柯西不等式与排序不等式
5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)
2 2 2
ac bd a b c d
2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
| || | | |
设α,β是两个向量,则 当且仅当β是零向量,或存在实数k, 使α=kβ时,等号成立.
观 察
反序和≤乱序和≤顺序和
例1 ：有10人各拿一只水桶去接水，设水 龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需 要ti分，假定这些ti各不相同。 问：只有一个水龙头时，应该如何安排10 人的顺序，使他们等候的总时间最少？ 这个最少的总时间等于多少？
解：总时间(分）是 10t1+9t2+…+2t9+t10 根据排序不等式，当t1<t2<…<t9<t10时， 总时间取最小值。 即：按水桶的大小由小到大依次接水， 则10人等候的总时间最少。 最少的总时间是: 10t1+9t2+…+2t9+t10
即可
三 排序不等式
定理（排序不等式，又称排序定理） 设a1 a2 ... an，b1 b2 ... bn为两组 实数c1 , c2 是b1 , b2 ...bn的任一排列， 那么： a1bn a2bn 1 ... anb1 a1c1 a2 c2 ... an cn a1b1 a2b2 ... anb.n 当且仅当a1 a2 ... an或b1 b2 ... bn时, 反序和等于顺序和。
y
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1) 0
0
P2(x2,y2) x
x P2(x2,y2)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系:
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
排序不等式与柯西不等式
2
n维形式:
推论:
(a a a )(b b b ) (a1b1 a2b2 anbn )
2
(a1 a2 an )(b1 b2 b3 ) ( a1b1 a2b2 anbn )
2
an a1 a2 当且仅当 时等号成立 b1 b2 bn
排序不等式:
设a1≤a2≤a3≤…≤an, b1≤b2≤b3≤…≤bn
c1,c2,c3,…,cn是b1,b2,…,bn的任意一个 排列,那么 a1bn+a2bn-2+…+anb1 (反序和) ≤a1c1+a2c2+…+ancn (乱序和) ≤a1b1+a2b2+…+anbn (顺序和)
当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时, 数y 2 1 x 2 x 1的最大值为___ 3 .
25 1 2 1 2 4.若a b 1, 则(a ) (b ) 的最小值是______ 2 a b
柯西不等式的应用: (a a )(b b ) (a1b1 a2b2 )
2 1 2 2 2 1 2 2
2
6 3 1.函数y=5 x 1 10 2x 的最大值是___.
9 1 1 2.若a,b>0,则 (a )( 2b ) 的最小值是__. 2 b 2a
3.若实数m,n,x,y满足m2+n2=a,x2+y2=b, 其中a,b为常数,且a≠b,则mx+ny的最 大值是_____. ab 4.若a2+b2=1,则 acos bsin的最大值 是_____, -1 1 最小值是_____.
3.1 柯西不等式与排序不等式
3.1 柯西不等式与排序不等式重点：柯西不等式与排序不等式的简单应用一.柯西不等式1.柯西不等式的向量形式设有向量α，β ，根据向量数量积的定义，我们有：|||cos |||||||||βαθβαβα⋅=⋅⋅≥⋅.即有： ||||||βαβα⋅≥⋅,等号当且仅当βα ,同向或反向时成立（βα,共线时成立）.因此我们有如下的定理：（柯西不等式的向量形式）定理1.设βα,为平面上的两个向量，则：||||||βαβα ⋅≥⋅，等号当且仅当βα,共线时成立.2.柯西不等式的代数形式（柯西不等式）设有向量),(b a =α ，),(d c =β ，将坐标代入：||||||βαβα⋅≥⋅， 即有：||2222bd ac dc b a +≥+⋅+.即有：22222)()()(bd ac d c b a +≥++. 等号当且仅当（βα,共线时）db c a =时成立.因此，我们有下面的定理：（二维柯西不等式） 定理2. 设d c b a ,,,均为实数，则: 22222)()()(bd ac d c b a +≥++，等号当且仅当时dbc a =成立.如果向量),,(111c b a =α，),,(222c b a =β，代入：||||||βαβα⋅≥⋅， 即有：||212121222222212121c c b b a a c b a c b a ++≥++⋅++.即有：2222222)()()(c c b b a a c b a c b a ++≥++++.等号当且仅当（βα,共线时）212121c cb b a a ==时成立.因此，我们又有下面的定理：（三维柯西不等式）定理3. 设222111,,,,,c b a c b a 均为实数，则：2212121222222212121)()()(c c b b a a c b a c b a ++≥++++ 等号当且仅当212121c cb b a a ==时成立.这里定理1称为柯西不等式的向量形式，定理2、定理3则称为二维、三维柯西不等式的代数形式。
17柯西不等式与排序不等式
柯西不等式与排序不等式一、基本概念：（一）定理1：二维形式的柯西不等式若,,,a b c d 都是实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+，当且仅当ad bc =时，等号成立. 证明：（一）代数证明：2222222222222a c b c b d a d a c b d abcd ⇐+++≥++222220b c abcd a d ⇐-+≥2()0bc ad ⇐-≥当且仅当ad bc =时，等号成立.（二）向量证明：构造向量(,),(,)a b c d αβ==，则有cos αβαβθ⋅=⋅ αβαβ⋅≤⋅其坐标形式即为222ac bd a b c +≤+⋅+ 当且仅当,αβ共线或0β=时等号成立，即当且仅当ad bc =时，等号成立. 推论1ac bd≥+（来源于向量证明中）推论2ac bd +（将原式中,,,a b c d 都变为,,,a b c d ） 定理2：柯西不等式的向量形式设α,β是两个向量，则⋅≤αβαβ当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α=kβ时，等号成立.证明：上述向量证明已经说明完毕 定理3：二维形式的三角不等式设1122,,,x yx y R ∈≥证明：22222112222221112122222221112122222121222()()()x y x y x y x x y y x y x y x x y y x y x x y y =+++≥+++++≥+-+++=-+-≥（二）一般形式的柯西不等式设123123,,,,,,,,,n n a a a a b b b b 是实数，则222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++当且仅当0(1,2,,)i b i n ==或存在一个数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n ==时，等号成立.简记作：平方和的乘积大于等于乘积和的平方分析：我们可以利用空间向量很容易证明出三维形式的柯西不等式2222222123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++，但维数再高时就没有几何模型可以构造证明了，那么如何证明这一重要的不等式呢？证明：（一）构造二次函数：222()20i i i i i f x a x a b x b =++≥，222()()()2()0iii iiF x f x a x ab x b ==++≥∑∑∑∑（二）归纳法和平均值不等式：（1）当2n =时，有22222222222222222112211112222111221221212()2()()a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a a b b +=++≤+++=++即命题成立（2）假设当n k =时命题成立，当1n k =+时，由于2222112211112211221111()()2()k k k k k k k k k k k k a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++=++++++++由平均值不等式，得222222221122111121122()()()k k k k k k k k a b a b a b a b a b b b b a a a +++++++≤+++++++由归纳假设得2222112211112211221111222222222221122112112112222222121211()()2()()()()()()(k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kkk a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b a a a a b a a a b b b a b +++++++++++++++=++++++++≤++++++++++++≤+++++++22222222221121122222222121121)()()()kk kk k k k k k b b b a a a a ba a a ab b b b +++++++++++++=++++++++由（1）（2）得原命题成立（三）构造单调数列：构造数列{}n S ，其中222222*********()()()n n n n n S ab a b a b a a a b b b =+++-++++++则22211111()()0S ab a b =-=22222221112211121121222222211221212[()()()][()()()]n n n n n n n n nnS S a b a b a b a a a b b b a b a b a b a a a b b b +++++-=+++-++++++-+++-++++++22222222222211221111121112112()()()n n n n n n n n n n n n ab a b a b a b a b a a a b a b b b a b ++++++++=++++-+++-+++-2221111212111[()()()]0n n n n n n n n a b ba a b b a a b b a ++++++=--+-++-≤ 即1n n S S +≤，所以{}n S 单调减少，从而对一切1n ≥，有10n S S ≤=，故命题成立.（四）归纳法证明更强的结论：1ni ii a b=≤∑ （1）当2n =时，22222222222222222112211112222111221221212()2()()a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a a b b +=++≤+++=++（2）假设当n k =时命题成立，当1n k =+时，由归纳假设11111kk i i k k i ii i a b a b a b +++===≥≥+=∑∑由（1）（2）得原命题成立（三）柯西不等式的变形形式 变形1：已知123,,,,n a a a a 都是实数，求证：222212121()()n n a a a a a a n+++≤+++说明：此变形为1(1,2,,)i b i n ==的特殊形式，经过整理，在都为正数的条件下可变为均值不等式2221212n na a a a a a n ++++++≤变形2：已知123,,,,n a a a a 都是实数，0(1,2,,)i b i n >=则：222212121212()n n n na a a a a ab b b b b b ++++++≥+++ 变形3：已知123123,,,,,,,,,n n a a a a b b b b 同号且不为0，则：21212121122()n n n n na a a a a ab b b a b a b a b ++++++≥+++ 上述各种形式如果灵活运用会给解决问题带来便利. （四）排序不等式设1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数，12,,,n c c c 是123,,,,n b b b b 的任一排列，则 121111221122n n n n n n na b a b a b a c a c a c a b a b a b -+++≤+++≤+++，当且仅当123n a a a a ====或123n b b b b ====时，反序和等于顺序和简记作：反序和≤乱序和≤顺序和 证明：设1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数，12,,,n c c c 是12,,,n b b b 的任一排列，因为12,,,n b b b 得全排列有!n 个，所以1122n n S a c a c a c =+++（1）的不同值也只有有限个（个数!n ≤），其中必有最大值和最小值，考虑（1）式，若11c b ≠，则有某11(1),k k c b k c c =>> ，将（1）中1,k c c 对换，得11k k n n S a c a c a c '=+++（2）111111()()0k k k k k k S S a c a c a c a c a a c c '-=+--=--≥这说明将（1）中的第一项调换为11a b 后，和式不减小.若11,c b =则转而考察2c ，并进行类似讨论.类似的，可以证明，将（1）中的第一项换为11a b ，第二项换为22a b 后，和式不减小，如此继续下去，经有限步调整，可知一切和数中，最大和数所对应的情况只能是{}i c 由小到大排序的情况，最大和数是顺序和，即顺序和≥乱序和 同样可证，最小和数是反序和，即乱序和≥逆序和二、习题精练：【柯西不等式应用】 （一）求最值例1：设,0a b >，求证：11()()4a b a b++≥．例2：设,,0a b c >，求证：9)111)((≥++++c b a c b a 例3：设,,0a b c >，求证：29)111)((≥+++++++a c c b b a c b a 例4：21x y +=，求22x y +的最小值________15例5：22236x y +≤，求2x y +的最大值 1. 1,a b +=22a b +的最小值为_________122.,a b R +∈，111,a b a b+=+最小值为_________4 3. 1111,,,,a b c a b c R a b c+++=∈++最小值为__________94.已知0,0x y >>且21x y +=，则11u x y=+的最小值为___________3+5.已知,,,1,a b c R a b c +∈++=则149x y z++的最小值为_______366.,,,a b c R a b c +∈++=_________7. ,a b R +∈，a b +=8. 求函数y =的最大值__________________5解：22222(34)25≤++=9. 若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，则c b a ++的最大值是10. 若,,a b c R +∈，且2313a b c ++=的最大值是11. 若实数,,,m n x y 满足2222,(),m n a x y b a b +=+=≠则mx ny +的最大值是12.若2222(0,),0,()2cos sin a b a b f πθθθθ∈>>=+的最小值为_________2()a b + 13.设*11,,na b c n N a b b c a c>>∈+≥---且恒成立，则n 的最大值是_________4 14. （06陕西）已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为 （C ）（Ａ）8 （Ｂ）6 （C ）4 （D ）215.（08浙江5）0,0a b ≥≥,且2a b +=，则 ( C ) （A ）12ab ≤（B ）12ab ≥ （C ）222a b +≥ （D ）223a b +≤ 16．设a 、b 为正数，且a + b ≤4，则下列各式中正确的一个是（ B ）A ．111<+ba B ．111≥+ba C ．211<+ba D ．211≥+ba 17.设实数,,,,abcde 满足8a b c d e ++++=，2222216a b c d e ++++=，求e 的最大值解：8a b c d e +++=-，2222216a b c d e +++=-，根据柯西不等式有22(8)4(16)e e -≤-，解得1605e ≤≤，当65a b c d ====时，e 有最大值165e = （二）证明例：,,a b c R +∈求证：222a b c a b c b c a++≥++ 1. 已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥ 2.已知12,,,n x x x R +∈，且121n x x x +++=，求证：222121211111n n x x x x x x n +++≥---- 3.,,a b c 为三角形三边，求证：1119a cb bc a a c b a b c++≥+-+-+-++4. 已知，,,a b c R +∈，236,a b c ++=求证：222236a b c ++≥5.设,,a b c R +∈，求证：2221()2a b c a b c b c a c a b ++≥+++++ 6. 若,a b R +∈，求证：2211()()422a b b a+++≥ 7. ,,a b c R +∈且1a b c ++=，求证：222111100()()()3a b c a b c +++++≥证明：222222222222211111111111()()()(111)(()()())()33111111111100(1())(1()())(19)3333a b c a b c a b c a b c a b c a b ca b c a b c a b c +++++=+++++++≥+++++=+++=+++++≥+=8.i a R +∈且11ni i a ==∑，求证：22211(1)()ni i i n a a n =++≥∑证明：同上9.在ABC ∆中，设其各边长为,,a b c ，外接圆半径为 R ， 求证:2222222111()()36sin sin sin a b c R A B B++++≥ 10.设12,,,n x x x为任意实数，求证：1222222211212111n nx x x x x x x x x +++<+++++++证明：由柯西不等式得222212122222222222221121211212()[()()()]111111n nn nx x x x x x n x x x x x x x x x x x x +++≤+++⋅++++++++++++++ 对2k ≥，有2222222222222222121212121()1(1)(1)(1)kk k k kk k x x x x x x x x x x x x x x x -=≤++++++++++++++++222222121121111k kx x xx x x-=-++++++++对1k =，有22211122222111111()11(1)(1)1(1)1x x x x x x x x =≤=-+++++，故有 2221222222222222222221121211121211211111[()()()]111111111n n k kx x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+++≤-+-++-+++++++++++++++++++ 222121111kx x x =-<++++则有222212122222222222221121211212()[()()()]111111n n n nx x x x x x n n x x x x x x x x x x x x +++≤+++⋅<++++++++++++++ 原命题得证【排序不等式应用】例1：已知,,a b c 为正数，求证：222a b c ab bc ac ++≥++例2：已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++（利用同向可加性） 1.（08江西）若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是（A ） A ．1122a b a b + B ．1212a a bb + C ．1221a b a b + D ．122.b a ab ba Rb a +≥+∈+，求证：已知,3．,,a b c R +∈，求证：2221()2a b c a b c b c c a a b ++≥+++++ 证明：由对称性不妨设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，111b c c a a b≤≤+++，则 222a b c b c c a a b +++++为顺序和，则有222222a b c b c a b c c a a b b c c a a b ++≥++++++++ 同理222222a b c c a b b c c a a b b c c a a b ++≥++++++++ 同向相加，有2222222222()a b c b c a c b a b c c a a b b c c a a b+++++≥++++++++ 因为2222()()b c b c +≥+，所以222b c b c b c ++≥+，同理222a c a c c a ++≥+，222b a a ba b ++≥+ 原式得证 4.设123,,,,,k a a a a 为两两各不相同的正整数，求证：对任何正整数n ，均有2111nnk k k a k k==≥∑∑（IMO20-5） 证明：设123,,,,n b b b b 是123,,,,n a a a a 的从小到大的有序排列，即123n b b b b ≤≤≤≤因为i b 是互不相同的正整数，则1231,2,3,,n b b b b n ≥≥≥≥，又因为222111123n>>>>，所以由排序不等式可得 32122223n a a a a n ++++（乱序）32122223n b b b b n ≥++++（倒序）111123n≥++++原命题成立，此题即为课后练习题 5.设123,,,,n a a a a 为正数，求证：2222231121232341n n n n a a a a a a a a a a a a a a -+++++≥++++（可用排序和柯西两种不等式证明）6.在ABC ∆中，求证：32aA bB cC a b c ππ++≤<++证明：不妨设a b c ≤≤，于是A B C ≤≤由排序不等式得aA bB cC aA bB cC ++=++，aA bB cC bA cB aC ++≥++，aA bB cC cA aB bC ++≥++同向相加可得3()()()()aA bB cC a b c A B C a b c π++≥++++=++，从而3aA bB cCa b cπ++≤++又由0,0,0b c a a b c a c b <+-<+-<+-，有0()()()A b c a Ca b c Ba c b <+-++-++-()()()()2()a B C A b A C B c A B C a b c aA bB cC π=+-++-++-=++-++从而2aA bB cC a b c π++<++由此原命题得证。
柯西不等式与排序不等式
∴ 114 ab bc ac
例2解答
柯西不等式的应用举例: 例 2、已知 4x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值. 变式 1.已知 4 x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值.
变式 2.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 y2 的最小值.
当且仅当 ad bc 时,等号成立. 还可推出其他形式的不等式:
⑴ 若 a,b,c,d R , 则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. ⑵若 a,b,c,d R ,则 (a2 b2 ) (c2 d2 ) ≥ ac bd .
科学家柯 西的简单 介绍P36
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
例：已知 a,b 为实数，证明 (a4 + b4 )(a2 + b2 )(a3 + b3 )2
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都 是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
求证： pf ( x1 ) qf ( x2 ) f ( px1 qx2 )
用柯西不等式证明点（x0,y0)到直线Ax+By+c=0的距离公式。
{（x0- x)2 ( y0 y)2（ } A2 B2 )
{ x0 x A ( y0 y)B}2 ( Ax0 By0 c)2
推广：？
定理 3(二维形式的三角不等式)
设 x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 R, 那么
(x1 x3 )2 ( y1 y3 )2) (x2 x3 )2 ( y2 y3)2) ≥ (x1 x2)2 ( y1 y2)2
人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式课程设计
人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式课程设计
一、课程目标
1.1 掌握柯西不等式的概念及其意义；
1.2 学会在实际问题中应用柯西不等式；
1.3 掌握排序不等式的概念及应用；
1.4 学会在实际问题中应用排序不等式。
二、教学内容
2.1 柯西不等式的概念与应用；
2.2 排序不等式的概念与应用；
2.3 利用柯西不等式、排序不等式解决实际问题。
三、教学重点与难点
3.1 教学重点：柯西不等式、排序不等式的概念及应用。
3.2 教学难点：如何在实际问题中应用柯西不等式、排序不等式。
四、教学过程设计
教学环节教学内容教学目标与要
求
教师活动与学生活动
1。
一般形式的柯西不等式及排序不等式
巩固练习一、
[ 例 1] 1 1 设 x1，x2，„，xn 都是正数，求证： ＋ ＋„ x1 x2
1 n2 ＋x ≥ . n x1＋x2＋„＋xn
已知 a，b，c，d 为不全相等的正数，求证： 1 1 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋ ＞ ＋ ＋ ＋ . a2 b2 c2 d2 ab bc cd da
[例 2]
π aA＋bB＋cC 在△ABC 中，试证： ≤ 3 a＋b＋c
[证明]
1 1 ∵a≥b>0，于是a≤b，
1 1 又 c>0，从而 ≥ ， bc ca 1 1 1 1 1 同理ca≥ab，从而bc≥ca≥ab. 又由于顺序和不小于乱序和，故可得 a5 b5 c5 b5 c5 a5 ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ b3c3 c3a3 a3b3 b3c3 c3a3 a3b3 b2 c2 a2 1 1 1 ＝ 3＋ 3＋ 3(∵a2≥b2≥c2， 3≥ 3≥ 3) c a b c b a c2 a2 b2 1 1 1 ≥ 3＋ 3＋ 3＝ ＋ ＋ c a b c a b 1 1 1 ＝ ＋ ＋ . a b c 所以原不等式成立．
和 S4=a1b2+a2b3+a3b1=195
备注 乱序和
S5=a1b3+a2b1+a3b2=185 S6=a1b3+a2b2+a3b1=180 (最小值)
乱序和
反序和
答案:220 180
知识总结点拨
1.对排序不等式的证明的理解 对排序不等式的证明中,用到了“探究——猜想——检验—— 证明”的思维方法,这是探索新知识、新问题常用到的基本方 法,对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题,又使用了 “一一搭配”这样的描述,这实质上也是使用最接近生活常识
第三讲柯西不等式的基本方法与排序不等式(柯西不等式的一般形式)
作业:P41
2、 4、 5、 6
问题:已知A、B都是锐角, 且cosA+cosB-cos(A+B)=
2 3
,
求A、B的值
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或
bi≠0(i=1 ,2 ,3 , … ,n)时,
等号成立.
a1 a 2 = = b1 b2
an = bb
问题：已知a1 ,a 2 , a n ∈ R +，求证 n 1 1 + + a1 a 2 a1 + a 2 + ≤ 1 n + an + an
使得ai=kbi(i=1 ,2 ,3 , … ,n)时,等号成立.
注:简记;积和方不大于方和积
定理:设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
2 2 2 2 2 3 2 2 (a1 +a2 +a + +a )(b + b + b + + b ) (a b +a b + +a b ) 2 3 n 1 2 3 n 1 1 2 2 n n
定理:设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
2 2 2 2 2 3 2 2 (a1 +a2 +a + +a )(b + b + b + + b ) (a b +a b + +a b ) 2 3 n 1 2 3 n 1 1 2 2 n n
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或存在一个数k
+a
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已知a，b，c是实数，且a＋b＋c＝1，求证： 13a＋1＋ 13b＋1＋ 13c＋1≤4 3.
【证明】 因为a，b，c是实数，且a＋b＋c＝1，令m＝ ( 13a＋1， 13b＋1， 13c＋1)， n＝(1,1,1)． 则|m· n|2＝( 13a＋1＋ 13b＋1＋ 13c＋1)2， |m|2· |n|2＝3[(13a＋1)＋(13b＋1)＋(13c＋1)] ＝3[13(a＋b＋c)＋3]＝48.
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应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造 应从需要入手来设计，这一点应从所要证的式子的结构观察分 析，再给出适当的数组．
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a2＋b2 已知a，b，c为正实数，求证：a＋b＋c≤ ＋ 2c b2＋c2 c2＋a2 ＋ . 2a 2b 【证明】 由于不等式关于a，b，c对称，
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柯西不等式形式优美、结构易记，因此在解题时，根据题 目特征灵活运用柯西不等式，可证明一些简单不等式．
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且x＋y＝a＋b. 由柯西不等式，知
2 a2 b ＋ a＋x b＋y[(a＋x)＋(b＋y)]
≥
a b 2 · a＋x＋ · b＋y a＋x b＋y
＝(a＋b)2.
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又a＋x＋b＋y＝2(a＋b)>0， a＋b a2 b2 所以 ＋ ≥ 2 . a＋x b＋y
设a，b，c为正实数，且a＋2b＋3c＝13，求 3a ＋ 2b＋ c的最大值．
【解】 由于a，b，c为正实数，根据柯西不等式，知
1 (a＋2b＋3c)3＋1＋3
＝[( a) ＋( 2b) ＋( 3c) ] 3 ＋1
≥ 1 2 3· a＋1· 2b＋ · 3c 3
2
2
2
2
2
＋
1 2 3
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＝( 3a＋ 2b＋ c)2，
2 13 ∴( 3a＋ 2b＋ c)2≤ 3 ，
13 3 即 3a＋ 2b＋ c≤ 3 ， a 2b 3c 当且仅当 ＝ ＝ 时取等号． 1 1 3 3 3 1 又a＋2b＋3c＝13，∴当a＝9，b＝2，c＝3时， 13 3 3a＋ 2b＋ c取得最大值为 3 .
1 1 1 可设a≥b≥c>0.于是a ≥b ≥c ，c≥b≥a.
2 2 2
由排序不等式，得反序和≤乱序的和，即 1 21 21 21 21 21 a· a＋b · b＋c · c ≤a · b＋b · c ＋c · a，
2
1 21 21 21 21 21 及a · a＋b · b＋c · c ≤a · c＋b · a＋c · b.
服/务/教/师 免/费|m· n|2≤|m|2· |n|2， ∴( 13a＋1)＋ 13b＋1＋ 13c＋1)2≤48. ∴ 13a＋1＋ 13b＋1＋ 13c＋1≤4 3.
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设a，b，x，y都是正数，且x＋y＝a＋b，求证： a＋b a2 b2 ＋ ≥ . 2 a＋x b＋y 【证明】 ∵a，b，x，y都大于0，
2
以上两个同向不等式相加再除以2，即得原不等式．
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有关不等式的问题往往要涉及到对式子或量的范围的限 制，柯西不等式、排序不等式为我们通过不等式求最值提供了 新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足．
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