数字信号处理自测练习题

第9章自测练习题及其参考解答本章练习题根据硕士研究生入学试题汇集，供读者复习和检查学习效果。

9.1 自测练习题一、填空题1．已知一离散系统的输入为x(n)，输出y(n)=x(n-1)+3x(n-2)，则可以判断该系统具有____________，__________，____________的系统特性。

2．用F s=120Hz的采样频率对含有频率40Hz的余弦信号的实连续信号x(t)进行采样，并利用N=1024点DFI'分析信号的频谱，则可计算出频谱的峰值出现在第______条谱线。

3．已知4阶线性相位FIR系统函数H(z)的一个零点为z1=2-2j，则系统的其他零点为_______________________________________。

4．序列x(n)=cos(0.15πn)+2sin(0.25πn)的周期为__________。

5．已知5点的有限序列x(n)={1，2，4,-2,-1}，则x(n)的自相关函数R x(n)为__________。

6．当用窗口法设计线性相位FIR滤波器时，如何控制滤波器阻带衰减_________。

7．IIR数字滤波器可否设计为因果稳定的具有线性相位的离散系统?_________。

8．已知离散系统LTI系统的单位阶跃响应为y(n)={1,2,3,2}，当系统的输入为x(n)=δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+δ(n-3)时，该系统的零状态响应为_________。

9．已知序列x(n)={2,3,4,5,6}，X(e jω)=FT[x(n)]。

X(e jω)在{ω=2πk/4;k=0,1,2,3}的4点取样值为X(k)，则IDFT[X(k)]=______________。

10、可以从，和三个角度用三种表示方式来描述一个线性时不变离散时间系统。

二、简答题1．试用数学公式描述线性系统。

2．时间窗的引入对分析原始数字信号的频谱带来什么影响？怎样才能减小这种影响？3．何谓IIR、FIR滤波器？它们各自采用什么方法实现？4．若某函数x(t)的频谱X(f)如图9-1(a)所示，则以T为采样周期对x(t)进行采样，得到采样后的函数频谱为X’(f)，如图9-1(b)所示。

试问采样周期为多少？为使采样后的X’(f)一个周期与采样前的X(f)相等效，应怎样做。

(a) (b)图9-1238 5．某一无限长连续信号包含有频率为f 的正弦信号，其他频率分量的信号频率远低于该正弦信号。

试提出一种可行的处理方案能够比较精确地测得正弦信号的频率。

6．已知离散周期信号x (n )的周期为N ，有限长信号h (n )的长度为M ，试用DFT(FFT)完成两个信号的线性卷积。

要求写出计算步骤，以及DFI'(FFT)的变换长度。

7．假设离散信号x (n )的N (偶数)点DFT 用X (k )表示，试证明：∑∑-=-=+=12/02/212/02/1)()()(N r kr N k N N r kr N W r x W W r x k X式中，x 1(r )=x (2r )，r =0,1,2,…,(N /2-1)，x 2(r )=x (2r +1)，r =0,1,2,…,(N /2-1)8、DFT 的正交基是什么？为什么要用正交变换？9、DFT 和DFS 有什么关系？10、用窗函数法设计FIR 滤波器时，窗函数对FIR 滤波器产生什么影响？三、判断题1．一个因果的线性时不变系统(LTI)的逆系统也是因果的；2．只要离散时间LTI 系统的全部极点在单位圆内，则该系统一定是稳定的;3．离散时间LTI 系统的极点越靠近单位圆，系统的频响在该极点所对应的频率附近出 现的峰值就越尖锐；4．一个因果系统和一个非因果系统的级联构成一个非因果系统；5．某离散时间LTI 系统的幅频特性|H (e j ω)|=1，该系统是一个不失真传输系统。

6、从数字观点看，任何周期的采样信号均可以还原为原始的连续信号。

7、若x (n )，n =0，1，…，是离散的周期函数，那么其频谱X (k )一定是一个连续的周期函数。

8、FIR 滤波器H (z )相位满足关系φ(ω)=-k ω(k 为常数)，则H (z )是线性相位滤波器。

9、余弦序列cos(n ω0)不一定是周期序列。

10、FFT 是序列傅氏变换的快速算法。

四、计算题1．现要用计算机对实数离散信号进行频谱分析，要求频谱的分辨率F ≤50Hz 。

如果信号的最高频率为2kHz ，试确定以下各参数：(1)最短的离散信号的记录长度； (2)最大的采样周期；(3)至少要求有多少个采样点数；(4)在频带宽度不变的情况下，使分辨率提高一倍的采样点数。

2．已知确定序列x (n ) ={1,2,2,1}，h (n )={2,1,-1,1}，试计算：(1) x (n )*h (n ) (2) x (n )○4h (n ) (3) x (n )○7h(n ) 3．已知连续信号x (t )的频率成分集中在0~2000Hz 之间，若利用DFT 对该信号进行谱分析，指出下列各参数如何选取：(1)可允许的最大采样间隔T max ；(2)若该信号只记录了0.2s ，采样间隔T =0.0002s ，应至少进行多少点的DFT ；(3)简述利用DFT 分析连续时间信号x (t )的频谱，将会引起哪些误差，如何改善？4．试求双边Z 变换为X (z )=814322+-z z 可能对应的序列x (n )。

239 5．分别利用脉冲响应不变法和双线性法将滤波器H (s )=)1)(2(3++s s 转换为数字滤波器H 1(z )和H 2(z )，采样间隔T =2；6．线性相位FIR 带通数字滤波器幅度特性为|H d (e j ω)|= ⎩⎨⎧01 其他32||3πωπ≤≤。

试用矩形窗口法设计一个5阶的线性相位FIR 带通数字滤波器，试求(1) h (n )的表达式及其h (n )的具体值；(2) 画出H (z )线性相位的直接型结构图。

7．已知x (t )=sin(2πft +π/4)，其中f =1Hz ，(1)求x (t )的周期；(2)若T =0.125s ，对x (t )进行采样，试写出x (n )的表达式，并求出x (n )的周期。

8．已知长度为4的序列为⎩⎨⎧===3,2,1,20,1)(n n n x 试计算x (n )的4点离散傅里叶变换X (k )。

9．已知f 0=50Hz ，x (t ) =2A cos )62(0ππ+t f ，要求用FFT 分析x (t )的频谱。

为了准确地分析出信号的频率，试确定(1) 采样频率、采样点数以及FFT 的变换区间应选多少？(2) 画出用FFT 作出的信号幅度曲线。

10．试画出线性卷积y (m )=∑∞-∞=+n m n h n x )()(的波形。

设已知离散信号x (n )={1,1,1,1,1},h (n )={2,2,2,2,2,2,2)。

11、若h (n )为实、因果序列求h (n )。

己知Re[H (e j ω)]=1+2cos2ω。

12、两个8点的序列x 1(n )和x 2(n )如图9-2所示，其8点的DFT 分别为X 1(k )和X 2(k )，试确定X 1(k )和X 2(k )的关系。

图9-2 13、某离散时间LTI 系统由y 1(n )=x (n )-0.5y 1(n -1)，h 1(n )=δ(n -1)，h 2(n )=2δ(n )+δ(n -1)三个LTI 系统级联而成。

求输入x (n )=u (n )时系统的输出y (n )。

14、已知因果稳定LTI 系统输入为x (n )=(1/3)n u (n )时的响应为y (n )=[ (1/3)n +(-2/3)n ]u (n )。

(1) 求H (z )，并画出系统的零极点分布图； (2) 求系统的单位脉冲响应h (n )；(3) 根据系统的零极点图画出系统的幅频特性，并注出ω=0,π/2,π时的幅度值；(4) 求系统的输入为x (n )=(-1)n 时的输出y (n )。

15、己知序列x (n )=a n u (n )，0<a <1，X (z )=ZT[x (n )]。

(1)若在单位圆上对X (z )等间隔采样N 点，得X (k )=X (z )k Nj e z π2|=，k =0,1,2,…,N -1，求长度为N 的有限长序列x N (n )，使其DFT 满足DFT[x N (n )]=X (k )。

(2) 在半径为r 的圆周上对X (z )等间隔采样N 点，即X r (k )=X (z )k N r z π2j e |=, k =0,1,2,…,N -1，试给出一种用N 点DFT 计算得到X r (k )的方法。

16、假设N 为偶数，长为N 有限长序列x (n ) N 点DFT 为X (k )，k =0,1,2,3,…,N -1。

240 (1)若序列⎩⎨⎧++=0)()()(N n x n x n y nN n 其他120-≤≤，证明Y (k )=Y (2k )，k =0,1,2,3…,2N -1 (2)若⎩⎨⎧-≤≤=其他,010),()(N n n x n y ，y (n )的2N 点DFT 为Y (k )，试确定Y (k )与X (k )的关系。

(3)若⎩⎨⎧=0)2/()(n x n y 为奇数为偶数n n ，y (n )的2N 点DFT 为Y (k )，试确定Y (k )与X (k )的关系。

17、(1)计算离散时间序列x (n )=2n u (-n +2)的傅里叶变换X (e j ω);(2)离散LTI 系统的单位脉冲响应h (n )如图9-3(a)所示，求系统对图9-3(b)所示的输入信号x (n )的响应y (n )，并画出其波形。

(a) 单位脉冲响应h (n ) (b) 输入信号x (n )图9-3 18、设从t =0开始，以等间隔时间T s =0.25ms 采样模拟信号x a (t )=cos(2π×1000t+θ)，共采样N 点。

(1) 试确定采样后序列x (n )的角频率和表达式；(2) 说明N 如何取值，N 点DFT[x (n )]的结果能精确地反映x (n )的频谱；(3) 试确定模拟频率分辨率可以达到1Hz 时的最小采样点数N min1Hz ；(4) M 点采样x (n )后补N -M (N >M )个零得到X N (k )=DFT[x (n )]N ，可否通过增大N 来提高模拟频率的分辨率?19、图9-4表示的x (n )是一个6点的有限长序列，其Z 变换为X (z )，如果在z =k 2j e π，k =0,1,2,3处对X (z )进行采样，就得到该序列的4点DFT ，即X (k )=X (z )k j e z 2|π=，k =0,1,2,3若将所得到的X (k )作IDFT ，试绘出所对应信号的波形。