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三法确定一次函数表达式
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三法确定一次函数表达式
◎邓同义
一、根据图象求表达式
例1在平面直角坐标系xOy中，直线l的图象如图所示．求直线
l的函数表达式.
解析：设直线l的表达式为y=kx+b（k≠0）．
因为直线l经过点A（0，4），B（-2，0），将其代入y=kx+b得
b=4，①
-2k+b=0．②
把①代入②，得k=2．
所以直线l的函数表达式为y=2x+4.
二、根据性质求表达式
例2 某一次函数的图象过点（-1，2），且函数y的值随自变量x的增大而减小，请写出一个符合上述条件的函数表达式．
解析：本题答案不唯一，对于一次函数y=kx+b（k≠0），若y随x的增大而减小，则k＜0.
所以可设y=-x+b，把x=-1，y=2代入，可求得b=1.所以所求函数表达式为y=-x+1．
三、根据平行线求表达式
例3 直线l与y=-2x-1平行且过点（1，3），求直线l的表达式．
解析：因为直线l与y=-2x-1平行，所以设所求直线l的表达式为y=-2x+b.
又因为直线l过点（1，3），所以3=-2×1+b，解得b=5.
所以所求直线l的表达式为y=-2x+5．。
确定一次函数的表达式课件
实例三：经济学中的应用
总结词
通过经济数据确定一次函数表达式
详细描述
在经济学中，一次函数经常被用来描述经济 数据之间的关系。例如，在分析国内生产总 值（GDP）与时间的关系时，可以使用一次 函数来拟合数据。通过收集经济数据并使用 统计方法进行拟合，可以确定一次函数的表
达式，从而预测未来的经济趋势。
05
一次函数形式
一次函数的标准形式是$y = ax + b$，其中$a$是斜率，$b$是截距。
斜率$a$决定了函数的增减性，而截距 $b$决定了函数与y轴的交点。
一次函数性质
一次函数的图像是一条直线 。
当$a > 0$时，函数为增函数 ；当$a < 0$时，函数为减函 数。
它的斜率为$a$，截距为$b$ 。
确定一次函数表达式的应用前景
在实际生活中，一次函数有着广泛的应用。例如，在物理学中，速度与时间的关系、弹簧的伸长量与 作用力之间的关系等都可以用一次函数表示。
在经济学中，诸如成本与产量、收入与投入等关系也可以通过一次函数进行描述。确定一次函数的表达 式能帮助我们更好地理解这些关系，为决策提供依据。
03
一次函数的应用
解析几何中的应用
线性方程
一次函数与解析几何中的直线方程紧密 相关，通过一次函数可以表示直线方程 ，进而解决与直线相关的问题。
VS
距离和角度计算
利用一次函数表示的直线方程，可以方便 地计算两点之间的距离和直线之间的夹角 。
物理中的应用
匀速运动
在物理学中，匀速直线运动可以用一 次函数表示，通过一次函数可以方便 地描述速度、时间和位移之间的关系 。
04
确定一次函数表达式的实例
实例一：解析几何中的应用
4.3 第二课时 确定一次函数的表达式 课件 2024-2025学年数学北师版八年级上册
由y＝2x＋6，得0＝2x＋6.解得x＝－3<1.
所以输出的y值为0时，输入的x值为－3.
＝ －6 ．
5． 已知一次函数y＝mx－3m2＋12(m为常数)．
(1)m为何值时，函数图象过原点，且y随x的增大而减小？
解：(1)由题意，得m<0，且－3m2＋12＝0.
解得m＝－2.
(2)若函数图象平行于直线y＝－x，求一次函数的表达式；
(2)由题意，得m＝－1.
所以－3m2＋12＝－3×(－1)2＋12＝9.
解得k＝ .
所以直线的表达式为y＝ x＋5.
把点A(－6，m)代入y＝ x＋5，得
m＝ ×(－6)＋5＝－8＋5＝－3.
所以k的值为 ，m的值为－3.
(2)求△AOB的面积．
(2)设直线AB与x轴交于点C，如图所示．
把y＝0代入，得 x＋5＝0.解得x＝－ .
b＝－2，k＋b＝3.解得k＝5.
所以该函数的表达式为y＝5x－2.
2. 对于一次函数y＝kx＋b，当x＝0时，y＝－6；当x＝1时，y＝－2.
(1)求这个一次函数的表达式；
解：(1)依题意，得b＝－6，－2＝k＋b.
解得k＝4.
所以这个一次函数的表达式为y＝4x－6.
(2)判断点(－3，3)是否在此函数的图象上．
(2)不在．
当x＝－3时，y＝4×(－3)－6＝－18≠3.
所以点(－3，3)不在此函数的图象上．
求一次函数表达式的一般步骤：①设：设一次函数表达式为y＝
初中数学知识点精讲精析 确定一次函数的表达式
4 确定一次函数的表达式学习目标1. 了解两个条件确定一次函数。
2. 能根据所给信息（图像、表格、实际问题等）确定一次函数的表达式。
知识详解1．确定一次函数表达式（1）借助图象确定函数的表达式先观察直线是否过坐标原点，若过原点，则为正比例函数，可设其关系式为y＝kx（k≠0）；若不过原点，则为一次函数，可设其关系式为y＝kx＋b（k≠0）；然后再观察图象上有没有明确几个点的坐标．对于正比例函数，只要知道一个点的坐标即可；对于一次函数，则需要知道两个点的坐标；最后将各点坐标分别代入y＝kx或y＝kx＋b中，求出其中的k，b，即可确定出其关系式。
（2）确定正比例函数、一次函数表达式需要的条件①由于正比例函数y＝kx（k≠0）中只有一个未知系数k，故只要一个条件，即一对x，y的值或一个点的坐标，就可以求出k的值，确定正比例函数的表达式。
②一次函数y＝kx＋b（k≠0）有两个未知系数k，b，需要两个独立的关于k，b的条件，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点的坐标或两对x，y的值。
用待定系数法求直线解析式由图象观察可知该函数为一次函数，故应设成y＝kx＋b（k≠0）的形式，再将A，B两点坐标代入该关系式，即可求出k，b，从而确定出具体的关系式。
2．待定系数法（1）定义：先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而写出这个式子的方法，叫做待定系数法，其中的未知数也称为待定系数。
（2）用待定系数法求解析式的一般步骤：①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；②将x，y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程（组），得到待定系数的值；④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求函数的解析式。
【典型例题】例1：一次函数图象如图所示，求其解析式．【答案】设一次函数解析式为y＝kx＋b，∵一次函数图象过点(0，－2)，∴－2＝k×0＋b，∴b＝－2.∵一次函数图象过点(1,0)，∴0＝k×1＋b，∴k＝2.∴一次函数解析式为y＝2x－2.【解析】利用图象所给的信息，即直线与坐标轴交点的坐标，再用待定系数法求出k，b的值，从而确定表达式。
4 确定一次函数的表达式
所以 S△ABC= ×3×3= .
素养培优练
13.在平面直角坐标系中,我们把横坐标和纵坐标相等的点称为“和谐点”.
例如点(-1,-1),(0,0),( , ),…都是“和谐点”.
(1)若点 P(1,a)是正比例函数 y=mx 图象上的“和谐点”,求这个正比例函
数的表达式.
解:(1)由点P(1,a)是正比例函数y=mx图象上的“和谐点”,得a=1,即
(3)求△ABC的面积.
解:(2)因为直线 l1,l2 交于点 C(2,-3).
所以-3= ×2+b,所以 b=-6,
所以直线 l2 的函数表达式为 y= x-6.
(3)令 y= x-6=0,解得 x=4,
所以点 A 的坐标为(4,0).
因为 A(4,0),C(2,-3),B(1,0),
故函数y=kx-k+1(k≠1)图象上的“和谐点”是(1,1).
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4 确定一次函数的表达式
基础巩固练
待定系数法确定一次函数表达式
1.已知一个正比例函数的图象经过点(-2,3),则这个正比例函数的表达
B )
式是(
A.y=x+5
B.y=- x
C.y=- x
D.y=-2x+3
2.若直线 y=kx+b 经过 A(0,2)和 B(3,0)两点,那么这个一次函数的表达式
分析,下列结论不正确的是( D
)
x
…
-1
0
1
2
…
y
…
5
2
-1
-4
…
确定一次函数的表达式
V /(米/秒) 米秒
8 7 6 5 4 3 2 1
未命名.gsp
·
t /秒 秒
0
1 2 3
4
5
6 7 8
想一想
确定正比例函数的表达式需要几 个条件？确定一次函数的表达式？ 确定正比例函数的表达式需要一个 条件 确定一次函数的表达式需要两个条件
一、确定正比例函数的表达式的方法： 确定正比例函数的表达式的方法： 1、根据题意，设表达式：y=kx 、根据题意，设表达式： 2、根据给出的数据求出k的值 、根据给出的数据求出 的值 3、根据求出的 值，写出一般表达式 、根据求出的k值 二、确定一次函数的表达式的方法： 确定一次函数的表达式的方法： 1、根据题意，设表达式：y=kx+b 、根据题意，设表达式： 2、根据给出的数据求出k、b的值 、根据给出的数据求出 、 的值 3、根据求出的 、b的值，写出一般表 的值， 、根据求出的k、 的值 达式
∴这个一次函数的表达式为y=x-2 这个一次函数的表达式为
在弹性限度内，弹簧的长度 （厘米） 在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米） 是所挂物体质量x（千克）的一次函数。 是所挂物体质量 （千克）的一次函数。一 根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物 厘米； 根弹簧不挂物体时长 厘米 体的质量为3千克时 弹簧长16厘米 千克时， 厘米。 体的质量为 千克时，弹簧长 厘米。写 之间的关系式， 出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的 与 之间的关系式 质量为4千克时弹簧的长度 千克时弹簧的长度。 质量为 千克时弹簧的长度。 14.5=b ① 解：设y=kx+b,根椐题意得 根椐题意得 16=3k+b ② 代入② 把b=14.5代入②，得 k=0.5 代入 所以在弹性限度内： 所以在弹性限度内：y=0.5x+14.5 当x=4时，y=0.5 × 4+14.5=16.5 x=4时
三法确定一次函数表达式
三法确定一次函数表达式确定一次函数表达式的方法有三种，分别是点斜式、截距式和一般式。
一、点斜式：点斜式是通过已知直线上一点的坐标和该直线的斜率来确定一次函数表达式的方法。
已知直线上一点的坐标为(x1,y1)，斜率为m，则该直线的点斜式表达式为：y-y1=m(x-x1)其中，m为直线的斜率，定义为直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
例如，已知直线上一点的坐标为(2,3)，斜率为2，则直线的点斜式为：y-3=2(x-2)二、截距式：截距式是通过已知直线在坐标轴上的截距来确定一次函数表达式的方法。
已知直线与x轴的交点为(a,0)，与y轴的交点为(0,b)，则该直线的截距式表达式为：x/a+y/b=1其中，a为直线与x轴的截距，b为直线与y轴的截距。
例如，已知直线与x轴的截距为3，与y轴的截距为4，则直线的截距式为：x/3+y/4=1三、一般式：一般式是通过已知直线上两点的坐标来确定一次函数表达式的方法。
已知直线上两点的坐标为(x1,y1)和(x2,y2)，则该直线的一般式表达式为：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)其中，(x1,y1)和(x2,y2)为直线上的两个点的坐标。
例如，已知直线上两点的坐标分别为(2,3)和(4,7)，则直线的一般式为：(y-3)/(x-2)=(7-3)/(4-2)以上三种方法都可以用来确定一次函数表达式，选择使用哪种方法取决于已知的条件。
点斜式适用于已知斜率和一点的情况，截距式适用于已知与坐标轴的截距的情况，一般式适用于已知两点的情况。
根据实际情况选择合适的方法，可以快速准确地确定一次函数表达式。
《确定一次函数的表达式》一次函数PPT课件
巩固练习
6、从地面竖直向上抛射一个物体，在落地之前， 物体向上的速度v(米/秒)是运动时间t(秒)的一次 函数。经测量，该物体的初速度(t=0时物体是速 度)为25米/秒，2秒后物体的速度为5米/秒。 (1)写出v、t之间的关系式； (2)经过多长时间后，物体将达到最高点？(此时 物体的速度为0)
巩固练习
3、如图，直线l是一次函数 y kx b的图象，求 k与b的值。
巩固练习
4、如图，直线l是一次函数 y kx b 的图象， 填空： (1) b= ，k = ； (2) 当x=30时，y= ； (3) 当y=30时，x= 。
巩固练习
5、y与x–1成正比例，当x=3时，y=4。写出y与x 关系式。
第四章 一次函数
确定一次函数的表达式
情景引入
某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(米/秒)与 其下滑时间t(秒)的关系如图所示。 (1)下滑2秒时物体的速度是多少？ (2) v与t之间的函数关系是什么类型？ 正比例函数
y kx
(2, 5)
新知探究 Ⅰ、某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(米/秒)与 其下滑时间t(秒)的关系如图所示。 (1)写出v与t之间的关系式； 正比例函数的表达式为：v kt 当t=2时，v=5 (2, 5) 5 t 2 5 k 2 5 v t 2 确定正比例函数的表达式需要几个条件？
要求出kБайду номын сангаас，只需要一个点的坐标。
新知归纳
确定正比例函数 y kx的表达式： 只需要正比例函数 y kx的一组变量对应值 (图象上除原点外一点的坐标)即可。
新知探究 Ⅰ、某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(米/秒)与 其下滑时间t(秒)的关系如图所示。 (2)下滑3秒时物体的速度是多少？ 5 v t 2 当t=3时 (2, 5) 5 v 3 2 15 v 2
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根据图象确定一次函数解析式 【例题】如图 3 是某种蜡烛在燃烧过程中高度 y(cm)与时间 x(h)之间关系的图象，由图象解答下列问题： (1)此蜡烛燃烧 1 h 后，高度为____cm；经过____h 燃烧完毕； (2)燃烧过程中高度 y 与时间 x 之间的关系式是_________．
图3
解：(1)根据图象提供的Байду номын сангаас息，易知此蜡烛燃烧 1 h 后，高
度为 7 cm.经过 15÷(15－7)＝185(h)燃烧完毕．
(2)由函数图象上的两点(0,15)，(1,7)，
可知一次函数 y＝kx＋b 中 b＝15，且 7＝k＋15，故 k＝－8.
即所求的函数关系式为
y＝－8x＋15
0
图1 解：由于直线过(0,3)和(－2,0)两点，则 3＝b，0＝－2k＋b， 即 b＝3，k＝32. ∴一次函数的解析式为 y＝32x＋3.
根据所给信息确定一次函数表达式(知识深化) 可以根据已知图象或表格确定函数关系式，对于一些实际 问题，需弄清变量的意义，确定函数表达式．
随堂小练 3．如图 2，一次函数的图象过点 A，且与正比例函数 y＝
x
15 8
.
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作 为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的 人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐， 可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一 边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧 一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最 喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然 带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的 感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐 现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式， 在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而 倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们 放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸 福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是 幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至 哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太 好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防， 生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久 没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方
－x 的图象交于点 B，则该一次函数的表达式为__y_＝__－__2_x＋__2__．
图2 点拨：∵A(0,2)，∴|OA|＝2. ∵|AB|＝ 5，∴|OB|＝ 5－4＝1， 得∴B(1,0)．经计算，过 A、B 的函数为 y＝－2x＋2.
4．随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量 也随之下降，即含氧量 y(g/m3)与大气压强 x(kPa)成正比关系， 当 x＝36 时，y＝108，求 y 与 x 之间的函数关系式．
随堂小练 1．已知直线经过点(－1,0)，(0,3)，则直线的解析式是( A ) A．y＝3x＋3 B．y＝3x－3 C．y＝－3x＋3 D．y＝－3x－3 点拨：设 y＝kx＋b，将(－1,0)，(0,3)两点坐标代入，得 b＝3，k＝3.∴y＝3x＋3.
2．如图 1，一次函数 y＝kx＋b 的图象过点(0,3)和点(－2,0)， 写出一次函数的解析式．
4 确定一次函数表达式
用待定系数法确定一次函数表达式(重难点) 用待定系数法求一次函数解析式的步骤为： (1)设函数解析式为 y＝kx＋b； (2)将已知点的坐标代入函数解析式，解方程组； (3)求出 k 与 b 的值，得函数解析式． 剖析：因为正比例函数含有一个基本量 k，一次函数含有两 个基本量 k、b，所以确定正比例函数的表达式需要一个条件， 确定一次函数的表达式需要两个条件．