第4节四维形式
相对论理论的四维形式
洛伦兹变换形式上即为该空间的转动： x1 − vt 1−
v2 c2
x1 =
= γx1 + iβγx4 v c
,
x4 =
t−
v x c2 1 v2 c2
= −iβγx1 + γx4
1− 1
β= γ 0 a= 0 −iβγ 0 1 0 0 0 0 1 0
,
γ=
1−
v2 c2
iβγ cos θ 0 0 = 0 0 γ − sin θ
⇒
γ 0 =a ˜= 0 iβγ
0 1 0 0
0 0 1 0
−iβγ cos θ 0 0 = 0 0 γ sin θ
0 1 0 0
0 0 1 0
洛伦兹变换的四维形式（续）
sin θ = iβγ , cos θ = γ , tan θ = iβ
θ )；
在Σ 系中处于静止状态的物体，在Σ系中以速度v 匀速运动； 在Σ 系中其世界线为垂直于轴的直线x1 = const，在Σ系中其世界线斜角为( π + 2 d x4 π = tan( + θ) d x1 2 洛伦兹逆变换矩阵 a−1 d x1 1 d x1 v = = = − tan θ d x4 ic d t ic −sinθ 0 0 cos θ
第四节
§ 4.1
相对论理论的四维形式
洛伦兹变换的四维形式
第四节
§ 4.1
相对论理论的四维形式
洛伦兹变换的四维形式
引入复四维空间（闵可夫斯基空间、赝欧几里得空间）：
第四节
§ 4.1
相对论理论的四维形式
洛伦兹变换的四维形式
引入复四维空间（闵可夫斯基空间、赝欧几里得空间）： x = x1 , y = x2 , z = x3 , ict = x4
电动力学教学大纲
XX《电动力学》教学大纲课程编号： 3407课程名称:电动力学英文名称:学分／学时:４/64课程性质: 必修适用专业: 应用物理建议开设学期:５先修课程: 电磁学,数学物理方法,场论与复变函数开课单位：物理与光电工程学院一、课程的教学目标与任务(１）理解电磁运动的基本规律，理解电磁场基本性质；（2）获得分析和处理一些电磁基本规律问题的能力；(3)通过学习狭义相对论理论，掌握相对论的时空观及有关的基本理论；(４)为后续课程的学习和独力解决实际问题打下必要的基础。
二、课程具体内容及基本要求（一）引言（4学时）１。
基本要求了解《电动力学》的主要内容、熟悉研究对象等电磁场理论的史2.重点、难点掌握数学知识补充（矢量分析和算符运算）３。
作业及课外学习要求：课后及课本XX中的补充内容,掌握基本的矢量分析及算符运算法则（二)第一章电磁现象的普遍规律（８学时）１.基本要求第一节电荷和电场一、库仑定律(电荷连续分布带电体的电场）二、高斯定理，静电场的散度（矢量场的两个基本性质）三、静电场的旋度第二节电流和磁场一、电荷守恒定律（微分形式和积分形式)二、用毕—萨定律证明磁场旋度和散度公式第三节麦克斯韦方程组一、电磁感应定律二、位移电流三、麦克斯韦方程组四、洛伦兹力公式第四节介质的电磁性质一、极化和磁化的物理图象及描述二、极化强度的散度和磁化强度的旋度三、物质方程四、介质中的方程第五节电磁场的边值关系一、方程的积分形式二、法向分量的跃变三、切向分量的跃变第六节电磁场的能量和能流一、场和电荷系统的能量转化和守恒定律的一般形式二、电磁场能量密度和能流密度表示式三、电磁能量的传输2.重点、难点本章重点:方程及其物理根据，电磁场的边值关系，电磁场能量.难点:电磁场的矢量运算，电磁场及边值关系的物理图像。
３．作业及课外学习要求:课后题的部分内容，掌握电磁场的基本边值关系及方程.（三）第二章静电场（13学时）1.基本要求第一节静电场的标势及其微分方程一、静电场的标势二、静电势的微分方程和边值关系三、静电场的能量第二节唯一性定理一、静电问题的唯一性定理二、有导体存在时的唯一性定理第三节拉普拉斯方程分离变量法一、分离变量法二、边界条件的使用第四节电像法一、电像法的物理原理二、电像法的适用区域第五节格林函数法（选讲)一、点电荷密度二、格林函数三、格林公式和边值问题的解第六节电多极矩一、电势的多极展开二、电多极矩三、电荷体系在外电场中的能量２。
chap6-4相对论的四维形 式
x ' x
2 i 1 i i 1
3
3
2
i
x ' x
2 i 1 i i 1
3
3
2
i
① 满足上述条件的线性变换称为正交变换 正交变换； ② 上述条件也称为正交条件。
4
xi ' aij x j ,
j 1
3
i 1, 2, 3
3、正交条件对变换系数的要求
x ' x ' a x a
正交条件：一个变换矩阵的转置矩阵与变换矩阵
本身的乘积为单位矩阵，则这样的变换为正交变换。
aa I
~
4、逆变换： 得到其逆变换的形式为
x1 a11 x a 2 12 x3 a13
~
x1 ' a11 x ' a 2 21 a31 x3 '
Tij ' aik a jl Tkl aik a jl Tlk
k 1 l 1 3 3
k 1 l 1 3 3
3
3
3
3
ail a jk Tkl a jk ail Tkl T ji '
k 1 l 1
k 1 l 1
6）二阶反对称张量： ① 定义： Tij T ji ② 二阶反对称张量性质： 迹为零 在空间转动变换下仍为反对称张量；
k k
7
二. 物理量按空间变换性质的分类
物理量在三维空间转动下的变换性质来划分： 标量、矢量、张量等
1、标量 ① 物理量在空间无取向性； ② 在坐标系转动时，物理量保持不变。 在坐标系转动时 物理量保持不变 ③ 例：质量、电荷 质量、电荷
第4节四维形式
四、四维空间的协变量： 将物理量在四维空间的“转动”变换下 40 分类 1 四维零阶张量—— 四标量： 定义：在四维空间的正交变换下，能够保 持不变的物理量叫四标量。
u' ( x'1 , x'2 , x'3 , x'4 ) u( x1 , x2 , x3 , x4 ) 不变量
若有 量
Tij Tji
称为对称张量，只有6个独立分
Tii Tii 0
若有 称为反对称张量， 以反对称张量只有3个独立分量。
Tij T ji
，所
三、洛仑兹变换的四维形式： 引入四维坐标：
x1 x x2 y
x3 z
x4 iCt
纯虚数
间隔不变性： 1 2 3 4 简写成：
0 cos sin 0 1 0 sin 0 cos 0 cos sin 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0
二、物理量按空间变换性质分类： 30 1 标量—— 三维零阶张量 在三维空间正交变换下，保持不变的量。 31 2 矢量—— 三维一阶张量 某物理量有三个分量，在三维空间正交变 换下，三个分量的变换方式与坐标变换方 式相同，这样的物理量称为矢量。 32 3 张量—— 三维二阶张量
1 1 1 1 11 1 12 13 x 1 1 x ' 1
可简写为：
其中 1
x2 ' x2
P
j ij x j ' xi ij x 1 1 j 1 3
1
*
为逆变换矩阵。
x1 ' x1 cos x2 sin
§4 相对论的四维形式 建立四维形式的原因： 1 相对论认为时间、空间是不可分的。 2 物理量、物理规律的协变性要求建立。 一、三维空间下的正交变换： 1 三维空间下的线性变换： 1 11 1 12 2 13 3
八年级下册拓展资源——四维的勾股定理
八年级下册拓展资源——四维的勾股定理平方后等于负1的数称为虚数，用i表示。
i的3倍记为3i、7倍记为7i，它们都是虚数。
1与－1的平方都是1，平方为－1的数原本是没有的，虚数是在‘如果有的话’的前提下提出的概念。
由实数和虚数组合成的数叫做复数，复变函数是专门研究复数的数学分支。
假设在宇宙的最初（如同霍金所提倡的）时间是虚数，，由于加速度为距离除以时间的平方，所以当时间为虚数时，力的符号变为负（反方向）。
难以逾越的高墙反过来变成了深深的堑壕，在力学上势能（位置能）的符号发生了变化，封闭着能量的口袋在一瞬间消失，从而揭开了宇宙大爆炸的序幕，在此瞬间里时间由虚变实，变成了通常的膨胀。
关于大爆炸以前的虚时间难于讲解，示意图也画不出来的，普通的时间尚无法看见，更别提看见虚时间了。
我们的意识在一定程度上能够推定时间的经过，如果这时间是虚时间的话将会怎样呢？谁也说不出来。
霍金为了避开奇点用数学公式表示了时间的连续性，但是他却回避不了大爆炸前的虚时间。
虚时间的提出，消除了宇宙创生于奇点的困惑。
接下来，笔者用比较易懂的狭义相对论的公式，再对虚时间进行一些讲解。
狭义相对论认为，光速是不变的，长度及时间随测量方法的不同而不同，时间与长度具有同等的资格。
因此狭义相对论的公式是四维公式。
设x、y、z为三维空间坐标的互相垂直的三个轴，t为时间。
为了使时间成为用长度表示的维，把时间与光速c的乘积ct作为代表第四维的轴。
假定光从A点出发沿直线（按狭义相对论观点）到达B点，所需时间为t，则AB间的直线距离为ct。
一般地说，时间轴与x、y、z轴中的任何一个轴都不是互相垂直的，长度ct中含有各个轴的成份，光走过的距离ct相当于以x、y、z为三边的立方体的对角线之长，满足三维勾股定理（如图），。
也可以写成如果将相对论的时间记述为三维空间里的一维时间的话，-（ct）2与x2、y2、z2之和总应该为零。
请注意：在数学处理上必须不带任何区别地看待时间与空间。
教学目标的四维目标
教学目标1. 知识目标•学生能够理解和解释教学内容中的关键概念和原理。
•学生能够熟练运用所学知识解决相关问题。
2. 技能目标•学生能够运用所学知识进行实践操作。
•学生能够分析和评估实践结果，提出改进意见。
3. 情感目标•学生能够培养科学探索的兴趣和乐趣。
•学生能够培养团队合作和沟通交流的能力。
4. 态度目标•学生能够对待实践过程中的失败和挫折保持积极态度。
•学生能够对待他人的意见和建议持开放心态。
教学方法1. 概念讲解与案例分析通过讲解教材中的关键概念和原理，结合实际案例进行分析，引发学生对知识内容的思考和理解。
2. 实践操作与讨论将理论知识转化为实际操作，让学生亲自动手进行实践，并在小组或全班范围内进行讨论和交流，促进学生的合作和交流能力的培养。
3. 问题解决与评估引导学生在实践过程中遇到问题时，积极寻找解决方案，并对实践结果进行评估和总结，提出改进意见。
教学评价方式1. 知识目标的评价方式•在课堂中进行小组或个人答题，检查学生对关键概念和原理的理解程度。
•组织小组或个人作业，要求学生运用所学知识解决相关问题。
2. 技能目标的评价方式•在实践操作中观察学生的表现，评估其操作技能的熟练程度。
•针对实践结果进行讨论和评估，了解学生对实践过程和结果的分析能力。
3. 情感目标的评价方式•观察学生在实践过程中表现出来的兴趣和乐趣，并记录其参与度。
•对团队合作和沟通交流进行观察和记录，并给予适当的反馈。
4. 态度目标的评价方式•观察学生在面对失败和挫折时所表现出来的态度，并记录其积极程度。
•观察学生对他人意见和建议的接受程度，并给予适当的反馈。
教学计划第一阶段：概念讲解与案例分析（2节课）第一节课1.引入教学内容，介绍教学目标和重要性。
2.讲解关键概念和原理，结合实际案例进行分析。
第二节课1.复习上节课的内容，检查学生对关键概念和原理的理解程度。
2.继续讲解其他重要概念和原理，结合实际案例进行分析。
第二阶段：实践操作与讨论（4节课）第三节课1.介绍实践操作的内容和步骤。
四维几何基础知识
四维几何基础知识概述几何学是一门研究空间和形状的学科。
在传统的三维几何学中，我们研究的是三维空间中的物体。
然而，在某些应用领域，比如相对论和指纹识别等，我们需要更高维度上的几何概念和工具。
本文将介绍四维几何的基本概念和一些常见的应用。
什么是四维空间？在数学中，我们可以通过引入额外的维度来扩展我们对空间的认识。
在三维空间中，我们用三个坐标轴（x，y，z）来描述位置。
类似地，在四维空间中，我们需要四个坐标轴（x，y，z，w）来描述位置。
这就是四维空间的基本概念。
在四维空间中，物体可以在更多的方向上移动和变形。
这给了我们在建模和分析问题时更多的自由度。
例如，我们可以在四维空间中描述更复杂的形状和运动。
四维几何中的对象在四维几何中，我们可以研究各种不同类型的对象。
以下是一些常见的对象：点：一个点在四维空间中由四个坐标值（x，y，z，w）表示。
它表示了四维空间中的一个位置。
线：一条线可以由两个点在四维空间中的连线表示。
类似于三维空间中的情况，我们可以计算四维空间中的线的长度和方向。
平面：一个平面由三个点或者一个点和一条线确定。
我们可以使用法向量来描述一个平面在四维空间中的位置和方向。
体：一个体可以由四个点或者更多的点确定。
我们可以计算四维空间中体的体积、表面积和其他几何特征。
四维空间中的运算在四维几何中，我们可以进行各种运算来研究对象之间的关系。
以下是一些常见的运算：平移：平移表示在空间中沿着一个向量移动一个对象。
在四维空间中，我们可以根据四个坐标值进行平移运算。
旋转：旋转是围绕一个轴将一个对象转动一定角度。
在四维空间中，我们可以根据四个坐标值进行旋转运算。
缩放：缩放是将一个对象的大小按比例变化。
在四维空间中，我们可以根据四个坐标值进行缩放运算。
四维空间中的应用四维几何在许多领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：相对论：相对论是研究时间和空间之间关系的物理学理论。
由于相对论需要考虑时间的第四个维度，四维几何在相对论中有重要的应用。
6-4 相对论理论的四维形式
u´= u
8
(2) 矢量
在空间中有一定的取向性，用三个分量表示的， 在空间中有一定的取向性 ， 用三个分量表示的 ， 当空间坐 标作转动变换时，三个分量按同一方式变化的物理量。 标作转动变换时 ， 三个分量按同一方式变化的物理量 。 例 如速度、力、电场强度和磁场强度等都是矢量。以v代表矢 如速度、 电场强度和磁场强度等都是矢量。 代表矢 在坐标系Σ 量,在坐标系Σ中的分量为 i, 在转动后的Σ´系中的分量为 ´i 。 在坐标系 中的分量为v 在转动后的Σ 系中的分量为v´ 与坐标变换式对应, 与坐标变换式对应 有矢量变换关系
x i = aij x j
'
a il x i = a il a ij x j = δ lj x j = x l
'
x l = a il x
'
i
6
变换系数矩阵形式
[a ]
ij
a11 a12 a13 = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
~ a ij = a ji
4
坐标变换式
x i = ∑ a ij x j ,
' j =1 3
i = 1,2,3
在一般情形中, 当公式中出现重复下标时(如上式右 在一般情形中 当公式中出现重复下标时 如上式右 边的j), 往往都要对该指标求和。 边的 往往都要对该指标求和 。 这是现代物理中 通用的约定。 通用的约定。 爱因斯坦约定: 除特别声明外, 爱因斯坦约定 除特别声明外 凡有重复下标时 都意味着要对它求和。以后为了书写方便, 都意味着要对它求和。以后为了书写方便 省略求 和符号。 和符号。 变换式可简写为 正交条件是
16
在惯性系变换下与坐标有相同变换关系 洛伦兹标量 四维矢量 四维张量 协变量: 协变量 这些物理量(标量、 矢量和各阶张量)在洛伦兹变换下 这些物理量 标量、 矢量和各阶张量 在洛伦兹变换下 标量 有确定的变换性质 间隔 固有时
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3）频率与角度的变换关系： k k' x' x ' 与 轴的夹角 设： 与 轴的夹角 ； C 1 k k cos cos 则： C
k '1 k ' cos ' ' cos ' C C C cos ' cos i (i ) ' 代入变换式 C C C i ' i i cos
规定系数： 与 和 均无关，只与坐标 系之间的相互关系有关。 31 32 33 x3 用矩阵表示： 3' x
x2 ' 21 22 23 x2 1 11 1 12 13 x ' x
定义：一个物理量有16个分量，在四维空 间的正交变换下，能够按如下规律变换的 物理量叫四张量。
T ' T
那些量是四张量呢？下面我们认识几个四 张量。
4 四维波矢量： 1）电磁场的位相是不变量 o, o' P, P ' 从 重合发出第一列波时数起，到 P' P 重合时结束。凡是通过 的波峰都会通过 P, P ' 即 所记录的波数相同。 P P'
cos 两式联立：cos ' C cos v C 1 v cos sin ' 1 cos2 C2 sin 1 v 2 1 v
C
两式相除： 得到：
cos ' (cos v ) tg ' sin ' sin ' (1 cos ) C (cos v ) tg ' sin
3 三维空间正交变换： 1）三维空间的距离不变 i i j j
x' x' x x
2）变换系数满足正交关系
ijik jk
3）正交变换的逆矩阵就是它的转置矩阵 1 1 I ~ 由逆矩阵的定义 例： 0 1 sin cos
x'2 x2
x'
4
x'3 x3
C2 (t x1 ) ( x4 ix1 ) v
写成矩阵形式： 4
x ' i 3 x' 0 x '2 0 1 x'
0 0 1 0
0 1 0 0
C
光的传播方向、频率在坐标变换下变换关系
对光行差现象（星光的实际位置与观测位 置的差距与地球坐标系的运动的关系）的 解释——验证上述理论。
对多普勒现象（向着参考系运动和背离参 考系运动时光源频率的关系）的解释—— 验证上述理论。 五、物理方程的协变性： 协变性——同一个物理方程在不同的惯性 系中保持不变的性质。 物理方程保持协变性的条件：
S d
例：时空间隔 。固有时 问：三维标量是四标量吗？——不是 41 2 四维一阶张量—— 四矢量： 定义：
一个物理量有4个分量，在四维空间的正 交变换下，能够按如下规律变换的物理量 叫四矢量。
A' A
, 1,2,3,4
其中 为坐标变换矩阵元。 U 例：四维空间的坐标。四维速度 d U dx 定义四维速度为 C
0 x3 0 x2 1 i x
x4
简写式： 逆变换： x4
x' x
其中
0 0 1 0
为正交变换矩阵：
i 3 x 0 x2 0 1 x
1 1 1 1 11 1 12 13 x 1 1 x ' 1
可简写为：
其中 1
x2 ' x2
P
j ij x j ' xi ij x 1 1 j 1 3
1
*
为逆变换矩阵。
x1 ' x1 cos x2 sin
2 坐标旋转代表一种线性变换：
x1 ' x1
x3 , x3 '
x2 ' x1 sin x2 cos x3 ' x3
1 0 0
0 用矩阵表示： sin cos
系数与坐标无关的线性变换：
0 cos sin
特点： 1）三维空间距离不变。
0 cos sin 0 1 0 sin 0 cos 0 cos sin 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0
二、物理量按空间变换性质分类： 30 1 标量—— 三维零阶张量 在三维空间正交变换下，保持不变的量。 31 2 矢量—— 三维一阶张量 某物理量有三个分量，在三维空间正交变 换下，三个分量的变换方式与坐标变换方 式相同，这样的物理量称为矢量。 32 3 张量—— 三维二阶张量
0 1 0 0
x'4 3 0 x' 0 x'2 1 i x'
讨论：
I 1
1）在四维空间（不是三维空间+一维时间） 洛仑兹变换是正交变换系数矩阵满足： 或： 2）建立了一个新的空间——四维空间（复 空间）其坐标变换由洛仑兹变换表示。今 后，电磁学定律的协变形式要在四维空间 条件下建立。
初时间
T 末时间 C C t R cos 波数相同 t ' R' cos '
t ' R' cos ' t' T'
0
C
t0 R cos
C
t
周期
T ' 2
'
T 2
C C ' t ' R ' cos ' t R cos 化简： ' ' t 'k 'R' t k R 即： k 'R'' t ' k R t 不变量 或写为：
在不同的惯性系里位相是不变量—四张量。 2）四维波矢量：
' t 'k 'R' t k R iC iC k 'R' ' 4 k R 4 x ' x 改写为： C k4 i
令：
k 'R'k '4 x'4 k R k4 x4
I ~
四、四维空间的协变量： 将物理量在四维空间的“转动”变换下 40 分类 1 四维零阶张量—— 四标量： 定义：在四维空间的正交变换下，能够保 持不变的物理量叫四标量。
u' ( x'1 , x'2 , x'3 , x'4 ) u( x1 , x2 , x3 , x4 ) 不变量
k '1 x'1 k '2 x'2 k '3 x'3 k '4 x'4 k1x1 k2 x2 k3 x3 k4 x4
改写为： x' , x 因为， 是四维空间矢量，点积是四维标 k 量。所以 是四维矢量。 C 或： 变换满足
k ( ki , i ) C k (k , i ) k ' 4 i 3 k' 0 k '2 0 1 k'
k ' x' k x 不变量
0 0 1 0
0 1 0 0
0 k3 0 k 2 1 i k
k4
k '4 (k 4 i k1 ) k '3 k3 k '2 k 2 k '1 (k1 i k 4 )
§4 相对论的四维形式 建立四维形式的原因： 1 相对论认为时间、空间是不可分的。 2 物理量、物理规律的协变性要求建立。 一、三维空间下的正交变换： 1 三维空间下的线性变换： 1 11 1 12 2 13 3
一般线性变换：
x ' x x x x2 ' 21 x1 22 x2 23 x3 x3 ' 31 x1 32 x2 33 x3
j 1 可简写为： xi ' ij x j ij x j 3
ij
xi
xi '
i, j 1,2,3
j 为哑指标（求和）。 其中：i 为自由指标。 x3 31 32 33 x3 ' 1 1 1 逆变换： x2 21 22 23 x2 '
前三维：U
第四维：
dt 1 u 2
2
U4
dxi C2 dt 1 u
2
dt u ui dxi
u
dx4
dt u iC u diCt
四维速度 或：
U u (ui , iC)
U u (u , iC) 42
3 四维二阶张量——
四张量：
3 x'1 x'2 x'3 x j x j xi xi OP x12 x2 x 2 2 2 2 2
2）系数的特点：
0 ij ik jk 1
jk jk
变换指标的作用。
x'i x'i ij x jik xk ijik x j xk jk x j xk x j x j