4a逻辑函数的卡诺图化简法
知识点3.卡诺图化简法
相邻项相加能消去一个因子，合并为一项，如:
。
卡诺图化简就是建立在相邻项的基础上的，消去多余的因子，使函
数得到简化。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用卡诺图化简时，首先要把函数表示成最小项之 和的形式，称为标准与或式(或最小项表达式），求函 数标准与或式有两种方法:
①从真值表中求标准与或式 ②从一般表达式利用展开法求标准与或式
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例1】化简逻辑函数
化简得：
最小项合并结果有时不是唯一的，但合并后的项数和每一 项的因子数是相同的！
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例2】 用卡诺图法化简逻辑函数Z（A，B，C，D）
=∑m(0，1，2，3，4，5，6，7，10，11)。
化简得：
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用前面介绍的公式法化简逻辑函数，要熟练掌 握逻辑代数的基本公式、常用公式和一些定律，并 且需要有一定的技巧，这对许多人来说有困难。借 助卡诺图化简逻辑函数比较方便，容易掌握。卡诺 图是美国工程师karnaugh在20世纪50年代提出的， 它建立在最小项的基础上，所以首先要了解有关最 小项的内容。
b.四个小方格组成一个大方格、或组成一行（列）、或 处于相邻两行（列）的两端、或处于四角时，所代表的最小 项可以合并，合并后可消去两个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
c.八个小方格组成一个大方格、或组成相邻的两行 （列）、或处于两个边行（列）时，所代表的最小项可以合 并，合并后可消去三个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
仔细分析上表，可以总结出最小项的性质： ①对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使 它的值为1。反之，对于输入变量任何一组取值，有且 只有一个最小项的值为1。 ②任意两个最小项的乘积恒等于0 。 ③所有最小项之和为1。 ④具有相邻性的两个最小项之和能合并成一项且消去 一个因子。
逻辑函数的卡诺图化简法
[例]已知:真值表如下,写出 已知:真值表如下, 该逻辑函数和其反函数的标 准与或式 解:由题可知: 由题可知:
F = XY Z + XY Z + XY Z + XYZ
= m0 + m2 + m5 + m7
= ∑ ( 0 ,2 ,5 ,7 ) m
∴ F =
QF + F = 1
∑ m (1, 3 , 4 , 6 )
例如 CD AB 00 01 11 10 00 1 1 1 1 01 1 1 11 1 1 10 1 1 1 1 8 个相邻项合并消去 3 个变量 A ABCD+ABCD=ABD ABCD+ABCD=ABD ABCD+ABCD +ABCD+ABCD =ACD +ACD =AD
2 个相邻项合并消去 4 个变量， 个相邻项合并消去 个变量， 1 个变量，化简结果 2 个变量， 化简结果为相同变量相与。 化简结果为相同变量相与。 为相同变量相与。 为相同变量相与。
3. 已知一般表达式画函数卡诺图 的卡诺图。 [例] 已知 Y = AD + AB ( C + BD ) ，试画出 Y 的卡诺图。 解：(1) 将逻辑式转化为与或式 ) (2) 作变量卡诺图 ) Y = AD + AB + (C + BD ) (3) 根据与或式填图 ) = AD + AB + CBD CD 00 01 11 10 AB 1 1 00 01 11 10 1 1 1 1 1 1
[例 ]
Y = ABC + ABC + ABC + ABC
合并最小项 三个圈最小项分别为： 三个圈最小项分别为：
逻辑函数的卡诺图化简课件
演示1
演示2
基本步骤图示
逻辑表达式 或真值表
1
Y(A,B,C,D)= m (3,5,7,8,11,12,13,15)
1
AB CD 00 01
00 0 0 1 0
01 0 1 1 0
11 1 1 1 0
10 1 0 1 0
卡诺图
10 11
2
１则 几 目 ① 的它 个 必 圈 方就 圈 须 越 格是 内 为 大 。 多 ， 2i 越 余但个好 的每。， 。个②但 ③圈同每 不都一个 能要个圈 漏有方中 掉新格标 任的可１ 何方同的 一格时方 个，画格 标否在数 合并最小项 3
3. 函数为任意与或表达式
首先分别将每个与项的原变量用 1 表示，反变量用 0表示，在卡诺 图上找出交叉小方格并填写1，没有交叉点的小方格填写0即可。
例3. 作出函数F(A,B,C,D)=AB+BC+CD对应的卡诺图。
4.函数为任意或与表达式 对于任意的或与表达式，只要当任意一项的或项为0时，函数 的取值就为0。要使或项为0，只须将组成该或项的原变量用0、反 变量用1代入即可。故填写方法是：首先将每个或项的原变量用0、 反变量用1代入，在卡诺图上找出交叉小方格并填写0；然后在其余 小方格上填写1即可。
2. 卡诺图上最小项的相邻性
1）几何相邻 2）相对相邻 3）重叠相邻 演示
3. 卡诺图的填写方法
1. 函数为最小项表达式 因为构成函数的每一个最小项，其逻辑取值都是使函数值为1的 最小项，所以填写卡诺图时，在构成函数的每个最小项相应的小方 格中填上1，而其它方格填上0即可。也就是说，任何一个逻辑函数 都等于它的卡诺图中填1的那些最小项之和。
例4. 作出函数 F ( A, B, C, D) ( A C)(B D)(C D) 对应的卡诺图。
用卡诺图化简逻辑函数
1.4 用卡诺图化简逻辑函数本次重点内容1、卡诺图的画法与性质2、用卡诺图化简函数 教学过程 应用卡诺图化简 一、卡诺图逻辑函数可以用卡诺图表示。
所谓卡诺图，就是逻辑函数的一种图形表示。
对n 个变量的卡诺图来说，有2n 个小方格组成，每一小方格代表一个最小项。
在卡诺图中，几何位置相邻（包括边缘、四角）的小方格在逻辑上也是相邻的。
二、最小项的定义及基本性质： 1、最小项的定义在n 个变量的逻辑函数中，如乘积项中包含了全部变量，并且每个变量在该乘积项中或以原变量或以反变量的形式但只出现一次，则该乘积项就定义为该逻辑函数的最小项。
通常用m 表示最小项，其下标为最小项的编号。
编号的方法是：最小项的原变量取1，反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。
如最小项C B A 对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。
因此，最小项C B A 的编号为m 0，如最小项C B A 的编号为m 4，其余最小项的编号以此类推。
2、最小项的基本性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0。
（2）不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。
（3）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。
图1.4.1分别为二变量、三变量和四变量卡诺图。
在卡诺图的行和列分别标出变量及其状态。
变量状态的次序是00，01，11，10，而不是二进制递增的次序00，01，10，11。
这样排列是为了使任意两个相邻最小项之间只有一个变量改变（即满足相邻性）。
小方格也可用二进制数对应于十进制数编号，如图中的四变量卡诺图，也就是变量的最小项可用m0, m１,m２,……来编号。
01 0100011110 01ABCABCDBA0001111000011110m m m mm m m mm mm m01230112233mmmmmmmmmmmmmmmm456789101112131415图1.4.1 卡诺图二、应用卡诺图表示逻辑函数应用卡诺图化简逻辑函数时，先将逻辑式中的最小项(或逻辑状态表中取值为1的最小项)分别用1填入相应的小方格内，其它的则填0或空着不填。
逻辑函数的卡诺图化简法
① 3变量的卡诺图 有23个小方块；
相邻 相邻
② 几何相邻的必须
逻辑相邻：变量的 取值按00、01、11、 10的顺序（循环码 ） 排列 。
图1-11 三变量卡诺图的画法
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不 相邻
相邻
相邻
图1-12 四变量卡诺图的画法
正确认识卡诺 图的“逻辑相邻”： 上下相邻，左右相 邻，并呈现“循环 相邻”的特性，它 类似于一个封闭的 球面，如同展开了 的世界地图一样。
A因BB此C是N个三变变量量共函有数2的N个最最小小项项吗。？
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最小项的定义:对于N个变量，如果P是一个含有N 个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反 变量的形式，作为一个因子在P中出现且仅出现一次， 那么就称P是这N个变量的一个最小项。
表1-17 三变量最小项真值表
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5
（2）最小项的性质
①对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它 的值为1，而变量取其余各组值时，该最小项均为0；
②任意两个不同的最小项之积恒为0； ③变量全部最小项之和恒为1。
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最小项也可用“mi” 表示，下标“i”即最小 项的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的 那一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十 进制数，就是该最小项的编号。
ABC ABC AC
(A B)C ABC AC
AC BC ABC AC
（2） 根据与或表达式画出卡诺图，如下
图所示。
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BC
A
00 01 11 10
0
11 1
逻辑函数的卡诺图化简法
第十章 数字逻辑根底补充：逻辑函数的卡诺图化简法1．图形图象法：用卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的方法。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图。
优点：有比拟明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来比拟容易。
缺点：当变量超过六个以上，就没有什么实用价值了。
公式化简法优点：变量个数不受限制缺点：结果是否最简有时不易判断。
2．最小项〔1〕定义：是一个包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的 形式出现一次。
注意：每项都有包括所有变量，每个乘积它中每个变量出现且仅出项1次。
如：Y=F 〔A ，B 〕 〔2个变量共有4个最小项B A B A B A AB 〕Y=F 〔A ，B ，C 〕 〔3个变量共有8个最小项C B A C B A C B A BC A C B A C B A C AB ABC 〕结论： n 变量共有2n 个最小项。
三变量最小项真值表〔2〕最小项的性质①任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为1：②任意两个最小项的乘种为零；③全体最小项之和为1。
〔3〕最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用m i 表示。
3．最小项表达式——标准与或式任何逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或式。
而且这种形式是惟一的，即一个逻辑函数只有一种最小项表达式。
例1．写出以下函数的标准与或式：Y=F(A,B,C)=AB+BC+CA解：Y=AB(C +C)+BC(A +A)+CA(B +B) =ABC C B A ABC BC A ABC C AB +++++ =ABC C B A BC A C AB +++=3567m m m m +++例2.写出以下函数的标准与或式：C B AD AB Y ++=解：))()(C B D A B A Y +++=（ ＝）8,7,6,5,4,1,0(m ∑列真值表写最小项表达式。
4．卡诺图〔1〕．卡诺图及其画法：把最小项按照一定规则排列而构成的方格图。
逻辑函数的卡诺图化简法
逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法由前面的学习得知，利用代数法可以使逻辑函数变成较简单的形式。
但要求熟练掌握逻辑代数的基本定律，而且需要一些技巧，特别是经化简后得到的逻辑表达式是否是最简式较难确定。
运用卡诺图法可以较简便的方法得到最简表达式。
但首先需要了解最小项的概念。
一、最小项的定义及其性质1.最小项的基本概念由A、B、C三个逻辑变量构成的许多乘积项中有八个被称为A、B、C的最小项的乘积项，它们的特点是1. 每项都只有三个因子2. 每个变量都是它的一个因子3. 每一变量或以原变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，或以反（非）变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，各出现一次一般情况下，对ｎ个变量来说，最小项共有2n个，如n ＝3时，最小项有23＝8个2.最小项的性质为了分析最小项的性质，以下列出３个变量的所有最小项的真值表。
由此可见，最小项具有下列性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。
（2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。
（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。
（4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。
3.最小项的编号最小项通常用mi表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。
以ABC为例，因为它和011相对应，所以就称ABC是和变量取值011相对应的最小项，而011相当于十进制中的3，所以把ABC记为m3按此原则，3个变量的最小项二、逻辑函数的最小项表达式利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式。
下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。
例如，要将化成最小项表达式,这时可利用的基本运算关系,将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A、B、C的项，然后再用最小项下标编号来代表最小项，即又如，要将化成最小项表达式，可经下列几步：（1）多次利用摩根定律去掉非号，直至最后得到一个只在单个变量上有非号的表达式；（2）利用分配律除去括号，直至得到一个与或表达式；（3）在以上第5个等式中，有一项AB不是最小项（缺少变量C），可用乘此项，正如第6个等式所示。
卡诺图化简法
下面两个图，你会画卡诺圈吗？
CD AB 00
01 11
10
00 1 1 1 1
01 1 1 1 1
11
10
ABCD00 01 11 10
00 1
1
01 1
1
11 1
1
10 1
1
FA
FD
小结
• 1、卡诺图，用卡诺图表示逻辑函数 • 2、卡诺图法化简逻辑函数的步骤
数字电子技术
数字电子技术
目录
• 1、什么是卡诺图？ • 2、卡诺图法化简的步骤
逻辑函数卡诺图化简法
• 卡诺图是什么？
最小项 卡诺图画法规则
卡诺图表示函数
逻辑函数卡诺图化简法
•最小项： 设有 n 个变量，它们组成的“与” 项中每个变量或 以原变量或以反变量形式出现一次，且仅出现一次， 这些与项均称之为n个变量的最小项。若函数包含 n 个变量，构成的最小项应为 2n个，分别记为 mn。
③“圈1”-----用卡诺圈把相邻最小项进行合并，遵照 最大化原则；
④“读圈”----- 根据所圈的卡诺圈，消除圈内全部互 反的变量，保留相同变量作为一个“与”项。
逻辑函数卡诺图化简法
•卡诺图法化简时应遵循以下原则
① “1” 的个数为2n； ② 包围圈越大越好，个数越少越好； ③“1”可以被重复包围使用； ④必须把所有的“1”都圈完。
三变量的最小项共有23 =8个，可表示为：
ABC 000 m0 ABC 001 m1 ABC 010 m2 ABC 011 m3 ABC 100 m4 ABC 101 m5 ABC 110 m6 ABC 111 m7
逻辑函数卡诺图化简法
•卡诺图画法规则： 卡诺图是平面方格阵列图，其画法满足几何
逻辑函数的卡诺图化简课件
主要项：把2n个为1的相邻最小项进行合并，若卡诺圈不能再扩大，则圈得的合 并与项称为主要项。 必要项：若主要项圈中至少有一个为1的“特定”最小项没有被其它主要项所覆 盖，则称此主要项为必要项或实质主要项。最简逻辑函数中的与项都是必要项。
冗余项：若主要项圈中不包含有为1的“特定”最小项，或者说它所包含为1的最 小项均已被其它的主要项圈所覆盖，则称其为冗余项或多余项。
2. 卡诺图上最小项的相邻性
1）几何相邻 2）相对相邻 3）重叠相邻 演示
3. 卡诺图的填写方法
1. 函数为最小项表达式 因为构成函数的每一个最小项，其逻辑取值都是使函数值为1的 最小项，所以填写卡诺图时，在构成函数的每个最小项相应的小方 格中填上1，而其它方格填上0即可。也就是说，任何一个逻辑函数 都等于它的卡诺图中填1的那些最小项之和。
解：① 若按单个函数分别化简，则：
F1 AB AC
F2 AB BC
两个表达式中共有4个不同的与项，变量总数为8个。
② 若将函数F1和F2 中的公共与项“ABC”公用，则两个输出函数分 别化简为：
F1 AB ABC
F2 BC ABC
两个表达式中共有3个不同的与项，变量总数为7个。虽然单个函数不 是最简，但充分利用了函数的公共“与项”，使总体效果达到了最佳。
AB CD
00 00 01
10 11
01 0
1 1 0
11 1
1 1 0
10 1
0 1 0
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AB CD 00 01 10 11
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卡诺图化简逻辑表达式
卡诺图对于大规模逻辑电路的优化效果有限
随着逻辑电路规模的增大，卡诺图的化简过程变得复杂且耗时，难以在实际工程 中应用。
对于大规模逻辑电路，可能需要采用其他优化方法，如布尔代数、门级优化等， 以获得更好的优化效果。
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卡诺图化简逻辑表达式
• 卡诺图简介 • 卡诺图化简逻辑表达式的方法 • 卡诺图化简逻辑表达式的实例 • 卡诺图与其他化简方法的比较 • 卡诺图的局限性
01
卡诺图简介
卡诺图的定义
• 定义：卡诺图是一种用于表示二进制逻辑函数关系的图形表示 法，通过将逻辑函数输入变量的所有可能取值组合在网格中表 示出来，可以直观地观察到函数的最简形式。
卡诺图与布尔代数化简的比较
布尔代数化简
通过使用逻辑运算（与、或、非）的代数性质，如吸收律、分配律等，对逻辑表达式进 行简化。这种方法需要一定的数学基础，但在处理复杂逻辑表达式时可能较为繁琐。
卡诺图化简
利用图形直观地表示输入变量的所有可能组合，通过排除法简化逻辑表达式。卡诺图化 简简单易懂，不需要复杂的数学运算，特别适合初学者和解决多变量逻辑表达式的化简
问题。
卡诺图与公式化简的比较
公式化简
通过逻辑运算的公式和定理，对逻辑表达式 进行简化。这种方法需要熟练掌握各种逻辑 公式和定理，对于初学者有一定的难度。
卡诺图化简
利用图形化的方式表示输入变量的所有可能 组合，通过排除法简化逻辑表达式。卡诺图 化简直观、易于操作，不需要复杂的公式和 定理，特别适合初学者和解决多变量逻辑表 达式的化简问题。
05
卡诺图的局限性
卡诺图适用范围有限
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数字电子技术课程教案
1、课次：4
2、授课方式：理论课
3、课时安排：2课时
4、授课题目：1.7逻辑函数的卡诺图化简法
5、教学目的：了解逻辑函数的卡诺图化简方法
6、教学重点及难点：卡诺图化简方法
7、方法及手段：举例讲解
8、教学内容
1.7逻辑函数的卡诺图化简法
在n变量逻辑函数中，若m是n个因子的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现且仅出现一次，则称m为该组变量的最小项。
1.对于输入变量的任意取值，有且仅有一个最小项的值为1
2.任意两个最小项的乘积为0
3.全体最小项之和为1
4.相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去不同变量保留相同变量
函数的最小项之和形式
变量的卡诺图
函数F的卡诺图如下，函数中的乘积项已圈出。
每一个两字母乘积项对应卡诺图
中的两块(因为一个变量已经消去)。
项在10列，AC项在C＝1行，11、10列(其变量A值为1的位置)。
最后，最小项对应一块，位置在01( )列，C=0行。
我们也可以首先将函数F扩展成最小项和的形式，得到的结果与上相同。
删掉重复项并重新排序，然后使用最小项编号填写卡诺图，得到相同的结果。
下面我们给出一些与卡诺图相关的术语的定义。
函数的蕴含项是指函数用SOP
表达式表示时其中的一个乘积项，即当蕴含项为1时，函数值为1(当然，不管有几个蕴含项，函数值都为1)。
从卡诺图中来看，一个蕴含项就是一个1，2，4，8…(2的幂)个1组成的矩阵块。
该矩阵块中的值不能有0。
所有的最小项均是蕴含项。
看函数F的卡诺图图3.12。
第二张图中圈出了四个2个一组的蕴含项，第三张图中圈出了另外两个2个一组的蕴含项以及4个一组的蕴含项。
依据最小项合并的规律，把具有相邻性的两个最小项合并成一项（用一个圆圈标示出来），消去一个因子：把4个具有相邻性的最小项合并成一项，消去两个因子；把8个具有相邻性的最小项合并成一项，消去3个因子；把2N个具有相邻性的最小项合并成一项，消去n个因子；
1.画出需要化简的逻辑函数的变量卡诺图
2.找出所有具有相邻性的2N的最小项
3.将上一步得到的各乘积项相加，得到该函数的最简与-或表达式
合并最小项时要注意以下几点：
1.结果的乘积项包含函数的全部最小项
2.所需要画的圈尽可能的少，即化简后的乘积项数目越少越好
3.所画的每个圈包含的最小项越多越好，即化简后的每个乘积项包含的因子数目越少越好
（1）约束项：对输入变量取值所加的限制称为约束。
对应的最小项成为约束项。
把相应的一组变量称为具有约束的一组变量。
（2）任意项：与约束项类似的另一种情况是输入变量的取值既可以看作是0，又可以看作是1，并不影响函数的结果或电路的功能。
在这些变量取值的情况下，值为1 的那些最小项称为任意项。
（3）无关项：在逻辑函数中约束项和任意项通称为无关项。
步骤：（1）将函数化为最小项之和的形式。
（2）画出函数的卡诺图，其中的约束项用（*）填入。
（3）合并最小项时，根据需要可以把约束项“*”当作1处理，也可以当作0处理。
（4）得到化简结果。
9.思考题：P28 1-14
10.小结最小项及卡诺图的化简方法。