图形变换线段间的数量关系(学生版)

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人教版七年级数学上册几何图形初步《直线、射线、线段(第2课时)》示范教学设计

直线、射线、线段（第2课时）教学目标1．知道比较线段长短的方法，并会比较线段的长短．2．会用尺规画一条线段等于已知线段，会用尺规画出线段的和与差．3．知道线段中点、三等分点、四等分点的定义，会用数学符号语言表示．4．能够用线段中点的性质和数量关系解决问题．教学重点探究比较线段长短的方法，尺规作图的操作，线段中点及其分成的各线段间的数量关系．教学难点运用线段的和与差、线段的中点解决问题．教学准备直尺、圆规、透明纸．教学过程知识回顾1．线段、射线和直线的区别2．直线的性质（1）基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．①它包含两层含义：一是“肯定有”，二是“只有一条”，不会有两条、三条……；②它可简单地说成“两点确定一条直线”．（2）直线的其他性质：①经过一点的直线有无数条；②不同的两条直线最多有一个公共点．3．直线、射线、线段的表示线段：（1）线段AB（或线段BA）；（2）线段a．射线：（1）射线AB；（2）射线m．直线：（1）直线AB（或直线BA）；（2）直线l．4．线段和射线都是直线的一部分．5．一个点在一条直线上，也可以说这条直线经过这个点；一个点在直线外，也可以说直线不经过这个点．6．当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点．7．一条直线上有n个点，则这条直线上共有2n条射线，有112n n()条线段．新知探究一、探究学习【问题】我们是如何比较物体的高度或者长度的？【师生活动】小组探讨后给出结论，教师给出正确答案．【答案】1．目测（直接比较法）2．测量（数据比较法）【设计意图】通过生活中比较高度或长度的实例引入线段长短比较的知识．【问题】已知线段AB与线段CD，如何比较这两条线段的长短？【师生活动】教师引导，学生作答，然后教师讲解新知．【新知】第一种：度量法结论：AB＜CD．第二种：叠合法把其中的一条线段移到另一条线段上去，将其中的一个端点重合在一起加以比较．注意：起点对齐，看终点．点A与点C重合，点D与点B重合结论：AB＝CD点A与点C重合，点D落在B，C之间结论：AB＞CD点A与点C重合，点B落在C，D之间结论：AB＜CD【设计意图】让学生在探究学习中掌握两种比较线段长短的方法．二、新知精讲【问题】怎么画一条线段使它等于已知线段呢？如图，已知线段AB，用尺规作一条线段等于已知线段AB．【师生活动】教师提出问题，学生思考并用自己的语言描述自己的想法．然后教师组织学生讨论，并引导学生尝试用圆规作图．最后教师做适当的总结归纳，并用课件展示尺规作法．【答案】解：作图步骤如下：（1）作射线A'C'；（2）用圆规在射线A'C'上截取A'B'＝AB．线段A'B'就是所求线段．【新知】画一条线段等于已知线段a，可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图．【设计意图】作一条线段等于已知线段是几何的基本作图，也是本课后续知识学习的基础，要让学生准确掌握；向学生渗透几何研究中有“数”与“形”两种不同的方法．【问题】你知道如何画线段的和与差吗？如图，已知线段m，n，用尺规作一条线段AC，使AC＝m＋n．【师生活动】学生先作图，教师点评纠正，然后用课件展示正确作法．【答案】解：作图步骤如下：（1）作射线AM；（2）在射线AM上截取AB＝m；（3）在射线BM上截取BC＝n．线段AC就是所求线段．【设计意图】让学生掌握线段和的作图方法，将用图形表示线段和与用符号表示线段和结合起来．【问题】如图，已知线段m，n，用尺规作一条线段AC，使AC＝m－n．【师生活动】学生先作图，教师点评纠正，然后用课件展示正确作法．【答案】解：作图步骤如下：（1）作射线AM；（2）在射线AM上截取AB＝m；（3）在线段AB上截取BC＝n．线段AC就是所求线段．【设计意图】让学生掌握线段差的作图方法，将用图形表示线段差与用符号表示线段差结合起来．【问题】如图，已知线段a，求作线段AB＝2a．【师生活动】学生先作图，教师点评纠正，然后用课件展示正确作法．【答案】解：作图如下：AB＝2a，即为所求作的线段．【新知】点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点．数学符号语言：AM＝MB＝12AB（或AB＝2AM＝2BM）类似地，还有线段的三等分点、四等分点等．AM＝MN＝NB＝13 ABAM＝MN＝NP＝PB＝14 AB【设计意图】层层递进地对等分点进行学习，既让学生掌握等分点的概念，更让学生理解等分点是怎样产生的，掌握由等分点产生的数量关系．【问题】在一张透明的纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点就是线段的中点．动手试一试．【师生活动】学生先作图，然后教师用课件展示动画效果．【答案】【设计意图】通过动手操作，让学生更加形象地理解和掌握线段的中点的性质．三、典例精讲【例】如图，若线段AB＝20 cm，点C是线段AB上一点，M，N分别是线段AC，BC 的中点．（1）求线段MN的长；（2）根据（1）中的计算过程和结果，设AB＝a，其他条件不变，你能猜出MN的长度吗？请用简洁的语言表达你发现的规律．【师生活动】学生作答，然后教师给出分析和正确答案．【分析】（1）先根据M，N分别是线段AC，BC的中点得出MC＝12AC，CN＝12BC，再由线段AB＝20 cm即可求出结果．（2）由（1）即可得到结论．【答案】解：（1）因为M，N分别是线段AC，BC的中点，所以MC＝12AC，CN＝12BC．因为线段AB＝20 cm，所以MN＝MC＋CN＝12(AC＋BC)＝12AB＝10（cm）．（2）由（1）得，MN＝MC＋CN＝12(AC＋BC)＝12AB＝12a．即MN始终等于AB的一半．【设计意图】检验学生对线段的中点的性质的掌握程度，同时使学生能够进行线段的相关运算．课堂小结板书设计一、比较线段的长短二、尺规作图三、中点、三等分点、四等分点四、线段的运算课后任务完成教材第128页练习第1～3题．。

中学数学《图形与变换》说课稿

《轴对称》教学设计襄阳市第47中学熊沙一、目标设计 1、教学目标【知识与技能】（1）复习轴对称图形的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段。

（2）折叠后能找出前后两图形的对应角和线段之间的关系。

【过程与方法】通过本节课的探究与学习，能够在题中发现轴对称痕迹，找出对称轴，能够利用轴对称处理一般折叠问题。

【情感与态度】（1）在有趣的折叠题中感受轴对称在例题中的体现，体会轴对称，发展空间观念。

（2）通过动手验证来了解，体会轴对称的知识价值。

2、教学重点与难点折叠是轴对称在实际问题中很好的一种表现形式，本节课的重点是通过折叠三角形某一部分，探究其角的关系、线段的关系，从而让学生们更好地了解本节课的知识目标。

本节课的难点是让学生们了解怎样对一个简单的问题连续做下去，因为学生习惯接受具体的事物，而对事物为什么怎样缺乏主动探索。

二、教法与学法的设计针对本节课重点，创设以学生为中心，利用多媒体演示折叠过程，探索性教学，通过动手折叠实践性教学。

三、教学过程的设计（1）创设情境，复习轴对称性质例1、如图，三角形纸片OAB ，折叠该纸片，使B 点与B '重合，试确定对称轴CD ，并画出D B C '∆【设计意图】例1通过找对称轴、作图体会轴对称的性质，带领学生体会C B BC '=，D B BD '=，B B CD '⊥。

从而点明本节课的知识点。

例2、如图在例1的基础上问B '∠、1∠、2∠之间的数量关系。

B '∠=∠+∠221【设计意图】例2是在例1的基础上把折叠问题直接指向折叠前后有关角之间的关系，从而点明本例题的设计目的。

变式一、如图，当点B '在OBA ∆外部时，B '∠、1∠、2∠又有怎么样的数量关系呢？ABBBB '∠=∠-∠221【设计意图】变式一，是在例2、的基础上进行的追问，任然是探究折叠前后三角形有关角的变化，但是折叠的位置发生了变化。

人教版七年级上册数学期末考试卷及答案解析

人教版七年级上册数学期末考试卷及答案解析一、选择题（本大题共有10小题.每小题2分,共20分）1．下列运算正确的是（）A．﹣a2b+2a2b=a2bB．2a﹣a=2C．3a2+2a2=5a4D．2a+b=2ab【考点】合并同类项．【专题】计算题．【分析】根据合并同类项的法则,合并时系数相加减,字母与字母的指数不变．【解答】解：A、正确；B、2a﹣a=a；C、3a2+2a2=5a2；D、不能进一步计算．故选：A．【点评】此题考查了同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同,是易混点,还有注意同类项与字母的顺序无关．还考查了合并同类项的法则,注意准确应用．2．在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米．194亿用科学记数法表示为（）A．1.94×1010B．0.194×1010C．19.4×109D．1.94×109【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n为整数．确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时,n是正数；当原数的绝对值＜1时,n是负数．【解答】解：194亿=19400000000,用科学记数法表示为：1.94×1010．故选：A．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．已知（1﹣m）2+|n+2|=0,则m+n的值为（）A．﹣1B．﹣3C．3D．不能确定【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．【分析】本题可根据非负数的性质得出m、n的值,再代入原式中求解即可．【解答】解：依题意得：1﹣m=0,n+2=0,解得m=1,n=﹣2,∴m+n=1﹣2=﹣1．故选A．【点评】本题考查了非负数的性质,初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当非负数相加和为0时,必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．4．下列关于单项式的说法中,正确的是（）A．系数是3,次数是2B．系数是,次数是2C．系数是,次数是3D．系数是,次数是3【考点】单项式．【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．【解答】解：根据单项式系数、次数的定义可知,单项式的系数是,次数是3．故选D．【点评】确定单项式的系数和次数时,把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积,是找准单项式的系数和次数的关键．5．由一个圆柱体与一个长方体组成的几何体如图,这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．【考点】由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．【分析】找到从左面看所得到的图形即可．【解答】解：从左面可看到一个长方形和上面的中间有一个小长方形．故选：D．【点评】本题考查了三视图的知识,左视图是从物体的左面看得到的视图．6．如图,三条直线相交于点O．若CO⊥AB,∠1=56°,则∠2等于（）A．30°B．34°C．45°D．56°【考点】垂线．【分析】根据垂线的定义求出∠3,然后利用对顶角相等解答．【解答】解：∵CO⊥AB,∠1=56°,∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣56°=34°,∴∠2=∠3=34°．故选：B．【点评】本题考查了垂线的定义,对顶角相等的性质,是基础题．7．如图,E点是AD延长线上一点,下列条件中,不能判定直线BC∥AD的是（）A．∠3=∠4B．∠C=∠CDEC．∠1=∠2D．∠C+∠ADC=180°【考点】平行线的判定．【分析】分别利用同旁内角互补两直线平行,内错角相等两直线平行得出答案即可．【解答】解：A、∵∠3+∠4,∴BC∥AD,本选项不合题意；B、∵∠C=∠CDE,∴BC∥AD,本选项不合题意；C、∵∠1=∠2,∴AB∥CD,本选项符合题意；D、∵∠C+∠ADC=180°,∴AD∥BC,本选项不符合题意．故选：C．【点评】此题考查了平行线的判定,平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行,熟练掌握平行线的判定是解本题的关键．8．关于x的方程4x﹣3m=2的解是x=m,则m的值是（）A．﹣2B．2C．﹣D．【考点】一元一次方程的解．【专题】计算题；应用题．【分析】使方程两边左右相等的未知数叫做方程的解方程的解．【解答】解：把x=m代入方程得4m﹣3m=2,m=2,故选B．【点评】本题考查了一元一次方程的解,解题的关键是理解方程的解的含义．9．下列说法：①两点之间的所有连线中,线段最短；②相等的角是对顶角；③过直线外一点有且仅有一条直线与己知直线平行；④两点之间的距离是两点间的线段．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】线段的性质：两点之间线段最短；两点间的距离；对顶角、邻补角；平行公理及推论．【分析】根据两点的所有连线中,可以有无数种连法,如折线、曲线、线段等,这些所有的线中,线段最短可得①说法正确；根据对顶角相等可得②错误；根据平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行,可得说法正确；根据连接两点间的线段的长度叫两点间的距离可得④错误．【解答】解：①两点之间的所有连线中,线段最短,说法正确；②相等的角是对顶角,说法错误；③过直线外一点有且仅有一条直线与己知直线平行,说法正确；④两点之间的距离是两点间的线段,说法错误．正确的说法有2个,故选：B．【点评】此题主要考查了线段的性质,平行公理．两点之间的距离,对顶角,关键是熟练掌握课本基础知识．10．如图,平面内有公共端点的六条射线OA,OB,OC,OD,OE,OF,从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1,2,3,4,5,6,7,…,则数字“2016”在（）A．射线OA上B．射线OB上C．射线OD上D．射线OF上【考点】规律型：数字的变化类．【分析】分析图形,可得出各射线上点的特点,再看2016符合哪条射线,即可解决问题．【解答】解：由图可知OA上的点为6n,OB上的点为6n+1,OC上的点为6n+2,OD上的点为6n+3,OE上的点为6n+4,OF上的点为6n+5,（n∈N）∵2016÷6=336,∴2016在射线OA上．故选A．【点评】本题的数字的变换,解题的关键是根据图形得出每条射线上数的特点．二、填空题（本大题共有10小题,每小题3分,共30分）11．比较大小：﹣＞﹣0.4．【考点】有理数大小比较．【专题】推理填空题；实数．【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数,绝对值大的其值反而小,据此判断即可．【解答】解：|﹣|=,|﹣0.4|=0.4,∵＜0.4,∴﹣＞﹣0.4．故答案为：＞．【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数,绝对值大的其值反而小．12．计算：=﹣．【考点】有理数的乘方．【分析】直接利用乘方的意义和计算方法计算得出答案即可．【解答】解：﹣（﹣）2=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查有理数的乘方,掌握乘方的意义和计算方法是解决问题的关键．13．若∠α=34°36′,则∠α的余角为55°24′．【考点】余角和补角；度分秒的换算．【分析】根据如果两个角的和等于90°（直角）,就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角进行计算．【解答】解：∠α的余角为：90°﹣34°36′=89°60′﹣34°36′=55°2 4′,故答案为：55°24′．【点评】此题主要考查了余角,关键是掌握余角定义．14．若﹣2x2m+1y6与3x3m﹣1y10+4n是同类项,则m+n=1．【考点】同类项．【分析】根据同类项的定义（所含字母相同,相同字母的指数相同）列出方程2m+1=3m﹣1,10+4n=6,求出n,m的值,再代入代数式计算即可．【解答】解：∵﹣2x2m+1y6与3x3m﹣1y10+4n是同类项,∴2m+1=3m﹣1,10+4n=6,∴n=﹣1,m=2,∴m+n=2﹣1=1．故答案为1．【点评】本题考查同类项的定义、方程思想及负整数指数的意义,是一道基础题,比较容易解答．15．若有理数在数轴上的位置如图所示,则化简|a+c|+|a﹣b|﹣|c+b|=0．【考点】实数与数轴．【专题】计算题．【分析】先根据数轴上各点的位置判断出a,b,c的符号及|a|,|b|和|c|的大小,接着判定a+c、a﹣b、c+b的符号,再化简绝对值即可求解．【解答】解：由上图可知,c＜b＜0＜a,|a|＜|b|＜|c|,∴a+c＜0、a﹣b＞0、c+b＜0,所以原式=﹣（a+c）+a﹣b+（c+b）=0．故答案为：0．【点评】此题主要看错了实数与数轴之间的对应关系,要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小,再根据运算法则进行判断．16．若代数式x+y的值是1,则代数式（x+y）2﹣x﹣y+1的值是1．【考点】代数式求值．【专题】计算题．【分析】先变形（x+y）2﹣x﹣y+1得到（x+y）2﹣（x+y）+1,然后利用整体思想进行计算．【解答】解：∵x+y=1,∴（x+y）2﹣x﹣y+1=（x+y）2﹣（x+y）+1=1﹣1+1=1．故答案为1．【点评】本题考查了代数式求值：先把代数式根据已知条件进行变形,然后利用整体思想进行计算．17．若方程2（2x﹣1）=3x+1与方程m=x﹣1的解相同,则m的值为2．【考点】同解方程．【分析】根据解一元一次方程,可得x的值,根据同解方程的解相等,可得关于m的方程,根据解方程,可得答案．【解答】解：由2（2x﹣1）=3x+1,解得x=3,把x=3代入m=x﹣1,得m=3﹣1=2,故答案为：2．【点评】本题考查了同解方程,把同解方程的即代入第二个方程得出关于m的方程是解题关键．18．已知线段AB=20cm,直线AB上有一点C,且BC=6cm,M是线段AC的中点,则AM= 13或7cm．【考点】两点间的距离．【专题】计算题．【分析】应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能,即点C在线段AB 的延长线上或点C在线段AB上．【解答】解：①当点C在线段AB的延长线上时,此时AC=AB+BC=26cm,∵M是线段AC的中点,则AM=AC=13cm；②当点C在线段AB上时,AC=AB﹣BC=14cm,∵M是线段AC的中点,则AM=AC=7cm．故答案为：13或7．【点评】本题主要考查两点间的距离的知识点,利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键,在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法,有利于解题的简洁性．同时,灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．19．某商品每件的标价是330元,按标价的八折销售时,仍可获利10%,则这种商品每件的进价为240元．【考点】一元一次方程的应用．【专题】应用题．【分析】设这种商品每件的进价为x元,根据题意列出关于x的方程,求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设这种商品每件的进价为x元,根据题意得：330×80%﹣x=10%x,解得：x=240,则这种商品每件的进价为240元．故答案为：240【点评】此题考查了一元一次方程的应用,找出题中的等量关系是解本题的关键．20．将一个边长为10cm正方形,沿粗黑实线剪下4个边长为2.5cm的小正方形,拼成一个大正方形作为直四棱柱的一个底面；余下部分按虚线折叠成一个无盖直四棱柱；最后把两部分拼在一起,组成一个完整的直四棱柱,它的表面积等于原正方形的面积．【考点】展开图折叠成几何体．【分析】利用剪下部分拼成的图形的边长等于棱柱的底面边长求解即可．【解答】解：设粗黑实线剪下4个边长为xcm的小正方形,根据题意列方程2x=10÷2解得x=2.5cm,故答案为：2.5．【点评】本题考查了展开图折叠成几何体,解题的关键在于根据拼成棱柱的表面积与原图形的面积相等,从而判断出剪下的部分拼成的图形应该是棱柱的一个底面．三、解答题（本大题有8小题,共50分）21．计算：﹣14﹣（1﹣）÷3×|3﹣（﹣3）2|．【考点】有理数的混合运算．【分析】利用有理数的运算法则计算．有理数的混合运算法则即先算乘方或开方,再算乘法或除法,后算加法或减法．有括号（或绝对值）时先算．【解答】解：﹣14﹣（1﹣）÷3×|3﹣（﹣3）2|=﹣1﹣÷3×|3﹣9|=﹣1﹣××6=﹣1﹣1=﹣2．【点评】本题考查的是有理数的运算法则．注意：要正确掌握运算顺序,即乘方运算（和以后学习的开方运算）叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减法叫做一级运算．在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级,后二级,再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序．22．解方程：（1）4﹣x=3（2﹣x）；（2）﹣=1．【考点】解一元一次方程．【分析】去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化一．【解答】解：（1）4﹣x=3（2﹣x）,去括号,得4﹣x=6﹣3x,移项合并同类项2x=2,化系数为1,得x=1；（2）,去分母,得3（x+1）﹣（2﹣3x）=6去括号,得3x+3﹣2+3x=6,移项合并同类项6x=5,化系数为1,得x=．【点评】本题考查解一元一次方程,关键知道去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化一．23．先化简,再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣4（﹣ab2+3a2b）,其中a=﹣1,b=﹣2．【考点】整式的加减—化简求值．【专题】计算题．【分析】原式去括号合并得到最简结果,将a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=15a2b﹣5ab2+4ab2﹣12a2b=3a2b﹣ab2,当a=﹣1,b=﹣2时,原式=﹣6+4=﹣2．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键．24．已知代数式6x2+bx﹣y+5﹣2ax2+x+5y﹣1的值与字母x的取值无关（1）求a、b的值；（2）求a2﹣2ab+b2的值．【考点】整式的加减—化简求值．【专题】计算题．【分析】（1）原式合并后,根据代数式的值与字母x无关,得到x一次项与二次项系数为0求出a与b的值即可；（2）原式利用完全平方公式化简后,将a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）原式=（6﹣2a）x2+（b+1）x+4y+4,根据题意得：6﹣2a=0,b+1=0,即a=3,b=﹣1；（2）原式=（a﹣b）2=42=16．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值,涉及的知识有：去括号法则,以及合并同类项法则,熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．如图,点P是∠AOB的边OB上的一点．（1）过点P画OB的垂线,交OA于点C,（2）过点P画OA的垂线,垂足为H,（3）线段PH的长度是点P到直线OA的距离,线段PC的长是点C到直线OB的距离．（4）因为直线外一点到直线上各点连接的所有线中,垂线段最短,所以线段P C、PH、OC这三条线段大小关系是PH＜PC＜OC（用“＜”号连接）【考点】垂线段最短；点到直线的距离；作图—基本作图．【专题】作图题．【分析】（1）（2）利用方格线画垂线；（3）根据点到直线的距离的定义得到线段PH的长度是点P到OA的距离,线段O P的长是点C到直线OB的距离；（4）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中,垂线段最短得到PC＞PH, CO＞CP,即可得到线段PC、PH、OC的大小关系．【解答】解：（1）如图：（2）如图：（3）直线0A、PC的长．（4）PH＜PC＜OC．【点评】本题考查了垂线段最短：直线外一点到直线上各点连接的所有线中,垂线段最短．也考查了点到直线的距离以及基本作图．26．某酒店有三人间、双人间客房若干,各种房型每天的收费标准如下：普通（元/间）豪华（元/间）三人间160400双人间140300一个50人的旅游团到该酒店入住,选择了一些三人普通间和双人豪华间入住,且恰好住满．已知该旅游团当日住宿费用共计4020元,问该旅游团入住的三人普通间和双人豪华间各为几间？【考点】一元一次方程的应用．【分析】首先设该旅游团入住的三人普通间数为x,根据题意表示出双人豪华间数为,进而利用该旅游团当日住宿费用共计4020元,得出等式求出即可．【解答】解：设该旅游团入住的三人普通间数为x,则入住双人豪华间数为．根据题意,得160x+300×=4020．解得：x=12．从而=7．答：该旅游团入住三人普通间12间、双人豪华间7间．（注：若用二元一次方程组解答,可参照给分）【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用,根据题意表示出双人豪华间数进而得出等式是解题关键．27．已知∠AOC=∠BOD=α（0°＜α＜180°）（1）如图1,若α=90°①写出图中一组相等的角（除直角外）∠AOD=∠BOC,理由是同角的余角相等②试猜想∠COD和∠AOB在数量上是相等、互余、还是互补的关系,并说明理由；（2）如图2,∠COD+∠AOB和∠AOC满足的等量关系是互补；当α=45°,∠COD 和∠AOB互余．【考点】余角和补角．【分析】（1）①根据同角的余角相等解答；②表示出∠AOD,再求出∠COD,然后整理即可得解；（2）根据（1）的求解思路解答即可．【解答】解：（1）①∵∠AOC=∠BOD=90°,∴∠AOD+∠AOB=∠BOC+∠AOB=90°,∴∠AOD=∠BOC；②∵∠AOD=∠BOD﹣∠AOB=90°﹣∠AOB,∴∠COD=∠AOD+∠AOC=90°﹣∠AOB+90°,∴∠AOB+∠COD=180°,∴∠COD和∠AOB互补；（2）由（1）可知∠COD+∠AOB=∠BOD+∠AOC=α+α=2α,所以,∠COD+∠AOB=2∠AOC,若∠COD和∠AOB互余,则2∠AOC=90°,所以,∠AOC=45°,即α=45°．故答案为：（1）AOD=∠BOC,同角的余角相等；（2）互补,45．【点评】本题考查了余角和补角,熟记概念并准确识图,理清图中各角度之间的关系是解题的关键．28．如图,直线l上有AB两点,AB=12cm,点O是线段AB上的一点,OA=2OB（1）OA=8cmOB=4cm；（2）若点C是线段AB上一点,且满足AC=CO+CB,求CO的长；（3）若动点P,Q分别从A,B同时出发,向右运动,点P的速度为2cm/s,点Q的速度为1cm/s．设运动时间为ts,当点P与点Q重合时,P,Q两点停止运动．①当t为何值时,2OP﹣OQ=4；②当点P经过点O时,动点M从点O出发,以3cm/s的速度也向右运动．当点M追上点Q后立即返回,以3cm/s的速度向点P运动,遇到点P后再立即返回,以3cm/s的速度向点Q运动,如此往返,知道点P,Q停止时,点M也停止运动．在此过程中,点M行驶的总路程是多少？【考点】一元一次方程的应用；数轴．【分析】（1）由于AB=12cm,点O是线段AB上的一点,OA=2OB,则OA+OB=3OB=AB=12cm,依此即可求解；（2）根据图形可知,点C是线段AO上的一点,可设CO的长是xcm,根据AC=CO+CB,列出方程求解即可；（3）①分0≤t＜4；4≤t＜6；t≥6三种情况讨论求解即可；②求出点P经过点O到点P,Q停止时的时间,再根据路程=速度×时间即可求解．【解答】解：（1）∵AB=12cm,OA=2OB,∴OA+OB=3OB=AB=12cm,解得OB=4cm,OA=2OB=8cm．故答案为：8,4；（2）设CO的长是xcm,依题意有8﹣x=x+4+x,解得x=．故CO的长是cm；（3）①当0≤t＜4时,依题意有2（8﹣2t）﹣（4+t）=4,解得t=1.6；当4≤t＜6时,依题意有2（2t﹣8）﹣（4+t）=4,解得t=8（不合题意舍去）；当t≥6时,依题意有2（2t﹣8）﹣（4+t）=4,解得t=8．故当t为1.6s或8s时,2OP﹣OQ=4；②[4+（8÷2）×1]÷（2﹣1）=[4+4]÷1=8（s）,3×8=24（cm）．答：点M行驶的总路程是24cm．【点评】本题考查了数轴及数轴的三要素（正方向、原点和单位长度）．一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离公式的运用,行程问题中的路程=速度×时间的运用．注意（3）①需要分类讨论．。

中考数学压轴题专题07几何图形动点运动问题(学生版+解析版)

专题七几何图形动点运动问题【考题研究】几何动点运动问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对运动变化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究．对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用．动态问题，以运动中的几何图形为载体所构建成的综合题，它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，题型新颖、灵活性强、有区分度，受到了人们的高度关注，同时也得到了命题者的青睐，动态几何问题，常常出现在各地的中考数学试卷中．【解题攻略】几何动点运动问题通常包括动点问题、动线问题、面动问题，在考查图形变换(含三角形的全等与相似)的同时常用到的不同几何图形的性质，以三角形四边形为主，主要运用方程、函数、数形结合、分类讨论等数学思想．【解题类型及其思路】动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题,利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。

解题类型：几何动点运动问题常见有两种常见类型：(1)利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质直接转化为函数或方程；(2)根据运动图形的位置分类，把动态问题分割成几个静态问题，再将几何问题转化为函数和方程问题【典例指引】类型一【探究动点运动过程中线段之间的数量关系】【典例指引1】在△ABC中，∠ACB＝45°，点D为射线BC上一动点（与点B、C不重合），连接AD，以AD为一边在AD右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，如图1，且点D在线段BC上运动，判断∠BAD∠CAF（填“＝”或“≠”），并证明：CF⊥BD（2）如果AB≠AC，且点D在线段BC的延长线上运动，请在图2中画出相应的示意图，此时（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）设正方形ADEF的边DE所在直线与直线CF相交于点P，若AC＝42，CD＝2，求线段CP的长．【举一反三】如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P（1）观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为_________；②∠APC的度数为_______________（2）数学思考：如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展应用：如图3，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD=∠BCE=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE=BD交于点P，则线段AE与BD的关系为________________类型二【确定动点运动过程中的运动时间】【典例指引2】已知：如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的项点B的坐标是(6,4).（1）直接写出A点坐标（______，______），C点坐标（______，______）；P m，且四边形OADP的面积是（2）如图，D为OC中点.连接BD，AD，如果在第二象限内有一点(),1∆面积的2倍，求满足条件的点P的坐标；ABC（3）如图，动点M从点C出发，以每钞1个单位的速度沿线段CB运动，同时动点N从点A出发.以每秒2t>，在M，个单位的連度沿线段AO运动，当N到达O点时，M，N同时停止运动，运动时间是t秒()0N运动过程中.当5MN=时，直接写出时间t的值.【举一反三】如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ⊥AC ，AB ＝3，BC ＝5，点P 从点A 出发，沿AD 以每秒1个单位的速度向终点D 运动．连结PO 并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求BQ 的长，（用含t 的代数式表示）（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值（3）当点O 在线段AP 的垂直平分线上时，直接写出t 的值．类型三【探究动点运动过程中图形的形状或图形之间的关系】【典例指引3】已知矩形ABCD 中，10cm AB =，20cm BC =，现有两只蚂蚁P 和Q 同时分别从A 、B 出发，沿AB BC CD DA =--方向前进，蚂蚁P 每秒走1cm ，蚂蚁Q 每秒走2cm ．问：（1）蚂蚁出发后△PBQ 第一次是等腰三角形需要爬行几秒?（2）P 、Q 两只蚂蚁最快爬行几秒后，直线PQ 与边AB 平行?如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（AO<AB）且AO、AB的长分别是一元二次方程x2-3x+2=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1:2.（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．类型四【探究动点运动过程中图形的最值问题】【典例指引4】如图，抛物线y＝ax2﹣34x+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴相交于点C，连接AC，BC，以线段BC为直径作⊙M，过点C作直线CE∥AB，与抛物线和⊙M分别交于点D，E，点P 在BC下方的抛物线上运动．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）当四边形ACPB的面积最大时，求点P的坐标并求出最大值．已知：如图.在△ABC中.AB=AC=5cm，BC=6cm.点P由B出发，沿BC方向匀速运动.速度为1cm/s.同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动.速度为1cm/s，过点P作PM⊥BC交AB于点M，过点Q作QN⊥BC，垂足为点N，连接MQ，若设运动时间为t(s)(0<t<3)，解答下列问题：（1）当t为何值时，点M是边AB中点?（2）设四边形PNQM的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PNQM:S△ABC=4:9?若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使四边形PNQM为正方形?若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.【新题训练】1．如图①，△ABC是等边三角形，点P是BC上一动点（点P与点B、C不重合），过点P作PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC于N，连接BN、CM．（1）求证：PM+PN＝BC；（2）在点P的位置变化过程中，BN＝CM是否成立？试证明你的结论；（3）如图②，作ND∥BC交AB于D，则图②成轴对称图形，类似地，请你在图③中添加一条或几条线段，使图③成轴对称图形（画出一种情形即可）．2．如图，在矩形ABCD中，AB=18，AD=12，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点G，点E，F分别是CD与DG上的点，连结EF，(1)求证：CG=2AG.(2)若DE=6，当以E，F，D为顶点的三角形与△CDG相似时，求EF的长.(3)若点E从点D出发，以每秒2个单位的速度向点C运动，点F从点G出发，以每秒1个单位的速度向点D运动.当一个点到达，另一个随即停止运动.在整个运动过程中，求四边形CEFG的面积的最小值.3．知识链接：将两个含30°角的全等三角尺放在一起，让两个30°角合在一起成60°，经过拼凑、观察、思考，探究出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．如图，等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF 向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P，设运动时间为x秒．(1)请直接写出AD长．（用x的代数式表示）(2)当△ADE为直角三角形时，运动时间为几秒？(3)求证：在运动过程中，点P始终为线段DE的中点．4．如图所示，已知抛物线2(0)y ax a =≠与一次函数y kx b =+的图象相交于(1,1)A --，(2,4)-B 两点，点P 是抛物线上不与A ，B 重合的一个动点.（1）请求出a ，k ，b 的值；（2）当点P 在直线AB 上方时，过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，设点P 的横坐标为m ，PC 的长度为L ，求出L 关于m 的解析式；（3）在（2）的基础上，设PAB ∆面积为S ，求出S 关于m 的解析式，并求出当m 取何值时，S 取最大值，最大值是多少？5．已知：如图，在矩形ABCD 中，AC 是对角线，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ．点P 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm /s ，同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，速度为2cm /s ，过点Q 作QM ∥AB 交AC 于点M ，连接PM ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，∠CPM ＝90°；（2）是否存在某一时刻t ，使S 四边形MQCP ＝ABCD 1532S 矩形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）当t 为何值时，点P 在∠CAD 的角平分线上．6．在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为；问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．成果运用:（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L取最大值和最小值时E点的位置?7．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积．8．如图，O为菱形ABCD对角线的交点，M是射线CA上的一个动点（点M与点C、O、A都不重合），过点A、C分别向直线BM作垂线段，垂足分别为E、F，连接OE，OF．（1）①依据题意补全图形；②猜想OE与OF的数量关系为_________________.（2）小东通过观察、实验发现点M在射线CA上运动时，（1）中的猜想始终成立．小东把这个发现与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明（1）中猜想的几种想法：想法1：由已知条件和菱形对角线互相平分，可以构造与△OAE全等的三角形，从而得到相等的线段，再依据直角三角形斜边中线的性质，即可证明猜想；想法2：由已知条件和菱形对角线互相垂直，能找到两组共斜边的直角三角形，例如其中的一组△OAB和△EAB，再依据直角三角形斜边中线的性质，菱形四边相等，可以构造一对以OE和OF为对应边的全等三角形，即可证明猜想．……请你参考上面的想法，帮助小东证明（1）中的猜想（一种方法即可）．（3）当∠ADC=120°时，请直接写出线段CF，AE，EF之间的数量关系是_________________．9．（1）（问题情境）小明遇到这样一个问题：如图①，已知ABC ∆是等边三角形，点D 为BC 边上中点，60ADE ∠=︒，DE 交等边三角形外角平分线CE 所在的直线于点E ，试探究AD 与DE 的数量关系．小明发现：过D 作//DF AC ，交AB 于F ，构造全等三角形，经推理论证问题得到解决．请直接写出AD 与DE 的数量关系，并说明理由．（2）（类比探究）如图②，当D 是线段BC 上（除,B C 外）任意一点时（其他条件不变）试猜想AD 与DE 的数量关系并证明你的结论．（3）（拓展应用）当D 是线段BC 上延长线上，且满足CD BC =（其他条件不变）时，请判断ADE ∆的形状，并说明理由．10．如图，直线y =﹣23x +4与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线y =ax 2+103x +c 经过B 、C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，当△BEC 面积最大时，请求出点E 的坐标；（3）在（2）的结论下，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．11．如图，边长为4的正方形ABCD 中，点P 是边CD 上一动点，作直线BP ，过A 、C 、D 三点分别作直线BP 的垂线段，垂足分别是E 、F 、G ．（1）如图（a ）所示，当CP ＝3时，求线段EG 的长；（2）如图（b ）所示，当∠PBC ＝30°时，四边形ABCF 的面积；（3）如图（c ）所示，点P 在CD 上运动的过程中，四边形AECG 的面积S 是否存在最大值？如果存在，请求出∠PBC 为多少度时，S 有最大值，最大值是多少？如果不存在，请说明理由．12．已知：如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90ACB ∠=︒，10cm AB =，8cm BC =，OD 垂直平分A C .点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P 作PE AB ⊥，交BC 于点E ，过点O 作//QF AC ，分别交AD ，OD 于点F ，G .连接OP ，EG .设运动时间为()t s ()05t <<，解答下列问题：(1)当t 为何值时，点E 在BAC ∠的平分线上？ (2)设四边形PEGO 的面积为()2mS c ，求S 与t 的函数关系式.(3)连接OE ，OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OE OQ ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.13．已知：如图1，矩形OABC 的两个顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标是（8，2），点P 是边BC 上的一个动点，连接AP ，以AP 为一边朝点B 方向作正方形P ADE ，连接OP 并延长与DE 交于点M ，设CP ＝a （a ＞0）．（1）请用含a 的代数式表示点P ，E 的坐标．（2）连接OE ，并把OE 绕点E 逆时针方向旋转90°得EF ．如图2，若点F 恰好落在x 轴的正半轴上，求a 与EMDM的值．（3）①如图1，当点M 为DE 的中点时，求a 的值．②在①的前提下，并且当a ＞4时，OP 的延长线上存在点Q ，使得EQ +22PQ 有最小值，请直接写出EQ +22PQ 的最小值．14．如图，边长为6的正方形ABCD 中，,E F 分别是,AD AB 上的点，AP BE ⊥，P 为垂足．（1）如图①， AF =BF ，AE =23，点T 是射线PF 上的一个动点，则当△ABT 为直角三角形时，求AT 的长；（2）如图②，若AE AF =，连接CP ，求证：CP FP ⊥．15．边长相等的两个正方形ABCO 、ADEF 如图摆放，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，ED 交线段OC 于点G ，ED 的延长线交线段BC 于点P ，连AG ，已知OA 长为3. （1）求证：AOG ADG ∆≅∆;（2）若12∠=∠，AG =2，求点G 的坐标；（3）在（2）条件下，在直线PE 上找点M ，使以M 、A 、G 为顶点的三角形是等腰三角形，求出点M 的坐标.16．定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“梦想四边形”。

专题55 几何图形中多线段之间的数量关系-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型(解析版)

新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题专题55 几何图形中多线段之间的数量关系（15题）1．（2020·安徽中考真题）如图1．已知四边形ABCD 是矩形．点E 在BA 的延长线上．. AE AD EC =与BD 相交于点G ，与AD 相交于点,.F AF AB =()1求证：BD EC ⊥； ()2若1AB =，求AE 的长；()3如图2，连接AG，求证：EG DG -=．【答案】（1）见解析；（2）12+；（3）见解析【提示】（1）由矩形的形及已知证得△EAF ≌△DAB ，则有∠E=∠ADB ，进而证得∠EGB=90º即可证得结论；（2）设AE=x ，利用矩形性质知AF ∥BC ，则有EA AFEB BC=，进而得到x 的方程，解之即可；（3）在EF 上截取EH=DG ，进而证明△EHA ≌△DGA ，得到∠EAH=∠DAG ，AH=AG ，则证得△HAG 为等腰直角三角形，即可得证结论．【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=∠EAD=90º，AO=BC ，AD ∥BC ，在△EAF 和△DAB ，AE AD EAF DAB AF AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EAF ≌△DAB(SAS)，新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题∴∠E=∠BDA ， ∵∠BDA+∠ABD=90º， ∴∠E+∠ABD=90º， ∴∠EGB=90º， ∴BG ⊥EC ；（2）设AE=x ，则EB=1+x ，BC=AD=AE=x ， ∵AF ∥BC ，∠E=∠E ， ∴△EAF ∽△EBC ， ∴EA AFEB BC=，又AF=AB=1， ∴11x x x=+即210x x --=，解得：12x +=，12x =（舍去）即；（3）在EG 上截取EH=DG ，连接AH ，在△EAH 和△DAG ，AE AD HEA GDA EH DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EAH ≌△DAG(SAS)， ∴∠EAH=∠DAG ，AH=AG ， ∵∠EAH+∠DAH=90º， ∴∠DAG+∠DAH=90º， ∴∠HAG=90º，∴△GAH 是等腰直角三角形， ∴222AH AG GH +=即222AG GH =， ∴， ∵GH=EG-EH=EG-DG ，∴EG DG -=．【名师点拨】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．2．（2020·重庆中考真题）如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 边上一动点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，连接CE ，DE ．点F 是DE 的中点，连接CF ．（1）求证：CF =；（2）如图2所示，在点D 运动的过程中，当2BD CD =时，分别延长CF ，BA ，相交于点G ，猜想AG 与BC 存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D 运动的过程中，在线段AD 上存在一点P ，使PA PB PC ++的值最小．当PA PB PC ++的值取得最小值时，AP 的长为m ，请直接用含m 的式子表示CE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）BC =；（3）CE = 【提示】（1）先证△BAD ≌△CAE ，可得∠ABD ＝∠ACE ＝45°，可求∠BCE ＝90°，由直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得结论；（2）连接AF ，由（1）得ABD ACE ∆≅∆，CE BD =，45ACE ABD ︒∠=∠=，推出454590DCE BCA ACE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，然后根据现有条件说明在Rt DCE中，DE ，点A ，D ，C ，E 四点共圆，F 为圆心，则CF AF =，在Rt AGC中，推出AG =，即可得出答案；（3）在△ABC 内取一点P ，连接AP 、BP 、CP ，将三角形ABP 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBD ，证明点P 位于线段CE 上，同理得到点P 位于线段BF 上，证明∠BPC=120°，进而得到120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，设PD 为a ，得出BD =，AD BD =，得出a m +，解出a ，根据BD CE =即可得出答案．【详解】解：（1）证明如下：∵90BAC DAE ∠=∠=︒， ∴BAD CAE ∠=∠， ∵AB AC =，AD AE =，∴在ABD △和ACE △中BAD CAEAB AC AD AE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴ABD ACE ∆≅∆， ∴45ABD ACE ∠=∠=︒， ∴90DCE ACB ACE ∠︒=∠+∠=，在Rt ADE △中，F 为DE 中点（同时AD AE =），45ADE AED ∠=∠=︒， ∴AF DE ⊥，即Rt ADF 为等腰直角三角形，∴2AF DF AD ==， ∵CF DF =，∴CF AD =；（2）连接AF ，由（1）得ABD ACE ∆≅∆，CE BD =，45ACE ABD ︒∠=∠=， ∴454590DCE BCA ACE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，在Rt DCE中，DE ， ∵F 为DE 中点，∴12DF EF DE ===，在四边形ADCE 中，有90DAE DCE ∠=∠=︒，180DAE DCE ∠+∠=︒， ∴点A ，D ，C ，E 四点共圆， ∵F 为DE 中点，∴F 为圆心，则CF AF =，在Rt AGC 中， ∵CF AF =，∴F 为CG 中点，即CG 2CF ==，∴AG =，即BC =；（3）如图1，在△ABC 内取一点P ，连接AP 、BP 、CP ，将三角形ABP 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBD ，得到△BPD 为等边三角形，所以PD=BP ， ∴AP+BP+CP=DE+DP+CP ，∴当PA PB PC ++的值取得最小值时，点P 位于线段CE 上；如图2，将三角形ACP 绕点C 顺时针旋转60°得到△FCG ，得到△PCG 为等边三角形，所以PC=GP ， ∴AP+BP+CP=GF+GP+BP ，∴当PA PB PC ++的值取得最小值时，点P 位于线段BF 上；综上所述：如图3，以AB 、AC 为边向外做等边三角形ABE 和等边三角形ACF ，连接CE 、BF ，则交点P 为求作的点， ∴△AEC ≌△ABF ， ∴∠AEC=∠ABF ， ∴∠EPB=EAB=60°， ∴∠BPC=120°，如图4，同理可得，120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，∴60BPD ∠=︒，设PD 为a ，∴BD =，又AD BD ==，∴a m +=，1)m a =a =又BD CE =∴CE ．【名师点拨】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用所学知识是解本题的关键． 3．（2020·江苏南通市真题）（了解概念）有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．（理解运用）（1）如图①，对余四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝6，CD ＝4，连接AC ．若AC ＝AB ，求sin ∠CAD 的值；（2）如图②，凸四边形ABCD 中，AD ＝BD ，AD ⊥BD ，当2CD 2+CB 2＝CA 2时，判断四边形ABCD 是否为对余四边形．证明你的结论；（拓展提升）（3）在平面直角坐标系中，点A （﹣1，0），B （3，0），C （1，2），四边形ABCD 是对余四边形，点E 在对余线BD 上，且位于△ABC 内部，∠AEC ＝90°+∠ABC ．设AEBE＝u ，点D 的纵坐标为t ，请直接写出u 关于t 的函数解析式．【答案】（1）1225；（2）四边形ABCD 是对余四边形，证明见解析；（3）u （0＜t ＜4）．【提示】（1）先构造直角三角形，然后利用对余四边形的性质和相似三角形的性质，求出sin ∠CAD 的值．（2）通过构造手拉手模型，即构造等腰直角三角形，通过证明三角形全等，利用勾股定理来证明四边形ABCD为对余四边形．（3）过点D作DH⊥x轴于点H，先证明△ABE∽△DBA，得出u与AD的关系，设D（x，t），再利用（2）中结论，求出AD与t的关系即可解决问题．【详解】解：（1）过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥AD于F．∵AC＝AB，∴BE＝CE＝3，在Rt△AEB中，AE4==，∵CF⊥AD，∴∠D+∠FCD＝90°，∵∠B+∠D＝90°，∴∠B＝∠DCF，∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△AEB∽△DFC，∴EB AB CF CD=，∴354 CF=，∴CF＝125，∴sin∠CAD＝12125525 CFAC==．（2）如图②中，结论：四边形ABCD是对余四边形．理由：过点D作DM⊥DC，使得DM＝DC，连接CM．∵四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，∵∠DCM＝∠DMC＝45°，∵∠CDM＝∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠BDM，∵AD＝DB，CD＝DM，∴△ADC≌△BDM（SAS），∴AC＝BM，∵2CD2+CB2＝CA2，CM2＝DM2+CD2＝2CD2，∴CM2+CB2＝BM2，∴∠BCM＝90°，∴∠DCB＝45°，∴∠DAB+∠DCB＝90°，∴四边形ABCD是对余四边形．（3）如图③中，过点D作DH⊥x轴于H．∵A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题∴OA ＝1，OB ＝3，AB ＝4，AC ＝BC ＝ ∴AC 2+BC 2＝AB 2， ∴∠ACB ＝90°，∴∠CBA ＝∠CAB ＝45°， ∵四边形ABCD 是对余四边形， ∴∠ADC+∠ABC ＝90°， ∴∠ADC ＝45°，∵∠AEC ＝90°+∠ABC ＝135°， ∴∠ADC+∠AEC ＝180°， ∴A ，D ，C ，E 四点共圆， ∴∠ACE ＝∠ADE ，∵∠CAE+∠ACE ＝∠CAE+∠EAB ＝45°， ∴∠EAB ＝∠ACE ， ∴∠EAB ＝∠ADB ， ∵∠ABE ＝∠DBA ， ∴△ABE ∽△DBA ， ∴BE AEAB AD =， ∴AE ADBE AB= ∴u ＝4AD，设D （x ，t ），由（2）可知，BD 2＝2CD 2+AD 2，∴（x ﹣3）2+t 2＝2[（x ﹣1）2+（t ﹣2）2]+（x+1）2+t 2，整理得（x+1）2＝4t ﹣t 2，在Rt △ADH 中，AD ==∴u ＝4AD ＝2（0＜t ＜4），即u（0＜t＜4）．【名师点拨】本题属于四边形综合题，考查了对余四边形的定义，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．4．（2020·山东烟台市·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC 上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．（问题解决）（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；（类比探究）（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）FC＝CD+CE，见解析【提示】（1）在CD上截取CH＝CE，易证△CEH是等边三角形，得出EH＝EC＝CH，证明△DEH≌△FEC（SAS），得出DH＝CF，即可得出结论；（2）过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD 为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．【详解】（1）证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，∵△DEF 是等边三角形， ∴DE ＝FE ，∠DEF ＝60°，∴∠DEH+∠HEF ＝∠FEC+∠HEF ＝60°， ∴∠DEH ＝∠FEC ，在△DEH 和△FEC 中，DE FE DEH FEC EH EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DEH ≌△FEC （SAS ）， ∴DH ＝CF ，∴CD ＝CH+DH ＝CE+CF ， ∴CE+CF ＝CD ；（2）解：线段CE ，CF 与CD 之间的等量关系是FC ＝CD+CE ；理由如下： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝60°，过D 作DG ∥AB ，交AC 的延长线于点G ，如图2所示： ∵GD ∥AB ，∴∠GDC ＝∠B ＝60°，∠DGC ＝∠A ＝60°， ∴∠GDC ＝∠DGC ＝60°， ∴△GCD 为等边三角形， ∴DG ＝CD ＝CG ，∠GDC ＝60°， ∵△EDF 为等边三角形，∴ED ＝DF ，∠EDF ＝∠GDC ＝60°， ∴∠EDG ＝∠FDC ，在△EGD 和△FCD 中，ED DF EDG FDC DG CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EGD ≌△FCD （SAS ）， ∴EG ＝FC ，∴FC ＝EG ＝CG+CE ＝CD+CE ．【名师点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等边三角形是解题的关键．5．（2020·四川达州市·中考真题）（1）（阅读与证明）如图1，在正ABC 的外角CAH ∠内引射线AM ，作点C 关于AM 的对称点E （点E 在CAH ∠内），连接BE ，BE 、CE 分别交AM 于点F 、G ． ①完成证明：点E 是点C 关于AM 的对称点，90AGE ︒∴∠=，AE AC =，12∠=∠．正ABC 中，60BAC ︒∠=，AB AC =，AE AB ∴=，得34∠=∠．在ABE △中，126034180︒︒∠+∠++∠+∠=，13∴∠+∠=______︒．在AEG △中，3190FEG ︒∠+∠+∠=，FEG ∴∠=______︒． ②求证：2BF AF FG =+．（2）（类比与探究）把（1）中的“正ABC ”改为“正方形ABDC ”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得： ①FEG ∠=______︒；②线段BF 、AF 、FG 之间存在数量关系___________．（3）（归纳与拓展）如图3，点A 在射线BH 上，AB AC =，()0180BAC αα︒︒∠=<<，在CAH ∠内引射线AM ，作点C关于AM 的对称点E （点E 在CAH ∠内），连接BE ，BE 、CE 分别交AM 于点F 、G ．则线段BF 、AF 、GF 之间的数量关系为__________．【答案】（1）①60°，30°；②证明见解析；（2）①45°；②；（3）2sin2sin2FG BF αα=+．【提示】（1）①根据等量代换和直角三角形的性质即可确定答案；②在FB 上取AN=AF ，连接AN ．先证明△AFN 是等边三角形，得到 ∠BAN=∠2=∠1，然后再证明△ABN ≌△AEF ，然后利用全等三角形的性质以及线段的和差即可证明；（2）类比（1）的方法即可作答；（3）根据（1）（2）的结论，即可总结出答案．【详解】解：（1）①∵12∠=∠，34∠=∠，126034180︒︒∠+∠++∠+∠= ∴()213120︒∠+∠=，即13∠+∠=60°；∵3190FEG ︒∠+∠+∠= ∴()903130FEG ︒︒∠=∠+∠=-故答案为60°，30°；②在FB 上取FN=AF ，连接AN ∵∠AFN=∠EFG=60° ∴△AFN 是等边三角形 ∴AF=FN=AN ∵FN=AF新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题∴∠BAC=∠NAF=60° ∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2 ∴∠BAN=∠2∵点C 关于AM 的对称点E ∴∠2=∠1,AC=AE ∴∠BAN=∠2=∠1 ∵AB=AC ∴AB=AE 在△ABN 和△AEF FN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE ∴△ABN ≌△AEF ∴BN=EF∵AG ⊥CE ，∠FEG=30° ∴EF=2FG ∴BN=EF=2FG ∵BF=BN+NF ∴BF=2FG+AF（2）①点E 是点C 关于AM 的对称点，90AGE ︒∴∠=，AE AC =，12∠=∠．正方形ABCD 中，90BAC ︒∠=，AB AC =，AE AB ∴=，得34∠=∠．在ABE △中，129034180︒︒∠+∠++∠+∠=，13∴∠+∠=45︒．在AEG △中，3190FEG ︒∠+∠+∠=，新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题∴∠=45︒．FEG故答案为45°；②在FB上取FN=AF，连接AN∵∠AFN=∠EFG=45°∴△AFN是等腰直角三角形∴∠NAF=90°，AF=AN∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2=90°∴∠BAN=∠2∵点C关于AM的对称点E∴∠2=∠1,AC=AE∴∠BAN=∠2=∠1∵AB=AC∴AB=AE在△ABN和△AEFFN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE∴△ABN≌△AEF∴BN=EF∵AG⊥CE，∠FEG=45°∴∴∵BF=BN+NF∴（3）由（1）得：当∠BAC=60°时BF=AF+2FG=602sin302sin60sin302sin2FG FGAF AF+=+2sin2sin2FGBF AFαα=+；由（2）得：当∠BAC=90°时BF=902sin452sin90sin452sin2FG FGAF AF+=+；以此类推，当当∠BAC=α60°时，2sin2sin2FGBF AFαα=+．【名师点拨】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及三角函数的应用，灵活应用所学知识是解答本题的关键．6．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF 拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动．活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．（思考）图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．（发现）当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长．活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE （如图4）．（探究）当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．【答案】【思考】是，理由见解析；【发现】94；【探究】BD＝2OF，理由见解析；【提示】【思考】由全等三角形的性质得出AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，则AB∥DE，可得出结论；【发现】连接BE 交AD 于点O ，设AF ＝x （cm ），则OA ＝OE ＝12（x +4），得出OF ＝OA ﹣AF ＝2﹣12x ，由勾股定理可得()2221123424x x ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，解方程求出x ，则AF 可求出；【探究】如图2，延长OF 交AE 于点H ，证明△EFO ≌△EFH （ASA ），得出EO ＝EH ，FO ＝FH ，则∠EHO ＝∠EOH ＝∠OBD ＝∠ODB ，可证得△EOH ≌△OBD （AAS ），得出BD ＝OH ，则结论得证．【详解】解：【思考】四边形ABDE 是平行四边形．证明：如图，∵△ABC ≌△DEF ， ∴AB ＝DE ，∠BAC ＝∠EDF ， ∴AB ∥DE ，∴四边形ABDE 是平行四边形；【发现】如图1，连接BE 交AD 于点O ，∵四边形ABDE 为矩形， ∴OA ＝OD ＝OB ＝OE ，设AF ＝x （cm ），则OA ＝OE ＝12（x +4）， ∴OF ＝OA ﹣AF ＝2﹣12x ，在Rt △OFE 中，∵OF 2+EF 2＝OE 2，∴()2221123424x x ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，解得：x ＝94， ∴AF ＝94cm ．【探究】BD ＝2OF ，证明：如图2，延长OF 交AE 于点H ，∵四边形ABDE 为矩形，∴∠OAB ＝∠OBA ＝∠ODE ＝∠OED ，OA ＝OB ＝OE ＝OD ， ∴∠OBD ＝∠ODB ，∠OAE ＝∠OEA ， ∴∠ABD +∠BDE +∠DEA +∠EAB ＝360°， ∴∠ABD +∠BAE ＝180°， ∴AE ∥BD ， ∴∠OHE ＝∠ODB ， ∵EF 平分∠OEH ， ∴∠OEF ＝∠HEF ，∵∠EFO ＝∠EFH ＝90°，EF ＝EF ， ∴△EFO ≌△EFH （ASA ）， ∴EO ＝EH ，FO ＝FH ，∴∠EHO ＝∠EOH ＝∠OBD ＝∠ODB ， ∴△EOH ≌△OBD （AAS ）， ∴BD ＝OH ＝2OF ．【名师点拨】本题考查了图形的综合变换，涉及了三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．7．（2020·北京中考真题）在△ABC 中，∠C=90°，AC ＞BC ，D 是AB 的中点．E 为直线上一动点，连接DE ，过点D 作DF ⊥DE ，交直线BC 于点F ，连接EF ．（1）如图1，当E 是线段AC 的中点时，设,AE a BF b ==，求EF 的长（用含,a b 的式子表示）；（2）当点E 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE ，EF ，BF 之间的数量关系，并证明．【答案】（1（2）图见解析，222EF AE BF =+，证明见解析．【提示】（1）先根据中位线定理和线段中点定义可得//DE BC ，12DE BC =，CE AE a ==，再根据平行四边形的性质、矩形的判定与性质可得DE CF =，从而可得CF BF b ==，然后利用勾股定理即可得；（2）如图（见解析），先根据平行线的性质可得EAD GBD ∠=∠，DEA DGB ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得ED GD =，AE BG =，然后根据垂直平分线的判定与性质可得EF FG =，最后在Rt BGF 中，利用勾股定理、等量代换即可得证．【详解】（1）∵D 是AB 的中点，E 是线段AC 的中点 ∴DE 为ABC 的中位线，且CE AE a == ∴//DE BC ，12DE BC = ∵90C ∠=︒∴18090DEC C ∠=︒-∠=︒ ∵DF DE ⊥ ∴90EDF ∠=︒ ∴四边形DECF 为矩形 ∴DE CF =11()22CF BC BF CF ∴==+ ∴CF BF b ==则在Rt CEF 中，EF == （2）过点B 作AC 的平行线交ED 的延长线于点G ，连接FG∵//BG AC∴EAD GBD ∠=∠，DEA DGB ∠=∠ ∵D 是AB 的中点 ∴AD BD =在EAD 和GBD △中，EAD GBD DEA DGB AD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EAD GBD AAS ≅ ∴ED GD =，AE BG = 又∵DF DE ⊥∴DF 是线段EG 的垂直平分线 ∴EF FG =∵90C ∠=︒，//BG AC ∴90GBF C ∠=∠=︒在Rt BGF 中，由勾股定理得：222FG BG BF =+ ∴222EF AE BF =+．【名师点拨】本题考查了中位线定理、矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 8．（2020·江苏淮安市·中考真题）（初步尝试）（1）如图①，在三角形纸片ABC 中，90ACB ∠=︒，将ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN，则AM 与BM 的数量关系为；（思考说理）（2）如图②，在三角形纸片ABC 中，6AC BC ==，10AB =，将ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，求AMBM的值．（拓展延伸）（3）如图③，在三角形纸片ABC 中，9AB =，6BC =，2ACB A ∠=∠，将ABC 沿过顶点C 的直线折叠，使点B 落在边AC 上的点B '处，折痕为CM ． ①求线段AC 的长；②若点O 是边AC 的中点，点P 为线段OB '上的一个动点，将APM △沿PM 折叠得到△A ′PM ，点A 的对应点为点A '，A M '与CP 交于点F ，求PFMF的取值范围．【答案】（1）AM BM =；（2）169；（3）①152；②33104PF MF ≤≤．【提示】（1）先根据折叠的性质可得,90CN BN CNM BNM =∠=∠=︒，再根据平行线的判定可得//AC MN ，然后根据三角形中位线的判定与性质即可得；（2）先根据等腰三角形的性质可得B A ∠=∠，再根据折叠的性质可得B MCN ∠=∠，从而可得MCN A ∠=∠，然后根据相似三角形的判定与性质可得BM BCBC AB=，从而可求出BM 的长，最后根据线段的和差可得AM 的长，由此即可得出答案；（3）①先根据折叠的性质可得12BCM ACM ACB ∠=∠=∠，从而可得BCM A M A C ∠=∠=∠，再根据等腰三角形的定义可得AM CM =，然后根据相似三角形的判定与性质可得BM BC CMBC AB AC==，从而可得BM 、AM 、CM 的长，最后代入求解即可得；②先根据折叠的性质、线段的和差求出AB '，OB '的长，设B P x '=，从而可得32A P x '=+，再根据相似三角形的判定与性质可得31105PF A P x MF CM '==+，然后根据x 的取值范围即可得．【详解】（1）AM BM =，理由如下：由折叠的性质得：,90CN BN CNM BNM =∠=∠=︒90ACB ∠=︒90ACB BNM ∴∠=∠=︒ //AC MN ∴MN ∴是ABC 的中位线∴点M 是AB 的中点新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题则AM BM =故答案为：AM BM =；（2）6AC BC ==B A ∴∠=∠由折叠的性质得：B MCN ∠=∠MCN A ∴∠=∠，即MCB A ∠=∠在BCM 和BAC 中，MCB AB B ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩BCM BAC ∴~BM BC BC AB ∴=，即6610BM = 解得185BM = 18321055AM AB BM ∴=-=-=321651895AM BM ∴==；（3）①由折叠的性质得：12BCM ACM ACB ∠=∠=∠ 2ACB A ∠=∠，即12A ACB ∠=∠BCM ACM A ∠=∠=∠∴ AM CM ∴=在BCM 和BAC 中，BCM AB B ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩BCM BAC ∴~ BM BC CM BC AB AC ∴==，即669BM CMAC== 解得4BM =945AM AB BM ∴=-=-= 5CM AM ∴== 659AC∴=解得152AC =； ②如图，由折叠的性质可知，6B C BC '==，A P AP '=，A A ∠'=∠153622AB AC B C ''∴=-=-= 点O 是边AC 的中点11524OA AC ∴== 1539424OB OA AB ''∴=-=-= 设B P x '=，则32A P AP AB B P x '''==+=+ 点P 为线段OB '上的一个动点0B P OB '∴≤'≤，其中当点P 与点B '重合时，0B P '=；当点P 与点O 重合时，B P OB ''= 904x ∴≤≤,A A ACM A '∠=∠∠=∠A ACM '∴∠=∠，即A FCM '∠=∠在A FP '和CFM △中，A FCMA FP CFM ∠=∠⎧⎨∠=∠''⎩A FP CFM '∴~33125105xPF A P x MF CM +'∴===+ 904x ≤≤3313101054x ∴≤+≤ 则33104PFMF ≤≤．【名师点拨】本题考查了折叠的性质、三角形的中位线定理、等腰三角形的定义、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3）②，正确设立未知数，并找出两个相似三角形是解题关键．9．（2020·广东深圳市·中考真题）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E ，A ，D 在同一条直线上），发现BE =DG 且BE ⊥DG ．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE =DG 吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由：（2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG 和菱形ABCD ，将菱形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG 与∠BAD 的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE =DG 仍成立？请说明理由；（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG 和矩形ABCD ，且23AE AB AG AD ==，AE =4，AB =8，将矩形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转（如图3），连接DE ，BG ．小组发现：在旋转过程中， BG 2+DE 2是定值，请求出这个定值．【答案】（1）见解析；（2）当∠EAG =∠BAD 时，BE =DG 成立；理由见解析；（3）22260BG DE +=．【提示】（1）根据四边形ABCD 和AEFG 是正方形的性质证明△EAB ≌△GAD 即可；（2）根据菱形AEFG 和菱形ABCD 的性质以及角的和差证明△EAB ≌△GAD 即可说明当∠EAG =∠BAD 时，BE =DG 成立；（3）如图：连接EB ，BD ,设BE 和GD 相交于点H ，先根据四边形AEFG 和ABCD 为矩形的性质说明△EAB ∽△GAD ，再根据相似的性质得到90GHE EAC ︒∠=∠=，最后运用勾股定理解答即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形 ∴AB =AD ，90DAB ︒∠= ∵四边形AEFG 为正方形新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题∴AE =AG ，90EAG ︒∠= ∴EAB GAD ∠=∠ 在△EAB 和△GAD 中有：AE AG EAB GAD AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAB ≌△GAD ∴BE =DG ；(2)当∠EAG =∠BAD 时，BE =DG 成立。

人教版七年级数学上册第六章几何图形初步第2课时《线段的比较与运算(线段的运算)》PPT模版

复习导入
已知线段a，请用尺规作图的方法作一条线段AB 等于线段a.
a
步骤：①作直线l； ②在直线l上截取AB=a.
l
A
B
02
进行新课
进行新课
知识点一线段的和、差
探究1：线段a和线段b的大小关系是怎样的？
a
b
a＞b
探究2：怎样通过尺规作图得到线段a和线段b的和、差关系？
a
b
线段a与线段b的和
已知AD，可以求出
AD、DB、已知AB，之间的数量可以求出关系
CD
AD或BD
A CD
B
例2 如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD 的中点，若AB＝4cm，求线段CD的长度．
A CD
B
解：因为AB=4cm，且点D是线段AB的中点，
所以AD= 1 AB = 1×4=2cm，
2
2
因为点C是线段AD的中点，
4.点M，N，P，在同一直线上，MN=3cm， NP=1cm.求线段MP的长.
解：当点 P在线段 MN 的延长线上时，如图①，MP=MN+NP=3+1=4(cm)；当点P在线段MN上时，如图②，
MP=MN-NP=3-1=2(cm). 综上所述，线段 MP 的长为 4 cm 或2 cm.
课堂小结
20XX/01/01
线段AD就是a与b的
差
记
作
AD = ab
动画展示
例1 如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于2a-b.
解：①在直线上作线段AB=a；
a
②在线段AB的延长线上作线段BC=a，
则线段AC=2a；
b
③在线段AC上作线段CD=b，则线段

全等三角形的六种模型全梳理(学生版)--初中数学专题训练

全等三角形的六种模型全梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。

类型一、倍长中线模型目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。

将分散的条件集中到一个三角形中。

1【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法思考：(1)如图2，由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.ASA(2)如图2，AD长的取值范围是．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．2(培优)已知△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD,BE，点F为BE中点．AD；(1)如图1，求证：BF=12(2)将△DCE绕C点旋转到如图2所示的位置，连接AE,BD，过C点作CM⊥AD于M点．①探究AE和BD的关系，并说明理由；②连接FC，求证：F，C，M三点共线．1.如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AB=2AE．2.(1)如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB+AC>2AD；(2)如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；(3)如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．3.(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明(往往需证2次全等)3如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，CA平分∠BCD，∠CAD=12∠BAE．(1)求证：CD=BC+DE；(2)若∠B=75°，求∠E的度数．4(培优)在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F．(1)求证：∠BFC=90°+12∠A；(2)已知∠A=60°．①如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；②如图2，若BF=AC，求∠AEB的大小．1.如图，△ABC为等边三角形，若∠DBC=∠DAC=α0°<α<60°，则∠BCD=(用含α的式子表示)．2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠BAD．∠EAF=12(1)当点E、F分别在边BC、CD上时(如图1)，请说明EF=BE+FD的理由．(2)当点E、F分别在边BC、CD延长线上时(如图2)，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．3.阅读下面材料：【原题呈现】如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2.2，AC=3.6，求BC的长．【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC=AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决(如图2)．【问题解答】(1)参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；(2)拓展提升：如图3，已知△ABC中，AB=AC，∠A=20°，BD平分∠ABC，BD=2.3，BC=2．求AD 的长．类型三、一线三等角模型应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。

压轴题05 二次函数中三种线段问题(学生版) 2023-2024学年九年级数学上册培优题型(人教版)

压轴题05 二次函数中三种线段问题目录解题知识必备..............................................................Error! Bookmark not defined.压轴题型讲练 (2)题型一、线段的数量关系 (2)题型二、线段最值问题 (11)题型三、周长最值问题 (20)压轴能力测评（13题） (28)一、线段的数量关系此类问题一般是求满足线段数量关系的点的坐标，针对这种情况应先在图中找出对应线段，弄清已知点和未知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；最后表示出线段的长度，列出满足线段数量关系的等式，从而求出未知数的值；二、线段最值问题此类问题通常有两类：①设出关键的点的未知数(通常是一个跟所求线段关系紧密的点的横坐标)，通过题目中的函数和图形关系，用该点的横坐标表示出有关线段端点的坐标，进而表示出线段的长，通过二次函数的性质求最值，继而得到线段的最大值或最小值；②在求线段最小值的时候可以利用轴对称模型.此类问题一般是要寻找一个动点，使其到两个顶点的距离最小，通常是作一个定点关于动点所在直线的对称点，连接这个对称点与另一个定点的线段即为所求的最小值；三、周长最值问题此类问题一般为所求图形中有一动点，对其求周长最值，解决此类问题时应利用转化思想，即先观察图形，结合题目，分清楚定线段和不定线段，然后将其所求图形周长的最值转化到求不定线段和的最值，进而转化为求线段最值问题，其方法同(2).题型一、线段的数量关系【例1】．（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图1，抛物线2144y x =-+交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．(1)求 A ，B 两点的坐标和直线BC 的解析式；(2)D 是直线BC 上的点，过点D 作x 轴的平行线，交抛物线于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），若3DM DN =，求点D 的横坐标．【变式1】．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()()1,0,4,0A B -两点，与y 轴交于点C ．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)点P 是x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点Q ，交直线BC 于点M ，如果2PQ PM =，求点P 的坐标；(3)点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，如果以点,,,B C D E 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E 的坐标．【变式2】．（23-24九年级上·河南新乡·期末）如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A -，()2,0B ，与y 轴交于点C ，P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点（与点B ，C 不重合）．连接OP 交BC 于点Q ．(1)求抛物线的表达式．(2)当3OP PQ =时，求点P 的坐标．(3)试探究在点P 的运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式3】．（23-24九年级上·天津和平·期末）在平面直角坐标系中，点()0,0O ，()30A -,，()3,0B ．已知抛物线254y ax ax =-+（a 为常数，0a ¹），与y 轴相交于点C ，P 为顶点．(1)当抛物线过点A 时，求该抛物线的顶点P 的坐标；(2)若点P 在x 轴上方，当45POB Ð=°时，求a 的值；(3)在（1）的情况下，连接AC ，BC ，点E ，点F 分别是线段CO ，BC 上的动点，且CE BF =，连接AE ，AF ，求AE AF +最小值，并求此时点E 和点F 的坐标．题型二、线段最值问题【例2】．（23-24九年级下·江西吉安·期中）如图，抛物线()21y x k =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C (0,−3)．(1)求抛物线的对称轴及k 的值；(2)抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PA PC +的值最小，求此时点P 的坐标；(3)点M 是抛物线上一动点，且在第三象限，过点M 作PM x ^轴交线段AC 于点P ，求出线段PM 长度的最大值．【变式1】．（23-24九年级上·贵州遵义·期末）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的横坐标为4，当32x =时，y 有最大值254：(1)求二次函数的表达式；(2)点P 在对称轴上，当PA PC +的值最小时，求点P 的坐标．【变式2】．（23-24九年级上·山东日照·期末）在平面直角坐标系中，抛物线2y ax 2x c =++与y 轴交于点A (0,3)，与x 轴交于点()1,0B -和点C ，抛物线的顶点为P ．(1)求此抛物线的解析式和顶点P 的坐标；(2)若点D ，E 均在此抛物线上，其横坐标分别为m ，2m （0m >）．且D ，E 两点的纵坐标的差为8．①求m 的值；②将点C 向上平移2m 个单位得到点C ¢，将抛物线沿x 轴向右平移n 个单位得到新抛物线，点D 的对应点为点D ¢，点E 的对应点为点E ¢，顶点P 的对应点为点P ¢，在抛物线平移过程中，求C D C E +¢¢¢¢的最小值，并求出新抛物线的顶点P ¢的坐标．【变式3】．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A (−2,0)和点B (4,0)，与y 轴交于点()0,4C ，作直线BC ．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，已知直线BC 上方抛物线上有一点P ，过点P 作PE y P 轴与BC 交于点E ，过点P 作PF x ∥轴与y 轴交于点F ，求PE PF +的最大值和此时点P 的坐标；(3)如图2，将原抛物线向下平移1个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y 轴交于点D ，已知点M 为新抛物线上的一点，且290ODB MDB Ð+Ð=°，请直接写出所有符合条件的点M 的横坐标．题型三、周长最值问题【例3】．（23-24九年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，抛物线过点O (0,0)，()10,0E ，矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点B 在点A 的左侧），点C ，D 在抛物线上．设(),0B t ，当2t =时，4BC =．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持2t =时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ，H ，且直线GH 平分矩形ABCD 的面积时，求平移后的拋物线的顶点坐标．（直接写出结果即可）【变式1】．（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图，抛物线()20y ax bx c a =++¹与x 轴交于()3,0A -、B (4,0)两点，且OB OC =．(1)求抛物线解析式；(2)点H 是抛物线对称轴上的一个动点，连接AH 、CH 、AC ，求出当ACH V 的周长最小时点H 的坐标．【变式2】．（23-24九年级上·重庆·期末）如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．(1)求ABC V 的面积；(2)直线23y x =-与抛物线交于点C 、D ，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PBD △的周长最小？如果存在，请求出点P 坐标；如不存在，请说明理由．【变式3】．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图所示，抛物线交x 轴于点()()3,0,1,0A B --，交y 轴于点C (0,−3)(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为P ，求ABP V 的面积(3)点Q 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点Q ，使QBC △的周长最小？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．1．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于点()1,0A -，B (4,0)，与y 轴交于点C ，P 为BC 上方抛物线上一动点，过P 作垂直于x 轴的直线l 交线段BC 于点F ．(1)求出二次函数24y ax bx =++和BC 所在直线的表达式；(2)在动直线l 移动的过程中，试求线段PF 长度的最大值，并求出此时点P 的坐标；(3)抛物线上是否存在点Q ，使ABQ V 的面积等于ABC V 的面积，若存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．2．（23-24九年级上·云南大理·期末）如图，抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点10,2A æö-ç÷èø，顶点坐标为13,24B æö--ç÷èø．(1)求b ，c 的值；(2)若C 是x 轴上一动点，求ABC V 周长的最小值；(3)m 是抛物线2y x bx c =++与x 轴的交点的横坐标，求5433610322024m m m m m ++++-的值．3．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，抛物线2()30y ax bx a =++¹与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．已的点A 的坐标是(1,0)-，抛物线的对称轴是直线1x =．(1)求抛物线的解析式，及点B 的坐标；(2)在对称轴上找一点P ，使PA PC +的值最小，求点P 的坐标；(3)当1n x n ££+时．最大值为154，直接写出n 的值．4.（23-24九年级下·重庆长寿·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22=++与x轴交于y ax bx()6,0B两点．交y轴于点C．1,0A-，()(1)求抛物线的表达式；P轴交BC于点E，在y轴上取一点F，使得(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PE yEF EC=，求PE CF+的最大值及此时点P坐标；(3)将该抛物线沿射线BC个单位长度，在平移后的抛物线上确定一点M，使得2Ð=Ð．写出所有符合条件的点M的横坐标．井写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程．BCM OBC5．（23-24九年级上·天津宁河·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2=++与直线AB交于点y x bx c()2,0B．A-，()0,2(1)求该抛物线的解析式；(2)点P是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，求PC的最大值及此时点P的坐标；V的周长最小，求点N的坐标．(3)已知点M是抛物线的顶点，若在x轴上存在一点N，使AMN6．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，抛物线2y ax 2x c =++经过点(3,0)A -和点(1,0)B ，与y 轴交于点C ，点P 在直线AC 下方的抛物线上，过点P 作PQ y ∥轴交AC 于点Q ，连接PA ，PC ，设点P 的横坐标为m ．(1)求抛物线的解析式及点C 的坐标；(2)求线段PQ 长度的最大值．7．（23-24九年级上·重庆武隆·期末）如图，已知抛物线2y x bx c =-++经过()()3,0,0,3B C -两点，与x 轴的另一个交点为A ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上找一点E ，使得AE CE +的值最小，求点E 的坐标；(3)设点P 为x 轴上的一个动点，写出所有使BPC V 为等腰三角形的点P 的坐标，并把求其中一个点P 的坐标的过程写出来．8．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，抛物线2y ax bx c =++()0a ¹经过点A (−4,0)、()2,0B ，交y 轴于点80,3C æö-ç÷èø．D 为抛物线在第三象限部分上的一点，作DE x ^轴于点E ，交线段AC 于点F ，连接AD ．(1)求抛物线的表达式；(2)求线段DF 长度的最大值，并求此时点D 的坐标；(3)若线段AF 把ADE V 分成面积比为1:2的两部分，求此时点E 的坐标．9．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++交x 轴于()4,0A ，B 两点，交y 轴于点4(0)C ，．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是直线AC 过点P 作y 轴的平行线交AC 于点E ，过点P 作AC 的平行线交x轴于点F ，求PE 的最大值及此时点P 的坐标；(3)将该抛物线y 沿射线CA 方向平移1y ，点G 是新抛物线1y 的顶点，点M 为新抛物线1y 的对称轴上一点，在平面内确定一点N ，使得以点C ，G ，M ，N 为顶点的四边形是以MG 为边的菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．10．（23-24九年级上·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2142y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．连接AC 、BC ．(1)求ABC V 的面积；(2)点P 是直线AC 上方抛物线上一点，过点P 作PE x ^轴于点E ，交AC 于点D ，求PD AD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移4个单位，向下平移4.5个单位，点M 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点N ，点Q 为平移后的抛物线对称轴上任意一点．写出所有使得以QM 为腰的QMN V 是等腰三角形的点Q 的坐标，并把求其中一个点Q 的坐标的过程写出来．11．（23-24九年级上·广西贺州·期末）如图，已知抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点C ，与x 轴交于,A B 两点，点A 在点B 左侧．点B 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为()0,3-．(1)求抛物线的解析式；(2)当点M 是抛物线对称轴l 上的一个动点时，求当MB MC +最小时，点M 的坐标；(3)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求ADC △面积的最大值．12．（23-24九年级上·湖北随州·期末）已知抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于点A (−2,0)和()3,0B ，与y 轴交于点C ．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图1，在抛物线的对称轴上找一点P ，使点P 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点P 的坐标；(3)如图2，若点M 是OA 的中点，点N 是抛物线上一点，其横坐标为t ，试探究是否存在点N ，使45NMC Ð=°？若存在，求出t 的值（只要求条理清楚地简要写出求解思路即可，不需要写出详细计算过程）；若不存在，请说明理由．13．（23-24九年级上·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++过点(2,3)，与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD x ^轴于点D ，交BC 于点E ，求PE 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中PE 取得最大值时，将该抛物线沿射线AC P 的对应点为点N ，点Q 为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点H ，使得以点P ，N ，Q ，H 为顶点的四边形是菱形，且线段PN 是菱形的一条边，请直接写出所有符合条件的点H 的坐标．。

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矩形中线段之间关系类问题
1、已知：正方形ABCD 中（1）E 、F 分别是BC 、CD 的中点，则BG 、FG 、DE 之间的数量关系是_____________
2、将△DCE 绕点C 旋转至△D'CF ′的位置，D ´F ´经过点F ，则BG ´、FG ´、BF 之间的数量关系是_______________
3、如图，正方形ABCD 中，E ，F 、G 、M 、N 都是正方形边上的点，GF ⊥BE 垂足为H ，MN 经过点H 且，MN ∥BC ，则AE 、GM 、FN 之间的关系是__________
4、如图，折叠正方形ABCD ，使点B 至AD 上一点B ´，点C 至点C ’，MN 为折痕，则AB ’、CE 、B ’E 之间的关系是___________
5、矩形ABCD ，AD ＝2AB ，折叠此矩形，折痕为EF 则（1）EF 与BG 的关系是______________ （2）AE 、CG 、BF 之间的关系是_____________
6、正方形ABCD 中，AE 平分∠BAP ，则AP 、BE 、DP 之间的关系是________
G
E F
C D A B D'
E F F'
G'C D A
B M N B A D
C F
E H G E C'B'B A D C M N
8、已知矩形ABCD ，AE 平分∠BAP ；AD ＝2AB ，则AP 、BE 、DP 之间的关系是_____________
9、已知：正方形ABCD ，∠MAN ＝45°，NK ∥BC ，则BM 、DN 、NK 之间的关系_____________ 连接BD ，交AM 、AN 于P 、Q 两点。

则AB 、DN 、BP 之间的关系是_________________________
10、已知：矩形ABCD 中，∠MAN ＝45°，NK ∥BC ，BC ＝2AB ，则NK 、BM 、DN 之间的关系是_____________
10、已知：矩形ABCD ，∠MAN ＝∠BAO=60°，则AB 、DN 、BP 之间的关系是__________________
12、已知：正方形ABCD ，∠FAE ＝45°，则AC 、CE 、CF 之间的关系是_______________
P
P D
M
N D
N A C D A B E
13、已知：正方形ABCD 。

∠EFG ＝90°，A 是EG 的中点，则EF 、GQ 、FQ 之间的关系是_____________
已知：△ABC 中，∠A ＝90°，BD ＝CD ，则BE 、CF 、EF 之间的关系是________________
14、已知：正方形ABCD ，AE ⊥EF ，CF 平分∠DCH 则AB 、CE 、CF 之间的关系是_____________
15、已知：矩形ABCD ，AE ⊥EF ，CF 平分∠DCHAD ：AB ＝5：3，BE ：CE ＝1：4，则AB 、CE 、CF 之间的关系是________________
16、平行四边形ABCD 中，AD ＝BD ，∠A ＝45°，∠DMN ＝90°，NP ⊥AB 于P 。

则AD 、NP 、BM 之间的关系是___________
17、已知：平行四边形ABCD 中，AC ＝BA ，∠B ＝45°，∠EAF ＝45°，则AD 、BE 、DF 之间的关系为____________
E F G Q C D A B
E F H C D A
B E F H
C D
A
B P
18、已知：正方形ABCD 。

∠BPE ＝90°，则（1）AB 、CE 、PC 之间的关系是___________（2）CE 、AP 、CP 之间的关系是___________（3）CM 、CE 、CB 之间的关系是__________
19、已知：菱形ABCD 中，∠B ＝60°，∠PAQ ＝60°则（1）AC 、PC 、CH 之间的关系是____________ （
2）CM 、CN 、CQ 之间的关系是____________
20、正方形ABCD ，∠
POQ ＝90°，PE ⊥AC ，QF ⊥AC 则PE 、QF 、AB 之间的关系是_____________
21、矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，则CD 、CE 、CP 之间的关系是___________________
22、矩形ABCD 中，∠ACB ＝60°，则BC 、CE 、PC 之间的关系是______________________
P E M
B A D
C E B A
D C E
23、正方形ABCD ，P 是AD 中点，∠MPN ＝90°，则（1）PN 与PM 之间的关系是____________________
（2）AP 、AM 、CN 之间的关系是________________
24、已知：矩形ABCD ，BK 是∠DBC 的平分线，∠FPE ＝90°,AB ＝2AD 。

则DM 、ME 、DN 之间的关系为________________
25、平行四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AC ⊥AB ，∠EAF ＝60°，则
AD 之间的关系是________________
26、矩形ABCD 中，
AD ＝2AB ，BQ ⊥MN 于点O ，过O 作PH ∥BC ，则MP 、NH 、AQ 的关系是________________
27、菱形ABCD 中，∠PAQ ＝2
1
∠ABC ，则AN 、PN 的关系是________________
28、四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ， CH 平分∠DCE ，∠APH ＝90°，则AP 、PH 的关系是________________ C
D
A
M
N Q
P
29、已知正方形ABCD中，∠MAN＝60°，MK∥BC交AN于K，则DM、BN、MK 的数量关系是______________
K N
M C D
A B。