特别数形结合简单题型11月2日

－9 AO－1 3yx²－1B数形结合归类总结一、以“形”助“数”根据给出的“数”的结构特点，构造出与之相应的几何图形，或根据已给图形分析数的特点，从而化抽象为直观，使解题过程变得简捷直观。

例1 如图,已知二次函数c x ax y +-=42的图象经过点A 和点B 。

(1) 求该二次函数的表达式；(2) 写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；(3) 点P (m m ,)与点Q 均在该函数图象上(其中0>m )，且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 到x 轴的距离。

[解析](1)观察图象,得A (-1,-1),B (3，-9).得方程组⎩⎨⎧+-=-++=-.1299,41c a c a 解得⎩⎨⎧-==.6,1c a∴该二次函数的表达式为642--=x x y . (2)对称轴为2=x ；顶点坐标为(2,-10).(3)将(m m ,)代入表达式,解方程得6,121=-=m m .∵0>m , ∴6=m .∵点P 与点Q 关于对称轴2=x 对称, ∴点Q 到x 轴的距离为6.例2. 如果实数、满足，则的最大值为x y x y yx()()-+=2322A B C D ....1233323分析：等式有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆，()x y -+=2322圆心为，，半径，如图，而则表示圆上的点，与坐()()()20300r y x y x x y ==-- 标原点，的连线的斜率。

如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点()00A在以，为圆心，以为半径的圆上移动，求直线的斜率的最大值，由图()203OA可见，当∠在第一象限，且与圆相切时，的斜率最大，经简单计算，得最A OA大值为°tg 603=例3. 已知，满足，求的最大值与最小值x y x y y x 22162513+=-分析：对于二元函数在限定条件下求最值问题，常采用y x x y -+=31625122构造直线的截距的方法来求之。

令，则，y x b y x b -==+33原问题转化为：在椭圆上求一点，使过该点的直线斜率为，x y 22162513+=且在轴上的截距最大或最小，y由图形知，当直线与椭圆相切时，有最大截距与最小y x b x y =++=31625122截距。

y x b x y x bx b =++=⎧⎨⎪⎩⎪⇒++-=316251169961640002222 由，得±，故的最大值为，最小值为。

∆==--01331313b y x 二、以“数”助“形”以“数”助“形”即有关“形”的问题可借助数式的推演，使之量化，从而准确揭示“形”的性质【例1】已知：有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别为P（-1，1），Q（2，2）.若直线l∶x+my+m=0与有向线段PQ延长相交，求实数m的取值范围.解：直线l的方程x+my+m=0可化为点斜式：y+1=-（x-0），易知直线l过定点M（0，-1），且斜率为-.∵l与PQ的延长线相交，由数形结合可得：当过M且与PQ平行时，直线l的斜率趋近于最小；当过点M、Q时，直线l的斜率趋近于最大.三、数形结合在函数中的应用函数是考查数形结合思想的良好载体，对函数的图象除了要求熟练掌握常见的函数图象外，还应加强对函数与方程、函数与曲线的区别与统一，善于发现条件的几何意义，刻画出相应的图形，还要根据图形的性质分析数学式的几何意义，这样才能巧妙地利用数形结合解决问题。

例1．方程sin2x=sinx在区间（0，2π）解的个数为（）y（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 go f x 分析：解方程f（x）=g（x）的问题归结为两个函数y=f（x）与y=g（x）的交点横坐标，特别是求方程近似解时此方法非常有效。

解:如图在同一坐标系内，作出y=sin2x，x∈(0,2π)；g=sinx，x∈(0,2π)的图有三个交点，故方程sin2x=sinx在(0,2π)内有三个解。

一般情况下将方程化为一端为曲线，一端为动直线时，解题较为简单，考查逻辑思维能力与计算能力，还体现了化归与转化和分类讨论的思想2. 与距离有关的问题【例2】求：y=（cosθ-cosα+3）2+（sinθ-sinα-2）2的最大（小）值.【分析】可看成求两动点P（cosθ，sinθ）与Q（cosα-3，sinα+2）之间距离的最值问题.解：两动点的轨迹方程为：x 2+y 2=1和（x+3）2+（y-2）2=1，转化为求两曲线上两点之间距离的最值问题.如图：3. 与截距有关的问题【例3】若直线y=x+k 与曲线x=恰有一个公共点，求k 的取值范围.解：曲线x=是单位圆x 2+y 2=1的右半圆（x≥0），k 是直线y=x+k 在y 轴上的截距.由数形结合知：直线与曲线相切时，k=-，由图形：可得k=-，或-1<k≤1.【例4】 设f （x ），g （x ）分别是定义在Ｒ上的奇函数和偶函数，在区间［a ，b ］（a<b<0）上，f ′（x ）g （x ）+f （x ） g′（x ）>0，且f （x ）·g （x ）有最小值－５.则函数 y=f （x ）·g （x ）在区间［－b ，-a ］上（ ）. Ａ. 是增函数且有最小值－５ Ｂ. 是减函数且有最小值－５ Ｃ. 是增函数且有最大值５ Ｄ. 是减函数且有最大值５【解析】 f ′（x ）g （x ）+f （x ）g′（x ）=［f （x ）·g （x ）］′>0. ∴ y=f （x ）·g （x ）在区间［a ，b ］（a<b<0）上是增函数， 又∵ f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数. ∴ y=f （x ）·g （x ）是奇函数.因此它的图象关于原点对称，作出示意图，易知函数y=f （x ）·g （x ）在区间［-b ，-a ］上是增函数且有最大值５，因此选Ｃ.例5函数f （x ）=sinx+x sin 2，x ∈［０，２π］的图象与直线y=k 有且仅有２个不同的交点，则k 的取值范围是 .【分析】本题根据函数解析式，画出图象，可以直观而简明地得出答案，在有时间限制的高考中就能大大地节约时间，提高考试的效率.解：函数f（x）＝由图象可知：1<k<3.例6.(2010全国Ⅰ·理)已知函数，若，且，则a+2b的取值范围是A．B．C．D．解析：画出的示意图.由题设有，，∴，令，则，∵，∴.∴在上是增函数.∴.选C.例7.已知函数在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。

解析：∵，∴抛物线的开口向下，对称轴是，如图所示：（1）（2）（3）（1）当a＜0时，如图（1）所示，当x=0时，y有最大值，即。

∴1―a=2。

即a=―1，适合a＜0。

（2）当0≤a≤1时，如图（2）所示，当x=a时，y有最大值，即。

∴a2―a+1=2，解得。

∵0≤a≤1，∴不合题意。

（3）当a＞1时，如图（3）所示。

当x=1时，y有最大值，即。

∴a=2。

综合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2例8.已知圆C：(x+2)2+y2=1，P（x，y）为圆C上任一点。

（1）求的最大、最小值；（2）求的最大、最小值；（3）求x―2y的最大、最小值。

解析：联想所求代数式的几何意义，再画出草图，结合图象求解。

（1）表示点（x，y）与原点的距离，由题意知P（x，y）在圆C上，又C（―2，0），半径r=1。

∴|OC|=2。

的最大值为2+r=2+1=3，的最小值为2―r=2―1=1。

（2）表示点（x，y）与定点（1，2）两点连线的斜率，设Q（1，2），，过Q点作圆C的两条切线，如图：将整理得kx―y+2―k=0。

∴，解得，所以的最大值为，最小值为。

（3）令x―2y=u，则可视为一组平行线系，当直线与圆C有公共点时，可求得u的范围，最值必在直线与圆C相切时取得。

这时，∴。

∴x―2y的最大值为，最小值为。

例题9.求函数的最小值。

解析：则y看作点P（x，0）到点A（1，1）与B（3，2）距离之和如图，点A（1，1）关于x轴的对称点A＇（1，－1），则即为P到A，B距离之和的最小值，∴例10.若方程x2+(1+a)x+1+a+b=0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则的取值范围是（ ）A ．B ．或C ．D ．或解析：如图由题知方程的根，一个在（0，1）之间，一个在（1，2）之间，则 ，即下面利用线性规划的知识，则可看作可行域内的点与原点O （0，0）连线的斜率则 ，选C 。

四、数形结合在不等式中的应用有些不等式问题,当用代数方法讨论较繁时,利用图形将代数问题转换成几何问题,合几何知识探求,也是一种解决的方法例 1 已知三点(12)(15)(243)(0)A m B m C m m m ++++>，，，，，，问m 为何值时，d AB BC =+最小，并求最小值．分析：根据三个点横坐标的特点可知，它们在坐标系中是从左到右依次排列的，当且仅当它们共线时，d AB BC =+最小．解：依题意知，当三点共线时d AB BC =+最小，此时AB BC k k =，， ∵52311AB m m k m m ---==+-，4354221BC m k m m m +-==-+--， ∴342mm m-=-， 解得34m =-（舍去）或1m =，∴1m =，此时三个点分别为(13)(25)(37)A B C ，，，，，， ∴22(73)(31)25d AB BC AC =+==-+-=．例2．已知点(35)M ，，在y 轴和直线y x =上分别找一点P 和N ，使得MNP △的周长最小．分析：作点(35)M ，关于y 轴和直线y x =的对称点12M M ，，则1MP M P =，2MN M N =，所以MNP △的周长等于12M P PN M N ++，当且仅当12M M P ，，三点共线时取最小值，所以点P N ，应为直线12M M 和y 轴与直线y x =的交点．解：作点(35)M ，关于y 轴和直线y x =的对称点12M M ，，则点12M M ，的坐标分别为(35)(53)-，，，， 由两点式得533553y x -+=-+， 整理得4170x y +-=，即为直线12M M 的方程，易得它和y 轴和直线y x =的交点坐标分别为1717170455⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，，．即使得MNP △周长最小的点P 和N 的坐标分别为1717170455⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，，．例3不等式24ax x x <-的解集是(0,4],则a 的取值范围是( )A.0a ≤B.4a <C.0a <D.0a >分析:分别作出y ax =与24y x x =-的图象,从图象上很容易得到结论. 解: 令y ax =,24y x x =-(04)x ≤≤,y2x∴y ax =是过原点且斜率为a 的直线, 24y x x =-(04)x ≤≤是圆心在(2,0)半径为2的圆在x 轴及x 轴上方的部分,不等式24x x ax ->的几何意义是半圆在(0,4]上恒处于直线的上方(如图), 可知0a <是,上述结论成立,∴a 的取值范围是0a <.选C.例4 若x ∈（１，２）时，不等式（x-1）2<logax 恒成立，则a 的取值范围是（ ）. Ａ. （0，1） Ｂ. （１，２） Ｃ. （１，2】 Ｄ. ［１，２］ 解：设y 1=（x －1）2（1<x<2），y 2=logax. 由图可知若y 1<y 2（1<x<2），则a>1.y 1=（x-1）2过（２，１）点，当y 2=logax 也过（２，１）点，即a=2时，恰有y 1<y 2（1<x<2） ∴ １<a≤2时（x-1）2<logax 在x ∈（１，２）上成立，故选Ｃ. 【例5】 设函数f （x ）＝2，求使f （x ）≥２的取值范围.【解法3】 由的几何意义可设Ｆ1（－１，０），Ｆ２（１，０），Ｍ（x ，y ），则，可知Ｍ的轨迹是以Ｆ1、Ｆ２为焦点的双曲线的右支，其中右顶点为（，０），由双曲线的图象 和x+1－x-1≥知x≥.【解法１】由f （x ）≥２得2≥22＝２.易求出g（x）和h（x）的图象的交点立时，x的取值范围为［，+∞）.。