6-4 相对论理论的四维形式
相对论理论的四维形式
洛伦兹变换形式上即为该空间的转动： x1 − vt 1−
v2 c2
x1 =
= γx1 + iβγx4 v c
,
x4 =
t−
v x c2 1 v2 c2
= −iβγx1 + γx4
1− 1
β= γ 0 a= 0 −iβγ 0 1 0 0 0 0 1 0
,
γ=
1−
v2 c2
iβγ cos θ 0 0 = 0 0 γ − sin θ
⇒
γ 0 =a ˜= 0 iβγ
0 1 0 0
0 0 1 0
−iβγ cos θ 0 0 = 0 0 γ sin θ
0 1 0 0
0 0 1 0
洛伦兹变换的四维形式（续）
sin θ = iβγ , cos θ = γ , tan θ = iβ
θ )；
在Σ 系中处于静止状态的物体，在Σ系中以速度v 匀速运动； 在Σ 系中其世界线为垂直于轴的直线x1 = const，在Σ系中其世界线斜角为( π + 2 d x4 π = tan( + θ) d x1 2 洛伦兹逆变换矩阵 a−1 d x1 1 d x1 v = = = − tan θ d x4 ic d t ic −sinθ 0 0 cos θ
第四节
§ 4.1
相对论理论的四维形式
洛伦兹变换的四维形式
第四节
§ 4.1
相对论理论的四维形式
洛伦兹变换的四维形式
引入复四维空间（闵可夫斯基空间、赝欧几里得空间）：
第四节
§ 4.1
相对论理论的四维形式
洛伦兹变换的四维形式
引入复四维空间（闵可夫斯基空间、赝欧几里得空间）： x = x1 , y = x2 , z = x3 , ict = x4
四维空间
阻率等。
时间是由爱因斯坦在牛顿的基础上补充的，包括：比热容，速度，功率等。
“维”的含义和推导我们在讨论维度的时候通常会建立N维空间的维度概念。
在数学上一个维度中两点间距离R通常满足以下公式1维空间：a=R2维空间（勾股定理）：a2+b2=c23维空间：a2+b2+c2=R24维空间：a2+b2+c2+d2=R2以此类推……轴对称性对于爱因斯坦的四维空间，人们普遍认为空间有轴对称性，或是中心对称。
譬如，倘若一个三维空间的人进入四维空间，那么他也许会被‘轴对称’一下。
当然，由于没有人进入四维空间，所以这只是一个假设，无法进行验证。
但是关于时间轴的观点以及时空错乱瞬间的现象与这是相符的。
从零维空间到四维空间从零维空间到四维空间—浅谈几何中的纯概念研究（马利进陇东学院数学系甘肃庆阳 745000）摘要几何不一定是真实现象的描述，几何空间和自然空间并不能完全等同看待，纯概念的研究几何的发展是数学界的一个里程碑。
从零维空间到三维空间，尤其是从三维空间到四维空间的发展更是几何学的的一次革命。
关键词零维；一维；二维；三维；四维；n维；几何元素；点；直线；平面。
正文n维空间概念，在18世纪随着分析力学的发展而有所前进。
在达朗贝尔.欧拉和拉格朗日的著作中无关紧要的出现第四维的概念，达朗贝尔在《百科全书》关于维数的条目中提议把时间想象为第四维。
在19世纪高于三维的几何学还是被拒绝的。
麦比乌斯（karl august mobius 1790-1868）在其《重心的计算》中指出，在三维空间中两个互为镜像的图形是不能重叠的，而在四维空间中却能叠合起来。
但后来他又说：这样的四维空间难于想象，所以叠合是不可能的。
这种情况的出现是由于人们把几何空间与自然空间完全等同看待的结果。
以至直到1860年，库摩尔（ernst eduard kummer 1810-1893）还嘲弄四维几何学。
但是，随着数学家逐渐引进一些没有或很少有直接物理意义的概念，例如虚数，数学家们才学会了摆脱“数学是真实现象的描述”的观念，逐渐走上纯观念的研究方式。
045-6第6章 狭义相对论-4-相对论理论的四维形式-1
(5)
x3
a31x1
a32 x2
a33 x3
OP2 x12 x22 x32 x12 x22 x32 不变量
(6)
3
可简写为
由(5)式 xi aij xj
xi aij x j
(7)
j 1
将式中对重复下标求和的求和号省略，是现代物理通用
约定，称为爱因斯坦求和约定。(7)式中重复下标为 j。
u'u
₪ 狭义相对论
2. 物理量按空间变换性质的分类
(2)矢量：不仅有大小，而且有空间取向的量，称为矢量。 例如：电场强度、磁感应强度、力、速度、动量等等。 矢量在三维空间用3个分量表示。同一个矢量在不同 的转动坐标系中的变换关系满足(7)式。
3
v 'i aijvj v 'i aijv j
(20)
₪ 狭义相对论
3. 洛伦兹变换的四维形式
为了方便和统一起见，对于上述四维时空线性变换，形 式上引入第四维虚数坐标：
x4 ict
则间隔不变性（20）式可改写为：
(21)
x12 x22 x32 x42 x12 x22 x32 x42 不变量
4
4
x 2 x2 不变量
1
1
3
3
aij
x
j
3
aik
xk
3
xi2 (10)
i1 j1
k1
i1
从(10)式左边的爱因斯坦求和约定简写式可见：相邻的
相同哑元下标可以消去！从而大大地简化书写过程。
₪ 狭义相对论
1. 三维空间的正交变换
定义符号
ij
1 0
若i j 若i j
(11)
chap6-4相对论的四维形 式
x ' x
2 i 1 i i 1
3
3
2
i
x ' x
2 i 1 i i 1
3
3
2
i
① 满足上述条件的线性变换称为正交变换 正交变换； ② 上述条件也称为正交条件。
4
xi ' aij x j ,
j 1
3
i 1, 2, 3
3、正交条件对变换系数的要求
x ' x ' a x a
正交条件：一个变换矩阵的转置矩阵与变换矩阵
本身的乘积为单位矩阵，则这样的变换为正交变换。
aa I
~
4、逆变换： 得到其逆变换的形式为
x1 a11 x a 2 12 x3 a13
~
x1 ' a11 x ' a 2 21 a31 x3 '
Tij ' aik a jl Tkl aik a jl Tlk
k 1 l 1 3 3
k 1 l 1 3 3
3
3
3
3
ail a jk Tkl a jk ail Tkl T ji '
k 1 l 1
k 1 l 1
6）二阶反对称张量： ① 定义： Tij T ji ② 二阶反对称张量性质： 迹为零 在空间转动变换下仍为反对称张量；
k k
7
二. 物理量按空间变换性质的分类
物理量在三维空间转动下的变换性质来划分： 标量、矢量、张量等
1、标量 ① 物理量在空间无取向性； ② 在坐标系转动时，物理量保持不变。 在坐标系转动时 物理量保持不变 ③ 例：质量、电荷 质量、电荷
从一到无穷大中对四维空间的见解
从一到无穷大中对四维空间的见解四维空间在数学和物理学领域中一直是一个令人着迷的概念。
它超越了我们日常生活中所经验到的三维空间，引入了时间这一第四维，为我们打开了通向无限可能性的大门。
在本文中，我将以从简到繁、由浅入深的方式来探讨从一到无穷大中对四维空间的见解，以便读者能更深入地理解这一概念。
1. 什么是四维空间？在我们开始讨论四维空间之前，我们先来了解一下什么是四维空间。
在几何学中，我们习惯将空间分为三维空间，即长、宽和高。
但当我们引入时间这一第四维时，我们就得到了四维空间。
这个概念源自爱因斯坦的相对论理论，它描绘了时空如何被引力所扭曲，从而产生了引力波等现象。
2. 对四维空间的直观理解对于我们这些生活在三维世界的人来说，很难直观地理解四维空间。
但我们可以借助一些类比来帮助我们理解。
我们可以想象一个二维的世界，它只有长度和宽度，而没有高度。
现在，我们引入第三维，即垂直于二维世界的方向，我们就得到了三维空间。
同样的，引入第四维，即时间，我们就得到了四维空间。
这种类比虽然并不能完全还原四维空间的复杂性，但可以帮助我们建立一定的直观认识。
3. 四维空间对我们的影响四维空间的概念不仅仅存在于数学和物理学中，它也深刻地影响着我们的生活。
在艺术和文学作品中，我们常常可以看到对四维空间的想象和表现。
对四维空间的探索也推动了科学技术的发展，比如在相对论、量子力学等领域的研究中，四维空间始终扮演着重要的角色。
4. 我对四维空间的个人观点对于我个人来说，四维空间是一个充满了未知和想象的领域。
它超越了我们日常生活中的经验，挑战着我们的想象力和理解力。
正是由于这种挑战，我对四维空间充满了好奇和兴趣。
我相信随着人类对这一领域的不断探索，我们将会揭开更多关于宇宙和时空的神秘面纱。
总结回顾通过本文的探讨，我们对从一到无穷大中对四维空间的见解有了更深入的理解。
我们从四维空间的定义开始，探讨了对其直观理解和对我们生活的影响，最后共享了个人观点。
狭义相对论的四维时空观
狭义相对论的四维时空观狭义相对论是建立在四维时空观上的一个理论，因此要弄清相对论的内容，要先对相对论的时空观有个大体了解。
在数学上有各种多维空间，但目前为止，我们认识的物理世界只是四维，即三维空间加一维时间。
现代微观物理学提到的高维空间是另一层意思，只有数学意义，在此不做讨论。
四维时空是构成真实世界的最低维度，我们的世界恰好是四维，至于高维真实空间，至少现在我们还无法感知。
我在一个帖子上说过一个例子，一把尺子在三维空间里（不含时间）转动，其长度不变，但旋转它时，它的各坐标值均发生了变化，且坐标之间是有联系的。
四维时空的意义就是时间是第四维坐标，它与空间坐标是有联系的，也就是说时空是统一的，不可分割的整体，它们是一种”此消彼长”的关系。
四维时空不仅限于此，由质能关系知，质量和能量实际是一回事，质量（或能量）并不是独立的，而是与运动状态相关的，比如速度越大，质量越大。
在四维时空里，质量（或能量）实际是四维动量的第四维分量，动量是描述物质运动的量，因此质量与运动状态有关就是理所当然的了。
在四维时空里，动量和能量实现了统一，称为能量动量四矢。
另外在四维时空里还定义了四维速度，四维加速度，四维力，电磁场方程组的四维形式等。
值得一提的是，电磁场方程组的四维形式更加完美，完全统一了电和磁，电场和磁场用一个统一的电磁场张量来描述。
四维时空的物理定律比三维定律要完美的多，这说明我们的世界的确是四维的。
可以说至少它比牛顿力学要完美的多。
至少由它的完美性，我们不能对它妄加怀疑。
相对论中，时间与空间构成了一个不可分割的整体——四维时空，能量与动量也构成了一个不可分割的整体——四维动量。
这说明自然界一些看似毫不相干的量之间可能存在深刻的联系。
在今后论及广义相对论时我们还会看到，时空与能量动量四矢之间也存在着深刻的联系。
--------------------------------------------------------------------------------狭义相对论基本原理物质在相互作用中作永恒的运动，没有不运动的物质，也没有无物质的运动，由于物质是在相互联系，相互作用中运动的，因此，必须在物质的相互关系中描述运动，而不可能孤立的描述运动。
电动力学——精选推荐
电动⼒学电动⼒学第⼀章静电场⼀、考核知识点1、真空与介质中静电场场⽅程，场的性质、物理特征。
2、电场的边值关系、在两种介质分界⾯上电场的跃变性质。
3、由场⽅程、边值关系，通过电荷分布确定场分布及极化电荷的分布。
4、静电场的势描述。
由势分布确定场分布、荷分布；通过静电势的定解问题，确定静电势的分布、场分布及介质极化性质的讨论。
⼆、考核要求（⼀）、场⽅程、场的确定1、场⽅程，场的边值关系，体、⾯极化电荷密度的确定式等规律的推导。
2、识记：（1）、真空与介质静电场⽅程。
（2）、电场的边值关系。
（3）、体、⾯极化电荷密度的确定式。
3、领会与理解：（1）、静电场的物理特征。
12（2）、P D E ,,与电荷的关系，⼒线分布的区别与联系。
（3）、在介质分界⾯上场的跃变性质。
4、应⽤：通过对称性分析，运⽤静电场的⾼斯定理确定场，讨论介质的极化，正确地由电荷分布画出场的⼒线分布。
（⼆）、静电势1、静电势⽅程、边值关系的推导。
2、识记：静电势的积分表述、势⽅程、势的边值关系、势的边界条件、唯⼀性定理。
3、领会与理解：势的边值关系与边界条件，荷、势与场的关系，解的维数的确定，电像法的指导思想与像电荷的确定。
4、应⽤：求解静电势定解问题的⽅法（分离变量法、电像法）的掌握及应⽤，求解的准确性，场的特征分析及由势对介质极化问题的讨论。
第⼆章稳恒磁场⼀、考核知识点1、电荷守恒定律。
2、稳恒磁场场⽅程，场的性质特点。
3、由场⽅程，通过流分布确定场分布与磁化流。
4、磁场的边值关系。
5、稳恒磁场的⽮势。
6、由磁标势法确定场。
3⼆、考试要求1、规律的推导：真空、介质中稳恒磁场场⽅程，电荷守恒定律的微分表述，体、⾯磁化电流密度的确定式，磁场的边值关系，⽮势⽅程及其积分解，磁标势⽅程和边值关系等。
2、识记：电荷守恒定律，稳恒磁场场⽅程，体、⾯磁化电流密度的确定式，⽮势引⼊的定义式，磁标势引⼊条件，磁场的边值关系，0=f α情况磁标势的边值关系。
相对论知识：四维时空——相对论理论的基础
相对论知识：四维时空——相对论理论的基础相对论是现代物理学中最重要的理论之一，它的开创者阿尔伯特·爱因斯坦因在狭义相对论和广义相对论中对时间和空间的重新定义做出了巨大贡献。
这两种相对论理论都建立在四维时空的概念之上，这种新的时空概念颠覆了牛顿力学中绝对时空和绝对时间的观点，并提出了一个新的、相对的时间和空间的概念。
四维时空是相对论中的一个重要概念，它表示四个维度的空间和时间。
在牛顿力学中，时间是不变的，但在相对论中，时间和空间之间是相互关联的。
四维时空中，一个事件由其发生的时间和空间坐标构成。
这意味着两个同时发生的事件，在不同的参考系中会有不同的时间和空间坐标。
我们通常把三维空间和时间看作是两个独立的概念，但在相对论中，它们被视为一个不可分割的整体。
因此，我们需要引入四维时空的概念，以便能够更好地描述不同的物理过程。
四维时空是一个四维的连续空间，在这个空间中，时间和空间是由同一种量度单位来衡量的，即光速。
在四维时空中，物体由一个四维向量来描述，其中时间是第四个坐标。
作为相对论理论的基础，四维时空是通过著名的洛伦兹变换来描述的。
这个变换表示了一个物体在不同参考系之间的变化。
这个变化是相对于光速而言的，因为光速是相对论中不变的量。
因此，在不同的参考系中，物体的时间和空间坐标会有所不同。
一个十分重要的应用是GPS全球定位系统，它使用了相对论中时间的相对性，实现了对地球上的任意一个位置进行精确定位。
正是由于相对论的应用，GPS才能实现卫星导航，然而，如果不考虑相对论因素，GPS的精度将会非常不稳定。
在相对论中，四维时空的概念突显了时间与空间的相互关系，给我们的认知带来了巨大的变革。
它深刻解释了运动与静止、时间与空间之间的关系，同时带来了诸如时间膨胀、光速不变等奇妙的现象。
在相对论中，时间和空间被整合成了一个不可分割的整体，描述了物理现象更为准确的过程。
因此，四维时空成为了现代物理学基础不可或缺的内容。
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21
二阶张量可以分解为三个部分
迹 Tii
无迹对称张量 Tij= Tji , Tii=0,
反对称张量 Tij= -Tji .
电四极矩就是一个无迹对称张量, 它只有5个 独立分量。
22
两矢量和w的标积iwi是一个标量。
iwi=aijj aikwk = ikjwk = jwj =不变量
4
正交变换
OP2=x2+y2= x´2+ y´2=不变量 满足此式的二维平面上的线性变换称为 正交变换。坐标系转动属于正交变换。
5
任意矢量的变换与坐标变换具有相同形式
设为平面上任意矢量。在系中的分量为x ,y;起彼伏 在´系中的分量为´x ,´y 。这些分量有变换关系,
´x =xcos+ ysin, ´y= - xsin + ycos.
即在垂直于光源运动方向上, 观察到的角频率小于静止 光源的辐射频率。这现象称为横向多普勒效应。横向多 普勒效应为LvesStilwell实验所证实, 它是相对论时间延 缓效应的证据之一。
43
光行差公式也可以由速度变换公式导出
设在参考系上观察,由光源辐射出的光线在xy 面上,与x轴有夹角,则
u x c cos , u y c sin
28
沿x轴方向的特殊洛伦兹变换式的变换矩阵为
0 a 0 i 0 0 1 0 0 0 1 0 i 0 0
c
,
1 1
2
c2
29
逆变换矩阵
0 ~ a 0 i 0 0 1 0 0 0 1 0 i 0 0
26
洛伦兹变换是满足间隔不变性式的四维线性变换
x´ = a x
27
洛伦兹变换形式上可以看作四维空间的“转 动”, 因而三维正交变换的关系可以形式上推广 到洛伦兹变换中去。须注意的是, 这四维空间的 第四个坐标是虚数, 因此它是复四维空间, 不同 于实数的四维欧几里德(Euclid)空间。
33
四维速度矢量U
U dx d
dxi ui dt
通常意义下的速度ui不是四维矢量的分量
通常意义下的速度ui是用参考系的时间量度的位移变 换率, ui的变换式不同于洛伦兹变换。因为当坐标系变 换时, dxi按四维矢量的分量变换, 但dt也发生改变, 因此ui就不按矢量方式变换。
dt 1 d 1
矢量长度平方为
| |2= 2x + 2y= ´2x +´2y =不变量
6
现在讨论三维坐标转动。设系的直角坐标为 (x1,x2,x3), ´系的直角坐标为(x´1,x´2,x´3) 。三 维坐标线性变换一般具有形式
x´1=a11 x1+a12 x2 +a13 x3, x´2=a21 x1+a22 x2 +a23 x3, x´1=a31 x1+a32 x2 +a33 x3.
k1
'
c
cos , k '1
'
c
cos '
(1 cos ,
c sin ' tg (cos ) c
－－相对论的多普勒效应和光行差公式
41
若为光源的静止参考系,则´=0, 0为静止光 源的辐射角频率。运动光源辐射的角频率
(1 cos ) c 0
a ij x j a ik x k x i x i
a ij a ik ij
jk
1 0
若j k , 若j k
11
反变换式
x i a ij x j
'
a il x i a il a ij x j lj x j x l
'
x l a il x
'
i
12
u c2
2
34
U是用固有时量度的位移变换率
U ( u1 , u2 , u3 , ic)
U的前三个分量和普通速度联系着，当<<c时 即为u, 因此称为四维速度。参考系变换时, 四维速度有变换关系
U ' a U
35
四维波矢量
设有一角频率为,波矢量k为的平面电磁波在真空中传 播。在另一参考系´上观察,该电磁波的频率和传播方 向都会发生改变(多普勒效应和光行差效应) 。以´和 k´表示´上观察到的角频率和波矢量。 电磁波的相位因子
7
坐标系转动时距离保持不变,应有
x´12+ x´22+ x´32= x12 + x22 + x32 满足此式的线性变换称为正交变换。 空间转动属于正交变换, 式中的系数 aij依赖于转动轴和转动角。
8
坐标变换式
x ' i a ij x j ,
j 1 3
i 1,2,3
在一般情形中, 当公式中出现重复 下标时(如上式右边的j), 往往都要 对该指标求和。这是现代物理中通 用的约定。
19
反对称张量变换后仍为反对称张量
Tij= -Tji
T 'ij aik a jlTkl aik a jlTlk ail a jk Tkl a jk ailTkl T
' ji
20
对称张量的迹是一个标量
T ii aik ailTkl kl Tkl Tkk 不变量
§6.4 相对论理论的四维形式
1
在相对论中时间和空间不可分割， 当参考系改变时，时空坐标互相 变换，三维空间和一维时间构成 一个统一体
——
四维时空。
2
四维时空理论可用简洁的四
维形式表述出来。利用这种形式可以很 清楚地显示出一些物理量之间的内在联 系，并且可以把相对性原理用非常明显 的形式表达出来。
a
1
变换式满足正交条件
~a I a
30
4. 四维协变量
在四维形式中，时间与空间统一在一个四维空 间内，惯性参考系的变换相当于四维空间的 “转动”。由于物质在时空中运动，描述物质 运动和属性的物理量必然会反映出时空变换的 特点。把三维情形推广，我们也可以按照物理 量在四维空间转动（洛伦兹变换）下的变换性 质来把物理量分类。
T
'
ij
a ik a jl Tkl
具有这种变换关系的物理量称为二阶张量。例 如应力张量, 电四极矩等。
18
二阶张量还可以进一步分类 对称张量变换后仍为对称张量
Tij= Tji
T ij aik a jlTkl aik a jlTlk
'
ail a jk Tkl a jk ailTkl T ' ji
i a ij i
'
16
有些微分算符也具有矢量性质
/ x i
x ' i x j
/ x j x i x j
17
(3) 二阶张量
(4.19)
这类物理量要用两个矢量指标表示, 有9个 分量, 显示出更复杂的空间取向性质。当 空间转动时, 其分量Tij按以下方式变换
e i ,
k x t
在另一参考系观察的相位因子
e
i '
,
' k ' x ' 't '
36
相位和´的关系
第一事件：设参考系和´的原点在时刻 t=t´=0重合。在该时刻, 两参考系的原点上 都观察到电磁波处于波峰, 相位 = ´ =0。 第二事件：在系n个周期(t=2n/ )后, 第n 个波峰通过系原点, 相位 =-2 n 。它在 上的时空坐标为(x=0,t= 2n/ ), 在´上的 时空坐标(x´,t´)可用洛伦兹变换求得, 而相 位同样是´ = -2n 。
x ' i a ij x j
24
洛伦兹变换是满足间隔不变的四维时空线性变换
x´12+ x´22+ x´32 － c2 t´2 = x12 + x22 + x32 － c2 t2
形式上引入第四维虚数坐标
x4=ict
25
则间隔不变式可写为 x´12+ x´22+ x´32 + x´42 = x12 + x22 + x32 + x42=不变量 以后在下角指标中用拉丁字母代表1-3, 希腊字 母代表1-4, 间隔不变式可写为 x´2 x´2= x2 x2 =不变量
变换系数矩阵形式
a
ij
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
~ a ij a ji
~ aa I
其中I为单位矩阵
13
~ 转置矩阵 a
正交条件式可用矩阵乘法写为
2. 物理量按空间变换性质的分类
标量、矢量、张量等
k x
四维波矢量
'
'
k x 不变量
k (k , i
c
)
39
在洛伦兹变换下, k的变换式为
k ' a k
洛伦兹变换
k '1 ( k1
c
2
),
k '2 k2 , k '3 k3 ,
' ( k1 )
40
设波矢量k与x轴方向的夹角为,k´与x轴的夹角为´,有
根据物理量在空间转动下的变换性质分类
14
(1) 标量
在空间中没有取向关系,当坐标系转动时保 持不变的物理量。如质量、电荷等。设在坐 标系中某标量用u表示,在转动后的坐标系 ´中用u´表示。由标量不变性有