概率统计练习册习题解答

苏州科技学院

《概率论与数理统计》活页练习册习题解答

信息与计算科学系

概率论与数理统计教材编写组

2013年12月

习题1-1 样本空间与随机事件

1．选择题

（1）设,,A B C 为三个事件，则“,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ D ） （A ）AB AC BC （B ）A B C （C ）ABC ABC ABC （D ）A B C （2）设三个元件的寿命分别为123,,T T T ，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超过t ”可表示为（ D ）

A {}123T T T t ++>

B {}123TT T t >

C {}{}123min ,,T T T t >

D {}{}

123max ,,T T T t > 2．用集合的形式表示下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A ：对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A 表示“射击次数不超过5次”。

解：{} ，，，＝

321Ω；{}54321A ，，，，＝。 3．设某工人连续生产了4个零件，i A 表示他生产的第i 个零件是正品（4,3,2,1=i ），试用i A 表示下列各事件：

（1）只有一个是次品；

（2习题1-2 随机事件的概率及计算

1．填空题

（1）已知B A ?，4.0)(=A P ，6.0)(=B P ，则

)(A P )(AB P

=)(B A P 0 ，)(B A P

（2）设事件A 与B 互不相容，()0.4,()0.3P A P B ==，则()P AB ()P A B 2．选择题

（1）如果()0P AB =，则（ C ）

(A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 互不相容

(C) ()()P A B P A -= (D) ()()()P A B P A P B -=- (2) 两个事件A 与B 是对立事件的充要条件是（ C ）

（A ） )()()(B P A P AB P = （B ）1)(0)(==B A P AB P 且 （C ） Ω=?=B A AB 且 （D ）?=AB

3．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率； （3）5只中至多有一只坏的概率。

4．（1）教室里有r 个学生，求他们的生日都不相同的概率；

（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.

解：（1）设A =“他们的生日都不相同”，则365

()365r

r

P P A =；

（2）设B =“至少有两个人的生日在同一个月”，则

21222321

4121141241212

441()1296C C P C C C P C P B +++==

； 或 412

441()1()11296

P P B P B =-=-=.

习题1-3 条件概率

1．选择题：

（1）设A ，B 为两个相互对立事件，且0)(>A P ，0)(>B P ，则( C )。

（A ）0)(>A B P （B ）)()(A P B A P = （C ）0)(=B A P （D ）)()()(B P A P AB P = （2）一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为p ，第二道工序的废品率为q ，则该

零件加工的成品率为（ Ｃ ）

（A ） 1p q -- （B ）1pq - （C ）1p q pq --+ （D ）(1)(1)p q -+- 2．填空题:

(1) 已知,6.0)(,5.0)(==B A P A P 若B A 、互不相容，则

)(B P B A 、相互独立，则

)(B P (2) 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，该射手的命中率___2

3

p =

__。 3．为防止意外，在矿内同时安装了两种报警系统A 与B ，每种报警系统都使用时，对系统A 其有效

的概率是0.92，对系统B 其有效的概率为0.93，在A 失效的条件下，B 有效的概率为0.85.求：（1）发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率；（2）B 失灵的条件下，A 有效的概率。 解：设=A “报警系统A 有效”，=B “报警系统B 有效”

（2）因为：862.0988.093.092.0)()()()(=-+=-+=B A P B P A P AB

P

4．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回.试求：

（1）顾客买下该箱的概率α；

（2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率β.

解 设A =“顾客买下该箱”，B =“箱中恰有i 件残次品”，0,1,2i =，

（1）

001122()()(|)()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B P B P A B α==++

5．据数据显示，每1000名50岁的低风险男性中，有3名患有结肠癌.如果一名男性患有结肠癌，

那么大便隐血检查表明有隐血的可能性是50%，如果一名男性没有患有结肠癌，那么大便隐血检查表明有隐血的可能性是3%．如果对一名低风险男性进行的隐血检查表明有隐血，那么他患有结肠癌的概率是多少？

解 设A =“50岁男性患有结肠癌”，B =“大便隐血检查呈隐血” 由题意，003.0)(=A P ，997.0)(=A P ，50.0)(=A B P ，03.0)(=A B P 由贝叶斯公式（1.3.5），

047755.003

.0997.05.0003.05

.0003.0)()()()()()()()()(=?+??=+==

A B P A P A B P A P A B P A P B P AB P B A P

习题2-1 随机变量及其分布函数

1．判断下列函数能否为某随机变量的分布函数.（ ）

10,0,

()sin ,

0,21,.

2

x F x x x x π

π

?

=≤

20,

0,()ln(1)

,0.

1x F x x x x

=?+≥?

+?

解：

1()F x 是；2()F x 不是，因为2()01F +∞=≠.

.

习题2-2 离散型随机变量

1． 填空题

(1) 设随机变量X 的分布律为:{},N

a

k X P =

= N k ， ,2,1=，试确定___1______a =。 (2) 一批产品共100个，其中有10个次品，从中放回取5次，每次取一个，以X 表示任意取出的产品中的次品数，则X

(3) 某射手对一目标进行射击，直至击中为止，如果每次射击命中率都是p ，以X

表示射击的次数，则X 的分布律为

2. 将编号为1,2,3,4的四个球随机地放入3个不同的盒子中，每个盒子所放球的个数不限，以X 表示放球最多的盒子中球的个数，试求X 的分布列及其分布函数()F x .

3． 设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布,试问

(1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率是多少？ (2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少？ 解：设一周内发生交通事故的次数为X ，则()3.0~P X 。

（1）

（2）

4．某人购买某种彩票，若已知中奖的概率为0.001，现购买2000张彩票，试求：（1） 此人中奖的

概率；（2）至少有3张彩票中奖的概率（用泊松分布近似计算）。

解：设中奖的彩票数为X ，则(2000,0.001)X B .

（1）

2000

(1)1(0)1(0.999)0.8648P X P X ≥=-==-≈. （2）由于20000.0012?=，故

(3)1(0)(1)(2)P X P X P X P X ≥=-=-=-=

习题2-3连续型随机变量

1. 设连续型随机变量X 的密度函数为

2,01,

()2,12,0,

ax x f x x x ?≤≤?

=-<≤??

?其他.

试求：（1）常数a 的值；（2）随机变量X 的分布函数；（3）13

()22

P X <<。

（2）当0x <时，()0F x =；

当2x >时，()1F x =. 故，

2. 设连续型随机变量X 的分布函数为?

??<≥-=-000

)1()(x x e A x F x ，，,

试求：（1）系数A ；（2）X 的密度函数；（3）(13)P X <<。 解：（1）由1)(=+∞F 知，

A

e A x F x x x =-==-+∞

→+∞

→)1(lim )(lim 1。

（2）

??

?≤>='=-.0,0;

0,)()(x x e x F x f x （3）()()

3

11311)1()3()31(-----=---=-=<

3. 设K 在(0，5)内服从均匀分布, 求方程02442=+++K Kx x 有实根的概率。

解：所求的概率为：

4. 某种型号的电子管寿命X (以小时计)具有以下概率密度

21000

1000()0x f x x

?>?=???，，其他

， 现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）, 任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500

小时的概率是多少？

从而所求概率为

5. 设连续型随机变量~34X N （，），（1）求{}{}

2,52>≤

（2）确定常数C 使{}{}C X P C X P >=≤。

（2

习题2-4 二维随机变量及其分布

1．一箱子装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件，10件，10件。现从中随机抽取一件，

记

11,0,X ?=?

?若抽到一等品,其他. 210X ?=??

，若抽到二等品,

，其他. 试求),(21X X 的联合分布列。 解：

2. 完成下列表格

3．设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为：

2,

01,02(,)0

x cxy x y f x y ?+≤≤≤≤=?

?其他

，

求：（1）常数c ；（2）{1}P X Y +≤；（3）X 和Y 的边缘密度函数。

()()()()()1211221280

1,010.8;10010

0,110.1;

100

10

0,

00.1P X X P X P X X P X P X X =====

===========。

()121,10;

P X X ===

当

10>

()0=x f X ；

求Y 的边缘密度函数：

()(

)?

+∞

∞

-=

dx

y x f y f Y ,。当

20>

4. 设),(Y X 服从}10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上的均匀分布，求：

（1

）),(Y X 的联合概率密度函数；（2）}{2X Y P <；（3）X 和Y 的边缘密度函数。 解：（1）由（X ，Y ）服从G

上的均匀分布知，（X ，Y ）的联合密度为：

（3）先求X 的边缘密度：()()?

+∞

∞

-=

dy

y x f x f X ,。 当

2

0>

，

()0

=x f X ；

当

2

0≤≤x 时，

再求

Y 的边缘密度函数：

()()?+∞

∞

-=dx

y x f

y f Y

,

习题2-5 条件分布及随机变量的独立性

1．设二维离散型随机变量),(Y X 只取 )2,1(),1,1(),0,0(-- 及 )0,2( 四对值，相应概率依次为

12

5

,31,61,121 ，试判断随机变量X 与Y 是否相互独立。

所以，X 与Y 不独立。

2. 设随机变量X 与Y 相互独立，试完成下表：

3．设二维连续型随机变量(,)X Y

的联合密度函数为

1,01,02,

(,)0,x y x f x y <<<

其他.

试判定X 与Y 是否相互独立。 解：

()(,)X f x f x y dy

+∞

-∞

=?

.

当0x ≤或1x ≥时，

()0X f x =；当01x <<时，20()12x

X f x dy x ==?.

()(,)Y f y f x y dx

+∞

-∞

=?

.

由于当(,){01,02}x y x y x ∈<<<<时，

(,)()()X Y f x y f x f y ≠?，

且区域{01,02}x y x <<<<的面积不为0，所以，X 与Y 不相互独立.

4. 设二维连续型随机变量),(Y X 的联合密度函数为

201,01

(,)0

x y cxy f x y <<<

?其他， 求常数c ，并判断X 与Y 是否相互独立。

求X 的边缘密度：()()?

+∞

∞

-=

dy

y x f x f X ,。

当

10≥≤x x 或时，()0=x f X ；

当10<

()?

==

1

226x

dy xy x f X 。

求Y 的边缘密度函数：()()?+∞

∞

-=dx

y x f

y f Y

,。

当

10≥≤y y 或时，()0=y f Y ；

当

10<

()?

==

1

2

236y dx xy y f Y 。

由于对任x ，y ，有

()()()y f x f y x f Y X =,。所以，X 与Y 相互独立。

5．设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0,1）内服从均匀分布，Y 的概率密度为

?????≤>=-0

,

00,

2

1)(2/y y e y f y Y ． （1）求X 与Y 的联合概率密度；（2）设关于a 的二次方程为 022

=++Y Xa a ，求此方程有实根的概率。

解：由X ~U (0，1)知X 的密度为：()X f x =1,01;0,x <

其他.

由X Y 与独立知，(X ,Y )的一个联合密度为：

;

方程有实跟的概率为：

习题2-6 随机变量函数的分布

1．设随机变量X 的分布列为

试求：(1)12-=X Y ，(2)2

X Z =的分布列。

解：

2．设

随机变量

(0,1)

X U ，试求X Y e =的密度函数。 解：由(0,1)X U 知其密度函数为1,01,

()0,.x f x <

??其他设X Y e =，函数()x y g x e ==. 则

min{(),()}0g g α=-∞+∞=，max{(),()}g g β=-∞+∞=+∞.所以，当(0,)y ∈+∞时，

3．设连续型随机变量X 的密度函数为 1

,10,

21

(),

02,40,x f x x ?-<

其他.

试求2Y X =的密度函数()Y f y 。 解：先求Y 的分布函数()Y F y ，在对其求导数.

2

()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤.

4. 设连续型随机变量X 的密度函数为

???≤≤-=其它

,

01

0),

1(2)(x x x f ， 求函数32+=X Y 的密

度函数()Y f y 。

习题3-1 数学期望

1．填空题

（1）设二维随机变量(,)

(10,2,1,1,0)X Y N ，则(25)E XY Y -++（2）设随机变量(2)X P ，(0,6)Y

U ，若233Z X Y =--，则()E Z 2．设X 的分布列为：

求（1）)

(X E ；（2）)1(+-X E ；（3）)(2

X E 。

3．设连续型随机变量X 的密度函数为

??

?

??<≤-<<=其他,021,210,

)(x x x x x f ，

求（1）EX ，（2）||EX X E -。

解：

12

1

()()(2)1

E X x f x dx x xdx x x dx +∞

-∞

==+-=?

?? ，

4．设二维离散型随机变量),(Y X 的联合分布列为

求：（1）)(X E ,)(Y E ；（2）)2(Y X E -,)3(XY E 。

()0.5E X =

()0.3

E Y = (2) (2)10.4(2)0.2(1)0.10.1E X Y -=?+-?+-?=-，

(3)3()310.1E X Y E X Y ==??=。

5．设),(Y X 服从在A 上的均匀分布，其中A 为x 轴、y 轴及直线01=++y x 所围成的区域，求（1）)(X E ; （2）)23(Y X E +- ;（3）)(XY E 。 解：由题意知(,)X Y 的联合密度为：

2

(,)(,)0x y A f x y ∈?=?

?其他

（2）(32)3()2()12()E X Y E X E Y E Y -+=-+=+

12(,)y f x y d x d y

+∞

+∞-∞-∞=+?

?

习题3-2 方差

1. 填空题

（1）设随机变量1X ，2X ，3X 相互独立，其中1~(0,6)X U ，2

~(0,4)X N ，3X 服从参数为3的泊松分布，记12323Y X X X =-+，则()D Y

（2）已知)2,2(~-U X ，2

21Y X =+，则()E Y =，()D Y =__25645_______。

（3）设二维随机变量(,)(1,2,1,1,0)X Y N ，则(25)D X Y -

++=___5_____，

Y X Z +-=2分布为____(5,5)N ______。

2. 设连续型随机变量X 的分布函数为

???

?

???≥<≤-+-<=1,111,21arctan 21,0)(x x x x x

F π

，

求（1）X 的密度函数；（2）(),()E X D X 。

3．设随机变量()X P λ 且[(1)(2)]1E X X --=，随机变量1

(8,)2

Y B 且X 与Y 相互独立，试求(34)E X Y --及(34)D X Y --。

解：由()X P λ 知()E X λ=，()D X λ=. 所以，222

()()(())E X D X E X λλ=+=+. 又

221[(1)(2)]()3()222E X X E X E X λλ=--=-+=-+，故1λ=. 所以，()1E X =，()1D X =.

(34)()3()415E X Y E X E Y --=--=-.

由于X 与Y 相互独立，故(34)()9()19D X Y D X D Y --=+=。

4．设),(Y X 的概率密度为?

??≤≤≤=其它,01

0,12),(2x y y y x f ,试求)(X D 及)(Y D 。

习题3-3 协方差与相关系数

习题3-4 其他特征数

1．填空题

（1）设随机变量(2)X P

，

(0,6)Y U 且XY ρ=，若233Z X Y =--，则()D Z =___23____。

（2）设),(Y X 服从二维正态分布，则0=),(

cov Y X 是X 与Y （3）设),(Y X 服从二元正态分布(0,1,1,4,0.5)N ，则2

(23)E X XY -+=___4_____。 2. 选择题

（1）设X 与

Y 的相关系数0XY ρ= (A)X 与Y 相互独立； (B)X 与Y 不一定相关；

(C)X 与Y 必不相关； (D)X 与Y 必相关

（2）设随机变量X 与Y 的期望和方差存在，且,)(DY DX Y X D +=-，则下列说法哪个是不正

。

(A)()D X Y DX DY +=+； (B)EY EX XY E ?=)(； (C)X 与Y 不相关； (D)X 与Y 独立

3. 已知二维离散型随机变量),(Y X 的概率分布为 8

/18/18/11

8

/10

8

/108/18/18/11

101--X

Y

， （1）求协方差),(cov Y X 及相关系数XY ρ；（2）X 与Y 是否相互独立？是否不相关？ 解：X 及Y 的边缘分布列为：

0XY ρ=,故X 与Y 不相关。

4．设二维连续型随机变量(,

)X Y 的联合密度函数为

2

32,010,(,)0,

x xy x y x f x y ?+≤≤≤≤?=???，

其他.

试求：（1）相关系数XY ρ；（2）X 与Y 是否相互独立？是否不相关？

（2）由于

XY

ρ≠

，所以，X与Y相关. 从而，X与Y不相互独立.

习题4 大数定律与中心极限定理

1.用切比雪夫不等式估计下列各题的概率：

（1）废品率为0.03，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率。

（2）200个新生婴儿中，男孩多于80个且少于120个的概率（假定生男孩和生女孩的概率均为0.5）。

解（1）设X表示1000个产品中废品的个数，则

)

03

.0,

1000

(

~B

X，

所以

1.

29

)

1(

)

(

,

30

03

.0

1000

)

(=

-

=

=

?

=

=p

np

X

D

np

X

E

所求概率

)

10

|

30

(|

)

10

30

10

(

)

40

20

(<

-

=

<

-

<

-

=

<

P

X

P

X

P

在切比雪夫不等式

中取10

=

ε，就有

所以

50

)

1(

)

(

,

100

5.0

200

)

(=

-

=

=

?

=

=p

np

X

D

np

X

E

所求概率

)

20

|

100

(|

)

120

80

(<

-

=

<

P

X

P

在切比雪夫不等式

中取20

=

ε，就有

2. 已知正常成人男性血液中每毫升含白细胞数的平均值是7300个，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计血液中每毫升血液中细胞数在5200~9400之间的概率。

解 以X 表示每毫升含白细胞数，由题设

2

700)(,7300)(==X D X E 而概率

)2100|7300(|)

210073002100()94005200(<-=<-<-=<

在切比雪夫不等式

8889.09/8)2100|7300(|=≥<-X P 。

3. 某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7，假定各机床开关是独立的，开动时每部要消耗电能15个单位。问电厂最少要供应这个车间多少电能，才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产。

解 设X 表示同时开动机床的台数，则)7.0 ,200(~B X

423.07.0200)1()( ,1407.0200)(=??=-==?==p np X D np X E 又设同时开动台数不超过N 的概率为95%。由中心极限定理

得67.150=N ，取151=N ，应供电能226515151=?个单位才能满足要求。

4. 在人寿保险公司里有10000个同一年龄的人参加人寿保险。在这一年中，这些人的死亡率为0.6%，参加保险的人在一年的头一天交付保险费12元，死亡时，家属可以从保险公司领取1000元。求

(1)保险公司一年中获利不少于4000元的概率；

(2)保险公司亏本的概率。

解 设X 表示一年中10000个同龄参保人中死亡的人数，则)006.0,10000

(~B X ，由题意，保险公司的收益为1200001210000=?元，支出为1000X 。由中心极限定理

（1）保险公司一年中获利不少于40000元的概率为

)80()40000

1000120000(<=>-X P X P

（2）保险公司亏本的概率为

)120()1200001000(>=>X P X P

可见保险公司一般不会亏本。

5. 设随机变量4821,,,X X X 相互独立且都在[0，1]上服从均匀分布。令

∑==481481i i

X X ，试用中心极限定理计算)04.02

1

(<-X P 的值。 解 因为

,48,2,1),1,0(

~ =i U X i 所以

从而

于是

6630.018315.021)96.0(2=-?=-Φ≈。

习题5—1 数理统计的基本概念 习题5—2 统计量和抽样分布