6635高一数学圆锥曲线方程练习卷
圆锥曲线与方程测试题(带答案)
________．
15．长为 l ( 0＜l＜1 ) 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y x2 上滑动，则线段 AB 中点 M 到
x 轴距离的最小值是________． 16．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心 F 为焦点的椭圆，测得近地点 A 距离地面
m(km) ，远地点 B 距离地面 n(km) ，地球半径为 R(km) ，关于这个椭圆有以下四种说法：
MN
MF1 e ……5 分 MF2
由焦点半径公式得 ex0 a e ex0 a
x0
a(1 e) e2 e
…………………………7
分
而 x0 a
a(1 e) a e2 e
即 e2 2e 1 0 解得1 2 e 2 1 但
e 1 1 e 2 1 ……………………………………10 分
MN 中点横坐标为 2 ,则此双曲线的方程是(
)
3
(A)
x2 y2 1 34
(B)
x2 y2 1 43
(C)
x2 y2 1 52
(D)
x2 y2 1 25
11.将抛物线 y x 2 4x 3 绕其顶点顺时针旋转 900 ，则抛物线方程为（ ）
（A） ( y 1)2 2 x （B） ( y 1)2 x 2
4
l2
13． 4 2 或 9 6 14． 15． 16．①③④
3
4
17.（1）依题意可设椭圆方程为 x 2 y 2 1 ，则右焦点 F（ a 2 1,0 ）由题设 a2
a2 1 2 2 3
2
解得 a 2 3
故所求椭圆的方程为 x2 y2 1 . 3
高中数学圆锥曲线与方程练习题汇编
圆锥曲线与方程一、选择题1．双曲线3x 2－y 2＝9的实轴长是 ( )A ．2 3B ．22C ．4 3D ．4 2 2．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 ( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 3．对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是 ( )A ．开口向上，焦点为(0,1)B ．开口向上，焦点为⎝⎛⎭⎫0，116 C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，焦点为⎝⎛⎭⎫0，116 4．若k ∈R ，则k >3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px (p >0)的准线上，则p 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．4 26．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为 ( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．17．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 ( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎭⎫0，22 D.⎣⎡⎭⎫22，1 8．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 ( ) A.⎝⎛⎭⎫14，－1 B.⎝⎛⎭⎫14，1 C.⎝⎛⎭⎫12，－1 D.⎝⎛⎭⎫12，1 9．已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8,8)，则线段AB 的中点到准线的距离是 ( ) A.254 B.252 C.258D ．25 10．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ) A.54 B ．5 C.52D. 5 11．若双曲线x 29－y 24＝1的渐近线上的点A 与双曲线的右焦点F 的距离最小，抛物线y 2＝2px (p >0)通过点A ，则p 的值为 ( )A.92 B ．2 C.21313 D.1313二、填空题13．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为______．14．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点F 1，F 2，过点F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，其中一个交点为P ，则|PF 2|＝______.15．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．16．F 1，F 2分别是椭圆x 22＋y 2＝1的左，右两个焦点，过F 2作倾斜角为π4的弦AB ，则△F 1AB 的面积为________． 17．已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为________． 三．解答题18.设椭圆E 的方程为22221(0),x y a b a b+=>>点O 为坐标原点，点A 的坐标为(,0)a ,点B的坐标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM （Ⅰ）求E 的离心率e ;（Ⅱ）设点C 的坐标为（0，-b ）,N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .19．（本小题满分14分）已知椭圆C:2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．（I ）求椭圆C 的离心率；（II ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（III ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．20.已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且3AF =． （Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．圆锥曲线与方程测试题答案一．选择题1．A 2.D 3.B 4.A 5.C 6.C 7．C 8.A 9.A 10.D 11.C二．填空题13.12 14.72 15.32 16.4317.16 三．解答题18.【解析】 （Ⅰ）解：由题设条件知，点)31,32(b a M ，又105=OM k 从而1052=a b . 进而b b a c b a 2,522=-==，故552==a c e . （Ⅱ）证：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-2,2b a ，可得⎪⎭⎫ ⎝⎛=65,6b a . 又()b a ,-=，从而有()22225616561a b b a -=+-=⋅ 由（Ⅰ）得计算结果可知,522b a =所以0=⋅，故AB MN ⊥.19.解析：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2213x y +=.所以a =1b =，c =所以椭圆C 的离心率3c e a ==. （Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -. 直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--.令3x =，得1(3,2)M y -.所以直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-. （Ⅲ）直线BM 与直线D E 平行.证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知1BM k =.又因为直线D E 的斜率10121DE k -==-，所以//BM DE . 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为1111(2)2y y x x --=--. 令3x =，得点1113(3,)2y x M x +--. 由2233(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(13)6330k x k x k +-+-=. 所以2122613k x x k +=+，21223313k x x k -=+. 直线BM 的斜率11212323BM y x y x k x +---=-. 因为11112121(1)3(1)(2)(3)(2)1(3)(2)BM k x x k x x x x k x x -+--------=-- 121221(1)[2()3)(3)(2)k x x x x x x --++-=-- 2222213312(1)[3)1313(3)(2)k k k k k x x -+-+-++=-- 0=，所以1BM DE k k ==.所以//BM DE .综上可知，直线BM 与直线D E 平行.20.（I ）由抛物线的定义得F 22p A =+． 因为F 3A =，即232p +=，解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =． （II ）设以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆的半径为r ．因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以m =±(2,A ．由(2,A ，()F 1,0可得直线F A的方程为)1y x =-．由)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=， 解得2x =或12x =，从而1,2⎛B ⎝． 又()G 1,0-，故直线G A的方程为30y -+=，从而r == 又直线G B的方程为30y ++=，所以点F 到直线G B的距离d r ===． 这表明以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切．。
高中数学圆锥曲线练习题含答案
圆锥曲线专题练习一、选择题1.已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ）A ．2B ．3 C ．5 D ．7 2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 （ ）A ．116922=+y xB ．1162522=+y xC ．1162522=+y x 或1251622=+y x D ．以上都不对3．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于（ ）A ．2B ．3C ．2D ．34．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是 （ ）A ．25B ．5C ．215 D ．105．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为 （ ）A ．(7,B ．(14,C ．(7,±D ．(7,-± 6．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．()+∞,0 B ．()2,0 C ．()+∞,1 D ．()1,0 二. 填空题7．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。
8．设AB 是椭圆22221x y a b+=的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则AB OM k k ⋅=____________。
三.解答题9．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线21y x =+截得的弦长为15，求抛物线的方程。
10、已知动点P与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值12-. （Ⅰ）试求动点P 的轨迹方程C.（Ⅱ）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |=324时，求直线l 的方程.参考答案1．D 点P 到椭圆的两个焦点的距离之和为210,1037a =-= 2．C 2222218,9,26,3,9,1a b a b c c c a b a b +=+====-=-=得5,4a b ==，2212516x y ∴+=或1251622=+y x 3．C 2222222,2,2,a c c c a e e c a =====4．B 210,5p p ==，而焦点到准线的距离是p5．C 点P 到其焦点的距离等于点P 到其准线2x =-的距离，得7,P p x y ==±6．D 焦点在y 轴上，则2221,20122y x k k k+=>⇒<<7．221205x y -=± 设双曲线的方程为224,(0)x y λλ-=≠，焦距2210,25c c == 当0λ>时，221,25,2044x y λλλλλ-=+==；当0λ<时，221,()25,2044y x λλλλλ-=-+-==--- 8． 22b a - 设1122(,),(,)A x y B x y ，则中点1212(,)22x x y yM ++，得2121,AB y y k x x -=-2121OMy y k x x +=+，22212221AB OM y y k k x x -⋅=-，22222211,b x a y a b +=22222222,b x a y a b +=得2222222121()()0,b x x a y y -+-=即2222122221y y b x x a-=--9．解：设抛物线的方程为22y px =，则22,21y pxy x ⎧=⎨=+⎩消去y 得12AB x =-===，24120,2,6p p p =--==-或 10、（Ⅰ）解：设点(,)P x y12=-， 整理得.1222=+y x由于x ≠C的方程为221(2x y x +=≠（Ⅱ）由.04)21(:.1,122222=++⎪⎩⎪⎨⎧+==+kx x k y kx y y x 得消去解得x 1=0, x 2=212,(214x x k k +-分别为M ，N的横坐标）由,234|214|1||1||22212=++=-+=kk k x x k MN .1:±=k 解得 所以直线l 的方程x －y +1=0或x +y －1=0。
高一数学圆锥曲线试题
高一数学圆锥曲线试题1.已知定点，，动点到定点距离与到定点的距离的比值是.（Ⅰ）求动点的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；（Ⅱ）当时，记动点的轨迹为曲线.①若是圆上任意一点，过作曲线的切线，切点是，求的取值范围；②已知，是曲线上不同的两点，对于定点，有.试问无论，两点的位置怎样，直线能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明理由.【答案】（Ⅰ），方程表示的曲线是以为圆心，为半径的圆.（Ⅱ）当时，曲线的方程是，曲线表示圆，圆心是，半径是.①.②动直线与定圆相切.【解析】（Ⅰ）设动点的坐标为，则由，得，整理得: .，当时，则方程可化为：，故方程表示的曲线是线段的垂直平分线；当时，则方程可化为，即方程表示的曲线是以为圆心，为半径的圆. 5分（Ⅱ）当时，曲线的方程是，故曲线表示圆，圆心是，半径是.①由，及有：两圆内含，且圆在圆内部.如图所示，由有: ,故求的取值范围就是求的取值范围.而是定点，是圆上的动点，故过作圆的直径，得，，故，. 9分②设点到直线的距离为，，则由面积相等得到，且圆的半径.即于是顶点到动直线的距离为定值，即动直线与定圆相切.【考点】圆的方程，圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系。
点评：难题，本题确定轨迹方程，利用了“直接法”，对于参数的讨论，易出现遗漏现象。
本题确定点到直线的距离，转化成面积计算，不易想到。
2.如图，F1，F2是离心率为的椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点，直线：x＝－将线段F1F2分成两段，其长度之比为1 : 3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．(Ⅰ) 求椭圆C的方程；(Ⅱ) 求的取值范围．【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) [，）【解析】 (Ⅰ) 设F2(c，0)，则＝，所以c＝1．因为离心率e＝，所以a＝．所以椭圆C的方程为． 6分(Ⅱ) 当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x＝－，此时P(，0)、Q(,0)．当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M(－，m) (m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得(x1＋x2)＋2(y1＋y2)＝0，则－1＋4mk＝0，故k＝．此时，直线PQ斜率为，PQ的直线方程为．即．联立消去y，整理得．所以，．于是(x1－1)(x2－1)＋y1y2．令t＝1＋32m2，1＜t＜29，则．又1＜t＜29，所以．综上，的取值范围为[，）． 15分【考点】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
高一数学圆锥曲线与方程试题
高一数学圆锥曲线与方程试题1.方程所表示的曲线是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在y轴上的双曲线【答案】C【解析】利用sinθ值的范围，求得2sinθ+3与sinθ﹣2的范围，结合标准形式判断曲线的形状．解：∵﹣1≤sinθ≤1，∴2sinθ+3＞0．sinθ﹣2＜0，方程所表示的曲线是：表示焦点在x轴上的双曲线，故选 C．点评：本题考查双曲线的标准方程的特征，正弦函数的值域，利用好曲线的标准形式，是解题的关键．2.双曲线8kx2﹣ky2=8的一个焦点为（0，3），则k的值为．【答案】﹣1．【解析】先把双曲线8kx2﹣ky2=8的方程化为标准形式，焦点坐标得到c2=9，利用双曲线的标准方程中a，b，c的关系即得双曲线方程中的k的值．解：根据题意可知双曲线8kx2﹣ky2=8在y轴上，即，∵焦点坐标为（0，3），c2=9，∴，∴k=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，注意化成双曲线的标准方程中a，b，c的关系．3.如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在y轴上，且a ﹣c=那么椭圆的方程是．【答案】【解析】根据短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在y轴上知在结合a﹣c=与a2=b2+c2求出a，b，c即可解：由题意可设椭圆方程为：∵短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在y轴上∴又∵a﹣c=，a2=b2+c2∴a2=12，b2=9∴椭圆的方程为：故答案为：点评：本题考查了椭圆的标准方程，解三角形以及解方程组的相关知识，属于基础题．4.椭圆关于抛物线y2=﹣4x的准线l对称的椭圆方程是．【答案】【解析】抛物线y2=﹣4x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=4，由此可得抛物线y2=﹣4x的准线方程．设椭圆上的点坐标为（x0，y），其关于准线的对称点坐标为（x，y），根据对称性可分别表示出x0和y，代入椭圆即可得到答案．解：抛物线y2=﹣4x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=4 ∴=1∴抛物线y2=﹣4x的准线方程为x=1，设已知椭圆上的点坐标为（x0，y），其关于x=1的对称点坐标为（x，y）依题意可知x0=﹣x+2，y=y把点（x0，y）代入椭圆得，即．故答案为：．点评：本题主要考查了抛物线的标准方程、对称变换，代入法求轨迹方程等．解答关键是充分利用了点的对称性来解决问题．5.直线l过点M（1，1），与椭圆+=1交于P，Q两点，已知线段PQ的中点横坐标为，求直线l的方程．【答案】即y=（1+）（x﹣1）+1或y=（1﹣）（x﹣1）+1．【解析】平方差法：易判断直线存在斜率，设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为（，y 0），把P、Q坐标代入椭圆方程两式相减，利用斜率公式及中点坐标公式可用y表示出直线斜率，再用M点坐标及中点的坐标可表示出斜率，从而得到关于y0的方程，解出y后即可求得斜率，用点斜式即可求得直线方程．解：易知直线l存在斜率，设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为（，y），则x1+x2=1，y1+y2=2y，把P、Q坐标代入椭圆方程，得①，，①﹣②得，，即=﹣=﹣，又=，所以=﹣，解得，，则直线斜率k=﹣=1±，所以直线l方程为：y﹣1=（1+）（x﹣1）或y﹣1=（1﹣）（x﹣1），即y=（1+）（x﹣1）+1或y=（1﹣）（x﹣1）+1．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，属中档题，凡涉及弦中点问题可用平方差法解决．6.将曲线log2x+log2y=2沿x、y轴﹣分别向右平移两个单位，向上平移一个单位，此时直线x+y+a=0与此曲线仅有一个公共点，求实数a的值．【答案】a=﹣7．【解析】利用曲线的平移变换得到平移后的曲线方程，由直线x+y+a=0与平移后的曲线仅有一个公共点，联立方程组后化成关于x的二次方程的判别式等于0，由此求出a的值，验证后可得答案．解：曲线log2x+log2y=2沿x、y轴﹣分别向右平移两个单位，向上平移一个单位，得到的曲线方程为：log2（x﹣2）+log2（y﹣1）=2，即，也就是（x﹣2）（y﹣1）="4" （x＞2，y＞1）．联立得：x2+（a﹣1）x﹣2a+2=0①．因为直线x+y+a=0与此曲线仅有一个公共点，所以△=（a﹣1）2﹣4（2﹣2a）=0，解得：a=﹣7或a=1．当a=1时，由方程①得x=0，不满足x＞2．当a=﹣7时，由方程①得：x2﹣8x+16=0，x=4符合x＞2．所以a=﹣7．点评：本题考查了函数的图象与图象变化，考查了方程组的解法，解答此题的关键是曲线沿y轴向上平移y如何变化，同时注意对数方程的验根问题，是基础题也是易错题．7.若椭圆的离心率为，则k的值为．【答案】4或﹣．【解析】若焦点在x轴上，则，若焦点在y轴上，则，由此能求出答案．解：若焦点在x轴上，则，解得k=4．若焦点在y轴上，则，解得k=﹣．故答案为：4或﹣．点评：本题考查椭圆的性质和应用，解题时要注意焦点的位置，避免丢解．8.若直线x﹣y=2与抛物线y2=4x交于A、B两点，则线段AB的中点坐标是．【答案】（4，2）【解析】把直线与抛物线的方程联立，消去y得到一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出两根之和x1+x2，再根据y=x﹣2得到y1+y2，利用中点坐标公式整体代入即可求出线段AB的中点坐标．解：把直线方程与抛物线方程联立得，消去y得到x2﹣8x+4=0，利用根与系数的关系得到x1+x2=8，则y1+y2=x1+x2﹣4=4中点坐标为（，）=（4，2）故答案为：（4，2）点评：考查学生会求直线与抛物线的交点坐标，灵活运用根与系数的关系及中点坐标公式化简求值．9.对于抛物线y2=4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是．【答案】（﹣∞，2]．【解析】设Q（，t），由|PQ|≥|a|得 t2≥8a﹣16恒成立，则8a﹣16≤0，解得a的取值范围．解：设Q（，t），由|PQ|≥|a|得（﹣a）2+t2≥a2，t2（t2+16﹣8a）≥0，t2+16﹣8a≥0，故t2≥8a﹣16恒成立，则8a﹣16≤0，a≤2，故a的取值范围是（﹣∞，2]，故答案为：（﹣∞，2]．点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，函数的恒成立问题，得到t 2≥8a ﹣16恒成立，是解题的关键．10. 设AB 是椭圆的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则k AB •k OM = ． 【答案】﹣．【解析】设出A ，B 两点的坐标求出中点M 的坐标，根据题意表示出k AB k OM =，再利用b 2x 12+a 2y 12=a 2b 2，b 2x 22+a 2y 22=a 2b 2，代入可得答案． 解：由题意得：设A （x 1，y 1）B （x 2，y 2），则中点M （，），所以k AB =，k OM =，所以k AB •k OM =，又因为点A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）在椭圆上 所以b 2x 12+a 2y 12=a 2b 2，b 2x 22+a 2y 22=a 2b 2， 所以得b 2（x 22﹣x 12）+a 2（y22﹣y 12）=0， 所以=﹣．故答案为﹣．点评：解决此类题目的关键是利用设而不求的方法，即设出点的坐标而不求点的坐标直接根据题意写出表达式进行整体求解，此种方法在圆锥曲线部分常见．。
圆锥曲线求方程真题练习(解析版)
圆锥曲线求方程真题练习（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =．(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．2．已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭两点． (1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =． (1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为Q M .从下面①①①中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；①PQ AB ∥；①||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.4．已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．(1)求l 的斜率；(2)若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．8．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12 ，（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求①AMN 的面积的最大值.9．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB 面积的最大值．10．抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）抛物线2:C y x =，M 方程为22(2)1x y -+=；（2）相切，理由见解析11．已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.12．已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |. （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.13．已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．14．已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.15．已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ①x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG 是直角三角形；（ii ）求PQG 面积的最大值.（1C 上. （①）求C 的方程；（①）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.17．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【答案】（1）222x y +=；（2）见解析.18．已知点()0,2A -，椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>F 是椭圆的焦点，直线AFO 为坐标原点． (1)求E 的方程； (2)设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ △的面积最大时，求l 的方程．19．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆 M ：22221x y a b +=（ 0a b >>）右焦点的直线0x y +交 M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且 OP 的斜率为12.（①）求椭圆M 的方程； （①）C ， D 为M 上的两点，若四边形ACBD的对角线 CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，长轴长为4，离心率为12．过点(4,0)Q 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线,AF BF 的斜率分别为()122,0k k k ≠，求证：12k k 为定值．。
圆锥曲线练习题(附答案)
圆锥曲线一、填空题x2 1、对于曲线C∶4 ky2=1 ，给出下面四个命题：k 1①由线 C 不可能表示椭圆；②当1＜k＜4 时，曲线 C 表示椭圆；③若曲线 C 表示双曲线，则k＜1 或k＞4;④若曲线 C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则 1 ＜k＜52 其中所有正确命题的序号为.x2 2、已知椭圆2a y1(a bb 20) 的两个焦点分别为F1 , F2 ，点P 在椭圆上，且满足PF1 PF20 ，tan PF1 F252 ，则该椭圆的离心率为x 2 y23. 若m0 ，点P m, 在双曲线 1 上，则点P 到该双曲线左焦点的距离2 4 5为.4、已知圆 C : x2y2 6x 4 y 8 0 ．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为．5、已知点P 是抛物线y2 4x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M，点A 的坐标是（4 ，a），则当| a | 4 时，| PA | | PM | 的最小值是．76.在ABC 中, AB BC ,cos B ．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点 C ，则该椭圆的离18心率e ．7.已知ABC 的顶点B -3, 0 、C 3, 0 ，E 、F 分别为AB、AC 的中点，AB 和AC 边上的中线交于G ，且| GF |+| GE |= 5 ，则点G 的轨迹方程为8.离心率e5，一条准线为x＝3 的椭圆的标准方程是. 329. 抛物线 y4ax ( a 0) 的焦点坐标是;10 将抛物线 x 4a ( y 3) 2(a 0) 按向量 v =（ 4 ，－ 3 ）平移后所得抛物线的焦点坐标为.1211 、抛物线yx (m m0) 的焦点坐标是 .x2 12. 已知 F 1、F 2 是椭圆2a(10 y2a)2=1(5 ＜a ＜ 10 ＝的两个焦点， B 是短轴的一个端点，则△ F 1BF 2 的面积的最大值是13. 设 O 是坐标原点， F 是抛物线 y 22 px ( p 0) 的焦点， A 是抛物线上的一点， FA 与 x轴正向的夹角为 60 °，则| OA |为 .714. 在 △ABC 中， ABBC ， cosB．若以 A ，B 为焦点的椭圆经过点 C ，则该椭圆18的离心率 e．二.解答题15 、已知动点 P 与平面上两定点（Ⅰ）试求动点 P 的轨迹方程 C.A(2,0),B( 2,0)1 连线的斜率的积为定值.2（Ⅱ）设直线 l : ykx 1 与曲线 C 交于 M 、N 两点，当 |MN |= 4 2 3时，求直线 l 的方程 . 21 2 1 2 1 216 、已知三点 P （ 5 ，2）、 F 1 （－ 6 ， 0 ）、 F 2 （ 6， 0）。
高一数学圆锥曲线与方程试题
高一数学圆锥曲线与方程试题1.（5分）设双曲线以椭圆长轴上的两个端点为焦点，其一支上的动点到相应焦点的最短距离为5﹣2，则双曲线的渐近线的斜率为（）A．±2B．±C．±D．±【答案】C【解析】求出椭圆长轴上的两个端点的坐标，即得双曲线焦点的坐标，从而求得c值，再根据双曲线上的点到相应焦点的最短距离为c﹣a，求出a值，利用b2=c2﹣a2，求出b，可得双曲线的渐近线方程y=±x．解：椭圆长轴上的两个端点A（﹣5，0），B（5，0），以A、B为焦点的双曲线，c=5，∵其一支上的动点到相应焦点的最短距离为5﹣2，∴c﹣a=5﹣2，∴a=2，∴b==，∴双曲线的渐近线方程y=±x=±x，故选C．点评：本题考查了双曲线的渐近线方程与焦点坐标，解题的关键是利用双曲线上的点到相应焦点的最短距离为c﹣a，求得a值．2.（5分）若方程Ax2+By2=1表示焦点在y轴上的双曲线，则A、B满足的条件是（）A.A＞0，且B＞0B.A＞0，且B＜0C.A＜0，且B＞0D.A＜0，且B＜0【答案】C【解析】先将方程Ax2+By2=1化成标准形式：，再结合方程Ax2+By2=1表示焦点在y 轴上的双曲线，得出A，B的范围即可．解：方程Ax2+By2=1化成：，∵方程Ax2+By2=1表示焦点在y轴上的双曲线，∴即A＜0，且B＞0故选C．点评：本题考查双曲线的标准方程，由双曲线的标准方程判断焦点在y轴上的双曲线的条件是解题的难点．3.（5分）抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是（）A．B．5C．D．10【答案】B【解析】根据抛物线的标准方程，可求得p，再根据抛物线焦点到准线的距离是p，进而得到答案．解：2p=10，p=5，而焦点到准线的距离是p．故抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是5故选B点评：本题主要考查了抛物线的性质．属基础题．4.（5分）（2011•沈阳二模）已知双曲线﹣=1左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且∠PF1F2=，则双曲线的渐近线方程为．【答案】y=±x．【解析】先求出|PF2|的值，Rt△PF1F2中，由tan∠PF1F2==tan，求出的值，进而得到渐近线方程．解：把x="c" 代入双曲线﹣="1" 可得|y|=|PF2|=，Rt△PF1F2中，tan∠PF1F2====tan=，∴=，∴渐近线方程为y=±x=±x，故答案为y=±x．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，直角三角形中的边角关系，求的值是解题的关键．5.（5分）若方程﹣=1表示双曲线，则k的取值范围是．【答案】﹣2＜k＜5．【解析】由双曲线方程的特点可得（5﹣k）（k+2）＞0，解之可得．解：若方程﹣=1表示的曲线为双曲线，则（5﹣k）（k+2）＞0，解得﹣2＜k＜5．故答案为：﹣2＜k＜5．点评：本题考查双曲线的标准方程，得出（5﹣k）（k+2）＞0是解决问题的关键，属基础题．6.（5分）（2008•嘉定区二模）已知双曲线x2﹣=1的一条渐近线与直线x﹣2y+3=0垂直，则a= ．【答案】4【解析】首先根据题意，由双曲线的方程判断出a＞0，进而可得其渐近线的方程；再求得直线x﹣2y+3=0的斜率，根据直线垂直判断方法，可得=2，解可得答案．解：根据题意，已知双曲线的方程为，则a＞0；双曲线的渐近线方程为y=±x；直线x﹣2y+3=0的斜率为，若双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+3=0垂直，必有双曲线的一条渐近线的斜率为﹣2；即=2，即a=4；故答案为：4．点评：本题考查双曲线的性质，要求学生掌握由双曲线的方程求其渐近线方程的基本方法．7.（10分）（2004•北京）已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线y2=2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；（2）求线段BC中点M的坐标（3）求BC所在直线的方程．【答案】（1）抛物线方程为y2=32x，焦点F的坐标为（8，0）（2）（11，﹣4）（3）4x+y﹣40=0．【解析】（1）由点A（2，8）在抛物线y2=2px上，将A点坐标代入，易求出参数p的值，代入即得抛物线的方程和焦点F的坐标；（2）又由，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合，由重心坐标公式，易得线段BC中点M的坐标；（3）设出过BC中点M的直线方程，根据联立方程、设而不求、余弦定理易构造关于直线斜率k 的方程，解方程求出k值，进而可以得到直线的方程．解：（1）由点A（2，8）在抛物线y2=2px上，有82=2p•2解得p=16所以抛物线方程为y2=32x，焦点F的坐标为（8，0）（2）如图，由F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，AM是BC上的中线，由重心的性质可得；设点M的坐标为（x0，y），则解得x=11，y=﹣4所以点M的坐标为（11，﹣4）（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴．设BC所成直线的方程为y+4=k（x﹣11）（k≠0）由消x得ky2﹣32y﹣32（11k+4）=0所以由（2）的结论得解得k=﹣4因此BC所在直线的方程为y+4=﹣4（x﹣11）即4x+y﹣40=0．点评：本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．8.（12分）已知动圆M过定点F（0，﹣），且与直线y=相切，椭圆N的对称轴为坐标轴，一个焦点为F，点A（1，）在椭圆N上．（1）求动圆圆心M的轨迹Γ的方程及椭圆N的方程；（2）若动直线l与轨迹Γ在x=﹣4处的切线平行，且直线l与椭圆N交于B，C两点，试求当△ABC面积取到最大值时直线l的方程．【答案】（1）．；（2）y=x±2．【解析】（1）由抛物线定义得，点M的轨迹是以F（0，﹣）为焦点，直线y=为准线的抛物线，由此可得轨迹Γ的方程；设出椭圆方程，利用点A（1，）在椭圆N上，可得椭圆N的方程；（2）设出切线方程，代入椭圆方程，求得|BC|，点A到直线的距离，表示出面积，利用基本不等式，即可求得△ABC面积取到最大值时直线l的方程．解：（1）过圆心M作直线y=的垂线，垂足为H．由题意得，|MH|=|MF|，由抛物线定义得，点M的轨迹是以F（0，﹣）为焦点，直线y=为准线的抛物线，其方程为．设椭圆方程为，将点A代入方程整理得a4﹣5a2+4=0，解得a2=4或a2=1（舍去）故所求的椭圆方程为；（2）轨迹Γ的方程为，即，则，所以轨迹轨迹Γ在x=﹣4处的切线斜率为k=，设直线l方程为y=x+m，代入椭圆方程整理得4x2+2mx+m2﹣4=0因为△=8m2﹣16（m2﹣4）＞0，解得﹣2＜m＜2；设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=所以BC|=×=×∵点A到直线的距离为d=，所以S△ABC=×××=≤当且仅当，即m=±2时等号成立，此时直线l的方程为y=x±2．点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，正确表示三角形的面积是关键．9.（12分）已知某椭圆C，它的中心在坐标原点，左焦点为F（﹣，0），且过点D（2，0）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若已知点A（1，），当点P在椭圆C上变动时，求出线段PA中点M的轨迹方程．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）根据题意椭圆的焦点在x轴上，a=2且c=，从而b=1，得到椭圆的标准方程；（2）设点P（x0，y），线段PA的中点为M（x，y），根据中点坐标公式将x、y表示成关于x、y的式子，将P（x0，y）关于x、y的坐标形式代入已知椭圆的方程，化简整理即可得到线段PA的中点M的轨迹方程．解：（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上，∵椭圆经过点D（2，0），左焦点为F（﹣，0），∴a=2，c=，可得b=1因此，椭圆的标准方程为．（2）设点P的坐标是（x0，y），线段PA的中点为M（x，y），由根据中点坐标公式，可得，∵点P（x0，y）在椭圆上，∴可得，化简整理得，∴线段PA中点M的轨迹方程是．点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆方程并求与之有关的一个轨迹方程，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和轨迹方程的求法等知识点，属于中档题．10.（12分）（2008•崇文区一模）已知抛物线C：y=ax2，点P（1，﹣1）在抛物线C上，过点P作斜率为k1、k2的两条直线，分别交抛物线C于异于点P的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且满足k1+k2=0．（1）求抛物线C的焦点坐标；（2）若点M满足，求点M的轨迹方程．【答案】（1）（0，﹣）．（2）：x=﹣1（y≤﹣1且y≠﹣5）．【解析】（1）将P代入抛物线C的方程即可求得a，进而抛物线的方程可得．（2）设直线PA的方程为y+1=k1（x﹣1），与抛物线方程联立消去y，得到关于x1的一元二次方程根据韦达定理求得x1与k1的关系，同样设直线PB的方程为y+1=k2（x﹣1）与抛物线方程联立消去y，进而可得x2与k2的关系，设点M的坐标为（x，y）根据向量的关系求得x=﹣1，得出M的轨迹．解：（1）将P（1，﹣1）代入抛物线C的方程y=ax2得a=﹣1，∴抛物线C的方程为y=﹣x2，即x2=﹣y．焦点坐标为F（0，﹣）．（2）设直线PA的方程为y+1=k1（x﹣1），联立方程消去y得x2+k1x﹣k1﹣1=0，则1•x1=﹣k1﹣1，即x1=﹣k1﹣1．由△=k12﹣4（﹣k1﹣1）=（k1+2）2＞0，得k1≠﹣2．同理直线PB的方程为y+1=k2（x﹣1），联立方程消去y得x2+k2x﹣k2﹣1=0，则1•x2=﹣k2﹣1，即x2=﹣k2﹣1．且k2≠﹣2．又∵k1+k2=0，∴k1≠2．设点M的坐标为（x，y），由又∵k1+k2=0，∴x=﹣1．=﹣（k12+1）≤﹣1，又k1≠±2，∴y≠﹣5．∴所求M的轨迹方程为：x=﹣1（y≤﹣1且y≠﹣5）．点评：本题主要考查抛物线与直线之间的关系，考查学生综合分析和运用所学知识的能力．。
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高一数学圆锥曲线方程练习卷
一选择题：
1、 到两定点1(2,0)F -和2(2,0)F 的距离之和为4的点M 的轨迹是：（ ）
A 、椭圆
B 、线段
C 、圆
D 、以上都不对
2、椭圆22
12516
x y +=上一点P 到一焦点距离为7，则P 到另一焦点距离为：（ ） A 、3 B 、5 C 、1 D 、7
3、若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则此椭圆的离心率为（ ）
A 、14
B 、
C 、
D 、12
4、已知方程22
111x y k k -=+- 表示双曲线，则k 的取值范围是：（ ）
A 、11k -<<
B 、0k >
C 、0k ≥
D 、11k k ><-或
5、双曲线22
1169x y -=的左、右焦点分别为F 1，F 2，在左支上过点F 1的弦AB 的长为5，那么△ABF 2的周长是（ ）
A 、16
B 、18
C 、21
D 、26
6、双曲线与椭圆22
11664x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线为y x =-，则双曲线方程为：（ ）
A 、
2296x y -= B 、22160y x -= C 、2280x y -= D 、2224y x -=
7、与圆22
40x y x +-=外切又和Y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是：（ ）
A 、28y x =
B 、28(0)y x x =>
C 、28(0)0y x x y =>=和
D 、28(0)0(0)y x x y x =>=≤和 8、方程
20m x n y +=与221(0)mx ny mn +=≠在同一坐标系中的大致图象是 ）
A 、
B 、
C 、
D 、
9、抛物线28y x =-中，以(1,1)-为中点的弦所在直线的方程为：( )
A 、 430x y --=
B 、430x y ++=
C 、430x y +-=
D 、430x y ++=
10、直线y x b =+与抛物线22x y =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥则b 的值为（ ）
A 、2
B 、-2
C 、1
D 、-1
11、若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线22y x =的焦点，点P 在该抛物线上移动，为使PA PF +取得最小值，点P 的坐标应为（ ）。
A 、（0，0）
B 、（1，1）
C 、（2，2）
D 、（0.5，1）
12 、椭圆
221mx ny +=与直线1y x =-+相交于A ，B 两点，过原点和线段AB
中点的直线斜率为，则m n 的值是（ ）
A
、 B
、 C
、 D
、
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。
13、点(,)M x y 在椭圆22
131
44x y +=上则x y +的最小值为____________。
14、抛物线24y x =按向量平移(1,2)a =r 后，其顶点在一次函数122
b y x =+的图象上，则b 的值为： _______。
15、双曲线22
1169x y -=的左焦点到渐近线的距离为________。
16、方程22
141
x y t t -=--表示曲线C ，给出以下命题：①曲线C 不可能是圆。
②若曲线C 为椭圆，则有1<t<4。
③若曲线C 为双曲线，则t<1或t>4
④若曲线C 为焦点在X 轴上的椭圆，则1<t<2.5
其中正确的是_________________________。
三、解答题：本大题共6小题共48分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17求下列曲线的的标准方程:
(1) 离心率e
(2) 渐近线方程是23
y x =±，经过点9(,1)2M -。
18已知一个动圆与圆C ：22(4)100x y ++= 相内切，且过点A （4，0），求这个动圆
圆心的轨迹方程。
19、已知22,,41,(,)34x y R x y x y f x y x y ∈+==+且满足方程试求的最大值,最小值.
20、(0,4),过点斜率为-1的直线与抛物线22(0)y px p =>交于两点A ，B ，如果
OA OB ⊥（O 为原点）求P 的值及抛物线的焦点坐标。
21、P 为椭圆22
12516x y +=上一点，左、右焦点分别为F 1，F 2。
（1） 若PF 1的中点为M ，求证1152
MO PF =-
（2） 若01260F PF ∠=，求12PF PF 之值。
（3） 求 12PF PF 的最值。
22、已知椭圆2
212
x y +=， （1）求斜率为2的平行线的中点轨迹方程。
（2）过A （2，1）的直线L 与椭圆相交，求L 被截得的弦的中点轨迹方程；
（3）过点P （0.5,0.5）且被P 点平分的弦所在直线的方程。