数学模型作业
数学建模作业
题目在5.6节人口预测和控制模型中，总和出育率)(t β和生育模式),(t r h 是两种控制人口增长的手段。
试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妇只生一个孩子、晚婚晚育，以及生育第二胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。
摘 要针对中国人口的实际特点，建立人口分布函数。
收集数据得到中国人口随年份变化的增长率，解决中国人口中短期和长期的人口预测与控制问题。
首先，将人口的预测问题转化为对出生率的预测，通过对数据的分析研究，发现影响人口增长的主要因素可归结为出生率及生育模式的变化，并依次建立不同参数随时间变化的递推数学模型从而讨论各个参数对人口增长的影响。
利用Gamma 函数拟合死亡率对年龄的分布，建立人口分布函数模型，由于概率分布是相对稳定的。
所以对人口预测而言其结果具有可控性，由此可以为我国的计划生育政策作出贡献。
关键词：人口控制；人口分布函数；生育模式一、问题重述在5.6节人口预测和控制模型中，总和出育率)(t β和生育模式),(t r h 是两种控制人口增长的手段。
试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妇只生一个孩子、晚婚晚育，以及生育第二胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。
二、问题分析据了解，我国人口总数占世界人口总数的22%，居世界第一，虽然在二十世纪八十年代就已经开始控制人口，但人口增长的脚步依然没有停下，人口老年化问题也越来越严重，所以现在开始提倡一对夫妻只能生一个孩子、晚婚晚育以及定下了一些关于第二胎的政策。
所以，考虑用微分方程中生育率和生育模式来求解问题。
三、模型假设1.时刻t 年龄小于r 的人口2.在社会安定的局面下和不太长的时间里，死亡率大致与时间无关3.无重大天灾人祸，死亡率出生率大致与时间无关。
4.人口统计数据不存在大的误差。
四、符号说明1.人口分布函数记作),(t r F ；2.婴儿的出生率记为)(),0(t f t p =；3.时刻t 、年龄r 的人的死亡率记为),(t r μ；4.dr t r p t r ),(),(μ表示时刻t 年龄在[]dr r r +,内单位时间的死亡人数；5.)(0r p 是人口调查得到的已知函数；6.婴儿的出生率记为)(t f ；五、模型建立由问题假设我们可以得到各个年龄段的人口数，即人口分布函数为： ds t s p t r F r⎰=0),(),(由于在社会安定的局面下和不太长的时间里，死亡率大致与时间无关，于是可近似的假设)(),(r t r μμ=因为)(0r p 与)(r μ可由人口统计数据得到，所以),(t r μ可由)0,(r μ粗略估计，为了预测和控制人口的发展状况，我们需要关注和可以用作控制的就是婴儿的出生率)(t f ，因此我们主要通过讨论)(t f 来研究人口的研究与控制。
经典数学模型作业
经典数学模型课程名称：经典数学模型院系：班级：姓名：学号：3 在5.2节经济增长模型中，为了适用于不同的对象可将产量函数()Q t 折算成现金，仍用()Q t 表示。
考虑到物价上升因素我们记物价上升指数为()p t (设(0)1p =)，则产品的表面价值()y t 、实际价值()Q t 和物价指数()p t 之间满足()()()y t Q t p t =。
（1）导出()y t ，()Q t ，()p t 的相对增长率之间的关系，并作出解释。
（2）设雇佣工人数目为()L t ，每个工人工资()w t ，企业的利润简化为从产品的收入()y t 中扣除工人工资和固定成本。
利用道格拉斯生产函数讨论，企业应雇佣多少工人能使利润最大。
解：（1）由()()()y t Q t p t =得pp Q Q y y += 即产品的表面价值增长率等于实际价值增长率与价格指数增长率之和。
（2）设企业的固定成本为()c t ，则利润为()()()()()R t y t w t L t c t =--，又()()()y t Q t p t =， 1()()()01Q t cK t L t ααα-=<<则代入()R t 得表示为()w t 的函数得如下关系是1[()]()()()()()()J w t cK t L t p t w t L t c t αα-=--，由0J w ∂=∂得 α-=''1/1))()(()(t w t rap t w 经验证此时22001J w α∂<<<∂，所以此时取得极大值4 在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为/4a b =，初始兵力0x 与0y 相同。
（1）问乙方取胜时的剩余兵力是多少，乙方取胜的时间如何确定？（2）若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援，重新建立模型，讨论如何判断双方的胜负。
解：（1）乙方取胜时剩余兵力为02020123)(y a bx ay t y =-= 要确定乙方获胜时间1t 需求解方程00)0(,)0(,,y y x x bx y ay x==-=-= 可得 ()()[]2/)(0000ab t ab te b a y x e b a y x t x -++-=令0)(1=t x 且由4=b a 可得 b t 43ln 1=，（1t 与甲战斗有效系数b 成反比）（2）在这种情况下r ay x+-= 相轨线为202022bx ry ay k bx ry ay --==--,轨线上移ar 2 乙方取胜条件为0>k即22202042a r x a b a r y +>⎪⎭⎫ ⎝⎛- 12 建立耐用消费品市场销售量模型。
数学模型作业
数学模型作业如何施救药物中毒问题的调查与分析⼈体服⽤⼀定药物后，⾎药浓度与⼈体的⾎液总量有关。
⾎液总量约为体重的7%到8%，即体重50~60kg 的成年⼈有4000ml 的⾎液。
孩⼦的体重约为成年⼈的⼀半，其⾎液约为2000ml 。
⾎液系统中的⾎药浓度与药量之间可以相互转换，⾎液系统的吸收率与胃肠道中药量呈正⽐，排除率与⾎液中药量呈正⽐。
⾎液系统对药物的吸收和排除率可以由半衰期决确定。
从说明书上可以看出，氨茶碱吸收的半衰期约为5h ，排除的半衰期为6h 。
临床施救⽅法⼀为⼝服活性炭，药物排除率为原来两倍。
⼀为⾎液透析，药物排出率增加到原来六倍。
模型的假设与建⽴记孩⼦胃肠道中的药量为x （t ）,,⾎液系统中的药量为y （t ），成⼈胃肠道中的药量为。
时间t 以孩⼦和成⼈服药的时刻开始为起点，根据前⾯的调查分析，可以做出如下假设： 1胃肠道中的药物向⾎液系统中的转移率与药量x （t ）成正⽐，⽐例系数为λ(>0)；总剂量1100mg 的药物在t=0瞬间进⼊肠道。
2 ⾎液系统中的药物的排除率与药量y （t ）成正⽐，⽐例系数为α>0）；t=0时⾎液中⽆药物3 氨茶碱被吸收的半衰期为5h ，排除的半衰期为6h ；4 孩⼦的⾎液总量为2000ml由假设x dt dx λ-=÷1100)0(=x0)0(,=-=÷y y x dt dy αλ模型求解t e t x λ-=1100)(，由药物吸收半衰期5h 得01386=λt et x 1386.01100)(-=)(1100)(t t e e t y λαλ---=，由药物排除半衰期6h 得1155.0=α)(6600)(1386.01155.0t t e et y ---=结果分析作图孩⼦总⾎液量2000ml ，出现严重中毒和致命的⾎液中药量达到200mg 和400mg ，由图知约在两⼩时达到200mg ，五⼩时到400mg 。
数学建模课作业范例
数学建模课作业范例范例题目：一家具公司签定了一项合同，合同要求在第一个月月底前，交付80把椅子，在第二个月月底前，交付120把椅子。
若每月生产x把椅子时，成本为50x+0.2x2(元)；如第一个月生产的数量超过订货数，每把椅子库存一个月的费用是8元。
公司每月最多能生产200把椅子。
求完成以上合同的最佳生产安排。
家具公司最佳生产安排问题一问题的提出一家具公司签定了一项合同，合同要求在第一个月月底前，交付80把椅子，在第二个月月底前，交付120把椅子。
若每月生产x把椅子时，成本为50x+0.2x2(元)；如第一个月生产的数量超过订货数，每把椅子库存一个月的费用是8元。
公司每月最多能生产200把椅子求成以上合同的最佳生产安排。
二假设与变量说明1.）模型假设1.椅子的成本和库存费没有变化2.该公司签定的合同并未发生变化3.该公司生产的椅子质量合格4.除了成本费和库存费并未产生其他额外的费用2）变量说明x1: 公司第一个月生产的椅子数x2: 公司第二个月生产的椅子数y1: 公司第一个月的成本费y2: 公司第二个月的成本费z: 库存费Y: 总的费用三模型分析和建立1. 模型分析：该家具公司需要每月制定一个最佳的椅子生产数（x1、x2）,使该公司完成合同所需成本最小，而获得最大利润。
本模型的问题焦点就是确定最小成本，即使Y=y1+y2+z最小的数学问题。
2. 模型建立第一个月的生产成本：y1=50x1+0.2x12第二个月的生产成本：y2=50x2+0.2x22所需库存费： z=(x1-80)*8总成本: Y=y1+y2+z=(50x1+0.2x12)+(50x2+0.2x22)+(x1-80)*8其中：x1 +x2=200 80≤x1≤200综上所述，可建立如下数学模型:Min Y=(50x1+0.2x12)+(50x2+0.2x22)+(x1-80)*8 s.t 80≤x1≤200x 1 + x2=200四.求解用LINGO对模型直接求解，输入格式为：model:min=(50*x1+0.2*x1^2)+( 50*x2+0.2*x2^2)+8*(x1-80);x1>=80;x1<=200;x1+x2=200;end运行后结果为:Optimal solution found at step: 4Objective value: 14120.00Variable Value Reduced CostX1 90.00000 0.0000000X2 110.0000 0.0000000Row Slack or Surplus Dual Price1 14120.00 1.0000002 9.999998 0.2158310E-053 110.0000 0.00000004 0.0000000 -94.00000五.结果与分析由计算可知，当x1=90,x2=110时成本费最底，所以生产的最佳安排是第一月生产90把椅子，第二月生产110把椅子.。
数学建模作业
题目：
某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10,15,25,20台同一规格的 柴油机。
已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如下表所示，如果生产出的柴油机当季不交货，每台积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元，建立一个数学模型（不要求求解），要求在完成合同的情况下，使该厂全年生产
解： 设ij x 为第i 季度生产的用于第j 季度交货的柴油机的台数，则由题意 ：
=+++=++=+=20
251510
44342414332313221211x x x x x x x x x x
又由生产能力的要求，有
<+++<++<+<25
35301413121124232234334410x x x x x x x x x x
再设ij c 表示第i 季度生产的用于第j 季度交货的每台柴油机的实际成本，其值如下表：
设i a 表示第j 季度的生产能力，j b 表示第i 季度的合同供应量，则建立本问题模型：
∑∑===414
1
i j ij ij x c z min
4
14
1≥=∑≤∑==ij j i ij
i j ij x b x a x t s .
.。
数学模型大作业
数学模型作业二：水泥凝固放热的线性回归模型要求用四种方法求解。
某种水泥在凝固时放出的热量Y（卡/克）与水泥中下列四种化学成分有关：X1：3CaO：Al2O3的成分（％），X2：3CaO：SiO2的成分（％），X3：4CaO：Al2O3：Fel2O3的成分（％），X4：2CaO：SiO2的成分（％）。
解：分别应用前进法、后退法、逐步回归法和最优子集四种方法。
（1）前进法SAS程序运行结果如下：Forward Selection: Step 1Variable X4 Entered: R-Square = 0.6745 and C(p) = 138.7308Analysis of VarianceSum of MeanSource DF Squares Square F Value Pr > FModel 1 1831.89616 1831.89616 22.80 0.0006Error 11 883.86692 80.35154Corrected Total 12 2715.76308Parameter StandardVariable Estimate Error Type II SS F Value Pr > FIntercept 117.56793 5.26221 40108 499.16 <.0001X4 -0.73816 0.15460 1831.89616 22.80 0.0006Bounds on condition number: 1, 1Forward Selection: Step 2Variable X1 Entered: R-Square = 0.9725 and C(p) = 5.4959Analysis of VarianceSum of MeanSource DF Squares Square F Value Pr > F Model 2 2641.00096 1320.50048 176.63 <.0001 Error 10 74.76211 7.47621Corrected Total 12 2715.76308Parameter StandardVariable Estimate Error Type II SS F Value Pr > FIntercept 103.09738 2.12398 17615 2356.10 <.0001X1 1.43996 0.13842 809.10480 108.22 <.0001X4 -0.61395 0.04864 1190.92464 159.30 <.0001Bounds on condition number: 1.0641, 4.2564Forward Selection: Step 3Variable X2 Entered: R-Square = 0.9823 and C(p) = 3.0182Analysis of VarianceSum of MeanSource DF Squares Square F Value Pr > F Model 3 2667.79035 889.26345 166.83 <.0001 Error 9 47.97273 5.33030Corrected Total 12 2715.76308Parameter StandardVariable Estimate Error Type II SS F Value Pr > FIntercept 71.64831 14.14239 136.81003 25.67 0.0007X1 1.45194 0.11700 820.90740 154.01 <.0001X2 0.41611 0.18561 26.78938 5.03 0.0517X4 -0.23654 0.17329 9.93175 1.86 0.2054Bounds on condition number: 18.94, 116.36No other variable met the 0.5000 significance level for entry into the model.Summary of Forward SelectionVariable Number Partial ModelStep Entered Vars In R-Square R-Square C(p) F Value Pr > F1 X4 1 0.6745 0.6745 138.731 22.80 0.00062 X1 2 0.2979 0.9725 5.4959 108.22 <.00013 X2 3 0.0099 0.9823 3.0182 5.03 0.0517在前进法中，模型中变量从无到有依次选一变量进入模型，并根据该变量在模型中的Ⅱ型离差平和(SS2)计算F统计量及P值。
(完整版)数学模型(第四版)课后详细答案
数学模型作业六道题作业一1.P56.8一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：先用机理分析建立模型，再用数据确定参数。
解：要求鱼的体重，我们利用质量计算公式：M=ρV。
我们假定鱼池中是同一种鱼，于是可以近似地考虑其密度是相同的。
至于鱼的体积问题，由于是同一种类，可以假定这种鱼在体型上是一致的。
我们假设鱼的体积和鱼身长的立方成正比。
即：V=k 1L 3，因此，模型为：……………………………模型一33111M V k l K L ρρ===利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 1，如下图1所示：图1从图1结果可以得到参数K 1=0.014591，所以模型为：31M 0.014591 L =上述模型存在缺陷，因为它把肥鱼和瘦鱼同等看待。
因此，有必要改进模型。
如果只假定鱼的横截面是相似的，假设横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，即：V=k 2d 2L ，因此，模型为：身长/cm 36.831.843.836.832.145.135.932.1质量/g 76548211627374821389652454胸围/cm24.821.327.924.821.631.822.921.6t h i ng sin………………………………模型二22222M V k d K d L L ρρ===利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 2，如下图2所示：图2从图2可以得到参数K 2=0. 032248，所以模型为：22M 0.032248d L=将实际数据与模型结果比较如表1所示：表1实际数据M 76548211627374821389652454模型一M 1727.165469.2141226.061727.165482.6291338.502675.108482.619模型二M 2729.877465.2481099.465729.877482.9601470.719607.106483.9602.P131.2 一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向7个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图上。
《数学模型》作业解答
《数学模型》作业解答第二章(1)（2008年9月16日）1．学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者;（2）. §1中的Q值方法；（3）.d’Hondt方法：将A、B、C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A、B、C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.解：先考虑N=10的分配方案，,432 ,333 ,235321===p p p∑==31.1000i ip方法一（按比例分配）,35.23111==∑=i ipNp q ,33.33122==∑=i ipNp q 32.43133==∑=i ipNp q分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法）9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：4 ,3 ,2321===n n n第10个席位：计算Q 值为,17.92043223521=⨯=Q ,75.92404333322=⨯=Q 2.93315443223=⨯=Q3Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n方法三（d ’Hondt 方法）此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n此方法的道理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）.i i n p 是每席位代表的人数，取,,2,1 =i n 从而得到的ii n p中选较大者，可使对所有的,i iin p 尽量接近. 再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型.解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.考虑t 到t t ∆+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得 ⎰⎰+=ntdn wkn r k vdt 0)(2π)22 2n wk k(r n πvt +=∴ .2 22n vk w n v rk t ππ+=∴第二章(2)（2008年10月9日）15．速度为v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气密度是ρ ，用量纲分析方法确定风车获得的功率P 与v 、S 、ρ的关系.解: 设P 、v 、S 、ρ的关系为0),,,(=ρs v P f ， 其量纲表达式为: [P]=32-T ML , [v ]=1-LT ,[s ]=2L ,[ρ]=3-ML ,这里T M L ,,是基本量纲.量纲矩阵为：A=)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---ρ()()()()()()(001310013212s v P T M L齐次线性方程组为：⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=-++03032221414321y y y y y y y y 它的基本解为)1,1,3,1(-=y由量纲i P 定理得 1131ρπs v P -=， 113ρλs v P =∴ ， 其中λ是无量纲常数.16．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.解：设v ,ρ,μ,g 的关系为(f v ,ρ,μ,g )=0.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0，[μ]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[g ]=LM 0T -2,其中L ，M ，T 是基本量纲.量纲矩阵为A=)()()()()()()(210101101131g v T M L μρ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----- 齐次线性方程组Ay=0 ，即⎪⎩⎪⎨⎧==+=+02y -y - y -0y y 0y y -3y -y 431324321 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1)由量纲i P 定理 得 g v μρπ13--=. 3ρμλgv =∴，其中λ是无量纲常数.16*．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ、特征尺寸γ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.解：设v ,ρ,μ,γ，g 的关系为0),,,,(=g v f μργ.其量纲表达式为 [v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0，[μ]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[γ]=LM 0T 0 ，[g ]=LM 0T -2其中L ，M ，T 是基本量纲. 量纲矩阵为A=)()()()()()()()(210010110011311g v T M L μργ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----齐次线性方程组Ay=0 即⎪⎩⎪⎨⎧=---=+=+--+020035414354321y y y y y y y y y y 的基本解为⎪⎩⎪⎨⎧---=--=)21,1,1,23,0()21,0,0,21,1(21y y得到两个相互独立的无量纲量⎩⎨⎧==-----2/112/322/12/11g g v μργπγπ 即 1212/12/31,--==πμργπγg g v . 由0),(21=Φππ , 得 )(121-=πϕπ ∴ )(12/12/3-=μργϕγυg g , 其中ϕ是未定函数.20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期.解：设阻尼摆周期t ,摆长l , 质量m ,重力加速度g ，阻力系数k 的关系为0),,,,(=k g m l t f其量纲表达式为：112120000000)(]][[][,][,][,][,][-----======LT MLT v f k T LM g MT L m T LM l T M L t 10-=MT L ， 其中L ，M ，T 是基本量纲.量纲矩阵为A=)()()()()()()()(120011010001010k g m l t T M L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-- 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=+02005415342y y y y y y y 的基本解为⎪⎩⎪⎨⎧--=-=)1,21,1,21,0()0,21,0,21,1(21Y Y 得到两个相互独立的无量纲量∴glt =1π, )(21πϕπ=, 2/12/12mgkl =π ∴)(2/12/1mg kl g l t ϕ=，其中ϕ是未定函数 . 考虑物理模拟的比例模型，设g 和k 不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为t ,'t ；l ,'l ;m ,'m . 又)(2/12/1g m l k g l t '''='ϕ 当无量纲量l l m m '='时， 就有 ll l g g l t t '=⋅'='. 《数学模型》作业解答 第三章1（2008年10月14日）1.在节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．⎩⎨⎧==---22/112/112/12/1ππk g m l g tl解：设购买单位重量货物的费用为k ,其它假设及符号约定同课本．01 对于不允许缺货模型，每天平均费用为：kr rTc T c T C ++=2)(212221r c Tc dT dC+-= 令0=dTdC， 解得 r c c T 21*2= 由rT Q = ， 得212c rc rT Q ==** 与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．02 对于允许缺货模型，每天平均费用为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=kQ Q rT r c r Q c c T Q T C 23221)(221),(2223322221222T kQ rT Q c r c rT Q c T c T C--+--=∂∂Tk rT Q c c rT Qc Q C ++-=∂∂332 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00Q C TC， 得到驻点：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-+=-+=**323222233232132233221)(22c c krc c c r k c c c c c r c Q c c k c c c rc c T与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，r k >．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间()00T t <<一边生产一边销售，后来的一段时间)(0T t T <<只销售不生产，画出贮存量)(t g 的图形.设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论r k >>和r k ≈的情况.解：由题意可得贮存量)(t g 的图形如下：贮存费为 ∑⎰=→∆⋅-==∆i Ti i t TT r k c dt t g c t g c 10202022)()()(lim ξ又 )()(00T T r T r k -=-∴ T kr T =0 , ∴ 贮存费变为 kTT r k r c 2)(2⋅-=于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为kT r k r c T c kT T r k r c T c T C 2)(2)()(21221-+=-+=k r k r c Tc dT dC 2)(221-+-=. 0=dT dC令, 得)(221r k r c k c T -=* 易得函数处在*T T C )(取得最小值，即最优周期为：)(221r k r c kc T -=*rc c ，T r k 212≈>>*时当 . 相当于不考虑生产的情况. ∞→≈*，T r k 时当 . 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.第三章2（2008年10月16日）3．在节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.解：考虑灭火速度λ与火势b 有关，可知火势b 越大，灭火速度λ将减小，我们作如下假设: 1)(+=b kb λ， 分母∞→→+λ时是防止中的011b b 而加的.总费用函数()x c b kx b x t c b kx b t c t c x C 3122121211)1()(2)1(2+--++--++=βββββββ最优解为 []k b kc b b b c kbc x ββ)1(2)1()1(223221+++++=5．在考虑最优价格问题时设销售期为T ，由于商品的损耗，成本q 随时间增长，设t q t q β+=0)(，为增长率β.又设单位时间的销售量为)(为价格p bp a x -=.今将销售期分为T t T T t <<<<220和两段，每段的价格固定，记作21,p p .求21,p p 的最优值，使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T 内的总售量为0Q ，再求21,p p 的最优值. 解：按分段价格，单位时间内的销售量为⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-=T t T bp a T t bp a x 2,20,21又 t q t q β+=0)(.于是总利润为[][]⎰⎰--+--=22221121)()()()(),(TTT dt bp a t q p dt bp a t q p p p=22)(022)(20222011T T t t q t p bp a T t t q t p bp a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---ββ=)8322)(()822)((20222011T t q T p bp a T T q T p bp a ββ---+--- )(2)822(12011bp a T T T q T p b p -+---=∂∂β )(2)8322(22022bp a TT t q T p b p -+---=∂∂β 0,021=∂∂=∂∂p p 令, 得到最优价格为: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)43(21)4(210201T q b a b p T q b a b p ββ 在销售期T 内的总销量为⎰⎰+-=-+-=20221210)(2)()(T TT p p bTaT dt bp a dt bp a Q 于是得到如下极值问题：)8322)(()822)((),(m ax 2022201121T t q T p bp a T T q T p bp a p p ββ---+---=t s . 021)(2Q p p bTaT =+-利用拉格朗日乘数法，解得：⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=880201TbT Q b a p T bT Q b a p ββ 即为21,p p 的最优值.第三章3（2008年10月21日）6. 某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略改变后能节约多少费用解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费1c ＝2500（元）; 每天每吨角钢的贮存费2c ＝（元）.又现在的订货周期T 0＝30（天） 根据不允许缺货的贮存模型：kr rT c T c T C ++=2121)( 得：k T TT C 10092500)(++=令0=dTdC， 解得：35092500*==T 由实际意义知：当350*=T （即订货周期为350）时，总费用将最小. 又k T C 10035095025003)(*+⨯+⨯=＝300＋100kk T C 100309302500)(0+⨯+==353．33＋100k)(0T C －)(*T C ＝（＋100k ）－（300＋100k ）32＝53．33.故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T *=350，能节约费用约53．33元.《数学模型》作业解答 第四章（2008年10月28日）925002+-=TdT dC1.某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用A 原料1千克, B 原料5千克；一件乙产品用A 原料2千克, B 原料4千克.现有A 原料20千克, B 原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大解：设安排生产甲产品x 件,乙产品y 件，相应的利润为S 则此问题的数学模型为： max S=20x+30y. ⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≤+≤+Z y x y x y x y x ,,0,7045202这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域为：由直线1l ：x+2y=20, 2l :5x+4y ＝70以及x=0,y=0 直线l ：20x+30y=c 在可行域内 平行移动.易知：当l过时，1l xS 取最大值.由⎩⎨⎧=+=+7045202y x y x 解得⎩⎨⎧==510y x此时 m ax S ＝2053010⨯+⨯＝350（元）2. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为1x ,2x ,所获利润为z .则问题的数学模型可表示为211020 m ax x x z +=⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≤+≤+Z y x x x x x x x st ,,0,13522445212121这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线2445:211=+x x l1352:212=+x x l 及0,021==x x 组成直线 c x x l =+211020:在此凸四边形区域内平行移动.2ll1x1l2x易知：当l 过l 1与l 2的交点时，z 取最大值由⎩⎨⎧=+=+135224452121x x x x 解得 ⎩⎨⎧==1421x x90110420max =⨯+⨯=z .3．某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大．并求出最大利润.解：设安排生产甲型微波炉x 件,乙型微波炉y 件,相应的利润为S. 则此问题的数学模型为： max S=3x +2y. ⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≥≤+≤+Z y x y x y x y x ,,12,61202410032这是一个整线性规划问题 用图解法进行求解可行域为：由直线1l ：2x+3y=100, 2l :4x+2y ＝120 及x=6,y=12组成的凸四边形区域.直线l ：3x+2y=c 在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当l 过1l 与2l 的交点时, S 取最大值.由⎩⎨⎧=+=+1202410032y x y x 解得⎩⎨⎧==2020y x .m ax S ＝320220⨯+⨯＝100.《数学模型》作业解答 第五章1（2008年11月12日）1.对于节传染病的SIR 模型，证明： （1）若处最大先增加，在则σσ1)(,10=s t i s，然后减少并趋于零；)(t s 单调减少至.∞s （2）.)()(,10∞s t s t i s 单调减少至单调减少并趋于零，则若σ解：传染病的SIR 模型（14）可写成⎪⎩⎪⎨⎧-=-=i s dtds s i dt diλσμ)1(.)(lim 0.(t) .)( .0,t 存在而单调减少知由∞∞→=∴≥-=s t s s t s dtdsi s dt ds λ.)(∞s t s 单调减少至故（1）.s s(t) .s(t) .100≤∴单调减少由若σs;)(,0 .01,10单调增加时当t i dtdis s s ∴-σσ.)(,0 .01,1单调减少时当t i dtdis s ∴-σσ.0)(lim .0)18(t ==∞→∞t i i 即式知又由书上.)( .0,1m i t i dtdis 达到最大值时当∴==σ（2）().0 0.1-s ,1,10 dtdit s s σσσ从而则若()().0.0lim ==∴∞∞→i t i t i t 即单调减少且4．在节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4=ba初始兵力00y x 与相同.(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定. (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.解:用()()t y t x ,表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=000,01 ,yy x x bx dtdyay dt dx现求(1)的解: (1)的系数矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=00b a A ab ab b aA E ±=∴=-==-1,22 .0λλλλλ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1212,21，对应的特征向量分别为λλ ()()()tab t ab eC e C t y t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴1212121的通解为.再由初始条件，得()()2 220000 tab tab e y x ey x t x -⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=又由().1aybx dx dy =可得其解为 ()3 ,202022 bx ay k k bx ay -==-而(1) ()().231000202011y a b y a bx ay ak t y t x =-=-===时，当 即乙方取胜时的剩余兵力数为.230y 又令().0222,01100001=-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=t ab t ab e y x ey x t x ）得由（注意到000020022,1x y y x e y x t ab -+==得. .43ln ,3121bt e t ab =∴=∴(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+-=000,)0(4 yy x x bx dtdyr ay dt dx().,4rdy aydy bxdx bxray dy dx -=-+-=即得由 相轨线为,222k bx ry ay =-- .222220.02k a r bx a r y a bx ry ay k =--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=或 此相轨线比书图11中的轨线上移了.a r 乙方取胜的条件为.,0222020a r x a b a r y k +⎪⎭⎫ ⎝⎛- 亦即第五章2（2008年11月14日）6. 模仿节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静3种给药解: 设给药速率为(),,0V t f()()()()().,,0/t VC t x t f t kx t x k ==+则排除速率为常数(1)快速静脉注射: 设给药量为,0D 则()()().,0,0000t k e VDt C V D C t f -===解得 (2)恒速静脉滴注(持续时间为τ): 设滴注速率为()(),00,000==C k t f k ，则解得()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤-=----τττ t e e Vkk t e Vk k t C t k kt kt,10,100(3) 口服或肌肉注射: ()()，解得）式节（见134.5010010t k e D k t f -=()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠--=---010101001 ,,01k k te VkD k k e e k k V D k t C kt t k kt 3种情况下的血药浓度曲线如下：第五章3（2008年11月18日）8. 在节香烟过滤嘴模型中, (1)设3.0,/50,08.0,02.0,20,80,80021=======a s mm b mm l mm l mg M νβ求./21Q Q Q 和(2) 若有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上,比较全部吸完和只吸到1l 处的情况下，进入人体毒物量的区别. 解)(857563.229102.07.050103.01508002.07.0502008.0/01/2毫克≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯⨯-⨯---e e e eba v aw Q v bl a vl β ()10/10==l M w 其中，()()97628571.0502002.008.0212===⨯----ee Q Qvl b β(2) 对于一支不带过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-vbl a e b a v aw Q '103‘ 只吸到1l 处就扔掉的情况下的毒物量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--vbl a v blee b a v aw Q 1'21'04 .256531719.1110096.0032.0012.004.0508002.03.0508002.05010002.03.05010002.043111'1'≈--=--=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯--e e e e e e e e e e e e e e e e Q Q v abl v bl v abl v bl v bl a v bl v bl a vbl44.235,84.29543≈≈ ＱQ4．在节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4=ba初始兵力00y x 与相同.(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定. (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.解:用()()t y t x ,表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=000,01 ,yy x x bx dtdyay dt dx现求(1)的解: (1)的系数矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=00b a Aab ab b aA E ±=∴=-==-1,22 .0λλλλλ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1212,21，对应的特征向量分别为λλ ()()()tab t ab eC e C t y t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴1212121的通解为.再由初始条件，得()()2 220000 tab tab e y x ey x t x -⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=又由().1aybx dx dy =可得其解为 ()3 ,202022 bx ay k k bx ay -==-而(1) ()().231000202011y a b y a bx ay ak t y t x =-=-===时，当 即乙方取胜时的剩余兵力数为.230y 又令().0222,01100001=-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=t ab t ab e y x ey x t x ）得由（注意到000020022,1x y y x e y x t ab -+==得. .43ln ,3121bt e t ab =∴=∴ (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+-=000,)0(4 yy x x bx dtdyr ay dt dx().,4rdy aydy bxdx bxray dy dx -=-+-=即得由 相轨线为,222k bx ry ay =-- .222220.020k a r bx a r y a bx ry ay k =--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=或 此相轨线比书图11中的轨线上移了.a r 乙方取胜的条件为.,0222020a r x a b a r y k +⎪⎭⎫ ⎝⎛- 亦即《数学模型》作业解答 第六章（2008年11月20日）1.在节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic 规律，而单位时间捕捞量为常数h ．(1)分别就4/rN h >，4/rN h <，4/rN h =这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况．(2)如何获得最大持续产量，其结果与节的产量模型有何不同． 解：设时刻t 的渔场中鱼的数量为()t x ，则由题设条件知：()t x 变化规律的数学模型为h Nxrx dt t dx --=)1()( 记h Nxrx x F --=)1()( (1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性： 由()0=x F ，得0)1(=--h Nxrx ． 即()102=+-h rx x Nr )4(42Nhr r N rh r -=-=∆ ， (1)的解为：2412,1N rNhN x -±=①当4/rN h >，0<∆，(1)无实根，此时无平衡点； ②当4/rN h =，0=∆，(1)有两个相等的实根，平衡点为20N x =.Nrxr N rx N x r x F 2)1()('-=--=，0)(0'=x F 不能断定其稳定性. 但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rN N x rx x F --= ，即0 dtdx．∴0x 不稳定；③当4/rN h <，0>∆时，得到两个平衡点：2411N rNhN x --=， 2412N rNh N x -+=易知：21N x <， 22Nx > ，0)(1'>x F ，0)(2'<x F ∴平衡点1x 不稳定，平衡点2x 稳定.(2)⎩⎨⎧=0)(..max x F t s h 即 )1(max Nxrx h -=， 易得 2*0N x = 此时 4rN h =但2*0N x =这个平衡点不稳定．这是与节的产量模型不同之处．要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2N x >，且尽量接近2N ，但不能等于2N ．2.与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz 模型：()xNrx t x ln'=．其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同． 设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为Ex h =．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平*0x ．解：()t x 变化规律的数学模型为()Ex xNrx dt t dx -=ln记 Ex xNrx x F -=ln)( ① 令()0=x F ，得0ln =-Ex xN rx ∴rENe x -=0，01=x ．∴平衡点为1,0x x . 又 ()E r xNr x F --=ln'，()()∞=<-=1'0',0x F r x F ．∴ 平衡点o x 是稳定的，而平衡点1x 不稳定.②最大持续产量的数学模型为：⎪⎩⎪⎨⎧≠=-=.0,0ln ..max x Ex x N rx t s Ex h 由前面的结果可得 rEENeh -=rEr Ee rEN Ne dE dh ---=，令.0=dEdh得最大产量的捕捞强度r E m =．从而得到最大持续产量e rN h m /=，此时渔场鱼量水平eN x =*0．3．设某渔场鱼量)(t x (时刻t 渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：)1()(Nxrx dt t dx -= 其中r 为固有增长率,`N 为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h .10．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;Ex()x f20．试确定捕捞强度m E ,使渔场单位时间内具有最大持续产量m Q ,求此时渔场鱼量水平*0x .解：10．)(t x 变化规律的数学模型为h Nxrx dt t dx --=)1()( 记h N x rx x f --=)1()(,令 0)1(=--h N x rx ，即 02=+-h rx x Nr----（1）)4(42Nhr r N rh r -=-=∆ ， （1）的解为：2412,1N rNhN x -±=① 当0 ∆时，（1）无实根，此时无平衡点； ② 当0=∆时，（1）有两个相等的实根，平衡点为20Nx =. Nrxr N rx N x r x f 2)1()('-=--= ，0)(0'=x f 不能断定其稳定性. 但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rN N x rx x f --= ，即0 dtdx∴0x 不稳定；③ 当0 ∆时，得到两个平衡点：2411rNhN N x --=， 2412rNh N N x -+=易知 21N x， 22Nx ∴0)('1 x f ， 0)('2 x f ∴平衡点1x 不稳定 ，平衡点2x 稳定.20．最大持续产量的数学模型为： ⎩⎨⎧=0)(..max x f t s h即 )1(max N xrx h -=， 易得 2*0N x =此时 4rN h =，但2*0N x =这个平衡点不稳定.要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2N x ,且尽量接近2N,但不能等于2N.《数学模型》第七章作业 （2008年12月4日）1．对于节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1+k 时段的价格1+k y 由第1+k 和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定，如果仍设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与节的结果进行比较.2．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x .试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.3． 已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.《数学模型》作业解答 第七章（2008年12月4日）2． 对于节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1+k 时段的价格1+k y 由第1+k 和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定，如果仍设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与节的结果进行比较.（2）若除了1+k y 由1+k x 和k x 决定之外，1+k x 也由前两个时段的价格k y 和1-k y 确定.试分析稳定平衡的条件是否还会放宽. 解：（1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+++)()2(111k k k k k y h x x x f y 在),(000y x P 点附近用直线来近似曲线h f ,，得到⎪⎩⎪⎨⎧>-=->-+-=-+++)2( 0, )()1( 0),2(0010101 ββααy y x x x x x y y k k k k k 由（2）得 )3( )(0102 y y x x k k -=-++β （1）代入（3）得 )2(0102x x x x x kk k -+-=-++αβ0012222 x x x x x k k k αβαβαβ+=++∴++对应齐次方程的特征方程为 02 2=++αβαβλλ特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=当8≥αβ时，则有特征根在单位圆外，设8<αβ，则248)()4(2222,1αβαβαβαβλ=+-+= 2 12,1<⇔<∴αβλ即平衡稳定的条件为2 <αβ与207P 的结果一致.（2）此时需求函数、供应函数在),(000y x P 处附近的直线近似表达式分别为：⎪⎩⎪⎨⎧>-+=->-+-=--+++)5( 0 , )2()4( 0),2(01010101ββααy y y x x x x x y y k k k k k k 由（5）得，)( ) y y y β(y )x (x k k k 62010203 -+-=-+++ 将（4）代入（6），得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+-=-++++)2()2()(20101203x x x x x x x x k k k k k ααβ 001234424 x x x x x x k k k k αβαβαβαβ+=+++∴+++对应齐次方程的特征方程为(7) 024 23 =+++αβαβλαβλλ 代数方程（7）无正实根，且42 ,αβαβ---, αβ不是（7）的根.设（7）的三个非零根分别为321,,λλλ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==++-=++424321133221321αβλλλαβλλλλλλαβλλλ 对（7）作变换：,12αβμλ-= 则,03=++q p μμ其中 )6128(41 ),122(412233322αββαβαβααβ+-=-=q p用卡丹公式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+--+++-=+--+++-=+--+++-=33233223332233223323321)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2p q q w p q q w p q q w p q q w pq q p q q μμμ 其中,231i w +-=求出321,,μμμ，从而得到321,,λλλ，于是得到所有特征根1<λ的条件. 2．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x .试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x . 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：,)(00 ααx x y y k k --=-----------------------（1） 0,)2(0101 ββy y y x x k k k -+=--+ --------------------（2）从上述两式中消去k y 可得,2,1,)1(22012=+=++++k x x x x k k k αβαβαβ， -----------（3）上述（3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的齐次差分方程的特征方程：022=++αβαβλλ容易算出其特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=---------------（4） 当αβ 8时，显然有448)(22αβαβαβαβλ----= -----------（5） 从而2λ 2，2λ在单位圆外．下面设8 αβ，由(5)式可以算出22,1αβλ=要使特征根均在单位圆内，即 2,1λ1 ，必须 2 αβ．故0P 点稳定平衡条件为 2 αβ．3． 已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：0,)2(0101 ααx x x y y kk k -+-=-++ --------------------（1）,)(001 ββy y x x k k -=-+ -------------------（2） 由（2）得)(0102y y x x k k -=-++β--------------------（3）（1）代入（3），可得)2(0102x x x x x kk k -+-=-++αβ ∴,2,1,2220012=+=++++k x x x x x k k k αβαβαβ，--------------（4）上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：022=++αβαβλλ容易算出其特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=---------------（4） 当αβ≥8时，显然有448)(22αβαβαβαβλ-≤---= -----------（5） 从而2λ 2，2λ在单位圆外．下面设8 αβ，由(5)式可以算出22,1αβλ=要使特征根均在单位圆内，即 2,1λ1 ，必须 2 αβ．故0P 点稳定平衡条件为 2 αβ．《数学模型》作业解答 第八章（2008年12月9日）1． 证明节层次分析模型中定义的n 阶一致阵A 有下列性质：（1） A 的秩为1，唯一非零特征根为n ； （2） A 的任一列向量都是对应于n 的特征向量. 证明： （1）由一致阵的定义知：A 满足ik jk ij a a a =⋅，n k j i ,,2,1,, =于是对于任意两列j i ,，有ij jkika a a =，()n k ,,2,1 =.即i 列与j 列对应分量成比例.从而对A 作初等行变换可得：∆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−→−00000011211 n b b b A 初等行变换 B 这里0≠B .()1=∴B 秩，从而秩()1=A再根据初等行变换与初等矩阵的关系知：存在一个可逆阵P ，使B PA =，于是∆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==--0000001121111 n c c c BP PAP C 易知C 的特征根为0,,0,11 c （只有一个非零特征根）.又A ～C ，A ∴与C 有相同的特征根，从而A 的非零特征根为11c ，又对于任意矩阵有()n a a a A Tr nn n =+++=+++==+++111221121 λλλ.故A 的唯一非零特征根为n .（2）对于A 的任一列向量()T nk k k a a a ,,,21 ，()n k ,,2,1 =有()()T nk k k nk k k n j nkn j k n j k n j jk nj n j jk j n j jk j Tnk k k a a a n na na na a a a a a a a a a a a a A ,,,,,,2121112111121121 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑======A ∴的任一列向量()Tnk k k a a a ,,,21 都是对应于n 的特征向量.7. 右下图是5位网球选手循环赛的结果，作为竞赛图，它是双向连通的吗找出几条完全路径，用适当方法排出5位选手的名次. 解：这个5阶竞赛图是一个5阶有向Hamilton 图.其一个有向Hamilton圈为332541→→→→→.所以此竞赛图是双向连通的.32154→→→→13542→→→→42135→→→→ →→→41325→等都是完全路径.此竞赛图的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0011110100000010110001010A令()T e 1,1,1,1,1=，各级得分向量为()()TAe S 3,2,1,2,21==， ()()()TAS S 5,4,2,3,412==，()()()TAS S 9,7,4,6,723== ， ()()()TAS S 17,13,7,11,1334==由此得名次为5，1（4），2，3 （选手1和4名次相同）.注：给5位网球选手排名次也可由计算A 的最大特征根λ和对应特征向量S 得到：8393.1=λ，()TS 2769.0,2137.0,1162.0,1794.0,2137.0=数学模型作业（12月16日）解答1.基于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素，拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构图.解：目标层准则层方案层2.简述层次分析法的基本步骤. 问对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题要分成哪3个层次具体内容分别是什么答：层次分析法的基本步骤为：（1）．建立层次结构模型；（2）．构造成对比较阵；（3）．计算权向量并做一致性检验；（4）．计算组合权向量并做组合一致性检验． 对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题，用层次分析法一般可分解为目标层、准则层和方案层这3个层次. 目标层是选择工作岗位，方案层是工作岗位1、工作岗位2、工作岗位3等，准则层一般为贡献、收入、发展、声誉、关系、位置等.3．用层次分析法时，一般可将决策问题分解成哪3个层次试给出一致性指标的定义以及n 阶正负反阵A 为一致阵的充要条件.答：用层次分析法时，一般可将决策问题分解为目标层、准则层和方案层这3个层次； 一致性指标的定义为：1--=n nCI λ．n 阶正互反阵A 是一致阵的充要条件为：A 的最大特征根λ=n ．第九章（2008年12月18日）1．在1.9节传送带效率模型中,设工人数n 固定不变.若想提高传送带效率D,一种简单的方法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m ，比如增加一倍，其它条件不变．另一种方法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中一只是空的，他就可以挂上产品，这种办法用的钩子数量与第一种办法一样．试推导这种情况下传送带效率的公式，从数量关系上说明这种办法比第一种办法好．解：两种情况的钩子数均为m 2．第一种办法是m 2个位置，单钩放置m 2个钩子；第二种办法是m 个位置，成对放置m 2个钩子． ① 由1.9节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=nm n m D 21112 当mn2较小，1 n 时，有 ()m n m n n m n m D 41181211122--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≈E D -=1 ， mnE 4≈② 下面推导第二种办法的传送带效率公式：对于m 个位置，每个位置放置的两只钩子称为一个钩对，考虑一个周期内通过的m 个钩对．任一只钩对被一名工人接触到的概率是m1； 任一只钩对不被一名工人接触到的概率是m11-；记mq m p 11,1-==．由工人生产的独立性及事件的互不相容性．得，任一钩对为空的概率为n q ，其空钩的数为m 2；任一钩对上只挂上１件产品的概率为1-n npq ，其空钩数为m ．所以一个周期内通过的m 2个钩子中，空钩的平均数为()1122--+=⋅+⋅n n n n npq q m npqm q m于是带走产品的平均数是 ()122-+-n n npq q m m ， 未带走产品的平均数是 ()()122-+--n n npq q m m n ）∴此时传送带效率公式为()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=--1111112222'n n n n m m n m n m n npq q m m D ③ 近似效率公式：由于 ()()()321621121111m n n n m n n m n m n----+-≈⎪⎭⎫ ⎝⎛- ()()2112211111m n n m n m n --+--≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-- ∴ ()()26211'm n n D ---≈当1 n 时，并令'1'D E -=，则 226'mn E ≈④ 两种办法的比较：由上知：mnE 4≈，226'm n E ≈∴ m n E E 32/'=，当n m 时，132 mn， ∴ E E '． 所以第二种办法比第一种办法好．《数学模型》作业解答 第九章（2008年12月23日）一报童每天从邮局订购一种报纸，沿街叫卖.已知每100份报纸报童全部卖出可获利7元.如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但报童每100份报纸要赔4元.报童每天售出的报纸数r 是一随机变量，其概率分布如下表：试问报童每天订购多少份报纸最佳(订购量必须是100的倍数) 解：设每天订购n 百份纸，则收益函数为⎩⎨⎧≤--+=n r nnr r n r r f 7))(4(7)( 收益的期望值为G(n) = ∑=-n r r P n r 0)()411(+∑∞+=1)(7n r r P n现分别求出 n =5,4,3,2,1,0时的收益期望值. G(0)=0；G(1)=4-×+7×+7×（+++）=;G(2)= (05.08⨯-25.0141.03⨯+⨯+))1.015.035.0(14++⨯+8.11=; G(3)=(05.012⨯-35.02125.0101.01⨯+⨯+⨯-))1.015.0(21+⨯+4.14=G(4)=(05.016⨯-15.02835.01725.061.05⨯+⨯+⨯+⨯-)1.028⨯+15.13=G(5)=05.020⨯-1.03515.02435.01325.021.09⨯+⨯+⨯+⨯+⨯- 25.10= 当报童每天订300份时，收益的期望值最大.数模复习资料第一章1.原型与模型原型就是实际对象.模型就是原型的替代物.所谓模型, 按北京师范大学刘来福教授的观点：模型就是人们为一定的目的对原型进行的一个抽象.如航空模型、城市交通模型等.。
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数学模型作业第一章1、对于大多数工薪阶层的人士来说，想买房，简直是天方夜谭.现在有这样一栋住宅楼, 每套只需自备款七万元，其余由公司贷款，可分期付款，每月只需付800元，十年还清.那么, 这对您还有什么问题呢!”现在的问题是：这房子究竟值多少钱，即如果一次付款要付多少钱？如果没有能力一次付款，实际上，相当于借了多少钱？为什么要每月付800元?对上述问题进行研究，供购房者参考.2、0至17岁的儿童都可以参加这种保险，投保金额可以崑交，也可以按年交，每份保险金额为1000元，保险公司要求各年龄的儿童需交投保金额如下表1-1.表1T保险公司应对保险人的保险项目和金额为：(1) 教育保险金：被保险人到18、19、20、21周岁时每年可领取一份保险金 1000 元. (2) 创业保险金：被保险人到22周岁时可 以领取保险金额的4. 7倍的创业保险金. (3)结婚保险金：被保险人到25周岁时可 以领取保险金额的5. 7倍的结婚保险金.(4)养老保险金:被保险人到60周岁时 可以领取保险金额的60倍的养老保险金. 现在的问题是：如果被保险人能活到60岁时, 贝！I(1) 如果按现行的存款年利率4.5%计算, 投保是否合算？险公司从中获利多少?首先假设投保人都能活到60岁；投保人的 交款和保险公司的返回保险金均在年初进行；银 行现行的存、贷款利率不变；这里均按一份投保金额(1000元)计算.年龄为砍“丄2,. ")；按年袞趣为坠 % =(18-叭 伙=0,1,2,…,14)；崑交款额为 (2) 如果按现行的贷款年利率8%计算，保 总交艮(S4 J7)；现行银行长期存、贷款利率分别为& =4.5%, R2 =8% •第二章初等数学模型1、正常驾驶条件下车速每增加10英里/小时,后面与前面一辆车的距离应增加一个车身的长度,实现这个规则的一种简便办法是“2秒准则”, 即后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何。
建立一个模型来分析这个规则的合理性o2、你所在的年级有5个班，每班一支球队在同一块场地上进行单循环赛，共要进行10场比赛. 如何安排赛程使对各队来说都尽量公平呢.下面是随便安排的一个赛程：记5支球队为A, B,C, D, E,在下表左半部分的右上三角的10个空格中，随手填上1,2, ...10,就得到一个赛程,即第1场A对B,第2场B对C,…，第10场C 对E ・为方便起见将这些数字沿对角线对称地填入左下三角.这个赛程的公平性如何呢，不妨只看看各队每两场比赛中间得到的休整时间是否均等.表的右半部分是各队每两场比赛间相隔的场次数, 显然这个赛程对A, E有利，对D则不公平.从上面的例子出发讨论以下问题:1）对于5支球队的比赛，给出一个各队每两场比赛中间都至少相隔一场的赛程.2）当27支球队比赛时，各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限是多少.3）在达到2）的上限的条件下，给出严& n=9 的赛程，并说明它们的编制过程.4）除了每两场比赛间相隔场次数这一指标外,你还能给出哪些指标来衡量一个赛程的优劣，并说明3）中给出的赛程达到这些指标的程度.第三章最优化模型1、下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角。
和仰角"视角。
是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，。
越大越好，仰角“ 是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角, “太大使人的头部过分上仰，引起不舒服感，一般要求“不超过M。
设影院屏幕高"，上边缘距地面高"，地板线倾角。
，I—•第一排和最后一排座位与屏幕水平距离分别为"和。
，观众平均坐高为'(指眼睛到地面的距离)。
已知参数/; = 1.&H=5,d = 4.5,D = 19,c = l.l o(1)地板线倾角一"，问最佳座位处在什么地方。
(2)求地板线倾角(一般不超过2『)，使所有的观众的平均满意度最大。
(3)地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。
步距离d = 1000m 降雨量 行讨论：(1) 不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。
(2) 雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同 一平面内，且与人体的夹角为°,如图1,建立 总淋雨量与速度v 及参数"，b, c t d, ”，w, e 之 间的关系，问速度、多大，总淋雨量最少。
计算 8 = 0・，8 = 3(T 时的总淋雨量。
dD ---------------------2、在雨中从一处沿直线跑道另一处，若雨速为 常数且方向不变。
试建立数学模型讨论是否跑的 越快，淋雨量越少。
将人体简化成一个长方体, 高= 1.5m (颈部以下),宽b = 0.5m 9厚c = 0.2m 9设跑,跑步最大速度％ =5m/s 9雨速w = 4m/s , vv = 2cm/h 9记跑步速度为卩。
按以下步骤进111?-(3)雨从背后吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为-如图2。
建立总淋雨量与速度V及参数U 9 b 9 C 9 d 9 K 9 w, a之间的关系，问速度”多大，总淋雨量最少。
计算a = 30•时总淋雨量。
（4）以总淋雨量为纵轴，速度「为横轴，对（3）作图（考虑&的影响），并解释结果的实际意义。
（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。
图1 图2第四章数学规划模型1、一汽车厂生产小、中、大三种类型汽车，已知各类型车辆对钢材，劳动时间的需求，利润以及每月工厂钢材、劳动时的现有量如下表所示。
试制定月计划，使工厂的利润最大。
进一讨论：由于各种条件限制，如果生产某一类型汽车，至少要生产80辆，那么最优的生产廿划应作何改变。
2、某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m。
⑴现有一客户需要50根4m\20根6m和15根8m的钢管•应如何下料最节省?（2）建立一个模型，写出约束条件。
第六章微分方程模型某军的一导弹基地发现正北方向120km处海面上有敌艇一艘,以90km/h的速度向正东方向行驶。
该基地立即发射导弹追击敌艇，导弹速度为450km/h,自动导航系统使导弹在任何时刻都能对准敌艇。
(1)建立导弹飞行路线(x, y)与时间的对应关系(2)导弹在何时何地击中敌艇?（3）如果发射导弹时，敌艇立即由仪器觉察,假定敌艇为一高速快艇，他即刻以135km/h的速度与导弹方向成一夹角逃逸，问导弹何时何地击中敌艇？第七章差分方程模型设第一月初有雌雄各一的一对小兔。
假定两月后长成成兔，同时（即第三个月）开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。
设第n月末共有代对兔子,试建立关于化差分方程。
第八章离散模型1、环境问题是当前世界各国普遍关注的问题之一，是21世纪人类面临的重大挑战。
在社会的高速发展中，在人们不断的创造物质财富，精神财富的同时，人们忽略的自己赖以生存的环境。
人们只知道肆意地向大自然索取，却不知道回报。
大自然发怒了，它开始了向人类的报复。
温室效应，大气污染，臭氧空洞，森林锐减，酸雨多样化和遗传多样性减少，气候现象变化异常……生态破坏和环境污染不仅给经济发展和人民生活带来损失，更严重的是危害人民身体健康，并贻害子孙后代，破坏了人类赖以健康持久地生存的基本条件。
随着社会经济的快速发展，工业化水平的提高，人类活动对空气的污染越来越严重，尤其是在城市集中了大量的工厂、车辆、人口。
空气质量因为车辆、船舶、飞机的尾气、工业企业生产排放、居民生活和取暖、垃圾焚烧等的原因，逐渐开始恶化。
空气污染威胁着人类的日常生活, 危害人体健康，给人们的工作带来不便，并影响或危害各种生物的生存，直接或间接地损害设备、建筑物……空气中极其微少的污染物，都能对人体健康产生极大的影响，导致各种疾病的发生，甚至夺去人的生命。
从1873〜1973年这100年间，全世界已发生过19起重大空气污染事件，例如1930年12月，在比利时马斯河谷工业区有害气体和粉尘污染空气，短短一周内就有60 多人死亡。
1948年10月，美国宾夕法尼亚州多诺拉镇烟雾事件。
由于空气污染致使43%的居民急呼吸道疾病。
1952年12月，英国伦敦光化学烟雾事件, 两个月内死亡人数高达12000人！1955年以后，日本四日市被硫酸雾笼罩。
1964 年该市市民哮喘病大发作，有人因气喘病而死亡。
另一方面，亚洲是世界上发展相对比较落后的地区，人口众多，发展缓慢，为了加速经济的发展，各个国家大肆的对自然进行开发利用，对资源的利用量比较大，但同时对资源的有效利用率不高，对能源废弃物处理不够恰当充分，而且对环境污染给社会，给人类带来的影响认识不够清楚充分。
这样不仅损失了好多带来了巨大的污染，尤其是空气污染。
亚洲虽然国家众多，城市众多，但是不同的国家引起空气污染的污染物种类和污染指数不同，所以各个国家的污染严重程度不同。
而且城市空气污染是多种不同污染物综合作用的结果0 那么给出亚洲11个城市的空气质量调查情况（图表如下），如何根据所给数据，组建数学模型科学的对11个城市空气污染严重程度排名呢11城市空气质量数据来源WHO UNEP1992说明：非常严重污染，超过WHO指标100%以上。
!!中度严重污染，超过WHO指标，达到100%以下。
! 低度污染，符合WHO指标或少量超过。
S02二氧化硫，SPM悬浮颗粒物，NO x氮氧化物，C0—氧, WHO世界卫生组织UNEP联合国环境规划署以上摘自《全球环境展望2000》，联合国环境规划署，中E2、目前，在许多城市大齡青年的婚姻问题已引起了妇联和社会团体组织的关注。
某单位现有20对大龄青年男女，每个人的基本条件都不项条件通常可以分为五个等级A、B、C、D、E, 如外貌、性格、气质、事业可分为很好、好、较好、一般、差；财富可分为很多、多、较多、一般、少。
每个人的择偶条件也不尽相同，即对每项基本条件的要求是不同的。
该单位的妇联组织拟根据他（她）们的年龄、基本条件和要求条件进行牵线搭桥。
下面给出20对大龄青年男女的年龄、基本条件和要求条件（如下表）。
一般认为, 男青年至多比女青年大5岁，或女青年至多比男青年大2岁,并且要至少满足个人要求5项条件中的2项，才有可能配对成功。
请你根据每个人的情况和要求，建立数学模型帮助妇联解决如下问题:相同, 如外貌、气质、事业、财富等。
每（1）给出可能的配对方案，使得在尽量满足个人要求的条件下，使配对成功率尽可能的高。
（2）给出一种20对男女青年可同时配对的最佳方案，使得全部配对成功的可能性最大。
（3）假设男女双方都相互了解了对方的条件和要求，让每个人出一次选择，只有当男女双方相互选中对方时才认为配对成功，每人只有一次选择机会。