选修4-4坐标系与参数方程学案资料
高中课标课程选修4-4《坐标系与参数方程》教学参考一 《坐标系与参数方程》概观
比如“声响定位”，教材创设的情景是要学生确定 声响的位置，学生在思考如何解决这个情景问题时， 发 现要确定一 个点的位置， 必须借助于 数量关系， 此 时教师可引 导学生进一步 思考要用什 么数量关系 来 表示它？要 怎样找到数量 关系？最后 让学生体会 用坐标法解决问题的过程.
又如“参数方程的引入”，教材创设了飞机向灾区 投 放物资的情 景，教师应引 导学生思考 ；如果建立 了适当的直角坐标系，物资离开飞机后的空中位置， 可 以用坐标系 的坐标来表示 ，而表示物 资位置的坐 标，可以用物质离开飞机的时间来确定. 于是学生在 这 样一个问题情 景中，感受 到物资在某 一时刻的位 置 可以用函数来 刻画它，从 而在意识上 产生引入参 数方程的必要性.
坐 标系是坐标 法思想得 以实现的平 台，是解析 几 何的基 础. 参数方 程是以 参变量 为中介来 表示曲 线 上点的坐标 的方程，是曲 线在同一坐 标系下的又 一种表示形式. 2.坐标系与参数方程的作 用
通 过极坐标系 、柱坐标 系、球坐标 系等不同的 坐 标系的学习 ，可以丰富对 坐标系的认 识，体会不 同 坐标系在刻 画几何图形或 描述自然现 象的特点， 从 而可以根据 不同几何图形 的特点选择 适当坐标系 使建立的方程更加简单，研究更方便. 通过参数方程 的 学习，可以发 现某些曲线 用参数方程 表示比用普 通 方程表示更方 便，而且有 助于进一步 体会解决问 题中数学方法的灵活多变. 3.教材地位分析
近十年来 ，本专题的 教学内容在 中学数学课 程 中经历了三 个不同时期． 一是以一章 的形式出现 在 解析几何中；二是在“两省一市”(山西、江西、天津) 的教科书里 面把它分解到 各个章节中 ；三是在课 标 课程中，又 重新把它集中 为一个专题 即《坐标系 与 参数方程》．本专题是以《平面解析几何初步》、《平 面向量》、《三角函数》 等模块的知识 为基础，是 平 面解析几何 初步、平面向 量、三角函 数等内容的 综 合应用和进一步深化. 4.本专题 知识网络图
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坐标系与参数方程教案一、教学目标通过本节课的学习，学生应该能够：1.掌握二维直角坐标系和三维直角坐标系的定义和表示；2.理解二维和三维坐标系中的基本几何概念，如点、线、面等；3.掌握直线和平面的参数方程的概念和解法；4.能够应用参数方程求解二维和三维图形的问题。
二、教学内容1. 二维直角坐标系在数学中，直角坐标系是一个二维平面上的坐标系。
它由两条垂直的数轴组成，分别为水平的x轴和垂直的y轴。
x轴和y轴相交于原点，这个点的坐标为(0,0)。
我们可以通过二元有序对(x,y)表示平面上的点。
2. 三维直角坐标系除了二维的直角坐标系，我们还需要在三维空间中使用直角坐标系。
三维直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴组成，分别为x轴、y轴和z轴，它们的交点称为空间原点。
我们可以通过三元有序组(x,y,z)表示空间中的点。
3. 直线和平面的参数方程在二维空间中，我们可以使用直线的斜率截距式表示直线方程，但是在三维空间中，这个方法无法使用，我们需要使用直线的参数方程。
直线的参数方程可以用向量或联立的方程表示。
在平面几何中，平面的方程通常表示为一般式或点法式。
但在三维空间中，我们也需要使用平面的参数方程。
平面的参数方程通常表示为一个点和两个方向向量的线性组合。
4. 应用参数方程解题在学习直线和平面的参数方程之后，我们可以用它们来解决更复杂的几何问题。
例如，在给定直线和平面的参数方程的情况下，可以计算它们的交点。
或者，如果给定一条直线和一个点，我们可以利用直线的参数方程计算出这条直线上距离该点最近的点。
三、教学方法1.在讲解直角坐标系的概念和表示方法时，可以使用PPT演示文稿或黑板进行展示；2.通过数学拓扑图和讲解，帮助学生理解坐标系中的基本几何概念；3.结合实例进行讲解，帮助学生理解直线和平面的参数方程的求解方法；4.设计课堂授课练习，让学生在解题中巩固所学知识。
四、教学步骤1. 理论部分1.介绍坐标系的概念和定义；2.分别讲解二维直角坐标系和三维直角坐标系的表示；3.介绍直线和平面的参数方程的定义和表示方法；4.演示几个典型的参数方程的例子。
选修4-4坐标系与参数方程学案
§4.1.2极坐标系（1）学习目的：1、理解极坐标的概念；2、能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别；学习重点：理解极坐标的意义学习难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置学习过程：一、新知导入：情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
⑴他向东偏60o方向走120m后到达什么位置？该位置惟一确定吗？⑵如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？问题2：如何刻画这些点的位置？二、建构数学：1、极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
（其中O称为，射线OX称为。
）2、极坐标系内一点的极坐标的规定3、负极径的规定ρθ是点M的极坐标，那么点M也可表示一般地，如果(,)成：。
三、例题讲解例1： 写出下图中各点的极坐标思考：①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是怎么引起的？④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？变式训练：在上面的极坐标系里描出下列各点45(3,0),(6,2),(3,),(5,),(3,),(4,)236A B C D E F πππππ 例2：在极坐标系中， ⑴已知两点5(5,),(1,)44P Q ππ，求线段PQ 的长度； ⑵已知M 的极坐标为(,)ρθ且,3R πθρ=∈，说明满足上述条件的点M 所组成的图形。
变式训练：若,A B 两点的极坐标为),(),,(2211θρθρ求AB 的长以及AOB ∆的面积。
（O 为极点）例3 已知(,)P ρθ，分别按下列条件求出点P 的极坐标。
⑴P 是点Q 关于极点O 的对称点；⑵P 是点Q 关于直线2πθ=的对称点；⑶P 是点Q 关于极轴的对称点。
高考数学二轮复习 专题六 第1讲 选修4-4 坐标系与参数方程学案-人教版高三选修4-4数学学案
第1讲选修4-4坐标系与参数方程高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0）.2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a ，0)(a >0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b ．3．圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r ，0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ．4．直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．5．圆、椭圆的参数方程(1)圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．(2)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．热点一 曲线的极坐标方程【例1】(2019·呼和浩特期中)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的极坐标方程为sin 4ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ--+=，曲线3C 的极坐标方程为()π4θρ=∈R ． （Ⅰ）求1C 与2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若2C 与1C 的交于P 点，2C 与3C 交于A 、B 两点，求PAB △的面积． 解（Ⅰ）∵曲线1C 的极坐标方程为sin 4ρθ=， ∴根据题意，曲线1C 的普通方程为4y =∵曲线2C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ--+=，∴曲线2C 的普通方程为222410x y x y +--+=，即()()22124x y -+-=， （Ⅱ）∵曲线3C 的极坐标方程为()π4θρ=∈R ， ∴曲线3C 的普通方程为y x =，联立1C 与2C :()()224114y x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，得2210x x -+=，解得1x =，∴点P 的坐标()1,4，点P 到3C 的距离d ==.设()11,A ρθ，()22,B ρθ将π4θ=代入2C ，得210ρ-+=，则12ρρ+=121ρρ⋅=，12AB ρρ=-=,∴11222PAB S AB d ===△． 探究提高 进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧．【训练1】(2017·北京东城区调研)在极坐标系中，已知极坐标方程C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，C 2：ρ＝2cos θ．(1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； (2)若曲线C 1，C 2交于A ，B 两点，求两点间的距离． 解 (1)由C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，∴x －3y －1＝0，表示一条直线．由C 2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ． ∴x 2＋y 2＝2x ，则(x －1)2＋y 2＝1， ∴C 2是圆心为(1，0)，半径r ＝1的圆．(2)由(1)知，点(1，0)在直线x －3y －1＝0上，因此直线C 1过圆C 2的圆心． ∴两交点A ，B 的连线段是圆C 2的直径， 因此两交点A ，B 间的距离|AB |＝2r ＝2． 热点二 参数方程及其应用【例2】(2019·湖北联考)在直角坐标系xOy 中，曲线22cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），直线1cos :sin x t l y t ββ=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 与直线l 的极坐标方程（极径用ρ表示，极角用θ表示）；（2）若直线l 与曲线C 相交，交点为A 、B ，直线l 与x 轴也相交，交点为，求QA QB +的取值范围. 解（1）曲线()22:24C x y -+=，即224x y x +=，即24cos ρρθ=，即0ρ=或4cos ρθ=， 由于曲线4cos ρθ=过极点，∴曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ= 直线():1sin cos l x y ββ+=，即sin cos sin 0x y βββ-+=， 即cos sin sin cos sin 0ρθβρθββ-+=，即()sin sin ρθββ-=， 直线l 的极坐标方程为()sin sin ρθββ-=； （2）由题得()1,0Q -，设为线段AB 的中点，圆心到直线l 的距离为()0,2d ∈，则2QA QB QM +==它在()0,2d ∈时是减函数，∴QA QB +的取值范围()=．三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．2．在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．【训练2】(2017·郴州三模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝22t (t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出直线l 的普通方程以及曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 的两个交点分别为M ，N ，直线l 与x 轴的交点为P ，求|PM |·|PN |的值． 解 (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝22t (t 为参数)，消去参数t ，得x ＋y －1＝0．曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，利用平方关系，得x 2＋(y －2)2＝4，则x 2＋y 2－4y ＝0．令ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ，代入得C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ． (2)在直线x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得点P (1，0)． 把直线l 的参数方程代入圆C 的方程得t 2－32t ＋1＝0， ∴t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝1．由直线参数方程的几何意义，|PM |·|PN |＝|t 1·t 2|＝1．1．(2018·全国I 卷)在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．2．(2018·全国II 卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）． （1）求C 和l 的直角坐标方程；xOy 1C 2y k x =+x 2C 22cos 30ρρθ+-=2C 1C 2C 1C1．(2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22． (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．2．(2017·哈尔滨模拟)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4．(1)写出曲线C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若射线θ＝π3与曲线C 交于O ，A 两点，与直线l 交于B 点，射线θ＝11π6与曲线C 交于O ，P 两点，求△PAB 的面积．1．(2017·新乡三模)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线M 的直角坐标方程为x －2y ＋2＝0(x >0)．(1)以曲线M 上的点与点O 连线的斜率k 为参数，写出曲线M 的参数方程； (2)设曲线C 与曲线M 的两个交点为A ，B ，求直线OA 与直线OB 的斜率之和．2．(2019·厦门期末)在同一直角坐标系中，经过伸缩变换1'2'x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩后，曲线C 变为曲线22''1x y +=.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πsin 3ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）过点()1,0P 作l 的垂线交C 于,A B 两点，点A 在x 轴上方，求11PA PB-．参考答案1．【解题思路】(1)就根据cos x ρθ=，sin y ρθ=以及222x y ρ=+，将方程22cos 30ρρθ+-=中的相关的量代换，求得直角坐标方程；(2)结合方程的形式，可以断定曲线2C 是圆心为()1,0A -，半径为2的圆，1C 是过点()0,2B 且关于y 轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k 所满足的关系式，从而求得结果.【答案】（1）由22cos 30ρρθ+-=可得：22230x y x ++-=，化为()2214x y ++=． （2）由（1）知2C 是圆心为()1,0A -，半径为2的圆， 由题设知，1C 是过点()0,2B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为423y x =-+． 2．【解题思路】(1)根据同角三角函数关系将曲线C 的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分cos 0α≠与cos 0α=两种情况.(2)将直线l 参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，根据参数几何意义得sin ,cos αα之间关系，求得tan α，即得l 的斜率．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=， 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程()()2213cos 42cos sin 80tt ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点()1,2在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得()12242cos sin 13cos t t ααα++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．1．【解题思路】(1)曲线C 1利用22sin cos 1αα+=消参，曲线C 2利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，化为直角坐标方程．(2)利用点到直线距离公式，曲线C 1直接用参数方程，用三角函数求其最值．【答案】解 (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0．(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值．又d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2，当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12．2．【解题思路】(1)曲线C 1利用22sin cos 1αα+=消参，曲线C 2利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，化为直角坐标方程．(2)分别联立求出A ，B ，P 的坐标．【答案】解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，消去θ．普通方程为(x －2)2＋y 2＝4．从而曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ，因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4，即32ρsin θ＋12ρcos θ＝4，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －8＝0．(2)依题意，A ，B 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，∴|AB |＝2，∴S △PAB ＝12×2×23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝23．1．【解题思路】 (1):OM y kx =；(2)联立曲线M 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，韦达定理．【答案】解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0（x >0），y ＝kx 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22k －1，y ＝2k 2k －1.故曲线M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22k －1，y ＝2k 2k －1⎝ ⎛⎭⎪⎫k 为参数，且k >12． (2)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，∴x 2＋y 2＝4x ．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22k －1，y ＝2k 2k －1代入x 2＋y 2＝4x 整理得k 2－4k ＋3＝0， ∴k 1＋k 2＝4．故直线OA 与直线OB 的斜率之和为4．2．【解题思路】(1)将1'2'x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩代入221x y ''+=得，即可得到曲线C 的方程；由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入即可得到直线l 的直角坐标方程；（2）由题意，得过点()1,0P 的垂线的参数方程为（t 为参数），代入曲线C 的方程，根据参数的几何意义，即可求解.【答案】(1)将1'2'x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩代入221x y ''+=得，曲线C 的方程为2214x y +=，由πsin 3ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos cos sin 33ππρθρθ-=， 因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入上式得直线l0y -+=； （2）因为直线l 的倾斜角为3π，所以其垂线的倾斜角为56π， 过点()1,0P 的垂线的参数方程为51cos 650sin 6y t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即（t 为参数） 代入曲线C的方程整理得27120t --=，设,A B 两点对应的参数为12,t t （由题意知10t >，20t <）则，且(247120∆=+⨯⨯>，所以1212121111t t PA PB t t t t +-=-==-。
2020届一轮复习人教B版 选修4-4 坐标系与参数方程 学案.doc
选修4－4 坐标系与参数方程 1．坐标系与极坐标(1)理解坐标系的作用．(2)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标与直角坐标的互化．(3)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示图形时选择坐标系的意义．2．参数方程(1)了解参数方程，了解参数的意义．(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．(3)掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题．知识点一 极坐标系 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，点O 叫作极点，自极点O 引一条射线Ox ，Ox 叫作极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位及其正方向，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫作点M 的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫作点M 的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． 2．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x2＋y2，tan θ＝y x易误提醒1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件．2．在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一点的坐标．[自测练习]1．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝12x ，y′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x′＝12x ，y′＝3y.知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′，y ＝13y′.代入y ＝sin x 中得y ′＝3sin 2x ′. 答案：y ′＝3sin 2x ′2．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3，所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，－π3. 答案：⎝⎛⎭⎫2，－π3 3．(2018·高考北京卷)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sinθ)＝6的距离为________．解析：点⎝⎛⎭⎫2，π3的直角坐标为(1，3)，直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的直角坐标方程为x ＋3y －6＝0，所以点(1，3)到直线的距离d ＝|1＋3×3－6|1＋3＝1.答案：1知识点二 参数方程 参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x ，y 是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝，y ＝，并且对于t 的每一个允许值，由函数式⎩⎨⎧ x ＝，y ＝所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程⎩⎨⎧x ＝，y ＝叫作这条曲线的参数方程，变数t 叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程．易误提醒1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致，否则不等价． 2．直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义，且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.[自测练习]4．在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t ，(t 为参数)的普通方程为________．解析：依题意，消去参数可得x －2＝y －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝05．在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎨⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t(t 为参数)平行的直线截椭圆所得的弦长为________．解析：椭圆的普通方程为x24＋y23＝1，则右焦点的坐标为(1,0)．直线的普通方程为x －2y ＋2＝0，过点(1,0)与直线x －2y ＋2＝0平行的直线方程为x －2y －1＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x24＋y23＝1，x －2y －1＝0，得4x 2－2x －11＝0，所以所求的弦长为1＋⎝⎛⎭⎫122× ⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－114＝154. 答案：154考点一 曲线的极坐标方程|1．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋y2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2. 2．(2018·长春模拟)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2. 所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22.直角坐标化为极坐标的关注点(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M 的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M 的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值．考点二 曲线的参数方程|1．已知曲线C 1：⎩⎨⎧ x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t ，(t 为参数)曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ.(θ为参数)(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎨⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)的距离的最小值． 解：(1)曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x264＋y29＝1，曲线C 1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4,4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝⎛⎭⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ.曲线C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|，从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取最小值855.2．已知曲线C ：x24＋y29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t ，(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ.(θ为参数)直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|， 其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．考点三 极坐标方程、参数方程的综合应用|(2018·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝tcos αy ＝tsin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．[解] (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧ x2＋y2－2y ＝0，x2＋y2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2018·昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程； (2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M 、N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．解：(1)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋tcos αy ＝2＋tsin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴C ：x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋tcos αy ＝2＋tsin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝＋－16>0，t1＋t2＝－＋，t1t2＝4，∴sin α·cos α>0，又0≤α<π， ∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且t 1<0，t 2<0. ∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2| ＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4，由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， ∴22<sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1， 故|PM |＋|PN |的取值范围是(4,4 2 ].33.直线参数方程中参数t 几何意义的应用【典例】已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋4cos θy ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程； (2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值．[思维点拨] (1)根据条件写出l 的参数方程及化曲线C 为标准方程． (2)利用t 的几何意义求解|P A |·|PB |的值． [解] (1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎨⎧x ＝3＋12t y ＝5＋32t (t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0， 设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3， 所以|P A ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.[方法点评] 过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋tcos α，y ＝y0＋tsin α.(t为参数)该参数t 经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中，解题时通常过某定点作一直线与圆锥曲线相交于A ，B 两点，所求问题与定点到A ，B 两点的距离有关．解题时主要应用定点在直线AB 上，利用参数t 的几何意义，结合根与系数的关系进行处理，巧妙求出问题的解．[跟踪练习] (2018·大庆模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 经过点P ⎝⎛⎭⎫12，1，倾斜角α＝π6.在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |的值．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12＋tcos π6，y ＝1＋tsin π6，(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝12＋32t ，y ＝1＋12t ，(t 为参数)．由ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4得：ρ＝2cos θ＋2sin θ， ∴ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，∴x 2＋y 2＝2x ＋2y ， 故圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)把⎩⎨⎧x ＝12＋32t y ＝1＋12t (t 为参数)代入(x －1)2＋(y －1)2＝2得t 2－32t －74＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝－74， ∴|P A |＋|PB |＝|t 1－t 2|＝＋－4t1t2＝312.A 组 考点能力演练1．(1)化圆的直角坐标方程x 2＋y 2＝r 2(r >0)为极坐标方程； (2)化曲线的极坐标方程ρ＝8sin θ为直角坐标方程．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＝r 2，得ρ2cos 2 θ＋ρ2sin 2 θ＝r 2，ρ2(cos 2 θ＋sin 2 θ)＝r 2，ρ＝r .所以，以极点为圆心、半径为r 的圆的极坐标方程为ρ＝r (0≤θ<2π)．(2)法一：把ρ＝x2＋y2，sin θ＝yρ代入ρ＝8sin θ，得x2＋y2＝8·yx2＋y2，即x 2＋y 2－8y ＝0. 法二：方程两边同时乘以ρ，得ρ2＝8ρsin θ，即x 2＋y 2－8y ＝0.2．(2018·济宁模拟)已知直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：∵ρ＝2k cos θ－2k sin θ， ∴ρ2＝2k ρcos θ－2k ρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0，即⎝⎛⎭⎫x －22k 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋22k 2＝k 2， ∴圆心的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22k ，－22k .∵ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4，∴直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0，∴⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |，两边平方，得|k |＝2k ＋3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k>0，k ＝2k ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧k<0，－k ＝2k ＋3， 解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－22，22. 3．在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin2 θ，点R ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQR S 周长的最小值及此时P 点的直角坐标．解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x23＋y 2＝1， 点R 的直角坐标为R (2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ， ∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin (θ＋60°)， 当θ＝30°时，|PQ |＋|QR |取最小值2， ∴矩形PQRS 周长的最小值为4， 此时点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 4．(2018·长春模拟)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1，－5)，点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 的半径为4. (1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程． (2)试判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋tcos π3，y ＝－5＋tsin π3，(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－5＋32t ，(t为参数)．由题知C 点的直角坐标为(0,4)，圆C 的半径为4，∴圆C 方程为x 2＋(y －4)2＝16，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入得，圆C 的极坐标方程为ρ＝8sin θ.(2)由题意得，直线l 的普通方程为3x －y －5－3＝0，圆心C 到l 的距离为d ＝|－4－5－3|2＝9＋32>4，∴直线l 与圆C 相离．5．倾斜角为α的直线l 过点P (8,2)，直线l 和曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝42cos θ，y ＝2sin θ，(θ为参数)交于不同的两点M 1，M 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并写出直线l 的参数方程； (2)求|PM 1|·|PM 2|的取值范围．解：(1)曲线C 的普通方程为x232＋y24＝1，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8＋tcos α，y ＝2＋tsin α，(t 为参数)．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得：(8＋t cos α)2＋8(2＋t sin α)2＝32， 整理得(8sin 2 α＋cos 2 α)t 2＋(16cos α＋32sin α)t ＋64＝0，由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin 2 α＋cos 2 α)>0，得cos α>sin α，故α∈⎣⎡⎭⎫0，π4， ∴|PM 1||PM 2|＝|t 1t 2|＝641＋7sin2 α∈⎝⎛⎦⎤1289，64. B 组 高考题型专练1．(2018·高考广东卷改编)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离． 解：由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2得2ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2，所以y －x ＝1，故直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，而点A ⎝⎛⎭⎫22，7π4对应的直角坐标为A (2，－2)，所以点A (2，－2)到直线l ：x －y ＋1＝0的距离为|2＋2＋1|2＝522.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程； (2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0， 解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.3．(2018·高考湖南卷)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t ，(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值． 解：(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②(2)将⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t ，代入②，得t 2＋53t ＋18＝0，设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.4．(2018·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t ，(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sinθ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝⎛⎭⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t －32＝t2＋12，故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3,0)．。
高中数学选修4-4_坐标系与参数方程教学案
数学选修4-4 坐标系与参数方程导学案本章考试说明要求：1．坐标系的有关概念 2．简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的极坐标方程 3．极坐标方程与直角坐标方程的互化 4．参数方程 5．直线、圆和椭圆的参数方程 6．参数方程与普通方程的互化 7．参数方程的简单应用 本章具体内容：一、坐标系的有关概念1．平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系.2．空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系.3．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取 方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
（其中O 称为 ，射线OX 称为 ）如图，设M 是平面上的任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线OX 为始边，射线OM 为终边所成的角。
那么有序数对(,)ρθ称为点M 的极坐标。
其中ρ称为 ，θ称为 . 由极径的意义可知0ρ≥.当极角θ的取值范围是[)0,2π时，平面上的点（除去极点）就与极坐标()(),0ρθρ≠建立一一对应的关系.约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角. 4．极坐标的统一形式一般地，如果(),ρθ是点M 的极坐标，那么 或 ()k Z ∈,都可以作为点M 的极坐标. 二、简单图形的极坐标方程1．直线的极坐标方程：若直线过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为： .注：几个特殊位置的直线的极坐标方程 （1）直线过极点方程： 图：（2）直线过点)0,(a M 且垂直于极轴 方程： 图：（3）直线过(,)2M b π且平行于极轴方程： 图： 练习：按下列条件写出直线的极坐标方程：①经过极点，且倾斜角为6π的直线； ②经过点2,4A π⎛⎫⎪⎝⎭，且垂直于极轴的直线； ③经过点3,3B π⎛⎫-⎪⎝⎭，且平行于极轴的直线； ④经过点()4,0C ，且倾斜角为34π的直线. 2．圆的极坐标方程： 若圆心为00(,)M ρθ，半径为r 的圆方程为： .注：几个特殊位置的圆的极坐标方程 （1）当圆心位于极点方程： 图： （2）当圆心位于(,0)M r方程： 图： （3）当圆心位于(,)2M r π方程： 图： 练习：按下列条件写出圆的极坐标方程： ①以()2,0A 为圆心，2为半径的圆； ②以4,2B π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，4为半径的圆； ③以()5,C π为圆心，且过极点的圆；④以4D π⎫⎪⎭为圆心，1为半径的圆. 三、极坐标方程与直角坐标方程的互化以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P 的直角坐标极坐标分别为（x ，y ）和(,)ρθ，则x =2ρ=y = tan θ=练习：①将下列各点的极坐标化为直角坐标：4π⎫⎪⎭= ； 6,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭= ； 112,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭= ； ()5,π= ； 34,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭= ； 34π⎛⎫- ⎪⎝⎭= . ②将下列各点的直角坐标化为极坐标：)= ；()1,1--= ；()3,0-= ；()0,5= ；(4,-= ；()= .考点1 极坐标与直角坐标互化例1 在极坐标中，求两点)4,2(),4,2(ππ-QP之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程.练习1 已知圆C：22(1)(1x y++=，则圆心C的极坐标为__(0,02)ρθπ>≤<练习2 在极坐标中，求两点间的距离：（1）)215,12(),35,5(00BA（2）)125,8(),12,3(ππBA（3）)0,0)(,(),,(212211>>ρρθρθρBA练习3 （1）在极坐标中，点),(θρP关于极轴的对称点的坐标为；（2）在极坐标中，求点)6,5(πM关于直线4πθ=的对称点的坐标为.考点2 极坐标方程与直角坐标方程互化例2 已知曲线C的极坐标方程是4sinρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的方程是40x y--=，点P是曲线C上的动点，点Q是直线l上的动点，求PQ的最小值．练习1 在极坐标系中，圆2cos=θρ与直线1cos=θρ的位置关系是．练习2 在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()6sin3cos=+θθρ的距离的最小值是_____ ．练习3在极坐标系中，过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sinρθ=的切线，则切线的极坐标方程是．练习4 设过原点O的直线与圆C：22(1)1x y-+=的一个交点为P，点M为线段OP的中点.（1）求圆C的极坐标方程；（2）求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．极坐标系强化训练1．点M的直角坐标是(1-，则点M的极坐标为（）A．(2,)3πB．(2,)3π-C．2(2,)3πD．(2,2),()3k k Zππ+∈2．极坐标方程cos2sin2ρθθ=表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆3．在极坐标系中，直线24sin=⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ被圆4=ρ截得的弦长为__ .4．设(A2，32π），(B3，3π）是极坐标系上两点，则AB= _.5．已知某圆锥曲线C的极坐标方程是22225916cosρθ=+，则曲线C的离心率为（）A．45B．53C．35D．456．在极坐标系中，已知曲线)3,1(.cos4:)3cos(:21-∈==+mCmC若和θρπθρ，则曲线C1与C2的位置关系是A．相切B．相交C．相离D．不确定7．在极坐标系中，直线21cos=θρ与曲线θρcos2=相交于A、B两点，O为极点，则∠AOB= 23π8．与曲线01cos=+θρ关于4πθ=对称的曲线的极坐标方程是01sin=+θρ9．以坐标原点为极点，横轴的正半轴为极轴的极坐标系下，有曲线C：4cosρθ=，过极点的直线θϕ=（Rϕ∈且ϕ是参数）交曲线C于两点AO,，令OA的中点为M.（1）求点M在此极坐标下的轨迹方程（极坐标形式）.（2）当53πϕ=时，求M点的直角坐标.10．已知直线lkkCl若直线和圆),0)(4cos(2:4)4sin(:≠+⋅==-πθρπθρ上的点到圆C上的点的最小距离等于2。
新人教版高中数学选修4-4《极坐标与参数方程》优质教案
（3.5学案）第1讲 极坐标系与参数方程(大题)教学目标1.会将参数方程，极坐标方程化为普通方程2.理解极坐标方程中ρ，θ含义，参数方程中直线中的t 的含义，圆与椭圆中θ几何意义，及应用教学重点：ρ，θ应用及直线参数方程中t 应用椭圆中θ应用 教学难点：椭圆中θ的含义题型一：极坐标.参数方程与普通方程互化 1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y)和(ρ，θ)，则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx x ≠0.2．在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．（1）．直线的参数方程过定点M(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t为参数)．（2）．圆的参数方程圆心为点M(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数)．（3）．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)．(2)抛物线y 2＝2px(p>0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)．（4）．(1)参数方程的实质是将曲线上每一点的横、纵坐标分别用同一个参数表示出来，所以有时处理曲线上与点的坐标有关的问题时，用参数方程求解非常方便；(2)充分利用直线、圆、椭圆等参数方程中参数的几何意义，在解题时能够事半功倍．例1、（1）方程表示的曲线是（ ）A. 双曲线B.双曲线的上支C.双曲线的下支D.圆 分析：把参数方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它表示的曲线类型是这类问题的破解策略.解析：注意到t与互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含的项，即有，又注意到，可见与以上参数方程等价的普通方程为.显然它表示焦点在轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.点评：这是一类将参数方程化为普通方程的检验问题，转化的关键是要注意变量范围的一致性.（2）、设P 是椭圆上的一个动点，则的最大值是 ，最小值为 .分析：注意到变量的几何意义，故研究二元函数的最值时，可转化为几何问题.若设，则方程表示一组直线，（对于取不同的值，方程表示不同的直线），显然既满足，又满足，故点是方程组的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式问题.解析：令，对于既满足，又满足，故点是方程组的公共解，依题意得，由，解得：，所以的最大值为，最小值为.点评：对于以上的问题，有时由于研究二元函数有困难，也常采用消元，但由满足的方程来表示出或时会出现无理式，这对进一步求函数最值依然不够简洁，但若通过三角函数换元，则可实现这一途径.即，因此可通过转化为的一元函数.以上二个思路都叫“参数法”.（3）、极坐标方程表示的曲线是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.解析：由，化为直角坐标系方程为，化简得.显然该方程表示抛物线，故选D.点评：若直接由所给方程是很难断定它表示何种曲线，因此通常要把极坐标方程化为直角坐标方程，加以研究.（4）、极坐标方程转化成直角坐标方程为（）A． B． C． D．分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.解析：，因此选C.点评：此题在转化过程中要注意不要失解，本题若成为填空题，则更要谨防漏解.通关练习一1. 已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标是（）A. B. C. D.2．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）A． B． C． D．3．下列在曲线上的点是（）A． B． C． D．4．将参数方程化为普通方程为（）A． B． C．D．5．参数方程为表示的曲线是（）A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线6．直线和圆交于两点，则的中点坐标为（） A． B． C． D．7．极坐标方程表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆8．直线的参数方程为，上的点对应的参数是，则点与之间的距离是（）A． B． C． D．9. 圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程为10 若A，B，则|AB|=__________，___________（其中O是极点）11. ，若A、B是C上关于坐标轴不对称的任意两点，AB 的垂直平分线交x轴于P（a，0），求a的取值范围.一、选择题：1.A 解析：能表示点M的坐标有3个，分别是B、C、D.2．D 解析：3．B 解析：转化为普通方程：，当时，4．C 解析：转化为普通方程：，但是5、D 解析：表示一条平行于轴的直线，而，所以表示两条射线6．D 解析：，得，因此中点为7．C 解析：，则或8、C 解析：距离为9、解析：如下图，设圆上任一点为P（），则10、解析：在极坐标系中画出点A、B，易得，11. 解析：，，，，题型二极坐标，参数方程综合应用例2 (2019·全国Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ)(ρ>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程； (2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 解 (1)因为M(ρ0，θ0)在C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3. 由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2. 设Q(ρ，θ)为l 上除P 的任意一点，连接OQ ，在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上．所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，故θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.跟踪演练1 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋3y ＝53，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.射线OP ：θ＝π6(ρ≥0)与圆C 的交点为O ，A ，与直线l 的交点为B ，求线段AB 的长．解 由题意知ρA ＝4sinπ6＝2， ρB ＝532sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π6＝5，所以|AB|＝|ρA －ρB |＝3.例 3 (2019·六安质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，过点P(－2,0)作斜率为k 的直线l 与圆C交于A ，B 两点．(1)若圆心C 到直线l 的距离为455，求k 的值；(2)求线段AB 中点E 的轨迹方程．解 (1)由题意知，圆C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 即圆C 的圆心为C(2,0)，半径r ＝2.依题意可得过点P(－2,0)的直线l 的方程为y ＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0， 设圆心C(2,0)到直线l 的距离为d ， 则d ＝|2k ＋2k|1＋k 2＝|4k|1＋k2＝455， 解得k ＝±12.(2)设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋tcos θ，y ＝tsin θ(t 为参数)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6，代入圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，得t 2－8tcos θ＋12＝0. 设A ，B ，E 对应的参数分别为t A ，t B ，t E ， 则t E ＝t A ＋t B2， 所以t A ＋t B ＝8cos θ，t E ＝4cos θ. 又点E 的坐标满足⎩⎨⎧x ＝－2＋t E cos θ，y ＝t E sin θ，所以点E 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋4cos 2θ，y ＝4sin θcos θ，即⎩⎨⎧x ＝2cos 2θ，y ＝2sin 2θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6，化为普通方程为x 2＋y 2＝4(1<x ≤2)．例4在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)．(1)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值；(2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，已知点M(1,1)，求|MA|·|MB|的值． 解 (1)设曲线C 上任意一点N(2cos α，3sin α)， 直线l ：x －2y ＋1＝0，则点N 到直线l 的距离d ＝|2cos α－23sin α＋1|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋15≤5，∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为 5. (2)设直线l 的倾斜角为θ， 则由(1)知tan θ＝12，∴cos θ＝255，sin θ＝55. ∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋255t ，y ＝1＋55t (t 为参数)，曲线C ：x 24＋y 23＝1，联立方程组，消元得165t 2＋45t －5＝0， 设方程两根为t 1，t 2，则t 1t 2＝－2516， 由t 的几何意义，得|MA|·|MB|＝－t 1t 2＝2516. 通关练习二1．(2019·东莞调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝34＋3t ，y ＝a ＋3t(t 为参数)，圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l 和圆C 的极坐标方程； (2)若射线θ＝π3与l 的交点为M ，与圆C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点，求a 的值．解(1)∵直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝34＋3t ，y ＝a ＋3t(t 为参数)，∴在直线l 的参数方程中消去t 可得直线l 的普通方程为x －y －34＋a ＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直线l 的普通方程中， 得到直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－34＋a ＝0.∵圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4，∴圆C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0.(2)在极坐标系中，由已知可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π3，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ3，π3，联立⎩⎨⎧θ＝π3，ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0，得ρ2－(3＋33)ρ＋14＝0， ∴ρ2＋ρ3＝3＋3 3. ∵点M 恰好为AB 的中点， ∴ρ1＝3＋332，即M ⎝⎛⎭⎪⎫3＋332，π3. 把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋332，π3代入ρcos θ－ρsin θ－34＋a ＝0，得3()1＋32×1－32－34＋a ＝0，解得a ＝94.2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P(m,2)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋t ，y ＝2－t(t 为参数，m ∈R )，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋8cos θ－ρ＝0. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若已知曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA|＝2|PB|，求实数m 的值． 解 (1)C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝m ＋t ，y ＝2－t(t 为参数，m ∈R )，消参得普通方程为x ＋y －m －2＝0.C 2的极坐标方程化为ρ(2cos 2θ－1)＋8cos θ－ρ＝0，两边同乘ρ得2ρ2cos 2θ＋8ρcos θ－2ρ2＝0，即y 2＝4x. 即C 2的直角坐标方程为y 2＝4x.(2)将曲线C 1的参数方程标准化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －22t ，y ＝2＋22t (t 为参数，m ∈R )，代入曲线C 2：y 2＝4x ， 得12t 2＋42t ＋4－4m ＝0， 由Δ＝(42)2－4×12×(4－4m)>0，得m>－3，设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，由题意得|t 1|＝2|t 2|，即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2，当t 1＝2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝2t 2，t 1＋t 2＝－82，t 1·t 2＝24－4m，解得m ＝－239，满足m>－3； 当t 1＝－2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝－2t 2，t 1＋t 2＝－82，t 1·t 2＝24－4m解得m ＝33，满足m>－3. 综上，m ＝－239或33. 3．(2019·衡水中学调研)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知直线C 3的极坐标方程为θ＝α(0<α<π，ρ∈R )，A 是C 3与C 1的交点，B 是C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，|AB|＝42，求α的值． 解 (1)由⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ，得C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，又y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2， 所以C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4. (2)由(1)知曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 所以其极坐标方程为ρ＝4cos θ.设点A ，B 的极坐标分别为(ρA ，α)，(ρB ，α)， 则ρA ＝4cos α，ρB ＝4sin α，所以|AB|＝|ρA －ρB |＝4|cos α－sin α| ＝42⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝42，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝±1，即α－π4＝k π＋π2(k ∈Z )，解得α＝k π＋3π4(k ∈Z )，又0<α<π，所以α＝3π4. 4．(2019·保山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α(t 为参数)，直线l 与⊙O 交于A ，B 两个不同的点．(1)求倾斜角α的取值范围；(2)求线段AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解 (1)直线l 的倾斜角为α，当α＝π2时，直线l(即y 轴)与⊙O 交于A ，B 两个不同的点，符合题目要求；当α≠π2时，记k ＝tan α，直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α 化为普通方程为kx －y －2＝0，圆心O 到直线l 的距离d ＝21＋k 2.因为直线l 与⊙O 交于不同的两点， 所以21＋k2<2， 解得k>1或k<－1.当k<－1时，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4；当k>1时，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，综上，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，其直角坐标方程为x 2＋y 2＝2， 因直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝2中得，t 2－4tsin α＋2＝0， 故可设A(t 1cos α，－2＋t 1sin α)，B(t 2cos α，－2＋t 2sin α)，注意到t 1 ，t 2为方程的根，故t 1＋t 2＝4sin α， 点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t 1＋t 22cos α，－2＋t 1＋t 22sin α， 即(sin 2α，－1－cos 2α)， 所以点P 的轨迹的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝sin 2α，y ＝－1－cos 2α(α为参数)．。
马井堂-高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案
选修4-4教案教案1平面直角坐标系（1课时）教案2平面直角坐标系中的伸缩变换（1课时）教案3极坐标系的的概念（1课时）教案4极坐标与直角坐标的互化（1课时）教案5圆的极坐标方程（2课时）教案6直线的极坐标方程（2课时）教案7球坐标系与柱坐标系（2课时）教案8参数方程的概念（1课时）教案9圆的参数方程及应（2课时）教案10圆锥曲线的参数方程（1课时）教案11圆锥曲线参数方程的应用（1课时）教案12直线的参数方程（2课时）教案13参数方程与普通方程互化（2课时）教案14圆的渐开线与摆线（1课时）课题：1、平面直角坐标系教学目的：知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法能力与与方法：体会坐标系的作用情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：体会直角坐标系的作用教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题授课类型：新授课教学模式：互动五步教学法教具：多媒体、实物投影仪复习及预习提纲：1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法2坐标系的作用————教学过程————复习回顾和预习检查1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法2坐标系的作用创设情境，设置疑问情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。
情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。
要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。
问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？分组讨论刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定2、平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。
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§4.1.2极坐标系（1）学习目的：1、理解极坐标的概念；2、能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别；学习重点：理解极坐标的意义学习难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置学习过程：一、新知导入：情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
⑴他向东偏60方向走120m后到达什么位置？该位置惟一确定吗？⑵如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？问题2：如何刻画这些点的位置？二、建构数学：1、极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
（其中O称为，射线OX称为。
）2、极坐标系内一点的极坐标的规定3、负极径的规定ρθ是点M的极坐标，那么点M也可表示一般地，如果(,)成：。
三、例题讲解例1： 写出下图中各点的极坐标思考：①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是怎么引起的？④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？变式训练：在上面的极坐标系里描出下列各点45(3,0),(6,2),(3,),(5,),(3,),(4,)236A B C D E F πππππ 例2：在极坐标系中，⑴已知两点5(5,),(1,)44P Q ππ，求线段PQ 的长度； ⑵已知M 的极坐标为(,)ρθ且,3R πθρ=∈，说明满足上述条件的点M 所组成的图形。
变式训练：若,A B 两点的极坐标为),(),,(2211θρθρ求AB 的长以及AOB ∆的面积。
（O 为极点）例3 已知(,)P ρθ，分别按下列条件求出点P 的极坐标。
⑴P 是点Q 关于极点O 的对称点；⑵P 是点Q 关于直线2πθ=的对称点；⑶P 是点Q 关于极轴的对称点。
变式训练：在极坐标系中，与点)6,8(π-关于极点对称的点的一个坐标是 四、布置作业P 16 3，5 ，10§4.1.2极坐标系（2）学习目的：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式学习重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解学习难点：互化关系式的掌握学习过程：一、新知引入：1、怎样建立极坐标系？极径和极角的几何意义是什么？情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？问题2：平面内的一个点的直角坐标是)3,1(，这个点如何用极坐标表示？二、建构数学直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。
平面内任意一点P 的直角坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩注：1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式2、通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取πθρ20,0<≤≥。
3、互化公式的三个前提条件（1 ）极点与直角坐标系的原点重合;（2 ）极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合;（3 ）两种坐标系的单位长度相同。
三、例题讲解例1、把下列点的极坐标化为直角坐标：（1）M )32,8(π ; （2）76,4N π⎛⎫ ⎪⎝⎭例2、把下列点的直角坐标化成极坐标：（1）P ; (2)(Q （3）R例3、若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴,建立直角坐标系.(1) 已知A 的极坐标),35,4(π求它的直角坐标； (2) 已知点B 和点C 的直角坐标为(2,2)(0,15)--和，求它们的极坐标.(0,02)ρθπ>≤<(3)在极坐标系中,已知),6,2(),6,2(ππ-B A 求,A B 两点的距离.例4、在极坐标系中,已知两点)32,6(),6,6(ππB A 。
求,A B 中点的极坐标.四、布置作业课本P 17 6, 7, 8，11§4.2.1 曲线的极坐标方程的意义学习目的：1、掌握极坐标方程的意义2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程学习重、难点：掌握极坐标方程的意义学习过程：一、新知导入：1、引例：以极点O 为圆心，5为半径的圆上任意一点极径为5，反过来，极径为5的点都在这个圆上。
因此，以极点为圆心，5为半径的圆可以用方程5=ρ来表示。
2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？二、新知学习：1、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有 极坐标适合方程0),(=θρf ,且极坐标适合方程0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。
2、求曲线的极坐标方程的步骤：第一步 建立适当的极坐标系；第二步 在曲线上任取一点(,);P ρθ第三步 根据曲线上的点所满足的条件写出等式；第四步 用极坐标,ρθ表示上述等式，并化简得极坐标方程；第五步 证明所得的方程是曲线的极坐标方程。
三、新知运用：例1．求经过点)0,3(A 且与极轴垂直的直线l 的极坐标方程。
变式训练：已知点P 的极坐标为),1(π，那么过点P 且垂直于极轴的直线极坐标方程。
例2．求圆心在)0,3(A 且过极点的圆A 的极坐标方程。
变式训练：求圆心在)2,3(πA 且过极点的圆A 的极坐标方程。
例3．（1）化在直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程，（2）化极坐标方程)3cos(6πθρ-= 为直角坐标方程。
四、课堂作业：课本第32页4、5题。
§4.2.1常见曲线的极坐标方程学习目标：1、了解掌握极坐标系中直线和圆的方程2、巩固求曲线方程的方法和步骤学习重点：求直线与圆的极坐标方程学习过程：一、新知导入：情境1：3cos =θρ , 5=ρ, sin 2ρθ=, πθ43=分别表示什么曲线？ 情境2：上述方程分别表示了直线与圆，把这些直线与圆一般化，它们的方程分别是什么？二、新知学习：1、若直线l 经过),(00θρM ，且直线l 的倾斜角为α，求直线l 的极坐标方程。
运用此结果可以推出哪些特殊位置的直线的极坐标方程。
2、若圆心的坐标为),(00θρM ，圆的半径为r ，求圆的极坐标方程。
运用此结果可以推出哪些特殊位置的圆的极坐标方程。
二、 新知运用：例1、 按下列条件写出直线的极坐标方程：（1） 经过极点和点)6,3(πC 的直线；（2） 经过点(4,)B π，且垂直于极轴的直线；（3） 经过点(8,)6C π，且平行于极轴的直线；（4） 经过点D ，且倾斜角为23π的直线。
例2、 按下列条件写出圆的极坐标方程：（1）以(3,0)A 为圆心，且过极点的圆；（2）以(8,)2B π为圆心，且过极点的圆；（3）以极点O 与点(4,0)C -连接的线段为直径的圆；（4）圆心在极轴上，且过极点与D 的圆。
例3在圆心的极坐标为)0,4(A , 半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹方程。
四、课堂作业：课本第32页1,2题。
§4.4.1参数方程学习目的：1．了解参数方程的定义，了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义；2．理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用；学习重点：理解参数方程的概念；学习难点：理解直线、圆、椭圆的参数方程及其应用。
学习过程：一、新知导入：设炮弹发射角为α，发射初速度为o v ，怎样求弹道曲线的方程（空气阻力不计）？二、新知学习：1、 参数方程的定义：一般地，在取定的坐标中，如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 反过来，对于t 的每个允许值，由函数式：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 所确定的点),(y x P 都在曲线C 上，那么方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 叫做曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数2、 关于参数几点说明：（1） 参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。
（2） 同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样（3） 在实际问题中要确定参数的取值范围3、 参数方程的意义：参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x ，y 分别为曲线上点M 的横坐标和纵坐标。
4、 参数方程求法（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x（2）选取适当的参数（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式5、 关于参数方程中参数的选取选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。
与运动有关的问题选取时间t 做参数与旋转的有关问题选取角θ做参数或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。
三、新知应用例1．求椭圆的参数方程（见教材P.43例1）变式训练1、已知椭圆⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x (θ为参数) 求 （1）6πθ=时对应的点P 的坐标（2）直线OP 的倾斜角§4.4.2参数方程与普通方程的互化学习目的：会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。
学习重点：参数方程与普通方程的互化学习难点：如何进行互化，参数的取值范围的确定学习过程：例1：化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线。
（1）3521x t y t =-⎧⎨=-+⎩（t 是参数） （2）222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 是参数，p 是正常数）（3）1212a x t t b y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（a 、b 为正常数，t 为参数）（4）[)2sin ,0,2cos x y θθπθ=⎧∈⎨=⎩注：①参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：（1） 代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数（2） 三角法：利用三角恒等式消去参数（3） 整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。
②化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围。
例2 、已知直线过点),(00y x P ，且倾斜角为α()2πα≠，写出直线的普通方程，并选择适当的参数将它化为参数方程。
例3、选择适当的参数，将圆的方程222()()x a y b r -+-=化为参数方程。