正方形探究线段数量关系与位置关系
【教学设计】正方形的性质和判定
人教版初中数学八年级下册 第十八章 平行四边形第二节 特殊的平行四边形教学设计正方形山东省东营市胜利第一中学 初中数学 张振安一、 教学方法自学探究、小组合作、数学实验（几何画板）这节课本着《数学课程标准》中“动手实践、自主探索与合作交流 是学生学习数学的重要方式”这一理念进行设计，采用引导发现、自学 探究、小组合作、数学实验相结合的方法，同时利用借助现代教育技术 （几何画板、希沃授课助手），让学生看到思维的过程。
二、 教学过程（一）问题引入（5分钟）1、 观看几何画板设计的两个动画，思考平行四边形经历了怎样的图形变化过程？（2分钟）（1）平行四边形—＞矩形—＞正方形； （2）平行四边形—＞菱形—＞正方形。
活动目的：利用课件形象演示变化出正方形的过程，激发学习兴趣，引 导学生分析如何由矩形变化出正方形以及如何由菱形变化出正II, 一一 J 变形按钮1 |二 Lj IL-J 变形按钮3L 变形川顺序2个动作 AB = 15.35厘米DC = 15.35厘米 m CAB =53.39°方形，引出本节课题，并为进一步启发学生发现正方形既是特殊的菱形，又是特殊的矩形埋下伏笔。
2、引出课题，板书标题：正方形3、展示生活中的正方形应用，展示本节课学习目标。
（1分钟）（1）．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形概念之间的联系和区别；（2）．能用正方形的定义、性质和判定进行推理与计算。
活动目的：让学生明确学习任务和达成的目标。
（二）概念分析（2分钟）1、回顾小学阶段对正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。
2、请你用所学知识重新下定义：既是矩形又是菱形的四边形叫做正方形。
活动目的：让学生从小学定义及本节课开始的动画演示出发重新思考正方形的定义，提高对正方形的认识。
（三）性质探究（5分钟）1、请你们独立思考正方形具有哪些性质，并小组内交流。
（1分钟）2、班内交流展示，总结性质：（4分钟）（1）正方形的四条边都相等；（2）正方形的四个角都是直角；（3）正方形的对角线相等、垂直、互相平分，且平分对角。
最新九年级数学中考复习：几何探究题--线段问题含答案
（1）猜想线段AE和BG的关系，请直接写出你的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D顺时针方向旋转一定角度后（旋转角大于0°，小于或等于360°），如图2，判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
问题探究：
（1）如图1，若 、 都是直角，把 绕点A逆时针旋转90°至 ，使AB与AD重合，则 ______度，线段BE、DF和EF之间的数量关系为______；
问题再探：
（2）如图2，若 、 都不是直角，但满足 ，线段BE、DF和EF之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（1）如图1，求∠BDC的度数（用含α的式子表示）．
（2）如图2，当α＝60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE＝BD；
（3）如图3，当α＝90°时，记直线l与CD的交点为F，连接 ．将直线l绕点A旋转，当线段BF的长取得最大值时，直接写出tan∠FBC的值．．
17．（1）发现问题：如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点F为BC上一点，以BF为边作正方形BFED，点E在AB上，若AC＝BC＝2，BF＝ ，则 ＝；
②当点D到直线BC的距离等于2时，DG的长为；
③当以点A、C、D、B为顶点的四边形时矩形时，点P在线段DG上，且∠CPG与∠A互余，连接CP，则直线CP与AB所夹锐角的正切值为．
11．有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，DE，M是BF的中点
【观察猜想】
(2)如图2，点D在AC左侧且在点A上方，连接BE交CD于点M，F为BE上一点，连接DF，过点F作FG∥AC交BC延长线于点G，连接GM，EG，AD．若∠EDF+∠EBG＝∠DEB，GM＝BM．求证：AD＝EF．
探究与正方形有关的线段之间的数量关系
探究与正方形有关的线段之间的数量关系作者：***来源：《中学数学杂志(初中版)》2020年第06期正方形作为最特殊的四边形之一，具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，因而，以正方形为背景的几何综合题层出不穷.在题目中可以求线段之间的数量关系、位置关系、线段的长度、角的度数等等，解题时需要特别明确正方形的性质，善于动手操作、大胆猜想，联想学过的几何基本图形，恰当的添加辅助线，运用几何推理方可得出结论.1 与正方形有关的两条线段的相等关系例1 如图1，在正方形ABCD中，BD是一条对角线.点P在线段CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH，PH.1.依题意补全图1;2.判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明;分析 1.依题意补全图1，如图2，主要关注：（1）平移△ADP：平移的方向是沿着DC的方向，平移的距离是DC的长度;（2）过点Q作QH⊥BD于点H：明确过点Q，作QH⊥BD于点H，垂足是H;（3）连接AH，PH.2.判断AH与PH的数量关系与位置关系，这里包含两层意思（1）AH和PH的数量关系，是相等还是不相等，还是几倍的关系.（2）AH和PH的位置关系是平行还是垂直.本题解题时首先应该利用刻度尺和量角器度量后进行猜想，发现AH=PH，AH⊥PH.然后联想学过证明线段相等的方法：三角形全等、等角对等边、平行四边形对边相等.联想证明垂直的方法：直角三角形两锐角互余，矩形四个角为直角.结合本题条件，发现AH和PH所在的三角形，△HAD和△HPQ可以全等.因平移△ADP，使点D移动到点C得到△BCQ，知DC=PQ.由正方形ABCD可得DA=DC=PQ，∠BDA=∠BDC=45°.QH⊥BD于点H，∠HDQ=∠HQD=∠BDA=45°，HQ=HD，所以△HAD≌△HPQ，HA=HP、∠AHD=∠PHQ.由∠DHP+∠PHQ=90°，所以，∠DHP+∠AHD=90°，∠AHP=90°，HA⊥HP.反思本题中正方形ABCD提供了以下重要条件：边相等DA=DC、∠BDA=∠BDC=45°，然后再充分利用其他条件进行证明即可.2 与正方形有关的两条线段的倍数关系例2 如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，将线段ED绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接BF.1.依题意补全图;2.用等式表示线段BF与AE的数量关系并证明.分析 1.依题意补全图形，如图4，主要关注：（1）将线段ED绕点E顺时针旋转90°：旋转中心是点E，旋转方向顺时针，旋转角度是90°;（2）连接BF.2.用等式表示线段BF与AE的数量关系.解题时首先应该利用刻度尺度量，发现BF和AE 不是相等关系.然后通过计算，猜想BF和AE具有 2倍的关系，因此，可以构造等腰直角三角形，让BF作为斜边，AE的长度作为直角边，可以过F做AB的延长线的垂线，通过证明△DAE≌△EHF从而达到目的.因四边形ABCD是正方形，则AB=AD，∠A=90°.由线段ED绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，则DE=EF，∠DEF=90°.因∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，所以∠2=∠3，△DAE≌△EHF，得出AE=FH，AD=EH，AB=EH，AE=BH，FH=BH，△BFH是等腰直角三角形，BF=2FH=2AE.反思本题中正方形ABCD提供了以下重要条件：AB=AD，∠A=90°，通过做辅助线，然后再充分利用其他条件进行证明即可.3 与正方形有关的三条线段的关系3.1 与正方形有关的三条线段的一次关系例3 如图5，在正方形ABCD中，点E是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点B 作BF⊥DE，交射線DE于点F，连接CF.1.依题意补全图形;2.判断线段BF，CF，DF之间的数量关系，并证明.分析 1.依题意补全图，如图6，主要关注：（1）过点B作BF⊥DE，交射线DE于点F;（2）连接CF.2.判断线段BF，CF，DF之间的数量关系.解题时首先应该利用刻度尺度量，发现BF，CF，DF之间没有明确的两条线段之和等于第三条线段关系.然后通过计算，猜想DF大约等于BF加上CF的 2倍的关系，DF=DM+MF=BF+2CF.因此，可以在DF上截取DM=BF，连接CM，构造等腰直角三角形CMF，让CF作为直角边，再证明MF=2CF，从而达到目的.由正方形ABCD知BC=CD，∠BDC=∠DBC=45°，∠BCD=90°，∠CDM=∠CBF，△CDM≌△CBF（SAS）.则DM=BF，CM=CF，∠DCM=∠BCF.∠MCF=∠BCF+∠MCE=∠DCM+∠MCE=∠BCD=90°所以MF= 2CF，DF=DM+MF=BF+2CF.反思本题中正方形ABCD提供了以下重要条件：BC=CD，∠BDC=∠DBC=45°，∠BCD=90°，通过添加辅助线，然后再充分利用其他条件进行证明即可.3.2 与正方形有关的三条线段的二次关系例4 如图7，正方形ABCD中，点P是线段AC上的一个动点，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，连接CE.1.依题意补全图形;2.求证：PA2+PC2=2PB2.分析 1.依题意补全图形如图8，主要关注：（1）将线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，旋转中心是点B，旋转方向顺时针，旋转角度是90°;（2）连接CE.2.求证PA2+PC2=2PB2，发现是线段的平方关系，而且有2PB2，因此，猜想构造等腰直角三角形是关键.由四边形ABCD是正方形，得CB=AB，∠1=∠2=45°，∠3+∠4=90°.因将线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，所以BE=BP，∠5+∠4=90°.PE=2PB，∠5=∠3.△CBE≌△ABP（SAS），因此EC=PA，∠6=∠1=45°.∠PCE=∠2+∠6=90°.得EC2+PC2=PE2，由EC=PA，PE=2PB，PA2+PC2=2PB2.反思本题中正方形ABCD提供了以下重要条件：BC=AB，∠1=∠2=45°，∠BCD=90°，通过添加辅助线，然后再充分利用其他条件进行证明即可.与正方形有关的线段之间的数量关系不止以上几种情况，在求解过程中，主要是动手操作，大胆猜想，积极验证.结合学习过的相关模型，巧妙运用正方形的相关性质，一定会顺利解题.作者简介王献春（1967—），男，北京延庆人，大学本科，正高级教师，主要从事初中教学研究.。
2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：四边形综合题(五)
2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：四边形综合题（一）1．如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC，BD的交点，连接CE，DG．（1）求证：△DOG≌△COE；（2）若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，且∠OMD＝75°，求CE的长；（3）在（2）的条件下，把正方形OEFG绕点O旋转，直接写出点B到点F的最短距离．2．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．（Ⅰ）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；（Ⅲ）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．3．如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．①线段DG与BE之间的数量关系是；②直线DG与直线BE之间的位置关系是；（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG ＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．4．如图，在△ABC中，AB＝BC＝15，sin B＝，动点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向终点A运动，过点P作PD⊥AB，交射线BC于点D，E为PD中点，以DE为边作正方形DEFG，使点A、F在PD的同侧，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求点A到边BC的距离．（2）当点G在边AC上时，求t的值．（3）设正方形DEFG与△ABC的重叠部分图形的面积为S，当点D在边BC上时，求S 与t之间的函数关系式．（4）连结EG，当△DEG一边上的中点在线段AC上时，直接写出t的值．5．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是对角线BD上一动点，将线段CP绕点C顺时针旋转120°到CQ，连接DQ．（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图2，连接QP并延长，分别交AB、CD于点M、N．①求证：PM＝QN；②若MN的最小值为2，直接写出菱形ABCD的面积为．6．【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当＝时，求的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．7．如图1，在矩形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP交对角线BD于点E，BP＝BE．作线段AP的中垂线MN分别交线段DC，DB，AP，AB于点M，G，F，N．（1）求证：∠BAP＝∠BGN；（2）若AB＝6，BC＝8，求；（3）如图2，在（2）的条件下，连接CF，求tan∠CFM的值．8．如图，现有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC 上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G 处，连接PC，交MN丁点Q，连接CM．（1）求证：PM＝PN；（2）当P，A重合时，求MN的值；（3）若△PQM的面积为S，求S的取值范围．9．（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．小明发现，当把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是（不要求证明）（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE＝3，求AF的长．10．将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为，连接BD，可求出的值为；（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：四边形综合题（二）11．如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN ＝45°．（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM 的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长．12．如图将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°）得到正方形AB′C′D′．（1）如图1，B′C′与AC交于点M，C′D′与AD所在直线交于点N，若MN∥B′D′，求α；（2）如图2，C′B′与CD交于点Q，延长C′B′与BC交于点P，当α＝30°时．①求∠DAQ的度数；②若AB＝6，求PQ的长度．13．如图1所示，边长为4的正方形ABCD与边长为a（1＜a＜4）的正方形CFEG的顶点C 重合，点E在对角线AC上．【问题发现】如图1所示，AE与BF的数量关系为；【类比探究】如图2所示，将正方形CFEG绕点C旋转，旋转角为α（0＜α＜30°），请问此时上述结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由；【拓展延伸】若点F为BC的中点，且在正方形CFEG的旋转过程中，有点A、F、G在一条直线上，直接写出此时线段AG的长度为．14．如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，过点E作EM⊥AE，交对角线AC于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，连接NE．（1）求证：AE＝NE+ME；（2）如图2，延长EM至点F，使EF＝EA，连接AF，过点F作FH⊥DC，垂足为H．猜想CH与FH存在的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若点G是AF的中点，连接GH．当GH＝CH时，直接写出GH与AC之间存在的数量关系．15．在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为°．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG的长．16．【探索规律】如图①，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且DF∥BC，EF∥AB．设△ADF的边DF上的高为h1，△EFC的边CE上的高为h2．（1）若△ADF、△EFC的面积分别为3，1，则＝；（2）设△ADF、△EFC、四边形BDFE的面积分别为S1，S2，S，求证：S＝2；【解决问题】（3）如图②，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，点F，G在BC上，且DE∥BC，DF∥EG．若△ADE、△DBF、△EGC的面积分别为3，7，5，求△ABC的面积．17．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，DE⊥AB于点E，过点E的直线交BC于点G，且BG＝CG．（1）求证：GD＝EG．（2）若BD⊥EG垂足为O，BO＝2，DO＝4，画出图形并求出四边形ABCD的面积．（3）在（2）的条件下，以O为旋转中心顺时针旋转△GDO，得到△G′D'O，点G′落在BC上时，请直接写出G′E的长．18．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上一点．F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE．（1）发现问题：如图①，若E是线段AC的中点，连接EF，其他条件不变，猜想线段BE与EF的数量关系；（2）探究问题．如图②，若E是线段AC上任意一点，连接EF，其他条件不变，猜想线段BE与EF的数量关系是什么？请证明你的猜想；（3）解决问题：如图③，若E是线段AC延长线上任意一点，其他条件不变，且∠EBC＝30°，AB＝3，请直接写出AF的长度19．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做神奇四边形．顺次连接四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．（1）判断：①在平行四边形、矩形、菱形中，一定是神奇四边形的是；②命题：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，则四边形ABCD是神奇四边形．此命题是（填“真”或“假”）命题；③神奇四边形的中点四边形是；（2）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接BE，CG，GE．①求证：四边形BCGE是神奇四边形；②若AC＝2，AB＝，求GE的长；（3）如图3，四边形ABCD是神奇四边形，若AB＝6，CD＝，AD、BC分别是方程x2﹣（k+4）x+4k＝0的两根，求k的值．20．在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE＞DE），AE，BD交于点F．（1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H．求证：∠EAB＝∠GHC；（2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN．①依题意补全图形；②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：四边形综合题（三）21．如图，菱形ABCD中，AB＝10，连接BD，点P是射线BC上一点（不与点B重合），AP与对角线BD交于点E，连接EC．（1）求证：AE＝CE；（2）若sin∠ABD＝，当点P在线段BC上时，若BP＝4，求△PEC的面积；（3）若∠ABC＝45°，当点P在线段BC的延长线上时，请直接写出△PEC是等腰三角形时BP的长．22．已知线段AB，过点A的射线l⊥AB．在射线l上截取线段AC＝AB，连接BC，点M为BC的中点，点P为AB边上一动点，点N为线段BM上一动点，以点P为旋转中心，将△BPN逆时针旋转90°得到△DPE，B的对应点为D，N的对应点为E．（1）当点N与点M重合，且点P不是AB中点时，①据题意在图中补全图形；②证明：以A，M，E，D为顶点的四边形是矩形．（2）连接EM．若AB＝4，从下列3个条件中选择1个：①BP＝1，②PN＝1，③BN＝，当条件（填入序号）满足时，一定有EM＝EA，并证明这个结论．23．在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，当AD＝25，且AE＜DE时，求的值；（3）如图3，当BE•EF＝108时，求BP的值．24．如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，G、A、B在同一直线上，点E在AD 上，连接DG，BE．（1）证明：BE＝DG；（2）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示，判断BE与DG的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG ＝2AE时，判断BE与DG的数量关系和位置关系是否与（2）的结论相同，并说明理由．25．已知△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，以CE、BC为边作平行四边形CEFB，连CD、CF．（1）如图1，当E、D分别在AC和AB上时，求证：CD＝CF；（2）如图2，△ADE绕点A旋转一定角度，判断（1）中CD与CF的数量关系是否依然成立，并加以证明；（3）如图3，AE＝，AB＝，将△ADE绕A点旋转一周，当四边形CEFB为菱形时，直接写出CF的长．26．已知，在▱ABCD中，AB⊥BD，AB＝BD，E为射线BC上一点，连接AE交BD于点F．（1）如图1，若点E与点C重合，且AF＝2，求AD的长；（2）如图2，当点E在BC边上时，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H，连接FH．求证：AF＝DH+FH；（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，过点D作DG⊥AE于G，M为AG的中点，点N在BC边上且BN＝1，已知AB＝4，请直接写出MN的最小值．27．如图，已知正方形ABCD，AB＝8，点E是射线DC上一个动点（点E与点D不重合），连接AE，BE，以BE为边在线段AD的右侧作正方形BEFG，连结CG．（1）当点E在线段DC上时，求证：△BAE≌△BCG；（2）在（1）的条件下，若CE＝2，求CG的长；（3）连接CF，当△CFG为等腰三角形时，求DE的长．28．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂直四边形吗？请说明理由；（2）如图2，四边形ABCD是垂直四边形，求证：AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，BC＝3，求GE长．29．如图1，在正方形ABCD中，AD＝9，点P是对角线BD上任意一点（不与B、D重合），点O是BD的中点，连接PC，过点P作PE⊥PC交直线AB于点E．初步感知：当点P与点O重合时，比较：PC PE（选填“＞”、“＜”或“＝”）．再次感知：如图1，当点P在线段OD上时，如何判断PC和PE数量关系呢？甲同学通过过点P分别向AB和BC作垂线，构造全等三角形，证明出PC＝PE；乙同学通过连接PA，证明出PA＝PC，∠PAE＝∠PEA，从而证明出PC＝PE．理想感悟：如图2，当点P落在线段OB上时，判断PC和PE的数量关系，并说明理由．拓展应用：连接AP，并延长AP交直线CD于点F．（1）当＝时，如图3，直接写出△APE的面积为；（2）直接写出△APE面积S的取值范围．30．问题提出（1）如图①，点A在直线m上，点P在直线m外，请用尺规在直线m上找一点B，使得∠APB＝60°（只作出满足条件一个图形即可）；（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，对角线BD＝10，求四边形ABCD的面积．问题解决（3）如图③，园林规划局想在正六边形草坪一角∠BOC内改建一个小型的儿童游乐场OMAN，其中OA平分∠BOC，OA＝100米，∠BOC＝120°，点M、N分别在射线OB和OC上，且∠MAN＝90°，为了尽可能的少破坏草坪，要使游乐场OMAN面积最小．你认为园林规划局的想法能实现吗？若能，请求出游乐场OMAN面积的最小值；若不能，请说明理由．2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：四边形综合题（四）31．如图，四边形ABCD为平行四边形，AD＝1，AB＝3，∠DAB＝60°，点E为边CD上一动点，过点C作AE的垂线交AE的延长线于点F．（1）求∠D的度数；（2）若点E为CD的中点，求EF的值；（3）当点E在线段CD上运动时，是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．32．平面直角坐标系中一点（m，n）是二元一次方程Ax+By＝C的解是指：将代入可得Am+Bn＝C成立，如（2，3）是二元一次方程2x+y＝7的解是指：代入可得2×2+3＝7成立：（1）已知D（0，1），P（2，3），H（3，1），则点（填“D，P，H”）是方程x﹣2y＝1的解；（2）已知关于x，y的方程组的解为坐标的点也是方程x+2y＝4的解，求m的值；（3）若E、F为坐标系中两点，其中E点坐标是二元一次方程5x﹣y＝4的解，F点坐标是二元一次方程x﹣y＝4的解，且线段EF由线段AB平移得到，其中A（﹣4，0），B （0，﹣2）（A、B分别对应E、F），求四边形ABFE的面积．33．如图1，平面内有一点P到△ABC的三个顶点的距离分别为PA、PB、PC，若有PA2+PB2＝PC2，则称点P为△ABC关于点C的勾股点．（1）如图2，在4×3的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点上，请找出所有的格点P，使点P为△ABC关于点A的勾股点．（2）如图3，△ABC为等腰直角三角形，P是斜边BC延长线上一点，连接AP，以AP 为直角边作等腰直角三角形APD（点A、P、D顺时针排列）∠PAD＝90°，连接DC，DB，求证：点P为△BDC关于点D的勾股点．（3）如图4，点E是矩形ABCD外一点，且点C是△ABE关于点A的勾股点，若AD＝8，CE＝5，AD＝DE，求AE的长．34．如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明：四边形CEGF是正方形；（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图3所示，当B，E，F三点在一条直线上时，延长CG交AD于点H，若AG＝6，GH＝2，求BC的长．35．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A，D不重合），PE的延长线与BC的延长线交于点Q．（1）求证：E是PQ的中点；（2）连结PB，F是BP的中点，连结EF，当PB＝PQ时．①求证：四边形AFEP是平行四边形；②求AP的长．36．如图1，已知点O在四边形ABCD的边AB上，且OA＝OB＝OC＝OD＝2，OC平分∠BOD，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F．（1）求证：OC∥AD；（2）如图2，若DE＝DF，求的值；（3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求的值．37．如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是，位置关系是；（2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB 的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积．38．四边形ABCD是矩形，点E是射线BC上一点，连接AC，DE．（1）如图1，点E在边BC的延长线上，BE＝AC，若∠ACB＝40°，求∠E的度数；（2）如图2，点E在边BC的延长线上，BE＝AC，若M是DE的中点，连接AM，CM，求证：AM⊥MC；（3）如图3，点E在边BC上，射线AE交射线DC于点F，∠AED＝2∠AEB，AF＝4，AB＝4，则CE＝．（直接写出结果）39．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是对角线BD的中点，直角∠GEF的两直角边EF、EG分别交CD、BC于点F、G．（1）若点F是边CD的中点，求EG的长．（2）当直角∠GEF绕直角顶点E旋转，旋转过程中与边CD、BC交于点F、G．∠EFG 的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠EFG的值．（3）当直角∠GEF绕顶点E旋转，旋转过程中与边CD、BC所在的直线交于点F、G．在图2中画出图形，并判断∠EFG的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请直接写出tan∠EFG的值．（4）如图3，连接CE交FG于点H，若＝，请求出CF的长．40．如图1，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB＝8，P为线段BC上一点，连接AP，过点B作BQ⊥AP，交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交AD于点N．（1）求证：BP＝CQ；（2）若BP＝PC，求AN的长；（3）如图2，延长QN交BA的延长线于点M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面积为S，求S与x之间的函数关系式．2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：四边形综合题（五）41．【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．【理解运用】（1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值；（2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论；【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD 是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设＝u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式．42．如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD＞2CE），BG的延长线与直线DE交于点H．（1）如图1，当点G在CD上时，求证：BG＝DE，BG⊥DE；（2）将正方形CEFG绕点C旋转一周．①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH﹣DH＝CH；②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．43．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC 上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝．44．如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，连接AC．已知，OA＝8，tan∠OAC＝，点D在BC上，且CD＝3BD，点P 为线段AB上一动点（可与A、B重合），连接DP．（1）求OC的长及点D的坐标；（2）当DP∥AC时，求AP的长；（3）如图2，将△DBP沿直线DP翻折，得△DEP，连接AE、CE，问四边形AOCE的面积是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；（4）以线段DP为边，在DP所在直线的右上方作等边△DPF，当点P从点B运动到点A时，点F也随之运动，请直接写出点F的运动路径长．45．如图1，矩形DEFG中，DG＝2，DE＝3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，FG，BC的延长线相交于点O，且FG⊥BC，OG＝2，OC＝4．将△ABC绕点O逆时针旋转α（0°≤α＜180°）得到△A′B′C′．（1）当α＝30°时，求点C′到直线OF的距离．（2）在图1中，取A′B′的中点P，连结C′P，如图2．①当C′P与矩形DEFG的一条边平行时，求点C′到直线DE的距离．②当线段A′P与矩形DEFG的边有且只有一个交点时，求该交点到直线DG的距离的取值范围．46．如图1，在正方形ABCD中，点E为边AB上的点，BE：AE＝n，连结DE、BD，过点A作AG⊥DE，垂足为点F，与BC、BD分别交于点G、H，连结EH．（1）①求证：AE＝BG；②求证：DH：BH＝n+1；（2）如图2，当EH∥AD时，求n的值．47．[阅读理解]构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题．例如：如图，D是△ABC边AB上一点，E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，则易证E是线段DF的中点．[经验运用]请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且满足AE＝CF，连接EF交AC于点G．求证：①G是EF的中点；②CG＝BE；[拓展延伸]（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝2BC，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且满足AE＝2CF，连接EF交AC于点G．探究BE和CG之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若点E在BA的延长线上，点F在线段BC上，DF交AC于点H，BF＝2，CF＝1，（2）中的其它条件不变，请直接写出GH的长．48．已知如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．（1）在图1中，连接EF，为了证明结论“EF＝BE+DF“，小亮将△ADF绕点A顺时针旋转90°后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；（2）如图2，当∠EAF绕点A旋转到图2位置时，试探究EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？（3）如图3，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的长．49．（1）问题探究：如图1，在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC、AB上，DQ⊥AE 于点O，点G，F分别在边CD、AB上，GF⊥AE．①判断DQ与AE的数量关系：DQ AE；②推断：的值为；（无需证明）（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE 交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值．50．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝8，点E是边AD的中点．连结EC，P、Q分别是射线AD、EC上的动点，且EQ＝AP．连结BP，PQ．过点B，Q分别作PQ，BP的平行线交于点F．（1）当点P在线段AE上（不包含端点）时，①求证：四边形BFQP是正方形．②若BC将四边形BFQP的面积分为1：3两部分，求AP的长．（2）如图2，连结PF，若点C在对角线PF上，求△BFC的面积（直接写出答案）．参考答案1．解：（1）∵正方形ABCD与正方形OEFG，对角线为AC、BD，∴DO＝OC，∵DB⊥AC，∴∠DOA＝∠DOC＝90°，∵∠GOE＝90°，∴∠GOD+∠DOE＝∠DOE+∠COE＝90°，∴∠GOD＝∠COE，∵GO＝OE，∴在△DOG和△COE中，DO＝CO，∠GOD＝∠COE，GD＝OE，∴△DOG≌△COE（SAS）；（2）∵四边形ABCD为正方形，故∠ODM＝45°，故OD＝，∵∠OMD＝75°，∴∠DOG＝60°，∵DG⊥BD，故∠ODG＝90°，∴∠OGD＝30°，∴OG＝2OD＝2，∴DG＝＝＝，∵△DOG≌△COE（SAS），∴CE＝DG＝；（3）正方形OEFG绕点O旋转，当点O、B、F共线且点B在OF之间时，点B到点F 的距离最短，由（2）知，在正方形OEFG中，OG＝2，则OF＝OG＝4，而OB＝OD＝，故OF﹣OB＝4﹣．故B到点F的最短距离为4﹣．2．解：（I）过点D作DG⊥x轴于G，如图①所示：∵点A（6，0），点B（0，8）．∴OA＝6，OB＝8，∵以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，∴AD＝AO＝6，α＝∠OAD＝30°，DE＝OB＝8，在Rt△ADG中，DG＝AD＝3，AG＝DG＝3，∴OG＝OA﹣AG＝6﹣3，∴点D的坐标为（6﹣3，3）；（Ⅱ）过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥AE于H，如图②所示：则GA＝DH，HA＝DG，∵DE＝OB＝8，∠ADE＝∠AOB＝90°，∴AE＝＝＝10，∵AE×DH＝AD×DE，∴DH＝＝＝，∴OG＝OA﹣GA＝OA﹣DH＝6﹣＝，DG＝＝＝，∴点D的坐标为（，）；（Ⅲ）连接AE，作EG⊥x轴于G，如图③所示：由旋转的性质得：∠DAE＝∠AOC，AD＝AO，∴∠AOC＝∠ADO，∴∠DAE＝∠ADO，∴AE∥OC，∴∠GAE＝∠AOD，∴∠DAE＝∠GAE，在△AEG和△AED中，，∴△AEG≌△AED（AAS），∴AG＝AD＝6，EG＝ED＝8，∴OG＝OA+AG＝12，∴点E的坐标为（12，8）．3．解：（1）①如图②中，∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，在△ABE和△DAG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴BE＝DG；②如图2，延长BE交AD于T，交DG于H．由①知，△ABE≌△DAG，∴∠ABE＝∠ADG，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG，故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；（2）数量关系不成立，DG＝2BE，位置关系成立．如图③中，延长BE交AD于T，交DG于H．∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD＝∠EAG，∴∠BAE＝∠DAG，∵AD＝2AB，AG＝2AE，∴＝＝，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE＝∠ADG，＝，∴DG＝2BE，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG；（3）如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H．设ET＝x，AT＝y．∵△AHG∽△ATE，∴＝＝＝2，∴GH＝2x，AH＝2y，∴4x2+4y2＝4，∴x2+y2＝1，∴BG2+DE2＝（2x）2+（2y+2）2+x2+（4﹣y）2＝5x2+5y2+20＝25．4．解：（1）如图1，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，AB＝15，∴sin B＝＝，∴AH＝AB＝×15＝12．（2）如图2，在Rt△BDP中，∠BPD＝90°，BP＝3t，∴sin B＝＝，∴cos B＝＝，∴BD＝5t，PD＝4t，∴DE＝DG＝2t，CD＝15﹣5t．∴15﹣5t＝2t，∴t＝．（3）①当0＜t≤时，重叠部分为正方形DEFG，∴S＝（2t）2＝4t2；②当＜t≤时，如图3，重叠部分为五边形DEFMN，∴S＝S正方形DEFG﹣S△MGN＝4t2﹣[2t﹣（15﹣5t）]2＝﹣45t2+210t﹣225；③当＜t≤3时，如图4，重叠部分为梯形DEMN，∴S＝×2t（15﹣4t+15﹣5t）＝﹣9t2+30t．（4）①当DG的中点O在线段AC上时，如图5，∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∵DG∥AB，∴∠COD＝∠A∴∠C＝∠COD，∴DC＝DO，∴15﹣5t＝t，解得t＝；②当EG的中点O在线段AC上时，如图6，此时NC＝NO，∴15﹣×5t＝t+t，解得t＝；③当DE的中点O在线段AC上时，如图7，此时NC＝NO，∴15﹣×5t＝t，解得t＝．5．（1）证明：四边形ABCD是菱形，∴BC＝DC，AB∥CD，∴∠PBM＝∠PBC＝∠ABC＝30°，∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°由旋转的性质得：PC＝QC，∠PCQ＝120°，∴∠BCD＝∠DCQ，∴∠BCP＝∠DCQ，在△BCP和△DCQ中，，∴△BCP≌△DCQ（SAS）；（2）①证明：由（1）得：△BCP≌△DCQ，∴BP＝DQ，∠QDC＝∠PBC＝∠PBM＝30°．在CD上取点E，使QE＝QN，如图2所示：则∠QEN＝∠QNE，∴∠QED＝∠QNC＝∠PMB，在△PBM和△QDE中，，∴△PBM≌△QDE（AAS），∴PM＝QE＝QN．②解：由①知PM＝QN，∴MN＝PQ＝PC，∴当PC⊥BD时，PC最小，此时MN最小，则PC＝2，BC＝2PC＝4，∴菱形ABCD的面积＝2S△ABC＝2××42＝8；故答案为：8．6．（1）解：如图1中，△AFG是等腰三角形．理由：∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∵DF⊥AE，∴∠AHF＝∠AHG＝90°，∵AH＝AH，∴△AHF≌△AHG（ASA），∴AF＝AG，∴△AFG是等腰三角形．（2）证明：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．∵AF＝AG，∴∠AFG＝∠AGF，∵∠AGF＝∠OGL，∴∠OGL＝∠OLG，∴OG＝OL，∵OL∥AB，∴△DLO∽△DFB，∴＝，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝2OD，∴BF＝2OL，∴BF＝2OG．（3）解：如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，∵∠DAK＝∠CAD，∴△ADK∽△ACD，∴＝，∵S1＝•OG•DK，S2＝•BF•AD，又∵BF＝2OG，＝，∴＝＝，设CD＝2x，AC＝3x，则AD＝x，∴＝＝．（4）解：设OG＝a，AG＝k．①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．∵AF＝AG，BF＝2OG，∴AF＝AG＝k，BF＝2a，∴AB＝k+2a，AC＝2（k+a），∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k+a）]2﹣（k+2a）2＝3k2+4ka，∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴＝，即＝，∴＝，∴BE＝，由题意：10××2a×＝AD•（k+2a），∴AD2＝10ka，即10ka＝3k2+4ka，∴k＝2a，∴AD＝2a，∴BE＝＝a，AB＝4a，∴tan∠BAE＝＝．②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．∵AF＝AG，BF＝2OG，∴AF＝AG＝k，BF＝2a，∴AB＝k﹣2a，AC＝2（k﹣a），∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2＝3k2﹣4ka，∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴＝，即＝，∴＝，∴BE＝，由题意：10××2a×＝AD•（k﹣2a），∴AD2＝10ka，即10ka＝3k2﹣4ka，∴k＝a，∴AD＝a，∴BE＝＝a，AB＝a，∴tan∠BAE＝＝，综上所述，tan∠BAE的值为或．7．（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠BAP＝∠APB＝90°∵BP＝BE，∴∠APB∠BEP＝∠GEF，∵MN垂直平分线段AP，∴∠GFE＝90°，∴∠BGN+∠GEF＝90°，∴∠BAP＝∠BGN．（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABP＝90°，AD∥BC，AD＝BC＝8，∴BD＝＝＝10，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠APB，∵∠APB＝∠BEP＝∠DEA，∴∠DAE＝∠DEA，∴DA＝DE＝8，∴BE＝BP＝BD﹣DE＝10﹣8＝2，∴PA＝＝＝2，∵MN垂直平分线段AP，∴AF＝PF＝，∵PB∥AD，∴＝＝＝，∴PE＝PA＝，∴EF＝PF﹣PE＝﹣＝，∴＝＝．（3）解：如图3中，连接AM，MP．设CM＝x．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADM＝∠MCP＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∵MN垂直平分线段AP，∴MA＝MP，∴AD2+DM2＝PC2+CM2，∴82+（6﹣x）2＝62+x2，∴x＝，∵∠PFM＝∠PCM＝90°，∴P，F，M，C四点共圆，∴∠CFM＝∠CPM，∴tan∠CFM＝tan∠CPM＝＝＝．8．（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴PM∥CN，∴∠PMN＝∠MNC，∵∠MNC＝∠PNM，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN．（2）解：点P与点A重合时，如图2中，设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，在Rt△ABN中，AB2+BN2＝AN2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴CN＝8﹣3＝5，AC＝＝＝4，∴CQ＝AC＝2，∴QN＝＝＝，∴MN＝2QN＝2．（3）解：当MN过点D时，如图3所示，此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S＝S菱形CMPN＝×4×4＝4，当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S＝×5×4＝5，∴4≤S≤5，9．（1）【发现证明】证明：把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，如图1，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠FAD＝45°，∴∠DAG+∠FAD＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵AF＝AF，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG＝DF+DG，∴EF＝DF+BE；（2）【类比引申】①不成立，结论：EF＝DF﹣BE；证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，∴∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，∠EAM＝90°，BE＝DM，∴∠FAM＝45°＝∠EAF，∵AF＝AF，∴△EAF≌△MAF（SAS），∴EF＝FM＝DF﹣DM＝DF﹣BE；②如图3，将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，∴AN＝AF，∠NAF＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠NAE＝45°，∴∠NAE＝∠FAE，∵AE＝AE，∴△AFE≌△ANE（SAS），∴EF＝EN，∴BE＝BN+NE＝DF+EF．即BE＝EF+DF．故答案为：BE＝EF+DF．（3）【联想拓展】解：由（1）可知AE＝AG＝3，∵正方形ABCD的边长为6，∴DC＝BC＝AD＝6，∴＝＝3．∴BE＝DG＝3，∴CE＝BC﹣BE＝6﹣3＝3，设DF＝x，则EF＝FG＝x+3，CF＝6﹣x，在Rt△EFC中，∵CF2+CE2＝EF2，∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得：x＝2．∴DF＝2，∴AF＝＝＝2．10．解：（1）如图1，∵AB绕点A逆时针旋转至AB′，∴AB＝AB'，∠BAB'＝60°，∴△ABB'是等边三角形，∴∠BB'A＝60°，∴∠DAB'＝∠BAD﹣∠BAB'＝90°﹣60°＝30°，∵AB'＝AB＝AD，∴∠AB'D＝∠ADB'，∴∠AB'D＝＝75°，∴∠DB'E＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∵DE⊥B'E，∴∠B'DE＝90°﹣45°＝45°，∴△DEB'是等腰直角三角形．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC＝45°，∴，同理，∴，∵∠BDB'+∠B'DC＝45°，∠EDC+∠B'DC＝45°，∴∠BDB'＝∠EDC，∴△BDB'∽△CDE，∴．故答案为：等腰直角三角形，．（2）①两结论仍然成立．证明：连接BD，∵AB＝AB'，∠BAB'＝α，∴∠AB'B＝90°﹣，∵∠B'AD＝α﹣90°，AD＝AB'，∴∠AB'D＝135°﹣，∴∠EB'D＝∠AB'D﹣∠AB'B＝135°﹣＝45°，∵DE⊥BB'，∴∠EDB'＝∠EB'D＝45°，∴△DEB'是等腰直角三角形，∴，∵四边形ABCD是正方形，∴，∠BDC＝45°，∴，∵∠EDB'＝∠BDC，∴∠EDB'+∠EDB＝∠BDC+∠EDB，即∠B'DB＝∠EDC，∴△B'DB∽△EDC，∴．②＝3或1．如图3，若CD为平行四边形的对角线，点B'在以A为圆心，AB为半径的圆上，取CD的中点．连接BO交⊙A于点B'，过点D作DE⊥BB'交BB'的延长线于点E，。
正方形与全等模型(含答案)
正方形与全等模型1．（垂直相等)如图，在正方形ABCD中．（1）若点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF．试判断DE与CF的数量及位置关系,并说明理由；（2）若P、Q、M、N是正方形ABCD各边上的点，PQ与MN相交,且PQ=MN,问PQ⊥MN成立吗？为什么？2．(三垂）如图，直线MN不与正方形的边相交且经过正方形ABCD的顶点D，AM⊥MN于M，CN⊥MN于N，BR⊥MN于R．（1）求证：△ADM≌△DCN：（2）求证:MN=AM+CN；（3）试猜想BR与MN的数量关系，并证明你的猜想．3．（三垂）如图，在平的直角坐标系中，直线y=﹣2x+2与x轴、y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，曲线y=在第一象限经过点D．求双曲线表示的函数解析式．4．（三垂）如图，四边形ABCD是正方形,直线l1,l2，l3分别通过A，B，C三点,且l1∥l2∥l3，若l1与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则正方形ABCD的面积等于（）A．70 B．74 C．144 D．1485．（三垂)如图在平面直角坐标系中正方形OABC的边OC，OA分别在x轴正半轴上和y轴的负半轴上，点B在双曲线y=﹣上,直线y=kx﹣k（k＞0)交y轴与F．（1）求点B、E的坐标;(2）连接BE,CF交于M点，是否存在实数k，使得BE⊥CF？若存在，求出k的值；若不存在,请说明理由;(3)F在线段OA上，连BF，作OM⊥BF于M，AN⊥BF于N,当F在线段OA上运动时（不与O、A重合），的值是否变化．若变化,求出变化的范围；若不变，求其值．6．（对角互补）已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．E、F分别是边AB、BC上的点,若AE=4cm，CF=3cm，且OE⊥OF，则EF的长为_________cm．7．（对角互补)在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，△MPN为直角三角形，∠MPN=90°．正方形ABCD保持不动,△MPN沿射线AC向右平移,平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB 于点E，PN垂直于直线BC于点F．（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为_________；(2)如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系?并对你的猜想结果给予证明；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为_________;位置关系为_________．8．（对角互补）如图，正方形ABCD中，AC是对角线,今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．（1）如图1,当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；（2）如图2,当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系,请证明你的猜想．9．(对角互补）如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP,PQ交CD于Q，连接BQ交AC于G，若AP=，Q为CD中点，则下列结论:①∠PBC=∠PQD;②BP=PQ；③∠BPC=∠BQC;④正方形ABCD的面积是16；其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．110．（对角互补）如图1，直角∠EPF的顶点和正方形ABCD的顶点C重合,两直角边PE,PF分别和AB，AD所在的直线交于点E和F．易得△PBE≌△PDF，故结论“PE=PF”成立;（1）如图2，若点P在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，(1）中的结论是否仍然成立？说明理由；（2)如图（3）将(2）中正方形ABCD改为矩形ABCD其他条件不变，若AB=m，BC=n，直接写出的值．11．(对角互补）如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P,连接NQ，下列结论:①AM=MN；②MP=BD；③BN+DQ=NQ；④为定值．其中一定成立的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④12．（等角共顶点）（1）如图①，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC边上一点（与点B、C不重合）,连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．可猜想线段CF，BD之间的数量关系是_________，位置关系是_________;(2）当点D在线段BC的延长线时，如图②，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，给出证明，如果不成立,说明理由．13．(等角共顶点）已知点O为正方形ABCD的中心，M为射线OD上一动点（M与点O，D不重合），以线段AM 为一边作正方形AMEF，连接FD．(1）当点M在线段OD上时（如图1）,线段BM与DF有怎样的数量及位置关系？请判断并直接写出结果；（2）当点M在线段OD的延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立?请结合图2说明理由．14．（等角共顶点)以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI,BCFE，ACHG，试探究:（1)如图中四边形ADEG是什么四边形?并说明理由．(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？15．（等角共顶点)在直角三角形ABC中,∠C=90°，BC=2，以AB为边作正方形ABDE，连接AD、BE交O，CO=,则AC的长为(）A．2B．3C．4D．16．（等角共顶点）如图,已知正方形ABCD，点E是BC上一点，以AE为边作正方形AEFG．(1)连接GD，求证:△ADG≌△ABE;（2）连接FC，求证：∠FCN=45°；（3）请问在AB边上是否存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形?若存在，请证明;若不存在，请说明理由．17．(等角共顶点）如图1,2，四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．（1)如图1，当点E在AB边的中点，N为AD边的中点位置时：①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是_________;②请证明你的上述猜想．（2）如图2，当点E在AB边上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的结论．18．（对角互补分半)已知，四边形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H(1）如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；(2)如图2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，且BD=2,CD=3，求AD的长;小萍同学通过观察图①发现,△ABM和△AHM关于AM对称,△AHN和△ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图③进行翻折变换，解答了此题．你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗?19．(对角互补分半）（1)如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等,求∠EAF的度数．(2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD,点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°,将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN,ND，DH之间的数量关系，并说明理由．（3）在图①中，连接BD分别交AE,AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3,求AG，MN的长．20．（对角互补分半）如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠,使点B落在边AD的中点G处，那么四边形BCFE的面积等于_________;若GH与CD交点为I，那么 GBI=____________。
类比探究(讲义)
图1AB CDGEF M图2A BCDG EFM图3AB CDG EFM类比探究（讲义）➢ 课前预习1.小明同学碰到如下问题：如图1，在正方形ABCD 和正方形CGEF （CG > BC ）中，点B ，C ，G 在同一直线上，点M 是AE 的中点．（1）探究线段MD ，MF 的位置关系及数量关系，并证明． （2）若将图1中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使D ， C ，G 三点在同一直线上，如图2，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．（3）若将图1中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使正方形CGEF 的对角线CE 恰好与正方形ABCD 的边BC 在同一直线上，如图3，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明． 小明同学分析第一问发现，问题关键在于中点的应用． 经过尝试，小明成功解决了第（1）问，并将思路记录如下：MD ⊥MF MD =MF等腰Rt △M 为DH 中点FD =FH DFH =90°DM =AD =EH △ADM ≌△EHM 延长DM ，交EF H （平行夹中点）仿照小明的证明方法，你能解决（2）（3）问吗？2. ①如图，在△ABC 中，AF :FB =2:3，延长BC 至点D ，使得BC =2CD ，则AEEC=_________．提示：求比例，找相似．利用平行线构造“A 型”或“X 型”相似是我们常用的一种做法．A BEF②如图，AB =4，射线BM 和AB 相互垂直，点D 是AB 上的一个动点，点E 在射线BM 上，2BE =DB ，作EF ⊥DE 并截取EF =DE ，连接AF 并延长交射线BM 于点C ．设BE =x ，BC =y ，则y 关于x 的函数解析式是（ ）A ．124xy x =--B ．21xy x =--C ．31xy x =-- D ．84x y x =-- 提示：结合直角特征考虑分析，可构造一线三等角，利用相似整合信息．➢ 知识点睛类比探究问题的处理思路1. 若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决．类比探究结构举例：中点结构、直角结构、旋转结构、平行 结构．2. 若不属于常见结构类型：①根据题干条件，结合_______________先解决第一问．M FE DC B A②类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找______________．③结合所求目标，依据__________，大胆猜测、尝试、验证．➢ 精讲精练1. 已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =1，AB =2，BC =3．（1）如图1，P 为AB 边上的一点，以PD ，PC 为边作□PCQD ，则当点P 与点A 重合时，PQ 的长为__________．（2）如图2，若P 为AB 边上任意一点，以PD ，PC 为边作□PCQD ，请问对角线PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．（3）若P 为AB 边上任意一点，延长PD 到E ，使DE =PD ，再以PE ，PC 为边作□PCQE ，请探究对角线PQ 的长是否也存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．（4）如图3，若P 为直线DC 上任意一点，延长PA 到E ，使AE =nPA （n 为常数），以PE ，PB 为边作□PBQE ，请探究对角线PQ 的长是否也存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．DQCBA (P )图1AP BCQD图2AC D EPQ图3A B CDA B CD2. 已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，点P 是射线CB 上一点（点P 不与点B ，C 重合），线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接QB 交射线AC 于点M ．（1）如图1，当AC =BC ，点P 在线段CB 上时，线段PB ，CM 的数量关系是__________．（2）如图2，当AC =BC ，点P 在线段CB 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图3，若52AC BC ，点P 在线段CB 的延长线上时，CM =2，AP =13，求△ABP 的面积．图1M QPABC图2M QPAB CMC BAPQ图33. （1）问题发现如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ．填空：①∠AEB 的度数为___________；②线段AD ，BE 之间的数量关系为___________．图1CDABE（2）拓展探究如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，点A ，D ，E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ．请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由．图2MEDCBA（3）解决问题如图3，在正方形ABCD 中，CD．若点P 满足PD =1，且∠BPD =90°，请直接写出点A 到BP 的距离．A BCD图34. 如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =2AB =8，点D ，E 分别是边BC ，AC的中点，连接DE ．将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现①当α=0°时，=BD AE ______；②当α=180°时，=BDAE______． （2）拓展探究试判断：当0°≤α<360°时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．图3图2图1ABCAEBDCDECB A【参考答案】 ➢ 课前预习1. 能，证明略2. ①2②A➢ 知识点睛2. ①分支条件 ②不变特征 ③不变特征➢ 精讲精练1. （1）（2）存在，最小值为4． （3）存在，最小值为5．（44)n +． 2. （1）PB =2CM ．（2）成立，证明略． （3）△ABP 的面积为25． 3. （1）①60°；②AD =BE ．（2）AE =2CM +BE ．（3）点A 到BP ．4. （1 （2）0360α︒<︒≤时，AEBD的大小没有变化，证明略．（3）线段BD 的长为5． 类比探究（随堂测试）1. 如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点G ．（1）求证：EF =EG ．（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB =a ，BC =b ，求EFEG的值．E (A )BC D FGG FDC BAEEACDFG (B )图1图2图3【参考答案】1. （1）证明略．（2）成立，证明略． （3）EF bEG a．。
正方形几何综合专题---40道题目(含答案)
01如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D 重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的等量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．解：(1)AG2＝GE2＋GF2；理由：如解图，连接CG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠CDG＝45°，AD＝CD，DG＝DG，∴△ADG≌△CDG，∴AG＝CG，又∵GE⊥DC，GF⊥BC，∠BCD＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∴CF＝GE，在Rt△GFC中，由勾股定理得，CG2＝GF2＋CF2，∴AG2＝GE2＋GF2；(2)如解图，过点A作AM⊥BD于点M，∵GF⊥BC，∠ABG＝∠GBC＝45°，∴∠BAM＝∠BGF＝45°，∴△ABM，△BGF都是等腰直角三角形，∵AB＝1，∴AM＝BM＝2 2，∵∠AGF＝105°，∴∠AGM＝60°，∴tan60°＝AM GM，∴GM ＝66，∴BG ＝BM ＋GM ＝22＋66＝32＋66.02如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4A BCDFEG10题图考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理分析：根据翻折变换的性质和正方形的性质可证△ABG≌△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG=GC；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；由于S△FGC=S△GCE﹣S△FEC，求得面积比较即可．解答：解：①正确．因为AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG≌△AFG；②正确．因为：EF=DE=13CD=2，设BG=FG=x，则CG=6﹣x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3．所以BG=3=6﹣3=GC；③正确．因为CG=BG=GF，所以△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；④错误．过F作FH⊥DC，∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴FHGC=EFEG，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，AB CDFEG10题∴FHGC=EFEG=25，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=12×3×4﹣12×4×（25×3）=185≠3．故选C．点评：本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．03如图，在一方形ABCD中．E为对角线AC上一点，连接EB、ED，（1）求证：△BEC≌△DEC：（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB=140°．求∠AFE 的度数．考点：正方形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质。
2022年中考数学挑战压轴题《解答题三》
中考数学冲刺挑战压轴题专题汇编（解答题三）1.（2019•江西）在图1，2，3中，已知▱ABCD，∠ABC=120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE 为边向上作菱形AEFG，且∠EAG=120°．（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF=°；（2）如图2，连接AF．①填空：∠F AD∠EAB（填“＞”，“＜“，“=”）；②求证：点F在∠ABC的平分线上；（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值．2.（2018•江西）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是，CE与AD 的位置关系是；（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=2，BE=2，求四边形ADPE的面积．3．（2017•江西）我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=BC；②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为．猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=2，DA=6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△P AB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△P AB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．1．如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上(不与点A，B重合)，点F在BC边上(不与点B、C重合)．第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去…(1)图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为，求此时线段EF的长；(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH．①请判断四边形EFGH的形状为，此时AE与BF的数量关系是；②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．2.（发现证明）如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，试判断BE，EF，FD之间的数量关系．小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，通过证明△AEF≌△AGF；从而发现并证明了EF=BE+FD．（类比引申）（1）如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、CD的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，请根据小聪的发现给你的启示写出EF、BE、DF之间的数量关系，并证明；（联想拓展）（2）如图3，如图，∠BAC=90°，AB=AC，点E、F在边BC上，且∠EAF=45°，若BE=3，EF=5，求CF 的长．3．（1）问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：①ACBD的值为；②∠AMB的度数为．（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断ACBD的值及∠AMB的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB直接写出当点C与点M重合时AC的长．1．（1）（问题发现）如图1，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E 恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为（2）（拓展研究）在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）（问题发现）当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．2.综合与实践﹣四边形旋转中的数学“智慧”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解答．任务一：如图1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E，F分别为AB，AD边的中点，四边形AEGF为矩形，连接CG．（1）请直接写出CG的长是______．（2）如图2，当矩形AEGF绕点A旋转（比如顺时针旋转）至点G落在边AB上时，请计算DF与CG的长，通过计算，试猜想DF与CG之间的数量关系．（3）当矩形AEGF绕点A旋转至如图3的位置时，（2）中DF与CG之间的数量关系是否还成立？请说明理由．任务二：“智慧”数学小组对图形的旋转进行了拓展研究，如图4，在▱ABCD中，∠B=60°，AB=6，AD=8，E，F分别为AB，AD边的中点，四边形AEGF为平行四边形，连接CG．“智慧”数学小组发现DF与CG 仍然存在着特定的数量关系．（4）如图5，当▱AEGF绕点A旋转（比如顺时针旋转），其他条件不变时，“智慧”数学小组发现DF与CG 仍然存在着这一特定的数量关系．请你直接写出这个特定的数量关系．3．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD 右侧作正方形ADEF，连接CF，（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：．②BC，CD，CF之间的数量关系为：；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB CD=14 BC，请求出GE的长．4．如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：AGBE的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH BC=．。
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D P A 如图 2 ，若将 AB1F P BF 平移到
位置，即AE⊥B1F ，则线段 O F AE与B F 还相等吗？ 1 /
O B C O Q E
D N F
O/
M
E Q C N 图3 G 如图 3，O为正方形 ABCD 内任意一点， 如图 4，若将 MN、PQ 分别平移到 MN⊥PQ于O，求证：MN=PQ． 图4 正方形外部，则它们还相等吗？
M B
深化提高
反思：你获得哪些证明方法？
问题 1 ：如图① , 将等腰直角三角尺 AMN A 与正方形 问题 2：如图②，若三角尺 AMN绕点 A的非直角顶点 继续逆时针旋转， AM与 ABCD 的顶点 A 重合 ,于 斜边 AN 与正方形的对角线 BC 的延长 线交 点E ， AN 与 CD 的 延 长 线 AC 交 重合 于 点. F若正方形 ，连接 ABCD 保持不动 ,将三角尺AMN 绕点 A按逆时针方向旋转 ,当AM与BC交 EF ．此时，猜想线段 BE 、 DF 、 EF 又有怎样的数量关系？请 于点 E,AN 与CD交于点F时,连接EF. 猜想BE＋DF与EF满足的数量关 写出你的猜想，并证明． N 系,并证明． A 1 D F F 32 D BE=0 N A 12 F / 4 DF=DCF B (E) E C (F) 3 EF=BC N / C E E B F M M M N 图① 图② M －DF=EF 猜想：BE＋DF=EF 猜想：BE
A
D
A
D (A)
观察思考
A
B A
图1
D
B
图2
C(B) A B
E
E C
C
A
O
C
D
B
F B B
F A
D(C)
图4
E
B O
B
B
图3
E
D
C
F
C
A
F
基本图形
图6
F
D 图5 C E
E
C
典例精析
A
O E 图2 1
BE=CF 反思：你获得哪些知识与方法？ 猜想：AE=BF ， AE AE=BF ⊥BF AE=B1F ，如何证明呢？
已知 简单 特殊
结束寄语
下课了!
观察、操作、思考、感悟 是能否进入数学大门，领略数 学奥妙的关键.
D
F C
B1 B
转化思想 如图1，已知正方形 ，已知正方形 ABCD ABCD 中， 中， F1 转化思想能够 BE=CF AE AE=BF ⊥BF ，探究线段 ， ，则线段 则 线 段 BE BE AE 与 与 与 CF BF 相 相等 的 等 使复杂的问题 数量关系和位置关系？ 吗？ AE与BF相等吗？ 垂直吗？ 简单化，陌生
◆截长补短法： 上面问题中，通过延长或截取的
方法，将三条线段的数量关系转化为两条线段的数 量关系，而解题关键就是要证明两个三角形全等。
回顾反思
1．本堂课中复习到了哪些数学知识？ 2．你学习到哪些新的题型，处理这类问题你有什么方法？ 3．在解题的过程中你学习了哪些数学方法和数学思想？
未知 复杂 ●截长补短法 ●转化思想 一般 ●变中找不变，即在平移与 运动