正弦交流电路基本概念部分

2CU c sin t u 2
2 I sin t i
i
因此得到：
＋
I CU c ; i u 2
uC
－
C
1 I jCU C 或U C＝ I jC
在选择电压、电流的参考方向一致时，电容 电压比电流滞后900。
u,i
i 0
u
t
+j
I
0
U
+1
定义： U c 1 1 Xc I c 2fc 1 Bc C Xc
容抗
容纳（S）
例5：已知电容C=57.8F，外加电压为
u 311 sin 314t 300 V


求（1）求容抗XC和电流i；（2）若外加电压 的有效值不变，频率变为500HZ，再求容抗和 电流。
Ie j i I I i
j u i U R U Re RI i
RI U R
U R RI ; u i
对电阻元件来讲，电压与电流同相。
u,i u i t 0 +j
U
I
i= u +1
需要注意：（1）有效值公式与相量形式的区别； （2）电阻的电压与电流的相位关系， 对以后画相量图会很有用途；
1 1 BL XL L
感抗 感纳（S）
例4：已知电感L=25.4mH，外加电压
u 311sin 314t 60
0

求（1）求感抗XL和电流i；（2）若外加电压 的有效值不变，频率变为500HZ，再求感抗 和电流。
需要说明：
1、虽然电感元件的感抗XL与电阻R是相当的， 但二者的性质完全不同；感抗不等于电压与电 流的瞬时值之比，即 X L 在交流电路中才有意义。
I1 1000 A I 10 1200 A
2
i1 i2 i3
210 sin 100tA
I3 101200 A
210 sin 100t 120 A
0
210 sinБайду номын сангаас100t 1200 A
三、相量图
在复平面上，用以表示正弦量的矢量图称为相量图。 如 U u 2U sin t u U u 同频率正弦量所对应的相量， 在复平面上的相对位置不随时 间变化，因而可以画在同一相 量图上，图中，任意两个相量 间的夹角就是二者所对应的正 弦量的相位差。
T
UI cos
对无源网络而言，平均功率等于网络等效电阻吸收的瞬时 功率中的恒定分量，即网络等效电阻吸收的平均功率，它反映 了网络中的电能转换成其他形式能量的平均速率，因此平均功 率又称有功功率。
有关因素：
由上式看出，正弦交流电路的有功功率不仅与电压、电流 有效值有关，还与电压、电流相位差的余弦（cos)有关。 cos称为电路的功率因数（power fector）， 角叫做功率因 数角。对无源网络而言，功率因数角就是它的阻抗角，它决定 于电源的频率和网络的参数。
代入上式，经过一系列的推导，得
同理： U 2U 或 U U m m 2
Im I m 2I 或 I 2
即正弦量有效值与其振幅间有固定的关系，因此有效 值也可作为正弦量的一个要素。则
i 2 I sin t i u 2U sin t u
正弦量的相量表示法
例2：写出下列正弦电压和电流的解析式所对应的相 量表示式。
u i
2 220 sin 314t 300 V 2 5 sin 314t 600 A




22030 0 V U 5 60 0 A I
例3：已知f＝50HZ的三个正弦电流相量如下式，写 出它们对应的解析式。
二、同频率正弦量的相位差 i1 I m1 sin t 1
12 1 2
i2 I m 2 sin t 2
两个同频率正弦量间存在相位差，表示它们在变化过 程中到达零值或振幅的先后顺序不同，先到达零值或 振幅的叫超前，反之叫滞后。
i i1 i2 0 i i1
uL 。感抗只有 i
2、感抗XL的大小与电感L和电源频率f成正比，
电感元件具有“通低频、阻高频”的作用。
三、电容元件的电压与电流的关系
设： uc 2U c sin t u
duc 则由 i C 得： dt
i ＋
uC
－
C
d iC 2U c sin t u dt 2CU c cos t u
2 2f T
i Im t
T
(rad / s )
正弦量表示式中的（t+)， 是确定正弦量每瞬间的大 小和正负的角度，称为正 弦量的相位角。其中是正 / 弦量在时的相位，称为正 弦量的初相。
i Im t
T
由以上可看出，任一正弦量，当它的振幅、角频率 （或周期、频率）和初相确定后，该正弦量就完全 确定了。因此就将振幅、角频率及初相称为正弦量 的三要素。
2U L sin t i
i
因此得到：
＋ uL L
U L LI ; u i

2
－
jLI 或I ＝ U L
1 jL
U L
在选择电压、电流的参考方向一致时，电感电 压比电流超前900。
u,i
u i
0
t
+j
U
I
0 +1
定义： UL L 2fL X L I
注意：
（1）无功功率是相对于有功功率而言的。无功功率虽然不是 “消耗”的功率，但不能把它理解为“无用”的功率。它恰好 是诸如变压器、电动机等一些电器设备正常工作所必需的。
（2）无功功率亦有正、负区别。
四、视在功率（ apparent power）
定义：
发电机、变压器等电气设备都是按照额定电压和额定电流 （均指有效值）进行设计、制造和使用的，通常把额定电压与额 定电流的乘积称为设备的额定容量。将电压与电流有效值的乘积 定义为视在功率或表观功率。
U cos
即输电线路的功率损耗
2 P 1 2 P I R 2 Rk 2 U cos cos 2
+j
U
300
0
600
+1
I
R、L、C元件的伏安相量形式
一、电阻元件的电压与电流的关系 设： i 2 I sin t i
＋
uR － R i
则由欧姆定律 u=Ri 得：
uR 2RI sin t i 2U R sin t u
式中： U R RI ; u i
一、复数的表示形式
+j b
a jb A A cos jA sin Ae j A
二、正弦量的相量表示
A
A

Acos j sin
0
a
+1
i 2 I sin t
j I Ie I
需要注意的是：二者之间只是关系，而不是相等关 系。或者认为只是一种表示符号。
2.周期T或频率f
周期或频率都是表示正弦量变化快慢的物理量。正弦 量每隔一定时间又重复原来的变化，这种情况称为周 期性。正弦量每变化一个循环所需要的时间，叫周期 （period）。用T表示，单位为秒（S）。
周期的倒数表示正弦量在单位时间内变化的循环数， 叫频率，用符号f表示，单位为赫兹（Hz）。 对正弦时间函数，还可 用角频率表示它变化 的快慢。角频率是正弦 函数单位时间内所变化 / 的角度（弧度数）。其 与周期及频率的关系为：
表达式： S UI 意义： 用来表示该设备所能输出的最大功率。
功率的相互关系：
S P2 Q2 P S cos Q S sin Ptg
S
P Q
五、功率因数（ power fecter）
重要性体现在：它直接影响发、变电设备容量的利用率 和输电线路的功率损耗。
例1：一台额定容量为10000KVA的发电机，当负载的cos＝0.6时， 其输出的有功功率为600KW；而当将其功率因数提高到0.8时，其 输出的有功为800KW。 例2：在输电电压U、输送有功功率P一定的情况下，通过输电 P 线路的电流为 I
交流量的有效值（effective value）
一、有效值的定义
一个周期交流量（电流或电压）和某一直流量 （电流或电压），分别作用于同一电阻R，若在相同时 间内它们所产生的热量相等，则称这个直流量的值为交 流量的有效值。
二、正弦量的有效值
仍以正弦交流电流为例，设 i I m sin t
t 0
i2
t
例1：已知三个同频率正弦电压
u1 141sin 100tV 2 u 2 141sin 100t 3 2 u3 141sin 100t 3 V V
（1）求它们的振幅、频率和周期；（2）求每两个 电压间的相位差，并指出相互间的超前、滞后关系； （3）若选取u2为参考正弦量，重新写出它们的解析 式，并比较两两间的相位差。
i
u,i t
p ui 2UI sin t sin t 1 2UI cost t cost t 2 UI cos UI cos2t
UI cos 1 cos 2t UI sin sin 2t
二、电感元件的电压与电流的关系 设： i 2 I sin t i
di 则由 u L L 得： dt
i
＋
uL － L
d uL L 2 I sin t i dt 2LI cos t i