球面距离
预备练习1、已知A，B是半径为
3的球面上两点，且AB= 3 3 ，
求A，B两点的球面距离.
解：
在ABO中， OA OB 3， AB 3 3
A
OA 2 OB 2 AB 2 cosAOB
2OA OB
cosAOB - 1 2
AOB 2
3
B O
A， B的球面距离为2 R
3
地球仪中的经纬度
球面上两点间的距离
平面上两点间的最短距离是连结这两点 的线段的长度，
而球的表面是曲面，球面上A 、B 两点间的最短 距离显然不是线段AB的长度，那是什么呢？
B 问题1: 直观的观察, 发现：
A
过A,B的圆中，半径越大， 在A,B之间的劣弧的长越小！
在过A,B点的球的截面中半径最大的是 过球心的大圆
cos AOB 0.1647 AOB 99.48 AB的弧长 2 6371 99.48 360
思考题、把地球当作半径为R的球，地球上
A,B两点都在北纬450的纬线上,A,B两点的球
面距离是 R ，A在东经200，求B点的位置
3
AB的弧长 R AOB 60
3
C
B
O
AOB为正三角形 AB R
又Q OAO1 45 在直角三角形 AOO1中
O1A COS 45 OA
2 R 2
N
O1
B
B
A
同理得： O1B
2 R 2
O1A2 O1B2 AB2
O
AO1B 90 因为A在西经 20o 处, 所以 B在西经
S 20 90 110，北纬45处 或者
在东经90 20 70，北纬45处。
（地球的半径约为6371Km,精确到1Km）
O1
A
B
AOB
60l
R
3
O
∴ A、B两地的球面距离为 R .
3
巩固及时练、 已知地球的半径为 6371km,北京的位置 约为东经1160,北纬400，纽约的位置约为西经740,北 纬400, 求两个城市间的距离。
A
O1
B
O
巩固及时练、 已知地球的半径为 6371km,北京的位置 约为东经1160,北纬400，纽约的位置约为西经740,北 纬400, 求两个城市间的距离。
上海与台北在同一经线上，
他们在同一个大圆上
A AOB 31 25 6
O
B r 6371
AB的弧长 2 6371 6
360
2.位于同一纬线上两点的球面距离
例2.已知地球半径为R,A、B两点均位于北纬45度 线上，点A在东经30度，点B在东经120度。
求(1)在北纬45度圈上劣弧 AB 的长度;
(2) 求经过A、B两地的球面距离？
(1)解：在BOO1中，
m
OO1B 90,OB R,
OBO1 45 , BO1
2 R. 2
∴纬线圈中 AB的长度为
O1
A
B
O
.
2R
2 R
22
4
(2) 求经过A、B两地球面距离？
(2)在ABO1中， AO1B 90,
AB R, 在AOB中， m
AO OB AB R
经度：
经过P点的经线与地轴确 Q 定的半平面和本初子午 线与地轴确定的半平面 所成的二面角的度数 A （即∠AOB的度数）
M
P
O
B
经度是二面角
地球仪中的经纬度 经度——P点的经度，也是 或AOB 的
度数，即：某地点的经度就是经过这点的经 线和地轴确定的半平面与本初子午线与地轴 确定的半平面所成二面角的平面角的度数．
球面上两点之间的最短连线的长度，就是经 过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长
度.我们把这个弧长叫做两点的球面距离
球面距离
求A、B两点的球面距离：
1.过A、B两点的大圆 2.在A、B间的劣弧长 度。
A OB
注意：球面距离是球面上 两点间的最短距离
3.若设球心角AOB a(弧度制)
一般地：球面距离就是AB的弧长L=αR （α称为球心角）
2.球面距离公式 l R
思考：把地球当作半径为 R 的球，地球上两地A
B均在北纬 45o的纬线上， A、 B两地的球面距
离为 R
3
,且A在西经 20o 处，求点B的位置。
N
O1
B
B
A
O
S
N
O1
B
B
A
O
解：假设 AOB
Q AB的弧长为 R
R
R
3
,
3
3
又Q OA OB R
S ABO 为正三角形， AB R
A
在COD中，CD AB R， OC OD Rcos45
cos COD OC 2 OD2 CD2 0 2OC OD
COD 90
B的位置可能是：东经110,西经 70
三、小结
1.两种形式的球面距离的求解
(1).位于同一经线上两点的球面距离 方法：直接代公式
(2).位于同一纬线上两点的球面距离 方法：先求弦长，再由余弦定理求球心角，化 为弧度，最后代公式。
四、作业
1.设地球的半径为R， 若甲地位于北纬60O，东经120O； 乙地位于南纬15O度，东经120O， 求甲、乙两地的球面距离。
甲
O
乙
2.地球是一个半径为R的球， A在北纬45°，东经70°， B在北纬45°，东经160° 求A、B两地的球面距离。
3. 北京的位置为东经116°，北纬40° 纽约的位置为西经74°，北纬40° 求两个城市间的距离。
的两地A ，B的球面距离．(设地球半径为R).
N 解： EOB EOA
B
AOB, 又Q EOB 68
A
EOA 38o, AOB
E
O 赤道
30o ，根据 l R
l R R
S
6
6
A ，B的球面距离为
R
6
巩固及时练： 已知地球的半径为 6371km,上海的位置 约为东经1210,北纬310，台北的位置约为东经1210, 北纬250, 求两个城市间的距离。
北极
P
本
初
地
子 轴
午
O
线
A
道
赤
B
纬度：
地球仪中的经纬度
P的纬度是指球半径OP和赤道平面所成的角度．
P
A
纬度B点的纬度，即经过这点的球半径和赤 道平面所成的角度．
O1
αB
Oα
A
如图，∠AOB的大小即为B点所在的纬度。
二.应用举例
1.位于同一经线上两点的球面距离
例1. 求东经57 线上，纬度分别为北纬 38 和 68
AOC BOD 40,
COD 360 (116 74) 170
由余弦定理，得：
AB2 CD2 OC 2 OD2
A
O1
B
CO D
2OC OD cos COD,
cos AOB OA2 OB2 AB2 , 2 OA OB
其中OA OB 6371,
OC OD 6371cos 40
球面两点距离公式
球面两点距离公式在我们学习数学的奇妙世界里，有一个挺有意思的家伙，那就是球面两点距离公式。
咱先来说说啥是球面。
想象一下，一个超级大的皮球，那个皮球的表面就是球面啦。
而在这个球面上面，随便选两个点，要算出这两个点之间的距离，就得靠我们今天要说的球面两点距离公式。
我记得有一次，我和朋友去游乐场玩。
游乐场里有一个巨大的地球仪模型，我们就在那研究起来。
朋友好奇地指着上面两个不同的地方问我：“这两个地方的距离咋算呀？”我当时就跟他说：“这就得用到球面两点距离公式啦。
”那这个公式到底是啥呢？简单来说，就是通过一些角度和半径的计算来得出距离。
但是别被这几个词吓到，咱们慢慢捋一捋。
假设球的半径是 R ，球面上两个点 A 和 B 对应的经度分别是α1 和α2 ，纬度分别是β1 和β2 。
那这两点的距离 d 就可以通过下面这个公式来算：d = R×arccos[sinβ1×sinβ2 + cosβ1×cosβ2×cos(α1 - α2)] 。
是不是看起来有点复杂？其实啊，咱们把它拆分开来理解就没那么难了。
比如说，sinβ1×sinβ2 这部分，就是考虑了两个点在纬度上的差异对距离的影响。
而cosβ1×cosβ2×cos(α1 - α2) 这部分呢，则是综合了经度和纬度的共同作用。
再举个例子，咱们把地球当成这个球。
北京和纽约就是球面上的两个点。
通过测量它们的经纬度，再代入这个公式，就能算出它们之间的球面距离。
回到那个游乐场的地球仪模型，我和朋友就试着用这个公式，大致估算了一下我们所在城市和另一个城市在这个“大皮球”上的距离，虽然不太精确，但那种探索的乐趣可真是让人难忘。
在实际生活中，这个球面两点距离公式用处可多啦。
比如飞机的航线规划，航海中的路径计算，都离不开它。
学习这个公式，就像是打开了一扇通往未知世界的小窗户。
让我们能从一个新的角度去理解我们生活的这个大大的地球，还有那些看似遥不可及的地方。
计算球面距离的三种习题示范
计算球面距离的三种习题示范
现行课本中，介绍了球面距离的概念，这方面的习题很多，同学们学习时普遍感到困难．下面给出这类习题解答的示范，以供同学们参考．
1．位于同一纬度线上两点的球面距离
例1 已知，两地都位于北纬，又分别位于东经和，设地球半径为，求，的球面距离．
分析：要求两点，的球面距离，过，作大圆，根据弧长公式，关键要求圆心角的大小（见图1），而要求往往首先要求弦的长，即要求两点的球面距离，往往要先求这两点的直线距离．
解作出直观图（见图2），设为球心，为北纬圈的圆心，连结
，，，，．由于地轴平面．
∴与为纬度，为二面角的平面角．∴（经度差）．
△中，．
△中，由余弦定理，
．
△中，由余弦定理：
，∴．
∴的球面距离约为．
2．位于同一经线上两点的球面距离
例2 求东经线上，纬度分别为北纬和的
两地，的球面距离．（设地球半径为）．（见图3）
解经过两地的大圆就是已知经线．
，．
3．位于不同经线，不同纬线上两点的球面距离
例3 地位于北纬，东经，地位于北纬，东经，求，
两地之间的球面距离．（见图4）
解设为球心，，分别为北纬和北纬圈的圆心，连结
，，．
△中，由纬度为知，
∴，
．
△中，，
∴，
∴．
注意到与是异面直线，它们的公垂线为，所成的角为经度差，利用异面直线上两点间的距离公式．
（为经度差）
．
△中，
．
∴．
∴的球面距离约为．。
球面距离的几种证明方法
亦A蓻 B 大圆约A蓻 B 小圆
亦 过 A,B 作球的截面所得 A,B 间的弧长以大圆所对劣弧
最短遥
方法 2院设球 O 的半径是 R袁A袁B 是球 O 上的两定点袁A,B
两点间弦长为|AB|=2a(a约r臆R)袁已O1 是过 A,B 的平面截球的 任意的一个半径为 r 的圆面袁已O1 上所对应的劣弧长是 L1=
=sinx窑1 cos(x2-x1)+cosx窑1 sin(x2-x1)约sinx1+(x2-x1)cosx1
sinx1 x1
-
sinx2 x2
=
x2sinx1-x1sinx2 x1x2
跃
x2sinx1-x1[sinx1+(x2-x1)cosx1] x1x2
= (x2-x1)sinx1-x1(x2-x1)cosx1 x1x2
[J].教育革新,2005.
[3]郑东刚.叶球面距离的教学思考和教学设计曳[J].数学教学,
2009.
a sin琢
=2a
琢 sin琢
袁
A蓻 B 小圆=2琢r=2茁
a sin茁
=
2a
茁 sin茁
蓸 蔀 蓸 蔀 由引理 2 可知当 x沂
0,
仔 2
时袁函数
f(x)=
sinx x
是
0,
仔 2
上
蓸 蔀 的减函数袁故记
g(x)=
x sinx
袁则当 x沂
0,
仔 2
时袁有
g(x)=
x sinx
是
蓸 蔀 0,
仔 2
上的增函数遥
2rarcsin
a r
袁已O 是过 A,B 的大圆袁已O 上 A,B 所对应的劣弧长
15球面距离
2
A 、 B 、 C三点
O C A H d 1
每两点间的球面距离都为 2 AOB BOC AOC 90
又 OA OB 1 ，在直角三角形 AOB中 AB 2
，同理得：
B
AC
2
BC
2 AOB 为正三角形
2 3 6 ，在直角三角形 HB AB 3 2 3 2 6 3 2 BOH中 , OH 1 3 3
又
3 AOC 3 3 AC R 3 AB 1 , BC 2 , AC 3
球心 O 在平面ABC内的射影一定在 AC上， 所以点 O到平面ABC的距离为 OH
ABC 为直角三角形， A 、 B 、 C三点共圆
3 3 OO1 OA O1 A 3 2 2
A B
注意：
球面距离是球面上两点间的最短距离
2、球面距离的求解：
O B
.
A
关键：球心角(弧度)
请问：R，d，r 三者之间的关系？
R d
r二、球的性质球源自与截面圆的圆心的连线垂直于截面圆r R h
2 2
2 2
O
R
h
O`
r
三、地球仪中的经纬度
1、经线和纬线的规定：过南北极的半大圆是经线， 平行于赤道的小圆是纬线。 2、经度和纬度的规定： (1)P地的纬度就是经过P点的 球半径和赤道平面所成的线 北极 面角∠POA的度数. 等于∠GPO的度数 G P
A
C O
O1
B
D
∴纬线圈中 AB 的长度为
2 2 . R R 2 2 4
(2) 求经过A、B两地球面距离？
球面的距离公式及其应用
一
Ｒ 。 Ｅ ｃ ｏ ｓ Ｏ ／ ￣ Ｃ Ｏ Ｓ ｙｃ ｏ ｓ （ ｍ ￣ －． 。 ）
十ｓ ｉ ｎ口 。 ｓ ｉ ｎ ］ ．
一１ ， 纬度差是 ｌ ａ 。 ＋ Ｉ ． ２ ） 两 地 的经度 差 的计 算规 则是 ： 当 Ａ， Ｂ两地 为 ０ 。 经线 的 同侧 经度 时 ， 取 ｋ －Ｏ ， 得ｌ ｍ 。 一 。 Ｉ ． 当 Ａ， Ｂ两地为 Ｏ 。 经线的异侧经度时， 取
１ ） 两地的纬度差的计算规则是 ： 当Ａ， Ｂ两地 为赤道 （ Ｏ 。 纬线） 的同侧纬 度时， 取ｔ ＝Ｏ ， 纬度差是 ｌ ａ 。 一 Ｉ ； 当 Ａ， Ｂ两地 为 赤道 的异 侧 纬 度 时 ， 取ｔ
‘
Ｎ 的直线为 ２轴 ， 建立空 间直角坐标 系， 则 点 Ａ， Ｂ 的坐标分 别 为 Ａ（ Ｒ ｃ ｏ ｓ口 。 Ｃ Ｏ Ｓ ｍ 。 ，
设￣ Ａ Ｏ Ｂ－ － － Ｏ ， 则
ｃｏｓ ＝
需
ｋ ＝ｌ ， 得ｒ ｎ 。 ＋咒 。 有如下两种情况 ： ①若 ｍ 。 ＋ 。 ≤１ ８ ０ 。 时， 则为 ／ ｎ 。 ＋ 。 ；
－
－
Ｃ Ｏ ｔ 。 ）
ｍ。 一（ 一１ ） １ ０ 。 ：９ ０ 。 。
（ 一１ ） ， ｚ 。 ］ ＋ｓ ｉ ｎ 口 。 ｝
推 论 ２ 同经度不 同纬度 两地 问 的球 面
距离 ： 由于 ７ ， ｌ 一７ ｚ ， 取ｋ ＝Ｏ ， 所 以
ｃ ｏ ｓ （ ｍ。 一 。 ） 一Ｉ ，
当ｋ ＝０时 ， Ａ， Ｂ在 Ｏ 。 经线 的同侧 ， 得 ｍ。
球 面距 离 为 ：
两点球面距离的求解方法
。
．
Ａ、 在 同 一 经 度 为 １ ０ 的 圆 曰 ２。
上 ．
｛Ａｃ Ａ －。 １ ｆ口Ｃ Ｄ ＤＩ５ Ｄ： Ｏ０．。 Ｏ＝ ４ ５
’ ．
解 析 ： 图 ， Ａ、 的 截 如 过 Ｂ 。 ， ０为 球 心 ， 题 已知 Ａ、 本 Ｂ
球面距 ：
Ｊ ＡＢ ５７＝０ —— ０ ４＋￣２・ ＝。５１。
ＱＯ 为 北 纬 ４ 。 ， ２ 南 纬 ７ 。 ｔ ５ Ｏ０ 为 ５， ｏＯ为 ０纬 圆 ， ＯＡ， Ａ， ，Ｂ 。 连 ＋ Ｏ Ｄ Ｏ．
‘
两 点 间 球 面 距 离 的 思维 拓展 例 ４ Ａ、 ． Ｂ是 半 径 为 Ｒ 的 球 面 离是 ， 过 Ａ、 的平 面 中 与瑚 则 Ｂ
角 为 △Ａ
０Ａ
角 三 角 形
一 一
＝ ＝ ＯＢ Ｒ
Ｊ
ＡＢ ＿
…
…
Ｒ．
。
由 于 过 Ａ、 的 截 面 圆 可 以是 过 球 心 ０ 的 大 圆 面 。 Ｂ 此
经度 差为 ９ｏ ０ 。即 球 的 截 面 的两 条 半 径 的夹 角 为 ９ ｏ 即如 图 ／ＡＯＢ ９ 。 ０， －角 为 ＡＯ ＝ ２ 。 Ｂ Ｉ０ 。 曰 两点 的球 面距 离 为 ２ ＝ 积 ． Ｒ
‘
．
、
＝
Ａ、 两 点 Ｂ
二 、 纬不 同经 同 例 ２在 北 纬 ４ 。 ． ５ 圈上 有 Ａ、 日两 点 。 们 的 经 度 分 别 为 它 东 经 １ ０与 西 经 １０ ， 地 球 半 径 为 Ｒ， Ａ、 两 地 的 球 ４。 ３ 。设 则 面距 离 为 多 少 ？ 解 析 ： 题 是 同 纬 度不 同经 度 。 本 其
连 ＡＤ．
球面两点距离计算公式
球面两点距离计算公式在我们的数学世界里，有一个挺有趣的东西，那就是球面两点距离的计算公式。
这玩意儿可不像咱们平时在平地上算两点距离那么简单。
咱们先来说说啥是球面两点距离。
想象一下，你手里有个地球仪，上面随便标了两个点，这两个点之间沿着球面的最短路径长度，就是球面两点距离。
那这计算公式到底是咋来的呢？其实啊，它背后有一整套复杂又巧妙的数学原理。
给大家举个例子吧，有一次我带着学生们在操场上做了个小实验。
我在操场上画了一个大大的圆，假装那是个球面。
然后让几个同学站在不同的位置，就像是球面上的两个点。
我们试图用绳子去测量他们之间的最短距离。
一开始，同学们都有点懵，不知道从哪儿下手。
有的说直接拉直线，有的说绕着圈儿走。
后来经过一番讨论和尝试，大家慢慢发现，不能像在平面上那样简单粗暴地拉直线，得考虑这个“球面”的弯曲特性。
这就好比我们在地球上，如果要从北京到纽约，不能直接在地图上画直线，而是要沿着地球的弧线走。
咱们再回到球面两点距离计算公式。
这个公式通常会涉及到经度和纬度的差异，还有球的半径等因素。
比如说，已知两个点的经纬度，通过一些数学运算，就能算出它们之间的距离。
在实际生活中，这个公式也有不少用处呢。
像飞机飞行的航线规划，航海时船只的路线选择，都得靠它来帮忙，算出最短、最省油、最省时的路径。
不过，对于很多同学来说，一开始接触这个公式可能会觉得有点头疼。
但别担心，只要多做几道题，多琢磨琢磨，慢慢地就能掌握其中的窍门。
学习球面两点距离计算公式，就像是一场有趣的冒险。
虽然过程中可能会遇到一些小挫折，但当你最终搞懂它，能够熟练运用的时候，那种成就感可真是无与伦比。
所以啊，同学们，别害怕这个公式，勇敢地去探索它的奥秘，说不定你会发现数学的世界原来这么奇妙！。
球（截面性质体积表面积球面距离）
球（截面性质 体积表面积 球面距离）一. 教学内容： 球教学目标：了解球的概念，掌握球的截面的性质；掌握球的体积与表面积公式，理解并掌握球面距离的求法。
教学重点：截面性质及应用，体积、表面积公式；球面距离。
教学难点： 球面距离知识点归纳： 1. 截面的性质：截面是个圆面，其圆心与球心的连线与截面垂直。
2. 球面上两点间球面距离：经过球面上两点大圆的劣弧长叫这两点的球面距离（它是球面上连结这两点的最短弧长）。
3. 球的体积与球面的表面积公式： V R S R ==43432ππ【典型例题】例 1. 一个球的半径为R ，A 、B 是球面上的两个点，如果A 、B 沿球面的最短距离为13πR ，求过、两点的平面到球心的最大距离。
A B解：AB R O ⌒（设球心为）球面=13π∴∠==A OB RR 133ππ要使O 到平面ABO’的距离最长（O’为过AB 的圆的圆心），只须过A 、B 的小圆最小，即AB=2r在中，∆O OB OB R '=∴=︒=则OO OB R 'cos3032即所求最大距离为32R例2. 设A 、B 是地球北纬60o 圈上两点，点A 、B 的经度分别是东经40o 和西经20o ，求A 、B 两点的球面距离。
解：设O’为北纬60o圈所在圆圆心，r 为半径，地球半径为R 在中，，，∆AO O AO O AO R AOO '''∠=︒=∠=︒9030∴==O A r R '12又 ∠=︒+︒=︒AO B '402060∴==AB r R 12∴∠=在中，∆AOB AOB 214arcsin于是⌒球面AB R =214arcsin小结：1︒在小圆中求的长AB 2︒∠解三角形，求AOB AOB3︒=用弧长公式，求⌒球面l R AB θ例3. 求棱长为a 的正四面体内切球的体积。
解：设正四面体ABCD 高为AO’=h ，内切球心为O ，半径为r则·O B a a '==233233在中，Rt AO B AO AB BO a a a ∆'''()=-=-=22223363V V A B C D O B C D =-4·即·134314612Sh S r r h a =⇒==∴==V r a 内切球43621633ππC注：正四面体外接球与内切球半径之比为3：1。
球面距离1
AOB 60
B
C
A
O
D
在COD中，CD AB R，
, 西经 70 B的位置可能是：东经110
球面距离
球面上两点间的距离
1、平面上两点间的最短距离是连结这两点的线段的 长度。
2、球的表面是曲面，球面上P、Q两点间的最短距离 显然不是线段PQ的长度，那是什么呢？
B
问题1:直观的观察,发现：
过A,B的圆中，半径越大， 在A,B之间的劣弧的长越小！
A
在过A,B两点的球的截面中半径最大的是 球的大圆
63 AB的弧长 2 6371 360
例3、 已知地球的半径为 6371km,北京的位置约为东 经1160,北纬400，纽约的位置约为西经740,北纬400, 求两个城市间的距离。
AOC BOD 40 , COD 360 (116 74 ) 170 由余弦定理，得：
练习、把地球当作半径为R的球，地球上A,B两点都在 北纬450的纬线上,A,B两点的球面距离是 R，A在东 3 0，求B点的位置。 经20 R
R
OC OD Rcos45
OC 2 OD2 CD 2 cos COD 0 2OC OD COD 90
球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过 这两点的大圆的劣弧的长度.我们把这个弧长叫 做这两点的球面距离.
球面距离
A、B两点的球面距离为：
A
O
过A、B两点的大圆在 A、B间的劣弧长度。
注意：球面距离是球面上 两点间的最短距离。
B
若设球心角 AOB (弧度制)
AB的弧长 R
地球仪中的经纬度
A
C O
O1
球面距离公式及其应用
高中数学教与学
球面距离公式及其应用
丁佩 ( 江苏省扬州中学树人集团, 225002)
球面距离的概念和球面距 离的求法 是中 学数学教学中颇感棘手 的问题. 5全 日制 普通 高级中学教科书( 试验修订本 # 必修)6 对于这 一知识点的 处 理方 法 是 就题 论 题, 许 多教 学 参考书 也未 给 出详 细 的球 面 距离 计 算公 式. 为此本文介绍球面距 离公式 并举例 说明 其应 用.
_
东京到旧金山 的距离为 P#
6
371 180
@
74
= 8 241. 34( km) .
^ sin 37bsin 40b+ cos 37bcos 40bcos 49b =
0. 78.
arccos( sin 37bsin 40b + cos 37bcos 40b #
cos 49b) = 38b.
_
旧金山到纽约 的距离为 P#
= 2 R2 - 2 R 2cos BB cos BA cos( AA
- AB ) - 2 R 2sin BA sin BB . 在等腰 & A OB 中,
cos N A OB =
OA 2 + OB 2 - A B 2 2 OA # OB
= cos BA cos BB cos( AA - AB ) + sin BA sin BB .
32
1, 求 A 、B 两
点的球面距离.
解 AA = P4 , BA = P4 , AB = - P4 , BB =
arcsin
32
1,
_ AB =
R arccos
sin P4 sin
arcsin