2021届高考数学(理)二轮总复习学案：层级二 专题七 第一讲 极坐标与参数方程
高考数学二轮复习极坐标与参数方程学案(含解析)
高考数学二轮复习极坐标与参数方程学案（含解析）考向一：极坐标方程极坐标一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝□01ρcos θ，y ＝□02ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝□03x 2＋y 2，tan θ＝□04y x x ≠0.1、［2016•全国Ⅱ，23］在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 解法二：将l 的参数方程代入C 的方程得于是t 1＋t 2＝－12cos α，t 1t 2＝11. |AB |＝|t 1－t 2|＝144cos 2α－44由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 条件探究：若直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，l 与C 交于M ，N 两点，求△CMN 的面积．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋ρ＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝圆C 的半径为5，△CMN 的面积为.2、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，(2,)4B π，(2,)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||3OP =，求P 的极坐标．【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． （2）π3,6⎛⎫ ⎪⎝⎭或π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或2π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或5π3,6⎛⎫⎪⎝⎭． 【解析】（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以的极坐标方程为，的极坐标方程为（21）知综上，P 3、［2017•全国Ⅱ，22］在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．解 (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.4、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，Ol P ．（1l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．【答案】（1l（2【解析】（1Cl上除P所以，l（2因为P在线段OM所以，P考向二：参数方程1、［2017•全国Ⅰ，22］在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3，0)，（－2125，2425）.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117.由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.2、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 110ρθρθ++=． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】（1）221(1)4y x x +=≠-；l 的直角坐标方程为23110x y ++=；（2）7． 【解析】（1）解法一：，221111t t --<≤+， ，，，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-. 解法二:因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+， 所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-． l 的直角坐标方程为23110x y ++=．（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）．C 上的点到l 的距离为π4cos 11|2cos 23sin 11|377ααα⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭=．当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7．3、［2018•全国Ⅲ，22］在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．解：(1)解析一：⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当21＋k2<1，解得k <－1或k >1，即α∈（π4，π2）或α∈（π2，3π4）.综上α的取值范围是（π4，3π4）.解析二：设l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin αt 为参数，代入⊙O 的直角坐标方程得t 2－22t sin α＋1＝0. 直线l 与⊙O 交于A ，B 两点，所以，，α的取值范围是（π4，3π4）.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin αt 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin2α，y ＝－22－22cos2αα为参数，π4<α<3π4. 条件探究：点(0，－2)，过点M 的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点，若，求直线l 的方程。
【步步高】2021届高考数学总温习 坐标系与参数方程学案 理 北师大版(1)
学案75 坐标系与参数方程导学目标：1.了解坐标系的有关概念，明白得简单图形的极坐标方程.2.会进行极坐标方程与直角坐标方程的互化.3.明白得直线、圆及椭圆的参数方程，会进行参数方程与一般方程的互化，并能进行简单应用．自主梳理1．极坐标系的概念在平面上取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做________；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，如此就成立了一个____________．设M 是平面上任一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的________，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的__________，记作(ρ，θ)．2．极坐标和直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y)，极坐标为(ρ，θ)，那么它们之间的关系为x ＝__________，y ＝__________.另一种关系为：ρ2＝__________，tan θ＝______________.3．简单曲线的极坐标方程(1)一样地，若是一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程φ(ρ，θ)＝0，而且坐标适合方程φ(ρ，θ)＝0的点都在曲线上，那么方程φ(ρ，θ)＝0叫做曲线的____________．(2)常见曲线的极坐标方程 ①圆的极坐标方程____________表示圆心在(r,0)半径为|r|的圆； ____________表示圆心在(r ，π2)半径为|r|的圆；________表示圆心在极点，半径为|r|的圆． ②直线的极坐标方程____________表示过极点且与极轴成α角的直线； ____________表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ____________表示过(b ，π2)且平行于极轴的直线；ρsin (θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)表示过(ρ0，θ0)且与极轴成α角的直线方程． 4．常见曲线的参数方程(1)直线的参数方程假设直线过(x 0，y 0)，α为直线的倾斜角，那么直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋l cos α，y ＝y 0＋l sin α.这是直线的参数方程，其中参数l 有明显的几何意义．(2)圆的参数方程假设圆心在点M(a ，b)，半径为R ，那么圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，0≤α<2π.(3)椭圆的参数方程中心在座标原点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)．(4)抛物线的参数方程抛物线y 2＝2px(p>0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt.自我检测1．(2020·北京)极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( )A ．两个圆B ．两条直线C ．一个圆和一条射线D ．一条直线和一条射线2．(2020·湖南)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形别离是( )A ．圆、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．直线、直线3．(2020·重庆)直线y ＝33x ＋2与圆心为D 的圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ∈[0,2π))交于A 、B 两点，那么直线AD 与BD 的倾斜角之和为( )A .76πB .54πC .43πD .53π 4．(2020·广州一模)在极坐标系中，直线ρsin (θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．5．(2020·陕西)已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，那么直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________________.探讨点一 求曲线的极坐标方程例1 在极坐标系中，以(a 2，π2)为圆心，a2为半径的圆的方程为________．变式迁移1 如图，求通过点A(a,0)(a>0)，且与极轴垂直的直线l 的极坐标方程． 探讨点二 极坐标方程与直角坐标方程的互化例2 (2020·辽宁)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴成立坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M 、N 别离为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．变式迁移2 (2020·东北三校第一次联考)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin (θ－π4)＝22，(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 探讨点三 参数方程与一般方程的互化 例3 将以下参数方程化为一般方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3k1＋k 2y ＝6k 21＋k2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θy ＝sin θ＋cos θ；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t 2y ＝t 1＋t2.变式迁移3 化以下参数方程为一般方程，并作出曲线的草图．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2θy ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1ty ＝1tt 2－1(t 为参数)．探讨点四 参数方程与极坐标的综合应用例4 求圆ρ＝3cos θ被直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2ty ＝1＋4t (t 是参数)截得的弦长．变式迁移4 (2020·课标全国)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α.(α为参数)M 是C 1上的动点，P 点知足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB|.本节内容要注意以下两点：一、简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中ρ和θ的具体含义求出，也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化得出．同直角坐标方程一样，由于建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同．在没有充分明白得极坐标的前提下，可先化成直角坐标解决问题．二、在一般方程中，有些F(x ，y)＝0不易患到，这时可借助于一个中间变量(即参数)来找到变量x ，y 之间的关系．同时，在直角坐标系中，很多比较复杂的计算(如圆锥曲线)，假设借助于参数方程来解决，将会大大简化计算量．将曲线的参数方程化为一般方程的关键是消去其中的参数，现在要注意其中的x ，y(它们都是参数的函数)的取值范围，也即在消去参数的进程中必然要注意一般方程与参数方程的等价性．参数方程化一般方程经常使用的消参技术有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元等．同极坐标方程一样，在没有充分明白得参数方程的前提下，可先化成直角坐标方程再去解决相关问题． (总分值：75分)一、选择题(每题5分，共25分)1．在极坐标系中，与点(3，－π3)关于极轴所在直线对称的点的极坐标是( )A ．(3，23π)B ．(3，π3)C ．(3，43π)D ．(3，56π)2．曲线的极坐标方程为ρ＝2cos 2θ2－1的直角坐标方程为( )A ．x 2＋(y －12)2＝14B ．(x －12)2＋y 2＝14C ．x 2＋y 2＝14D ．x 2＋y 2＝13．(2020·湛江模拟)在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点(4，π6)作曲线C 的切线，那么切线长为( )A ．4B .7C ．2 2D ．234．(2020·佛山模拟)已知动圆方程x 2＋y 2－x sin 2θ＋22·y sin (θ＋π4)＝0(θ为参数)，那么圆心的轨迹是( )A ．椭圆B ．椭圆的一部份C ．抛物线D ．抛物线的一部份5．(2020·安徽)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，那么曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题(每题4分，共12分)6．(2020·天津)已知圆C 的圆心是直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋t(t 为参数)与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，那么圆C 的方程为________．7．(2020·广东)已知两曲线参数方程别离为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R )，它们的交点坐标为________．8．(2020·广东深圳高级中学一模)在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)，假设以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，那么圆C 的极坐标方程为________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2020·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右核心，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t(t 为参数)平行的直线的一般方程． 10．(12分)(2020·福建)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .假设点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |.11．(14分)(2020·课标全国)已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α转变时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．学案75 坐标系与参数方程 自主梳理1．极轴 极坐标系 极径 极角 极坐标 2.ρcos θ ρsin θx 2＋y 2y x(x≠0) 3.(1)极坐标方程(2)①ρ＝2r cos θ ρ＝2r sin θ ρ＝r ②θ＝α(ρ∈R ) ρcos θ＝a ρsin θ＝b自我检测 1．C 2.A 3.C 4．435．(－1,1)，(1,1) 解析 ∵y ＝ρsin θ，∴直线l 的直角坐标方程为y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α得x 2＋(y －1)2＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1，x 2＋y －12＝1得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴直线l 与圆C 的交点的直角坐标为(－1,1)和(1,1)． 课堂活动区例1 解题导引 求曲线的极坐标方程的步骤：①成立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；②由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；③将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线上的极坐标方程；④证明所得方程确实是曲线的极坐标方程，假设方程的推导进程正确，化简进程都是同解变形，这一证明能够省略．答案 ρ＝a sin θ，0≤θ<π解析 圆的直径为a ，设圆心为C ，在圆上任取一点A (ρ，θ)， 则∠AOC ＝π2－θ或θ－π2，即∠AOC ＝|θ－π2|.又ρ＝a cos ∠AOC ＝a cos|θ－π2|＝a sin θ.∴圆的方程是ρ＝a sin θ，0≤θ<π.变式迁移1 解 设P (ρ，θ)是直线l 上任意一点，OP cos θ＝OA ， 即ρcos θ＝a ，故所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝a .例2 解题导引 直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程那么相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是经常使用的变形方式．但对方程进行变形时，方程必需同解，因此应注意对变形进程的查验．解 (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2，当θ＝0时，ρ＝2，因此M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，因此N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)．N 点的直角坐标为(0，233)．因此P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233，π6，因此直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．变式迁移2 解 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0.直线l ：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，那么直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1， 即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为(1，π2)．例3 解题导引 参数方程通过消去参数化为一般方程．关于(1)直接消去参数k 有困难，可通过两式相除，先降低k 的次数，再运用代入法消去k ；关于(2)可运用恒等式(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ消去θ；关于(3)可运用恒等式(1－t 21＋t 2)2＋(2t1＋t2)2＝1消去t . 另外，参数方程化为一般方程时，不仅要消去参数，还应注意一般方程与原参数方程的取值范围维持一致．解 (1)两式相除，得k ＝y 2x .将k ＝y2x代入，得x ＝3·y2x1＋y2x2.化简，得所求的一般方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]，得所求的一般方程是y 2＝2－x ，x ∈[0,2]． (3)由(1－t 21＋t 2)2＋(2t1＋t 2)2＝1， 得x 2＋4y 2＝1. 又x ＝1－t 21＋t 2≠－1，得所求的一般方程是x 2＋4y 2＝1(x ≠－1)．变式迁移3 解 (1)由y 2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1＋2x ， 得y 2＝2x ＋1.∵－12≤12sin 2θ≤12，∴－12≤x ≤12.∵－2≤sin θ＋cos θ≤2，∴－2≤y ≤2.故所求一般方程为y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12 (－12≤x ≤12，－2≤y ≤2)，图形为抛物线的一部份．图形如图甲所示．(2)由x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t t 2－12＝1及x ＝1t ≠0，xy ＝t 2－1t 2≥0知，所求轨迹为两段圆弧x 2＋y 2＝1 (0<x ≤1,0≤y <1或－1≤x <0，－1<y ≤0)．图形如图乙所示．例4 解题导引 一样将参数方程化为一般方程，极坐标方程化成直角坐标方程解决． 解 将极坐标方程转化成直角坐标方程：ρ＝3cos θ即：x 2＋y 2＝3x ，即(x －32)2＋y 2＝94.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2ty ＝1＋4t即：2x －y －3＝0.因此圆心到直线的距离d ＝|2×32－0－3|22＋－12＝0， 即直线通过圆心， 因此圆被直线截得的弦长为3.变式迁移4 解 (1)设P (x ，y )，那么由条件知M (x 2，y2)． 由于M 点在C 1上， 因此⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数) (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3， 射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3. 因此|AB |＝|ρ2－ρ1|＝23. 课后练习区1．B [由于极径不变，极角关于极轴对称，∴其对称点为(3，π3)．应选B.] 2．B [∵ρ＝2cos 2θ2－1，∴ρ2＝ρcos θ即x 2＋y 2＝x ，∴(x －12)2＋y 2＝14.]3．C [ρ＝4sin θ化为一般方程为x 2＋(y －2)2＝4，点(4，π6)化为直角坐标为(23，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径组成直角三角形，由勾股定理：切线长为232＋2－22－22＝22，应选C.] 4．D [圆心轨迹的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2θ，y ＝－2sin θ＋π4， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin θcos θ，y ＝－sin θ＋cos θ， 消去参数得y 2＝1＋2x (－12≤x ≤12)，应选D.] 5．B [∵曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)， ∴(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，而l 为x －3y ＋2＝0，∴圆心(2，－1)到l 的距离d ＝|2＋3＋2|1＋9＝710＝71010.又∵71010<3，141010>3，∴有2个点．] 6．(x ＋1)2＋y 2＝2 解析 直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝1＋t(t 为参数)与x 轴的交点为(－1,0)，故圆C 的圆心为(－1,0)．又圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，∴圆C 的半径为r ＝|－1＋0＋3|2＝2，∴圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. 7．(1，255) 解析 将两曲线的参数方程化为一样方程别离为x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1，－5<x ≤5)和y 2＝45x ，联立解得交点坐标为(1，255)． 8．ρ＝4sin θ 解析 由参数方程消去α得圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝4，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，整理得ρ＝4sin θ.9．解 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，因此右核心为(4,0)．将已知直线的参数方程化为一般方程：x －2y ＋2＝0.(6分)故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，(8分) 即x －2y －4＝0.(12分)10．解 方式一 (1)ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0， 即x 2＋(y －5)2＝5.(4分) (2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(3－22t )2＋(22t )2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.(6分)由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，因此⎩⎪⎨⎪⎧ t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝32.(12分) 方式二 (1)同方式一．(2)因为圆C 的圆心为点(0，5)，半径r ＝5，直线l 的一般方程为y ＝－x ＋3＋ 5.(8分) 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y －52＝5，y ＝－x ＋3＋5得x 2－3x ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2＋5或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1＋ 5.(10分) 不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)，又点P 的坐标为(3，5)，故|PA |＋|PB |＝8＋2＝3 2.(12分) 11．解 (1)当α＝π3时，C 1的一般方程为y ＝3(x －1)，C 2的一般方程为x 2＋y 2＝1，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －1，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标为(1,0)，(12，－32)．(7分) (2)C 1的一般方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)， 故当α转变时，P 点轨迹的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)．(9分)P 点轨迹的一般方程为(x －14)2＋y 2＝116.(12分) 故P 点轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆． (14分)。
全国高考数学二轮复习专题七系列4选讲第1讲坐标系与参数方程课件文
(2)求直线l上的点到点M距离最小时的点的直角坐标.
解答
热点三 极坐标、参数方程的综合应用
解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与 参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关 的问题，如最值、范围等.
例 3 (2018·泉州质检)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
板块三 专题突破 核心考点
专题七 系列4选讲
第1讲 坐标系与参数方程
[考情考向分析]
高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标 方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数 方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要 考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识.
解答
真题押题精练
真题体验 1.(2018·全 国 Ⅱ) 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C 的 参 数 方 程 为
x＝2cos θ， y＝4sin θ
(θ
为参数)，直线
l
的参数方程为xy＝ ＝12＋ ＋ttcsions
α， α
(t 为
参数).
(1)求C和l的直角坐标方程； 解 曲线 C 的直角坐标方程为x42＋1y62 ＝1.
的圆的参数方程为xy＝ ＝xy00＋ ＋rrcsions
θ， θ
(θ 为
参数).
3.圆锥曲线的参数方程
(1)椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的参数方程为xy＝＝abcsions
θ， θ
(θ 为参数).
(2)抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程为xy＝＝22pptt2， (t 为参数).
当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，
高考复习极坐标与参数方程-导学案(教师版)
极坐标与参数方程环节１ 明晰高考要求高考对极坐标与参数方程考查主要突出其工具性的作用,突出极坐标以及参数方程的几何用法,考查学生能根据实际问题的几何背景选择恰当的方法解决问题的能力,命题考查形式以极坐标与直角坐标的互化，参数方程的消参以及极坐标的几何意义与参数方程的参数的几何意义的综合应用。
主要考查四类题型：① 极坐标系中,极坐标的几何意义的应用真题示例题１ (２01７年全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.(1) M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上,且满足16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程; (2） 设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭,点B 在曲线2C 上,求OAB ∆面积的最大值. 【解析】(１)设()00,M ρθ,(),P ρθ，则0OM ρ=,OP ρ=，依题意016ρρ=，00cos 4ρθ=,0θθ=, 解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为()2224x y -+=()0x ≠.常规方法：曲线1C :4x =,设(),P x y ,()4,M t ，则4tx y =16=, 将224x y x +=(0x ≠),即点P 的轨迹2C 的直角坐标方程为()2224x y -+=()0x ≠．（2）连接2AC ,易知2AOC ∆为正三角形,OA 为定值. 所以当边AO 上的高最大时,AOB S △面积最大,如图，过圆心2C 作AO 垂线,交AO 于H 点,交圆C 于B 点,此时AOB S △最大max 12S AO HB =⋅()12AO HC BC =+2= 别解：设(),B ρθ(0ρ>),由题意知2OA =,4cos ρθ=,所以OAB ∆的面积1sin 2S OA AOB ρ=⋅∠4cos sin 3πθθ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭2sin 223πθ⎛⎫=-≤+ ⎪⎝⎭当12πθ=-时,S取得最大值2, 所以OAB ∆面积的最大值为2+．题2 (２０15年课标Ⅱ文理）选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1C ：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩，(t 是参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2C :2sin ρθ=，3C:ρθ=． (Ⅰ) 求2C 与3C 的交点的直角坐标；(Ⅱ) 若1C 与2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ，求AB 的最大值.【解析】(Ⅰ)曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=,曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=.联立222220x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以2C 与3C 的交点的直角坐标为()0,0和322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. (Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为θα=（ρ∈R ，0ρ≠）,其中0απ≤<. 因为A 的极坐标为()2sin ,αα,B的极坐标为(),αα,所以2sin 4sin 3AB πααα⎛⎫=-=-⎪⎝⎭,当56πα=时,AB 取得最大值,且最大值为4． ② 直角坐标系中，曲线参数方程的直接应用真题示例题1 (2０１7年全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l 的参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩ (t 为参数）.(1） 若1a =-,求C 与l 的交点坐标；（2） 若C 上的点到l求a .【解析】（１)1a =-时，直线l 的方程为430x y +-=,曲线C 的标准方程是2219x y +=, 联立方程2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则C 与l 交点坐标是()3,0和2124,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭． （２）直线l 一般式方程是440x y a +--=,设曲线C 上点()3cos ,sin P θθ， 则P 到l距离d ==，其中3tan 4ϕ=. 当40a +≥即4a ≥-时,max d ==即917a +=,解得8a =． 当40a +<即4a <-时,maxd ==解得16a =-． 综上,16a =-或8a =．题2 (2017年江苏）在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参考方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数),曲线C 的参数方程为22x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值.【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=，因为P 在曲线C上，设()22,P s ,故点P 到直线l 的距离224s d -+==,当s=,min 5d =， 因此当P 的坐标为()4,4时,曲线C 上的点P 到直线l 的距离取得最小值5. ③ 直角坐标系中，直线参数方程的参数t 几何意义的应用真题示例题１ 【2018全国二卷２2】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数)，直线的参数方程为(为参数). （1)求和的直角坐标方程；(2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率.(1)曲线C 的直角坐标方程为116422=+y x ． 当时,的直角坐标方程为, 当时，的直角坐标方程为．(2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程.①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，,则．又由①得ααα221cos 31)sin cos 2(4++-=+t t ,故, 于是直线的斜率xOy C 2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，θl 1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，t C l C l (1,2)l cos 0α≠l tan 2tan y x αα=⋅+-cos 0α=l 1x =l C t 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=C l (1,2)C 1t 2t 120t t +=2cos sin 0αα+=l tan 2k α==-题2【20１8全国三卷22】在平面直角坐标系中,的参数方程为（为参数）,过点且倾斜角为的直线与交于两点．（１）求的取值范围;(2)求中点的轨迹的参数方程. (1)的直角坐标方程为．当时，与交于两点. 当时，记,则的方程为与交于两点当且仅当,解得或，即或． 综上，的取值范围是. （2)的参数方程为为参数，.设，,对应的参数分别为，,，则,且,满足. 于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，. ④ 通过互化或消参呈现几何背景，利用相关的几何法解决真题示例题5 【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程；xOy O ⊙cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，θ(0，αl O ⊙A B ，αAB P O 221x y +=2απ=l O 2απ≠tan k α=l y kx =lO ||1<1k <-1k >(,)42αππ∈(,)24απ3π∈α(,)44π3πl cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩44απ3π<<)A B P A t B t P t 2A BP t t t +=A tB t 2sin 10t α-+=A B t t α+=P t α=P (,)x y cos ,sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩P 2,2cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α44απ3π<<)(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点,求1C 的方程.（1)由cos x ρθ=,sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=.（２)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -,半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l .由于B 在圆2C 的外面,故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点,或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=,故43k =-或0k =．经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当43k =-时,1l 与2C 只有一个公共点,2l 与2C 有两个公共点． 当2l 与2C 只有一个公共点时,A 到2l 所在直线的距离为22=,故0k =或43k =.经检验，当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当43k =时,2l 与2C 没有公共点． 综上,所求1C 的方程为4||23y x =-+． 题6 (2017年深圳二模）已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆Ｃ的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=.(1）求圆心C 的直角坐标;（2)由直线l 上的点向圆C 引切线,求切线长的最小值． 解析:(I ）θθρsin 2cos 2-= ,θρθρρsin 2cos 22-=∴, …………(2分) 02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆， …………（3分）即1)22()22(22=++-y x ,)22,22(-∴圆心直角坐标为．…………(５分） (II ）方法１:直线l 上的点向圆C 引切线长是6224)4(4081)242222()2222(2222≥++=++=-+++-t t t t t , …………(８分) ∴直线l 上的点向圆Ｃ引的切线长的最小值是62 …………(１0分)方法2：024=+-∴y x l 的普通方程为直线, …………(８分）圆心Ｃ到l 直线距离是52|242222|=++，∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=-环节2 问题自主解决 1回归教材题组１ 人教A 版选修4－4 P12 课本习题编选：题1 在极坐标系中,132511(4,),(4,),(4,),(4,)6666ππππ-表示的点有什么关系？你是如何刻画这些点的位置的？题２已知点的极坐标分别为2(3,),(2,),(4,),()4322ππππ，求它们的直角坐标题3已知点的直角坐标分别为7),(,0),(2,2--,求它们的极坐标 问题自主探索：① 极坐标与直角坐标之间的区别与联系是什么? ② 极坐标的几何意义是什么?题组2人教A 版选修4-4 P15 课本习题编选：题1 说明下列极坐标方程表示什么曲线？ (1)5ρ= （2)5()6R πθρ=∈ （３）2sin ρθ=（４）sin()124πρθ-= （５)2sin cos ρθθ= （6）2cos 24ρθ= 题２ 将下列直角坐标方程化成极坐标方程(1）4x = (2）2320x y +-= （3）22(1)(4x y -+= （4）22148x y += 题3 在极坐标系中，求适合下列条件的曲线的极坐标方程（1）过极点,倾斜角是3π的直线 (2)圆心在(1,)4π，半径为1的圆(3)过点(2,)3π，且和极轴垂直的直线 (4）过点)4π，且与2320x y +-=垂直的直线题4 设点P 的极坐标为11(,)ρθ,直线l 过点P 且与极轴所成的角为α，求直线l 的极坐标方程题 5 已知椭圆的中心为O ,长轴、短轴的长分别2,2(0)a b a b >>,,A B 分别为椭圆上的两点，并且OA OB ⊥,求证：2211OAOB+为定值问题自主探索:① 实现曲线极坐标方程与直角坐标方程互化的桥梁是什么？② 求解曲线极坐标方程,你是怎么处理的?它跟直角坐标求点轨迹方程的思路一样吗? ③ 极坐标的几何意义是如何应用的?题组3 人教A 版选修４-４ Ｐ２5-３4 课本例题编选 题１把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线(1）11x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩t 为参数) （２） sin cos 1sin 2x y θθθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）题2把下列普通方程化为参数方程，并说明它们各表示什么曲线(１）22(1)(2)4x y -+-= （2)221169x y +=题3 在椭圆22194x y +=上求一点M ,使点M 到2100x y +-=的距离最小,并求出最小距离。
高考数学(理科)二轮专题复习课标通用版 专题7 选考部分第1部分 专题7 第1讲
第一部分 专题7 第1讲题型对应题号 1.极坐标与曲线的极坐标方程 2,3 2.参数方程的有关问题 1,5 3.极坐标方程与参数方程的综合应用4,6,7基础热身(建议用时：40分钟)1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2消去t 得l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设点P (2s 2,22s )，则点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|5＝2(s －2)2＋45，所以当s ＝2时，d 有最小值45＝455.2．以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程． 解析 (1)因为ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，ρ＝21－sin θ可化为ρ－ρsin θ＝2，所以曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4.(2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )， 根据题意，不妨设P (θ0，ρ0)，则Q (θ0＋π，ρ1)， 且ρ0＝3ρ1，即21－sin θ0＝3·21－sin (θ0＋π)，解得θ0＝π6或θ0＝5π6.所以直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π6(ρ∈R )．3．(2019·广东广州调研)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝23cos θ＋2sin θ，直线l 1：θ＝π6(ρ∈R )，直线l 2：θ＝π3(ρ∈R )．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．(1)求直线l 1，l 2的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程；(2)若直线l 1与曲线C 交于O ，A 两点，直线l 2与曲线C 交于O ，B 两点，求△AOB 的面积．解析 (1)依题意，直线l 1的直角坐标方程为y ＝33x ，直线l 2的直角坐标方程为y ＝3x . 由ρ＝23cos θ＋2sin θ得ρ2＝23ρcos θ＋2ρsin θ， 因为ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， 所以(x －3)2＋(y －1)2＝4，所以曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)．(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π6，ρ＝23cos θ＋2sin θ，所以|OA |＝4.同理，|OB |＝2 3.又∠AOB ＝π6，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝12×4×23×12＝23，即△AOB 的面积为2 3.4．(2019·河南洛阳模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝m ＋t (t 为参数，m ∈R )，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝33－2cos 2θ(0≤θ≤π)．(1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知点P 是曲线C 2上一点，若点P 到曲线C 1的最小距离为22，求m 的值． 解析 (1)由曲线C 1的参数方程消去参数t ，可得C 1的普通方程为x －y ＋m ＝0. 由曲线C 2的极坐标方程得3ρ2－2ρ2cos 2θ＝3，θ∈[0，π]， 所以曲线C 2的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1(0≤y ≤1)．(2)设曲线C 2上任意一点P 的坐标为(3cos α，sin α)，α∈[0，π]，则点P 到曲线C 1的距离d ＝|3cos α－sin α＋m |2＝⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋m 2.因为α∈[0，π]，所以α＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈⎣⎡⎦⎤－1，32，2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈[－2，3]．因为点P 到曲线C 1的最小距离为22， 所以若m ＋3＜0，则m ＋3＝－4，即m ＝－4－3； 若m －2＞0，则m －2＝4，即m ＝6；若m －2≤0，m ＋3≥0，即－3≤m ≤2时，d min ＝0，不合题意，舍去．综上，m ＝－4－3或m ＝6.5．(2019·河北石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝4，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2－t ，y ＝33＋3t (t 为参数)，若将曲线C 1上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍得曲线C 2.(1)写出曲线C 2的参数方程；(2)设点P (－2,33)，直线l 与曲线C 2的两个交点分别为A ，B ，求1|P A |＋1|PB |的值．解析 (1)若将曲线C 1上的点的纵坐标变为原来的32倍，则曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫23y 2＝4，整理得x 42＋y 92＝1， 所以曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(2)将直线l 的参数方程化为标准形式为⎩⎨⎧x ＝－2－12t ′，y ＝33＋32t ′(t ′为参数)，将参数方程代入x 42＋y92＝1得⎝⎛⎭⎫－2－12t ′24＋⎝⎛⎭⎫33＋32t ′29＝1，整理得74(t ′)2＋18t ′＋36＝0，设点A 对应的参数为t ′1，点B 对应的参数为t ′2，则t ′1＋t ′2＝－727，t ′1t ′2＝1447，所以t ′1与t ′2都小于0，所以|P A |＋|PB |＝|t ′1＋t ′2|＝727，|P A ||PB |＝t ′1t ′2＝1447，所以1|P A |＋1|PB |＝|P A |＋|PB ||P A ||PB |＝7271447＝12.能力提升(建议用时：25分钟)6．(2019·湖南岳阳模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1－t sin α(t 为参数，0<α<π)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，且两种坐标系取相同的长度单位，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θcos 2θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，若|AB |≥16，求角α的取值范围．解析 (1)因为ρ＝4sin θcos 2θ，所以ρcos 2θ＝4sin θ，所以ρ2cos 2θ＝4ρsin θ，即x 2＝4y ，故曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y .(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 中得t 2cos 2α＝4(1－t sin α)，所以cos 2α·t 2＋4sin α·t －4＝0，由题意知cos α≠0，设点A 对应的参数为t 1，点B 对应的参数为t 2，所以⎩⎨⎧Δ＝16sin 2α＋16cos 2α＝16，t 1＋t 2＝－4sin αcos 2α，t 1t 2＝－4cos 2α，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝16sin 2αcos 4α＋16cos 2α＝4cos 2α≥16， 所以cos 2α≤14，所以－12≤cos α≤12且cos α≠0，又0<α<π，所以π3≤α≤2π3且α≠π2，故角α的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪π3≤α<π2或π2<α≤2π3. 7．(2020·广东七校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋a cos φ，y ＝a sin φ(φ为参数，实数a ＞0)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝b ＋b sin φ(φ为参数，实数b ＞0)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α⎝⎛⎭⎫ρ≥0，0≤α≤π2与C 1交于O ，A 两点，与C 2交于O ，B 两点．当α＝0时，|OA |＝1；当α＝π2时，|OB |＝2.(1)求a ，b 的值；(2)求2|OA |2＋|OA |·|OB |的最大值．解析 (1)将C 1的参数方程化成普通方程为(x －a )2＋y 2＝a 2，其极坐标方程为ρ1＝2a cos θ， 由题意可得，当θ＝α＝0时，|OA |＝2a ＝1，所以a ＝12.将C 2的参数方程化成普通方程为x 2＋(y －b )2＝b 2，其极坐标方程为ρ2＝2b sin θ， 由题意可得，当θ＝α＝π2时，|OB |＝2b ＝2，所以b ＝1.(2)由(1)可得C 1，C 2的方程分别为ρ1＝cos θ，ρ2＝2sin θ，所以2|OA |2＋|OA |·|OB |＝2cos 2θ＋2sin θcos θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＋1.因为θ＝α，0≤α≤π2，所以0≤θ≤π2，所以2θ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＋1取得最大值，为 2＋1.。
高考数学二轮复习分层讲义(基础)：极坐标与参数方程
目录目录 (1)一、总论 (2)二、考纲解读 (2)三、命题趋势探究 (2)四、知识讲解 (3)1.极坐标系 (3)2.极坐标与直角坐标的互化 (3)3.极坐标的几何意义 (3)4.直线的参数方程 (4)5.圆的参数方程 (4)6.椭圆的参数方程 (5)7.双曲线的参数方程 (5)8.抛物线的参数方程 (5)五、解答题题型归纳 (5)核心考点1: 参数方程与普通方程、极坐标系与直角坐标系的互化 (5)核心考点2: 参数方程中参数的几何意义 (9)一、总论坐标系与参数方程它以函数、方程等知识点为载体，渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现参数的几何意义问题，其形式逐渐多样化，但只要知其本质，便可举一反三，金枪不倒.二、考纲解读1.理解坐标系的作用.2.了解在直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3.能在极坐标中用极坐标表示点的位置.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.5.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中的点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置方法相比较，了解它们的区别.6.了解参数方程,了解参数的意义.7.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.8.掌握参数方程化普通方程的方法.三、命题趋势探究本章是新课标新增内容，属选考内容，在高考中可能有所体现.参数方程是解析几何、平面向量、三角函数、圆锥曲线与方程等知识的综合应用和进一步深化，是研究曲线的工具之一，值得特别关注.四、知识讲解 1.极坐标系在平面上取一个定点O ，由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O 称为极点，Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图1和图2所示).这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角.2.极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩或222tan(0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩ （对0ρ<也成立）. 3.极坐标的几何意义r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆；0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线；2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆.图 1图 2(可化直角坐标: 22cos a ρρθ=222x y ax ⇒+=222()x a y a ⇒-+=.)4.直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程:00sin ()()cos 2y y x x απαα-=-≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩ ,2πα=也成立，故直线的参数方程为00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数，α为倾斜角，直线上定点000(,)M x y ，动点(,)M x y ，t 为0M M u u u u u u r 的数量，向上向右为正(如图3所示).5.圆的参数方程若圆心为点00(,)M x y ，半径为r ，则圆的参数方程为00cos (02)sin x x r y y r θθπθ=+⎧≤≤⎨=+⎩.图 36.椭圆的参数方程椭圆2222C :1x y a b +=的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，(02)θπ≤≤）.7.双曲线的参数方程双曲线2222C :1x y a b -=的参数方程为sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩(,)2k k πθπ≠+∈Z . 8.抛物线的参数方程抛物线22y px =的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数，参数t 的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）.五、解答题题型归纳核心考点1: 参数方程与普通方程、极坐标系与直角坐标系的互化 1.⊙1O 和⊙2O 的极坐标方程分别为4cos ρθ=,4sin ρθ=-. (1)把⊙1O 和⊙2O 的极坐标方程分别化为直角坐方程; (2)求经过⊙1O 和⊙2O 交点的直线的直角坐标方程.解析 （1）圆1O ：4cos ρθ= ⇒ 24cos ρρθ=⇒224x y x +=，得()2224x y x -+=， 圆2O ：4sin ρθ=-⇒24sin ρρθ=-⇒224x y y +=-，得()2224x y ++=。
极坐标与参数方程复习课件
摆线的极坐标方程是ρ=a(1-cosθ)，其中ρ表示点到原点的距离，θ表示点与x轴的夹角，a表示摆线的 半径。通过这个方程，我们可以方便地计算摆线的长度和面积。
实例三：磁场线的参数方程
总结词
磁场线的参数方程表示
详细描述
磁场线的参数方程通常由两个参数构 成，例如时间和角度。参数方程可以 描述磁场线在任意时刻的位置和方向 ，从而方便地计算磁场线的长度和面 积。
极坐标与参数方程的转换关系
极坐标与直角坐标转换
极坐标系中的点可以用直角坐标系中的坐标表示，反之亦然。具体转换公式为 ：$x = rho cos theta, y = rho sin theta, x^2 + y^2 = rho^2$。
参数方程与直角坐标转换
参数方程中的点也可以用直角坐标系中的坐标表示，具体转换公式取决于参数 方程的形式。
05
极坐标与参数方程的习题及解析
习题一：求圆的极坐标方程
总结词
理解并掌握圆的极坐标方程的推 导方法
详细描述
通过给定的圆心和半径，利用极 坐标与直角坐标方程
80%
总结词
掌握参数方程转换为普通方程的 方法
100%
详细描述
通过消去参数，将参数方程转化 为普通方程，以便更好地理解曲 线的几何意义。
极坐标与直角坐标的关系
对于平面内任意一点P，其直角坐标为(x,y)，则其极坐标为(r,θ)， 其中r=√(x²+y²)，tanθ=y/x。
极坐标与直角坐标的转换
直角坐标转换为极坐标
已知点P的直角坐标为(x,y)，则其极 坐标为(r,θ)，其中r=√(x²+y²)， tanθ=y/x。
极坐标转换为直角坐标
2021届高考理数A版专题复习课件：专题17 坐标系与参数方程(共20张PPT)
考法2 直线与圆的极坐标方程的应用
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考点99 参数方程
❖考法3 参数方程与普通方程的互化 ❖考法4 直线与圆锥曲线的参数方程的应用
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考点99 参数方程
考法3 参数方程与普通方程的互化
参数方程与普通方程的互化有两种类型： 类型1 参数方程化为普通方程 基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等 式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元 法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元常用公式sin2θ＋cos2θ＝1等． 将曲线的参数方程化为普通方程时务必要注意x，y的取值范围，保证消参前后的方 程的一致性． 类型2 普通方程化为参数方程 (1)选择参数的一般原则 曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时， 可以唯一确定x，y的值． (2)具体思路 第一步，引入参数，但要选定合适的参数t； 第二步，先确定参数t与变量x或y的一个关系式x＝f(t)(或y＝φ(t))； 第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系 y＝g(t)(或x＝ψ(t))，问题即解．
【注意】将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中x，y的 取值范围的影响．
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考法3 参数方程与普通方程的互化 返回
考法4 直线与圆锥曲线的参数方程的应用
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考法4 直线与圆锥曲线的参数方程的应用
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700分综合 考点&考法
❖考点100 极坐标方程与参数方程的综 合应用
考法5 极坐标方程与参数方程的综合应用
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考法5 极坐标方程与参数方程的综合应用
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专题七 选修系列(4)第一讲 极坐标与参数方程1．(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t 2，y ＝4t 1＋t 2(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)求C 上的点到l 距离的最小值．解：(1)因为－1<1－t 21＋t 2≤1， 且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2(1＋t 2)2＝1， 所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(－1<x ≤1)， l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)，可设C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π<α<π)． C 上的点到l 的距离为 |2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋117. 当α＝－2π3时，4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7， 故C 上的点到l 距离的最小值为7.2．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于点B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，点A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，点A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1，与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 1，l 2与C 2均没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.3．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)．(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝2sin2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.明 考 情坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用，本部分内容在备考中应注意转化思想的应用，抓住知识，少做难题．考点一 曲线的极坐标方程|析典例|【例】 (2019·贵州贵阳适应性考试)过极点O 作圆C ：ρ＝8cos θ的弦ON .(1)求弦ON 的中点M 的轨迹E 的极坐标方程；(2)若P ，Q 分别是曲线C 和E 上两点，且OP ⊥OQ ，证明：|OP |264＋|OQ |216是定值．[解] (1)设M (ρ，θ)，N (ρ1，θ)，则ρ1＝2ρ.因为N (ρ1，θ)在圆ρ＝8cos θ上，所以ρ1＝8cos θ，即2ρ＝8cos θ.故弦ON 的中点M 的轨迹E 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.(2)证明：设点Q 的极坐标是(ρ2，θ)，则点P 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ3，θ±π2.因为ρ3＝8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ±π2＝∓8sin θ，ρ2＝4cos θ，所以|OP |264＋|OQ |216＝ρ2364＋ρ2216＝64sin 2θ64＋16cos 2θ16＝sin 2θ＋cos 2θ＝1，即|OP |264＋|OQ |216是定值.| 规 律 方 法 |求解与极坐标有关的应用问题的基本方法(1)直接法：直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用．(2)间接法：转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．|练题点|(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4,0)且与OM 垂直，垂足为P .(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 解：(1)因为M (ρ0，θ0)在曲线C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3.由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2.设Q (ρ，θ)为l 上除P 外的任意一点．在Rt △OPQ 中，ρcos θ－π3＝|OP |＝2.经检验，点P 2，π3在曲线ρcos θ－π3＝2上，所以，l 的极坐标方程为ρcos θ－π3＝2.(2)设P (ρ，θ )，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，所以θ的取值范围是所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈考点二 参数方程|析典例|【例】 (2019·广东广州花都区二模)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，曲线C 1：⎩⎨⎧ x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标缩短到原来的32倍，得到曲线C 2，设P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 距离的最小值．[解] (1)根据题意得直线l 的普通方程为y ＝3(x －1)，曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，由⎩⎨⎧ y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1， 解得l 与C 1的交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32， 故|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋322＝1. (2)由题意得，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12cos θ，y ＝32sin θ(θ为参数)，则点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ，32sin θ， 所以点P 到直线l 的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32cos θ－32sin θ－32＝64⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋2， 故当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－1时，d 取得最小值，最小值为23－64. | 规 律 方 法 |参数方程化为普通方程的方法及参数方程的应用(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．|练题点|(2019·豫南九校联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧ x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若|P A |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率．解：(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程是x 24＋y 2＝1.当α＝π3时，设点M 对应的参数为t 0，直线l 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t (t 为参数)，代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2.则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－313. (2)将⎩⎨⎧ x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0，因为|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7， 所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2α＝516. 由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0，故tan α＝54.所以直线l 的斜率为54.考点三 参数方程、极坐标的综合应用|析典例|【例】 (2019·河北六校联考)在直角坐标系xOy 中，点P (0，－1)，曲线C 1：⎩⎨⎧ x ＝t cos α，y ＝－1＋t sin α(t 为参数)，其中0≤α<π，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＋ρcos 2θ＝8sin θ.(1)若α＝π4，求C 1与C 2公共点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于不同的两点A ，B ，M 是线段AB 的中点，当|PM |＝409时，求sin α的值．[解] (1)若α＝π4，则曲线C 1的普通方程为y ＝x －1，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＝4y ，由⎩⎨⎧ y ＝x －1，x 2＝4y ，解得⎩⎨⎧ y ＝1，x ＝2.所以C 1与C 2公共点的直角坐标为(2,1)．(2)将C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－1＋t sin α代入x 2＝4y 得， (cos 2α)t 2－4(sin α)t ＋4＝0，由Δ＝16sin 2α－16cos 2α>0得，sin α>22.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝4sin αcos 2α，由|PM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝2sin αcos 2α＝409，得20sin 2α＋9sin α－20＝0，解得sin α＝45. | 规 律 方 法 |转化与化归思想在参数方程、极坐标问题中的运用在对坐标系与参数方程的考查中，灵活地利用转化与化归思想可以使问题得到简捷的解答．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解，充分体现了转化与化归的数学思想．|练题点|(2019·唐山模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. 解：(1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ.所以x 2＋y 2＝25y ，即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程．得⎝⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0. 由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧ t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4. 又直线l 过点P (3，5)，在圆C 外．故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.。