数学建模作业 垂钓问题及回归模型假设检验
回归模型的参数估计与假设检验
回归模型的参数估计与假设检验回归模型的参数估计主要包括最小二乘估计和极大似然估计两种方法。
最小二乘估计是以最小化残差平方和为目标，通过对样本数据进行拟合，求得最优的回归系数。
极大似然估计则是基于对数据样本概率分布的假设，利用最大化似然函数来估计回归模型的参数。
最小二乘估计是最常用的参数估计方法之一、它的基本思想是通过最小化实际观测值与模型预测值之间的差异，来估计回归模型的参数。
具体而言，对于简单线性回归模型（y=β0+β1x+ε），最小二乘估计通过最小化残差平方和来求解β0和β1的估计值。
最小二乘估计方法具有许多优点，如解析解存在、估计结果具有线性无偏性、效率性好等。
在最小二乘估计的基础上，还可以进行各种统计检验，用于检验回归系数的显著性。
常见的假设检验方法包括t检验和F检验。
t检验用于测试回归系数是否与零有显著差异。
在回归模型中，t统计量的计算公式为：t=估计值/标准误差其中，估计值是通过最小二乘法得到的回归系数估计值，标准误差则是估计标准误差的估计值。
t统计量的值越大，说明回归系数与零的差异越显著。
F检验用于测试回归模型整体的显著性。
F统计量的计算公式为：F=（回归平方和/自由度）/（残差平方和/自由度）其中，回归平方和表示回归模型能够解释的样本数据方差之和，残差平方和表示回归模型无法解释的样本数据方差之和。
自由度则表示相关统计量中所用到的自由参数个数。
通过计算F统计量的值，可以得到一个关于回归模型整体显著性的p 值。
p值小于给定的显著性水平（通常为0.05或0.01），则拒绝“回归模型无效”的原假设，即认为回归模型整体显著。
回归模型的参数估计和假设检验是回归分析的核心步骤，可以帮助研究者理解因变量和自变量之间的关系，并通过假设检验来进行推断和判断。
这些方法不仅在社会科学和经济学领域有广泛应用，也在相关学科的研究中具有重要意义。
回归模型的参数估计与假设检验讲解
回归模型的参数估计与假设检验讲解回归模型是统计学中常用的一种分析方法，用于研究两个或多个变量之间的关系。
参数估计和假设检验是回归模型中重要的概念和方法，用于推断变量之间的关系是否显著。
在回归模型中，参数估计是利用样本数据来推断回归方程中的参数值，从而描述和预测变量之间的关系。
具体来说，对于简单线性回归模型，我们可以通过最小二乘法来估计回归方程的参数，即使得模型的误差平方和最小。
最小二乘法的计算方法可以简洁地表达为：$\min \sum{(y_i - (\beta_0 + \beta_1x_i))^2}$其中，$y_i$表示观测到的因变量的值，$x_i$表示观测到的自变量的值，$\beta_0$和$\beta_1$分别是截距和斜率的估计值。
通过求解这个最小化问题，我们可以得到最佳的参数估计。
而假设检验则是用来评估回归模型中参数估计的显著性。
在假设检验中，我们对参数的假设提出一个原假设和一个备择假设。
原假设通常是参数等于一个特定的值，而备择假设则是参数不等于该值。
假设检验的步骤包括计算检验统计量、确定临界值、进行推断。
常用的假设检验方法有t检验和F检验。
在简单线性回归模型中，假设检验通常用于评估斜率参数$\beta_1$的显著性。
例如，我们可以设定原假设为斜率等于零，备择假设为斜率不等于零。
然后，通过计算t统计量和查表得到拒绝或接受原假设的结论。
在多元回归模型中，假设检验可以用于评估各个自变量的显著性，或者评估整个模型的显著性。
对于自变量的显著性评估，常用的方法是利用t检验确定各个参数的置信区间，判断参数是否显著不为零。
对于整个模型的显著性评估，常用的方法是利用F检验检验回归方程的整体显著性，即检验自变量对因变量的解释程度是否显著。
除了参数估计和假设检验，回归模型还可以进行模型诊断和模型选择。
模型诊断用于检验回归模型的合理性和假设的满足情况，主要包括检验误差项的正态性、异方差性和自相关性等。
模型选择则是在多个可能的模型之间选择一个最佳的模型，常用的标准包括最小二乘法、最大似然法和贝叶斯信息准则。
数学建模实验报告最优捕鱼策略
最优捕鱼策略一.实验目的：1、了解与熟练掌握常系数线性差分方程的解法；2、通过最优捕鱼策略建模案例，使用MATLAB软件认识与掌握差分方程模型在实际生活方面的重要作用。
二.实验内容：（最优捕鱼策略）生态学表明，对可再生资源的开发策略应在事先可持续收获的前提下追求最大经济效益。
考虑具有4个年龄鱼：1龄鱼，…，4龄鱼的某种鱼。
该鱼类在每年后4个月季节性集中产卵繁殖。
而据规定，捕捞作业只允许在前8个月进行，每年投入的捕捞能力固定不变，单位时间捕捞量与个年龄鱼群条数的比例称为捕捞强度系数。
使用只能捕捞3、4龄鱼的13mm网眼的拉网，其两个捕捞强度系数比为:1.渔业上称这种方式为固定力量捕捞。
该鱼群本身有如下数据：1．各年龄组鱼的自然死亡率为（1/年），其平均质量分别为,,,（单位：g）；2．1龄鱼和2龄鱼不产卵，产卵期间，平均每条4龄鱼产卵量为ⅹ105（个），3龄鱼为其一半；3．卵孵化的成活率为ⅹ1011/（ⅹ1011 + n）（n为产卵总量）；有如下问题需要解决：1）分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时各年龄组鱼群不变），并在此前提下得到最高收获量；2）合同要求某渔业公司在5年合同期满后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏，承包时各年龄组鱼群数量为122,,,（ⅹ109条），在固定努力量的捕捞方式下，问该公司应采取怎样的捕捞策略，才能使总收获量最高。
三. 模型建立假设a、鱼群总量的增加虽然是离散的，但对大规模鱼群而言，我们可以假设鱼群总量的变化随时间是连续的；b、龄鱼到来年分别长一岁成为i + 1龄鱼，i = 1，2，3；c、4龄鱼在年末留存的数量占全部数量的比例相对很小，可假设全部死亡。
d 、连续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期性变化，周期为1年，可以只考虑鱼群数量在1年内的变化情况。
（且可设x i （t ）：在t 时刻i 龄鱼的条数，i = 1，2，3，4；n ：每年的产卵量；k ：4龄鱼捕捞强度系数；2a i0：每年初i 龄鱼的数量，i = 1，2，3，4；）进而可建立模型如下：max （total （k ））=⎰⎰+3/203/2043)(99.22)(42.0dt t kx dt t kx)(8.0)(11t x dtt dx -= t ∈[0，1]，x1（0）= n ×n +⨯⨯11111022.11022.1 )(8.0)(22t x dt t dx -= t ∈[0，1]，x2（0）= x1（1）)()42.08.0()(33t x k dt t dx +-= t ∈[0，2/3]，x3（0）= x2（1） . )(8.0)(33t x dt t dx -= t ∈[2/3，1]，x3（32-）= x3（32+）)()8.0()(44t x k dt t dx +-= t ∈[0，2/3]，x4（0）= x3（1）)(8.0)(44t x dt t dx -= t ∈[2/3，1]，x4（32-）= x4（32+）)]32()32(5.0[10109.1435++⨯=x x n四. 模型求解（含经调试后正确的源程序）1. 先建立一个的M 文件：function y=buyu(x);global a10 a20 a30 a40 total k;syms k a10;x1=dsolve('Dx1=*x1','x1(0)=a10');t=1;a20=subs(x1);x2=dsolve('Dx2=*x2','x2(0)=a20');t=1;a30=subs(x2);x31=dsolve('Dx31=-+*k)*x31','x31(0)=a30');t=2/3;a31=subs(x31);x32=dsolve('Dx32=*x32','x32(2/3)=a31');t=1;a40=subs(x32);x41=dsolve('Dx41=-+k)*x41','x41(0)=a40');t=2/3;a41=subs(x41);x42=dsolve('Dx42=*x42','x42(2/3)=a41');t=2/3;a31=subs(x31);nn=*10^5**a31+a41);Equ=a10-nn**10^11/*10^11+nn);S=solve(Equ,a10);a10=S(2,1);syms t;k=x;t3=subs(subs(int*k*x31,t,0,2/3)));t4=subs(subs(int(k*x41,t,0,2/3)));total=*t3+*t4;y=subs((-1)*total)2.再建立一个的M文件：global a10 a20 a30 a40 total;[k,mtotal]=fminbnd('buyu',0,20);ezplot(total,0,25);xlabel('');ylabel('');title('');format long;ktotal=-mtotal;a10=eval(a10)a20=eval(a20)a30=eval(a30)a40=eval(a40)format shortclear五．结果分析1．鱼总量与时间图：x 10405101520252.可以看出捕捞强度对收获量的影响：实验输出数据：y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =y =+011k =total =+011a10 =+011a20 =+010a30 =+010a40 =+007则k=时，最高年收获量为total=×1011（克），此时每年年初1，2，3，4年龄组鱼的数量分别为：×1011×1010×1010×107六．实验总结本次实验的目的是了解差分方程（递推关系）的建立及求解，以及掌握用差分方程（递推关系）来求解现实问题的方法。
鲈鱼数学建模实验报告材料
0 0 0 0 000
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（3） 假设由于工业污染使卵的成活率降低 25%，幼鱼的成活率降 低 15%，成年鱼的成活率降低 10%，对鲈鱼年龄分布结构进 行特征分析，并预测种群的发展趋势：经过几年后，可捕捞 的鱼数减半.
（4） 能否将模型简化？对简化的模型进行特征值分析，并讨论达 到稳定的年龄分布的时间.将所得结果与(1)，(2)进行比较。
的比例的
（1） 当 ＞1 时，鱼数目最终是递增的.
（2） 当 ＜1 时，鱼数目最终是递减的.
（3） 当 =1 时，鱼数目是稳定的. 当由于工业污染的影响，使不同年龄组的鱼的成活率降低的时候， 只需要改变相应的 和 的大小，使用同样的模型进行求解。
五、 模型求解
（1） 利用 matlab 中的 eig 函数求矩阵的特征值，从特征值中选取 最大的即为矩阵的最大特征值 . 在 matlab 中输入如下指令
0
0
0 0 0 00
0 0 0 0 0.5688 0 0 0
0
0
0 0 0 00
0 0 0 0 0 0.5688 0 0
0
0
0
0
0
00
0 0 0 0 0 0 0 0.5688
记
X(0)= X(0)=
数学建模—最佳捕鱼方案
三、 符号说明
;当k 1 x ：表示 i 龄鱼第 j 年的年初（或年末）的鱼量（ k 0或1， 当k 0时， 表示年初 时表示年末。 i 1,2,3,4; j 1,2, ） 条 ； r ：表示各年龄组鱼群的死亡率： 0.8(1 年) ； ：表示 4 龄鱼的捕捞强度系数，则 3 龄鱼的捕捞强度系数为 0.42 ； n ：产卵总量 个 ； Z：捕鱼总重量 g ； xij t ：表示第 j 年 t 时刻 i 龄鱼的数量 条 ； j ：表示第 j 年的捕鱼总量；
4
年 收 获 总 量 （ g）
4.2 4.15 4.1 4.05 4 3.95 3.9 3.85
x 10
11
3.8 0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
死 亡 率 （ 1/ 年 ）
由上图可直观地看出：死亡率与年收获总量成正比例关系，即当死亡率增加时， 年收获总量则减少；反之，增加。由此可知，死亡率对年收获总量有显著的影响。 2．对模型中捕捞强度系数 的灵敏度分析 模型中其它因素不变， 只考虑 从 10 变到 19 时最大的年收获总量的变化情况， 分析 的变化对模型的影响（见下图）
年 收 获 总 量 （ g）
3.95 x 10
11
3.9
3.85
3.8
3.75
3.7
3.65
3.6
3.55
3.5 10
11பைடு நூலகம்
12
13
14
15
16
17
18
19
4龄 鱼 的 捕 捞 强 度 系 数
由上图可直观地看出：捕捞强度系数也是影响年收获总量的重要因素，年收获总量 随捕捞强度系数的增加而增加。只是增长速率逐渐减慢。 七、 模型评价与推广 模型的评价： 优点：1. 本文建立的模型与实际相联系，考虑到一些实际情况，从而使模型较贴近实 际；通用性.，推广性较强。 2．模型方便、直观，可以实现计算机模拟。 缺点： 1．模型虽然考虑到了很多因素，但为了建立模型，忽略了一些影响因素，具有 一定的局限性。 2．在建模过程中，简化了一些因素，得到了最优方案可能与实际有一定的出入。 模型的推广： 模型建立思想不但适合捕鱼方面，而且适合其它相关方面，只需稍加改动即可。
数学建模作业垂钓问题及回归模型假设检验
数学建模作业垂钓问题及回归模型假设检验****⼤学学⽣数学建模作业指导教师作者姓名班级学号上交⽇期2010-12-24注：上课时间周六上午第⼀讲1、⼀垂钓俱乐部⿎励垂钓者将钓上的鱼放⽣，打算按照放⽣的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了⼀把软尺⽤于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的⽅法，假定鱼池中只有⼀种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼⾝的解：我们假定池中只有⼀种鱼。
对于这⼀种鱼其体型和形状是相似的，密度也⼤体上是相同的。
⼀、模型建⽴主要符号说明如下:W——鱼的重量、l——鱼的⾝长、d----鱼的胸围即鱼的最⼤周长、K1---第⼀种数学估计模型中的系数K2---第⼆种数学估计模型中的系数１，建⽴的第⼀种数据估计模型为：重量ｗ与⾝长ｌ的⽴⽅成正⽐，即W＝K13l2，建⽴的第⼆种数据估计模型为：横截⾯积与鱼⾝最⼤周长的平⽅成正⽐，即W=K22d l（⼀）第⼀种数据估计模型对于同⼀种鱼，不访认为其整体形状是相似的，密度也⼤体上相同，所以重量w与⾝长l的⽴⽅成正⽐，即W＝K13l,K1为⽐例系数。
把实际测得的数据代⼊W＝K13l计算⽐例系数K1。
计算出实际测得的⾝长的平均值为: 36.8计算出实际测得的重量的平均值为：765.375把W=765.375,l=36.8代⼊W＝K13l计算得：K1≈0.0153（⼆）第⼆种数据估计模型常调得较肥的鱼的垂钓者不⼀定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假设鱼的模截⾯是相似的，则横截⾯积与鱼⾝最⼤周长的平⽅成正⽐，于是W=K22d l，K2为⽐例系数。
把实际测得的数据代⼊W=K22d l计算⽐例系数K2。
计算出实际测得的胸围的平均值为：24.5875把W=765.375,d=24.5875, l=36.8,代⼊W=K22d l计算得：K2≈0.0344 （三）第⼀种数据估计模型和第⼆种数据估计模型与实际情况的⽐较⽐较第⼀种数据估计模型和第⼆种数据估计模型与实际情况的差别，并计算误差。
数学建模捕鱼模型
绘制算法流程图
——学习一种经典算法（例如求解最短路问题的Dijkstra算法），绘制出该算法的流程图。
解：最短路问题的Floyd算法：Floyd算法的基本思想是：问题分解，先找出最短的距离.然后在考虑如何找出对应的行进路线。
用到动态规划的知识，对于任何一个城市而言，i到j的最短距离不外乎存在经过i与j之间的k和不经过k两种可能，所以可以令k=1，2，3，...，n(n是城市的数目)，在检查d(ij)与d(ik)+d(kj)的值；在此d(ik)与d(kj)分别是目前为止所知道的i到k与k到j的最短距离，因此d(ik)+d(kj)就是i到j经过k的最短距离。所以，若有d(ij)>d(ik)+d(kj)，就表示从i出发经过k再到j的距离要比原来的i到j距离短，自然把i到j的d(ij)重写为d(ik)+d(kj)，每当一个k查完了，d(ij)就是目前的i到j的最短距离。重复这一过程，最后当查完所有的k时，d(ij)里面存放的就是i到j之间的最短距离了。
若将h=rN/4代入模型求解，可得 ，其中c由初始值确定，若x（0）<N/2,t趋近于无穷时，x(t)不会趋向N/2，即 不稳定。
(2)由图可知，要获得最大持续产量，应使池场鱼量x>N/2,且尽量接近N/2。
2.
模型为 ，如上图所示，有两个平衡点：x=0和 。可证x=0不稳定， 稳定（与ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ和r的大小无关）。最大持续产量为 ，相对应的 ，
设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h=Ex。讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量 及获得最大产量的捕捞强度 和渔场鱼量水平 。
解：
1．
模型为 。
（1）平衡点由F（x）=0确定；当h<rN/4时，有2个平衡点 (<N/2), (>N/2).经判断得 不稳定， 稳定。当h=rN/4时，平衡点 =N/2。由 不能判断其稳定性，但因为对于x> 及x< 均有F（x）<0,及 <0,所以 不稳定。
数学建模课程设计_最佳捕鱼方案
数学建模论文姓名: 文勇学号：201315020220论文标题：最佳捕鱼方案1.问题的提出一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。
水库现有水位平均为15米，自然放水每天水位降低0.5米，经与当地协商，水库水位最低降至5米，这样预计需要二十天时间，水位可达到目标。
据估计水库内尚有草鱼25000余公斤，鲜活草鱼在当地市场上，若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在500—1000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤，已处于饱和，捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。
同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%。
承包人提出了这样一个问题：如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？2.问题分析通过简单的分析和思考，该问题可以归为一个数学规划问题。
条件（1）（2）是针对目前状况的约束，条件（3）是通过卖鱼可以获得的利润，条件（4）是对成本的约束。
在四个条件约束的情况下，我们可以建立模型。
由于对损失率的理解不同，我们进行了不同的假设，并在这些假设下建立了模型一和模型二、三。
模型一中，损失率是基于水库草鱼的总量，草鱼的损失是一些定值的累加。
而在模型二、三中，为了更接近现实生活中的情况及人们的认知观，我们对第n天草鱼的损失率的理解是基于第n-1天剩下的草鱼而言。
模型二将不考虑日供应量超过1500kg的情况，而模型三考虑。
模型三的建立采用多目标的规划方法进行求解。
3.条件假设1、日供应量不受外界条件的变化而变化，是一定的。
2、当天售出的草鱼数量等于当天捕捞的草鱼。
3、水位的变化除了每天的自然放水，不考虑蒸发等其他的情况。
4、假设在放水清库的过程中，随着水位的下降,捕捞成本成呈递减等差数列，而草鱼的损失成递增等差数列。
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****大学学生
数学建模
作业
指导教师
作者姓名
班级学号
上交日期2010-12-24
注：上课时间周六上午第一讲
1、一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法，假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的
解：我们假定池中只有一种鱼。
对于这一种鱼其体型和形状是相似的，密度也大体上是相同的。
一、模型建立
主要符号说明如下:
W——鱼的重量、l——鱼的身长、d----鱼的胸围即鱼的最大周长、
K1---第一种数学估计模型中的系数
K2---第二种数学估计模型中的系数
１，建立的第一种数据估计模型为：
重量ｗ与身长ｌ的立方成正比，即W＝K13l
2，建立的第二种数据估计模型为：
横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，即W=K22d l
（一）第一种数据估计模型
对于同一种鱼，不访认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同，所以重
量w与身长l的立方成正比，即W＝K13l,K1为比例系数。
把实际测得的数据代入W＝K13l计算比例系数K1。
计算出实际测得的身长的平均值为: 36.8
计算出实际测得的重量的平均值为：765.375
把W=765.375,l=36.8代入W＝K13l计算得：K1≈0.0153
（二）第二种数据估计模型
常调得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假设鱼的模截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，
于是W=K22d l，K2为比例系数。
把实际测得的数据代入W=K22d l计算比例系数K2。
计算出实际测得的胸围的平均值为：24.5875
把W=765.375,d=24.5875, l=36.8,代入W=K22d l计算得：K2≈0.0344 （三）第一种数据估计模型和第二种数据估计模型与实际情况的比较
比较第一种数据估计模型和第二种数据估计模型与实际情况的差别，并计算误差。
计算结果如表1所示：
计算出第二种数据估计模型与实际情况的误差为2.50%
由上述计算结果知，第二种数据估计模型与实际情况的误差小于第一种数据估计模型与实际情况的误差。
所以，应选用W=K22d l来建立数学模型。
（2）以显著性水平a=0.05，检验假设H。
b=0
（3）求广告费x=35时，销售额的点预测和区间预测。
解：（1）本题是要分析广告费x与销售额y的关系，首先根据题中所给的数据可以发现y随x的增加有比较明显的线性关系。
所以可以用线性模型
y=b1+b2*x+ε
其中b1，b2为回归参数，ε为随机误差。
再根据题中给定的数据用matlab统计工具箱中的regress命令求解，使用
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)
求解出b1，b2的估计值 b1=319.0863 b2=4.1853
所以得到回归分析模型的预测方程
y=319.0863+4.1853*x
（2）对模型的检验
由于R^2= 0.5908 表示变量y的59.08%可以由模型确定
F=14.4384远远超过F的检验临界值，p= 0.0035 远远小于a=0.05，因而模型从整体上来看还可以。
（3）模型预测
由于模型预测方程为
y=319.0863+4.1853*x
当x=35时，带入模型预测方程可以的求出
y=319.0863+35*4.1853
得到点预测值 y= 465.5718
由于销售额y的置信度为95%的预测区间为[442.2932, 490.0756]
matlab程序如下：
x=[40 25 20 30 40 40 25 20 50 20 50 50]';
y=[490 395 420 475 385 525 480 400 560 365 510 540]';
x=[ones(12,1),x];
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)
3 某银行经理计划用一笔资金进行有价证劵的投资，可供购进的证劵以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。
按照规定，市政证劵的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。
此外还有以下限制：
(1)政府及代办机构的证劵总共至少要购进400万元；
(2)所购证劵的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小，信用程度越高)；
(1)若该经理有1000万元，应如何投资？
(2)如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？
(3)在1000万元资金的情况下，若证劵A的税前收益增加为4.5%，投资应否改
变？若证劵C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？
解：1、首先分析这个问题。
对于投资问题，当然是投入一定的资金使收益最大。
然而本题对于各种投资又有一定的限制，因此可以用线性规划来求解最大收益。
对于每种证券只有投资和不投资两种情况，这样就可以引入0——1规划（即对于第i种证券，投资则yi值取1，不投资则yi取值0）。
可以设对第i种证券的投资金额为xi。
再根据每种投资的收益和税收的关系pi和总投资金额c可以建立出线性规划模型。
根据题意建立目标函数
∑=yi *xi *pi max
根据题意得到约束条件
（1） 政府及代办机构的证劵总共至少要购进400万元，这样可以建立个
约束条件
400yi *x i 4
2>=∑
（2）所购证劵的平均信用等级不超过1.4。
因为对于投资多少的不同，与投资者对这项投资关注程度不同。
因此引用程度与投资多少成比例，再由第i 种证券的信用等级qi ，这样建立约束条件
∑<=4.1yi/c *xi *qi
（3）所购证劵的平均到期年限不超过5年,这个与信用差不多，令第i 中
投资的到期年限为ri ，同理可以建立约束条件
∑<=5yi/c *xi *ri
（4）由于投资者的资金有限 这样可以建立对资金的约束条件 1000xi <=∑
（5） 对每种证券选与不选符合0——1变化，即建立约束条件
@bin (yi)
再用lingo 来求解出投资的最大值利润与对各种证券的投资情况
即投资者的1000万投资情况是：对A 投资233.333万，对C 投资683.333万，对E 投资83.333万。
这样的总利润是 30.86667万
第一问的lingo 程序
max =x1*0.043*y1+x2*0.054*0.5*y2+x3*0.025*y3+x4*0.022*y4+x5*0.045*y5; x1*y1+x2*y2+x3*y3+x4*y4+x5*y5<=1000;
x2*y2+x3*y3+x4*y4>=400;
2*y1*x1/1000+y2*x2/1000+y3*x3/1000+y4*x4/1000+3*y5*x5/1000<=1.4;
9*y1*x1/1000+15*y2*x2/1000+4*y3*x3/1000+3*y4*x4/1000+2*y5*x5/1000<=5; @bin (y1);
@bin (y2);
@bin (y3);
@bin (y4);
@bin (y5);
End
2、对于第二问，即是投资的投资资金可以在增加不到100万的情况下使利润达到最大。
假设投资金额为z 。
第二问即是在第一问的情况下增加约束条件
Z<=100
这样是目标函数变为
0.0275*z yi *xi *pi max -=∑
变化的约束条件还有对于投资者的资金有限这样可以建立对资金的约束条件
∑
<=
1000
xi+
z
这样仿照第一问的求解过程可以用lingo求解出
求解得出z=100说明贷款100万，对A投资150万，对C投资875万，对E 投资75万。
总利润是31.7万，笔贷款钱获利多了。
3）第三问就是单个的某种证券的税前收益发成了变化，这样把变化的收益带入程序就可以得出投资情况。
若证劵A的税前收益增加为4.5%得到投资情况求解得出对A投资233.3333万，对C投资683.3333 万，对E投资83.33333万。
总利润是31.33333万。
若证劵C的税前收益减少为4.8%得到投资情况得出对A投资233.3333万，对C 投资683.3333 万，对E投资83.33333万。
总利润是30.18333万
这两种变化只是使利润发生了变化，对投资情况没有影。