椭圆定义及应用讲解学习
椭圆的相关知识点
椭圆的相关知识点椭圆是数学中一个非常重要的几何形状。
它在各个领域中都有广泛的应用，如天文学、物理学、工程学等。
本文将详细介绍椭圆的相关知识点，包括椭圆的定义、性质、方程和应用。
一、定义与性质椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
这两个固定点分别称为椭圆的焦点，连接两个焦点的线段称为主轴，主轴的中点称为椭圆的中心。
在椭圆上任取一点P，连接P到两个焦点的距离之和等于常数，记为PF1 + PF2 = 2a（a为常数）。
椭圆的性质如下：1. 所有点到两个焦点的距离之和等于常数。
2. 主轴是椭圆上最长的一段线。
3. 所有点到椭圆中心的距离之和等于椭圆的长轴长度。
4. 与椭圆的长轴垂直的线段称为短轴，长轴和短轴的长度之比称为椭圆的离心率。
离心率小于1的椭圆称为椭圆，等于1的椭圆称为抛物线，大于1的椭圆称为双曲线。
二、椭圆的方程椭圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程。
1. 标准方程以椭圆的中心为原点，椭圆的长轴与x轴平行。
设椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 12. 一般方程一般方程是对标准方程进行平移和旋转得到的。
设椭圆的中心为(h, k)，椭圆的标准方程为：((x-h)^2)/a^2 + ((y-k)^2)/b^2 = 1其中，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴的长度。
三、椭圆的应用椭圆在众多领域中有广泛的应用。
1. 天文学在天文学中，行星和卫星的轨道往往是椭圆。
开普勒定律描述了行星运动的规律，其中第一定律指出行星和太阳之间的轨道是一个椭圆。
2. 物理学在牛顿力学中，椭圆是一种机械能守恒的轨迹。
当质点在万有引力下运动时，其轨迹为椭圆。
3. 工程学在建筑工程中，椭圆的形状经常被利用于设计桥梁、隧道以及建筑物的拱形结构。
椭圆形的结构能够提供更好的均匀分布重量的能力，提高结构的稳定性和承载能力。
4. 地理学椭圆也常常用于地理学中，用来表示地球的形状。
高三椭圆知识点讲解
高三椭圆知识点讲解椭圆是数学中的一个重要概念，在高三数学中也是一个关键的知识点。
椭圆具有多个特性和性质，本文将对高三椭圆的知识点进行详细讲解。
一、椭圆的定义椭圆可以定义为平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹。
这两个点被称为焦点，椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，短轴是与长轴垂直且通过椭圆中心的线段。
二、椭圆的方程通常情况下，我们可以使用椭圆方程来描述椭圆的形状和位置。
椭圆的标准方程可以写为：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1其中，(h, k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示椭圆的长轴长度和短轴长度。
三、椭圆的性质1. 椭圆的离心率：椭圆的离心率是一个重要的参数，用来衡量椭圆形状的扁平程度。
离心率e的范围是0到1，当e接近0时，椭圆趋近于圆形；当e接近1时，椭圆趋近于长条形。
2. 椭圆的焦点与直径关系：对于任意一条直径AB，其上的任意一点P与焦点F1和F2的距离之和等于该直径的长度。
3. 椭圆的参数方程：除了标准方程外，椭圆还可以使用参数方程来表示。
参数方程可以通过参数θ来描述椭圆上的点的坐标：x = a*cosθ + hy = b*sinθ + k4. 椭圆的焦准线：焦准线是指通过两个焦点并与椭圆相切的直线。
焦准线具有特殊的性质，例如，来自焦点的光线在反射后会聚于另一个焦点。
四、椭圆的应用椭圆的形状和性质在现实生活中有广泛的应用。
以下列举几个例子：1. 天体运动：行星围绕太阳的轨道就是椭圆，根据开普勒定律，行星运动的轨道是椭圆而不是圆形。
2. 抛物线天线：抛物线形状的天线可以将平行光线聚焦到一个点上，因此在卫星电视、天线接收器等领域有广泛应用。
3. 运动轨迹：一些项目中的投射物的轨迹也可以使用椭圆来描述，例如，高尔夫球的运动轨迹。
总结：椭圆作为数学中的一个重要概念，在高三数学中需要重点掌握。
本文对高三椭圆的定义、方程、性质以及应用进行了详细的讲解，希望对各位高中生的学习有所帮助。
椭圆及特殊椭圆知识点(经典完整版)
椭圆及特殊椭圆知识点(经典完整版)椭圆及特殊椭圆知识点（经典完整版）1.概述椭圆是一个重要的几何概念，具有许多特殊性质和应用。
本文将介绍椭圆的基本定义和性质，并探讨一些特殊类型的椭圆。
2.椭圆的定义椭圆是一个平面图形，由到两个焦点的距离之和恒定于一个常数，且大于两个焦点间距离的点构成。
椭圆可以由一个固定点（焦点F1）和一条固定线段（主轴）决定。
3.椭圆的性质椭圆具有以下性质：半长轴：椭圆主轴的一半长度，用a表示。
半短轴：椭圆次轴的一半长度，用b表示。
焦距：焦点到椭圆某点的距离之和，等于椭圆的长轴长度。
离心率：描述椭圆的扁平程度，为焦距与长轴长度之比，用e 表示。
焦点坐标：椭圆的焦点F1的坐标表示为(-ae。
0)，焦点F2的坐标表示为(ae。
0)。
4.特殊椭圆4.1 圆当椭圆的长轴和短轴长度相等时，椭圆变成一个圆。
圆是一种特殊的椭圆，具有对称性和均匀性。
4.2 扁圆当椭圆的离心率接近于1时，椭圆变得扁平，称为扁圆。
扁圆的长轴明显大于短轴，形状更接近于一个狭长的椭圆。
4.3 扇形扇形是由椭圆上的一段弧和两条半径组成的图形。
扇形的面积可以通过椭圆扇形公式计算。
4.4 椭圆柱体椭圆柱体是由椭圆沿其中一条轴旋转形成的立体图形。
椭圆柱体具有椭圆的特性，并且其体积和表面积可以通过相应的公式计算。
5.应用领域椭圆的特性使其在许多领域中得以应用，包括：天文学：描述轨道和行星运动。
工程学：设计轮廓和曲线。
密码学：用作加密算法的基础。
6.结论椭圆是一个重要的几何概念，具有多种特殊性质和应用。
我们通过介绍椭圆的定义、性质和特殊类型，认识到椭圆在几何学和其他领域中的重要性。
椭圆知识点及经典例题汇总
椭圆知识点知识要点小结： 知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；3.椭圆的参数方程)(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b ac -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c -知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆12222=+by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
简记为：左“＋”右“－”。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。
有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。
双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。
②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。
高一数学椭圆知识点
高一数学椭圆知识点椭圆是数学中的一种曲线形状，它在几何学和代数学中都有广泛的应用。
在高中数学中，我们会学习椭圆的相关知识，包括定义、性质以及一些常见的应用。
本文旨在对高一数学中的椭圆知识点进行详细讲解。
一、椭圆的定义和特点椭圆是指平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点F1和F2称为焦点，点P到F1和F2的距离之和为焦距。
椭圆的长轴是连接两个焦点的直线段，长度为2a；短轴是连接长轴中点和椭圆的中心的直线段，长度为2b。
椭圆的中心为O，长轴和短轴的交点为C。
椭圆的常见性质包括：1. 椭圆的离心率：椭圆的离心率为e，定义为焦距与长轴之比，即e=c/a，其中c为焦距的一半。
2. 椭圆的直径和焦半径关系：对于椭圆上任意一点P，设其到两焦点的距离分别为PF1和PF2，直径AB为过点P的直线与椭圆的交点，则有PF1+PF2=2a，AB=2c。
3. 椭圆的对称性：椭圆关于长轴和短轴均有对称性，即对于椭圆上任意一点P，关于长轴的对称点为P'，关于短轴的对称点为Q，且OP=OP'，OQ=OQ'。
二、椭圆的方程一般情况下，椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度。
可以根据椭圆的特点推导出其他形式的椭圆方程，例如：1. 中心在原点的椭圆方程：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
2. 中心不在原点的椭圆方程：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1。
其中(h,k)为椭圆的中心坐标。
三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = a*cosθy = b*sinθ其中θ为参数，0≤θ≤2π。
四、椭圆的焦点和准线椭圆的焦点可以通过离心率来确定，焦点的坐标为(F1, 0)和(-F2, 0)，其中F1和F2为焦距的一半。
椭圆的准线是与长轴平行且在短轴上的两条直线，它们的方程分别为x = a/e和x = -a/e。
第1讲 椭圆的定义及其应用
第1讲 椭圆的定义及其应用整理：广东阳江曾广荣一、问题综述本讲梳理椭圆的定义及其应用．椭圆的考题中，对椭圆定义的考查一直都是热点． （一）椭圆的定义平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定值2a ()122a F F >的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．（二）椭圆定义的应用主要有下面几方面的应用：1．求标准方程；2．焦点三角形中的计算问题；3．求离心率；4．求最值或范围． 二、典例分析类型一：利用椭圆的定义求轨迹方程【例1】 ABC ∆的底边16BC =，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹方程． 【解析】以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()x y ，，由20GC GB +=，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10a =，8c =，有6b =，故其方程为()221010036x y y +=≠．【方法小结】由已知可得20GC GB +=，再利用椭圆定义求解，要注意剔除不合要求的点． 【例2】已知动圆P 过定点()30A -，，并且在定圆()22364B x y -+=：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．【解析】如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径，即86PA PB PM PB BM AB +=+==>=．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆，P 的轨迹方程为：221167x y +=．【例3】已知圆()22:3100C x y -+=及点()3,0A -，P 是圆C 上任意一点，线段PA 的垂直平分线l 与PC 相交于点Q ，求点Q 的轨迹方程。
【解析】如图所示．∵l 是线段PA 的垂直平分线， ∴AQ PQ =．∴10AQ CQ PQ CQ CP +=+==，且10>6． ∴点Q 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆， 且210a =，3c =，即5a =，4b =．∴点Q 的轨迹方程为2212516x y+=．【方法小结】是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．结合定义求轨迹方程是一种重要的思想方法．【变式训练】1．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是()1,0F c -、()2,0F c ，Q 是椭圆外的动点，满足12FQ a =．点P 是线段1F Q 与该椭圆的交点，点T 在线段2F Q 上，并且满足20PT TF ⋅=，20TF ≠．求点T 的轨迹C 的方程．【解析】当0PT =时，点(),0a 和点(),0a -在轨迹上．当0PT ≠0PT ≠且2||0TF ≠时，由20PT TF ⋅=，得2PT TF ⊥． 由12FQ a =，得12PF PQ a +=， 又122PF PF a +=，所以2PQ PF =，所以T 为线段2F Q 的中点．连接OT ，则OT 为12QF F △的中位线，所以()1121122OT FQ PF PF a ==+=， 设点T 的坐标为(),x y ，则222x y a +=．故点T 的轨迹C 的方程是222x y a +=．【方法小结】定义法求轨迹（方程）的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。
数学椭圆知识点总结
数学椭圆知识点总结椭圆是数学中有着许多重要性质和应用的一个图形。
下面是对椭圆的一些基本概念、性质和应用的总结。
一、基本概念：1.椭圆的定义：椭圆是平面中到两个给定点距离之和等于常数的点的集合。
2.椭圆的元素：椭圆的两个给定点叫做焦点，连接两焦点的线段长度叫做主轴；主轴的中点叫做椭圆的中心；主轴的一半长度叫做半轴长度；椭圆中心到焦点的距离叫做焦距。
3.椭圆的方程：标准椭圆的方程形式为：(x/a)²+(y/b)²=1其中，a是椭圆的半长轴长度，b是椭圆的半短轴长度。
二、性质：1.对称性：椭圆是关于x轴和y轴对称的。
2.焦点性质：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
3.离心率：椭圆的离心率是一个衡量椭圆圆度的量。
离心率e的取值范围是0到1之间，当e=0时，椭圆退化成一个圆；当e=1时，椭圆退化成一个抛物线。
4.焦半径性质：椭圆的焦半径性质是指在椭圆上取一点P，以焦点为中心，过点P作圆的切线，切点和焦点之间的距离等于焦距。
5.弦长性质：椭圆上取一点P，过点P作两直线段与椭圆相交，分别与圆交于A、B两点，则线段AB的长度等于弦长。
6.空间对称性：椭圆的三维空间图形是椭球，具有空间对称性。
三、应用：1.天体运动：开普勒的椭圆轨道定律描述了行星运动的椭圆轨道特性。
2.光学：反射和折射定律中的焦点性质和弦长性质可以用来解决光学问题。
3.通信：在无线通信中，椭圆是天线和信号传播路径的数学模型，用于研究无线信号的覆盖范围和传播特性。
4.机械工程：在机械零件的设计中，椭圆齿轮和椭圆齿条可以用来实现转动和直线运动的转换。
5.地理测量学：地球的纬度和经度构成的网格是一种椭圆形状的二维曲面，用于定位和测量地球上的位置。
6.统计学：椭圆是多元统计分析中用来表示数据分布形状的图形，如椭圆的主轴和离心率可以用来描述数据的差异和相关性。
总结起来，椭圆是数学中一个重要的图形，具有许多特殊的性质和应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、椭圆第一个定义的应用
1.1 椭圆的第一个定义平面内有两个定点F
1、F
2
，和一个定长2a。
若动点P到
两个定点距离之和等于定长2a，且两个定点距离|F
1F
2
|<2a.则动点轨迹是椭圆。
两个定点F
1、F
2
称为椭圆的焦点。
由此定义得出非常重要的等式，其中P为椭圆上一个点。
此等式既表明作为椭圆这个点的轨迹的来源，也说明椭圆上每一个具有的共同性质。
即椭圆上每一个点到两个焦点距离之和等于定长2a .在有关椭圆的问题中，若题设中含有有关椭圆上一点到两个焦点距离的信息，首先考虑的就是能否用上这个关系式。
1.2 应用举例
例1.已知点
1(3,0)
F-,
2(3,0)
F,有
126
PF PF
+=,则P点的轨迹是 .
例2.求证以椭圆 (a>b>0) 上任意一点P的
焦半径为直径画圆，这个圆必与圆相切.
解评：此题若用一般方法解或用椭圆参数方程解答，计算量都很大，解题过程冗
长，属于中档题。
我们若抓住PF
2为一个圆直径，PF
1
为另一个圆半径的2倍，用
公式，很容易得出正确解答。
例3. F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，
求的面积.24
解评：题设中有椭圆上一点到两个焦点间距离的信息，即可试探是否能用
解决
例4.P 是椭圆22
14520
x y +
=上位于第一象限内的点, F 1、F 2是椭圆的左、右焦点,若
则12PF PF -的值为( )
A. 65
B. 25
C.
1
53
D. 253 例5. 在圆C:22(1)25x y ++=内有一点A (1,0),Q 为圆C 上一点,AQ 的垂直平分线线段CQ 的交点为M,求M 点的轨迹方程.
练:一动圆与圆⊙o 1：x 2+y 2+6x+5=0外切,同时与⊙o 2 ： x 2+y 2_ 6x _ 91=0 内切， 求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
例6.已知定点A（－2，3）,点F为椭圆
22
1
1612
x y
+=的右焦点，点M在该椭圆上移动时，
求| AM| ＋| MF |的最小值与最大值。
例7.设P是直线x-y+9=0上一点，过P点的椭圆以F
1 (-3，0)和F
2
（3，0）为
焦点，试求P点在什么位置时，所求椭圆的长轴最短，并写出具有最短长轴的椭圆的方程。
解评：（1）转化思想是高中数学重要的数学思想，此题把求长轴最短值转化为
求的最小值，再转化为求F
1
关于直线x-y+9=0的对称点。
这样做后，思路清晰，条理分明，计算简捷。
二、椭圆第二个定义的应用
2.1 椭圆的第二个定义（课本P 78）点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数
时，这个点的轨迹是椭圆。
定点是椭圆
的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。
2.2 应用举例
例1.椭圆焦点F 1（-c ，0），F 2（c ，0），离心率M 是椭圆上一点，其横坐
标为x 0，求M 点的两个焦半径|MF 1|和|MF 2|之长.
解：过M 作右准线的垂线MM 2，则
根据椭圆第二定义
同理可得
解评（1）解析几何中很容易求出平行于坐标轴的线段长，因此椭圆上一点到准线的距离易求，某点的焦半径
结果易见。
题设中若有某点的焦半
径信息，用第二定义解题可得事半功倍之效。
（2）此题的结果
，与第二定义等式
都可作为公式加以应用。
例2.椭圆上一点P到左准线的距离等于2，求P到右焦点距离。
解：
解评此题使用了椭圆的两个定义.
例3.已知定点A（－23）,点F为椭圆
22
1
1612
x y
+=的右焦点，点M在该椭圆
上移动时，求| AM| ＋ 2| MF |的最小值。
三、同步检测
1.椭圆上一点P 到左、右两焦点距离之比为1：3，则P 到左准线的
距离是（ ）
A.5
B.15
C.
D.
2.短轴长为，离心率为的椭圆的两个焦点分别为F 1和F 2 . 过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则
的周长为（ ）
A.24
B.12
C.6
D.3 3.已知椭圆上一点P 到右焦点的距离为b ，则P 到左准线的距离是
（ ）
4.已知椭圆的焦点F 1（-1，0），F 2（1，0），P 是椭圆上的一点，且|F 1F 2|是|PF 2|与|P F 1|的等差中项，则该椭圆的方程是（ ）
5.P 是椭圆
上的动点，过点P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则PM 中
点的轨迹方程是（ ）
答案及提示
提示：
1. | PF
1
|=5
2.
3.
4.
5. 设P（x
0，y
），PM的中点N（x，y），
代入即得结果。