第3章习题课测量平差课件
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《测量平差程序设计》PPT课件
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14
（三）、程序设计的主要环节和难点
4、误差方程建立、法方程组成和解算：
相对于前几个问题，这一部分程序的实现，
需要较高的设计技巧，但其算法已经较为
成熟，有公开的资料可供借鉴。对比而言，
如果说前3个问题的解决，需要创造性地找
出算法，而这一问题，困难则在于如何灵
活将给定的算法程序化。
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19
三、平差程序的数据结构设计
3、平差程序的数据结构应满足的 条件
（1）、充分条件：应包含足够的 数据，即：必要的起算数据，大于 必要观测数的独立观测值，这一点 主要通过合理的布网和观测来解决， 与程序设计关系不大。
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20
三、平差程序的数据结构设计
（2）、必要条件：数据结构只含 构网必须的数据，无冗余数据。注 意这里所谓冗余数据是指描述网型 的关系数据冗余，而不是多余观测 数。
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21
三、平差程序的数据结构设计
（3）、满足充分必要条件与否与程序 的关系：不满足充分条件，控制网中 的待定元素将不能全部算出，从而程 序不能成功运行；若不满足必要条件， 可能程序能成功运行，解算正确，但 是由于多而复杂的数据录入，使程序 的方便性、可读性受到影响，用户会 感到使用不便、难于维护，影响程序 的质量。
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22
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10
（三）、程序设计的主要环节和难点 1、控制网数据结构设计： ➢ 由于控制网的网型是不可预设的，所以平
差程序必须能适应各种可能的网型。要实 现这一要求，设计能使计算机能够识别控 制网网型的观测数据格式，是程序设计的 首要问题。
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11
（三）、程序设计的主要环节和难点
测量平差-获奖课件
2 X1
D XX
2 X
2
X1
2 X
n
X1
2 X1X 2
2 X2
2 XnX2
2 X1X n
2 X2Xn
2 Xn
若有X旳t个函数：
z1
Z
t1
z2
KX
K0
zt
k11 k12
K
tn
k21
k22
kt1 kt 2
1n
k2n
ktn
k10
K0
k20
t1 kt0
DZZ
1
xe
(
x)2 2 2
dx
2
数学期望旳传播规律：
常数c旳数学期望为E（c）=c
随机变量X乘以常数c，则有 ECX CEX
随机变量X1, X 2,, X之n 和旳数学期望为
EX1 X2 Xn EX1 EX2 EXn
相互独立旳随机变量 X1, X 2，，X 之n 积旳数学期望为：
二、协因数传播律
Y FX F 0 Z KX K 0
由协方差传播律得：
DYY F DXX F T DZZ K DXX K T DYZ F DXX K T
2 0
DYY
F
2 0
DXX
FT
2 0
DZZ
K
2 0
DXX
KT
2 0
DYZ
F
2 0
DXX
KT
即：
QYY F QXX F T QZZ K QXX K T QYZ F QXX K T
例4：设有函数， Z t ,1
F1
t,n
X
n,1
F1
t,r
测量平差公式
测量平差公式测量平差这玩意儿，在咱们的学习里那可真是个有点头疼但又特别重要的存在。
先来说说啥是测量平差。
简单讲，就是咱们在测量的时候，不可能做到百分百准确，总会有点误差。
那咋办呢？这时候测量平差公式就派上用场啦。
它能帮咱们把这些不太准的数据变得更靠谱，更接近真实值。
就拿我之前带学生出去搞实地测量的事儿来说吧。
那是一个阳光明媚的周末，我带着一群充满好奇和热情的学生来到了学校附近的一块小空地。
我们的任务是测量这块地的面积。
同学们拿着尺子、全站仪，那叫一个兴奋，都迫不及待地想大展身手。
一开始，大家都信心满满，觉得这不是啥难事。
可真操作起来，问题就来了。
有的同学测量的数据和其他人差了不少，这可把大家给急坏了。
这时候，我就跟他们说：“别慌，咱们这就用上测量平差公式来解决问题。
”测量平差公式里有个最小二乘法，这可是个关键的部分。
它的原理就是让咱们测量得到的数据和真实值之间的误差平方和达到最小。
比如说，我们测量了一个长度好几次，得到了几个不同的值，像10.1 米、10.2 米、9.9 米。
这时候用最小二乘法就能算出一个更接近真实长度的值。
还有条件平差公式，它适用于有多余观测的情况。
就像咱们测量一个三角形的三个内角，正常来说内角和应该是 180 度，但咱们测量出来可能不是正好180 度，这时候条件平差公式就能帮忙调整这些数据。
间接平差公式也很有用。
假如我们不是直接测量想要的量，而是通过测量一些相关的量来推算，那间接平差公式就能发挥作用啦。
回到咱们那次实地测量，同学们在我的指导下，运用测量平差公式，对测量的数据进行处理。
大家发现，原本那些乱七八糟的数据，经过公式的处理，变得有条有理，最后得出的土地面积也更准确了。
在学习测量平差公式的过程中，大家可别被那些复杂的符号和公式给吓住。
其实啊，只要多做几道题，多实际操作操作，就能慢慢掌握其中的窍门。
比如说，每次做完一道题，都想想这个公式为啥要这么用，它解决了啥问题。
而且，现在科技这么发达，很多测量工具都自带平差功能了。
测量平差基础知识及矩阵基础知识PPT共57页
Hale Waihona Puke 56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
测量平差基础知识及矩阵基础知识
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
测量平差教学课件PPT
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Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision
• 3、精确度： • 描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，
精确度可用观测值的均方误差来描述，即：
• 当 时，即观测值中不存在系统误差，亦即 观测值中只存在偶然误差时，均方误差就 等于方差，此时精确度就是精度。
ZX,则 Z的方D 差 ZZ阵 D XX为 D XY
Y
D YX D YY
其中：DXY =E 为[XX 关(于u Y的X)互Y 协( 方u 差Y阵)T]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1y1
DXY
x2
y1
...
xn y1
x1y2
...
x2 y2
...
... ...
xn y2
...
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x1yr
x2 yr
...
（correlation observation） 实用文档
Chapter 3. spread of covariance
一、观测值线性函数的方差 +两观测值线性函数的协方差 设观测向量L及其期望和方差为：
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Chapter 3. spread of covariance
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Chapter 3. spread of covariance
5直接应用协方差传播律得出所求问题的方差协方差矩阵第三章协方差传播律八权及定权的常用方法权的概念一定的观测条件对应着一定的误差分布而一定的误差分布就对应着一个确定的方差方差是表征精度的一个绝对的数字指标为了比较各观测值之间的精度除了可以应用方差之外还可以通过方差之间的比例关系来衡量观测值之间的精度的高低这种表示各观测值方差之间的比例关系的数字特征成为权所以权是表征精度的相对的数字指标第三章协方差传播律权的概念权是权衡轻重的意思其应用比较广泛应用到测量上可作为衡量精度的标准如有一组观测值是等精度的那么在平差时应该将他们同等对待因此说这组观测值是等权的而对于一组不等精度的观测值在平差时就不能等同处理容易理解精度高的观测值在平差结果中应占较大的比重或者说应占较大的权所以平差时对于一组不等精度的观测值应给予不同的权
Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision
• 3、精确度： • 描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，
精确度可用观测值的均方误差来描述，即：
• 当 时，即观测值中不存在系统误差，亦即 观测值中只存在偶然误差时，均方误差就 等于方差，此时精确度就是精度。
ZX,则 Z的方D 差 ZZ阵 D XX为 D XY
Y
D YX D YY
其中：DXY =E 为[XX 关(于u Y的X)互Y 协( 方u 差Y阵)T]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1y1
DXY
x2
y1
...
xn y1
x1y2
...
x2 y2
...
... ...
xn y2
...
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x1yr
x2 yr
...
（correlation observation） 实用文档
Chapter 3. spread of covariance
一、观测值线性函数的方差 +两观测值线性函数的协方差 设观测向量L及其期望和方差为：
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Chapter 3. spread of covariance
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Chapter 3. spread of covariance
5直接应用协方差传播律得出所求问题的方差协方差矩阵第三章协方差传播律八权及定权的常用方法权的概念一定的观测条件对应着一定的误差分布而一定的误差分布就对应着一个确定的方差方差是表征精度的一个绝对的数字指标为了比较各观测值之间的精度除了可以应用方差之外还可以通过方差之间的比例关系来衡量观测值之间的精度的高低这种表示各观测值方差之间的比例关系的数字特征成为权所以权是表征精度的相对的数字指标第三章协方差传播律权的概念权是权衡轻重的意思其应用比较广泛应用到测量上可作为衡量精度的标准如有一组观测值是等精度的那么在平差时应该将他们同等对待因此说这组观测值是等权的而对于一组不等精度的观测值在平差时就不能等同处理容易理解精度高的观测值在平差结果中应占较大的比重或者说应占较大的权所以平差时对于一组不等精度的观测值应给予不同的权
第3讲习题测量平差课件
L4
B
例2：观测四个方向，得等精度 观测值L1~L6，若选参数
ˆ ˆ X X1
L6
L5 C
ˆ X2
ˆ X3
T
ˆ L1
ˆ L2
ˆ L4
Hale Waihona Puke TD按附有限制条件的条件平差法 （1）列出条件方程和限制条件方程； （2）列出法方程，解出参数的平差值； （3）求改正数向量及观测角的平差值。
B 2 4 1 A 5 8 11
若选P1点高程及AP1路线上高差平差值为未知参数
附有限制条件的条件平差： （1）试列出条件方程和未知数间的限制条件；
和
X2
，试按
（2）试求待定点P1及P2的高程平差值及各路线上的高差平差值；
（3）试求P1点平差后高程的中误差。 h1 A
X2 X1
h2 P2
h3
B
P1
A
L1 O
L3 L2
习题课
例1：在如图的单一附合水准路线中，已知A，B点高程为 HA=10.258m，HB=15.127m，P1，P2点为待定点，观测高差及路 线长度为：
m， h1 2 . 154 m， h 1 . 678 2 m， h 3 1 . 031
S1 2
km km km
X1
S2 3
S3 4
P1
3 7
6 12
C
9 10
P2
例3：A、B、C为已知点，P1、P2为待 定点，观测了12个角，若选∠2和∠4 为未知参数X1和X2，按附有限制条件 的条件平差： （1）列出条件方程和限制条件； （2）列法方程。
例4：A为已知点，P1、P2 、P3为待定点，观测了5条 路线的高差，相应的路线长度等长，若P2点平差后 高程值的权，采用什么函数模型较好？并求其权。 P2 2 3
测量平差测量误差及其传播定律PPT学习教案
§1.3 精度及其衡量指标
二、方差和中误差
1、 方差/ 标准差
真误差的方差：
随机变量与其数学期望之差的平 方的数学期望。观测值的方差：
2
E{(
E ()) 2 }
E(2 )
2 L
E{( L
E(L))2}
E(2 ) 2 f ()d
（1）
2 L
2
观测值与其对应
的真误差具有相同的方差。
L E(2 )
表征偶然误差
准 确 度 （ Accuracy） ——准 确 度 又称偏 差，是 指观测 值数学 期望与 其真值 之差。
表 征 系统 误差
精 确 度 ——观 测 值 与其真 值的接 近程度 。表征 总误差
测 量 中 的 精 度严格 意义讲 是指精 密度。 精 密 度 等 价 于精确 度？
第14页/共97页
0.5，0.9, 1.1，1.3, 1.4，2.0
w
1.1 1.3 2
1.2"
第21页/共97页
§1.3 精度及其衡量指标
几点说明：
1. 按实用公式计算中误差、平均误差和或然误差、、ρ，只有当 m 观测值个数相当多时，结果才比较可靠。
2. 当观测值个数有限时，中误差 比平均误差、或然误差更能反
m
测量平差测量误差及其传播定律PPT课件
会计学
1
§1.1 测量误差及其分类
一、真值和真误差
三 角 形 内 角 闭合差 : 三 角 形 闭 合 差的真 误差:
W L1 L2 L3 180
W W 0 W
双 次 观 测 较 差：
d L L
双 次 观 测 较 差的真 误差：
d L L 0 d
测量平差基础
停止
返回
误差：测量值与真值之差
由于误差的存在，使测量数据之间产生
矛盾，测量平差的任务就是消除这种矛
盾，或者说是将误差分配掉，因此称为
平差。
(
)实际
180
( )理论 180
停止
返回
产生误差的原因
测量仪器：i角误差、2c误差 观测者：人的分辨力限制 外界条件：温度、气压、大气折光等
0 0.495
(K/n)/d△ 0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030 0
例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，每个三角 形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算 各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。
返回
三、矩阵的逆
给定一个n阶方阵 A，若存在一个同阶 方阵B，使AB=BA=I（E），称B为A的 逆矩阵。记为：
B A1
A矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是A的 行列式不等于0，称A为非奇异矩阵，否 则为奇异矩阵
停止
返回
矩阵的逆的性质
(1)( AB)1 B1A1 (2)( A1)1 A
测量平差原理，於宗俦等，测绘出版社 误差理论与测量数据处理，测量平差教 研室，测绘出版社。
第一章 绪论
第一节 观测误差
第二节 补充知识
停止
返回
第一章 绪论
第一节：概述 1、测量平差的研究对象——误差 任何量测不可避免地含有误差
闭合、附合水准路线 闭合、附合导线 距离测量 角度测量………..
1
4
测量平差获奖课件
第四节 协方差传播律及其应用
一、权旳定义
称为观察值Li旳权。权与方差成反比。
第五节 权与定权旳常用措施
（三）权是衡量精度旳相对指标，为了使权起到比较精度旳作用，一种问题只选一种0。
（四）只要事先给定一定旳条件，就能够定权。
由此可见：
第五节 权与定权旳常用措施
二、单位权中误差
三、常用旳定权措施
第一节 偶尔误差旳统计规律
用直方图表达:
全部面积之和=k1/n+k2/n+…..=1
第一节 偶尔误差旳统计规律
0.475
提醒：观察值定了其分布也就拟定了，所以一组观察值相应相同旳分布。不同旳观察序列，分布不同。但其极限分布均是正态分布。
第一节 偶尔误差旳统计规律
1、在一定条件下旳有限观察值中，其误差旳绝对值不会超出一定旳界线；
2、绝对值较小旳误差比绝对值较大旳误差出现旳次数多；
3、绝对值相等旳正负误差出现旳次数大致相等；
偶尔误差旳特征：
第一节 偶尔误差旳统计规律
一、精度旳含义
所谓精度是指偶尔误差分布旳密集离散程度。一组观察值相应一种分布，也就代表这组观察值精度相同。不同组观察值，分布不同，精度也就不同。
提醒：一组观察值具有相同旳分布，但偶尔误差各不相同。
第四节 协方差传播律及其应用
例[1-7] 设对某量以同精度独立观察了N次，得观察值 ，它们旳中误差均等于 。求N个观察值旳算术平均值旳中误差。 解：应用协方差传播律得： 即：N个同精度独立观察值旳算术平均值旳中误差，等于各观察值旳中误差除以观察值个数旳平方根。
第三节 协方差传播律
例[1-6] 经个N测站测定两水准点A、B间旳高差，其中第i(i=1,2…N)站旳观察高差为解：A、B两水准点间旳高差为：设：各测站观察高差是精度相同旳独立观察值，其中误差均为 ，。应用协方差传播律，得设：若水准路线敷设在平坦旳地域，前后量测站间旳距离s大致相等，设A、B间旳距离为S，则A、B两点旳观察高差旳中误差为： 可见，当各测站高差旳观察精度相同步，水准测量高差旳中误差与测站数旳平方根成正比；当各测站旳距离大致相等时，水准测量高差旳中误差与距离旳平方根成正比。
测 量 平 差共71页
使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
测量平差
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
▪
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
测量平差
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
▪
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T 1
L1 L3
1
L2
B
( AQ )
ˆ ˆ ˆ L1 L 2 L 3 0
A 1 1
平差值条件方程： 权阵：
PL L Q L L E
C
代入得：
Q LL ˆˆ
2 3 1 3 1 3
1 3 2 3 1 3
1 3 1 3 2 3
PLˆ
1
3 2
习
题
2 .0 0 8 m , h3 0 .3 5 3 m
例8：如图所示水准网中，测得各点间高差为 h1 1 .3 5 7 m , h2
h 4 1 .0 0 0 m , h5 0 .6 5 7 m , S 1 1km , S 2 1km , S 3 1km , S 4 1km , S 5 2 km
例2：设平差问题是按条件平差进行的，其法方程式为：
求：（1）单位权中误差 0
ff （2）若已知某一平差函数式 F f L ，并计算得 4 4 p 1 af bf
T
1 6, 4 p p
，求该平差值函数的权倒数 P 及中误差 F
S2
N AP
1
A s1 s 2 S
T
习
h1
题
h2
例3：试证明在单一水准路线中，平差后高程最弱点在水准路线中央。
A
C P
B
方法一：条件平差法 （3）单位权中误差：V
0
V PV r
T
T
PV W K
T
w S
2
0 w
1 S
（4）平差值函数及精度评定：
ˆ HP H
f
T
A
ˆ h1
0
Q FF f Q f A Q f
T
T
N
1
( AQf )
s1 s 2 S
1 S
s1 ( S s1 )
1
当上式取极值时，则
s1
1 2
S
习
h1
题
h2
例3：试证明在单一水准路线中，平差后高程最弱点在水准路线中央。
A
C P
B
方法二：加权平均值法
函数式：
条件平差复习课
条件平差公式汇编
改正数条件方程 改正数方程 法方程 法方程的解 观测值的平差值
AV W 0
V P
1
A K
N AP
1
T
基础方程
A
T
NK W 0
K N
1
W
ˆ L L V
ˆ 0 V
T
单位权中误差
PV r
T
ˆ
2 0
V
T
PV r
V PV W K
(8)评定精度（列出平差值函数关系式，并对其全微分，求 出其线性函数的系数阵 fT ，再计算出平差值函数的协因数 QFF ，然后计算出平差值函数的协方差DFF）。
全 微 分 线 性 化
ˆ ˆ ˆ ˆ F f ( L1 , L 2 , , L n )
ˆ dF f d L
T
函数的协因数
Q FF f
L 3 67 0 7 1 4 ,
L 6 58 2 4 1 8
AB为已知边长，设无误差。 已知观测角的权均为1时的测角中误差为 ˆ 0 相对中误差
ˆ CD
CD
pvv
r
4 . 8 。试求CD边的边长
。
习
题
P 例5：如图所示三角网中，A、B为已知点， 1 P4 为待定点， 0 为已知方位角， S 0 为已知边长，观测了23个内角，试指出按条件平差法式条件方程的 总数及各类条件方程式的个数。 S0 P4
T
Qf f
T
QA
T
N
1
AQf
ˆ2 D FF 0 Q FF
函数的方差
习
题
L 例1： 1 63 1 9 4 0 ， 1 3 0 ； L 2 58 2 5 2 0 ， 2 2 0 ； L 3 301 4 5 4 2 ， 3 求：（1）列出改正数条件方程； （2）试用条件平差法求 C 的平差值（注： C为内角）
解： n=15，t=9，r=6
ˆ ˆ ˆ X 12 X 23 X 13 0
坐标增量描述闭合环 闭合环123
3
ˆ ˆ ˆ Y1 2 Y 2 3 Y1 3 0 ˆ ˆ ˆ Z 12 Z 23 Z 13 0 ˆ ˆ ˆ X 13 X 34 X 14 0 ˆ ˆ ˆ Y1 3 Y3 4 Y1 4 0 ˆ ˆ ˆ Z 13 Z 34 Z 14 0
1 A 0
1 0
0 1
0 1
1 1
1 1 1
P
1
2
h2
D
h4
习
题
例9：如图所示三角网中，A、B为已知点，C、D、E、F为待定点，同精度观测 了15个内角，试写出（1）CD边长的权函数式；（2）平差后 L 8 的权函数式。
C
4 5 12 13 11 14 15
题
h2
例3：试证明在单一水准路线中，平差后高程最弱点在水准路线中央。
A
C P
B
解析：高程最弱点即精度最低 方法一：条件平差法 （1）条件方程式：
ˆ ˆ h1 h 2 H
A
HB 0
v1 v 2 h1 h 2 H A H B 0
（2）定权：令C=1
P
1
S1
1 0 ；
解： ④组建法方程：
AP
1
A
T
K
W 0
14 K 42 0
K 3
L3
⑤求解改正数及平差值
C
V P
1
A K
T
V 2 7
1 2
3
T
ˆ ˆ C 3 6 0 L 3 5 8 1 4 2 1
A
L1
L2
B
习
B
3 2
F
6 7
D
解： n=23，t=6，r=17
5个图形条件，1个圆周条件， 1个极条件，1个边长附合条件 +1个图形条件+1个极条件； +1个图形条件+1个极条件；
P1
18
15 16 17
14 12 13
11
10
9 8
0
20 19 23 P2 21 22
+1个图形条件+1个极条件；
+1个图形条件+1个极条件 +1个方位角附合条件
F
解：④计算平差值函数的权倒数：
1 PF Q FF 4
Q FF f Q f A Q f
T
T
N AQf
F 0 QF 6
ff p
af p bf p
习
h1
H H
P1 P2
ˆ H
P
H
p1
p1 H
p2
p2
p1 p 2 ˆ H s2 S h1 s1
p1
1 s1
, p2
s1 S
1 s2
H
B
H H
A B
h1 h2
1
P
s2 h2 H S S
A
由题意知： h s1 km , h s 2 km
T
条件平差公式汇编
平差值函数
ˆ ˆ ˆ ˆ F f ( L1 , L 2 , , L n )
T ˆ dF f d L
平差值函数的协因数
Q FF f
T
Qf f
T
QA
T
N
1
AQf
平差值函数的中误差
ˆ ˆ F 0 Q FF
条件平差解题步骤
(1)根据实际问题，确定出总观测值的个数 n 、必要 观测值的个数t及多余观测个数r = n - t，列出平差 值条件方程并转化为改正数条件方程；
2
2 ˆ H
p
s1 s 2 S
km
2
当上式取极值时，则
s1
1 2
S
习
例4．如图六个同精度观测值
L 1 45 3 0 4 6 ,
题
A
4 2 6 3 1 B C 5
D
L 4 69 0 3 1 4 L 5 52 3 2 2 2
L 2 67 2 2 1 0 ,
4
2
闭合环134
1
习
例7：同精度测得
ˆ 解： 平差值函数式： A O B L
1
题
的权。
A
0 0 ，试求平差后 A O B L1 4 5 0 2 , L 2 8 5 0 0 , L 3 4 0 0 1
Байду номын сангаас
平差值的协因数阵：
O
Q LL Q A Q N ˆˆ
P
9
4
A 1
1
1
w 4 2
习
题
L 例1： 1 63 1 9 4 0 ， 1 3 0 ； L 2 58 2 5 2 0 ， 2 2 0 ； L 3 301 4 5 4 2 ， 3 求：（1）列出改正数条件方程； （2）试用条件平差法求 C 的平差值（注： C为内角）
L1 L3
1
L2
B
( AQ )
ˆ ˆ ˆ L1 L 2 L 3 0
A 1 1
平差值条件方程： 权阵：
PL L Q L L E
C
代入得：
Q LL ˆˆ
2 3 1 3 1 3
1 3 2 3 1 3
1 3 1 3 2 3
PLˆ
1
3 2
习
题
2 .0 0 8 m , h3 0 .3 5 3 m
例8：如图所示水准网中，测得各点间高差为 h1 1 .3 5 7 m , h2
h 4 1 .0 0 0 m , h5 0 .6 5 7 m , S 1 1km , S 2 1km , S 3 1km , S 4 1km , S 5 2 km
例2：设平差问题是按条件平差进行的，其法方程式为：
求：（1）单位权中误差 0
ff （2）若已知某一平差函数式 F f L ，并计算得 4 4 p 1 af bf
T
1 6, 4 p p
，求该平差值函数的权倒数 P 及中误差 F
S2
N AP
1
A s1 s 2 S
T
习
h1
题
h2
例3：试证明在单一水准路线中，平差后高程最弱点在水准路线中央。
A
C P
B
方法一：条件平差法 （3）单位权中误差：V
0
V PV r
T
T
PV W K
T
w S
2
0 w
1 S
（4）平差值函数及精度评定：
ˆ HP H
f
T
A
ˆ h1
0
Q FF f Q f A Q f
T
T
N
1
( AQf )
s1 s 2 S
1 S
s1 ( S s1 )
1
当上式取极值时，则
s1
1 2
S
习
h1
题
h2
例3：试证明在单一水准路线中，平差后高程最弱点在水准路线中央。
A
C P
B
方法二：加权平均值法
函数式：
条件平差复习课
条件平差公式汇编
改正数条件方程 改正数方程 法方程 法方程的解 观测值的平差值
AV W 0
V P
1
A K
N AP
1
T
基础方程
A
T
NK W 0
K N
1
W
ˆ L L V
ˆ 0 V
T
单位权中误差
PV r
T
ˆ
2 0
V
T
PV r
V PV W K
(8)评定精度（列出平差值函数关系式，并对其全微分，求 出其线性函数的系数阵 fT ，再计算出平差值函数的协因数 QFF ，然后计算出平差值函数的协方差DFF）。
全 微 分 线 性 化
ˆ ˆ ˆ ˆ F f ( L1 , L 2 , , L n )
ˆ dF f d L
T
函数的协因数
Q FF f
L 3 67 0 7 1 4 ,
L 6 58 2 4 1 8
AB为已知边长，设无误差。 已知观测角的权均为1时的测角中误差为 ˆ 0 相对中误差
ˆ CD
CD
pvv
r
4 . 8 。试求CD边的边长
。
习
题
P 例5：如图所示三角网中，A、B为已知点， 1 P4 为待定点， 0 为已知方位角， S 0 为已知边长，观测了23个内角，试指出按条件平差法式条件方程的 总数及各类条件方程式的个数。 S0 P4
T
Qf f
T
QA
T
N
1
AQf
ˆ2 D FF 0 Q FF
函数的方差
习
题
L 例1： 1 63 1 9 4 0 ， 1 3 0 ； L 2 58 2 5 2 0 ， 2 2 0 ； L 3 301 4 5 4 2 ， 3 求：（1）列出改正数条件方程； （2）试用条件平差法求 C 的平差值（注： C为内角）
解： n=15，t=9，r=6
ˆ ˆ ˆ X 12 X 23 X 13 0
坐标增量描述闭合环 闭合环123
3
ˆ ˆ ˆ Y1 2 Y 2 3 Y1 3 0 ˆ ˆ ˆ Z 12 Z 23 Z 13 0 ˆ ˆ ˆ X 13 X 34 X 14 0 ˆ ˆ ˆ Y1 3 Y3 4 Y1 4 0 ˆ ˆ ˆ Z 13 Z 34 Z 14 0
1 A 0
1 0
0 1
0 1
1 1
1 1 1
P
1
2
h2
D
h4
习
题
例9：如图所示三角网中，A、B为已知点，C、D、E、F为待定点，同精度观测 了15个内角，试写出（1）CD边长的权函数式；（2）平差后 L 8 的权函数式。
C
4 5 12 13 11 14 15
题
h2
例3：试证明在单一水准路线中，平差后高程最弱点在水准路线中央。
A
C P
B
解析：高程最弱点即精度最低 方法一：条件平差法 （1）条件方程式：
ˆ ˆ h1 h 2 H
A
HB 0
v1 v 2 h1 h 2 H A H B 0
（2）定权：令C=1
P
1
S1
1 0 ；
解： ④组建法方程：
AP
1
A
T
K
W 0
14 K 42 0
K 3
L3
⑤求解改正数及平差值
C
V P
1
A K
T
V 2 7
1 2
3
T
ˆ ˆ C 3 6 0 L 3 5 8 1 4 2 1
A
L1
L2
B
习
B
3 2
F
6 7
D
解： n=23，t=6，r=17
5个图形条件，1个圆周条件， 1个极条件，1个边长附合条件 +1个图形条件+1个极条件； +1个图形条件+1个极条件；
P1
18
15 16 17
14 12 13
11
10
9 8
0
20 19 23 P2 21 22
+1个图形条件+1个极条件；
+1个图形条件+1个极条件 +1个方位角附合条件
F
解：④计算平差值函数的权倒数：
1 PF Q FF 4
Q FF f Q f A Q f
T
T
N AQf
F 0 QF 6
ff p
af p bf p
习
h1
H H
P1 P2
ˆ H
P
H
p1
p1 H
p2
p2
p1 p 2 ˆ H s2 S h1 s1
p1
1 s1
, p2
s1 S
1 s2
H
B
H H
A B
h1 h2
1
P
s2 h2 H S S
A
由题意知： h s1 km , h s 2 km
T
条件平差公式汇编
平差值函数
ˆ ˆ ˆ ˆ F f ( L1 , L 2 , , L n )
T ˆ dF f d L
平差值函数的协因数
Q FF f
T
Qf f
T
QA
T
N
1
AQf
平差值函数的中误差
ˆ ˆ F 0 Q FF
条件平差解题步骤
(1)根据实际问题，确定出总观测值的个数 n 、必要 观测值的个数t及多余观测个数r = n - t，列出平差 值条件方程并转化为改正数条件方程；
2
2 ˆ H
p
s1 s 2 S
km
2
当上式取极值时，则
s1
1 2
S
习
例4．如图六个同精度观测值
L 1 45 3 0 4 6 ,
题
A
4 2 6 3 1 B C 5
D
L 4 69 0 3 1 4 L 5 52 3 2 2 2
L 2 67 2 2 1 0 ,
4
2
闭合环134
1
习
例7：同精度测得
ˆ 解： 平差值函数式： A O B L
1
题
的权。
A
0 0 ，试求平差后 A O B L1 4 5 0 2 , L 2 8 5 0 0 , L 3 4 0 0 1
Байду номын сангаас
平差值的协因数阵：
O
Q LL Q A Q N ˆˆ
P
9
4
A 1
1
1
w 4 2
习
题
L 例1： 1 63 1 9 4 0 ， 1 3 0 ； L 2 58 2 5 2 0 ， 2 2 0 ； L 3 301 4 5 4 2 ， 3 求：（1）列出改正数条件方程； （2）试用条件平差法求 C 的平差值（注： C为内角）