,0>,''λμλλy y x x 的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ) (ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=0,tan 222x x yy x θρ，这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 3．常见曲线的极坐标方程4.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 就是曲线的参数方程．5．常见曲线的参数方程和普通方程三.典例剖析 举一反三考点一 坐标系（一）典例剖析例1在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），又以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 24sin 30ρθρθ+-=．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 方程相交于A ，B 两点，求||AB ．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为22(2)1y x --=；（2）||AB = 【解析】（1）曲线C 的极坐标方程2cos 24sin 30ρθρθ+-=， 化为2222cossin 4sin 30ρθρθρθ-+-=，即22430x y y -+-=．∴曲线C 的直角坐标方程为22(2)1y x --=．（2）将直线l的参数方程12,22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 方程得24100t t +-=，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则124t t +=-，1210t t =-，所以12||||AB t t =-= 【方法点拨】（1）由极坐标与直角坐标相互转化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可求出曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程并整理可得关于t 的一元二次方程，利用韦达定理可得12t t +，12t t ，运用直线的参数方程的几何意义可知，12||||AB t t =-，代入即可得出所求的结果． （二）举一反三1. 已知圆C 的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为，则直线与圆C的交点的直角坐标为 ． 【答案】)1,1(±【解析】圆C 的普通方程为()2211x y +-=，直线的普通方程为1y =，所以交点为)1,1(± 2. 将曲线22132x y +=按ϕ：变换后的曲线的参数方程为（ ） A. B. C.D.【答案】Dcos ,(1sin .x y ααα=⎧⎨=+⎩l sin 1ρθ=l l【解析】由变换ϕ：可得：,代入曲线22132x y +=可得： ()()2232132x y ''+=，即为： 22321,x y +=令(θ为参数)即可得出参数方程.故选：D. 3.【2017北京卷理11】在极坐标系中，点A 在圆04sin 4-cos 2-2=+θρθρρ上，点P 的坐标为（1，0），则|AP |的最小值为 . 【答案】1【解析】将极坐标方程转化成标准方程：()();12122=-+-y x 所以AP 的最小值为1.4．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．【答案】（1；（2）2．【解析】（1）设极点为O ．在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB = （2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=． 考点二 参数方程（一）典例剖析例1已知曲线C 的极坐标方程式2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线L 的普通方程；（2）设点(,0)P m ，若直线L 与曲线C 交于两点,A B ，且||||1PA PB ⋅=，求实数m 的值．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=，直线L的普通方程为x m =+；（2）1m =± 【解析】（1）曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，化为22cos ρρθ=，可得直角坐标方程：222x y x +=．直线L的参数方程是212x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），消去参数t可得x m +． （2）把212x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入方程：222x y x +=，化为：2220t t m m ++-=， 由0∆>，解得13m -<<．∴2122t t m m =-．∵12||||1PA PB t t ⋅==，∴221m m -=，解得1m =±0∆>．∴实数1m =±【方法点拨】（1）利用y x y x ==+=θρθρρsin ,cos ,222，即可将极坐标方程化为平面直角坐标系方程；消去参数t 即可将直线的参数方程化为普通方程；（2）将直线的参数方程代入曲线C 的普通方程得到一个含t 且关于x的一元二次方程2220t t m m ++-=，然后利用参数t 的几何意义知，12||||1PA PB t t ⋅==22m m =-，并由t 的范围（利用判别式大于零求范围）求出值域即可．例2. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程是4cos (0)2πρθθ=≤≤，直线l 的参数方程是3cos 6()sin 6x t t y t ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数． （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的参数方程； （2）求曲线C 上的动点M 到直线l 的距离的范围．【答案】（1）30x +=，22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数，0απ≤≤）；（2）17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）直线:3l x +=，即：30x -+=由24cos ρρθ=得：224x y x +=，即：22(2)4x y -+=0,sin 02y πθρθ≤≤∴=≥.故C 的参数方程为：22cos (0)2sin x y ααπα=+⎧≤≤⎨=⎩ （2）设点(22cos ,2sin )M αα+到直线30x +=的距离为dd ==54sin()1654sin()(0)226παπααπ--⎛⎫==--≤≤ ⎪⎝⎭51sin()166626ππππαα-≤-≤-≤-≤时,min max 117sin()1,,sin(),62622d d ππαα∴-==-=-=时时点M 到直线l 的距离的范围是17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【方法点拨】（1）消去t 可得直线l 的直角坐标方程，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=代入曲线C 的极坐标方程可得曲线C 的直角坐标方程，进而引入参数α可得曲线C 的参数方程；（2）先计算点M 到直线l 的距离，再利用三角函数的性质可得点M 到直线l 的距离的范围． （二）举一反三 1. 若P 为椭圆上的点，则的取值范围是 ．【答案】[]2,2- 【解析】依题意可得sin m n θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩, 1sin 2cos sin 2sin 223m n πθθθθθ⎛⎫⎛⎫∴+=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, R θ∈, []sin 1,13πθ⎛⎫∴+∈- ⎪⎝⎭, []2sin 2,23πθ⎛⎫∴+∈- ⎪⎝⎭.即[]2,2m n +∈-),(n m n m +2. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程是5222=+y x ，2C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧-==ty t x 3（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标是 ． 【答案】)1 , 3(-【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧-==ty t x 3消去参数t ，得2C的普通方程为(0)y x x =≥，代入1C 方程5222=+y x 整理得：23x =，解得x =1y =-，因此交点为1)-.3. 参数方程sin cos 2x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）化为普通方程为 ．【答案】212y x =-，[1,1]x ∈-【解析】由2cos 212sin θθ=-得212y x =-，又sin [1,1]θ∈-，所以[1,1]x ∈-，因此普通方程为212y x =-，[1,1]x ∈-4.（2019天津理12）设a ∈R ，直线20ax y -+=和圆22cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值为 . 【答案】34【解析】消去参数在，整理圆的方程22(2)(1)4x y -+-=；带入点到直线的距离公式，考点三 综合问题（一）典例剖析例1在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 为参数，0απ≤<），曲线C 的参数方程为 为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设C 与l 交于,M N 两点（异于原点），求OM ON +的最大值. 【答案】（1）曲线C 的极坐标方程为24sin ρρθ=；（2）【解析】（1）曲线C 的普通方程为()2224x y +-=，化简得224x y y +=，则24sin ρρθ=，所以曲线C 的极坐标方程为24sin ρρθ=. （2）由直线l 的参数方程可知，直线l 必过点()0,2，也就是圆C 的圆心，则2MON π∠=，不妨设()12,,,2MN πρθρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1244424OM ON sin sin sin cos ππρρθθθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当4πθ=， OM ON +取得最大值为【方法点拨】(1)由题意可得曲线C 的普通方程为()2224x y +-=，将其转化为极坐标方程即24sin ρρθ=.(2)由参数方程可知直线l 过圆C 的圆心，则2MON π∠=，设()12,,,2MN πρθρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4OM ON πθ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，由三角函数的性质可得OM ON +取得最大值为.例2. 【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．（2）π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．【解析】（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos θ=，解得π6θ=； 若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=； 若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=． 综上，P的极坐标为π6⎫⎪⎭ 或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭． 【方法点拨】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大例 3. 在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为 ，（ α为参数），以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值.【答案】（1）2213x y +=， 80x y +-=（2）【解析】（1）由曲线1C ：得{ cos y sin αα==即：曲线1C 的普通方程为： 2213x y +=由曲线2C ：sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()sin cos ρθθ+=即:曲线2C 的直角坐标方程为： 80x y +-=（2）由（1）知椭圆1C 与直线2C无公共点，椭圆上的点),sin Pαα到直线80x y +-=的距离为d ==所以当sin 13πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时， d的最小值为【方法点拨】（1）对于1C ，利用22cos sin 1αα+=，化简得2213x y +=，对于2C ，展开后利用极坐标与直角坐标转化公式，化简的80x y +-=.（2）直接利用点到直线距离公式，求出距离，并用辅助角公式化简，利用三角函数最值求得距离的最小值. （二）举一反三例 1. 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρθ=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围． 【答案】（1）260x y -+=，(222x y +=（2）2⎡-+⎣【解析】（1）由{26x t y t ==+，得26y x =+，故直线l 的普通方程为260x y -+=，由ρθ=，得2cos ρθ=，所以22x y +=，即(222x y +=，故曲线C的普通方程为(222x y -+=；（2）据题意设点)Mθθ，则2sin 4x y πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以x y +的取值范围是2⎡-⎣．例2. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为(α为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)过原点O 的直线12,l l 分别与曲线C 交于除原点外的,A B 两点，若3AOB π=，求AOB 的面积的最大值.【答案】(1)4sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2) .【解析】 (1)曲线C 的普通方程为(()2214x y -+-=，即2220x y y +--=，所以，曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，即4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. (2)不妨设()1,A ρθ， 2,3B πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，,33ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.则14sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，224sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，AOB 的面积12112sinsin sin 232333S OA OB ππππρρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅==++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，当0θ=时， AOB 的面积取最大值为例3. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是 （α为参数），以该直角坐标系的原点O为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l sin cos 0m θρθ-+=. （1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点(),0P m ，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，且1PA PB =，求实数m 的值.【答案】（1）曲线C 的普通方程为()2212x y -+=，直线l 的直角坐标方程为)3y x m =-；（2）1m =±0m =或2m =.【解析】（1）()2212x y ⇒-+=故曲线C 的普通方程为()2212x y -+=.直线l)3x m y x m -+⇒=-. （2）直线l的参数方程可以写为,{12x m y t =+=（t 为参数）.设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程()2212x y -+=可以得到2221122m t t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)()21120m t m -+--=， 所以()212121PA PB t t m ==--= 2211m m ⇒--= 2220m m ⇒-==或220m m -=，解得1m =±0m =或2m =.四.分层训练 能力进阶【基础】1. 曲线⎩⎨⎧==θθsin 4cos 5y x （θ为参数）的焦距是 ．【答案】6【解析】消参后化为：14522=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛y x ，整理为1162522=+y x ，所以焦距6162522=-=c ． 2. 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：⑴⎩⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x （ϕ为参数）； ⑵⎩⎨⎧=-=t y tx 431（t 为参数）【答案】⑴1162522=+y x ∴曲线是长轴在x 轴上且为10，短轴为8，中心在原点的椭圆.⑵0434=-+y x ，它表示过（0，43）和(1, 0)的一条直线. 【解析】本题主要是考查参数方程化为普通方程，（1）对两个式子中右边的系数挪到左边，利用三角函数的平方关系式消去ϕ整理即得到；（2）可以代入消元或加减消元消去t 得普通方程.解：⑴．∵⎩⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x两边平方相加，得ϕϕ2222s i n c o s 1625+=+y x 即1162522=+y x ∴曲线是长轴在x 轴上且为10，短轴为8，中心在原点的椭圆. ⑵．∵⎩⎨⎧=-=ty t x 431∴由4y t =代入t x 31-=，得 431yx ⋅-=∴0434=-+y x∴它表示过（0，43）和(1, 0)的一条直线. 3.【2019北京卷理3】已知直线l 的参数方程为)(4231为参数t ty t x ⎩⎨⎧+=+=，则点()0,1到直线l 的距离是A ．51 B ．52 C ．54 D ．56 【答案】D【解析】直线l 的参数方程为)(4231为参数t ty tx ⎩⎨⎧+=+=，消参数得,3234+=x y 即0234=+-y x ，则点()0,1到直线l 的距离是564320422=++-=d ，故选D4. 已知直线l 的方程为2)4sin(=+πθρ，曲线C 的方程为()为参数θθθ⎩⎨⎧==sin cos y x ． （1）把直线l 和曲线C 的方程分别化为直角坐标方程和普通方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 距离的最大值． 【答案】（1）2=+y x ，122=+y x ；（2）12+=l ．【解析】（1）222cos 22sin =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅θθρ，根据⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，代入得：2=+y x 根据1cos sin 22=+θθ，消参后的方程是：122=+y x ．（2）直线与圆相离，所以圆上的点到直线的最大距离是圆心到直线的距离加半径，即222==d ，那么最大距离就是12+=l5. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为χ轴的正半轴，建立平 面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧+==tm x t y 2222（t 是参数）．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l 的参数方程化为普通方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB |=14，试求实数m 的值． 【答案】（Ⅰ）2240x y x +-=，y x m =-；（Ⅱ）1或3．【解析】（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程是ρ=4cos θ化为直角坐标方程为：0422=-+x y x 直线l 的直角坐标方程为：m x y -=（5分）（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知：圆心的坐标为（2，0），圆的半径R =2，圆心到直线l 的距离22)214(222=-=d ，∴ 1222202=-⇒=--m m ∴ 31==m m 或解法二：把22x t my t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）代人方程2x 042=-+x y得222)40t m t m m -+-=∵ m m t t m t t 42(222121-=--=+），∴ 21221214)(t t t t t t AB -+=-= ∴ []14)442(222=---=m m m （）∴ 31==m m 或【巩固】1.【2018北京卷理7】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cosθ，sinθ）到直线x -my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】点P 的轨迹为x ²+y ²=1，则点P 到直线的距离可转化为圆上任意一点到直线的距离。
【教案】极坐标与参数方程的教学设计
(2)求|AC|－|BD|.
考点三、极坐标方程与参数方程的综合应用
典例3、[2015·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy中，曲线C1： (t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2 cosθ.
重点：体会不同方程的作用，掌握方程的互化.
难点：利用极坐标与参数方程解决实际问题.
教学策略选择与设计
引导学生探索、发现、解决问题
教学资源准备
多媒体、投影辅助教学
教学过程设计
一、重点知识整合：
1.直角坐标与极坐标的互化公式
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位。设M是平面内任意一点，它的直角坐标是（x,y）
经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是_______________
t的几何意义是|t|为直线上的点P到点P0(x0，y0)的距离，即|t|＝|PP0|。
直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则|P1P2|＝|t1－t2|
二、热点考向探究：
考点一、极坐标方程及其应用
典例1：已知曲线C1的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
极坐标是（ρ，θ）则________________,_______________
2 .几种常见曲线的参数方程
(1)圆的参数方程
以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是____________
(2)椭圆的参数方程
椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的参数方程是_______________
极坐标与参数方程复习教案
极坐标与参数方程复习教案教案：极坐标与参数方程的复习（1200字以上）一、教学目标：1.复习极坐标及参数方程的基本概念和表示法。
2.复习极坐标与参数方程之间的转换关系。
3.复习极坐标和参数方程表示的图形特征。
4.进一步理解和掌握极坐标和参数方程在解决几何问题中的应用。
二、教学内容：1.极坐标表示法的复习1.极坐标系的定义和坐标表示2.极坐标与直角坐标之间的转换关系3.极坐标方程的表示和解析几何意义4.极坐标方程的图形特征2.参数方程表示法的复习1.参数方程的定义和表示方法2.参数方程的图形特征和解析几何意义3.参数方程与直角坐标之间的转换关系3.极坐标与参数方程的相互转换1.极坐标转换为参数方程2.参数方程转换为极坐标4.极坐标和参数方程在几何问题中的应用1.利用极坐标方程和参数方程求曲线的方程2.利用极坐标和参数方程求曲线的长度、面积等几何量3.利用极坐标和参数方程解决几何问题的应用实例三、教学重点和难点：1.极坐标与直角坐标系之间的转换关系及其应用。
2.参数方程与直角坐标系之间的转换关系及其应用。
3.极坐标和参数方程在解决几何问题中的应用实例。
四、教学方法：1.讲授结合演示：通过讲解和示例演示，引导学生理解极坐标与参数方程的基本概念和表示法。
2.练习巩固：通过给予学生一定数量和难度的练习题，巩固学生对极坐标和参数方程的掌握程度。
3.解题指导：针对应用题和难题，给予学生相应的解题指导，帮助学生理解问题的解题思路和方法。
五、教学流程：1.复习极坐标的基本概念和表示法。
2.复习参数方程的基本概念和表示法。
3.复习极坐标与参数方程的相互转换关系。
4.复习极坐标和参数方程表示的图形特征。
5.进一步理解和掌握极坐标和参数方程在解决几何问题中的应用。
6.练习巩固和解题指导。
六、教学资源准备：1.教材教辅资料：教材、习题册、参考书等。
2.多媒体设备：电脑、投影仪等。
3.白板、黑板、彩色粉笔等。
七、教学评价方式：1.观察学生学习的积极程度和参与度。
参数方程与极坐标教学案
参数方程与极坐标教学案一、引言参数方程与极坐标是高中数学教学中的重要内容，它们在解决几何问题和计算问题中具有广泛的应用。
本教学案主要介绍参数方程与极坐标的概念、性质和应用，旨在帮助学生深入理解和掌握这两种坐标系的特点和使用方法。
二、参数方程的概念与性质1.1 参数方程的定义参数方程是以参数为自变量，通过参数与变量之间的对应关系描述曲线的一种坐标系表示方法。
1.2 参数方程的性质（1）参数方程可以表示平面曲线上的任意一点。
（2）参数方程描述的曲线不一定是函数图像。
（3）参数方程能够简化一些复杂的曲线方程的求解过程。
三、参数方程与几何图形2.1 直线的参数方程（1）斜率存在时的参数方程：设直线的斜率为k，过点P(x₁, y₁)，则直线的参数方程为：x = x₁ + ty = y₁ + kt其中t为参数，表示直线上任意一点的坐标。
（2）斜率不存在时的参数方程：设直线垂直于x轴，交点为(x₀, y₁)，则直线的参数方程为：x = x₀y = y₁ + t其中t为参数，表示直线上任意一点的坐标。
2.2 曲线的参数方程（1）椭圆的参数方程：椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中a和b分别为椭圆的两个半轴长度。
（2）抛物线的参数方程：抛物线的参数方程可以表示为：x = at²y = 2at其中a为抛物线的参数和焦点到准线的距离。
四、极坐标的概念与性质3.1 极坐标的定义极坐标是以极径和极角为坐标的一种表示方法，其中极径表示点到原点的距离，极角表示点与正半轴的夹角。
3.2 极坐标的性质（1）极坐标中的极径和极角是有序对，唯一确定一点的。
（2）同一点在极坐标和直角坐标系中的表示不同。
五、极坐标的转化与应用4.1 直角坐标转极坐标已知点P(x, y)，其极坐标就可以表示为：r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)4.2 极坐标转直角坐标已知点P(r, θ)，其直角坐标可以表示为：x = r*cos(θ)y = r*sin(θ)六、参数方程与极坐标的应用5.1 参数方程在运动学中的应用通过用参数方程描述物体的运动轨迹，可以更方便地计算物体的位置、速度和加速度等运动学问题。
极坐标与参数方程教学设计
极坐标与参数方程教学设计教学目标:1.了解极坐标和参数方程的概念和特点。
2.掌握极坐标和参数方程的转换关系。
3.能够利用极坐标和参数方程描述和绘制简单的图形。
教学内容:1.极坐标的引入极坐标是一种用极径和极角表示平面上点的坐标系统。
极坐标中，每个点由它到极点的距离和与极轴的夹角确定。
极点是坐标轴的原点，极轴是一条从极点到无穷远处的射线。
极径通常用正数表示，极角用角度或弧度表示。
2.参数方程的引入参数方程是一种用参数表示物体的坐标方程。
在参数方程中，坐标值都是由参数决定的表达式，用来描述一个曲线或曲面的运动或变化。
3.极坐标和参数方程的转换方法(1)极坐标转参数方程:已知点P的极坐标(r,θ)，则其对应的参数方程为x = rcosθ，y = rsinθ。
(2)参数方程转极坐标:已知参数方程x = f(t)，y = g(t)，则其对应的极坐标为r =√(f(t)²+g(t)²)，θ = tan^(-1)(g(t)/f(t))。
4.极坐标和参数方程的应用利用极坐标和参数方程可以描述和绘制很多有趣的图形，如圆、椭圆、心形线等。
教学步骤:步骤一:导入1.引出极坐标和参数方程的概念和特点。
2.通过示例和图示介绍极坐标和参数方程的基本表示方法。
步骤二:极坐标和参数方程的转换关系1.介绍极坐标和参数方程的转换关系，包括极坐标转参数方程和参数方程转极坐标的方法。
2.通过示例演示转换过程，让学生理解和掌握转换的思路和方法。
步骤三:极坐标和参数方程的绘制1.引导学生利用极坐标和参数方程描述和绘制简单的图形，如圆、椭圆、心形线等。
2.通过实例演示和练习让学生掌握绘制图形的方法和技巧。
步骤四:综合应用1.引导学生利用极坐标和参数方程解决实际问题，如天文学中的行星运动、工程中的曲线绘制等。
2.通过实例和讨论，激发学生的兴趣和创造力，培养学生的实际应用能力。
步骤五:总结和拓展1.对极坐标和参数方程的知识进行总结归纳。
极坐标与参数方程教案
、教学过程设计一、复习、检查函数与方程重点知识二、梳理本节课重要知识1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一、教学过程设计 一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程点M 直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 222tan (0)x y yx xρθ=+=≠极径为, r为, r,为的直线○θ○θ点,垂点,平＜0；当点。
极坐标与参数方程教案
极坐标与参数方程教案目标：通过本节课的学习，学生能够理解和应用极坐标和参数方程的原理，能够将直角坐标系下的函数转换为极坐标或参数方程，并能够使用极坐标和参数方程解决问题。
一、引入（10分钟）1.通过引诱学生思考问题，引出极坐标和参数方程的概念。
提问：如果我们要描述一个物体在平面上运动的轨迹，可以使用直角坐标系的方程来表示。
那么是否还有其他方式来表示这个轨迹呢？2.引入极坐标的概念，定义极坐标的含义。
讲解：极坐标是一种描述平面上点位置的方式，使用极径和极角来表示点的坐标。
极径表示点到原点的距离，极角表示点与坐标轴正半轴的夹角。
二、极坐标（20分钟）1.转换方式讲解：将直角坐标系转换为极坐标可以通过以下公式进行：x = rcosθ，y = rsinθ这样，一个在直角坐标系上的点(x,y)就可以用极坐标(r,θ)来表示。
2.根据已知的极坐标点，求直角坐标示例：已知一个点的极坐标为(r,θ)，求出对应的(x,y)坐标。
练习：学生进行练习题，验证是否掌握了极坐标与直角坐标之间的转换。
三、参数方程（20分钟）1.参数方程的概念讲解：参数方程是一种描述曲线的方式，使用参数的形式来表示坐标点的位置。
通过给出参数的范围，可以描绘出整个曲线。
2.转换方式讲解：将直角坐标系转换为参数方程可以通过以下形式进行：x=f(t)，y=g(t)这样，一个在直角坐标系上的点(x,y)就可以用参数t来表示。
3.根据已知的参数方程，求直角坐标示例：已知一个点的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，求出对应的(x,y)坐标。
练习：学生进行练习题，验证是否掌握了参数方程与直角坐标之间的转换。
四、综合运用（30分钟）1.根据已知的直角坐标系方程，转换为极坐标或参数方程示例：将直角坐标系方程y=x²转换为极坐标和参数方程。
2.根据已知的极坐标或参数方程，转换为直角坐标系方程示例：将极坐标方程r = 2cosθ转换为直角坐标系方程。
改极坐标与参数方程互化训练
极坐标与参数方程例1、在极坐标系中，点⎪⎭⎫⎝⎛62π,到直线的距离π1=6-θρ)sin( 例2、圆锥曲线的焦点坐标是为参数)t (ty t x ⎪⎩⎪⎨⎧2==2例3、直线相交的弦长为与圆θ2=ρ1=θρ2cos cos例4、直线3x-4y-1=0被曲线所截得弦长为为参数)(sin y cos x θ⎩⎨⎧θ2+1=θ2= 例5、直线l ：)(,sin y cos :C )t (,sin t y cos t x 为参数，与圆为参数θ⎩⎨⎧θ=θ=⎩⎨⎧α=α+1=x 的位置关系不可能的是 例6、若圆C 的极坐标方程为，π0=13-θρ4-ρ2-)cos(则圆心的直角坐标是 例7、已知1C 的极坐标方程是m )cos(=3+θρπ曲线2C 的方程是，为参数)(,sin y cos ,θ⎩⎨⎧θ2=θ2+2=x 若两曲线有公共点，则实数m 的取值范围是 例8、已知直线l ：x+y-2=0与圆C ：，为参数)(,sin y cos θ⎪⎩⎪⎨⎧θ2+1=θ2+1=x 则它们的公共点个数是例9、已知直线l ：y=x 与圆C ：θ4=ρcos 相交于A 、B 两点，则以AB 为直径的圆的面积为例10、曲线1C 的参数方程为)(,sin y cos x 为参数θ⎩⎨⎧θ3=θ3=，曲线2C 的极坐标是3=θρ+θρsin cos ，曲线1C 与2C 交于A,B 两点，则AB 的长为例11、在极坐标系中，圆2=ρ上的点到直线)sin (cos θ3+θρ=6的距离的最小值为 例12、已知直线的极坐标方程为22=4+θρ)sin(π，则极点到直线的距离为 例13、直线1=θρ2cos 与圆θ2=ρcos 的相交弦长为例14、在极坐标系中，圆θ4=ρcos 的圆心到直线6=θπ的距离是 例15、在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为θ=θρ22sin cos 与1=θρcos ，曲线1C 与2C 的交点的直角坐标为例16、在极坐标系中，点),(62π到直线2-=θρsin 的距离是 例17、在极坐标系中，圆θ4=ρcos 的圆心到直线22=4+θρ)sin(:l π的距离为 例18、在极坐标系中，直线l 的方程是4=θρcos ，则点),(32π到的直线的距离是 例19、已知曲线C 的极坐标方程为,cos θ2=ρ设点M 为曲线C 上任一点。
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改极坐标与参数方程
互化训练
极坐标与参数方程例1、在极坐标系中，点⎪⎭
⎫ ⎝⎛62π,到直线的距离π1=6-θρ)sin( 例2、圆锥曲线的焦点坐标是为参数)t (t
y t x ⎪⎩⎪⎨⎧2==2
例3、直线相交的弦长为与圆θ2=ρ1=θρ2cos cos
例4、直线3x-4y-1=0被曲线所截得弦长为为参数)(sin y cos x θ⎩
⎨⎧θ2+1=θ2= 例5、直线l ：)(,sin y cos :C )t (,sin t y cos t x 为参数，与圆为参数θ⎩⎨⎧θ
=θ=⎩⎨⎧α=α+1=x 的位置关系不可能的是
例6、若圆C 的极坐标方程为，π0=13
-θρ4-ρ2-)cos(则圆心的直角坐标是 例7、已知1C 的极坐标方程是m )cos(=3+θρπ曲线2C 的方程是
，
为参数)(,sin y cos ,θ⎩⎨⎧θ
2=θ2+2=x 若两曲线有公共点，则实数m 的取值范围是 例8、已知直线l ：x+y-2=0与圆C ：，为参数)(,sin y cos θ⎪⎩
⎪⎨⎧θ2+1=θ2+1=x 则它们的公共点个数是
例9、已知直线l ：y=x 与圆C ：θ4=ρcos 相交于A 、B 两点，则以AB 为直径的圆的面积为
例10、曲线1C 的参数方程为)(,sin y cos x 为参数θ⎩⎨⎧θ
3=θ3=，曲线2C 的极坐标是3=θρ+θρsin cos ，曲线1C 与2C 交于A,B 两点，则AB 的长为
例11、在极坐标系中，圆2=ρ上的点到直线)sin (cos θ3+θρ=6的距离的最小值为
例12、已知直线的极坐标方程为2
2=4+θρ)sin(π，则极点到直线的距离为 例13、直线1=θρ2cos 与圆θ2=ρcos 的相交弦长为
例14、在极坐标系中，圆θ4=ρcos 的圆心到直线6
=θπ的距离是 例15、在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为θ=θρ22sin cos 与
1=θρcos ，曲线1C 与2C 的交点的直角坐标为
例16、在极坐标系中，点),(6
2π到直线2-=θρsin 的距离是 例17、在极坐标系中，圆θ4=ρcos 的圆心到直线22=4
+θρ)sin(:l π的距离为 例18、在极坐标系中，直线l 的方程是4=θρcos ，则点),(3
2π到的直线的距离是
例19、已知曲线C 的极坐标方程为,cos θ2=ρ设点M 为曲线C 上任一点。
点 N 为直线l ：3x-4y+12=12上任意一点，则M 、N 两点间的距离的最小值是 例20、直线y=x 与极坐标方程为θ4=ρcos 的圆相交于A 、B,则AB 的长为
例21，直线l:)(sin n y cos m :C )x sin(为参数平分曲线πθ⎩
⎨⎧θ2+=θ2+=2=4+ρx ,则n m += 例22、已知直线的极坐标方程为)R (∈ρ4
=θ，π,它与曲线)(sin y cos x 为参数α⎩
⎨⎧α2+2=α2+1=相较于A 和B,则AB 的长为 23、截的的弦长为
被圆为参数直线θ4=ρ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧21-21=32-1=cos )t (t y t :x l
24、曲线C 的极坐标方程为,2=ρ直线l 的参数方程为)t (t
y t x 为参数⎩⎨⎧3==，则被C 截得的弦长为
25、参数方程，所表示的曲线为参数)(sin y cos x α⎩⎨⎧α
+2=α=C 与极坐标方程0=ρ+θρ2sin
所表示的曲线P 的交点个数为
26、直线x+y-k=0(k>o)与曲线)(sin y cos x 为参数θ⎩⎨⎧θ
2=θ4=仅有一个公共点，则=k 27、在极坐标系中，点),(A 2-4π
引圆θ4=ρsin 的一条切线，则切线长为。