2020年河北省唐山一中高考数学冲刺试卷(三)(5月份)(有答案解析)

2020年河北省唐山一中高考数学冲刺试卷（三）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i为虚数单位，复数的共扼复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.等比数列{a n}的前n项和为S n，已知，，则（）A. B. C. 14 D. 153.若sin（α-β）cosα-cos（α-β）sinα=m，且β为第三象限角，则cosβ的值为（）A. B. - C. D. -4.设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系（）A. a＜b＜cB. a＜c＜bC. b＜a＜cD. b＜c＜a5.以下命题为真命题的个数为（）①若命题P的否命题是真命题，则命题P的逆命题是真命题②若a+b≠5，则a≠2或b≠3③若p∨q为真命题，￢p为真命题，则p∨（￢q）是真命题④若∃x∈[1，4]，x2+2x+m＞0，则m的取值范围是A. 1B. 2C. 3D. 46.“勾股圆方图”是我国古代数学家赵爽设计的一幅用来证明勾股定理的图案，如图所示在“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形．若直角三角形中较小的锐角α满足cosα=，则从图中随机取一点，则此点落在阴影部分的概率是（）A. B. C. D.7.若圆C：x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l：x-y+c=0的距离为，则c的取值范围是（）A. B. C. D.8.为了计算，设计如图所示的程序框图，则在空白框中应填入（）A.B.C.D.9.在封闭的正三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB=6，AA1=4，则V的最大值是（）A. 16πB.C. 12πD. 4π10.将函数f（x）=sin2x-cos2x的图象向左平移t（t＞0）个单位后，得到函数g（x）的图象，若，则实数t的最小值为（）A. B. C. D.11.已知椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，A为椭圆上一点，∠F1AF2=，连接AF2交y轴于M点，若3|OM|=|OF2|，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.12.已知函数,若方程有四个不同的解,,,,且,则的取值范围为( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x，y满足不等式，则函数z=2x+3y的最大值为______．14.如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC=15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC=45°，根据以上数据可得cosθ=______．15.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为______．16.在△ABC中，A=，BC=3，D是BC的一个三等分点，则AD的最大值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（I）求角A的大小；（II）已知△ABC外接圆半径，，求△ABC的周长．18.某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x（万人）与餐厅所用原材料数量第一次第二次第三次第四次第五次参会人数x（万人）13981012原材料y（袋）3223182428（1）根据所给5组数据，求出y关于x的线性回归方程．（2）已知购买原材料的费用C（元）与数量t（袋）的关系为，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加，根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L=销售收入-原材料费用）．参考公式：，．参考数据：，，．19.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，BC⊥AB，PD=PA=CD=BC=AB，PB=PC．（1）求证：平面PAD⊥平面PBD；（2）若三棱锥B-PCD的体积为，求PC的长．20.已知F1（-1，0），F2（1，0）是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C过点（2，）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F2的直线l（不过坐标原点）与椭圆C交于A，B两点，且点A在x轴上方，点B在x轴下方，若=2，求直线l的斜率．21.设函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数f（x）的最小值为g（a），证明：g（a）＜1．22.在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M的参数方程为（φ为参数），过原点O且倾斜角为α的直线l交M于A，B两点．（Ⅰ）求l和M的极坐标方程；（Ⅱ）当α∈（0，]时，求|OA|+|OB|的取值范围．23.若a＞0，b＞0，且．（1）求的最小值；（2）是否存在a，b，使得的值为？并说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础的计算题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求其共轭复数得答案．【解答】解：∵=，∴复数的共扼复数为，在复平面内对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B．2.答案：D解析：【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，S2=a1+2a3，a4=1，∴，解得，∴S4===15．故选：D．【分析】利用等比数列前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出S4．本题考查等比数列的前4项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查推运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.答案：B解析：【分析】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题．由两角和与差的三角函数公式可得sinβ=-m，结合角β的象限，再由同角三角函数的基本关系可得．【解答】解：∵sin（α-β）cosα-cos（α-β）sinα=m，∴sin[（α-β）-α]=-sinβ=m，即sinβ=-m，又β为第三象限角，∴cosβ＜0，由同角三角函数的基本关系可得：cosβ=-=-故选：B．4.答案：C解析：解：函数y=0.6x为减函数；故a=0.60.6＞b=0.61.5，函数y=x0.6在（0，+∞）上为增函数；故a=0.60.6＜c=1.50.6，故b＜a＜c，故选：C．利用指数函数和幂函数的单调性，可判断三个式子的大小．本题考查的知识点是指数函数和幂函数的单调性，难度中档．5.答案：C解析：【分析】利用复合命题的真假；命题的真假；命题的否定；利用四种命题的真假判断即可．本题以命题的真假判断为载体，考查了复合命题，四种命题，函数图象和性质，难度中档【解答】解：对于①若命题P的否命题是真命题，则命题P的逆命题是真命题，满足互为逆否关系命题真假，①正确；对于②若a+b≠5，则a≠2或b≠3，因为逆否命题：若a=2且b=3则a+b=5是真命题，所以②正确；对于③若p∨q为真命题，￢p为真命题，命题p为假命题，命题q为真命题，则命题“p∨（￢q）”是假命题．所以③不正确；对于④函数f（x）=x2+2x+m在[-1，+∞）上为增函数，则24+m＞0，则m的取值范围是，故④正确．故选：C．6.答案：D解析：解：设大正方形边长为5，由cosα=知α对边等于3，邻边等于4，∴小正方形的边长为1，面积等于S=1，则对应的概率P=．故选：D．设出大正方形的边长，结合cosα=，分别求出小直角三角形的边长，得到小正方形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．本题主要考查几何概型与数学文化的考查，根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积是解决本题的关键．7.答案：C解析：【分析】先求出圆心和半径，比较半径和2，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：x-y+c=0的距离为2，则圆心到直线的距离应小于等于用圆心到直线的距离公式，可求得结果.本题考查直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离等知识，是中档题．【解答】解：圆x2+y2-4x-4y-10=0整理为（x-2）2+（y-2）2=18，∴圆心坐标为（2，2），半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：x-y+c=0的距离为2，则圆心到直线的距离d，≤，∴-2≤c≤2，故选：C．8.答案：B解析：【解答】解：S=1-=1+++…+-（++…+）=N-T，即N=1+++…+，T=++…+，则每次循环，i增加2，即i=i+2，故选：B．【分析】利用S=1-=1+++…+-（++…+）=N-T，得到N，T相邻两个数的关系即可得到结论．本题主要考查程序框图的应用，根据循环条件，进行分类是解决本题的关键．9.答案：D解析：【分析】本题考查球的体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．作出过球心且平行于底面的平面截几何体的截面图，求得球的最大半径，则答案可求．【解答】解：如图，是过球心且平行于底面的平面截几何体的截面图，设△EFG内切圆的半径为r，则，解得r=＜2，∴球的最大半径r=，则球的最大体积V=．故选：D．10.答案：B解析：解：函数f（x）=sin2x-cos2x=2sin（2x-），f（x）的图象向左平移t（t＞0）个单位后，得函数g（x）=2sin（2x+2t-）的图象，若，则函数g（x）的图象关于直线x=对称，∴-+2t=kπ+，k∈Z；t=（+）π，k∈Z，又∵t＞0，∴实数t的最小值为t min=．故选：B．化函数f（x）为正弦型函数，根据图象平移写出g（x）的解析式，根据函数g（x）的图象关于直线x=对称，求出实数t的最小值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．11.答案：D解析：【分析】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、方程的解法、相似三角形的判定与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．设AF1=m，AF2=n．如图所示，Rt△AF1F2∽Rt△OMF2，可得==．可得m+n=2a，m2+n2=4c2，n=3m．化简解出即可得出．【解答】解：设AF1=m，AF2=n．如图所示，由题意可得：Rt△AF1F2∽Rt△OMF2，∴==．则m+n=2a，m2+n2=4c2，n=3m,则m2=，n2=9m2=6b2．∴+6b2=4c2．∴=c2，∴=．故选D.12.答案：B解析：解：作函数f（x）的图象如右，∵方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，∴x1，x2关于x=-1对称，即x1+x2=-2，0＜x3＜1＜x4，则|log2x3|=|log2x4|，即-log2x3=log2x4，则log2x3+log2x4=0即log2x3x4=0则x3x4=1；当|log2x|=1得x=2或，则1＜x4≤2；≤x3＜1；故=-2x3+，≤x3＜1；则函数y=-2x3+，在≤x3＜1上为减函数，则故x3=取得最大值，为y=1，当x3=1时，函数值为-1．即函数取值范围是（-1，1]．故选：B．作出函数f（x），得到x1，x2关于x=-1对称，x3x4=1；化简条件，利用数形结合进行求解即可．本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键．13.答案：11解析：【分析】本题考查简单线性规划,考查推理能力和计算能力，属于基础题.画出可行域,分析z的几何意义,然后平移直线求解即可.【解答】解: 作出实数x，y满足不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=-x+，即z为斜率是-的直线在y轴上的截距的3倍,平移直线y=-x,由图象可知当直线经过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z最大．由，解得A（1，3）．此时z的最大值为z=2×1+3×3=11，故答案为11.14.答案：-1解析：解：∵∠DAC=15°，∠DBC=45°，∴∠ADB=30°，在△ADB中，由正弦定理得：=，∴BD=═25（-），在△DBC中，CD=25，∠DBC=45°，BD=25（-），由正弦定理=，∴sin∠DCB==，∴sin（θ+）=，∴cosθ=．故答案为：．先在△ADB中用正弦定理求得BD，再在△DBC中用正弦定理求得sin∠DCB，然后根据∠DCB=θ+可求得．本题考查了正弦定理以及诱导公式，属中档题．15.答案：解析：解：如图，连接AE，则AE⊥BC；∴；∴=；∴====．故答案为：．可作出图形，并连接AE，得到AE⊥BC，根据条件可得出，从而，这样带入进行数量积的运算即可求出该数量积的值．考查等边三角形的中线也是高线，向量垂直的充要条件，向量数乘和加法的几何意义，向量数量积的运算．16.答案：1+解析：解：如图建立坐标系，∴△ABC的外接圆满足2R=，∴R=，∵若AD取最大值，∴A，M，D在同一直线上，设M点坐标为（x，y），∵MB=MC，∴（x+）2+y2=y2+（x-）2=3，解得x=0，y=∴△ABC的外接圆的圆心M（0，），∵D（-，0）∴|AD|max=|MD|+R=+=1+，故答案为：1+根据正弦定理得到三角形的外接圆的半径，即可求出AD的最大值．本题考查了正弦定理和圆的方程的应用，属于中档题17.答案：（本小题满分12分）解：（I）∵，即：，…………（2分）∴，…………（4分）又0＜A＜π，………（5分）∴．…………（6分）（II）∵，…………（7分）∴，…………（8分）∵，∴由a2=b2+c2-2bc cos A，…………（9分）∴，…………（10分）∵c＞0，所以得：………（11分）∴周长a+b+c=3+．…………（12分）解析：（I）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围0＜A ＜π，可求A的值．（II）由正弦定理可求a，利用余弦定理可得，解得c的值，可求周长．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．18.答案：解：（1）由所给数据可得：，，，，所以y关于x的线性回归方程为；（2）由（1）中求出的线性回归方程知，当x=15时，y=2.5×15-1=36.5，即预计需要原材料36.5袋；因为，所以当t＜36时，利润L=700t-（400t-20）=300t+20，当t=35时，L max=300×35-20=10480；当t≥36时，利润L=700×36.5+380t，当t=36时，L max=700×36.5-380×36=11870．综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11870元．解析：（1）由所给数据计算平均数和回归系数，即可写出y关于x的线性回归方程；（2）由（1）中求出的线性回归方程计算x=15时y的值，再根据题意计算对应的利润值，比较大小即可．本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了利润计算问题，是中档题．19.答案：证明：（1）取AD的中点O，BC的中点F，连接PO，OF，PF．∵底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，BC⊥AB，∴OF∥AB，OF⊥BC．又∵PB=PC，∴PF⊥BC，且PF∩OF=F，PF, OF平面POF, ∴BC⊥面POF．∵面POF,∴BC⊥PO，又PA=PD，∴PO⊥AD，又直线AD与BC相交，且AD、BC在平面ABCD内，∴PO⊥面ABCD．∵BD面ABCD,∴PO⊥BD.∵BC=CD，BC⊥CD∴BD=，，又AB=2BC，∴AD⊥BD，∵PO,面PAD,∴BD⊥面PAD,且DB⊂面PDB，∴平面PAD⊥平面PBD；解：（2）设BC=a，则PO=，∵V B-PCD=V P-BCD==．∴a=2，从而，，，故PC=2．解析：本题考查面面垂直的判定定理的应用，直线与平面垂直判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，属于一般题．（1）易证PO⊥面ABCD，又BD=，AB=2BC，可得AD⊥BD，即可证明面PAD⊥平面PBD；（2）利用棱锥B-PCD的体积为，求得BC，再求PC．20.答案：解：（1）由条件可知，解得a2=6，b2=5，故椭圆C的方程为+=1，（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＞0，y2＜0，设直线l的方程为x=my+1，代入椭圆C的方程消x可得（5m2+6）y2+10my-25=0，则y1+y2=，y1y2=，由=2，可知y1+2y2=0，即y1=-2y2，代入上式可得y1=，2y12=，∴2（）2=，解得m=±，结合图形可知m=，故直线的斜率为．解析：（1）由条件可知，解得a2=6，b2=5，即可求出椭圆方程，（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＞0，y2＜0，设直线l的方程为x=my+1，根据韦达定理，结合=2，即可求出m的值，可得直线的斜率．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、考查了推理能力和计算能力，属于中档题．21.答案：解：（Ⅰ）显然f（x）的定义域为（0，+∞）．………………………………（1分）．…………（3分）∵x2+2＞0，x＞0，∴若x∈（0，a），x-a＜0，此时f'（x）＜0，f（x）在（0，a）上单调递减；若x∈（a，+∞），x-a＞0，此时f'（x）＞0，f（x）在（a，+∞）上单调递增；综上所述：f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．…………………（5分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：，即：．………………………………………………………………（6分）要证g（a）＜1，即证明，即证明，令，则只需证明，………………（8分）∵，且a＞0，∴当a∈（0，2），a-2＜0，此时h'（a）＜0，h（a）在（0，2）上单调递减；当a∈（2，+∞），a-2＞0，此时h'（a）＞0，h（a）在（2，+∞）上单调递增，∴．…………………………………（11分）∴．∴g（a）＜1．………………………………………（12分）解析：（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的最小值，问题转化为只需证明，令，则只需证明，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．22.答案：解：（Ⅰ）过原点O且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x，∴直线l的极坐标方程为ρsinθ=tanα•ρcosθ，即θ=α．∵曲线M的参数方程为（φ为参数），∴曲线M的普通方程为（x-1）2+（y-1）2=1，即x2+y2-2x-2y+1=0，∴曲线M的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-2ρsinθ+1=0．（Ⅱ）当α=0时，直线l的直线坐标方程为y=0，直线l与圆M相切，只有一个交点，不成立；当时，设点A为靠近原点的交点，则，所以|OA|+|OB|=，∴当α∈（0，]时，|OA|+|OB|的取值范围是（2，2]．解析：本题考查直线和曲线的极坐标方程的求法，考查两线段和的取值范围的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（Ⅰ）过原点O且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x，由此能求出直线l的极坐标方程；由曲线M的参数方程，能求出曲线M的普通方程，由此能求出曲线M的极坐标方程．（Ⅱ）当α=0时，直线l的直线坐标方程为y=0，直线l与圆M相切，|OA|=|OB|=1，不成立；当时，|OA|+|OB|=，由此能求出当α∈（0，]时，|OA|+|OB|的取值范围．23.答案：解：（1）∵，∴，∵a＞0，b＞0，∴，当且仅当a=b时取等号，∴，∴．∴，∴，当且仅当a=b时取等号．（2）∵a＞0，b＞0，∴，∵，∴不存在a，b，使得的值为．解析：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．（1）由条件利用基本不等式求得ab≤，再利用基本不等式求得的最小值．（2）根据ab≤及基本不等式求得≥，从而可得不存在a，b，使得的值为．。