14秋季班09-二次函数的解析式教师版
运用平移、对称、旋转求二次函数解析式-教师版
运用平移、对称、旋转求二次函数解析式一、运用平移求解析式1．将二次函数223y x x =-++的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式．【答案】因为()222314y x x x =-++=--+，所以平移后的解析式为22y x =-+2．将抛物线2y x bx c =++先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线221y x x =-+，求b 、c 的值． 【答案】因为()22211y x x x =-+=-，所以平移前的解析式为：()233y x =-- 所以可得6b =-，6c =3．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()10A ，，()30B ，，且过点()03C -，，请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y x =-上，并写出平移后抛物线的解析式．【答案】可得()()13y a x x =--，代入()03C -，，可得1a =-， 所以()()()22134321y x x x x x =---=-+-=--+，所以顶点为()21，， 向左平移3个单位得到()211y x =-++二、运用对称求解析式4．将抛物线()214y x =--沿直线32x =翻折，得到一个新抛物线，求新抛物线的解析式．【答案】可得顶点()14-，，顶点翻折后得到()24-，，所以新抛物线解析式为()224y x =-- 5．如图，已知抛物线1C ：2216833y x x =++与抛物线2C 关于y 轴对称，求抛物线2C 的解析式．【答案】因为()2221628843333y x x x =++=+-，顶点为843⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，关于y 轴对称后顶点为 843⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以对称后的解析式为：()2228216483333y x x x =--=-+ 三、运用旋转求解析式6．将抛物线221y x x =-+的图象绕它的顶点A 旋转180°，求旋转后的抛物线的解析式．【答案】因为()22211y x x x =-+=-，顶点()10A ，，旋转180°即为沿x 轴翻折后对称 所以()21y x =--。
2014年秋人教版九年级数学上册随堂优化课后能力提升专练22.1.3用待定系数法求二次函数的解析式
*第3课时用待定系数法求二次函数的解析式（附答案）1．过坐标原点，顶点坐标是(1，－2)的抛物线的解析式为____________．2．已知二次函数的图象经过(0,0)，(1,2)，(－1，－4)三点，那么这个二次函数的解析式是__________．3．将抛物线y＝x2－2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线解析式是____________．4．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1,10)和(2,7)，且3a＋2b＝0，则该抛物线的解析式为________．5．已知二次函数的图象关于直线x＝3对称，最大值是0，与y轴的交点是(0，－1)，这个二次函数解析式为____________________．6．如图22-1-8，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－1,0)，(1，－2)，该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为________.图22-1-87．如图22-1-9，A(－1,0)，B(2，－3)两点都在一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx－3的图象上．(1)求m的值和二次函数的解析式；(2)请直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．图22-1-98．如果抛物线y＝x2－6x＋c－2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于() A．8B．14C．8或14D．－8或－149．已知双曲线y ＝k x与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交于A (2,3)，B (m,2)，c (－3，n )三点，求双曲线与抛物线的解析式．10．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，以AB 的垂直平分线为x 轴，AB 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图22-1-10)．(1)写出A ，B ，C ，D 及AD 的中点E 的坐标；(2)求以E 为顶点、对称轴平行于y 轴，并且经过点B ，C 的抛物线的解析式．图22-1-10*第3课时 用待定系数法求二次函数的解析式【课后巩固提升】1．y ＝2x 2－4x .2．y ＝－x 2＋3x 解析：设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ＋b ＝2，a －b ＝－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝3，c ＝0. ∴所求解析式为y ＝－x 2＋3x .3．y ＝x 2－10x ＋274．y ＝2x 2－3x ＋55．y ＝－19(x －3)2 解析：由图象的对称轴和函数的最大值，可知顶点坐标是(3,0)，设y ＝a (x －3)2，把(0，－1)代入，得9a ＝－1 ，a ＝－19.∴y ＝－19(x －3)2. 6．3 解析：由条件求得二次函数的解析式为y ＝x 2－x －2，所以点C 坐标为(2,0)，所以AC 长为2－(－1)＝3.7．解：(1)由于点A (－1,0)在一次函数y 1＝－x ＋m 的图象上，得－(－1)＋m ＝0，即m ＝－1；已知点A (－1,0)，点B (2，－3)在二次函数y 2＝ax 2＋bx －3的图象上，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a －b －3＝0，4a ＋2b －3＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. ∴二次函数的解析式为y 2＝x 2－2x －3.(2)由两个函数的图象知：当y 1＞y 2时，－1＜x ＜2.8．C9．解：把点A (2,3)代入y ＝k x，得k ＝6. ∴反比例函数的解析式为y ＝6x. 把点B (m,2)，C (－3，n )分别代入y ＝6x，得m ＝3，n ＝－2. 把点A (2,3)，B (3,2)，C (－3，－2)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2b ＋c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝2，9a －3b ＋c ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－13，b ＝23，c ＝3.∴抛物线的解析式为y ＝－13x 2＋23x ＋3. 10．解：(1)根据题意，可知：A (0,1)，B (0，－1)，C (4，－1)，D (4,1)，E (2,1)．(2)∵抛物线顶点坐标是E (2,1)，且经过B (0，－1)，∴设抛物线的解析式为y ＝a (x －2)2＋1.把B (0，－1)代入解析式y ＝a (x －2)2＋1，得a ＝－12.∴抛物线的解析式为y ＝－12(x －2)2＋1.。
二次函数解析式的求法 初中九年级数学教案教学设计课后反思 人教版
22.3 二次函数解析式的解法一、教学目标知识目标：通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究,掌握求解析式的方法。
能力目标：能灵活的根据条件恰当地选取选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化。
情感价值观 ：让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程，使学生掌握类比、转化等学习数学的方法，养成既能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯。
从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣。
二、教学重难点重点：会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质解决生活中的实际问题三、教学方法：探究法、引导法、归纳法、讲解法四、教学教具准备：三角板、课件五、教学时间：1课时六、教学过程（一）温故知新二次函数解析式（常见的三种形式）1、一般式：cbx ax y ++=22、顶点式：k h x a y +-=2)(3、交点式: ))((21x x x x a y --=（二）探究新知求二次函数解析式的思想方法1、求二次函数解析式的常用方法: 待定系数法、配方法、数形结合等2、求二次函数解析式的常用思想:3、二次函数解析式的最终形式:一般式（三）例题讲解例1、已知二次函数的图象经过点A(0,-1)、B(1,0)、C(-1,2)，求它的解析式。
例2、已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y轴交于点(0，1)，求这个二次函数的解析式。
例3、已知抛物线与x轴交于点M(-3，0)、N(5，0)，且与y轴交于点P(0，-3)，求它的解析式。
（四）课堂小结求二次函数解析式的一般方法有哪些？（五）课堂练习1、已知一个二次函数的图象过点（0，1)，它的顶点坐标是（8，9)，求这个二次函数关系式。
2、已知二次函数的图象过（0，1)、(2，4)、(3，10）三点，求这个二次函数的关系式。
3、已知二次函数的图象过 （-2，0）、(4，0)、(0，3）三点，求这个二次函数的关系式。
二次函数的图像和性质、解析式求法(教师版)
二次函数一．二次函数的概念1．二次函数的定义：一般地，形如 2y ax bx c =++（a b c ，，为常数，0a ≠）的函数称为关于x 的二次函数，其中x 为自变量，y 为因变量，,,a b c 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数．2．二次函数2y ax bx c =++的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x知识图谱错题回顾知识精讲的最高次数是2．一．考点：二次函数的概念．二．重难点：二次函数的概念．三．易错点：二次函数的二次项系数不能等于零，一次项系数和常数项都没有限制．题模一：概念例1.1.1 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）A ． y=3x ﹣1B ． y=ax 2+bx+c C ． s=2t 2﹣2t+1D ． y=x 2+【答案】C【解析】 A 、y=3x ﹣1是一次函数，故A 错误； B 、y=ax 2+bx+c （a≠0）是二次函数，故B 错误； C 、s=2t 2﹣2t+1是二次函数，故C 正确； D 、y=x 2+不是二次函数，故D 错误；例1.1.2 若21(1)3m y m x mx +=-++是二次函数，则m 的值是（ ）A ． 1-B ． 2C ． 1±D ． 1【答案】A【解析】 根据二次函数的定义可得212m +=且10m -≠，解得1m =-，故答案为A 选项．例1.1.3 若()()2322231my m x m x x -=--++-是二次函数，则m 的值是__________．【答案】 2【解析】 由二次函数的定义可知2m =．例1.1.4 二次函数y=ax 2+bx-1（a ≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1-a-b 的值为（ ） A ． -3 B ． -1 C ． 2 D ． 5 【答案】B 【解析】∵二次函数y=ax 2+bx -1（a≠0）的图象经过点（1，1）， ∵a+b -1=1，三点剖析题模精讲∵a+b=2，∵1-a -b=1-（a+b ）=1-2=-1． 故选：B ．随练 1.1 已知函数①54y x =-，②2263t x x =-，③32283y x x =-+，④2318y x =-，⑤2312y x x =-+，其中二次函数的个数为（ ） 【答案】 B 【解析】 本题考查的是二次函数概念． ①54y x =-，③32283y x x =-+，⑤2312y x x=-+不符合二次函数解析式， ②2263t x x =-，④2318y x =-符合二次函数解析式，有两个． 故选B ．随练1.2 已知函数()2113m y m x x +=-+，当m =_________时，它是二次函数．【答案】 1-【解析】 本题考查的是二次函数概念． ∵()2113m y m x x +=-+是二次函数，∴212m +=，∴1m =-或1m =（舍去，因为此时二次项系数10m -=）． 故答案为1-．随练1.3 中考）抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过点（1，2）和（-1，-6）两点，则a+c=____． 【答案】 -2 【解析】把点（1，2）和（-1，-6）分别代入y=ax 2+bx+c （a≠0）得： 26a b c a b c ++=⎧⎨-+=-⎩①②， 随堂练习∵+∵得：2a+2c=-4， 则a+c=-2； 故答案为：-2．y=ax^2的图象和性质一．2y ax =的图象与性质a 的符号图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 性质0a >向上y 轴()00，0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．0a <向下y 轴()00，0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．一．考点：2y ax =的图象与性质．二．重难点：1．2y ax =的图象与性质；2．对于211y a x =和222y a x =，若12a a =，则1y 和2y 的函数图像是全等的．三．易错点：开口大小由a 决定，a 越大，开口越小．题模一：y=ax^2的图象和性质例2.1.1 若二次函数y=ax 2的图象经过点P （-2，4），则该图象必经过点（ ） A ． （2，4） B ． （-2，-4） C ． （-4，2） D ． （4，-2） 【答案】A知识精讲三点剖析题模精讲【解析】∵二次函数y=ax 2的对称轴为y 轴， ∵若图象经过点P （-2，4）， 则该图象必经过点（2，4）． 故选A ．例2.1.2 若二次函数22my mx -=有最大值，则m =__________．【答案】 2-【解析】 二次函数有最大值，则开口向下，得出2m =-．例2.1.3 在同一直角坐标系下，画出二次函数2y x =，2y x =-，212y x =-和22y x =的图象．【答案】【解析】 由描点法画出函数图像．例2.1.4 已知1a <-，点()11,a y -，()2,a y ，()31,a y +都在函数2y x =的图象上，则（ ） A ． 123y y y << B ． 132y y y << C ． 321y y y << D ． 213y y y <<【答案】C【解析】 因为1a <-，所以110a a a -<<+<，因为2y x =对称轴为y 轴，且开口向上，所以321y y y <<，故答案为C 选项．随练2.1 已知二次函数2y ax =经过点()3,3A ，点B 也在该二次函数图像上，且AB x ∥，则点B 的坐标为（ ）A ． ()3,3-B ． ()3,3-C ． ()3,1-D ． ()1,3- 【答案】A【解析】 由二次函数的对称性可知点()3,3B -．随练2.2 若二次函数21my mx +=有最小值，则m =__________．【答案】 1【解析】 二次函数有最小值，则开口向上，得出1m =．随堂练习随练2.3 在同一坐标系中画出二次函数214y x =，212y x =，2y x =的函数图像．【答案】【解析】 有描点法画出函数图像．y=a （x-h ）^2+k 的图象和性质一．()2y a x h k =-+（0a ≠）的图像和性质()2y a x h k =-+（0a ≠）是二次函数()20y ax bx c a =++≠的顶点式，其中(),h k 为其顶点坐标，x h =为其对称轴．一般式配成顶点式的方法：222222242224b c b b c b b ac b y ax bx c a x x a x x a x a a a a a a a a ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+++-=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． a 的符号 图象开口方向对称轴顶点坐标 性质0a >向上 x h =(,)h kx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．0a <向下 x h =(,)h kx h <时，y 随x 的增大而增大；x h >时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最大值k ．二．()2y a x h k =-+（0a ≠）图像的平移变换函数()2y a x h k =-+的图象可以看做是由函数2y ax =的图象先向左或向右平移||h 个单位，再向上或向下平移||k 个单位得到的；当0h >时，向右平移，当0h <时，向左平移；0k >时，向上平移，0k <时，向下平移．平移原则：左加右减，上加下减．例如：将()2y a x h k =-+向左或右平移m ()0m >个单位变为()2y a x h m k =-±+，向右平移m ()0m >个单位变为()2y a x h m k =--+；向上或下平移()0n n >个单位后变为()2y a x h k n =-+±，先向左平移m ()0m >个单位再向下平移()0n n >个单位后变为()2y a x h m k n =-++-．知识精讲三点剖析一．考点：()()20y a x h k a =-+≠的图像和性质，()()20y a x h k a =-+≠图像的平移变换．二．重难点：()()20y a x h k a =-+≠的图像和性质，平移变换左加右减，上加下减的原则．三．易错点：1．在判断()()20y a x h k a =-+≠图像的增减性时一定要先确定开口方向；2．左右平移是针对x ，上下平移是针对y ．题模一：y=a （x -h ）^2+k 的图象和性质例3.1.1 抛物线()223y x =++的顶点坐标是（ ） A ． ()2,3-B ． ()2,3C ． ()2,3--D ． ()2,3-【答案】A【解析】 该题考查的是二次函数．二次函数顶点式：()2y a x h k =-+，顶点坐标为(),P h k ，本题中，()223y x =++，顶点坐标()2,3-，故答案是A ．例3.1.2 将二次函数223y x x =--化成()2y x h k =-+形式，则h k +结果为（ ） A ． 5- B ． 5 C ． 3D ． 3-【答案】D【解析】 该题考查的是配方法．()2221414y x x x =-+-=--∴1h =，4k =-∴3h k +=-，故答案选D ．例 3.1.3 已知二次函数()231y x k =--+的图象上有三点()12,A y ，()22,B y ，()35,C y ，则1y 、2y 、3y 的大小关系为（ ）A ． 123y y y >>B ． 213y y y >>C ． 312y y y >>D ． 321y y y >>【答案】A【解析】 该题考查的是二次函数性质． ∵二次函数的解析式()231y x k =--+，∴二次函数的对称轴为1x =， 根据二次函数解析式可知，当1x >时，y 随x 的增大而减小，题模精讲∴123y y y >>，故选A ．题模二：y=a （x -h ）^2+k 平移变换例3.2.1 抛物线2(2)1y x =-+是由抛物线2y x =平移得到的，下列对于抛物线2y x =的平移过程叙述正确的是（ ）A ． 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B ． 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C ． 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D ． 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 【答案】A【解析】 该题考查的是二次函数图象的几何变换． 因为函数2y x =的图象沿y 轴向上平移1个单位长度， 所以根据左加右减，上加下减的规律， 直接在函数上加1可得新函数21y x =+；然后再沿x 轴向右平移2个单位长度，可得新函数()221y x =-+． 故选A随练3.1 已知抛物线()21533y x =--+，下列说法正确的是（ ）A ． 开口向下，顶点坐标()5,3B ． 开口向上，顶点坐标()5,3 C ． 开口向下，顶点坐标()5,3-D ． 开口向上，顶点坐标()5,3-【答案】A 【解析】 由()2y a x h k=-+的性质可知，开口向下，顶点为()5,3．随练3.2 将二次函数2281y x x =--化成2()y a x h k =-+的形式，结果为（ ） A ． 22(2)1y x =-- B ． 22(4)32y x =-+ C ． 22(2)9y x =--D ． 22(4)33y x =--【答案】C【解析】 该题考查的是二次函数一般式与顶点式的转换． 通过配方，可得22(2)9y x =--．故选C随堂练习随练3.3 设A （-2，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是抛物线y=-（x+1）2+a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ） A ． y 1＞y 2＞y 3 B ． y 1＞y 3＞y 2 C ． y 3＞y 2＞y 1 D ． y 3＞y 1＞y 2 【答案】A 【解析】∵函数的解析式是y=-（x+1）2+a ，如右图， ∵对称轴是x=-1，∵点A 关于对称轴的点A′是（0，y 1），那么点A′、B 、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边y 随x 的增大而减小， 于是y 1＞y 2＞y 3． 故选A ．随练3.4 抛物线23(1)2y x =-+-经过平移得到抛物线23y x =-，平移的方法是（ ） A ． 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B ． 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C ． 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D ． 向右平移1个单位，再向上平移2个单位 【答案】D【解析】 该题考查的是二次函数图像平移． 二次函数的平移法则是：左右平移变动的是x ，如将()20y ax bx c a =++≠左平移m 个单位，即可得到 ()()()2++0y a x m b x m c a =++≠，右平移m 个单位，即可得到 ()()()20y a x m b x m c a =-+-+≠，上下平移变动的是y ，如将()20y ax bx c a =++≠上平移m 个单位，即可得到()2+0y ax bx c m a =++≠，下平移m 个单位，即可得到()20y ax bx c m a =++-≠总结为：左加右减在括号，上加下减在末梢，本题中，()2312y x =-+-经过向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到23y x =-，故答案是D ．随练3.5 在平面直角坐标系中，如果抛物线221y x =+不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）A ． ()2223y x =-+ B ． ()2221y x =-- C ． ()2221y x =+-D ． ()2223y x =++【答案】C【解析】 该题考查的是二次函数的基本性质．当抛物线不动，而把坐标轴平移时，相当于抛物线向反方向平移，故把x 轴、y 轴分别向上、 向右平移2个单位，相当于把抛物线向下、向左平移两个单位， ∴抛物线221y x =+向下平移两个单位变为221y x =-， 再向左平移两个单位变为：()2221y x =+-， 故选C ．y=a^2+bx+c 的图象和性质一．2y ax bx c =++的图象及性质：a 的符号图象开口方向 对称轴顶点坐标性质0a >向上 2b x a =- 24(,)24b ac b a a --2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -． 0a <向下 2b x a =- 24(,)24b ac ba a --2bx a<-时，y 随x 的增大而增大；2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-． 二．二次函数2y ax bx c =++图象的画法：知识精讲1．五点绘图法：利用配方法将二次函数()20y ax bx c a =++≠化为顶点式2()y a x h k =-+，一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）． 2．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与y 轴的交点，与x 轴的交点．一．考点：2y ax bx c =++的图象和性质．二．重难点：2y ax bx c =++的图象和性质，参数对图像的影响．三．易错点：利用函数图像推断参数的取值范围或者利用参数的取值范围推断函数图像．题模一：y=a^2+bx+c 的图象和性质例4.1.1 已知二次函数y=（x ﹣h ）2+1（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（ ） A ． 1或﹣5 B ． ﹣1或5 C ． 1或﹣3 D ． 1或3 【答案】B【解析】 ∵当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小， ∴①若h ＜1≤x ≤3，x=1时，y 取得最小值5， 可得：（1﹣h ）2+1=5，解得：h=﹣1或h=3（舍）；②若1≤x ≤3＜h ，当x=3时，y 取得最小值5， 可得：（3﹣h ）2+1=5， 解得：h=5或h=1（舍）． 综上，h 的值为﹣1或5例4.1.2 点P 1（﹣1，y 1），P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）均在二次函数y=﹣x 2+2x+c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ． y 3＞y 2＞y 1 B ． y 3＞y 1=y 2 C ． y 1＞y 2＞y 3 D ． y 1=y 2＞y 3 【答案】D【解析】 ∵y=﹣x 2+2x+c ， ∵对称轴为x=1，P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， ∵3＜5， ∵y 2＞y 3，根据二次函数图象的对称性可知，P 1（﹣1，y 1）与（3，y 1）关于对称轴对称， 故y 1=y 2＞y 3，三点剖析题模精讲例4.1.3 二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m+n 的值为（ ） A ． B ． 2C ．D ．【答案】D【解析】 二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5的大致图象如下：．①当m≤0≤x≤n ＜1时，当x=m 时y 取最小值，即2m=﹣（m ﹣1）2+5， 解得：m=﹣2．当x=n 时y 取最大值，即2n=﹣（n ﹣1）2+5， 解得：n=2或n=﹣2（均不合题意，舍去）；②当当m≤0≤x≤1≤n 时，当x=m 时y 取最小值，即2m=﹣（m ﹣1）2+5， 解得：m=﹣2．当x=1时y 取最大值，即2n=﹣（1﹣1）2+5， 解得：n=，所以m+n=﹣2+=．例4.1.4 阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1x m ≤≤，求二次函数267y x x =-+的最大值．他画图研究后发现，1x =和5x =时的函数值相等，于是他认为需要对m 进行分类讨论． 他的解答过程如下：∵二次函数267y x x =-+的对称轴为直线3x =，∴由对称性可知，1x =和5x =时的函数值相等． ∴若15m ≤<，则1x =时，y 的最大值为2；若5m ≥，则x m =时，y 的最大值为267m m -+． 请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当24x -≤≤时，二次函数2241y x x =++的最大值为_______； （2）若2p x ≤≤，求二次函数2241y x x =++的最大值；（3）若2t x t ≤≤+时，二次函数2241y x x =++的最大值为31，则t 的值为_______．【答案】 （1）49（2）17或2241p p ++（3）1或5- 【解析】 该题考查二次函数的最值． （1）∵抛物线的对称轴为直线∴当24x -≤≤时，二次函数2241y x x =++的最大值为：22444149⨯+⨯+= （2）∵二次函数2241y x x =++的对称轴为直线1x =-， ∴由对称性可知，4x =-和2x =时函数值相等. ∴若42p -<≤，则2x =时，y 的最大值为17. 若4p ≤-，则x p =时，y 的最大值为2241p p ++. （3）2t <-时，最大值为：224131t t ++=，整理得，22150t t +-=，解得13t =（舍去），25t =- 2t ≥-时，最大值为：()()22242131t t ++++=整理得，()()2222150t t +++-=，解得11t =，27t =-（舍去） 所以t 的值为1或5-题模二：参数对图象的影响例4.2.1 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：①b ＜0，c ＞0；②a+b+c ＜0；③方程的两根之和大于0；④a ﹣b+c ＜0，其中正确的个数是（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个【答案】B【解析】 ∵抛物线开口向下， ∴a ＜0，∵抛物线对称轴x ＞0，且抛物线与y 轴交于正半轴， ∴b ＞0，c ＞0，故①错误；由图象知，当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0，故②正确， 令方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2， 由对称轴x ＞0，可知122x x +＞0，即x 1+x 2＞0，故③正确； 由可知抛物线与x 轴的左侧交点的横坐标的取值范围为：﹣1＜x ＜0，∴当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＜0，故④正确．例4.2.2 一次函数y=ax+b （a ≠0）与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】 A 、由抛物线可知，a ＜0，由直线可知，故本选项错误； B 、由抛物线可知，a ＞0，x=﹣＞0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误； C 、由抛物线可知，a ＜0，x=﹣＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＜0，故本选项正确； D 、由抛物线可知，a ＜0，x=﹣＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＞0故本选项错误．例4.2.3 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围．【答案】 10a -<<【解析】 由图像可知，0a <，且满足1002c a b c b a ⎧⎪=⎪++=⎨⎪⎪-<⎩，解得a 的取值范围是10a -<<．随练 4.1 若1134A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，254B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，314C y ⎛⎫⎪⎝⎭，为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ． 123y y y << B ． 213y y y << C ． 312y y y << D ． 132y y y <<【答案】BO y x11随堂练习【解析】 因为抛物线对称轴为22bx a=-=-，所以A ，B ，C 三点到对称轴的距离分别为135244-+=，53244-+=，19244+=，因为开口向上，所以213y y y <<，故答案为B 选项．随练4.2 y=x 2+（1-a ）x+1是关于x 的二次函数，当x 的取值范围是1≤x ≤3时，y 在x=1时取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ） A ． a ≤-5 B ． a ≥5 C ． a=3 D ． a ≥3 【答案】B 【解析】 第一种情况：当二次函数的对称轴不在1≤x≤3内时，此时，对称轴一定在1≤x≤3的右边，函数方能在这个区域取得最大值， x=12a -＞3，即a ＞7， 第二种情况：当对称轴在1≤x≤3内时，对称轴一定是在区间1≤x≤3的中点的右边，因为如果在中点的左边的话，就是在x=3的地方取得最大值，即： x=12a -≥132+，即a≥5（此处若a 取5的话，函数就在1和3的地方都取得最大值） 综合上所述a≥5． 故选B ．随练4.3 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc ＞0；②4ac ＜b 2；③2a+b=0；④a ﹣b+c ＞2．其中正确的结论的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4【答案】C【解析】 ∵抛物线开口向下， ∵a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，∵b=2a ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∵c ＞0，∵abc ＞0，所以①正确； ∵抛物线与x 轴有2个交点， ∵∵=b 2﹣4ac ＞0，所以②正确； ∵b=2a ，∵2a ﹣b=0，所以③错误； ∵x=﹣1时，y ＞0，∵a ﹣b+c ＞0，所以④正确．随练4.4 在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-+-（m 是常数，且0m ≠）的图像可能是（ ）A ． A 图B ． B 图C ． C 图D ． D 图 【答案】D【解析】 该题考查的是函数的图象． 本题考虑0m >和0m <两种情况：当0m >时，一次函数图象斜率为正且纵截距为正，二次函数图象开口向下且当0x =时与坐标轴交于y 轴下方，没有符合要求的图象；当0m <时，一次函数图象斜率为负且纵截距为负，二次函数图象开口向上且当0x =时与坐标轴交于y 轴下方，只有D 图符合． 所以该题的答案是D ．随练4.5 如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称轴为直线1x =-，下列5个结论：①0abc >；②240a b c ++=；③20a b ->；④320b c +>；⑤()a b m am b -≥-其中正确的结论__________．（注：只填写正确结论的序号）【答案】 ②④【解析】 该题考察的是二次函数图象与系数的关系．∵抛物线开口向上， ∴0a >∵抛物线对称轴为直线x b =-，2 1a =-， ∴2b a =，则20a b -=，所以③错误； ∴0b >，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方， ∴0c <，∴0abc <，所以①错误；∵12x =时，0y =， ∴11042a b c ++=，即240a b c ++=，所以②正确； ∵12a b =，0a b c ++>，∴1202b bc ++>，即320b c +>，所以④正确； ∵1x =-时，函数最大小，∴()21a b c m a mb cm -+<-+≠，∴()a b m am b -≤-，所以⑤错误．故答案是②④．随练4.6 已知函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象，如图所示．求证：()22a c b +<．【答案】 见解析 【解析】()()()22a c b a c b a c b +-=+-++，由图像可知0a c b +-<，0a c b ++>，故()220a c b +-<，即()22a c b +<二次函数解析式的求法一．二次函数的解析式1. 一般式：()20y ax bx c a =++≠；2. 顶点式：()2y a x h k =-+()0a ≠；3. 两根式（交点式）：()()()120y a x x x x a =--≠（1x ，2x 是方程0y =的两个解）.二．如何设解析式1. 已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式；2. 已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式；4. 已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可用对称点式求解函数解析式（交点式可视为对称点式的特例）．一．考点：二次函数解析式的求法．二．重难点：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．三．易错点：顶点式中符号容易代错，例如顶点为()1,3-，错把解析式设为()213y a x =-+．题模一：待定系数法例5.1.1 已知抛物线2y ax bx c =++经过点()0,3A ，()4,3B ，()1,0C ．（1）填空：抛物线的对称轴为直线x = ，抛物线与x 轴的另一个交点D 的坐标为 ； （2）求该抛物线的解析式．【答案】 （1）2x =；()3,0（2）243y x x =-+ 【解析】 该题考查二次函数解析式的求法．（1）抛物线的对称轴为直线2x =，抛物线与x 轴的另一个交点D 的坐标为()3,0；…2分； （2）∵抛物线经过点()1,0C ，()3,0D ，∴设抛物线的解析式为()()13y a x x =--．…………………3分； 由抛物线经过点()0,3A ，得1a =．…………………………4分；知识精讲三点剖析题模精讲∴抛物线的解析式为243y x x =-+．………………………5分．题模二：顶点式例5.2.1 将二次函数223y x x =--化成()2y x h k =-+形式，则h k +结果为（ ） A ． 5- B ． 5 C ． 3D ． 3-【答案】D【解析】 该题考查的是配方法．()2221414y x x x =-+-=--∴1h =，4k =-∴3h k +=-，故答案选D ．例5.2.2 若抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），则抛物线的函数关系式为____．【答案】 y=-x 2+4x -3 【解析】设抛物线的解析式为y=a （x -2）2+1， 将B （1，0）代入y=a （x -2）2+1得， a=-1，函数解析式为y=-（x -2）2+1， 展开得y=-x 2+4x -3． 故答案为y=-x 2+4x -3． 题模三：两根式例5.3.1 已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点的横坐标是方程220x x +-=的两个根，且抛物线过点()2,8，求二次函数的解析式． 【答案】 2224y x x =+-【解析】 该题考查的是抛物线性质． 解方程220x x +-=可得，11x =，22x =-， ∴抛物线与x 轴交点坐标为()1,0，()2,0-，将三点代入解析式可得， ()()220022822a b c a b c a b c=++⎧⎪=⨯-+⨯-+⎨⎪=⨯+⨯+⎩ 解得2a =，2b =，4c =-，所以抛物线解析式为2224y x x =+-．例 5.3.2 已知抛物线2y ax bx c =++经过()0,6-，()8,6-两点其顶点的纵坐标是2，求这个抛物线的解析式．【答案】 21462y x x =-+-【解析】 该题考查的是抛物线的性质．由题可知，抛物线对称轴为0842x +==， ∴顶点坐标为()4,2， 将三点坐标代入解析式可得，226688244c a b c a b c-=⎧⎪-=⨯+⨯+⎨⎪=⨯+⨯+⎩ 解得12a =-，4b =，6c =- ，所以抛物线解析式为21462y x x =-+-．随练5.1 已知一个二次函数过()0,0，()1,11-，()1,9三点，求二次函数的解析式． 【答案】 210y x x =-【解析】 设二次函数的解析式为2y ax bx c =++（0a ≠），因为抛物线经过点()0,0，()1,11-，()1,9，所以0119c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得1010a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以二次函数解析式为210y x x =-．随堂练习随练5.2 将二次函数241y x x =--化为2()y x h k =-+的形式，结果为（ ） A ． ()225y x =++ B ． ()225y x =+- C ． ()225y x =-+ D ． ()225y x =--【答案】D【解析】 该题考查的是配方法．根据完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±，()2224144525y x x x x x =--=-+-=--，故答案是D随练5.3 已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，-2），求这个二次函数的关系式． 【答案】 y=2x 2-4x 【解析】设这个二次函数的关系式为y=a （x -1）2-2， ∵二次函数的图象过坐标原点， ∵0=a （0-1）2-2 解得：a=2故这个二次函数的关系式是y=2（x -1）2-2，即y=2x 2-4x ．随练 5.4 已知二次函数y=x 2+bx+c 经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解析式是____． 【答案】 y=x 2-7x+12 【解析】设二次函数的解析式为y=a （x -3）（x -4）， 而a=1，所以二次函数的解析式为y=（x -3）（x -4）=x 2-7x+12． 故答案为y=x 2-7x+12．随练 5.5 已知抛物线()20y ax bx c a =++≠经过点()1,3A -和点()3,3B ，且顶点到x 轴的距离为1，求抛物线的解析式．【答案】 21322y x x =-+或22y x x =- 【解析】 由题意可得抛物线的顶点坐标为()1,1或()1,1-，设抛物线解析式为()()133y a x x =+-+，将顶点坐标分别代入可得21322y x x =-+或22y x x =-．二次函数与一元二次方程一．二次函数与x 轴交点1．抛物线与x 轴的交点：二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离.2．平行于x 轴的直线与抛物线的交点：可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是2ax bx c k ++=的两个实数根.3．抛物线与x 轴两交点之间的距离．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()10A x ，，()20B x ，，由于1x 、2x 是方程20ax bx c ++=的两个根，故1212b cx x x x a a+=-⋅=，： ()()222212121212444b cb ac AB x x x x x x x x a a a a -∆⎛⎫=-=-=--=--==⎪⎝⎭.二．二次函数与一元二次方程根的分布问题如下表（以0a >为例）：判别式:24b ac ∆=-0∆>0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图象一元二次方程:20ax bx c ++=(0)a ≠的根有两相异实根 12,x x = 242b b aca -±-12()x x <有两相等实根122bx x a==-没有实根一．考点：二次函数与x 轴交点问题，利用二次函数解决一元二次方程根的分布问题．二．重难点：1．二次函数与x 轴交点问题即当0y =时，转化为一元二次方程20ax bx c ++=；2．在利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时要结合函数图像的性质来分析．x 2x 1Oyxx 1=x 2O yxO xy知识精讲三点剖析三．易错点：利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时首先确定开口方向，然后再结合函数的增减性，对称轴的位置，函数值等因素最终确定一元二次方程根的分布情况．题模一：一元二次方程根的分布问题例6.1.1 “如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m 、n （m ＜n ）是关于x 的方程1-（x-a ）（x-b ）=0的两根，且a ＜b ，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ） A ． m ＜a ＜b ＜n B ． a ＜m ＜n ＜b C ． a ＜m ＜b ＜n D ． m ＜a ＜n ＜b 【答案】A【解析】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算． 依题意画出函数y=（x -a ）（x -b ）图象草图，根据二次函数的增减性求解．依题意，画出函数y=（x -a ）（x -b ）的图象，如图所示．函数图象为抛物线，开口向上，与x 轴两个交点的横坐标分别为a ，b （a ＜b ）． 方程1-（x -a ）（x -b ）=0 转化为（x -a ）（x -b ）=1，方程的两根是抛物线y=（x -a ）（x -b ）与直线y=1的两个交点． 由m ＜n ，可知对称轴左侧交点横坐标为m ，右侧为n ．由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y 随x 增大而减少，则有m ＜a ；在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，则有b ＜n ．综上所述，可知m ＜a ＜b ＜n ． 故选：A ．例6.1.2 求实数a 的取值范围，使关于x 的方程()221260x a x a -=＋＋＋． （1）有两个实根12x x 、，且满足1204x x <<<； （2）至少有一个正根．题模精讲【答案】 （1）715a -<<-（2）1a ≤-【解析】 （1）设2()2(1)26f x x a x a =-＋＋＋；则有:0042(0)0(4)0b af f ∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩解得：715a -<<-（2）可以利用韦达定理来解决此题①由图1、图2，可得：121200x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩；解得：31a -<≤-②由图3，可得：121200x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪⋅=⎩；解得：3a =-；③由图4，可得：1200x x ∆>⎧⎨⋅<⎩；解得：3a <-综上可得1a ≤-．题模二：二次函数与x 轴交点例6.2.1 抛物线y=x 2+2x+m ﹣1与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ） A ． m ＜2 B ． m ＞2 C ． 0＜m ≤2 D ． m ＜﹣2 【答案】A【解析】 ∵抛物线y=x 2+2x+m ﹣1与x 轴有两个交点， ∵∵=b 2﹣4ac ＞0， 即4﹣4m+4＞0， 解得m ＜2，例6.2.2 已知关于x 的方程()231220mx m x m --+-=（1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根．（2）若关于x 的二次函数()23122y mx m x m =--+-的图象与x 轴两交点间的距离为2时，求二次函数的表达式．【答案】 （1）见解析；（2）函数解析式为22y x x =-或218233y x x =-+-【解析】 （1）①当0m =时，原方程可化为20x -=，解得2x =； ②当0m ≠时，方程为一元二次方程，图1图3()()231422m m m ∆=----⎡⎤⎣⎦ 221m m =++()210m =+≥，故方程有两个实数根；故无论m 为何值，方程恒有实数根．（2）设1x ，2x 分别为抛物线()23122y mx m x m =--+-与x 轴两交点的横坐标， 令0y =，则()231220mx m x m --+-=， 由求根公式得，12x =，21m x m-=∴抛物线()23122y mx m x m =--+-不论m 为任何不为0的实数时，恒过定点()2,0， ∴20x =或24x =，即10m m -=或14m m-=， 解得11m =，213m =-则函数解析式为22y x x =-或218233y x x =-+-随练6.1 已知关于x 的方程()()2131220k x k x k ++-+-=．（1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若抛物线()()2131220k x k x k ++-+-=与x 轴的两个交点之间的距离为3，求k 的值． 【答案】 （1）见解析（2）1；3（3）0；3-【解析】 该题考查的是二次函数与一元二次方程的综合题．（1）当1k =-时，方程44x --=0为一元一次方程，此方程有一个实数根； 当1k ≠-时，方程2(1)(31)22k x k x k ++-+-=0是一元二次方程， ()()()()223141223k k k k ∆=--+-=-．∵()230k -≥，即0∆≥，∴ k 为除1-外的任意实数时，此方程总有两个实数根． 2分 综上，无论k 取任意实数，方程总有实数根．（2）13(3)2(1)k k x k -±-=+，11x =-，2x =421k -+．∵ 方程的两个根是整数根，且k 为正整数，随堂练习∴ 当1k =时，方程的两根为1-，0； 当3k =时，方程的两根为1-，1-．∴ 1k =，3． 4分（3）∵ 抛物线()()213122y k x k x k =++-+-与x 轴的两个交点之间的距离为3， ∴，123x x -=，或213x x -=．当123x x -=时，3k =-；当213x x -=时，0k =．综上，0k =，-3． 6分随练6.2 若二次函数2(2)31y m x x =+-+与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是（ ）A ． 14m <B ． 124m m <≠--且C ． 14m <-D ． 124m m <≠-且【答案】D【解析】 该题考查的是一元二次方程根的判别式． 对于一元二次方程20ax bx c ++= ，判别式24b ac ∆=-： 0∆>，二次函数()20y ax bx c a =++≠与x 轴有两个交点， 0∆=，二次函数()20y ax bx c a =++≠与x 轴有一个交点， 0∆<，二次函数()20y ax bx c a =++≠与x 轴没有交点，本题中，二次函数()2231y m x x =+-+与x 轴有两个交点，故()()22034210m m +≠⎧⎪⎨∆=--⨯+⨯>⎪⎩，解得：14m <且2m ≠-，故答案是D ．随练6.3 如图，平面直角坐标系中，点M 是直线y=2与x 轴之间的一个动点，且点M 是抛物线y=12x 2+bx+c 的顶点，则方程12x 2+bx+c=1的解的个数是（ ）A ． 0或2B ． 0或1C ． 1或2D ． 0，1或2【答案】A【解析】 考查了二次函数的性质，本题涉及分类思想和方程思想的应用．分三种情况：点M 的纵坐标小于1；点M 的纵坐标等于1；点M 的纵坐标大于1；进行讨论即可得到方程12x 2+bx+c=1的解的个数． 分三种情况：点M 的纵坐标小于1，方程12x 2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根； 点M 的纵坐标等于1，方程12x 2+bx+c=1的解是2个相等的实数根； 点M 的纵坐标大于1，方程12x 2+bx+c=1的解的个数是0． 故方程12x 2+bx+c=1的解的个数是0或2． 故选：D ．随练 6.4 实数a 在什么范围内取值时，关于x 的方程2(2)50x a x a --+-=的一个根大于0而小于2，另一个根大于4而小于6．【答案】 2955a -<<-【解析】 设2()(2)5f x x a x a =--+-；则有:(0)0(2)0(4)0(6)0f f f f >⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩ 解得2955a -<<-．自我总结作业1 下列函数是二次函数的是（ ） A ． 21y x =+B ． 21y x =-+C ． 22y x =+D ． 2122y x x =-【答案】C【解析】 由二次函数的概念可知22y x =+为二次函数．作业2 二次函数227y x x =+-的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ） A ． 3B ． 5C ． 35-和D ． 35-和【答案】D【解析】 由题意得2278x x +-=，解得3x =或5x =-，故答案为D 选项．作业3 已知函数2222()(32)2m my m m x m m x m m -=++++++，当m 是什么数时，函数是二次函数？【答案】 2m =【解析】 根据二次函数定义，只要满足20m m +≠且22m m -=即可，解得2m =作业4 已知二次函数2y ax =经过点()3,1A ，点A 与点'A 关于y 轴对称，则点'A （ ）A ． 在2y ax =图像上B ． 不在2y ax =图像上C ． 不确定是否在2y ax =图像上D ． 以上说法都不对【答案】A【解析】 由二次函数2y ax =的对称性可知点'A 在2y ax =的图像上．作业5 已知点()11,y -，()22,y -，()33,y 都在函数()20y ax a =>的图像上，则（ ） A ． 123y y y <<B ． 132y y y <<C ． 321y y y <<D ． 213y y y <<【答案】A【解析】 由二次函数()20y ax a =>的对称性和增减性可知123y y y <<．作业6 若二次函数2y ax =有最大值，则21y ax =+有__________值（填最大或最小），且为__________．【答案】 最大；1【解析】 由二次函数2y ax =的最值可得出结论．课后作业。
2014年 九年级数学上册同步教案+同步练习--二次函数-第03课 二次函数解析式求法
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九年级数学上册同步教案
第 03 课 课堂测试题 日期： 月 日 时间：20 分钟 满分：100 分 姓名： 得分： ）
1.已知二次函数 y = (k 2 - 1) x 2 + 2kx - 4 与 x 轴的一个交点 A(-2,0)，则 k 值为（ A.2 B.-1 ） C.（2，1） ). C.直线 x = -2 C.2 或-1
2.二次函数 y = x 2 - 2 x - 1 的图象在 x 轴上截得的线段长为（ A. 2 2 3.填空： (1)抛物线 y = x 2 - 2 x + 3 的顶点坐标是_______； (2)抛物线 y = 2 x 2 - 2 x B. 3 2 C. 2 3
5 的开口_______，对称轴是_______； 2
(3) y = -2 x 2 + 8 x - 8
(4) y =
1 2 x - 4x + 3 2
15.已知二次函数的图像过点 A（-1，0） ，B（3，0） ，C（0，3）三点，求这个二次函数解析式．
16.已知二次函数的图象与 x 轴交于 A（-2，0） 、B（3，0）两点，且函数有最大值是 2. (1)求二次函数的图象的解析式；(2)设次二次函数的顶点为 P，求△ABP 的面积.
Hale Waihona Puke B.点 A(3,0)不在 y = x 2 - 2 x - 3 的图象上 D. y = 2 x 2 + 4 x - 3 的图象的最低点在（-1，-5）
C. y = ( x + 2) 2 - 2 的顶点坐标是（-2,-2）
7.二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程 ax2+bx+c=0 的两个根．x1= ，x2= ； 2 (2)写出不等式 ax +bx+c＞0 的解集． ； (3)写出 y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围． ； (4)若方程 ax2+bx+c=k 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围． 9.将 y = x 2 - 2 x + 3 化成 y = a ( x - h) 2 + k 的形式，则 y=＿＿＿＿ 10.抛物线 y = x 2 - 6 x - 16 与 x 轴交点的坐标为________ 11.二次函数 y = m x2 + 2x + m - 4m 2 的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是 12.通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1） y = x 2 - 5 x + 1 （2） y = 2 x 2 + 8 x - 2 （3） y = -
优质课教学设计《二次函数的解析式》公开课教案
本节课是本单元中，对知识的理解和贯彻最重要的一堂课。
在高效课堂模式中，一堂课的紧凑性和教师活动的多少，决定着课堂容量的高低。
但在实际教学中，教师应尽可能少地利用讲授法进行教学，多与学生进行交流，增加学生的实际操练和练习时间，对于一堂课来讲，是至关重要的。
对于课堂环节的布置，应该力求简练，语言应用尽量通俗易懂。
对于一名教师而言，教学质量的高低，与备课的充足与否有很大关系。
而教案作为这一行为的载体，巨大作用是不言而喻的。
本节课的准备环节，就充分地说明了这个道理。
用待定系数法求二次函数的解析式教学目标知识与技能1若已知二次函数的图象上任意三点坐标，则用一般式y ax bx c=++2（a ≠0）求解析式。
2若已知二次函数图象的顶点坐标（或对称轴最值），则应用顶点式y=a(x－h)2＋k，其中（h，k）为顶点坐标。
3若已知二次函数图象与x轴的两交点坐标，则应用交点式y＝a(x－x1)(x－x2),其中x x12，为抛物线与x轴交点的横坐标。
过程与方法能灵活的根据条件恰当地选取选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化。
情感态度与价值观从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣。
重点求二次函数的函数关系式难点建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题。
教法、学法引导、启发自主学习、合作交流课型新授课教学准备小黑板教学流程教师活动学生活动二次备课一、自主学习1、知识回顾二次函数的一般式是什么？二次函数的顶点式是什么？回忆2、出示学习目标根据不同的已知条件，选择合适的方法求二次函数的解析式。
明确目标出示自学提纲⑴已知二次函数的图象过(-1，10)，(1， 4)和(2，7)三点，求这个二次函数解析式。
⑵归纳已知三点坐标怎么求该二次函数解析式？⑶已知二次函数的图象经过原点，且当x＝1时，y有最小值－1，求这个二次函数的解析式。
⑷归纳已知二次函数图象的顶点坐标（或对称轴最值）怎么求该二次函数解析式？阅读提纲，（1）~（4）4、组织学生自学指导学生阅读课本P39---40课文,并回答问题。
二次函数解析式教案
二次函数解析式教案教案标题：二次函数解析式教案教案目标：1. 理解二次函数的定义和特点；2. 掌握二次函数的解析式的构造方法；3. 能够利用解析式绘制二次函数的图像；4. 能够应用二次函数解析式解决实际问题。
教学资源：1. 教材：包含有关二次函数的定义、性质和解析式的教材章节；2. 幻灯片或黑板：用于展示和说明二次函数的相关概念和解析式构造方法；3. 已准备好的练习题和解答。
教学步骤：引入阶段：1. 通过提问或展示幻灯片，引导学生回顾和复习一次函数的概念和解析式构造方法。
2. 引导学生思考，一次函数与二次函数之间的区别是什么？引导学生猜测二次函数的定义和解析式的构造方法。
探究阶段：3. 展示二次函数的定义和性质的幻灯片，并解释二次函数的定义和特点。
4. 介绍二次函数的解析式构造方法，包括确定二次函数的顶点坐标和对称轴的方法。
5. 通过示例演示如何利用解析式构造二次函数，并引导学生跟随操作。
实践阶段：6. 分发练习题给学生，要求学生根据给定的条件构造二次函数的解析式，并绘制函数图像。
7. 引导学生互相检查和纠正答案，确保正确理解和应用解析式构造方法。
拓展阶段：8. 引导学生思考和讨论，如何利用二次函数的解析式解决实际问题，例如最值问题、交点问题等。
9. 提供实际问题的练习题，要求学生利用二次函数的解析式解决问题，并讨论解决过程和答案。
总结阶段：10. 总结二次函数的定义、特点和解析式构造方法，并强调解析式在解决实际问题中的应用。
11. 鼓励学生在课后继续练习和探索二次函数的应用。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与程度和理解情况；2. 练习题的完成情况和答案的正确性；3. 学生对于实际问题的解决方法和答案的讨论和思考。
教学延伸：1. 学生可以通过使用数学软件绘制二次函数的图像，进一步加深对二次函数解析式的理解和应用；2. 学生可以研究和探索其他类型的二次函数，例如带有系数的二次函数、二次函数的变形等。
二次函数的解析式(解析版)-2023年升初三人教版暑假衔接教材
❊2.5二次函数的解析式知识点二次函数的解析式题型一求二次函数解析式（1）例1已知二次函数的图象经过点A （-1，0），B （0，-3）和C （3，12）．求二次函数的解析式并求出图象的顶点D 的坐标.【分析】设一般式为y ＝ax 2+bx +c ，然后把三个点的坐标代入得到a 、b 、c 的方程组，再解方程组即可；【解答】解：设抛物线解析式为y ＝ax 2+bx +c ，把A （﹣1，0），B （0，﹣3）和C （3，12）代入，得0=−+−3=12=9+3+，解得：=2=−1=−3，∴抛物线解析式为y ＝2x 2﹣x ﹣3，∵y ＝2x 2﹣x ﹣3=2(−14)2−258，∴顶点D 的坐标为（14，−258）；例2一个二次函数，当x =0时，y =-5；当x =-1时，y =-4；当x =-2时，y =5，则这个二次函数的关系式是（）A ．y =4x 2+3x -5B ．y =2x 2+x +5C ．y =2x 2-x +5D ．y =2x 2+x -5【答案】A【分析】设二次函数的关系式是y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），然后由当x ＝0时，y ＝﹣5；当x ＝﹣1时，y ＝﹣4；当x ＝﹣2时，y ＝5，得到a ，b ，c 的三元一次方程组，解方程组确定a ，b ，c 的值即可．【详解】解：设二次函数的关系式是y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），∵当x ＝0时，y ＝﹣5；当x ＝﹣1时，y ＝﹣4；当x ＝﹣2时，y ＝5，∴c ＝﹣5①，a ﹣b +c ＝﹣4②，4a ﹣2b +c ＝5③，解由①②③组成的方程组得，a ＝4，b ＝3，c ＝﹣5，所以二次函数的关系式为：y ＝4x 2+3x ﹣5．故选：A ．变1已知一个二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个二次函数的解析式，并求出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．【解题思路】设二次函数的解析式为y ＝ax 2+bx +c ，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点坐标代入，列方程组求a 、b 、c 的值，确定函数解析式，根据二次函数解析式可知抛物线的对称轴及顶点坐标．【解答过程】解：设二次函数的解析式为y ＝ax 2+bx +c ，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）各点代入上式得−+=10++=44+2+=7，解得=2=−3=5．则抛物线解析式为y ＝2x 2﹣3x +5；由y ＝2x 2﹣3x +5＝2（x −34）2+318可知，抛物线对称轴为直线x =34，顶点坐标为（34，318）．变2已知二次函数的图象经过(4,3)-和(6,3)-两点，与y 轴交于(0,21)，求此二次函数的解析式．【分析】利用待定系数法即可求解．【解答】解：二次函数解析式为2y ax bx c =++，二次函数的图象经过(4,3)-和(6,3)-两点，与y 轴交于(0,21)，∴1643366321a b c a b c c ++=-⎧⎪++=-⎨⎪=⎩，解得11021a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为21021y x x =-+．题型二求二次函数解析式（2）例1若二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），且抛物线过（0，3），则二次函数解析式是_________．【答案】243y x x =-+【详解】解：设二次函数解析式为()221y a x =--，把()03，代入得：341a =-，解得：1a =，则二次函数解析式为()222143y x x x =--=-+，故答案为：243y x x =-+．变1已知二次函数当x =1时有最大值是-6，其图象经过点（2，-8），求二次函数的解析式．【解题思路】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y ＝a （x ﹣1）2﹣6，然后把（2，﹣8）代入求出a 的值即可．【解答过程】解：设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣1）2﹣6，把（2，﹣8）代入得a （2﹣1）2﹣6＝﹣8，解得a ＝﹣2．所以抛物线解析式为y ＝﹣2（x ﹣1）2﹣6．例2抛物线2y x bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x ⋯01234⋯y⋯3-13⋯则抛物线的解析式是_________．【答案】243y xx =-+【分析】结合题意，根据二次函数的性质，通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案．【详解】根据题意，得：310c b c =⎧⎨++=⎩将3c =代入到10b c ++=，得：130b ++=∴4b =-∴2243y x bxc x x =++=-+故答案为：243y x x =-+．例3已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中的x 和y 满足下表：x4-3-2-1-012 y5-0343m5-（1）根据表格，直接写出该二次函数的对称轴以及m 的值；（2）求该二次函数的表达式．【分析】（1）由于2x =-，3y =；0x =，3y =，则可利用抛物线的对称性得到对称轴；然后利用对称性确定m 的值；（2）设顶点式2(1)4y a x =++，然后把(0,3)代入求出a 的值，从而得到抛物线解析式．【解答】解：（1） 抛物线经过点(2,3)-，(0,3)，∴抛物线的对称轴为直线1x =-，1x = 和3x =-所对应的函数值相等，0m ∴=；（2）设抛物线解析式为2(1)4y a x =++，把(0,3)代入得23(01)4a =⨯++，解得1a =-，∴该二次函数的解析式为(1)24y x =-++，即223y x x =--+．变2小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y 与x 的对应值：x⋯012345⋯y⋯53-4-3-0⋯该二次函数的解析式是_________．【分析】根据待定系数法即可求得．【解答】解：由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为(3,4)-，设二次函数的表达式为2(3)4(0)y a x a =--≠，将(1,0)代入得440a -=，解得1a =，∴该二次函数的表达式为2(3)4y x =--（或265)y x x =-+．变3二次函数23y ax bx =+-中的x 、y 满足下表：x ⋯-10123⋯23y ax bx =+-⋯-3-4-3m⋯（1）求这个二次函数的解析式．（2）求m 的值．【答案】(1)223y x x =--(2)0【分析】（1）根据表格数据待定系数法求解析式即可求解．（2）根据二次函数的对称性即可求解．（1）解：根据表格可知对称轴为直线1x =，且1x =时4y =-，即顶点为()1,4-，设解析式为()214y a x =--，当0x =时，3y =-，即43a -=-，解得1a =，∴这个二次函数的解析式为：()221423y x x x =--=--，即223y x x =--（2）解：∵对称轴为直线1x =，∴当3x =与1x =-时的函数值相等，∴0m =题型三求二次函数解析式（3）例1在直角坐标系中，抛物线经过点A (0，4)、B (1，0)、C (5，0)，求抛物线的解析式和顶点E 坐标．变1已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3），则二次函数的解析式是_________．变2抛物线经过点(2,0),(1,0)A B -，且与y 轴交于点C ．若2OC =，则该抛物线解析式为（）A ．22--=x x yB ．22y x x =---或22++=x x yC ．22++-=x x yD ．22--=x x y 或22++-=x x y 【答案】D【分析】抛物线和y 轴交点的为（0,2）或（0，-2），根据A 、B 两点坐标设出抛物线解析式为()()21y a x x =-+()0a ≠，代入C 点坐标即可求解．【详解】设抛物线的解析式为()()21y a x x =-+()0a ≠∵2OC =∴抛物线和y 轴交点的为（0,2）或（0，-2）①当抛物线和y 轴交点的为（0,2）时，得()()20201a =-+解得1a =-∴抛物线解析式为()()121y x x =--+，即22y x x =-++②当抛物线和y 轴交点的为（0，-2）时，()()20201a -=-+解得1a =∴抛物线解析式为()()y x 2x 1=-+，即2y x x 2=--故选D ．例2在平面直角坐标系xOy 中，二次函数图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表，求这个二次函数的表达式．x⋯1-012⋯y⋯3-01⋯【分析】利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为(1,1)，则可设顶点式2(1)1y a x =-+，然后把点(0,0)代入求出a 即可．【解答】解：由题意可得二次函数的顶点坐标为(1,1)，设二次函数的解析式为：2(1)1y a x =-+，把点(0,0)代入2(1)1y a x =-+，得1a =-，故抛物线解析式为2(1)1y x =--+，即22y x x =-+；例3如图，抛物线23y ax bx =+-与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点3OB OC OA ==，则该抛物线的解析式是_________．【答案】223y x x =--【分析】根据抛物线与y 轴交于点C 易得点C 的坐标为()0,3C -，根据3OB OC OA ==，可得点A 、B 的坐标，再利用待定系数法即可求得二次函数的解析式．【详解】当0x =时，3y =-，∴()0,3C -，∴3OC =，∴3OB =，1OA =，∴()3,0B ，()1,0A -，将()3,0B ，()1,0A -代入23y ax bx =+-得，093303a b a b =+-⎧⎨=--⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，∴该抛物线的解析式是223y x x =--．变3小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y 与x 的对应值：x⋯012345⋯y⋯53-4-3-0⋯该二次函数的解析式是_________．【分析】根据待定系数法即可求得．【解答】解：由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为(3,4)-，设二次函数的表达式为2(3)4(0)y a x a =--≠，将(1,0)代入得440a -=，解得1a =，∴该二次函数的表达式为2(3)4y x =--（或265)y x x =-+．变4如图是二次函数2y x c =++的图像，该函数的最小值是_________．将2b =代入930b c -+=得：9320c -⨯+=，解得3c =-，则二次函数的解析式为223y x x =+-，当1x =-时，2(1)2(1)34y =-+⨯--=-，即该函数的最小值是4-，故答案为：4-．课后强化1.已知一条抛物线经过E （0，10），F （2，2），G （4，2），H （3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（）A ．E ，F B ．E ，GC ．E ，HD ．F ，G2.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0)A 、(2,3)B -、(0,3)C -．求抛物线的表达式．【分析】根据二次函数图象上的点的坐标特征解决此题．【解答】解：由题意得，930a b c ++=，423a b c ++=-，3c =-．1a ∴=，2b =-．∴这个抛物线的表达式为223y x x =--．3.求分别满足下列条件的二次函数解析式：（1）二次函数图像经过(1,2),(0,1),(2,3)-三点．（2）二次函数图像的顶点坐标是()2,3-，并经过点()1,2．4.已知二次函数2y ax bx c =++经过(1,0)A -，(5,0)B ，(0,2.5)C -三点．求二次函数2y ax bx c =++的解析式．【分析】利用待定系数法，即可求出二次函数的解析式；【解答】解：将(1,0)A -，(5,0)B ，(0, 2.5)C -代入2y ax bx c =++得：025502.5a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得：0.522.5a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，∴二次函数2y ax bx c =++的解析式为20.52 2.5y x x =--；5.二次函数的图象顶点坐标为(2,2)--，且过(1,0)．求该二次函数解析式．【分析】由抛物线顶点式表达式得：2(2)2y a x =+-，将点(1,0)代入上式即可求解；【解答】解：由抛物线顶点式表达式得：2(2)2y a x =+-，1x =时，2(12)20y a =+-=，解得：29a =，故抛物线的表达式为：22(2)29y x =+-；6.一个二次函数的图象与抛物线23y x =的形状相同、开口方向相同，且顶点为(1,4)，那么这个函数的解析式是_________．【分析】根据二次函数性质形状及开口方向相同即a 的值一样，设出解析式23()y x h k =-+，根据顶点为(1,4)，即可得到答案．【解答】解： 二次函数的图象与抛物线23y x =的形状相同、开口方向相同，3a ∴=，设二次函数的解析式为23()y x h k =-+，顶点为(1,4)，1h ∴=，4k =，∴这个函数的解析式是23(1)4y x =-+，故答案为：23(1)4y x =-+．7.若抛物线2y ax bx c =++的顶点是()2,1A ，且经过点()10B ,，则抛物线的函数关系式为（）A ．243y x x =+-B ．243y x x =-+-C ．243y x x =---D ．243y x x =-++【答案】B 【详解】解：∵抛物线顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），∴设抛物线的函数关系式是y =a （x -2）2+1，把B 点的坐标代入得：0=a （1-2）2+1，解得：a =-1，即抛物线的函数关系式是y =-（x -2）2+1，即y =-x 2+4x -3．故选：B ．8.二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是（）x…0134…y …242-2…A ．抛物线开口向上B ．当1x >时，y 随x 的增大而减小C ．当02x <<时，1724y <≤D ．y 的最大值为29【答案】C 【详解】解：将点()0,2，()1,4，()3,2代入二次函数的解析式，得：24934c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：132a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223173224y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，∵10-<，∴抛物线开口向下，∴A 选项不符合题意；∵由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为32x =，这时抛物线取得最大值17y 4=，∴当32x <时，y 随x 的增大而增大；当32x >时，y 随x 的增大而减小，∴当1x >时，y 随x 的增大先增大，到达最大值174后，y 随x 的增大而减小，∴B 选项不符合题意；∵当0x =时，2y =；当2x =时，4y =，又∵抛物线的对称轴为32x =，当32x =时，17y 4=，又∵17244<<，∴当02x <<时，1724y <≤，∴C 选项符合题意；∵抛物线的解析式为223173224y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，∴当32x =时，抛物线取得最大值17y 4=，∴D 选项不符合题意．故选：C ．9.已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（）A ．y =-6x 2+3x +4B ．y =-2x 2+3x -4C ．y =x 2+2x -4D ．y =2x 2+3x -4【答案】D【详解】解：设所求函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入，得：541a b c c a b c -+-⎧⎪-⎨⎪++⎩＝＝＝解得234a b c ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝＝所求的函数的解析式为y =2x 2+3x -4．故选D10.如果抛物线2y ax bx c =++的对称轴是x =-3，且开口方向与形状与抛物线y =-2x 2相同，又过原点，那么a =_______，b =_______，c =_______．【答案】-2-120【详解】解：∵抛物线y =ax 2+bx +c 的开口方向，形状与抛物线y =-2x 2相同，∴a =-2，∵抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴是直线x =-3，∴-2b a=-3，即-()22b ⨯-=-3，解得b =-12；∵抛物线过原点，∴c =0．故答案为：-2，-12；0．11.一个二次函数图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表：（1）这个二次函数的对称轴为直线_______，顶点坐标为_______；（2）m 的值是_______，n 的值是_______；（3）这个二次函数的解析式为_________．【分析】（1）根据二次函数图象的对称性，结合表格数据即可求解；（2）根据二次函数图象的对称性，结合表格数据即可求解；（3）待定系数法求解析式即可求解．【解答】解：（1）根据二次函数图象的对称性，可知，当0x =时与2x =时，函数值相等，∴对称轴为直线1x =，当1x =时，1y =-，即顶点坐标为(1,1)-，故答案为：1x =，(1,1)-；（2） 对称轴为直线1x =，3y ∴=时，1x =-或x n =，∴112n -+=，解得：3n =，当4x =与2x =-时，函数值相等，8m ∴=，故答案为：8，3；（3） 顶点坐标为(1,1)-，设该二次函数解析式为2(1)1y a x =--，将(0,0)，代入得01a =-，解得：1a =，∴二次函数解析式为：22(1)12y x x x =--=-，故答案为：22y x x =-．12.已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点，且BC =5，求该二次函数的解析式．【解题思路】由于已知抛物线与x 轴的交点坐标，则可设交点式y ＝a （x ﹣1）（x ﹣4），再利用B 点坐标和BC ＝5得到C 点坐标，然后把C 点坐标代入可求出a 的值，从而得到两个解析式．【解答过程】解：设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）（x ﹣4），∵B （4，0）两点，交y 轴于C ，BC ＝5，∴C 点坐标为（0，3）或（0，﹣3），当C 点坐标为（0，3），把（0，3）代入得a •（﹣1）•（﹣4）＝3，解得a =34，所以此时抛物线的解析式为y =34（x ﹣1）（x ﹣4）=34x 2−154x +3；当C 点坐标为（0，﹣3），把（0，﹣3）代入得a •（﹣1）•（﹣4）＝﹣3，解得a =−34，所以此时抛物线的解析式为y =−34（x ﹣1）（x ﹣4）=−34x 2+154x ﹣3，所以该二次函数的解析式为y =34x 2−154x +3或y =−34x 2+154x ﹣3．13.二次函数图象过A ，C ，B 三点，点A 的坐标为（-1，0），点B 的坐标为（4，0），点C 在y 轴正半轴上，且AB ＝OC ，求二次函数的表达式．【解题思路】根据A ．B 两点的坐标及点C 在y 轴正半轴上，且AB ＝OC ．求出点C 的坐标为（0，5），然后根据待定系数法即可求得．【解答过程】解：∵A （﹣1，0），B （4，0）∴AO ＝1，OB ＝4，AB ＝AO +OB ＝1+4＝5，∴OC ＝5，即点C 的坐标为（0，5），设二次函数的解析式为y ＝ax 2+bx +c ，∵二次函数图象过A ，C ，B 三点，∴−+=016+4+=0=5，解得=−54=154=5，∴二次函数的表达式为y =−54x +154x +5．。
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初中数学备课组 教师 班级初三 学生日期月 日 上课时间 教学内容：二次函数的解析式二次函数内涵丰富，变化多端，它有三种形式的解析式：一般式，配方式和分解式•本节要讨论的是：怎样根据 不同的已知条件解析式的选取 ；在不同的几何背景下怎样寻找确定解析式的条件 ；怎样根据二次函数的图像特征确定解析式的系数特征二次函数解析式的三种形式1. 一般式： 2y -ax 2 bx • c(a = 0),图像顶点坐标为(一卫，里兰 —),对称轴是直线x —2a 4a 2a 2.配方式： 2y 二a(x - m) - k(a = 0),图像顶点坐标为(-m, k),对称轴是直线x 二-m3.分解式：y =a(x-X i )(x-X 2),图像与x 轴的交点坐标是 A(X i ,0), B(X 2,0),对称轴是直线x=? 例1如图3-2-1,已知二次函数的图像与工轴两交点之间的距海是4个单位，且顶点sy q,求此二欢函数的解析式.M 方迭T 一般式)：V •二次函数的图像顶点M 为〔一1,4)t A 对称釉是貢线工=一｝・设宜线x —— 1与工轴交点为N *则N<—0).又设二次函数图像与皇轴交点的塑拯是4(^, 0)、Eg 0)’由丨A& | ~ 4« *'» A/V = NE = 2山1 h —1 — 2 —— 3*Xj = -1+2 =h 点仏H 的坐标分别是A(-a. 0). B<1, 0).设二次歯数的解析式为y =尬十+屁+“将久 & M 的坐 扳优人，得I 所我解析式为y = — — 2疋+ &ffi J - i -10,方法二£配方式h先求点A或点B的坐标，同方法一・V二次函数图像的顶点坐标为(」1‘ 4), A设解析式为y = a(x+W+^将B仃,0)坐标代入得3 + 4二0,解得a =亠L/•所求解析式为$ - - Q + lf +4*方法三(分解式)：先求点A或点B的坐标，同方法一*•:二次憾数图像与丁轴交点的坐标是A(-3,0)、B(b 0),A设解析式为y = aCr + 3)(工一1几将顶点坐标(一1.4)代入，得一4a = 4r =-L:.所求解析式为y =—Q + —1).化为一般式，得y=-^十2工+ 3.点评选择何种形式的解析式吳根攥题目的条件而定•①巳知田像所经过的三点坐标丫用一般，丸y = at' +屁+百(a 0) ♦建立关于a、b、c的三元一次方稅组求解j②已知图像顶点坐标或对称轴*用配方式y^a(r + m)l+k (a#0>*③已知图像与工轴的两金交点坐标是A<Z| * 0》、B(T2丫0) *用分解戎y = a(z —Jr】)(鼻一％》•对于本题来说、用配方式或分解式校为简捷.◎举-反三i根据已知条件，选择适当形式的解析式是求解二次函数解析式的关键.1 -1根据下列条件，分别求出函数的解析式.(D已知二次函数的图像经过点AW, -D> B(I, 0). C(-h 2)t(2)已知抛物线的顶点为(1, -3人且与，轴交于点(0, l)i⑶ 已知抛物线经过A(—3* 0). B(5, 0人C(0.^3)三点.解(1)设二次菌数解析式为y = ai2 +bx + “由图像过点A(0・—1)*得疋=…1»又由于其图橡过点(1, 0). (一1, 2片可得a + A = 114 I冶…A = 3 r因此，所求二次函数的解析式是y K 2#-工一1.(2)因为拋物线的顶点为(1，一3),所以可设函数的解析式为> -a (z - 1)?- 3. 又由于抛物线与，轴交于点(0, 可以得到1’(0-厅-3,得口-饥因此，所求二次雷数的解析式是y = 4 Q - l)z十3,即y j 4^-8x + L(3)圉为抛物线与工轴交于点A(-3, 0). B($»0),所以设二次歯数的解析式为y = a(x 4-3) <JC—5)*又由于抛物线与y轴交于点(0* —3),町以得到一3 = a(C + 3)(0 —5),解得皿=]・o[ 1 7因此，所求二次函数的解析式捷y = —(jr + 3)(x —5),即y =三* —-'X — 3・5 b □1 -2求分别满足以下条件的二次歯数的解析式・(1) 苗数图像的对称轴是直线x = 一 2,与/轴的一个交点坐标是(一5, °),与y 轴的交 点坐标是(山|)；(2) 函数图像经过(一 1」)、＜0, I)两点，且歯数图像最高点的纵坐标为扌・解(1) V (-5, 0＞关于对称轴乂=7 的对称点是(h 0), .r.设解折式为 y = a(jr + s )(x —1)*将(0,寺)代人•得一5。
=*舟■，解得a ■— *・因此、所求二次隔数的解析式是$ = — 丁“ 45) (=~ 1),即* 5=—丄— -—x 十3 3 3 3 (2)如图3-2-2.根据观1)与(0, 1)两点关于直 线龙=一裆对紹又图像垠高点的函数值为召所以価数圏像& 4的顶点为何■设画数的解析式是$ = 4(工+ *)「+斗，将(0,"代入，得I §+ 丁 = 1 ■解得 a =— L J* Z-24 4 ＜ 2 -同此▼所求二次陋数曲解析式是y =—(工 + g) +〒，即眾=*— x 3 —工4 1.、 J f 4点评本题的解题羌键是充分利用二次晶数图像的轴对称性*由对称点确定对称轴方 程，或由对称轴确定对称点坐标，从而挖械出新的条件.顶点是抛物线中的特殊点，起到^一个顶俩無的作用•住下面的题目中，是否隐1 -3巳知抛物线$ =卅+此十贮与工轴只有~个公共点A<2» Q■它与y 轴的交点 为及(1) 求叽r 的值#(2) 如图3-2-3,点M 为线段AE 的中点，求图像经过(X Al.A 三点曲二次函数的解析式.解⑴Y 拋物线匀工轴只有〜个公共点(纭0),即为頂点, & =1…；抛物线的表达式是y = Q — 2>2,W y =护一4直十仁 得血=—4 * £ n 4*<2〉将x = 0代人y = # — 4工十4,得y = 4，二抛物线与y 仙的交点E 的坐麻为(5 4人又匚点A 的坐擁为(氛0几•： AB 中点M 的坐标为<1*2).'：。
、A 关于直线工=】对弥，点M 在直线工=1上，化M 是所求抛物线的顶点. 设函数的解析式是yz 5-【尸+氛将W, 0)代人，得a + 2 = 0,解得凸=一玄 丙此'二次甬数的解析式Jft y g —2 <x — 1 )2 +氛即y R —滋‘ + 4工点评樓携團像的赫從，介析条件的柞用，見濡捕定解析式形式的逸魏，世能事芈功馆. 直取轉&(1)几何背景下的二次函数解析式二次函数与直线经常出现在同一个坐标平面上□例环解例2在坐标平闻上，0为原点，已知点A(2, 2)，点伏C在 丁轴上,EC N 趴AB = AC,直线AE 交工軸于点D仃》求点G D 的墮标『(2)求图像经过A 、C\ D 三点的二次亟数的解析式. 解(1〕如图37-4,作AE 丄y 轴于E,得AE = OE^2. EB wEC =丄/3C 齐 4’0C = EC -0E =2,齐 C©-2).08 = 2 OE 4- EC =5 6 , :* D(3f 0).⑵设二次函数的解析式为 汁占+虹+“将A (签— 0)三点塑标代人，得(4 + %+亡严 2»■ * c =—2» 解得 a ==—■盒L9a +3 占+『=0*4 * 14因此，所求二次函数的解析式为/ ― 护 +亍花一 2-V AE // x 轴" t OD I t = AE BO B£ 即空=2,得OD = 3T 2 4点评在坐标平面上含有几何5?景的条件下Y要求析戎，一離是先根据几何图序的条件求由相关点的豎标，再用待定系般法求圉数解析式，这是一类典型的数形结會问题, 对知识的蛭合能力有一定的妥求.£3举一反三“三点确定一个二次曲数的解析式”这句话对不对？请看下面的问题・2-1巳知乎面直角坐标系中两点A(l, 2〉和B(0, 3),点C在d轴上，线段AC的长是2施⑴求点C的坐标；(2>如果一个二次函数的图像经过A、B、C三点*求这个二次函数杓解析式・解(1)没CS* 0)・»I •Z ACl f 2)t AC = 2^2, A (工一1卩 +公=<2V2)\解得百=3严=一1・A点C的坐标为(3, 0)或(一几0).(2)当点C的坐标为(3, 0)时•设图像过A、E* C三点的二次函数的第析式为y = fa + fr + r =2 T“d +处+c a工0),将A.枳C三点坐标代人，得* = 3*〔9直 + 36 + c = 0.. ・八■解得氐=0,方=—1* c =3,这与a 0 T盾、舍去.当点C的坐标为(一1, 0)时■设图像过A、B、C三点的二次西数的解析式为y^ax2+2-2已知抛物线y=皿‘ +4" +占(a H 0)与工轴的一个交点为缸一1* 0人(D求抛物线与尤轴的另一个交点E的坐标扌(2)设°是抛物线与y轴的交点*C是抛物线上的~点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求此拋物线的表达式.M (1)'•*对称轴为•上=—訂*即工=—2,A(—1* 0)关2a于x=-2对称点的坐标是(一3復0), A B的坐标为(一3’ 0). ⑵*•*拋物线与工轴的交点为(一1, 0)、(—3. 0)»•:设拋物线的表达式为y = a(x + l)(x + 3).:*当上=0时Q =3鮎D(0t 3a) t D关于龙=-2的对称点是C(-4, 3a), A CD= 4・:、~ 石AE * OD = y (4 + 2) I 3a I = 9*解得0 =±= 1 时如图3-2-6)因此.所求抛物线的衷达式是j —x! +4r + 3或y =—x z—4x —3,点评解题it程中民复利用二次函牧田像的对称性•一般地，如果横坐樁分別为心和工2的两点A、B关，再缆工=Hi灯棘，那么一一-=m.又已知百*则龙工=2撷一工|, 81此在A* 23两点中，可以从其中一点的坐标求出它的对称点的坐标（纵坐标不变）* 在二次函数的图像中渗透三角比运算，是常见的代数与三角的综合问题.—3如图3-2-7>在道角坐标系xOy中"拋物线『= 加云一6a込+ 6与y轴的公共点为A,第一象限点B、C在此抛物线Jt,AB 〃上轴，ZAOB = ZCO J»0C工2尽<1）求点C的坐标$（2）求抛物线的顶点坐标.解（1）当兀=0时小◎ 6* ：・A（0»6）.* AiS 〃龙轴，二点£的纵坐标为6. 6 =：2a X2—6az + 6. 丫盘H 0, •；刊=0,匕二3.代点B的坐标为（3,6）. 图3-2-7 化OB = J衣鼻6更=3岳，sinZAOB工磐="V5如图3-2-8,ii点C作CD丄£轴，垂足为DV ZAOB = ZCOD. CD = OC • sinZCOD = OC • sin ZAO B=2A/5•=2TVs:.OD = 二CD© = J20 - 4 = 4. A C(4, 2)-(2) •:点C在此抛物线上，将(4,刀代入y = 2应<一弘戈+图3-2-86、得a = *, / 3 < 33矗抛物线为y=—卫十3^ + 6,即)=一(工〜牙)+了・A抛物线的顶点坐标为& y）.ij—< 6a 3 点评也可以利用公丸工=-議束出枫物践的对艦袖，冲直—厂无，即工=空，得点A（0. 6》关于直錢工=¥的对■称恵为（3, 6）・£三.解析式系数特征的确定根据两散图像的特征来确定系数S筑S以及由g右、亡组成的代数式的符号*魁对二次函数解析式的进一步解读.例例3已知二次函数y^az2+br^c (a 0)的图像如图3 7-9所示点确定以下各誥的符号’S 扒c,於一4w、a + b + c-r a —b + c + 一乩ff T函数图像开口向上d>0.丫肘称轴在丫緬右侧…；一?>久色<山臨b<0・ 2a aT函数图像与y轴的交点左原点下方*二c<0.V函数图像与玄轴有两个交点,b3- 4ac > 0.V Sx- 1时函数值为负，-戊+占+芒<0・V当工=一1时函数值为正*几厲一力+匸：>6•:对隸轴左直线工=1的左侧二一刍VI.Ju又V a > 0, A -b<2a.即滋 + b > 0.V ^ > 0,J < Or ；* 2a-A> 0,点评粮提二次團敎圍像的大敷荫呪可祸判斷系张5 X占及其右关的一些代歎式的苻号，其中尤其是利别式沪一4“的41号：举一反三二次函数系数特征的题目常以选择题的形式出现，在一道题目中，要判断几个系数及其代数式的符号情况，要综合考虑，有时还要分类讨论。