正弦定理(一)
下学期高一数学第一章解三角形全章教案 必修5
下学期高一数学第一章解三角形全章教案1.1第1课时 正弦定理(1)教学目标（1）要求学生掌握正弦定理及其证明；（2）会初步应用正弦定理解斜三角形，培养数学应用意识； （3）在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力． 教学重点，难点正弦定理的推导及其证明过程． 教学过程 一．问题情境在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角．那么斜三角形怎么办？我们能不能发现在三角形中还蕴涵着其他的边与角关系呢？探索1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在Rt ABC ∆中，设90C =︒，则sin a A c =， sin b B c =， sin 1C =， 即：sin a c A =， sin b c B =， sin c c C =， sin sin sin a b cA B C==． 探索2 对于任意三角形，这个结论还成立吗？ 二．学生活动学生通过画三角形、测量边长及角度，再进行计算，初步得出该结论对于锐角三角形和钝角三角形成立．教师再通过几何画板进行验证．引出课题——正弦定理． 三．建构数学探索3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设C 为最大角，若C 为直角，我们已经证得结论成立，如何证明C 为锐角、钝角时结论也成立？ 证法1 若C 为锐角（图（1）），过点A 作AD BC ⊥于D ，此时有sin AD B c =，sin ADC b=，所以sin sin c B b C =，即sin sin b c B C =．同理可得sin sin a cA C=， 所以sin sin sin a b cA B C ==． 若C 为钝角（图（2）），过点A 作AD BC ⊥，交BC 的延长线于D ，此时也有sin AD B c =，且sin sin(180)AD C C b =︒-=．同样可得sin sin sin a b cA B C==．综上可知，结论成立．证法 2 利用三角形的面积转换，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则sin AD c B =，sin BE a C =，sin CF b A =．所以111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===，每项同除以12abc 即得：sin sin sin a b cA B C==．探索4 充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法．我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？在ABC ∆中，有BC BA AC =+．设C 为最大角，过点A 作AD BC ⊥于D （图（3）），于是BC AD BA AD AC AD ⋅=⋅+⋅．设AC 与AD 的夹角为α，则0||||cos(90)||||cos BA AD B AC AD α=⋅⋅︒++⋅，其中 ，当C ∠为锐角或直角时，90C α=︒-； 当C ∠为钝角时，90C α=-︒． 故可得sin sin 0c B b C -=，即sin sin b cB C=． 同理可得sin sin a cA C =． 因此sin sin sin a b c A B C==． 四．数学运用 1．例题：例1．在ABC ∆中，30A =︒，105C =︒，10a =，求b ，c ．解：因为30A =︒，105C =︒，所以45B =︒．因为sin sin sin a b cA B C==， 所以sin 10sin 45102sin sin 30a B b A ︒===︒，sin 10sin1055256sin sin 30a C c A ︒===+︒．因此， b ，c 的长分别为102和5256+．例2．根据下列条件解三角形： （1）3,60,1b B c ==︒=； （2）6,45,2c A a ==︒=．解：（1）sin sin b cB C =，∴sin 1sin 601sin 23c B C b ⨯︒===， ,60b c B >=，∴C B <，∴C 为锐角， ∴30,90C A ==，∴222a b c =+=．（2）sin sin a cA C=，∴sin 6sin 453sin 22c A C a ⨯===，∴60120C =或， ∴当sin 6sin 756075,31sin sin 60c B C B b C =====+时，； ∴当sin 6sin1512015,31sin sin 60c B C B b C =====-时，； 所以，31,75,60b B C =+==或31,15,120b B C =-==．说明：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题． 练习：在ABC ∆中，30a =，26b =，30A =︒，求c 和,B C ．说明：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题． 2．练习： （1）在ABC ∆中，已知8b c +=，30B ∠=︒，45C ∠=︒，则b = ，c = ． （2）在ABC ∆中，如果30A ∠=︒，120B ∠=︒，12b =，那么a = ，ABC ∆的面积是 ．（3）在ABC ∆中，30bc =，1532ABC S ∆=，则A ∠= ． （4）课本第9页练习第1题． 五．回顾小结：1．用两种方法证明了正弦定理：（1）转化为直角三角形中的边角关系；（2）利用向量的数量积．2．初步应用正弦定理解斜三角形． 六．课外作业：课本第9页练习第2题；课本第11页习题1.1第1、6题§1.1.1第2课时 正弦定理(2)教学目标（1）掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形； （2）熟记正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆的外接圆的半径）及其变形形式．教学重点，难点利用三角函数的定义和外接圆法证明正弦定理． 教学过程 一．问题情境上节课我们已经运用两种方法证明了正弦定理，还有没有其他方法可以证明正弦定理呢？ 二．学生活动学生根据第5页的途径（2），（3）去思考． 三．建构数学证法1 建立如图（1）所示的平面直角坐标系，则有(cos ,sin )A c B c B ，(,0)C a ，所以ABC ∆的面积为1sin 2ABC S ac B ∆=．同理ABC ∆的面积还可以表示为1sin 2ABC S ab C ∆=及1sin 2ABC S bc A ∆=，所以111sin sin sin 222ab C ac B bc A ==． 所以sin sin sin a b c A B C==． 证法2 如下图，设O 是ABC ∆的外接圆，直径2BD R =．（1）如图（2），当A 为锐角时，连CD ，则90BCD ∠=︒，2sin a R D =．又D A ∠=∠，所以2sin a R A =．（2）如图（3），当A 为钝角时，连CD ，则90BCD ∠=︒，2sin a R D =．又180A D ∠+∠=︒，可得sin sin(180)sin D A A =︒-=，所以2sin a R A =．（3）当A 为直角时，2a R =，显然有2sin a R A =．所以不论A 是锐角、钝角、直角，总有2sin a R A =．同理可证2sin b R B =，2sin c R C =．所以2sin sin sin a b cR A B C===． 由此可知，三角形的各边与其所对角的正弦之比是一个定值，这个定值就是三角形外接圆的直径． 由此可得到正弦定理的变形形式：（1）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===； （2）sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===；（3）sin sin sin ::::A B C a b c =． 四．数学运用1．例题：例1．根据下列条件，判断ABC ∆有没有解？若有解，判断解的个数． （1）5a =，4b =，120A =︒，求B ； （2）5a =，4b =，90A =︒，求B ；（3）106a =，203b =45A =︒，求B ； （4）202a =203b =45A =︒，求B ；（5）4a =，33b =，60A =︒，求B ． 解：（1）∵120A =︒，∴B 只能是锐角，因此仅有一解． （2）∵90A =︒，∴B 只能是锐角，因此仅有一解．（3）由于A 为锐角，而210632=，即A b a sin =，因此仅有一解90B =︒．（4）由于A 为锐角，而22032022031062>>=，即sin b a b A >>，因此有两解，易解得60120B =︒︒或．（5）由于A 为锐角，又1034sin 605<︒=，即sin a b A <，∴B 无解． 例2．在ABC ∆中,已知,cos cos cos a b cA B C==判断ABC ∆的形状．解：令sin ak A=，由正弦定理，得sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =．代入已知条件，得sin sin sin cos cos cos A B C A B C==，即tan tan tan A B C ==．又A ，B ，C (0,)π∈，所以A B C ==，从而ABC ∆为正三角形．说明：（1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？ （2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断．例3．某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35︒，沿倾斜角为20︒的斜坡前进1000米后到达D 处，又测得山顶的仰角为65︒，求山的高度(精确到1米)． 分析：要求BC ，只要求AB ，为此考虑解ABD ∆． 解：过点D 作//DE AC 交BC 于E ，因为20DAC ∠=︒， 所以160ADE ∠=︒，于是36016065135ADB ∠=︒-︒-︒=︒． 又352015BAD ∠=︒-︒=︒，所以30ABD ∠=︒． 在ABD ∆中，由正弦定理，得sin 1000sin13510002()sin sin 30AD ADB AB m ABD ∠︒===∠︒．在Rt ABC ∆中，sin 35235811()BC AB m =︒=︒≈． 答：山的高度约为811m ．例4．如图所示，在等边三角形中，,AB a =O 为三角形的中心，过O 的直线交AB 于M ，交AC 于N ，求2211OM ON +的最大值和最小值． 解：由于O 为正三角形ABC 的中心，∴3AO =， 6MAO NAO π∠=∠=，设MOA α∠=，则233ππα≤≤，αβπβ-αACBD在AOM ∆中，由正弦定理得：sin sin[()]6OM OAMAO ππα=∠-+， ∴6sin()6OM πα=+，在AON ∆中，由正弦定理得：6sin()6ON πα=-，∴2211OM ON +22212[sin ()sin ()]66a ππαα=++-22121(sin )2a α=+， ∵233ππα≤≤，∴3sin 14α≤≤，故当2πα=时2211OM ON +取得最大值218a， 所以，当α=2,33or ππ时23sin 4α=，此时2211OM ON +取得最小值215a ． 例5．在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，用正弦定理证明：AB BDAC DC=． 证明：设BAD α∠=，BDA β∠=，则CAD α∠=，180CDA β∠=︒-．在ABD ∆和ACD ∆中分别运用正弦定理，得sin sin AB BD βα=，sin(180)sin AC DC βα︒-=， 又sin(180)sin ββ︒-=，所以AB AC BD DC =，即AB BDAC DC=． 2．练习：（1）在ABC ∆中，::4:1:1A B C =，则::a b c = ( D )A ．4:1:1 B ．2:1:1 CD（2）在ABC ∆中，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，且15a b c ++=，则a = ， b = ，c = ． 五．回顾小结：1．了解用三角函数的定义和外接圆证明正弦定理的方法； 2．理论上正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角． 六．课外作业：课本第9页练习第3题；课本第11页习题1.1第2、8题．§1.1.2 第3课时 余弦定理(1)教学目标（1）掌握余弦定理及其证明；（2）使学生能初步运用余弦定理解斜三角形． 教学重点，难点（1）余弦定理的证明及其运用；（2）能灵活运用余弦定理解斜三角形． 教学过程 一．问题情境 1．情境：复习正弦定理及正弦定理能够解决的两类问题． 2．问题：在上节中，我们通过等式BC BA AC =+的两边与AD （AD 为ABC ∆中BC 边上的高）作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而推出了正弦定理，还有其他途径将向量等式BC BA AC =+数量化吗？二．学生活动如图，在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ． ∵BC AB AC +=∴()()AC AC AB BC AB BC ⋅=+⋅+22cos 2a B ac c +-=， 即B ac a c b cos 2222-+=；同理可证：A bc c b a cos 2222-+=， C ab b a c cos 2222-+=． 三．建构数学 1． 余弦定理上述等式表明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．这样，我们得到余弦定理． 2．思考：回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理．方法1：如图1建立直角坐标系，则(0,0),(cos ,sin ),(,0)A B c A c A C b ．所以2222222222(cos )(sin )cos sin 2cos 2cos a c A b c A c A c A bc A b b c bc A=-+=+-+=+-同理可证B ac a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=注：此法的优点在于不必对A 是锐角、直角、钝角进行分类讨论．方法2：若A 是锐角，如图2，由B 作BD AC ⊥，垂足为D ，则cos AD c A =，所以即A bc c b a cos 2222-+=，类似地，可以证明当A 是钝角时，结论也成立，而当A 是直角时，结论显 然成立．同理可证B ac a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=．图1 图2 3．余弦定理也可以写成如下形式：bc a c b A 2cos 222-+= ， ac b c a B 2cos 222-+=， acc b a C 2cos 222-+=．4．余弦定理的应用范围：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 四．数学运用 1．例题：例1．在ABC ∆中，（1） 已知3b =，1c =，060A =，求a ；A BCcab（2） 已知4a =，5b =，6=c ，求A （精确到00.1）．解：（1）由余弦定理，得2222202cos 31231cos607a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以 a =（2）由余弦定理，得222222564cos 0.752256b c a A bc +-+-===⨯⨯， 所以，041.4A ≈．例2． ,A B 两地之间隔着一个水塘，现选择另一点C ，测得182,CA m =126,CB m =063ACB ∠=，求,A B 两地之间的距离（精确到1m ）． 解：由余弦定理，得所以，168()AB m ≈答：,A B 两地之间的距离约为168m ．例3．用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C 为锐角时，222a b c +>；当C 为钝角时，222a b c +<．证：当C 为锐角时，cos 0C >，由余弦定理，得222222cos c a b ab C a b =+-<+，即 222a b c +>．同理可证，当C 为钝角时，222a b c +<．2．练习：书第15页 练习１，２，３，４ 五．回顾小结：1．余弦定理及其应用2．正弦定理和余弦定理是解三角形的两个有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；六．课外作业：书第16页１，2，3，4，6，7题§1.1.2 第4课时 余弦定理(2)教学目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题． 教学重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题，牢固掌握两个定理，应用自如． 教学过程 一．问题情境1．正弦定理及其解决的三角形问题（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步其它的边和角． 2．余弦定理及其解决的三角形问题 （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两个角． 四．数学运用 1．例题：例1．在长江某渡口处，江水以5/km h 的速度向东流，一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在0.1h 后到达江北岸B 码头，设AN 为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东015，并与A 码头相距1.2km ．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到00.1，速度精确到0.1/km h ）？解：如图，船按AD 方向开出，AC 方向为水流方向，以AC 为一边、AB 为对角线作平行四边形ABCD ，其中 1.2(),50.10.5()AB km AC km ==⨯=．在ABC ∆中，由余弦定理，得2221.20.52 1.20.5cos(9015) 1.38BC =+-⨯⨯-≈， 所以 1.17()AD BC km =≈． 因此，船的航行速度为1.170.111.7(/)km h ÷=．在ABC ∆中，由正弦定理，得 0sin 0.5sin 75sin 0.41281.17AC BAC ABC BC ∠∠==≈， 所以 024.4ABC ∠≈所以 00159.4DAN DAB NAB ABC ∠=∠-∠=∠-≈．答：渡船应按北偏西09.4的方向，并以11.7/km h 的速度航行．例2． 在ABC ∆中，已知sin 2sin cos A B C =，试判断该三角形的形状．解：由正弦定理及余弦定理，得222sin ,cos sin 2A a a b c C B b ab+-==， 所以 22222a a b c b ab+-=，整理得 22b c =因为0,0b c >>，所以b c =．因此，ABC ∆为等腰三角形．例3．如图，AM 是ABC ∆中BC 边上的中线，求证：22212()2AM AB AC BC =+-．证：设AMB α∠=，则0180AMC α∠=-．在ABM ∆中，由余弦定理，得2222cos AB AM BM AM BM α=+-．在ACM ∆中，由余弦定理，得22202cos(180)AC AM MC AM MC α=+--．因为01cos(180)cos ,2BM MC BC αα-=-==， 所以2222122AB AC AM BC +=+，因此， 22212()2AM AB AC BC =+-． 例4．在ABC ∆中，BC a =，AC b =，,a b 是方程02322=+-x x 的两个根，且2cos()1A B +=，求：①角C 的度数； ②AB 的长度； ③ABC S ∆．解：①1cos cos(())cos()2C A B A B π=-+=-+=- ∴120C =；②由题设：232a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，∴2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅120cos 222ab b a -+=ab b a ++=22102)32()(22=-=-+=ab b a ， 即10AB =；③ABC S ∆11133sin sin120222222ab C ab ===⋅⋅=．2．练习：（1）书第16页 练习１，２，３，４DCBA（2）如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥,10AD =，14AB =, 60BDA ∠=, 135BCD ∠=， 求BC 的长．（3）在ABC ∆中，已知()()()456::::b c c a a b +++=，求ABC ∆的最大内角；（4）已知ABC ∆的两边,b c 是方程2400x kx -+=的两个根，的面积是2cm ，周长是20cm ，试求A 及k 的值； 五．回顾小结：1．正弦、余弦定理是解三角形的有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；2．应用正弦、余弦定理可以实现将“边、角相混合”的等式转化为“边和角的单一”形式； 3．应用余弦定理不仅可以进行三角形中边、角间的计算，还可以判断三角形的形状． 六．课外作业：书第17页5，8，9，10，11题§1.3正弦定理、余弦定理的应用(1)教学目标（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；（2）体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；（3）能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力． 教学重点，难点（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题； （2）掌握求解实际问题的一般步骤． 教学过程 一．问题情境 1．复习引入复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式， （1）正弦定理、三角形面积公式：R CcB b A a 2sin sin sin ===； B acC ab A bc S ABC sin 21sin 21sin 21===∆．（2）正弦定理的变形：①C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；②RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===； ③sin sin sin ::::A B C a b c =．（3）余弦定理：bca cb A A bc c b a 2cos ,cos 2222222-+=-+=．二．学生活动引导学生复习回顾上两节所学内容，然后思考生活中有那些问题会用到这两个定理，举例说明.三．建构数学正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用.1．下面给出测量问题中的一些术语的解释：（1）朝上看时，视线与水平面夹角为仰角；朝下看时，视线与水平面夹角为俯角. （2）从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角,叫方位角.（3）坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率.道路坡度100%所表示的可以这样理解：坡面与水平面的夹角为45度.45度几乎跟墙壁一样的感觉了. （4）科学家为了精确地表明各地在地球上的位置，给地球表面假设了一个坐标系，这就是经纬度线.2．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案. 四．数学运用 1．例题：例1．如图1-3-1，为了测量河对岸两点,A B 之间的距离，在河岸这边取点,C D ，测得85ADC ∠=，60BDC ∠=，47ACD ∠=，72BCD ∠=，100CD m =.设,,,A B C D 在同一平面内，试求,A B 之间的距离（精确到1m ）.解：在ADC ∆中，85ADC ∠=，47ACD ∠=，则48DAC ∠=.又100DC =，由正弦定理，得()sin 100sin 85134.05sin sin 48DC ADC AC m DAC ∠==≈∠.在BDC ∆中，60BDC ∠=，72BCD ∠=， 则48DBC ∠=.又100DC =， 由正弦定理，得()sin 100sin 60116.54sin sin 48DC BDC BC m DBC ∠==≈∠.在ABC ∆中， 由余弦定理，得3233.95≈， 所以 ()57AB m ≈答,A B 两点之间的距离约为57m .本例中AB 看成ABC ∆或ABD ∆的一边，为此需求出AC ，BC 或AD ，BD ，所以可考察ADC ∆和BDC ∆，根据已知条件和正弦定理来求AC ，BC ，再由余弦定理求AB .引申：如果A ，B 两点在河的两岸（不可到达），试设计一种测量A ，B 两点间距离的方法.可见习题1.3 探究拓展 第8题.例2．如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45，距离为10n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9/n mile h 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21/n mile h 的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1，时间精确到1min ）. 解：设舰艇收到信号后x h 在B 处靠拢渔轮，则21AB x =，9BC x =，又10AC =，()45180105120ACB ∠=+-=.由余弦定理，得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，即()()222211092109cos 120x x x =+-⨯⨯∠.化简，得2369100x x --=，解得()()240min 3x h ==（负值舍去）.由正弦定理，得图1-3-1图1-3-2sin 9sin12033sin 2114BC ACB x BAC AB x ∠∠===， 所以21.8BAC ∠≈，方位角为4521.866.8+=.答 舰艇应沿着方向角66.8的方向航行，经过40min 就可靠近渔轮.本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.因为舰艇从A 到B 与渔轮从C 到B 的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出AB 和BC ；再根据正弦定理求出BAC ∠. 例3．如图，某海岛上一观察哨A 在上午11时测得一轮船在海岛北偏东3π的C 处，12时20分测得轮船在海岛北偏西3π的B 处，12时40分轮船到达海岛正西方5km 的E 港口.如果轮船始终匀速前进，求船速. 解：设ABE θ∠=，船的速度为/km h υ，则43BC υ=，13BE υ=. 在ABE ∆中，153sin sin 30υθ=，15sin 2θυ∴=. 在ABC ∆中，()43sin120sin 180AC υθ=-， 4415sin 2033233322AC υθυυ⋅⋅∴===. 在ACE ∆中，22520202525cos150333υ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 22540077525100933υ=++=，293υ∴=， ∴船的速度93/km h υ=. 2．练习：书上P20 练习1，3，4题.五．回顾小结：1．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.2．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.六．课外作业： 书上P21页习题1.3 第2，3，4题.§1.3 正弦定理、余弦定理的应用(2)教学目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理解决三角形等一些几何中的问题和物理问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；（3）通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如.教学重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题。
版高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理(一)课件 新人教B版必修5.pptx
跟踪训练1 如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，角A，B，C所对的 边分别为a，b，c.求证：sina A ＝2R. 证明
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类型二 用正弦定理解三角形
例2 已知△ABC，根据下列条件，解三角形：a＝20，A＝30°，C＝ 45°. 解答 ∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 由正弦定理得 b＝assiinnAB＝20ssiinn3100°5°＝40sin(45°＋60°)＝10( 6＋ 2)， c＝assiinnAC＝20sisnin3405°°＝20 2， ∴B＝105°，b＝10( 6＋ 2)，c＝20 2.
A.直角三角形 C.锐角三角形
√B.等腰三角形
D.钝角三角形
由sin A＝sin C，知a＝c，∴△ABC为等腰三角形.
1 2 3 247
3.在△ABC中，已知BC＝ 5 ，sin C＝2sin A，则AB＝_2__5___.
答案 解析
由正弦定理，得 AB＝ssiinn CABC＝2BC＝2 5.
18
命题角度2 运算求解问题
例4
在△ABC中，A＝
π 3
，BC＝3，求△ABC的周长的最大值.
解答
19
反思与感悟
利用sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 或正弦定理的变形公式 a＝ksin A，b＝ ksin B，c＝ksin C(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化.
22
跟 踪 训 练 3 在 △ABC 中 ， 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c ， 若 A∶B∶C＝1∶2∶3，求a∶b∶c的值. 解答
23
当堂训练
25
1. 在△ABC中，一定成立的等式是 答案 解析
高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理(一)
高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理（一）一、基础知识1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．正弦定理的常见变形：(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R； (3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)； (2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ； (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． 二、常用结论汇总1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C 2. 2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2； (4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .4．用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角．三、考点解析考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形例.(1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.考法(二) 余弦定理解三角形例.(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b 2c －a ＝sin A sin B ＋sin C，则角B ＝________.跟踪训练1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )A.24 B ．－24 C.34 D ．－34 2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B. π6C.π4D.π33.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值． 考点二 判定三角形的形状例、(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形变式练习1.(变条件)若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________．2.(变条件)若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．3.(变条件)若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝b a ＝2”，那么△ABC 的形状为________． 课后作业1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos B b，则B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定3．在△ABC 中，cos B ＝a c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( ) A ．14 B ．6 C.14 D.65．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( ) A. 5 B ．3 C.10 D ．47．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________. 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B .(1)求证：a ＝2b cos B ；(2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．提高训练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c os 2A ＋B 2－cos 2C ＝1,4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( ) A.13 B.7 C.37 D ．62．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，2sin A a ＝t a n C c，若sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，则a ＋b ＝________.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b .(1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .。
正弦定理的证明(1)
正弦定理的证明正弦定理（Sine Rule）是三角学中常用的一个定理，它描述了一个三角形中各边与其对应的角之间的关系。
在本文档中，我们将给出正弦定理的证明。
定理表述设在一个三角形ABC中，a、b 和 c 分别表示三角形的三条边的长度，而 A、B 和 C 分别表示相应的三个角的大小。
那么，正弦定理可表述如下：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)证明为了证明正弦定理，我们将使用向量和三角函数的相关性质。
考虑一个三角形ABC，我们可以将向量AB和AC表示为：AB = BA = b * uAC = CA = c * v其中 u 和 v 是单位向量。
我们可以将向量 BC 表示为：BC = AC - AB = (c * v) - (b * u) = (c * v) + (-b * u)由于向量 BC 可以被表示为两个非零向量的和，我们可以利用三角恒等式来求解这个向量。
将向量 BC 表达为向量 u 和 v 的线性组合之后，我们可以使用三角函数的定义来分解这个向量。
对向量 u 和 v 进行正弦分解，我们可以得到：BC = c * sin(C) * v + (-b * sin(B) * u)其中 sin(B) 表示∠B 的正弦，sin(C) 表示∠C 的正弦。
由于 BC 的两个方向分量与三角形的两个角的正弦值有关，我们可以比较向量BC 的模与其分解后两个分量的模的关系。
根据向量的模定义，我们有：|BC| = sqrt((c * sin(C))^2 + (-b * sin(B))^2)另一方面，我们可以计算出向量 BC 的模为：|BC| = a因此，我们可以得到以下等式：a = sqrt((c * sin(C))^2 + (-b * sin(B))^2)继续化简等式，我们有：a = sqrt(c^2 * sin^2(C) + b^2 * sin^2(B))a^2 = c^2 * sin^2(C) + b^2 * sin^2(B)将等式两边同时除以 b^2 * c^2，我们得到：(a^2) / (b^2 * c^2) = (sin^2(C)) / (sin^2(B)) + 1应用三角恒等式sin^2(x) + cos^2(x) = 1，我们可以改写上述等式为：(a^2) / (b^2 * c^2) = (sin^2(C)) / (sin^2(B)) + (1 - cos^2(C)) / (1 - cos^2(B))根据余弦定理cos^2(x) = 1 - sin^2(x)，我们可以将等式继续化简：(a^2) / (b^2 * c^2) = (sin^2(C)) / (sin^2(B)) + (sin^2(C)) / (sin^2 (B))(a^2) / (b^2 * c^2) = 2 * (sin^2(C)) / (sin^2(B))将等式两边同时乘以(b^2 * c^2) / 2，我们有：(a^2) * (b^2 * c^2) = 2 * b^2 * (sin^2(C)) * c^2 / (sin^2(B))进一步化简，我们得到：a^2 * b^2 * c^2 = 2 * b^2 * (sin^2(C)) * c^2a^2 = 2 * (b^2 * (sin^2(C)) * c^2) / (b^2 * c^2)a^2 = 2 * (sin^2(C))对等式两边同时开根号，我们最终得到正弦定理的证明：a = sqrt(2 * (sin^2(C)))a / sin(C) = sqrt(2)a / sqrt(2) = sin(C)同理，我们可以得到以下两个等式：b / sin(B) = sqrt(2)c / sin(A) = sqrt(2)由此，我们可以证明正弦定理。
1.1.1正弦定理
[评析 (1)已知三角形的任意两个角和一边，由三角形 评析] 已知三角形的任意两个角和一边 评析 已知三角形的任意两个角和一边， 内角和定理，可以先求出三角形的另一角， 内角和定理，可以先求出三角形的另一角，并由正弦定理计 算出三角形的另两边． 算出三角形的另两边． (2)运算过程中， 运算过程中， 要注意三角函数公式的应用， 运算过程中 要注意三角函数公式的应用， 此题中对 105°作了“拆角”处理． 作了“ 作了 拆角”处理．
[评析 (1)已知两边及一边对角时，解三角形可用正弦 评析] 已知两边及一边对角时， 评析 已知两边及一边对角时 定理，关键是准确判断解的情况，可能出现一解、 定理，关键是准确判断解的情况，可能出现一解、两解或无 解的情况． 解的情况． (2)在三角形中， 在三角形中， 在三角形中 注意运用大边对大角或大角对大边的性 局限于一个三角形中)． 质(局限于一个三角形中 ． 局限于一个三角形中
4．利用正弦定理解三角形的类型及其解的情况 ． (1)已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解． 已知两角与一边 用正弦定理，有解时，只有一解． 已知两角与一 (2)已知两边及其中一边的对角， 已知两边及其中一边的对角， 用正弦定理， 已知两边及其中一边的对角 用正弦定理， 可能有两 一解或无解． 解、一解或无解．在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情 ， 况如下： 况如下：
A 为锐角
A 为钝角或直角
图 形
①a＝ ＝ bsinA< 关系式 bsinA a<b ②a≥b ≥ 两解 解的个数 一解
a< bsinA 无解
a>b 一解
a≤b ≤ 无解
已知两角及一边解三角形 已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是： 已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是： (1)若所给边是已知角的对边时， 若所给边是已知角的对边时， 若所给边是已知角的对边时 可由正弦定理求另一角 所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角． 所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角． (2)若所给边不是已知角的对边时， 若所给边不是已知角的对边时， 若所给边不是已知角的对边时 先由三角形内角和定 理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边． 理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．
正弦定理1
§1．1．1正弦定理（第一课时）教材：人教A版一、教学目标a、知识与技能1、掌握正弦定理的内容，及推证正弦定理的过程；2、简单运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的基本问题．b、过程与方法1、在已有知识的基础上通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养的创新意识和观察与逻辑思维能力；2、通过对实际问题的探索，培养学生数学地观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的知识的应用能力、协作能力和数学交流能力．c、情感态度价值观1、面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生自主探索、合作交流，调动学生的主动性和积极性，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣；2、培养合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过平面几何、三角形函数、正弦定理等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一;3、利用几何画板软件演示正弦定理，用观察到的事实说话，从而受到辩证唯物主义观的教育，培养学生的学习数学的兴趣．二、教学重难点教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用．教学难点：正弦定理的探索及猜想提出过程．三、教辅手段板书、运用多媒体辅助教学．四、教学模式采用引导发现模式——教师创设问题情境、启发讲授，引导学生探索学习．五、 教学过程一、创设情境[PPT 展示]问题一：人人都知道，世界上最高的山峰是喜玛拉雅山脉的珠穆朗玛峰，也被称为神女峰，被测得是8848米?科学家们是怎样测出来的呢？设计意图：众所周知兴趣是最好的老师，如果一节课有一个良好的开头，那就意味着成功的一半，因此我设计一个学生比较感兴趣的问题，吸引学生注意力，使其立刻进入到研究者的角色中来！问题二：设A,B 两点在河的两岸, 只给你米尺和量角设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?[师] 我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具．设计意图：我通过从学生日常生活中的实际问题引入，与问题一形成对照，思维既有延续性又产生在强烈的意识冲突，造成学生用已有知识不能解决的问题冲突，激发学生思维，激发了解决问题的迫切愿望，激发学生的求知欲二、发现定理[师] 初中时我们已经学过解直角三角形，那么现在请同学回忆一下直角三角行的边角关系．[生]如图在Rt ABC ∆中有222a b c +=，sin a c A =，sin b c B =，90A B ︒∠+∠=．[师]对！那也就是说利用直角三角形中的这些边角关系对任意的直角三角形A B C cb a的两边或一边一角可以求出这个三角形的其他边和其他角．[师]在直角三角形中，你能用其他的边和角表示斜边吗？[生]能．在Rt ABC ∆中，因为sin a c A =，sin b c B =，所以sin a c A =，sin bc B =．[师]我们观察这两个式子可知c 边能用a 边与其所对角的正弦的比值来表示，也可以用b 边与其所对角的正弦的比值来表示，那么c 边能否用c 边与其所对角的正弦的比值来表示呢？[生]能．因为sin sin901C ︒==，所以sin c c C =．[师]那么由上面的三个式子我们就可以得出sin sin sin a b c c A B C ===． 从而在Rt ABC ∆中，有sin sin sin a b c c A B C ===．思考：那么对于任意的三角形，以上的关系式是否仍然成立？设计意图：爱因斯坦说过发现问题比解决问题更重要，这样设计是为了让学生体验了发现的过程，从学生熟悉的直角三角形的的边角关系的知识内容入手，观察发现转化到一般的三角形，然后产生猜想，进而完成一般性证明，培养学生从特殊到一般思想意识，培养学生创造性思维能力．[师]请同学们和老师一起看看用几何画板是怎样演示这一般的三角形的边角关系，看看任意的三角形是否有sin sin sin a b c c A B C ===成立呢？[师]同学们观察到了什么？[生] ,,sin sin sin a b c c c c A B C ≠≠≠，但是sin sin sin a b c A B C==． 设计意图：通过几何画板就可以让学生从直观上进一步猜测正弦定理，并且可以看到在一一般的三角形中ｃ不等于边比对角的正弦值，用观察到的事实说话，从而是学生受到辩证唯物主义观的教育，也明白现代科技的重要性．三、证明定理[师] 我们虽然有了多媒体技术的支持，对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明sin sin sin a b c A B C==呢？前面探索过程对我们有没有启发？学生分组讨论． [师]（引导）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图所示，当ABC ∆是锐角三角形时，作AB 上的高是CD,根椐三角形的定义,得到sin sin CD a B b A ==，则sin sin a b A B =， 同理可得sin sin b c B C =，从而sin sin sin a b c A B C ==．类似的可推出，当ABC ∆是钝角三角形时，以上的关系式仍然成立．（证明过程由学生课后自己推导） （法二片段教学中省略）法二：当ABC ∆为钝角三角形时，过A 作单位向量垂直于， +=AB 两边同乘以单位向量，j ⋅ (+)=j ⋅则：⋅+⋅=⋅，∴|j |⋅||cos90 +|j |⋅||cos(90)C -= |j |⋅||cos(90)A - ， ∴A c C a sin sin =， ∴sin sin a c A C =，同理：若过C 作j 垂直于CB 得：sin sin b c B C = ∴sin sin sin a b c A B C ==，当ABC ∆为钝角三角形时， 设90A ∠> ，过A 作单位向量j 垂直于向量，同样可证得：A C B j A C Bjsin sin sin a b c A B C ==．从上面的研究探讨过程，可得以下定理：解三角形:已知三角形的几个元素求其他元素的过程四、及时体验（PPT 展示）例：在ABC ∆中，，解三角形． 解：根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B000180(32.081.8)=-+ 066.2=；根据正弦定理，0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ；根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器．[师]小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素．设计意图：让学生自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习，[师]现在我们来回答一下上课前老师提问的问题：设A,B 两点在河的两岸, 只给你米尺和量角设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?[生]可以．如图所示，利用正弦定理可得到 0032.0,81.8,42.9A B a cm ===bsin βAB =sin(α+β)设计意图：利用正弦定理，让学生体会用新的知识，新的定理，可以解决之前不能解决的问题，激发学生不断探索新知识的欲望．五、归纳提升 正弦定理： sin sin sin a b c A B C ==主要应用：知道三角形的两个内角和任何一边，利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素．设计意图：让学生在一次对把所学内容进行当堂总结，有利于学生将新知识内化成自己的知识．六、课后探究（1）你还可以用其它方法证明正弦定理吗？（2）知道三角形的两个条边和任何一角，利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素吗？（3）sin sin sin a b c kA B C ===那么这个k 值是什么呢?你能用一个和三角形有关的量来表示吗? 设计意图：通过（１）让学生对正弦定理进行再深入的探究，让学生从多角度进行证明定理，展示自己的知识，培养学生解决问题的能力，增强学习的兴趣，爱好，在知识的形成、发展过程中展开思维，培养推理的意识；通过（2）ABC αβb c让学生更深入的研究正弦定理；通过（3）可以让学生将正弦定理和所学的圆的知识联系在一起，培养学生用联系的观点看问题．七、作业设计作业：第10页[习题1．1]A 组第1、2题．提高作业：(1)在ABC ∆中，已知a =b =45A =︒，解三角形．(2)b =b =b =并解三角形，观察解的情况．设计意图：人的发发展不可能整齐划一的，我们必须承认差异、尊重差异，不同的人在数学上得到不同的发展，所以请所有同学完成书面作业，每个学生都需要掌握，提高作业留给学有余力的学生，让学生的此基础上提升自我．。
正弦定理(1)
2 ;
当当当当当AAAA＝＝A＝＝＝11212101202°20°0时0°时°时°时时,,CC,C＝,,＝CC＝＝1＝181801810°808°－0°－0－°°－44－545°45°4－5°－5－°°－11－21201202°10°＝02°＝＝°0＝1°151＝5°15°,5°,c1c,°＝c5＝,＝c°＝b,bscssbissi＝inbsinnisninsinBinBbCnCsBsCi＝B＝inC＝n＝BC66＝－6－226－2－2262.2－.22. .
1.1.1 正弦定理
思考 1 如图，在 Rt△ABC 中，sina A，sinb B，sinc C分别等于什么？
思考 2 在一般的△ABC 中，sina A＝sinb B＝sinc C还成立吗？
正弦定理证明：
A
A
B Ob C B`
OC B` B b
b sinB =2R
A b OC
B
a＝ b ＝c sinA sinB sinC
∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(60°＋30°)＝90°.
∴c＝ b sin
1 B＝1＝2.
2
(3)根据正弦定理，sin A＝asin B＝ 3sin 120°＝3>1.
b
1
2
因为 sin A≤1.所以 A 不存在，即无解．
引申探究 若把本例中的条件“C＝60°”改为“A＝60°”，则角C有 几个值？
＝2R.
梳理 在任意△ABC 中，都有sina A＝sinb B＝sinc C=2R，这就是正弦定理.
特别提醒：正弦定理的特点 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的 正弦的连等式. (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关 系，可以实现三角形中边角关系的互化.
正弦定理1
sinB＝
b
sinA a＝1 ，20来自B＝90°.60°
A
B
（3） b＝20，A＝60°，a＝15.
sinB＝
b
sinA a
＝
2√3
3
，
C
∵
2√3
3
> 1，
20
∴ 无解.
60° A
思考： 当b＝20，A＝60°，a＝？时，
有1解、2解、无解.
例 3：已知向量a与a＋b夹角为60°，
且 a ＝8，b ＝7，求a与b的夹角及a·b.
高一 数学 课题： 正弦定理
授课人：李伟
怎样解直角三角形？
已知两边；
A
已知一边及一锐角.
sinA＝
a c
，sinB＝
b c
，
b
sianA＝
b sinB
＝
c sinC
.
C
c aB
怎样解斜三角形？
5.9 正弦定理、余弦定理
1.正弦定理
正弦定理 在一个三角形中各 边和它所对角的正弦的比相等.
？ a ＝ b ＝ c ＝
（2） b＝20，A＝60°，a＝10√3 ;
（3） b＝20，A＝60°，a＝15. C
b
A 60°
B
（1） b＝20，A＝60°，a＝20√3
sinB＝
b
sinA a
＝
1 2
，
B＝30°或150°，
C
2060° 20√3
A
B
∵ 150°＋60°> 180°，
∴ B＝150°应舍去.
（2） b＝20，A＝60°，a＝10√3 C
； https:///fengkuangwei/ 冯矿伟 ；
1.1.1正弦定理
1.1.1正弦定理正弦定理是中学数学中比较重要的一个定理，它可以用来求解任意三角形的边长和角度大小。
正弦定理是三角形学中最基本、最通用的定理之一，它的应用范围很广，并且在其他分支学科中也有很多实际应用。
在三角形ABC中，假设BC=a，AC=b，AB=c，∠A的对边为a，∠B的对边为b，∠C的对边为c。
则正弦定理的表述是：$$\frac{a}{\sin\angle A} = \frac{b}{\sin\angle B} = \frac{c}{\sin\angle C}$$其中，a、b、c分别为三角形ABC中BC、AC、AB的边长，∠A、∠B、∠C分别为三角形ABC的内角大小，sin指的是这些角的正弦值。
正弦定理解题的基本步骤有以下几步：（1）确定三角形ABC的已知数据，包括三边和三角度数中的已知数据；（2）应用正弦定理，根据已知数据求解未知数据；（3）特别注意角度的选择，有时需要用到角的补角或余角。
以下是一些正弦定理的应用实例：例1：已知三角形的两条边及夹角，求第三边的长度。
则：由正弦定理，有：即：因为$\sin\angle C\leq 1$，所以：同理，可以求得BC的另一角度∠C。
解：设三角形ABC的第一边为AB=a，角度A为∠A，角度B为∠B，已知数据为a和∠A、∠B，要求的为第二边的长度BC=b。
所以：其中，角B的大小为：其中角C可以用第二个角度公式求得，即：（注：第二个角度公式指的是正弦公式的逆变形式，即给定三角形的两条边和夹角，则可以根据正弦公式求得未知角度。
）正弦定理不仅仅在数学中有重要的应用，它也被广泛应用于实际生活中的许多领域。
例如，它在建筑学中可以用来计算建筑物的高度和角度；在航空和航海中可以用来计算航线的长度和方向；在地理和地质学中可以用来计算地球上两个点之间的距离等等。
因此，熟练掌握正弦定理的公式和应用方法是十分必要的。
正弦定理(一)
【学习目标】1. 通过对直角三角形边角关系的研究，发现正弦定理，然后给出一般证明。
2. 理解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理。
3．能简单应用正弦定理来求三角形的边或角。
【重点、难点】重点：理解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理。
难点：能简单应用正弦定理来求三角形的边或角。
自主学习案[来源:学科网ZXXK]【知识梳理】1．在Rt ∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，其中C=090，则其边，角有如下关系：=A sin ，=B sin2．在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即4．正弦定理的常见变形有：（1）a ︰b ︰c= sinA ︰sinB ︰sinC（2）设R 为∆ABC 外接圆的半径，则sin sin a b A B =sin cC==2R （3）设R 为∆ABC 外接圆的半径，则=A sin ，=B sin ，C sin = a= ，b= ，c=（4）在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，则S=B ac C ab A bc sin 21sin 21sin 21== 【预习自测】1. 在∆ABC 中，(1)sinA=1/2 ,则A=_______ (2)cosA=1/2 ，则A=_______2. 在∆ABC 中，若C=090，a=6，B=030，则c-b 等于（ ）A ．1B 。
-1C 。
32D 。
32-3．在∆ABC 中，21sin =A ，23sin =B ，则∆ABC 对应三边的比值为a ︰b ︰c=4．在∆ABC 中，已知10,30,4500===c C A ，求边a= 。
【我的疑问】合作探究案【课内探究】例1. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，外接圆半径为r ，已知0060,45,8===B A a ，求b 和r 的值。
变式1: 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若角,22,45,10500===b B A 求c 和这个三角形的面积。
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B1
( 两解） a B a≥b (一解）
（2）A为直角或钝角
C
b A a>b(一解）
C a B
b A
a
B a>b(一解）
小结提高
a b c 一个 定理 ——正弦定理 sin A sinB sinC
二种 思想 —— 转化思想 方程思想
三种 方法 ——等积法 分割法
向量法
作业：同步作业本67页
探究2：该比值是什么？
探究2：正弦定理与外接圆的关系
B
a
BAB 90, C C c ' sin C sin C 2R c A 2R sin C
' '
c O b
C/
C
a b 同理 2 R, 2R sin A sin B a b c 2R sin A sin B sin C
5.9正弦定理（一）
创设情景
问题1：如图，江阴长江大桥全长2200m， 在北桥墩处A测得火车北渡口C与南桥墩B的 o 张角为75 ，在火车北渡口C处测得大桥南 o 北桥墩的张角为45 ，试求BC的距离。
C
C火车北渡口
450
450
北桥墩A
750
B南桥墩
750 A
B
问题2： △ABC中，根据刚才的求法写出 A 、 C 、 a 、 c 的关系式。并由此猜想与 B 、 b的关系式再给予证明。
a （D） C B a
A c
b
C D
a b c 在ABC 中， sin A sin B sin C
当 C 90 时
a b sin A , sinB c c
正弦定理是直角三角形边角关系的一个推广。
请大家用文字表述正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等。 说明（1）正弦定理对任意三角形都成立；它揭示了三 角形中边与角的一种关系。 （2）正弦定理的几种变式：（类同比例的性质） 结论 ： sin A sin B sin C
猜想：对其它三角形此结论是否成立？
定理证明：
在△ABC中，有 BC BA AC 不妨设∠C为最大角，过点A作AD⊥BC于D，于是
BC AD (BA AC) AD BA AD AC AD
即
A c a D
正弦定理的应用 a b c 2R sin A sin B sin C
（1）已知两角和任一边，求其他 两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对 角，求另一边的对角（从而进一 步求出其他 的边和角）
知 “三” 求 “三”
案例探究
例1 : 在ABC中， 已知c 10, A 45, C 30. 求角B和边b.
三寸人间 / 三寸人间
洲城旁临大泽,丰收极其丰厚,且城墙颠簸,易守难攻.殿下可先兴师攻下此城,隋篡北周而又灭南尪,人心否稳,皇族内部争嗣猛烈,以是暂时否会出动大の战争来进攻江南壹带,姜洲城中独一六百戍卒,守将亦是无谋无勇,殿下攻下姜洲之后,可以以 钱塘王之名号,礼贤天下铁汉,招兵买马,待未来天下有变,殿下进可进取整个江南,退可猛攻壹方,成就王霸之业/"吐茂公栩栩道出整个战略,再一次扑灭咯东舌心里の焰火."茂公之谋,真当有如诸葛亮隆中之对/孤得茂公,如先主得孔明/""殿下谬 赞咯,草民怎可与武侯因人制宜,否过殿下若何得知草民の名字？"吐茂公透出几分怀疑东舌那才意想到自己说漏嘴咯,当下拍咯拍吐茂公の肩膀:"孤虽年幼,但孤早闻先生神童大名来来来,我等孤带您去见见我の将士/"吐茂公也否诘问,附与着笑 咯壹笑,便跟着东舌壹块走进山林"叮咚,祝贺宿主收获壹绅士材,君主点+15,前段时间磨砂的课+10,宿主当前拥有75点君主点/""君主点是什么鬼？""中兴宿主,君主点可供宿主召唤叁国名将,例如消耗70点君主点,宿主随机并重规模抽取壹名并重 能力在70左右の人物.宿主每收伏壹名古代任何壹项超越80の人物,即可获得5点君主点,跨越90可获得10点君主点,逾越95获得15点君主点,跨越100获得20点君主点.宿主每壹次战役の获胜,都可以根据实力获得经验与君主点,宿主等第为1级,最大 运用君主点上限为90,可以实现隐藏任务,或者攻城夺寨获得经验值."几多可以升级？""回复宿主,1级到2级需要10点经验,2级到叁级需要30点经验,3级到4级需要80点经验,4级到顶级需要150经验.到咯2级之后每升壹级,都有可能开启别测の奖励, 每壹级叠加君主点2点/""本宿主想起壹件事,现在是公元589年,吐茂公否是还别有出生避世吗？""中兴宿主,由于宿主效应,隋唐好汉入世都被调停/""那您是说本宿主会见到阿谁世界无敌の木元霸？"东舌脑江突然闪过木傻子壹锤把自己城池全 部砸开のの画面"中兴宿主,有可能/""――/"（未完待续）由于吐茂公和吐懋功,青衣怕大家分否清楚,就采用咯吐茂公.天气变冷咯,青衣在那里示意各人要多穿衣服哦/.四部分调虎离山定姜洲(今天更新到咯第四部分,青衣都感觉敲键盘有点冷 咯,但青衣绝否会抛却更新の/各人也要首要保暖哦,否空话咯,下面是正文.）江南荒野丘陵之中,壹片死寂,东舌九十人の步队在丛林之中壹蹶否振,毫无活力可言.磨砂的课和凌统正在担忧众人の身体状况,只见东舌带着壹个黑衣道士走咯回来" 殿下,那位是？"凌统手中紧握着长枪,唯恐那人是隋军细作."凌管辖否必云云紧长,下面我给您们引见壹下,那位先生是我刚刚偶遇の壹位怪杰异士,智谋堪比管仲乐毅/"东舌当即解释道"哦？智谋云云咯得？"磨砂的课有些否信赖,"那先生可否为 我等教授教养壹下兵法战略？""呵呵,既然众将如此看得起某,那某就献丑咯."吐茂公面对众将の尴尬刁难,也否气恼,反而比之前更加风雅."兵者,否在勇,而在精,略者,否在高,而在奇"只见吐茂公吐吐说出奇兵之策,诸将无否感慨佩服"有先生相 助,我等犹如鱼之有水/"磨砂的课也无否叹服他の用兵之道."将军折煞某咯,某只别过略知壹二罢咯"吐茂公也是礼让回答,给咯磨砂的课壹个台阶下台东舌见他们实话说咯半天,吐茂公失掉咯众人の信任,当下也是欣慰,刚开始还担心他们将相否 和."茂公认为孤下壹步该若何走？"东舌也否绕圈,话中主题"下壹步我军可以直接前行至姜洲城下扎寨扎寨."吐茂公脸色平静下来,继续填补到:"姜洲城虽然结实,但守将无勇无谋,我军可攻下来当做根基点.""好/就找先生所言做,三军听令,西进 /"东舌当即下令让队伍加速向西前行第叁日九十人の军队就停驻在咯姜洲城下,依靠树林隐藏咯起来.初到姜洲城下,东舌也着实吃咯壹惊,那姜洲城の牢固程度,完全超越他の想象,城墙无壹瑕疵の地方,一切都是采用平稳の铁石,而且守卒统统. 若是让他来统率,别说九十人,就是九百人也攻否下来."茂公,您看着姜洲城如此坚固,孤只有九十人,切都是只会杀人の粗汉,如何拿の下来？"东舌思前想后想否出计策,最后只要走到吐茂公の身旁扣问,毕竟,70の智力太否够用咯.吐茂公就地打 坐,双目紧闭,宛如彷佛完全别有听到东舌の话壹般,东舌见他静心打坐,也否愿再打扰,就走回帐营,打算苏息咯."殿下何苦看姜洲の城墙而就下定论呢？在下有壹计,可以最少伤亡咯夺下城池/"东舌在翻开帘子,准备进账,吐茂公喊住咯他,东舌听 到吐茂公想出咯计策,又壹个劲跳到吐茂公の身旁"茂私立何计？"东舌低问吐茂公抚着纶巾,轻摇羽扇,嘴角冷笑道:"云云方可破姜洲""茂公果真好计谋,孤那就吩咐下去/"东舌听到那个计策,身否由己の拍手叫好,转而命人去叫来凌统.第四日姜 洲城下,壹袭红袍,手中壹柄银枪在阳光下额定の耀眼,胯下壹匹红骏马,身着绿林强人衣裳,身高八尺凌统在城门下破口大骂."城上の狗官兵听好咯,小爷我今天来借粮叁千石,否给我交进去,小爷刻期就砸咯您の鸟城/""哪来の鸡窝山匪,少给我找 死,给老子滚远点/"城上の守城大将,手中壹把金光斧,怒喝道凌统也否示弱,恶狠狠の回骂:"嚷什么嚷？给小爷拿食粮来,否然小爷今天取您狗头/"那话扼守将气得否轻,当即下咯命令:"那小贼看来是活の否耐烦咯/来人啊,把城门打开,本将军要 亲自斩咯他/"那守将说着就要走下城"将军,可是没什么韩元帅の""闭嘴,戋戋壹个小贼有何惧？"啪の壹声,守将壹巴掌打翻咯善意示意の士卒,其他将士见状,也否敢阻挡,只好翻开咯城门.那员守将带着两百骑兵阵列城门之下,提斧大问:"哪来の 娃娃,如斯放肆,昔日您若磕头求饶,本将军可能饶您壹命/"凌统冷笑壹声:"狂言否惭,看小爷如何斩您狗头/"话刚说完,便纵马冲去,守将也否废话,壹斧壹枪在空中擦出耀眼の火花,两匹马相互打转,憨斗四十回合.凌统有所保留,便虚晃壹招,装作 否敌,险些落马,便策马而逃到口の肉,岂能落下？守将带着二百马队,直追凌统.姜洲城上,仅剩四百兵卒,城门大开,丝毫没什么防备.看着渐行渐远の骑兵,磨砂的课冷笑壹声,当即大吼壹声:"兄弟们杀啊/"壹声惊天咆哮在城墙边响起,就是多个身 着绿林衣服の莽汉在磨砂的课の导游下,壹鼓作气杀进城去,纵使守兵人多,但却没什么丝毫の士气,攻其否备/九十多の将士如虎狼壹般,无人可挡,磨砂的课壹马当先,如入无人之境,守卒见那老汉如斯骁勇,也无人敢阻挡.磨砂的课壹剑砍下隋字 大旗,转身大叫:"世人住手/您们帅旗已折,我乃大尪钱塘王帐下定远将军磨砂的课是也/投诚者否杀,否降者,杀无赦/"所有士卒被惊呆咯,他们没什么想到,小小壹招调虎离山计,戋戋九十人,夺下咯他们の城池,现在还要被强迫投诚.开始壹片沉默, 无人回应,随后磨砂的课再吼咯壹遍,"我数十声,数到十,谁否投诚,杀无赦/""壹"&#