2021届高考数学(理)二轮总复习学案:层级二 专题七 第一讲 极坐标与参数方程
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专题七 选修系列(4)
第一讲 极坐标与参数方程
1.(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为?????
x =1-t 21+t 2,
y =4t 1+t 2(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为2ρcos θ+3ρsin θ+11=0.
(1)求C 和l 的直角坐标方程;
(2)求C 上的点到l 距离的最小值.
解:(1)因为-1<1-t 2
1+t 2
≤1, 且x 2
+? ????y 22=? ????1-t 21+t 22+4t 2(1+t 2)2=1, 所以C 的直角坐标方程为x 2
+y 24=1(-1 (2)由(1),可设C 的参数方程为 ??? x =cos α,y =2sin α (α为参数,-π<α<π). C 上的点到l 的距离为 |2cos α+23sin α+11|7=4cos ? ????α-π3+117 . 当α=-2π3时,4cos ? ?? ??α-π3+11取得最小值7, 故C 上的点到l 距离的最小值为7. 2.(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的方程为y =k |x |+2.以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0. (1)求C 2的直角坐标方程; (2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点,求C 1的方程. 解:(1)由x =ρcos θ,y =ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x +1)2+y 2=4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (-1,0),半径为2的圆. 由题设知,C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为l 1,y 轴左边的射线为l 2. 由于点B 在圆C 2的外面,故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点. 当l 1与C 2只有一个公共点时,点A 到l 1所在直线的距离为2,所以 |-k +2|k 2+1 =2,故k =-43或k =0. 经检验,当k =0时,l 1与C 2没有公共点; 当k =-43时,l 1与C 2只有一个公共点,l 2与C 2有两个公共点. 当l 2与C 2只有一个公共点时,点A 到l 2所在直线的距离为2,所以 |k +2|k 2+1=2,故k =0或k =43. 经检验,当k =0时,l 1,与C 2没有公共点; 当k =43时,l 1,l 2与C 2均没有公共点. 综上,所求C 1的方程为y =-43|x |+2. 3.(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ=4. (1)M 为曲线C 1上的动点,点P 在线段OM 上,且满足|OM |·|OP |=16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程; (2)设点A 的极坐标为? ?? ??2,π3,点B 在曲线C 2上,求△OAB 面积的最大值. 解:(1)设P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0). 由题设知|OP |=ρ,|OM |=ρ1=4cos θ. 由|OM |·|OP |=16得C 2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=4(x ≠0). (2)设点B 的极坐标为(ρB ,α)(ρB >0),由题设知|OA |=2,ρB =4cos α,于是△OAB 面积 S =12|OA |·ρB ·sin ∠AOB =4cos α·sin ? ?? ??α-π3 =2sin2α-π3-32≤2+ 3. 当α=-π12时,S 取得最大值2+ 3. 所以△OAB 面积的最大值为2+ 3. 明 考 情 坐标系与参数方程是高考的选考内容之一,高考考查的重点主要有两个方面:一是简单曲线的极坐标方程;二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用,本部分内容在备考中应注意转化思想的应用,抓住知识,少做难题. 考点一 曲线的极坐标方程 |析典例| 【例】 (2019·贵州贵阳适应性考试)过极点O 作圆C :ρ=8cos θ的弦ON . (1)求弦ON 的中点M 的轨迹E 的极坐标方程; (2)若P ,Q 分别是曲线C 和E 上两点,且OP ⊥OQ ,证明:|OP |264+|OQ |2 16是定值. [解] (1)设M (ρ,θ),N (ρ1,θ),则ρ1=2ρ. 因为N (ρ1,θ)在圆ρ=8cos θ上, 所以ρ1=8cos θ,即2ρ=8cos θ. 故弦ON 的中点M 的轨迹E 的极坐标方程是ρ=4cos θ. (2)证明:设点Q 的极坐标是(ρ2,θ), 则点P 的极坐标是? ?? ??ρ3,θ±π2. 因为ρ3=8cos ? ????θ±π2=?8sin θ,ρ2=4cos θ,所以|OP |264+|OQ |216=ρ2364+ρ2216=64sin 2θ64+16cos 2θ16=sin 2θ+cos 2θ=1,即|OP |264+|OQ |216是定值. | 规 律 方 法 | 求解与极坐标有关的应用问题的基本方法 (1)直接法:直接利用极坐标系求解,可与数形结合思想配合使用. (2)间接法:转化为直角坐标系,用直角坐标求解.若结果要求的是极坐标,还应将直角坐标化为极坐标. |练题点| (2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中,O 为极点,点M (ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C :ρ=4sin θ上,直线l 过点A (4,0)且与OM 垂直,垂足为P . (1)当θ0=π3时,求ρ0及l 的极坐标方程; (2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时,求P 点轨迹的极坐标方程. 解:(1)因为M (ρ0,θ0)在曲线C 上, 当θ0=π3时,ρ0=4sin π3=2 3. 由已知得|OP |=|OA |cos π3=2. 设Q (ρ,θ)为l 上除P 外的任意一点. 在Rt △OPQ 中,ρcos θ-π3=|OP |=2. 经检验,点P 2,π3在曲线ρcos θ-π3=2上, 所以,l 的极坐标方程为ρcos θ-π3=2. (2)设P (ρ,θ ),在Rt △OAP 中,|OP |=|OA |cos θ=4cos θ,即ρ=4cos θ. 因为P 在线段OM 上,且AP ⊥OM , 所以θ的取值范围是 所以,P 点轨迹的极坐标方程为ρ=4cos θ,θ∈ 考点二 参数方程 |析典例| 【例】 (2019·广东广州花都区二模)已知直线l :????? x =1+12t ,y =32t (t 为参数), 曲线C 1:? ?? x =cos θ,y =sin θ(θ为参数). (1)设l 与C 1相交于A ,B 两点,求|AB |; (2)若把曲线C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标缩短到原来的32倍, 得到曲线C 2,设P 是曲线C 2上的一个动点,求它到直线l 距离的最小值. [解] (1)根据题意得直线l 的普通方程为y =3(x -1),曲线C 1的普通方程为x 2+y 2=1, 由? ?? y =3(x -1),x 2+y 2=1, 解得l 与C 1的交点坐标分别为(1,0),? ????12 ,-32, 故|AB |=? ????1-122+? ?? ??0+322=1. (2)由题意得,曲线C 2的参数方程为????? x =12cos θ,y =32sin θ (θ为参数),则点P 的坐 标是? ?? ??12cos θ,32sin θ, 所以点P 到直线l 的距离 d =??????32cos θ-32sin θ-32=64???? ??sin ? ????θ-π4+2, 故当sin ? ?? ??θ-π4=-1时,d 取得最小值,最小值为23-64. | 规 律 方 法 | 参数方程化为普通方程的方法及参数方程的应用 (1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程,常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等,往往需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件. (2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中,参数方程的使用会使问题的解决事半功倍,尤其是求取值范围和最值问题,可将参数方程代入相关曲线的普通方程中,根据参数的取值条件求解. |练题点| (2019·豫南九校联考)在直角坐标系xOy 中,设倾斜角为α的直线l :??? x =2+t cos α,y =3+t sin α (t 为参数)与曲线C :??? x =2cos θ,y =sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ,B . (1)若α=π3,求线段AB 的中点M 的坐标; (2)若|P A |·|PB |=|OP |2,其中P (2,3),求直线l 的斜率. 解:(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程是x 24+y 2=1. 当α=π3时,设点M 对应的参数为t 0, 直线l 的方程为????? x =2+12t ,y =3+32t (t 为参数), 代入曲线C 的普通方程x 24+y 2=1, 得13t 2+56t +48=0, 设直线l 上的点A ,B 对应参数分别为t 1,t 2. 则t 0=t 1+t 22=-2813, 所以点M 的坐标为? ????1213 ,-313. (2)将??? x =2+t cos α,y =3+t sin α代入曲线C 的普通方程x 24+y 2=1,得(cos 2α+4sin 2α)t 2 +(83sin α+4cos α)t +12=0, 因为|P A |·|PB |=|t 1t 2|= 12cos 2α+4sin 2α,|OP |2=7, 所以12cos 2α+4sin 2α =7,得tan 2α=516. 由于Δ=32cos α(23sin α-cos α)>0,故tan α=54. 所以直线l 的斜率为54. 考点三 参数方程、极坐标的综合应用 |析典例| 【例】 (2019·河北六校联考)在直角坐标系xOy 中,点P (0,-1),曲线C 1:? ?? x =t cos α,y =-1+t sin α(t 为参数),其中0≤α<π,在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ+ρcos 2θ=8sin θ. (1)若α=π4,求C 1与C 2公共点的直角坐标; (2)若C 1与C 2相交于不同的两点A ,B ,M 是线段AB 的中点,当|PM |=409时, 求sin α的值. [解] (1)若α=π4,则曲线C 1的普通方程为y =x -1,曲线C 2的直角坐标方程 为x 2=4y , 由??? y =x -1,x 2=4y ,解得??? y =1,x =2. 所以C 1与C 2公共点的直角坐标为(2,1). (2)将C 1:??? x =t cos α,y =-1+t sin α 代入x 2=4y 得, (cos 2α)t 2-4(sin α)t +4=0, 由Δ=16sin 2α-16cos 2α>0得,sin α>22. 设A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=4sin αcos 2α, 由|PM |=??????t 1+t 22=2sin αcos 2α=409 ,得20sin 2α+9sin α-20=0,解得sin α=45. | 规 律 方 法 | 转化与化归思想在参数方程、极坐标问题中的运用 在对坐标系与参数方程的考查中,灵活地利用转化与化归思想可以使问题得到简捷的解答.例如,将题设条件中涉及的极坐标方程等价转化为直角坐标方程,然后在直角坐标系下对问题进行求解,充分体现了转化与化归的数学思想. |练题点| (2019·唐山模拟)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为????? x =3-22t ,y =5+22t (t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,圆C 的方程为ρ=25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程; (2)设圆C 与直线l 交于点A ,B ,若点P 的坐标为(3,5),求|P A |+|PB |. 解:(1)由ρ=25sin θ,得ρ2=25ρsin θ. 所以x 2+y 2=25y ,即x 2+(y -5)2=5. (2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程. 得? ????3-22t 2+? ????22t 2=5,即t 2-32t +4=0. 由于Δ=(32)2-4×4=2>0,故可设t 1,t 2是上述方程的两实根,所以??? t 1+t 2=32,t 1· t 2=4. 又直线l 过点P (3,5),在圆C 外. 故由上式及t 的几何意义得|P A |+|PB |=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3 2. 高考数学理试题分类汇编----立体几何 一、已给三视图求立体图形的体积/表面积 1、(2016年北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( ) A. B. C. D. 【答案】A 2、(2016年山东高考)有一个半球和四棱锥组成的几何体,其三 视图如右图所示,则该几何体的体积为 (A )π3 2+31 (B )π32+ 31 (C )π62+31 (D )π62 +1 【答案】C 3、(2016年全国I 高考)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径. 若 16131 2 1 该几何体的体积是28π 3 ,则它的表面积是 (A )17π (B )18π (C )20π (D )28π 【答案】A 4、(2016年全国II 高考)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为 (A )20π (B )24π (C )28π (D )32π 【答案】C 5、(2016年全国III 高考)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该 多面体的表面积为 (A ) (B ) (C ) 90 ( D )81 【答案】B 6、(2016年四川高考)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是__________. 7、(2016年天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m ),则 该四棱锥的体积为_______m 3 . 【答案】2 二.求值 8、(2016年浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的表面积是 cm 2 ,体积是 cm 3. 18+54+ 教学资料范本 【2020最新】人教版最新高考数学总复习(各种专题训练)W ord版 编辑:__________________ 时间:__________________ 一.课标要求: 1.集合的含义与表示 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系; (2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用; 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义; 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; (3)能使用Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。 二.命题走向 有关集合的高考试题,考查重点是集合与集合之间的关系,近年试题加强了对集合的计算化简的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力,在解决这些问题时,要注意利用几何的直观性,注意运用Venn 图解题方法的训练,注意利用特殊值法解题,加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主,分值5分。 预测20xx 年高考将继续体现本章知识的工具作用,多以小题形式出现,也会渗透在解答题的表达之中,相对独立。具体题型估计为: (1)题型是1个选择题或1个填空题; (2)热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三.要点精讲 1.集合:某些指定的对象集在一起成为集合。 (1)集合中的对象称元素,若a 是集合A 的元素,记作;若b 不是集合A 的元素,记作;A a ∈A b ? (2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性; 2019年高考理科数学全国一卷 一、单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。 1.已知集合M={x |-4<x <2},N={x | -x -6<0},则M∩U = A{x |-4<x <3} B{x |-4<x <-2} C{x |-2<x <2} D{x |2<x <3} 2.设复数z 满足|z -i|=1,z 在复平面内对应的点为(x ,y),则 A B C D 3.已知a =2.0log 2,b =2.02,c =3 .02 .0,则 A.a <b <c B.a <c <b C.c <a <b D.b <c <a 4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是 ??? ? ??≈称之为黄金分割.618.021 -521-5,著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 2 1 -5 。若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是 A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm 5.函数()][ππ,的-cos sin 2 x x x x x f ++= 图像大致为 A B C D 6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化,每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“—”和阴爻“- -”,右图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A. 165 B.3211 C.3221 D.16 11 7.已知非零向量,满足 ,且 ,则与的夹角为 A. 6π B.3π C.32π D.6 5π 2015高考数学专题复习:函数零点 函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根,亦即函数)(x f y =的图像与x 轴交点的横坐标. ()x g x f y -=)(的零点(个数)?函数()x g x f y -=)(的图像与x 轴的交点横坐标(个数) ?方程()()0=-x g x f 即()x g x f =)(的实数根(个数) ?函数)(x f y =与)(x g y =图像的交点横坐标(个数) 1.求下列函数的零点 1.232-+=x x y 2.x y 2log = 3.62 -+=x x y 4.1ln -=x y 5.2 1sin + =x y 2.函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为 3.函数()x f =???>-≤-+) 0(2ln ) 0(322x x x x x 的零点个数为 4.函数() () ???>+-≤-=13.41.44)(2x x x x x x f 的图像和函数()ln g x x =的图像的交点个数是 ( ) .A 1 .B 2 .C 3 .D 4 5.函数5 ()3f x x x =+-的零点所在区间为 ( ) A .[0,1] B .[1,2] C .[2,3] D .[3,4] 6.函数1()44x f x e x -=+-的零点所在区间为 ( ) A. (1,0)- B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 7.函数()2ln(2)3f x x x =--的零点所在区间为 ( ) A. (2,3) B. (3,4) C. (4,5) D. (5,6) 8.方程2|2|lg x x -=的实数根的个数是 9.函数()lg ()72f x x g x x ==-与图像交点的横坐标所在区间是 ( ) A .()21, B .()32, C .()43, D .()54, 10.若函数2 ()4f x x x a =--的零点个数为3,则a =______ 2018届高考数学立体几何(理科)专题02 二面角 1.如图,在三棱柱111ABC A B C -中, 1,90A A AB ABC =∠=?侧面11A ABB ⊥底面ABC . (1)求证: 1AB ⊥平面1A BC ; (2)若15360AC BC A AB ==∠=?,,,求二面角11B A C C --的余弦值. 2.如图所示的多面体中,下底面平行四边形与上底面平行,且,,,,平面 平面,点为的中点. (1)过点作一个平面与平面平行,并说明理由; (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 3.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形, 2AB AD =, BD =,且PD ⊥底面ABCD . (1)证明:平面PBD ⊥平面PBC ; (2)若Q 为PC 的中点,且1AP BQ ?=u u u v u u u v ,求二面角Q BD C --的大小. 4.如图所示的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体,其底面四边形是边长为2的菱形,,平面. (1)求证:; (2)求平面与平面所成锐角二面角的余弦值. 5.在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是矩形,平面PAB ⊥平面ABCD ,点E 、F 分别为BC 、AP 中点. (1)求证: //EF 平面PCD ; (2)若0 ,120,AD AP PB APB ==∠=,求平面DEF 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值. 6.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形, ,90AD BC ADC ∠=o P ,平面PAD ⊥底面ABCD , Q 为AD 中点, M 是棱PC 上的点, 1 2,1,2 PA PD BC AD CD === ==(Ⅰ)若点M 是棱PC 的中点,求证: PA P 平面BMQ ; (Ⅱ)求证:平面PQB ⊥平面PAD ; (Ⅲ)若二面角M BQ C --为30o ,设PM tMC =,试确定t 的值.高考数学理试题分类汇编.doc
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