2020届高考数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第14讲圆锥曲线课件文
真题自检感悟
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交汇点二 与向量交汇
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y＝k(x－1)，y＝－1k(x－1)．
y＝kx－1， 由y2＝4x，
得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝2k2k＋2 4，x1x2＝1，
所以|AB|＝ 1＋k2·|x1－x2|
＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2 ＝ 1＋k2· 2k2k＋2 42－4＝41k＋2 k2.
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解法二：(特殊值法) 在 Rt△PF2F1 中，令|PF2|＝1， ∵∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2，|F1F2|＝ 3. ∴e＝ac＝22ac＝|PF|1F|＋1F|2P| F2|＝ 33.故选 D.
热点题型(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的右顶点为 A， 以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两 点．若∠MAN＝60°，则 C 的离心率为________．
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同理可得|DE|＝4(1＋k2)． 所以|AB|＋|DE|＝41k＋2 k2＋4(1＋k2)＝4k12＋1＋1＋k2＝8＋4k2＋k12≥8 ＋4×2＝16， 当且仅当 k2＝k12，即 k＝±1 时，取得等号．故选 A.
答案 A
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1.运用双曲线定义时，容易忽略距离差的“绝对值”这一条件．如第 1 题，忽略此条件可能因为|PF1|＝7,2a＝6，而直接根据|PF1|－|PF2|＝2a，得出 |PF2|＝1，错选 A.因此对于各圆锥曲线的定义，要熟练掌握，特别是双曲线的 定义，不要忽略距离差的“绝对值”这一重要信息；除此之外，对于椭圆定 义中|PF1|＋|PF2|>|F1F2|、双曲线定义中||PF1|－|PF2||<|F1F2|，满足这样点的轨 迹才能是椭圆和双曲线也是非常重要的信息点，这也是第 1 题后续需要验证 的原因．
题型1 选填题 练熟 练稳 少丢分
第14讲 圆锥曲线
[考情分析] 圆锥曲线是高考的重点和热点，选择、填空题主要以考查 圆锥曲线定义、标准方程和几何性质(特别是离心率)为主，属于中偏上难度．
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1
PART ONE
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热点 1 圆锥曲线的定义及标准方程
1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)； (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)； (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点 F 不在直线 l 上，PM⊥l 于 M.
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又F→1A＝A→B，∴A 为 F1B 的中点． ∴OA∥F2B，∴∠F1OA＝∠F1F2B， 又∠F1OA＝∠BOF2，∴∠BOF2＝∠F1F2B， ∴ba＝c－b a，∴c＝2a，∴离心率 e＝ac＝2.
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1.双曲线的渐近线方程是 y＝±bax，还是 y＝±abx，是最容易混淆出错的 点．如第 2 题，如果将 MN 所在渐近线错写为 y＝abx，则|AP|＝ a2a＋2 b2.再根
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2.圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆的标准方程：ax22＋by22＝1或ay22＋bx22＝1，其中 a>b>0； (2)双曲线的标准方程：ax22－by22＝1或ay22－bx22＝1，其中 a>0，b>0； (3)抛物线的标准方程：x2＝±2py，y2＝±2px，其中 p>0.
答案 2
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解析 解法一：由F→1A＝A→B，
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得 A 为 F1B 的中点． 又 O 为 F1F2 的中点， ∴OA∥BF2. 又F→1B·F→2B＝0， ∴∠F1BF2＝90°. ∴OF2＝OB， ∴∠OBF2＝∠OF2B. 又∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，
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1.(2019·广州测试)已知双曲线 C：ax22－y42＝1(a>0)的一条渐近线方程为 2x＋3y＝0，F1，F2 分别是双曲线 C 的左、右焦点，点 P 在双曲线上，且|PF1| ＝7，则|PF2|＝( )
A.1 B．13 C．4 或 10 D．1 或 13
答案 D
在 Rt△PF2F1 中， ∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，
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∴|PF1|＝co2s3c0°＝4 33c，
|PF2|＝2c·tan30°＝2
3c 3.
∵|PF1|＋|PF2|＝2a，即4 33c＋2 33c＝2a，可得 3c＝a.∴e＝ac＝ 33.故选
D.
据 cos∠PAM＝||AAMP||得到关于 e 的方程 3e4－3e2－4＝0，从而形成错解．因此 双曲线渐近线可以根据双曲线方程进行推导，即对于双曲线ax22－by22＝1，令ax22－ by22＝0，则ax22＝by22，ax＝±by，即 y＝±bax，而不要死记硬背．
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1.设椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是 C
上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则 C 的离心率为( )
311
3
A. 6 B.3 C.2 D. 3
答案 D
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解析 解法一：如图，
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2.解决有关几何性质问题时，既可以使用曲线方程与点坐标有关的代数 运算，也可以选择利用平面图形的几何性质求解．二者比较起来，代数运算 的计算量较大，出错率较高．因此求解此类问题时，要根据题目给出的已知 条件，准确画出平面图形，并充分挖掘图形中隐含的几何性质，从而简化计 算过程．
3.求解离心率的值或范围的问题时，要注意不同圆锥曲线的离心率范围 不同．
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2.求标准方程时不考虑焦点位置，如第 2 题，不考虑焦点在 y 轴上的情 况，而导致漏解．因此求圆锥曲线方程时，当焦点位置不明时要注意根据焦 点位置进行分类讨论．
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热点 2 圆锥曲线的几何性质
1.椭圆、双曲线中，a，b，c 三者之间的关系 (1)椭圆：a2＝b2＋c2，离心率 e＝ac＝ 1－ba2∈(0,1)； (2)双曲线：c2＝a2＋b2，离心率为 e＝ac＝ 1＋ab2∈(1，＋∞)．
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解析 由一条渐近线方程为 2x＋3y＝0 和 b＝2 可得 a＝3，|F1F2|＝ 2 9＋4＝2 13，由点 P 在双曲线 C 上，则||PF1|－|PF2||＝6，可得|PF2|＝1 或 13，根据|PF1|＝7，|PF2|＝1，|F1F2|＝2 13或|PF1|＝7，|PF2|＝13，|F1F2|＝2 13 均能满足三角形成立的条件．故选 D.
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热点 3 交汇题型
解析几何与其他知识相结合，各种题型均有可能出现，要求较高，其中 最常见的是与平面向量和不等式结合考查．解决此类问题，关键在于能“透 过现象看本质”，从而选择相应方法求解．
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交汇点一 与不等式交汇
典例 1 (2017·全国卷Ⅰ)已知 F 为抛物线 C：y2＝4x 的焦点，过 F 作两
是抛物线上的两个动点，若 x1＋x2＋4＝233|AB|，则∠AFB 的最大值为(
)
π 3π 5π 2π A.3 B. 4 C. 6 D. 3
答案 D
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解析 因为 x1＋x2＋4＝233|AB|，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4，所以|AF|＋|BF|
＝233|AB|，在△AFB 中，由余弦定理得： cos∠AFB＝|AF|22＋|A|BFF|·||B2－F||AB|2 ＝|AF|＋|BF|22|－AF2|·|A|BFF|·| |BF|－|AB|2 ＝43|A2|BA|F2－|·|B|AFB| |2－1＝2|A13|FA|B·|B|2F|－1，
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2.确定离心率的值或范围时，充分利用椭圆和双曲线的几何性质或者点 坐标等，建立一个关于 a，b，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据 a，b，c 的 关系消掉 b 得到关于 a，c 的关系式．
3.双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±bax，双曲线 ay22－bx22＝ 1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±abx；同时注意渐近线斜率与离心率 e 的关系．
e＝ac＝2
3
3 .
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3.(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分 别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点．若F→1A＝A→B， F→1B·F→2B＝0，则 C 的离心率为________．
答案
23 3
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专题作业
解析 如图，取 MN 中点 P，连接 AP，则 AP⊥MN，所以∠MAP＝30°. 因为 A(a,0)，M，N 为 y＝bax 上的点，则|AP|＝ a|a2＋b| b2＝acb.
2020届高考数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第4讲不等式、线性规划练习文
第4讲 不等式、线性规划[考情分析] 不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主．(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题．(2)不等式的相关知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档，在解答题中，特别是在解析几何中利用不等式求最值、范围或在解决导数问题时利用不等式进行求解，难度偏高．热点题型分析热点1 不等式的性质及解法1.利用不等式的性质比较大小要注意特殊值法的应用．2.一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．3.简单分式不等式的解法 (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； (2)f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f xg x ，g x1.已知a >b >0，给出下列四个不等式： ①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b .其中一定成立的不等式为( ) A.①②③ B ．①②④ C.①③④ D ．②③④答案 A解析 解法一：由a >b >0可得a 2>b 2，所以①成立； 由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x在R 上是增函数， ∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，所以②成立；∵a >b >0，∴a >b ，∴(a －b )2－(a －b )2＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0， ∴a －b >a －b ，所以③成立； 若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35,2a 2b ＝36，有a 3＋b 3<2a 2b ，所以④不成立．故选A. 解法二：令a ＝3，b ＝2， 可以得到①a 2>b 2，②2a >2b －1，③a －b >a －b 均成立，而④a 3＋b 3>2a 2b 不成立，故选A.2.函数f (x )＝3x －x 2的定义域为( ) A.[0,3] B.(0,3)C.(－∞，0]∪[3，＋∞)D.(－∞，0)∪(3，＋∞) 答案 A解析 要使函数f (x )＝3x －x 2有意义，则3x －x 2≥0，即x 2－3x ≤0⇔x (x －3)≤0，解得0≤x ≤3，故选A.3.不等式2x －4x －1≤1的解集为( )A.{x |x <1或x ≥3} B ．{x |1≤x ≤3} C.{x |1<x ≤3} D ．{x |1<x <3}答案 C解析 由2x －4x －1≤1，移项得2x －4x －1－1≤0，即x －3x －1≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x －，x ≠1，解得1<x ≤3，故选C.1.判断不等式是否成立，需要利用性质推理判断，也经常采用特值法进行验证或举出反例，如第1题中对于a 与a －b 或者a －b 与0的大小判断易出错，利用不等式的性质a ＞b ＞0，∴a －b ＞b －b ＝0，即a －b ＞0.2.解一元二次不等式要注意二次项系数的正负，通常先把系数化正再求解，不等式的解集要写成集合或区间的形式．如第2题易忽略二次项系数为负，由3x －x 2≥0得出选项C.3.解不等式时同解变形出错，第3题易出现的问题有两个方面：一是错用不等式的性质直接把不等式化为2x －4≤x －1求解；二是同解变形过程中忽视分母不为零的限制条件，导致增解.热点2 基本不等式及其应用1.利用基本不等式求最大值、最小值的基本法则(1)如果x >0，y >0，xy ＝p (定值)，当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果x >0，y >0，x ＋y ＝s (定值)，当x ＝y 时，xy 有最大值14s 2.(简记：和定积最大)2.利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：(1)通过变形直接利用基本不等式解决．(2)对条件变形，根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，通过“1”的代换、添项、分离常数等手段使之能运用基本不等式．常见的转化方法有：①若a x ＋b y＝1，则mx ＋ny ＝(mx ＋ny )·1＝(mx ＋ny )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ≥ma ＋nb ＋2mnab (字母均为正数)；②x ＋bx －a＝x －a ＋bx －a＋a ≥a ＋2b (x >a ，b >0)．1.下列结论正确的是( ) A.当x >0且x ≠1，lg x ＋1lg x≥2 B.1x 2＋1<1(x ∈R ) C.当x >0时，x ＋1x ≥2D.当0<x ≤2时，x －1x无最大值 答案 C解析 对于A ，当0<x <1时，lg x <0，不等式不成立；对于B ，当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，不等式不成立；对于C ，当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时等号成立；对于D ，当0<x ≤2时，y ＝x －1x 单调递增，所以当x ＝2时，取得最大值，最大值为32.故选C.2.已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋－3x 22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．所以x (4－3x )的最大值为43，取得最大值时x 的值为23.3.设x >－1，则函数y ＝x ＋x ＋x ＋1的最小值为________．答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0，∴y ＝x ＋x ＋x ＋1＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝x ＋2＋x ＋＋4x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1＋5≥2x ＋4x ＋1＋5＝9，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时取“＝”(由于x >－1，故x ＝－3舍去)，∴y ＝x ＋x ＋x ＋1的最小值为9.4.(2018·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．答案 9解析 由题意可知，S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，由角平分线性质和三角形面积公式得12ac sin120°＝12a ×1×sin60°＋12c ×1×sin60°，化简得ac ＝a ＋c ，1a ＋1c ＝1，因此4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c≥5＋2c a ·4ac＝9，当且仅当c ＝2a ＝3时取等号，则4a ＋c 的最小值为9.1.利用均值不等式求解最值时，要注意三个条件，即“一正——各项都是正数；二定——和或积为定值；三等——能取到使等号成立的值”，这三个条件缺一不可．2.第2题易出错的地方是：不会“凑”，不能根据函数解析式的特征适当变形凑出两式之和为定值；第3题是分子展开后不能变形凑出两式之积为定值．第4题利用“1”的代换或配凑使和为定值或积为定值时，代数式的变形要注意保持等价.热点3 简单的线性规划问题1.解决线性规划问题的一般步骤(1)画出可行域；(2)根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；(3)求出目标函数的最大值和最小值．2.常见代数式的几何意义(1)z ＝Ax ＋By 表示与直线y ＝－A B x ＋z B 在y 轴上的截距z B成比例的数； (2)z ＝(x －a )2＋(y －b )2区域内动点(x ，y )与定点(a ，b )的距离的平方； (3)z ＝y －bx －a表示区域内动点(x ，y )与定点(a ，b )连线的斜率． 3.求解线性规划中含参问题的基本方法 (1)首先把不含参数的平面区域确定好；(2)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围．4.解线性规划应用问题的一般步骤 (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答．题型1 已知约束条件，求目标函数的最值1.(2019·全国卷Ⅱ)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≥0，x ＋y －3≤0，y －2≤0，则z ＝3x －y 的最大值是________．答案 9解析 作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y ＝3x －z 过点C 时，－z 最小，即z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，2x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，即C 点坐标为(3,0)，故z max ＝3×3－0＝9.2.(2019·晋城一模)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≤0，y ≥2，则z ＝x 2＋y 2－4x －6y ＋13的最小值为________． 答案 12解析 画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，由于z ＝x 2＋y 2－4x －6y ＋13＝(x －2)2＋(y －3)2，故z 表示可行域内的点A (x ，y )与定点P (2,3)间距离的平方，即z ＝|PA |2.由图形可得|PA |的最小值即为点P (2，3)到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|2＋3－4|2＝22，所以z min ＝d 2＝12.第1、2题易错在不能准确把握目标函数z 的几何意义而不知如何变形. 题型2 已知目标函数的最值求参数1.(2019·华南师大附中一模)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －，若z＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.12 B.13 C ．1 D ．2答案 A解析 由约束条件画出可行域(如图所示三角形及其内部)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a x －得B (1，－2a )．当直线2x ＋y －z ＝0过点B 时，z ＝2x ＋y 取得最小值，所以1＝2×1－2a ，解得a ＝12，故选A.2.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A.3 B ．2 C ．－2 D ．－3答案 B解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4， 则y ＝－ax ＋z 截距的最大值为4. ①若a <0，则不满足条件；②若a >0，当－a <－1，即a >1时，x ＝2，y ＝0是最优解，此时a ＝2；当－a >－1，即0<a <1时，x ＝1，y ＝1是最优解，此时a ＝3>1(舍)．故选B.第1题易在分析动直线的位置时出错，忽略直线y ＝a (x －3)恒过定点(3,0)而不好确定可行域；第2题需明确目标函数中z 与直线y ＝－ax ＋z 截距最值相同，易忽视关于a 的正负讨论而漏解或错解.题型3 线性规划的实际应用(2019·黄冈联考)一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克，果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克，果汁15千克，用时1小时．现库存白糖10千克，果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元，在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为________.答案 600解析 设生产甲、乙两种饮料分别为x 桶、y 桶，利润为z 元，则得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，3x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，6x ＋5y ≤22，3x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝200x ＋100y.作出可行域(如图阴影部分所示)．当直线z ＝200x ＋100y 经过可行域上点B 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝10，6x ＋5y ＝22，得点B 的坐标(2,2)，故z max ＝200×2＋100×2＝600.1.线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得．2.在解决线性规划的应用问题时要注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、是否是非负数等.真题自检感悟1.(2019·全国卷Ⅰ)已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A.a <b <c B ．a <c <b C.c <a <b D ．b <c <a答案 B解析 因为a ＝log 20.2<0，b ＝20.2>1,0<c ＝0.20.3<1，所以b >c >a .故选B. 2.(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A.－15 B ．－9 C ．1 D ．9答案 A解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x ，并平移该直线，知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，z 有最小值，且z min ＝2×(－6)－3＝－15.故选A.3.(2017·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋3，x ≤1，x ＋2x，x ＞1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，3916 C.[－23，2] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，3916 答案 A解析 关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R 上恒成立等价于－f (x )≤a ＋x2≤f (x )，即－f (x )－x 2≤a ≤f (x )－x2在R 上恒成立，令g (x )＝－f (x )－x2.当x ≤1时，g (x )＝－(x 2－x ＋3)－x2＝－x 2＋x2－3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142－4716，当x ＝14时，g (x )max ＝－4716；当x ＞1时，g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋2x ≤－23，当且仅当3x 2＝2x ，且x ＞1，即x ＝233时，“＝”成立，故g (x )max ＝－2 3. 综上，g (x )max ＝－4716.令h (x )＝f (x )－x2，当x ≤1时，h (x )＝x 2－x ＋3－x 2＝x 2－3x 2＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋3916， 当x ＝34时，h (x )min ＝3916；当x ＞1时，h (x )＝x ＋2x －x 2＝x 2＋2x≥2，当且仅当x 2＝2x，且x ＞1，即x ＝2时，“＝”成立，故h (x )min ＝2.综上，h (x )min ＝2.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2.故选A. 4.(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．答案 14解析 由a －3b ＋6＝0可知a －3b ＝－6，且2a ＋18b ＝2a ＋2－3b，因为对于任意x,2x>0恒成立， 结合均值不等式的结论可得， 2a＋2－3b≥22a ×2－3b＝22－6＝14.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a＝2－3b，a －3b ＝－6，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1时等号成立．综上可得2a＋18b 的最小值为14.专题作业一、选择题1.(2019·北京高考)若x ，y 满足|x |≤1－y ，且y ≥－1，则3x ＋y 的最大值为( ) A.－7 B ．1 C ．5 D ．7答案 C解析 由|x |≤1－y ，且y ≥－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≤0，y ≥－1.作出可行域如图阴影部分所示．设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z .作直线l 0：y ＝－3x ，并进行平移．显然当l 0过点A (2，－1)时，z 取最大值，z max ＝3×2－1＝5.故选C.2.不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 答案 A解析 x －12x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋，2x ＋1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤1，x ≠－12，即－12<x ≤1.故选A.3.(2017·山东高考)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋1b ＜b2a ＜log 2(a ＋b )B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1bC.a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2aD.log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2a答案 B解析 解法一：∵a ＞b ＞0，ab ＝1， ∴log 2(a ＋b )＞log 2(2ab )＝1.∵a >b >0且ab ＝1，∴a 2>ab >b 2，则a >1,0<b <1， 于是2a>2，∴0<12a <12，则b 2a <12.∵a ＋1b＝a ＋a ＝2a >a ＋b >log 2(a ＋b )，∴b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b.故选B.解法二：∵a ＞b ＞0，ab ＝1，∴取a ＝2，b ＝12，此时a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 25－1≈1.3，∴b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b.故选B. 4.(2019·北京师范大学附中模拟)已知a >0，b >0，并且1a ，12，1b 成等差数列，则a ＋9b的最小值为( )A.16 B ．9 C ．5 D ．4答案 A解析 ∵1a ，12，1b 成等差数列，∴1a ＋1b＝1.∴a ＋9b ＝(a ＋9b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝10＋a b ＋9b a≥10＋2a b ·9b a ＝16，当且仅当a b ＝9b a 且1a ＋1b＝1，即a ＝4，b ＝43时等号成立．∴a ＋9b 的最小值为16，故选A.5.已知函数f (x )＝x ＋ax＋2的值域为(－∞，0)∪(4，＋∞)，则a 的值是( ) A.12 B.32 C ．1 D ．2答案 C解析 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋a x＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋a x＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号，所以⎩⎨⎧2＋2a ＝4，2－2a ＝0，解得a ＝1，故选C.6.(2018·天津高考)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a >b >c B ．b >a >c C.c >b >a D ．c >a >b答案 D解析 由题意结合对数函数的性质可知，a ＝log 2e>1，b ＝ln 2＝1log 2e ∈(0,1)，c ＝log 1213＝log 23>log 2e ，据此可得，c >a >b .故选D.7.已知x ，y >0且x ＋4y ＝1，则1x ＋1y的最小值为( )A.8 B ．9 C ．10 D ．11答案 B解析 ∵x ，y >0且x ＋4y ＝1，∴1x ＋1y＝(x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝5＋4·y x ＋x y≥5＋24·y x ·xy＝5＋4＝9，当且仅当4·y x ＝x y 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝16或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝12(舍去)时等号成立．故选B.8.(2019·华大新高考联盟模拟)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，y ≥x ，x ≥0，则x2＋y 2的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2B ．[0,2] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．[0，2]答案B解析 画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，x 2＋y 2的几何意义是阴影内的点到原点的距离的平方，显然O 点为最小值点，而A (1,1)为最大值点，故x 2＋y 2的取值范围是[0,2]．故选B.9.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为( )A.1B ．－1C ．3D ．0答案 C解析 作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，y x是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1,3)与原点连线的斜率最大，故y x的最大值为3.故选C.10.若直线l ：kx －y ＋1＝0上不存在满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，x －4y －4≤0的点(x ，y )，则实数k 的取值范围为( )A.(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，74C.(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74答案 D解析 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，x －4y －4≤0，对应的可行域如图中阴影部分：直线l ：kx －y ＋1＝0可化为y ＝kx ＋1，故直线l 过定点C (0,1)，由图可知，当直线l 过⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －2＝0的交点A (1,1)时，k ＝0；当直线l 过⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x －4y －4＝0的交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－43时，k ＝74.由此可知当0<k <74时，直线与不等式组无交点，即直线l 上不存在满足不等式组的点．故选D.11.若正数a ，b 满足：1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A.16 B ．9 C ．6 D ．1答案 C解析 ∵正数a ，b 满足：1a ＋1b ＝1，∴a >1且b >1.1a ＋1b ＝1可变形为a ＋bab＝1，∴ab ＝a＋b ，∴ab －a －b ＝0，∴(a －1)(b －1)＝1，∴a －1＝1b －1，∵a －1>0， ∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1a －＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时取“＝”⎝ ⎛⎭⎪⎫由于a >1，故a ＝23舍去，∴1a －1＋9b －1的最小值为6.故选C. 12.(2019·太原模拟)已知正数a ，b 满足1a ＋9b＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.[3，＋∞) B ．(－∞，3] C.(－∞，6] D ．[6，＋∞)答案 D解析 ∵a >0，b >0，且1a ＋9b＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b＝10＋b a ＋9a b≥10＋2b a ·9ab＝16， 当且仅当b a ＝9ab，即a ＝4，b ＝12时等号成立，所以(a ＋b )min ＝16. 若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则－x 2＋4x ＋18－m ≤16，即m ≥－x 2＋4x ＋2对任意实数x 恒成立，∵－x 2＋4x ＋2＝－(x －2)2＋6≤6，∴m ≥6. ∴实数m 的取值范围是[6，＋∞)．故选D. 二、填空题13.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于________．答案 5解析 绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，联立直线方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝－x ＋m ，可得交点坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋13，2m －13，由目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，所以m ＋13－2m －13＝－1，解得m ＝5.14.(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案 30解析 一年的总运费为6×600x ＝3600x(万元)．一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝ ⎛⎭⎪⎫3600x ＋4x 万元．因为3600x＋4x ≥23600x·4x ＝240，当且仅当3600x＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小.15.(2019·衡水中学检测)设满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤6，x －y ≤2，x ≥0，y ≥0的实数x ，y 所在的平面区域为Ω，则Ω的外接圆方程是______________．答案 (x －1)2＋(y －3)2＝10解析 作出不等式组表示的平面区域Ω，如图阴影部分所示．则区域Ω是四边形ABCO (含内部及边界)．易知BC ⊥AB ，则外接圆的圆心为AC 的中点，又A (0,6)，C (2,0)，则该四边形外接圆的圆心为(1,3)，半径r ＝12|AC |＝10.故所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.16．若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________． 答案 3解析 x 2＋y 2≤1表示圆x 2＋y 2＝1及其内部，易得直线6－x －3y ＝0与圆相离，故|6－x －3y |＝6－x －3y ，当2x ＋y －2≥0时，|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |＝x －2y ＋4，如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数z ＝x －2y ＋4，则可知当x ＝35，y ＝45时，z min ＝3，当2x ＋y －2≤0时，|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |＝8－3x －4y ，可行域为大的弓形内部，目标函数z ＝8－3x －4y ，同理可知当x ＝35，y ＝45时，z min ＝3，综上所述，(|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |)min＝3.。
2020届高考数学大二轮复习刷题首秧第一部分刷考点考点十二数列综合问题理
考点十二 数列综合问题一、选择题1．若数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝(－1)n·n ，则数列{a n }的前20项的和为( ) A ．－100 B ．100 C ．－110 D ．110答案 A解析 由a n ＋1＋a n ＝(－1)n·n ，得a 2＋a 1＝－1，a 3＋a 4＝－3，a 5＋a 6＝－5，…，a 19＋a 20＝－19，∴{a n }的前20项的和为a 1＋a 2＋…＋a 19＋a 20＝－1－3－…－19＝－1＋192×10＝－100.2．(2019·辽宁葫芦岛二模)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一”．在某种玩法中，用a n 表示解下n (n ≤9，n ∈N *)个圆环所需的最少移动次数，{a n }满足a 1＝1，且a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n －1－n 为偶数，2a n －1＋n 为奇数，则解下4个环所需的最少移动次数为( )A ．7B ．10C ．12D ．22答案 A解析 依题意a 4＝2a 3－1＝2(2a 2＋2)－1＝2[2(2a 1－1)＋2]－1＝7，故选A.3．(2019·西藏拉萨中学第二次月考)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( )A ．3×44B ．3×44＋1 C ．44D ．44＋1答案 A解析 由a n ＋1＝3S n 得a n ＝3S n －1(n ≥2)，两式相减得a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ，则a n ＋1＝4a n (n ≥2)，又a 1＝1，a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝a 2q n －2＝3×4n －2(n ≥2)，即a 6＝3×44，故选A.4．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＝125，a 2＋a 5＝4，设b n ＝[a n ]，[x ]表示不超过x 的最大整数，[0.8]＝0，[2.1]＝2，则数列{b n }的前8项和S 8＝( )A ．24B ．20C ．16D ．12答案 C解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝125，2a 1＋5d ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25⇒a n ＝1＋(n －1)×25＝25n ＋35⇒b 1＝b 2＝b 3＝1，b 4＝b 5＝2，b 6＝b 7＝b 8＝3⇒S 8＝16.5．已知数列{a n }的各项均为正数，a 1＝2，a n ＋1－a n ＝4a n ＋1＋a n ，若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1＋a n 的前n 项和为5，则n ＝( )A ．35B ．36C ．120D ．121答案 C解析 用裂项相消法求数列的前n 项和．因为a n ＋1－a n ＝4a n ＋1＋a n，所以a 2n ＋1－a 2n ＝4，所以数列{a 2n }是首项为4，公差为4的等差数列，所以a 2n ＝4n ，因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n ＝2n ，所以1a n ＋1＋a n ＝12×1n ＋1＋n ＝12×(n ＋1－n )，所以S n ＝12×[(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)＋(n ＋1－n )]＝12×(n ＋1－1)＝5，解得n ＝120，故选C.6．(2019·安徽宣城第二次调研)已知正项等比数列{a n }满足a 9＝a 8＋2a 7，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝2a 21，则1m ＋4n的最小值为( )A ．2 2B ．83C ．3D ．3 2答案 C解析 设等比数列的公比为q (q ＞0)，∵a 9＝a 8＋2a 7，∴a 7q 2＝a 7q ＋2a 7，∴q 2－q －2＝0，∴q ＝2或q ＝－1(舍去)，∵存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝2a 21，∴a 21qm －1＋n －1＝2a 21，2m ＋n －2＝2，m＋n －2＝1，m ＋n ＝3，∴1m ＋4n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n (m ＋n )＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋4m n ＋5≥13×9＝3，当且仅当m ＝1，n ＝2时等号成立．故选C.7．(2019·浙江三校联考二)已知数列{a n }满足a 1＝a >0，a n ＋1＝－a 2n ＋ta n (n ∈N *)，若存在实数t ，使{a n }单调递增，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案 A解析 由{a n }单调递增，得a n ＋1＝－a 2n ＋ta n >a n ，又a 1＝a >0，则a n >0，所以t >a n ＋1(n ∈N *)．n ＝1时，t >a ＋1.①n ＝2时，t >－a 2＋ta ＋1，即(a －1)t <(a ＋1)(a －1)．②若a ＝1，②式不成立，不符合题意；若a >1，②式等价于t ＜a ＋1，与①式矛盾，不符合题意．排除B ，C ，D ，故选A. 8．已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则t 的取值范围为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 答案 D解析 ∵数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝2；当n ≥2时，a 1a 2a 3…a n－1＝2(n －1)2，可得a n ＝22n －1，∴1a n ＝122n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等比数列，首项为12，公比为14.∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <23，∵对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，∴t 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 二、填空题9．(2019·河北唐山二模)各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n ·a n ＋2＝3a n ＋1(n ∈N *)，则a 5·a 2019＝________.答案 27解析 由a n ·a n ＋2＝3a n ＋1知n ≥2，a n －1·a n ＋1＝3a n ，两式相乘得a n －1·a n ＋2＝9，又a n ＋2·a n＋5＝9，得a n －1＝a n ＋5，则数列周期为6，又a 1a 4＝9，则a 4＝9，故a 5·a 2019＝a 5·a 6×336＋3＝a 5·a 3＝3a 4＝27.10．已知a n ＝n －7n －52(n ∈N *)，设a m 为数列{a n }的最大项，则m ＝________.答案 8解析 因为函数y ＝x －7x －52在(－∞，52)，(52，＋∞)上单调递减，结合该函数图象可得a 8>a 9>…>1>a 1>a 2>…>a 7，即a 8为数列{a n }的最大项，故m ＝8.11．(2019·湖南株洲二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝4,4S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋1(n ≥1)，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧n ＝，3×4n －1n解析 当n ≥2时，由4S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋1，得4S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n ，∴4S n －4S n －1＝a n ＋1，即4a n ＝a n ＋1，∴a n ＋1a n ＝4(n ≥2)，又4S 1＝4a 1＝a 1＋a 2，a 1＝4，∴a 2＝12，∴当n ≥2时，a n ＝12×4n －2＝3×4n －1.又a 1＝4，不满足上式，所以所求通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝，3×4n －1n12．(2019·山东聊城三模)我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1,2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数1,2,3，…，n 2填入n ×n 个方格中，使得每行、每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记n 阶幻方的对角线上的数字之和为N n ，如图三阶幻方的N 3＝15，那么N 9的值为________．答案 369解析 根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，N 3＝13×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝15，N 4＝14×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＋15＋16)＝34，N 5＝15×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19＋20＋21＋22＋23＋24＋25)＝65，…，∴N n ＝1n ×(1＋2＋3＋4＋5＋…＋n 2)＝1n×n 2＋n 22＝n n 2＋2，故N 9＝2＋2＝9×41＝369.三、解答题13．(2019·辽宁丹东质量测试二)数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ＋1. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝14a n －1，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)因为a n ＋1＝a n ＋2n ＋1，所以当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2.由于a 1＝1满足a n ＝n 2，所以所求{a n }的通项公式为a n ＝n 2. (2)因为b n ＝14n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以数列{b n }的前n 项和为T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 14．(2019·山东烟台适应性练习)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －2(n ∈N *)，{b n }是等差数列，且a 3＝b 4－2b 1，b 6＝a 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和T 2n . 解 (1)S n ＝2a n －2，当n ＝1时，得a 1＝2， 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2， 作差得a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以数列{a n }是以2为首项，公比为2的等比数列， 所以a n ＝2n.设等差数列{b n }的公差为d ， 由a 3＝b 4－2b 1，b 6＝a 4， 所以8＝3d －b 1,16＝5d ＋b 1， 所以d ＝3，b 1＝1，所以b n ＝3n －2.(2)T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n ) ＝3(b 1＋b 2)＋3(b 3＋b 4)＋…＋3(b 2n －1＋b 2n ) ＝3(b 1＋b 2＋…＋b 2n )， 又因为b n ＝3n －2， 则T 2n ＝3×2n b 1＋b 2n2＝3n [1＋3×(2n )－2]＝18n 2－3n .一、选择题1．已知数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝4，b n ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋sin 2n π2b n ＋cos 2n π2，则该数列的前23项的和为( )A ．4194B ．4195C ．2046D ．2047答案 A解析 由题意，得当n 为奇数时，b n ＋2＝2b n ，数列为以2为公比的等比数列，当n 为偶数时，b n ＋2＝b n ＋1，数列为以1为公差的等差数列，∴S 23＝(b 1＋b 3＋…＋b 23)＋(b 2＋b 4＋…＋b 22)＝1－2121－2＋11×4＋－2×1＝212－1＋44＋55＝4194.2．(2019·浙江金华十校模拟)等差数列{a n }，等比数列{b n }，满足a 1＝b 1＝1，a 5＝b 3，则a 9能取到的最小整数是( )A ．－1B ．0C ．2D ．3答案 B解析 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由a 1＝b 1＝1，a 5＝b 3，可得1＋4d ＝q 2，则a 9＝1＋8d ＝1＋2(q 2－1)＝2q 2－1>－1，可得a 9能取到的最小整数是0，故选B.3．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则，例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.146寸表示115寸146分(1寸＝10分)．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为( )A ．72.4寸B ．81.4寸C ．82.0寸D ．91.6寸答案 C解析 设晷影长为等差数列{a n }，公差为d ，a 1＝130.0，a 13＝14.8，则130.0＋12d ＝14.8，解得d ＝－9.6，∴a 6＝130.0－9.6×5＝82.0，∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸．4．已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13－a n ＋n，a n －7n ，若对于任意的n ∈N *都有a n >a n ＋1，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案 D解析 ∵对于任意的n ∈N *都有a n >a n ＋1，∴数列{a n }单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧13－a <0，0<a <1，即13<a <1.又由题意知a 9<a 8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫13－a ×9＋2<a 8－7，解得a >12，故12<a <1.5．已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝2(n ∈N *)，则满足10011000<S 2n S n <1110的n 的最大值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6答案 A解析 由2a n ＋1＋S n ＝2得2(S n ＋1－S n )＋S n ＝2，即S n ＋1＝12S n ＋1，S n ＋1－2＝12(S n －2)，且S 1－2＝a 1－2＝－1，所以S n －2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以S 2n S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫10011000，1110，即11000<⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <110，4≤n ≤9，所以n 的最大值为9，故选A.6．(2019·陕西西安4月联考)已知函数f (x )＝21＋x2，若等比数列{a n }满足a 1a 2019＝1，则f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2019)＝( )A ．2019B ．20192C ．2D ．12答案 A 解析 ∵f (x )＝21＋x 2，∴f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝21＋x 2＋21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝2.∵a 1a 2019＝1，∴f (a 1)＋f (a 2019)＝2，∵{a n }为等比数列，则a 1a 2019＝a 2a 2018＝…＝a 1009a 1011＝a 21010＝1.∴f (a 2)＋f (a 2018)＝…＝f (a 1009)＋f (a 1011)＝2，f (a 1010)＝1，即f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2019)＝2×1009＋1＝2019.7．(2019·江西新八校联考二)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 2017－1)2019＋2019a 2017＋(a 2017－1)2021＝2000，(a 2020－1)2019＋2019a 2020＋(a 2020－1)2021＝2038，则S 4036＝( )A ．2020B ．2038C ．4034D ．4036答案 D解析 由(a 2017－1)2019＋2019a 2017＋(a 2017－1)2021＝2000得(a 2017－1)2019＋2019(a 2017－1)＋(a 2017－1)2021＝－19，①由(a 2020－1)2019＋2019a 2020＋(a 2020－1)2021＝2038得(a 2020－1)2019＋2019(a 2020－1)＋(a 2020－1)2021＝19，②令f (x )＝x2019＋2019x ＋x2021，则①式即为f (a 2017－1)＝－19， ②式即为f (a 2020－1)＝19，又f (－x )＋f (x )＝0，即f (x )是奇函数， 则(a 2017－1)＋(a 2020－1)＝0，即a 2017＋a 2020＝2，∴S 4036＝2018(a 1＋a 4036)＝2018(a 2017＋a 2020)＝4036.故选D.8．(2019·广东韶关模拟)已知数列{a n }满足a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n a n ＝n 2＋n (n ∈N *)，设数列{b n }满足b n ＝2n ＋1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n <n n ＋1λ(n ∈N *)恒成立，则实数λ的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫38，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫38，＋∞ 答案 D解析 因为a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n a n ＝n 2＋n ，所以当n ≥2时，a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1＝(n －1)2＋(n －1)，则1na n ＝2n ，故a n ＝2n 2(a 1＝2满足此式)，所以b n ＝2n ＋14n 2n ＋2＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2－1n ＋2，则T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋1n 2－1n ＋2＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1n ＋2，由于T n <n n ＋1λ(n ∈N *)恒成立，故14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1n ＋2<n n ＋1λ，整理得λ>n ＋24n ＋4，因为y ＝n ＋24n ＋4＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1在n ∈N *上单调递减，故当n ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋14n ＋4max ＝38，所以λ>38，故选D.二、填空题9．(2019·辽宁沈阳质量监测三)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n－1，则数列b n ＝a 2n－7a n ＋6的最小值为________．答案 －6解析 由S n ＝2n－1，得a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n－1－2n －1＋1＝2n －1，a 1＝1适合上式，∴a n ＝2n －1.则b n ＝a 2n －7a n ＋6＝⎝⎛⎭⎪⎫a n －722－254，∴当a n ＝4时，(b n )min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－722－254＝－6.10．(2019·辽宁沈阳东北育才学校第八次模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且对任意的r ，t ∈N *，都有S r S t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r t2，则a n ＝________.答案 2n －1解析 若r ＝n ，t ＝n ＋1，n ∈N *，则S n S n ＋1＝n 2n ＋2，令S n ＝n 2k ，S n ＋1＝(n ＋1)2k ，则a 1＝S 1＝k ＝1，∴S n ＝n 2，S n ＋1＝(n ＋1)2，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1＝2(n ＋1)－1，∴a n ＝2n －1，经验证，n ＝1时，满足a n ＝2n －1，所以a n ＝2n －1.11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n，…，n －1n，…，若S k ＝14，则a k ＝________. 答案 78解析 因为1n ＋2n ＋…＋n －1n ＝1＋2＋…＋n －1n ＝n 2－12，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋nn ＋1＝1＋2＋…＋n n ＋1＝n 2，所以数列12，13＋23，14＋24＋34，…，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1是首项为12，公差为12的等差数列，所以该数列的前n 项和T n ＝12＋1＋32＋…＋n 2＝n 2＋n 4.令T n ＝n 2＋n 4＝14，解得n ＝7，所以a k ＝78.12．(2019·河北衡水四月大联考)历史上数列的发展折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，….即F (1)＝F (2)＝1，F (n )＝F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3，n ∈N *)，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{b n }，又记数列{c n }满足c 1＝b 1，c 2＝b 2，c n ＝b n －b n －1(n ≥3，n ∈N *)，则c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2019的值为________．答案 3解析 记“兔子数列”为{a n }，则数列{a n }每个数被4整除后的余数构成一个新的数列{b n }为{1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0，…}，可得数列{b n }构成一周期为6的数列，由题意得数列{c n }为{1,1,1,1，－2，－1,1,0,1,1，－2，－1,1,0,1,1，－2，－1，…}，观察数列{c n }可知该数列从第三项开始后面所有的数列构成一周期为6的数列，且每一周期的所有项的和为0，所以c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2019＝(c 1＋c 2)＋(c 3＋…＋c 2018)＋c 2019＝1＋1＋1＝3.三、解答题13．(2019·河北廊坊期中联合调研)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2－n ＋22n.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2－n ＋22n，∴当n ＝1时，a 1＝2－32＝12；当n ≥2，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)·a n －1＝2－n ＋12n －1，∴na n ＝2－n ＋22n －⎝⎛⎭⎪⎫2－n ＋12n －1＝n 2n ，可得a n ＝12n ，又∵当n ＝1时也成立，∴a n ＝12n .(2)∵b n ＝1a n⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n ＋1，∴b n ＝2n＋2n＋2n ＋1＝12n ＋1－12n ＋1＋1， ∴T n ＝12＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋…＋12n ＋1－12n ＋1＋1＝13－12n ＋1＋1.14．(2019·河北石家庄二中二模)已知等比数列{a n }满足a n <a n ＋1，a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12 a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围．解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .依题意得2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.因此a 2＋a 4＝20，即有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，- 11 - 解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32， 又数列{a n }单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，a 1＝2，故a n ＝2n . (2)∵b n ＝2n log 122n ＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① －2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，② ①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝－2n 1－2－n ·2n ＋1 ＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2.∵S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，∴2n ＋1－n ·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1＋m ·2n ＋1<0， 对任意正整数n 恒成立，m ·2n ＋1<2－2n ＋1对任意正整数n 恒成立，即m <12n －1恒成立，∵12n －1>－1，∴m ≤－1， 即m 的取值范围是(－∞，－1]．。
强化卷01(4月)-冲刺2020高考数学(理)之少丢分题目强化卷(新课标版)(解析版)
专题01 4月二模精选（第2卷）一、单选题1．集合{|A y y ==，2{|20}B x x x =--≤，则A B =（ ）A ．[2,)+∞B ．[0,1]C ．[1,2]D ．[0,2]【答案】D【解析】求解函数y ={}|0A y y =≥，求解一元二次不等式220x x --≤可知：{}|12B x x =-≤≤， 结合交集的定义有：A B ⋂={}|02x x ≤≤，表示为区间形式即[]0,2. 本题选择D 选项.2．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若a i -与2bi+互为共轭复数，则()2i =a b +（ ） A ．3+4i B ．5+4iC ．34i -D ．54i -【答案】A【解析】∵a ﹣i 与2+bi 互为共轭复数， ∴a=2，b=1．则（a+bi ）2=（2+i ）2=3+4i ． 故选A ．3．“k =是“直线:(2)l y k x =+与圆221x y +=相切”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为直线:(2)l y k x =+与圆221x y +=相切，1,3k =∴=±.所以“3k =”是“直线:(2)l y k x =+与圆221x y +=相切”的充分不必要条件. 故选A4．已知1cos sin 5αα-=，则cos 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=( ).A ．2425-B ．45-C ．2425D ．45【答案】C【解析】因为1cos sin 5αα-=， 所以22cos 2sin cos sin 1sin 2ααααα-+=-=125， 所以24sin 225α=，cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭24sin 225α=，故选C. 5．已知函数()xe f x a x=-.若()f x 没有零点，则实数a 的取值范围是（）A ．[0,)eB ．(0,1)C ．(0,)eD ．(0,1)【答案】A【解析】当0a =时，()x e f x x =，令=0x e x ，则>=00x xe e ，恒成立，=0x e x ∴无解，即()x ef x x=无零点。
2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第9讲函数的图象与性质练习2
(4)对于抽象函数一般用定义法． 3.三招判断函数奇偶性 (1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称． (2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称． (3)对于偶函数而言，有 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
1.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的
1
1
e11k＝2，当 x＝33 时，y＝e33k＋b＝(e11k)3eb＝8×192＝24.
1 本题易错点有二：一是指数式的运算 e22k＋b＝e22keb 能否正确运用；二是利用 e11k＝2整体代换的 技巧而求解本题.
真题自检感悟 1.(2018·浙江高考)函数 y＝2|x|sin2x 的图象可能是( )
答案 D
1 解析 如图，分别画出两函数 y＝f(x)和 y＝－4x＋a 的图象．
1
(1)先研究当 0≤x≤1 时，直线 y＝－4x＋a 与 y＝2 x的图象只有一个交点的情况．
1
当直线 y＝－4x＋a 过点 B(1,2)时，
1
9
9
2＝－4＋a，解得 a＝4.所以 0≤a≤4.
1
1
(2)再研究当 x>1 时，直线 y＝－4x＋a 与 y＝x的图象只有一个交点的情况：
是( )
A.0<f(1)<f(3)
B．f(3)<0<f(1)
C.f(1)<0<f(3)
D．f(3)<f(1)<0
答案 C
解析 由 f(x＋2)＝－f(x)得 f(x＋4)＝f(x)，故函数的最小正周期为 4，又函数 f(x)为奇函数，
且 f(x)在[0,2)上单调递减，
2020届高考数学第二轮填空题专项训练13 新教材 新大纲 练习 测试 模拟 复习 考试 期中 期末 高考.doc
江苏省2020届高三数学二轮专题训练：填空题（13）本大题共14小题，请把答案直接填写在答题位置上。
1． 已知集合{}1A =，{}19B =, ，则A B =U ▲ .2． 已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ . 3． 命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ .4． 设定义在()π02, 上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点横坐标为α，则tan α= ▲ .5． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ .6． 已知数列{}n a 与{}23n a +均为等比数列，且11a =，则168a =▲ .7． 若集合{}22011xx <()a ⊆-∞, ，则整数a 的最小值为 ▲ .8． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ .9． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+=”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选填一种）10．记123k k k kk S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式：211122S n n =+，322111326S n n n=++，4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n=++-，6542515212S An n n Bn =+++， ⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ .11．如图，三次函数32y ax bx cx d =+++的零点为112-,, ，则该函数的单调减区间为 ▲ .12．已知函数e xy =的图象在点(e )k a k a , 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =， 则135a a a ++= ▲ .13．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且1MN ≤，则O M O N ⋅的取值范围是 ▲ .14．已知偶函数f ：→Z Z 满足(1)1f =，(2011)1f ≠，对任意的a b ∈Z 、，都有()f a b +≤{}m a x ()()f af b , ，（注：{}m a x x y ,表示x y , 中较大的数），则(2012)f 的可能值是 ▲ .1.{}1 9，； 2. ； 3. 0 sin x x x ∀>>，； 4. ； 5.(01), ；6. 1；7. 11；8. 8 361，；9. 充分不必要； 10. 14；11. ⎣⎦； 12. 6-； 13. )2⎡⎣ ； 14.1 .。
2020年江苏高考数学第二轮复习专题训练含解析
高考冲刺训练专题 (一 )
4 1. 中心在原点，一个顶点为 A( －3，0)，离心率为 3的双曲线的
x2 y2 方程是 9 － 7 ＝1 .
解析 ：因为双曲线的顶点为 A( －3，0)，所以双曲线的焦点在 x
x2 y2
4
轴上，所以设双曲线的方程为 a2－b2＝1，则 a＝3.又因为 e＝3，所以
4. 已知双曲线 xa22－y2＝1(a>0)的一条渐近线为 3x＋y＝0，则 a
3 ＝3.
解析 ：因为双曲线的一条渐近线方程为
y＝－
3x，且
a>0，则
b a
＝ 1a＝
3，解得
a＝
3 3.
x2 y2 5. 设双曲线 a2－b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，右准线 l 与两
条渐近线交于 P，Q 两点，如果△ PQF 是直角三角形，那么双曲线的
－ y0)，M→F2＝( 3－ x0，－y0)，所以 M→F1·M→F 2＝ x02－ 3＋ y20.因为点 M 在 双曲线上，所以 x220－ y20＝ 1，代入不等式 M→F 1·M→F 2<0，得 3y02<1，解得
3
3
－ 3 <y0< 3 .
9.
设 F1， F2 是双曲线
x2－
y2 24＝
1
的两个焦点，
P
是双曲线上的
一点，且 3PF1＝ 4PF2，则△ PF1F2 的面积为 24 .
解析 ：由题意知，双曲线的实轴长为 2，焦距为 F1F2＝2×5＝ 10，
4
1
PF1－PF2＝ 3PF2－ PF2＝ 3PF2＝2，所以
2020届高考数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第10讲函数与导数课件文
答案 D
热点题型分析
真题自检感悟
专题作业
解析 由 f(x)＝x2－aln x，得 f′(x)＝2x－ax， ∵f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴2x－ax≥0 在(1，＋∞)上恒成立，即 a≤2x2 在(1，＋∞)上恒成立， ∵当 x∈(1，＋∞)时，2x2>2，∴a≤2.故选 D.
热点题型分析
真题自检感悟
专题作业
3.利用导数研究函数极值与最值需注意的几点 (1)求函数极值时，一定要注意分析导函数的零点是不是函数的极值点； (2)求函数最值时，务必将极值点与端点值比较得出最大(小)值； (3)对于含参数的函数解析式或区间求极值、最值问题，务必要对参数 分类讨论．
热点题型分析
真题自检感悟
答案 D
热点题型分析
真题自检感悟
专题作业
解析 由 x2·f(x1)－x1·f(x2)<a(x1－x2)得 x2[f(x1)＋a]<x1[f(x2)＋a]，即fx1x1＋a<fx2x2＋a，令 h(x)＝fxx＋a，则对于 任意的 x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，都有 x2·f(x1)－x1·f(x2)<a(x1－x2)成立，等 价于当 x1<x2 时，h(x1)<h(x2)恒成立，即函数 h(x)在[1，＋∞)上为增函数；h(x) ＝ex＋axx－2＋a，则 h′(x)＝xex－exx＋2 2－a≥0 在[1，＋∞)上恒成立．∴xex －ex＋2－a≥0，即 a≤xex－ex＋2 在[1，＋∞)上恒成立．令 g(x)＝xex－ex＋2， ∴g′(x)＝xex>0，∴g(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴g(x)≥g(1)＝2，∴a≤2. ∴a 的取值范围是(－∞，2]．故选 D.
2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第14讲圆锥曲线练习2
第14讲 圆锥曲线[考情分析] 圆锥曲线是高考的重点和热点，选择、填空题主要以考查圆锥曲线定义、标准方程和几何性质(特别是离心率)为主，属于中偏上难度．热点题型分析热点1 圆锥曲线的定义及标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆的标准方程：x 2a 2＋y 2b 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫或y 2a 2＋x 2b 2＝1，其中a >b >0； (2)双曲线的标准方程：x 2a 2－y 2b 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫或y 2a 2－x 2b 2＝1，其中a >0，b >0； (3)抛物线的标准方程：x 2＝±2py ，y 2＝±2px ，其中p >0.1.(2019·广州测试)已知双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1(a >0)的一条渐近线方程为2x ＋3y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|＝7，则|PF 2|＝( )A.1 B ．13 C ．4或10 D ．1或13 答案 D解析 由一条渐近线方程为2x ＋3y ＝0和b ＝2可得a ＝3，|F 1F 2|＝29＋4＝213，由点P 在双曲线C 上，则||PF 1|－|PF 2||＝6，可得|PF 2|＝1或13，根据|PF 1|＝7，|PF 2|＝1，|F 1F 2|＝213或|PF 1|＝7，|PF 2|＝13，|F 1F 2|＝213均能满足三角形成立的条件．故选D.2.椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A.－21B ．21C.－1925或21D.1925或21 答案 C解析 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21.故选C.1.运用双曲线定义时，容易忽略距离差的“绝对值”这一条件．如第1题，忽略此条件可能因为|PF 1|＝7,2a ＝6，而直接根据|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得出|PF 2|＝1，错选A.因此对于各圆锥曲线的定义，要熟练掌握，特别是双曲线的定义，不要忽略距离差的“绝对值”这一重要信息；除此之外，对于椭圆定义中|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|、双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||<|F 1F 2|，满足这样点的轨迹才能是椭圆和双曲线也是非常重要的信息点，这也是第1题后续需要验证的原因．2.求标准方程时不考虑焦点位置，如第2题，不考虑焦点在y 轴上的情况，而导致漏解．因此求圆锥曲线方程时，当焦点位置不明时要注意根据焦点位置进行分类讨论．热点2 圆锥曲线的几何性质1.椭圆、双曲线中，a ，b ，c 三者之间的关系 (1)椭圆：a 2＝b 2＋c 2，离心率e ＝ca＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2∈(0,1)；(2)双曲线：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2∈(1，＋∞)．2.确定离心率的值或范围时，充分利用椭圆和双曲线的几何性质或者点坐标等，建立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到关于a ，c 的关系式．3.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，双曲线 y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±a bx ；同时注意渐近线斜率与离心率e 的关系．1.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36 B.13 C.12 D.33答案 D解析 解法一：如图，在Rt △PF 2F 1中，∠PF 1F 2＝30°，|F 1F 2|＝2c ， ∴|PF 1|＝2c cos30°＝43c3，|PF 2|＝2c ·tan30°＝23c3.∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即43c 3＋23c 3＝2a ，可得3c ＝a .∴e ＝c a ＝33.故选D.解法二：(特殊值法)在Rt △PF 2F 1中，令|PF 2|＝1，∵∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝ 3.∴e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝33.故选D.2.(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．答案233解析 如图，取MN 中点P ，连接AP ，则AP ⊥MN ，所以∠MAP ＝30°.因为A (a,0)，M ，N 为y ＝bax 上的点，则|AP |＝|ab |a 2＋b2＝ab c.在Rt△PAM 中，cos ∠PAM ＝|AP |，则ab ＝a ＝3，所以e ＝c ＝23. 3.(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．答案 2解析 解法一：由F 1A →＝AB →，得A 为F 1B 的中点． 又O 为F 1F 2的中点， ∴OA ∥BF 2. 又F 1B →·F 2B →＝0， ∴∠F 1BF 2＝90°. ∴OF 2＝OB ， ∴∠OBF 2＝∠OF 2B .又∠F 1OA ＝∠BOF 2，∠F 1OA ＝∠OF 2B ， ∴∠BOF 2＝∠OF 2B ＝∠OBF 2， ∴△OBF 2为等边三角形．如图1所示，不妨设B 为⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，－32c .∵点B 在直线y ＝－ba x 上，∴b a＝3， ∴离心率e ＝c a＝2.解法二：∵F 1B →·F 2B →＝0，∴∠F 1BF 2＝90°.在Rt △F 1BF 2中，O 为F 1F 2的中点，∴|OF 2|＝|OB |＝c .如图2，作BH ⊥x 轴于H ，由l 1为双曲线的渐近线，可得|BH ||OH |＝b a，且|BH |2＋|OH |2＝|OB |2＝c 2，∴|BH |＝b ，|OH |＝a ，∴B (a ，－b )，F 2(c,0)． 又F 1A →＝AB →，∴A 为F 1B 的中点． ∴OA ∥F 2B ，∴∠F 1OA ＝∠F 1F 2B ， 又∠F 1OA ＝∠BOF 2，∴∠BOF 2＝∠F 1F 2B ， ∴b a ＝b c －a ，∴c ＝2a ，∴离心率e ＝ca＝2.1.双曲线的渐近线方程是y ＝±b a x ，还是y ＝±abx ，是最容易混淆出错的点．如第2题，如果将MN所在渐近线错写为y ＝a b x ，则|AP |＝a 2a 2＋b2.再根据cos ∠PAM ＝|AP ||AM |得到关于e 的方程3e 4－3e 2－4＝0，从而形成错解．因此双曲线渐近线可以根据双曲线方程进行推导，即对于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1，令x 2a 2－y 2b2＝0，则x 2a 2＝y 2b 2，x a ＝±y b ，即y ＝±bax ，而不要死记硬背． 2.解决有关几何性质问题时，既可以使用曲线方程与点坐标有关的代数运算，也可以选择利用平面图形的几何性质求解．二者比较起来，代数运算的计算量较大，出错率较高．因此求解此类问题时，要根据题目给出的已知条件，准确画出平面图形，并充分挖掘图形中隐含的几何性质，从而简化计算过程．3.求解离心率的值或范围的问题时，要注意不同圆锥曲线的离心率范围不同． 热点3 交汇题型解析几何与其他知识相结合，各种题型均有可能出现，要求较高，其中最常见的是与平面向量和不等式结合考查．解决此类问题，关键在于能“透过现象看本质”，从而选择相应方法求解．交汇点一 与不等式交汇典例1 (2017·全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A.16 B ．14 C ．12 D ．10 解析 因为F 为y 2＝4x 的焦点，所以F (1,0)．由题意直线l 1，l 2的斜率均存在，且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k，故直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x －1)，y ＝－1k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，所以|AB |＝ 1＋k 2·|x 1－x 2| ＝ 1＋k 2· x 1＋x 22－4x 1x 2＝ 1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 22－4＝41＋k 2k 2. 同理可得|DE |＝4(1＋k 2)． 所以|AB |＋|DE |＝41＋k2k2＋4(1＋k 2)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＋1＋k 2＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2＝16，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，取得等号．故选A.答案 A解析几何与不等式交汇，主要体现在运用不等式的相关知识，解析或证明几何图形的某些特征．交汇点集中在利用不等式的解法求参数范围，或构造函数利用均值不等式求最值等问题上.(2019·江西南昌一模)抛物线y2＝8x的焦点为F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若x1＋x2＋4＝233|AB|，则∠AFB的最大值为( )A.π3B.3π4C.5π6D.2π3答案 D解析因为x1＋x2＋4＝233|AB|，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4，所以|AF|＋|BF|＝233|AB|，在△AFB 中，由余弦定理得：cos∠AFB＝|AF|2＋|BF|2－|AB|22|AF|·|BF|＝|AF|＋|BF|2－2|AF|·|BF|－|AB|22|AF|·|BF|＝43|AB|2－|AB|22|AF|·|BF|－1＝13|AB|22|AF|·|BF|－1，又|AF|＋|BF|＝233|AB|≥2|AF|·|BF|，所以|AF|·|BF|≤13|AB|2，则cos∠AFB＝13|AB|22|AF|·|BF|－1≥13|AB|22×13|AB|2－1＝－12，所以∠AFB的最大值为2π3，故选D.交汇点二与向量交汇典例2 (2019·吉林四平质检)经过椭圆x22＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则OA→·OB→等于( )A.－3 B ．－13C.－13或－3D ．±13解析 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan45°(x －1)，即y ＝x －1.代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43.所以两个交点坐标为A (0，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，所以OA →·OB →＝(0，－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13＝－13.同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.故选B.答案 B平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理．解决此类问题基本思想：一是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；二是考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题.设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF →2)·PF →2＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A.4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 D解析 ∵(OP →＋OF →2)·PF →2＝(OP →＋F 1O →)·PF →2＝F 1P →·PF →2＝0， ∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12， ∴2mn ＝4，mn ＝2，∴S △F 1PF 2＝12mn ＝1.真题自检感悟1.(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 B解析 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义可得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a .∵|AB |＝|BF 1|，|AF 2|＝2|F 2B |，∴|AB |＝|BF 1|＝32|AF 2|，∴|AF 1|＋3|AF 2|＝4a .又|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AF 1|＝|AF 2|＝a ，∴点A 是椭圆的短轴端点，如图．不妨设A (0，－b )，由F 2(1,0)，AF 2→＝2F 2B →，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，b 2.由点B 在椭圆上，得94a2＋b 24b2＝1，得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B.2.(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )A.2sin40° B．2cos40° C.1sin50° D.1cos50°答案 D解析 由题意可得－ba＝tan130°，所以e ＝1＋b 2a2 ＝1＋tan 2130°＝1＋sin 2130°cos 2130°＝1|cos130°|＝1cos50°.故选D. 3.(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5 答案 A解析 设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，如图，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2.由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，故ca ＝2，即e ＝ 2.故选A.4.(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13 D.14 答案 D解析 依题意易知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，且P 在第一象限内，由∠F 1F 2P ＝120°可得P 点的坐标为(2c ，3c )．又因为k AP ＝36，即3c 2c ＋a ＝36，所以a ＝4c ，e ＝14，故选D. 专题作业一、选择题1.(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63 B.33 C.23 D.13答案 A解析 由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a .又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，解得a ＝3b ，∴b a ＝13，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63.故选A.2.(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A.324B.322 C ．2 2 D ．3 2答案 A解析 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A. 3.(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1 答案 B解析 由题意可得b a ＝52，c ＝3，又a 2＋b 2＝c 2，解得a 2＝4，b 2＝5，则C 的方程为x 24－y 25＝1，故选B.4.(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A.2B. 3C. 2D.233答案 A解析 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ， 因为圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3. 根据点到直线的距离公式得|2b |a 2＋b2＝3，解得b 2＝3a 2.所以C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝ 1＋b 2a2＝2. 5.(2019·长沙市高三一模)A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时，∠OFA ＝120°，则抛物线的准线方程是( )A.x ＝－1 B ．y ＝－1 C.x ＝－2 D ．y ＝－2 答案 A解析 如图，过A 作AB ⊥x 轴，AC 垂直于准线，因为∠OFA ＝120°，|AF |＝4，所以∠AFB ＝60°，|BF |＝2，根据抛物线定义知|AC |＝4且|AC |＝|BF |＋p ，所以p ＋2＝4即p ＝2.即抛物线的准线方程为x ＝－1，故选A.6.(2019·河北武邑中学调研)已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k 等于( )A.13B.23C.23D.223 答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，∵Δ＝(4k 2－8)2－16k 4>0，又k >0，解得0<k <1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝8k2－4，①x 1x 2＝4，②根据抛物线定义及|FA |＝2|FB |得x 1＋2＝2(x 2＋2)， 即x 1＝2x 2＋2，③ 且x 1>0，x 2>0，由②③解得x 1＝4，x 2＝1，代入①得k 2＝89，∵0<k <1，∴k ＝22.故选D.7.(2019·唐山模拟)双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±7x ，则E 的离心率为( )A.2B.2147 C ．2 2 D ．2 3答案 C解析 由题意，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±7x ，即ba ＝7，所以双曲线的离心率为e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝22，故选C.8.(2019·河北衡水中学模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2＝45°，则双曲线的渐近线方程为( )A.y ＝±2x B ．y ＝±3x C.y ＝±xD ．y ＝±2x答案 A解析 如图，作OA ⊥F 1M 于点A ，F 2B ⊥F 1M 于点B .因为F 1M 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∠F 1MF 2＝45°，所以|OA |＝a ，|F 2B |＝|BM |＝2a ，|F 2M |＝22a ，|F 1B |＝2b . 又点M 在双曲线上，所以|F 1M |－|F 2M |＝2a ＋2b －22a ＝2a . 整理，得b ＝2a .所以b a＝ 2.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选A.9.(2019·华南师大附中一模)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，点F 为E 的左焦点，点P 为E上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足|PF |＝3|FQ |，若|OP |＝b ，则E 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5 答案 B解析 设双曲线的另一个焦点为F 1，连接F 1P ，F 1Q ，因为P 关于原点的对称点为Q ，所以F 1PFQ 是平行四边形，所以|PF 1|＝|FQ |.根据双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2a ，又|PF |＝3|FQ |＝3|PF 1|，所以|PF 1|＝a ，|OP |＝b ，|OF 1|＝c ，因为c 2＝a 2＋b 2，所以∠OPF 1＝90°.又因为|PQ |＝2b ，|QF 1|＝3a ，|PF 1|＝a ，所以(3a )2＝a 2＋(2b )2，整理得b 2＝2a 2即c 2＝3a 2，所以e ＝ca＝3，故选B.10.(2019·湖北八校二模)设F 是抛物线x 2＝4y 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA |＋|FB |＋|FC |的值为( )A.3 B ．6 C ．9 D ．12 答案 B解析 因为FA →＋FB →＋FC →＝0，所以F 为△ABC 的重心，设A ，B ，C 三点的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3，则y 1＋y 2＋y 33＝y F ＝1，所以y 1＋y 2＋y 3＝3.由抛物线定义可知|FA |＝y 1＋1，|FB |＝y 2＋1，|FC |＝y 3＋1，所以|FA |＋|FB |＋|FC |＝y 1＋y 2＋y 3＋3＝6，故选B.11.(2019·郑州第三次质量预测)椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55 B.655 C.855 D.455答案 C解析 设椭圆的右焦点为F 1，由椭圆定义知△FMN 的周长为|MN |＋|MF |＋|NF |＝|MN |＋(25－|MF 1|)＋(25－|NF 1|)＝45＋|MN |－|MF 1|－|NF 1|.因为|MF 1|＋|NF 1|≥|MN |，所以|MN |－|MF 1|－|NF 1|≤0，当MN 过F 1时取等号，即直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大，此时|MN |＝855，|FF 1|＝2，所以S △FMN ＝12×855×2＝855，故选C.12.(2019·汕头市一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a ＋c ，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.(－1,0)∪(0,1)C.(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.(－2，0)∪(0，2) 答案 B解析 如图，因为AB ⊥BD 且BF ⊥AD ，所以|BF |2＝|AF |·|DF |.因为A (a,0)，F (c,0)，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，则|DF |＝|BF |2|AF |＝b 4a2c －a .又因为D 到直线BC 的距离即为|DF |，所以b 4a 2c －a<a ＋c ，即b 4<a 2(c －a )(a ＋c )，整理得b 4<a 2b 2，所以k 2<1，解得－1<k <1.又因为k ≠0，故选B.二、填空题13.(2019·新乡模拟)设P 为曲线2x ＝4＋y 2上一点，A (－5，0)，B (5，0)，若|PB |＝2，则|PA |＝________.答案 4解析 由2x ＝4＋y 2，得4x 2＝4＋y 2(x >0)， 即x 2－y 24＝1(x >0)， 故P 为双曲线x 2－y 24＝1右支上一点，且A ，B 分别为该双曲线的左、右焦点， 则|PA |－|PB |＝2a ＝2，|PA |＝2＋2＝4.14.(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.答案 6解析 如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ， 过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3， 故|FN |＝2|MF |＝6.15.(2019·四省联考诊断)在平面上给定相异两点A ，B ，设P 点在同一平面上且满足|PA ||PB |＝λ，当λ＞0且λ≠1时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点P 满足|PA ||PB |＝2，△PAB 的面积的最大值为163，△PCD 的面积的最小值为23，则椭圆的离心率为________．答案32解析 依题意A (－a,0)，B (a,0)，设P (x ，y )， 依题意得|PA |＝2|PB |， 即x ＋a2＋y 2＝2x －a2＋y 2，两边平方化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －53a 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43a 2，故椭圆的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫5a 3，0，半径r ＝4a 3.所以△PAB 的最大面积为12·2a ·43a ＝163，解得a ＝2，又因△PCD 的最小面积为12·2b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 3－4a 3＝b ·a 3＝23，解得b ＝1.故椭圆的离心率为e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－14＝32. 16.(2019·广东六校联考)已知直线l ：y ＝kx ＋t 与圆C 1：x 2＋(y ＋1)2＝2相交于A ，B 两点，且△C 1AB 的面积取得最大值，又直线l 与抛物线C 2：x 2＝2y 相交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是________．答案 (－∞，－4)∪(0，＋∞)解析 根据题意得到△C 1AB 的面积为12r 2sin θ，当角度为直角时面积最大，此时△C 1AB 为等腰直角三角形，则圆心到直线的距离为d ＝1，根据点到直线的距离公式得到|1＋t |1＋k2＝1⇒1＋k 2＝(1＋t )2⇒k 2＝t 2＋2t ，直线l 与抛物线C 2：x 2＝2y 相交于不同的两点M ，N ，联立直线和抛物线方程得到x 2－2kx －2t ＝0，只需要此方程有两个不等根即可，所以Δ＝4k 2＋8t ＝4t 2＋16t >0，解得t 的取值范围为(－∞，－4)∪(0，＋∞).。
2020年最新高考数学--以圆或隐圆为背景的选择填空题(解析版)
专题一 压轴选择填空题第4关 以圆或隐圆为背景的选择填空题【名师综述】直线与圆是高中数学的C 级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现．近年来，高考对直线与圆的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与函数或不等式或轨迹相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显直线与圆的交汇价值．【典例解剖】类型一 以动点轨迹为圆考查直线与圆、圆与圆位置关系典例1．（2020上海控江中学高三月考）设三角形ABC 是位于平面直角坐标系xOy 的第一象限中的一个不等边三角形，该平面上的动点P 满足：222222||||||||||||PA PB PC OA OB OC ++=++，已知动点P 的轨迹是一个圆，则该圆的圆心位于三角形ABC 的（ ） A ．内心 B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】C 【解析】【分析】可设(,)P x y ，()11,A x y ()22,B x y ，()33,C x y ，由222222||||||||||||PA PB PC OA OB OC ++=++列出关系式，由P 的轨迹为圆，求出圆心坐标即可【详解】设(,)P x y ，()11,A x y ()22,B x y ，()33,C x y ，由222222||||||||||||PA PB PC OA OB OC ++=++得：222222222222112233112233()()()()()()x x y y x x y y x x y y x y x y x y -+-+-+-+-+-=+++++ 展开整理，得22123123332()2()0x y x x x x y y y y +-++-++=．∴2222123123123123111[()][()][()()]339x x x x y y y y x x x y y y -+++-++=+++++． ∴圆的圆心坐标为1231(()3x x x ++，1231())3y y y ++，为三角形ABC 的重心，故选C ．【名师点睛】本题考查直线与圆的综合应用，圆的轨迹方程的求法，重心坐标公式的应用，计算量偏大，化简时需进行整体代换，简化运算难度，属于中档题． 【举一反三】（2020上海洋泾中学高三月考）已知定圆C ：()2245x y -+=，其圆心为()4,0C ，点A 为圆C 所在平面内一定点，点P 为圆C 上一个动点，若线段PA 的中垂线与直线PC 交于点Q ，则动点Q 的轨迹可能为______．（写出所有正确的序号）（1）椭圆；（2）双曲线；（3）抛物线；（4）圆；（5）直线；（6）一个点． 【答案】（1）（2）（4）（6） 【解析】（1）若点A 在圆C 外部，=QA QC PC AC ->Q 点的轨迹是以,A C 为焦点的双曲线；（2）若点A 在圆上，则C Q ，点重合，如图，点Q 点的轨迹为点C ；（3）若点A 在圆内部且不为圆心，则QA QC PC +==AC <Q 点的轨迹是以,A C 为焦点的椭圆；（4）若点A 在圆内部且为圆心，,A C 重合时，Q 为半径PA 的中点，所以点Q 是以C 为半径的圆．综上所述，Q 点的轨迹可能是（1）（2）（4）（6）四种情况 答案为：（1）（2）（4）（6）类型二 以圆中直角三角形建立函数关系式或方程或不等式典例2．（2020上海师大附中期中）已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r 的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B 【解析】由题意，AC 为直径，所以24437PA PB PC PO PB PB ++=+≤+≤+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，当且仅当点B 为（-1，0）时，PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r取得最大值7，故选B ．考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质 【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．由平面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键． 【举一反三】1．（2020上海七宝中学高三月考）已知a b v v 、是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量c v 在满足()()340a c b c +-=v v v v，均能使c b k -≤v v 成立，则k 的最小值是_________．【答案】52【解析】【分析】根据题意，()()()1,0,0,1,,a b c x y v v v===，利用()()340a c b c +⋅-=r r r r ，求得,x y 的关系，利用圆的几何性质，再求出c b -vv 的最大值，从而求出k 的最小值．【详解】因为a b v v 、是平面内两个互相垂直的单位向量，所以可设 ()()()1,0,0,1,,a b c x y v v v ===， ()33,a c x y ∴+=+r r ，()4,4b c x y -=--r r，又()()340a c b c +⋅-=r r r r ，()()340x x y y ∴-++-=，即()22325224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭， 它表示的圆心在3,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为52的圆，c b -v v 表示圆上的点到(0,1)B 的距离，圆心M 到点(0,1)B 的距离为d =c b ∴-r r 的最大值为52=，要使c b k -≤r r 恒成立，52k ≥，即k 的最小值是52，故答案为52．【名师点睛】本题主要考查向量模的几何意义、轨迹方程的应用以及圆的几何意义，考查了转化思想的应用，属于难题．转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将不等式恒成立问题转化为圆上动点到定点距离的最值问题是解题的关键． 类型三 利用数形结合揭示与刻画直线与圆、圆与圆位置关系典例3．（2020上海青浦中学月考）在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】【分析】P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，则根据几何意义得d 的最大值为1OA +． 【详解】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ， 所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C ． 【名师点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化． 【举一反三】（2020上海徐汇区一模）若圆221:1C x y +=和圆222:680C x y x y k +---=没有公共点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(9,11)-B ．(25,9)--C ．(,9)(11,)-∞-+∞UD ．(25,9)(11,)--+∞U【答案】D【解析】化圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y ﹣k ＝0为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝25+k ，则k ＞﹣25，圆心坐标为（3，4）， 圆C 1：x 2+y 2＝1的圆心坐标为（0，0），半径为1．要使圆C 1：x 2+y 2＝1和圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y ﹣k ＝0没有公共点，则|C 1C 2|1或|C 1C 2|1，即51或51，解得﹣25＜k ＜﹣9或k ＞11． ∴实数k 的取值范围是（﹣25，﹣9）∪（11，+∞），故选D ．【精选名校模拟】1．（2020上海七宝中学月考）已知实数x 、y 满足：22(2)1x y +-=，ω=的取值范围是（ ）A ．B ．[1,2]C ．(0,2]D ．2【答案】B 【解析】【分析】构造直线0x +=，过圆上一点P 作直线的垂线PM 2sin POM =∠，求出sin POM ∠的范围即可得出．【详解】设(,)P x y 为圆22(2)1x y +-=上的任意一点，则P 到直线0x +=的距离PM =P 到原点的距离OP =22sin PMPOM OP==∠． 设圆22(2)1x y +-=与直线y kx =1=，解得k =，POM ∴∠的最小值为30︒，最大值为90︒，1sin 12POM ∴∠剟，12sin 2POM ∴∠剟，故选B ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，距离公式的应用，解题关键是数形结合思想的应用，能阅读出ω=2．（2020上海南模中学高三月考）设1x 、2x 是关于x 的方程220x mx m m ++-=的两个不相等的实数根，那么过两点211(,)A x x ，222(,)B x x 的直线与圆()2211x y -+=的位置关系是（ ）A ．相离．B ．相切．C ．相交．D ．随m 的变化而变化．【答案】D 【解析】22212121,ABx x k x x x x -==+∴-Q 直线AB 的方程为21121()()y x x x x x -=+-． 即1212()y x x x x x =+-，所以直线AB的方程为22,y mx m m d =-+-===因为2240,4()0,03m m m m ∆>∴-->∴<<， 所以221999225,(),(,),()()161616256t g t t t t g t g m =>∴=+∈+∞>=令，所以1615d =<=，所以直线AB 与圆可能相交，也可能相切，也可能相离． 3．（2020上海一模冲刺练）若对于任意角θ，都有cos (2)sin 1x y θθ+-=，则直线:cos (2)sin 1l x y θθ+-=围成的正多边形的最小面积是（ ）A．B ．4C．D ．不确定【答案】D 【解析】【分析】先根据点()02P ，到直线cos (2)sin 1x y θθ+-=的距离为1，确定直线为以()02，为圆心，1为半径的圆的切线，再取特殊直线运算否定ABC 即得选项． 【详解】由对于任意角θ，都有cos (2)sin 1x y θθ+-=，则点()02P ，到直线cos (2)sin 1x y θθ+-=1=，即此直线为以()02，为圆心，1为半径的圆的切线， 当三条切线如图所示时，则正三角形ABC 的面积11233S =⨯⨯=， 即存在直线:cos (2)sin 1l x y θθ+-=，即选项A ，B ，C 错误，故选D ．4．（2020上海交大附中月考）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．②C ．①②D ．①②③【答案】C 【解析】【分析】将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围．【详解】由221x y x y +=+得，221y x y x -=-，2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭厔， 所以x 可为的整数有0，-1，1，从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0，1)，(0，-1)，(1，0)，(1，1)，(-1，0)，(-1，1)六个整点，结论①正确．由221x y x y +=+得，222212x y x y +++…，解得222x y +≤，所以曲线C 上任意一点到原点的距离都．结论②正确．如图所示，易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -， 四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=，很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误，故选C ．5．（2020上海浦东复旦附中高三月考）在平面直角坐标系中，A ，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 240x y +-= 相切，则圆 C 面积的最小值为___ ． 【答案】45π【解析】由题意，圆心C 到原点的距离与到直线的距离相等，所以面积最小时，圆心在原点到直线的垂线中点上，则d =r =，45S π=． 6．（2020上海二中高三期中考试）若定义域均为D 的三个函数f （x ），g （x ），h （x ）满足条件：对任意x ∈D ，点（x ，g （x ）与点（x ，h （x ）都关于点（x ，f （x ）对称，则称h （x ）是g （x ）关于f （x ）的“对称函数”．已知g （x ）f （x ）=2x+b ，h （x ）是g （x ）关于f （x ）的“对称函数”，且h （x ）≥g （x ）恒成立，则实数b 的取值范围是_____．【答案】)+∞ 【解析】【分析】根据对称函数的定义，结合h （x ）≥g （x ）恒成立，转化为点到直线的距离d≥1，利用点到直线的距离公式进行求解即可【详解】∵x ∈D ，点（x ，g （x ）） 与点（x ，h （x ））都关于点（x ，f （x ））对称，∴g （x ）+h （x ）=2f （x ）， ∵h （x ）≥g （x ）恒成立，∴2f （x ）=g （x ）+h （x ）≥g （x ）+g （x ）=2g （x ），即f （x ）≥g （x ）恒成立， 作出g （x ）和f （x ）的图象，则g （x ）在直线f （x ）的下方或重合， 则直线f （x ）的截距b ＞0，且原点到直线y=2x+b 的距离d≥1，1=≥⇒b ≤，即实数b 的取值范围是+∞），故答案为：)+∞．7．（2020上海育才中学高三月考）已知平面直角坐标系中两点12(,)A a a 、12(,)B b b ，O 为原点，有122112AOB S a b a b ∆=-．设11(,)M x y 、22(,)N x y 、33(,)P x y 是平面曲线2224x y x y +=-上任意三点，则12212332T x y x y x y x y =-+-的最大值为________【答案】20． 【解析】【分析】将圆的方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径长，由题意得12212332T x y x y x y x y =-+-12212332222OMN OPN OMNP x y x y x y x y S S S ∆∆≤-+-=+=四边形，转化为圆内接四边形中正方形的面积最大，即可得出T 的最大值．【详解】将圆的方程化为标准方程得()()22125x y -++=，圆心坐标为()1,2-122123321221233222OMN OPN T x y x y x y x y x y x y x y x y S S ∆∆∴=-+-≤-+-=+2OMNP S =四边形，由于圆内接四边形中，正方形的面积最大，所以当四边形OMNP 为正方形时，T =所以2220T ≤⨯=，故答案为：20．8．（2020上海浦东新区高三期末）若函数2y ax a =+存在零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】 【解析】【分析】将函数2y ax a =+()()2,()f x a x g x =+=像，观察图像得出实数a 的取值范围．【详解】设()()2,()f x a x g x =+=2y ax a =+存在零点等价于()()2,()f x a x g x =+=函数()()2f x a x =+的图像恒过点(2,0)-，当其和函数()g x =a ==，所以()()2,()f x a x g x =+=03a ≤≤，故答案为：．9．（2020永安三中高三期中考试）若曲线y =y x b =+始终有交点，则b 的取值范围是_______．【答案】[-【解析】由题设可知x b +=b x =有解，令借cos ,[0,]x θθπ=∈，则sin θ=，所以sin cos )4b πθθθ=-=-，由于0θπ≤≤，故3444πππθ-≤-≤，结合正弦函数的图像可知sin()124πθ-≤-≤，则)[4b πθ=-∈-，应填答案[-． 【名师点睛】解答本题的思路是依据题设条件将其转化为方程x b +=进而分离参数b x ，然后通过三角换元将其转化为求函数sin cos )4b πθθθ=-=-的值域问题，最后借助正弦函数的图像求出其值域使得问题获解．10．（2020上海四中高三期中考试）若点()1,1P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为________． 【答案】210x y --=【解析】因为(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，所以圆心坐标为()3,0，31201MN k -=-=-，MN 所在直线方程为()121y x -=-，化简为210x y --=，故答案为210x y --=． 11．（2020上海华师大二附中高三月考）设1234,,,a a a a R ∈，且14231a a a a -=，则代数式222212341324a a a a a a a a +++++的最小值为______．【解析】【分析】由222212341324a a a a a a a a +++++结构特征，构造向量12(,)OA a a a ==u u u r r ，34(,)OB b a a ==u u u r r，设,a b r r 的夹角为θ，14231,,a a a a a b -=r r 不共线，0θπ<<，222212341324a a a a a a a a +++++=22||||2||||a b a b a b a b ++⋅≥+⋅r r r r r r r r ，转化为求2||||a b a b +⋅r r r r的最小值，由14231a a a a -=，可得1||||,sin a b θ=r r cos sin a b θθ⋅=r r ，转化求2cos cos 2sin sin sin θθθθθ++=的最小值，即为(sin ,cos )M θθ与点(0,2)P -连线的斜率最小值，即可得结果．【详解】设12(,)OA a a a ==u u u r r ，34(,)OB b a a ==u u u r r，设,a b r r的夹角为θ，14231,,a a a a a b -=r r 不共线，0θπ<<，222212341324a a a a a a a a +++++=22||||2||||a b a b a b a b ++⋅≥+⋅r r r r r r r r，sin θ===1||||||||a b a b ==r r ， 1cos ||||,sin sin a b a b θθθ=⋅=r r r r ，2||||a b a b +⋅r r r r 2cos cos 2sin sin sin θθθθθ+=+= ① 设(sin ,cos )M θθ，（0θπ<<），(0,2)P -，①式表示点(0,2)P -与单位圆（y 轴右侧）的点M 连线斜率，当PM12．（2020上海建平中学高三期中）已知a v 、b v 、2c v是平面内三个单位向量，若a b ⊥v v ，则4232a c a b c +++-v v v v v的最小值是________【答案】【解析】【分析】设2(,)c e x y ==r r ，(1,0)a =r ，(0,1)b =r ，将问题转化为求|2||64|a e a b e +++-r r r r r的最小值，再证明|2||2|a e a e +=+r r r r ，从而将原问题转化为求|2||64|a e a b e +++-r r r r r的最小值． 【详解】令2c e =r r，设(1,0)a =r ，(0,1)b =r ，e r 对应的点C 在单位圆上，所以问题转化为求|2||64|a e a b e +++-r r r r r的最小值．因为2222(2)(2)330a e a e e a +-+=-=r r r r r r ，所以|2||2|a e a e +=+r r r r ，所以|64||2|a e a b e ++-=+r r r rr ，表示C 点到点(2,0)-和(6,4)的距离之和，过点(2,0)-和(6,4)的直线为220x y -+=，原点到直线220x y -+=1=<，所以与单位圆相交，所以|2||64|a e a b e +++-r r r r r的最小值为：点(2,0)-和(6,4)之间的距离，即13．（2020上海高三模拟考试）已知关于t 的一元二次方程2(2)2()0(,)t i t xy x y i x y R ++++-=∈，当方程有实数根时，则实数t 的取值范围________． 【答案】[4,0]- 【解析】【分析】根据方程有实数根，再结合复数相等，建立条件关系可得点的轨迹为以()1,1-为半径的圆，再结合直线t y x =-与圆的位置关系即可得解．【详解】因为关于t 的一元二次方程2(2)2()0(,)t i t xy x y i x y R ++++-=∈有实数根，得222()0t t xy t x y i +++++=，由复数相等的充要条件可得：2220t t xy t x y ⎧++=⎨+-=⎩，消t 得22(1)(1)2x y -++=，则所求点的轨迹为以()1,1-为半径的圆，直线t y x =-≤，解得40t -≤≤，故答案为[4,0]-．14．（2020上海南模中学高三期中）在平面直角坐标系中，记曲线C 为点(2cos 1,2sin 1)P θθ-+的轨迹，直线20x ty -+=与曲线C 交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为________．【答案】【解析】 【分析】由2121x cos y sin θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，得曲线C 的轨迹是以C （﹣1，1）为圆心，2为半径的圆，再根据勾股定理以及圆的性质可得弦长的最小值． 【详解】 由2121x cos y sin θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，∴曲线C 的轨迹是以C （﹣1，1）为圆心，2为半径的圆， 又直线20x ty -+=恒过点D ()2,0-，且此点在圆内部 故当CD AB ⊥时|AB |最短，∴|AB |＝=故答案为：15．（2020上海青浦中学高三月考）已知AC 、BD 为圆()()22:1216O x y -+-=的两条相互垂直的弦，垂足为121,2M n n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭则四边形ABCD 的面积n S 的极限值为___________．【答案】32 【解析】 【分析】由题意可得四边形ABCD 的面积n S 的表达式：2n AC BDS ⨯=，由于点121,2M nn ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的极限位置是圆心，且此时四边形面积取到极限值，此时几何图形形状可求得面积的极限 【详解】由题可知，AC 、BD 为圆()()22:1216O x y -+-=的两条相互垂直的弦，垂足为121,2M n n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由2n AC BDS ⨯=，由点121,2M nn ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的极限位置是圆心()1,2，此时AC 、BD 都是直径，故n S 的极限值为22r ，4r =，n S 的极限值为32，圆内接四边形恰好为正方形 故答案为：32．16．（2020上海建平中学高三月考）在ABC ∆中，2BC =，45A ∠=︒，B Ð为锐角，点O 是ABC ∆外接圆的圆心，则OA BC ⋅u u u v u u u v的取值范围是______．【答案】(2,- 【解析】【分析】建立适当的直角坐标系，写出各点的坐标，进一步利用向量的数量积，将问题转化成求三角函数的值域问题，从而得到OA BC ⋅u u u r u u u r的取值范围．【详解】如图所示：||2BC =，90BOC ∠=°，45CAB ∠=︒，由于B Ð为锐角，则点A 只能在左半圆上，设AOB θ∠=，则)A θθ3()22ππθ<<，B ，C ，所以OA θ=u u u r )θ，(BC =u u u r ，2cos 2sin )4OA BC πθθθ⋅=-+=-u u u r u u u r ，因为322ππθ<<，所以5444πππθ<-<，则sin()124πθ-<-≤，所以2)4πθ-<-≤故答案为：(2,-．17．（2020上海松江区一模）若实数,0a b >，满足abc a b c =++，221a b +=，则实数c 的最小值为________【答案】- 【解析】【分析】先由题意，根据基本不等式，得到12≤ab ，得出112-≤-ab ，再由221a b +=，得到()212+-=a b ab ，根据abc a b c =++得()()()()22233+==+-+-+a b c a b a b a b ，令=+t a b ，根据题意得到(=+∈t a b ，由函数单调性，得到3=-y t t的最值，进而可求出结果． 【详解】因为,0a b >，221a b +=，所以2212a b ab +=≥，即12≤ab ，当且仅当a b =时，取等号；因此111122-≤-=-ab ， 又221a b +=，所以22212++=+a b ab ab ，即()212+-=a b ab ，由abc a b c =++得1+=-a b c ab ，所以()()()()22233+==+-+-+a b c a b a b a b ，令=+t a b，因为+===a b ，当且仅当a b =时取等号．所以(=+∈t a b ， 又易知函数3=-y tt在(t ∈上单调递增，因此32=-≤=-y tt，因此()()2233==≥=-+--+ca b ta b t即实数c的最小值为-，故答案为：-18．（2020江苏盐城中学月考）在平面直角坐标系xOy中，已知点()2,2A，E、F为圆()()22:114C x y-+-=上的两动点，且EF=，若圆C上存在点P，使得,0AE AF mCP m+=>u u u r u u u r u u u r，则m的取值范围为________．【答案】1⎤-⎦【解析】取EF中点为M，连接AM，则2+=u u u r u u u r u u u u rAE AF AM，又圆()()22:114C x y-+-=上存在点P，使得,0AE AF mCP m+=>u u u r u u u r u u u r，所以2=u u u u r u u u rAM mCP，因此22==u u u u r u u u rAM m CP m，即=u u u u rm AM；因为E、F为圆()()22:114C x y-+-=上的两动点，且EF=1==CM，设(,)M x y1=，即()()22111x y-+-=即为动点M的轨迹；所以AMu u u u r表示圆()()22111x y-+-=上的点与定点()2,2A之间的距离，因此11-≤≤+u u u urAC AM AC，11≤≤u uu u rAM11≤≤m，故答案为：1⎤⎦．。
2020届高考数学大二轮复习冲刺经典专题高难拉分攻坚特训
高难拉分攻坚特训(一)1．已知椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5) 答案 D解析 由于椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2>6－a 2，6－a 2>1，解得3<a 2<5.设椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)，故选D. 2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 2＝2，a n ≠0，(a n ＋1－2n )S n ＋1＝a n ＋1S n －1－2nS n (n ≥2)，设b n ＝a 2n －1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 100＝________.答案 9901解析 由(a n ＋1－2n )S n ＋1＝a n ＋1S n －1－2nS n (n ≥2)整理得a n ＋1·(S n ＋1－S n －1)＝2n (S n ＋1－S n )⇔a n ＋1·(a n ＋1＋a n )＝2na n ＋1，即a n ＋1＋a n ＝2n (n ≥2)，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＋a n ＝2n ，a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋2，两式相减得a n ＋2－a n ＝2(n ≥2)，故{b n }从第二项起是以2为公差的等差数列，b 1＝a 1＝1，由于a 3＋a 2＝4，则a 3＝2，∴b 2＝a 3＝2，故T 100＝1＋2×99＋99×982×2＝9901. 3．已知动点P 与两个定点O (0,0)，A (3,0)的距离的比为12.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点B (－2,1)的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求线段MN 长度的最小值； (3)已知圆Q 的圆心为Q (t ，t )(t >0)，且圆Q 与x 轴相切，若圆Q 与曲线C 有公共点，求实数t 的取值范围．解 (1)由题意，设P (x ，y )， 则|AP |＝2|OP |，即|AP |2＝4|OP |2，所以(x －3)2＋y 2＝4(x 2＋y 2)，整理得(x ＋1)2＋y 2＝4. 所以动点P 的轨迹C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知轨迹C 是以C (－1,0)为圆心，以2为半径的圆． 又因为(－2＋1)2＋12<4，所以点B 在圆内， 所以当线段MN 的长度最小时，BC ⊥MN ， 所以圆心C 到直线MN 的距离为 |BC |＝－2＋2＋－2＝2，此时，线段MN 的长为|MN |＝2|CM |2－|BC |2＝2×4－2＝22， 所以，线段MN 长度的最小值为2 2.(3)因为点Q 的坐标为(t ，t )(t >0)，且圆Q 与x 轴相切，所以圆Q 的半径为t ， 所以圆Q 的方程为(x －t )2＋(y －t )2＝t 2. 因为圆Q 与圆C 有公共点， 又圆Q 与圆C 的两圆心距离为 |CQ |＝t ＋2＋t －2＝2t 2＋2t ＋1，所以|2－t |≤|CQ |≤2＋t ， 即(2－t )2≤2t 2＋2t ＋1≤(2＋t )2， 解得－3＋23≤t ≤3.所以实数t 的取值范围是[－3＋23，3]．4．已知函数f (x )＝(x －1)e x －ax 2(e 是自然对数的底数)． (1)讨论函数f (x )的极值点的个数，并说明理由；(2)若对任意的x >0，f (x )＋e x≥x 3＋x ，求实数a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝x e x－2ax ＝x (e x －2a )．当a ≤0时，由f ′(x )<0得x <0，由f ′(x )>0得x >0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )有1个极值点； 当0<a <12时，由f ′(x )>0得x <ln (2a )或x >0，由f ′(x )<0得ln (2a )<x <0，∴f (x )在(－∞，ln (2a ))上单调递增，在(ln (2a )，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )有2个极值点；当a ＝12时，f ′(x )≥0，∴f (x )在R 上单调递增，∴f (x )没有极值点；当a >12时，由f ′(x )>0得x <0或x >ln (2a )，由f ′(x )<0得0<x <ln (2a )，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，ln (2a ))上单调递减，在(ln (2a )，＋∞)上单调递增，∴f (x )有2个极值点．综上，当a ≤0时，f (x )有1个极值点； 当a >0且a ≠12时，f (x )有2个极值点；当a ＝12时，f (x )没有极值点．(2)由f (x )＋e x ≥x 3＋x 得x e x －x 3－ax 2－x ≥0. 当x >0时，e x －x 2－ax －1≥0， 即a ≤e x－x 2－1x对任意的x >0恒成立．设g (x )＝e x －x 2－1x ，则g ′(x )＝x －x－x －x2.设h (x )＝e x －x －1，则h ′(x )＝e x－1.∵x >0，∴h ′(x )>0，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴h (x )>h (0)＝0，即e x>x ＋1，∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴g (x )≥g (1)＝e －2，∴a ≤e－2， ∴实数a 的取值范围是(－∞，e －2]．高难拉分攻坚特训(二)1．已知数列{a n }满足a 1>0，a 11＝4，a n ＋1＝a n ＋12a 2n ，数列{b n }满足b n >0，b 1＝a 12，b n ＝b n ＋1＋12b 2n ＋1，n ∈N *.若存在正整数m ，n (m ≤n )，使得b m ＋b n ＝14，则( ) A ．m ＝10，n ＝12 B ．m ＝9，n ＝11 C ．m ＝4，n ＝6 D ．m ＝1，n ＝3答案 D解析 因为a n ＋1＝a n ＋12a 2n ，b n ＝b n ＋1＋12b 2n ＋1，则有a n ＋1>a n >…>a 1>0，b 1>b 2>…>b n >0，且函数y ＝12x 2＋x 在(0，＋∞)上单调递增，故有b 1＝a 12＝b 2＋12b 22＝a 11＋12a 211，得b 2＝a 11＝4，同理有b 3＝a 10＝2，…，b m ＝a 13－m ，又因为a 12＝a 11＋12a 211＝12，故b m ＋b n ＝a 10＋a 12，所以m ＝1，n ＝3.故选D.2．已知f (x )＝axx 2＋c＋b ，g (x )＝[f (x )]2－1，其中a ≠0，c >0，则下列判断正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①f (x )的图象关于点(0，b )成中心对称； ②f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ③存在M >0，使|f (x )|≤M ； ④若g (x )有零点，则b ＝0；⑤g (x )＝0的解集可能为{1，－1,2，－2}． 答案 ①③⑤ 解析 令y ＝axx 2＋c(a ≠0)，则该函数的定义域为R ，且函数为奇函数，故其图象关于原点(0,0)对称．又函数y ＝f (x )的图象是由y ＝axx 2＋c(a ≠0)的图象向上或向下平移|b |个单位而得到的，所以函数y ＝f (x )图象的对称中心为(0，b )，故①正确．当x >0时，y ＝axx 2＋c＝ax ＋cx，若a >0，c >0，则函数y ＝x ＋c x在(0, c )上单调递减，所以函数y ＝f (x )单调递增；函数y ＝x ＋c x在(c ，＋∞)上单调递增，所以函数y ＝f (x )单调递减，故②不正确．令y ＝axx 2＋c(a ≠0)，则当x ＝0时，y ＝0，f (x )＝b ，|f (x )|＝|b |，令M ＝|b |＋1>0，则|f (x )|≤M 成立；当x ≠0时，y ＝axx 2＋c ＝ax ＋c x，则|y |＝|a ||x |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪c x ≤|a |2|c |＝|a |2c .所以|f (x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ax x 2＋c ＋b ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪ax x 2＋c ＋|b |≤|a |2c ＋|b |，令M ＝|a |2c＋|b |，则|f (x )|≤M 成立，故③正确．若g (x )有零点，则g (x )＝[f (x )]2－1＝0，得f (x )＝±1，从而得axx 2＋c＋b ＝±1，故axx 2＋c＝－b ±1，结合③可得当g (x )有零点时，只需|－b ±1|≤|a |2c 即可，而b 不一定为零，故④不正确．由g (x )＝[f (x )]2－1＝0，得f (x )＝axx 2＋c＋b ＝±1.取b ＝0，axx 2＋c＝1，整理得x 2－ax＋c ＝0.当a ＝3，c ＝2时，方程x 2－3x ＋2＝0的两根为x ＝1或x ＝2.又函数y ＝axx 2＋c为奇函数，故方程的解集为{1，－1,2，－2}，故⑤正确．综上可得①③⑤正确．3．在直角坐标系xOy 中，动圆M 与圆O 1：x 2＋2x ＋y 2＝0外切，同时与圆O 2：x 2＋y 2－2x －24＝0内切．(1)求动圆圆心M 的轨迹方程；(2)设动圆圆心M 的轨迹为曲线C ，设A ，P 是曲线C 上两点，点A 关于x 轴的对称点为B (异于点P )，若直线AP ，BP 分别交x 轴于点S ，T ，证明：|OS |·|OT |为定值．解 (1)∵圆O 1：x 2＋2x ＋y 2＝0，∴圆心O 1(－1,0)，半径为1. ∵圆O 2：x 2＋y 2－2x －24＝0，∴圆心O 2(1,0)，半径为5. 设动圆圆心M (x ，y )，半径为R ， ∵圆M 与圆O 1外切，∴|MO 1|＝R ＋1， ∵圆M 与圆O 2内切，∴|MO 2|＝5－R ， 两式相加得：|MO 1|＋|MO 2|＝6>|O 1O 2|， 由椭圆定义知：M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上， ∵2a ＝6，∴a ＝3，∵c ＝1，∴b ＝2 2. ∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 29＋y 28＝1.(2)证明：设P (x 1，y 1)，A (x 2，y 2)，S (x S,0)，T (x T,0)， ∴B (x 2，－y 2)且x 1≠±x 2. ∵k AP ＝y 1－y 2x 1－x 2，∴l AP ：y －y 1＝k AP (x －x 1)， y －y 1＝y 1－y 2x 1－x 2(x －x 1)，令y ＝0得x S ＝x 1y 2－x 2y 1y 2－y 1；同理得，x T ＝x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1.∵|OS |·|OT |＝|x S ·x T |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 21y 22－x 22y 21y 22－y 21， 又∵P ，A 在椭圆上，∴y 21＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 219，y 22＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 229， ∴y 22－y 21＝89()x 21－x 22，∴x 21y 22－x 22y 21＝8x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 229－8x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 219＝8(x 21－x 22)，∴|OS |·|OT |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 21y 22－x 22y 21y 22－y 21＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 21－x 2289x 21－x 22＝9.4．已知函数f (x )＝(x －1)e x－12ax 2＋1，a ∈R .(1)当a ≤1时，讨论f (x )的单调性； (2)当a ＝1时，证明不等式1f＋1f＋…＋1f n<4(n ∈N *)．解 (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝x e x－ax ＝x (e x－a )． 当a ≤0时，e x－a >0，令f ′(x )＝0，得x ＝0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．当a ＝1时，若x <0，则e x－a <0，f ′(x )>0；若x >0，则e x－a >0，f ′(x )>0. 所以f (x )在R 上单调递增．当0<a <1时，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝ln a ，所以f (x )在(－∞，ln a )，(0，＋∞)上单调递增，在(ln a ，0)上单调递减． 综上所述，当a ≤0时，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＝1时，f (x )在R 上单调递增；当0<a <1时，f (x )在(－∞，ln a )，(0，＋∞)上单调递增，在(ln a,0)上单调递减． (2)证明：由题意知，当a ＝1时，f (x )＝(x －1)e x－12x 2＋1.当n ＝1时，1f＝2<4，显然成立．当n ≥2时，由(1)知，当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (x )>f (0)＝0在(0，＋∞)上恒成立．设g (x )＝e x－x －1，则g ′(x )＝e x－1，可知g (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．所以g (x )≥g (0)＝0，即e x≥x ＋1.所以当n ≥2时，f (n )≥(n －1)(n ＋1)－12n 2＋1＝12n 2，1f n ≤2n 2，所以1f n <2n －n＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n .于是1f＋1f＋…＋1fn <2＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝4－2n <4. 综上可知，1f ＋1f＋…＋1f n<4(n ∈N *)．高难拉分攻坚特训(六)1．已知函数f (x )＝x ＋1ex－ax 有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2e答案 A 解析 f (x )＝x ＋1ex－ax ，令f (x )＝0，可得ax ＝x ＋1ex，当x ＝0时，上式显然不成立；可得a ＝x ＋1x e x (x ≠0)有且只有2个不等实根，等价为函数g (x )＝x ＋1x e x的图象和直线y ＝a 有且只有两个交点．由g ′(x )＝ex－x 2－x －x e x 2<0恒成立，可得当x ＞0时，g (x )单调递减；当x＜0时，g (x )单调递减．且g (x )＝x ＋1x e x>0在x >0或x <－1时恒成立，作出函数g (x )的大致图象，如图，由图象可得a >0时，直线y ＝a 和y ＝g (x )的图象有两个交点．故选A.2．已知底面是正六边形的六棱锥P －ABCDEF 的七个顶点均在球O 的表面上，底面正六边形的边长为1，若该六棱锥体积的最大值为3，则球O 的表面积为________．答案25π4解析 因为六棱锥P －ABCDEF 的七个顶点均在球O 的表面上，由对称性和底面正六边形的面积为定值知，当六棱锥P －ABCDEF 为正六棱锥时，体积最大．设正六棱锥的高为h ，则13×⎝ ⎛⎭⎪⎫6×12×1×1×sin60°h ＝3，解得h ＝2.记球O 的半径为R ，根据平面截球面的性质，得(2－R )2＋12＝R 2，解得R ＝54，所以球O 的表面积为4πR 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫542＝25π4. 3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，2，且点F (0，－1)为其一个焦点． (1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 与y 轴的两个交点为A 1，A 2，不在y 轴上的动点P 在直线y ＝b 2上运动，直线PA 1，PA 2与椭圆E 的另外两个交点分别为M ，N ，证明：直线MN 通过一个定点，且△FMN 的周长为定值．解 (1)根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧32a 2＋2b2＝1，b 2－a 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，∴椭圆E 的方程为x 23＋y 24＝1. (2)证明：不妨设A 1(0,2)，A 2(0，－2)．P (x 0,4)为直线y ＝4上一点(x 0≠0)， M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．直线PA 1的方程为y ＝2x 0x ＋2，直线PA 2的方程为y ＝6x 0x －2. 点M (x 1，y 1)，A 1(0,2)的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 24＝1，y ＝2x 0x ＋2，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－6x 03＋x 20，y 1＝2x 2－63＋x 20.点N (x 2，y 2)，A 2(0，－2)的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 24＝1，y ＝6x 0x －2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝18x 027＋x 20，y 2＝－2x 20＋5427＋x 20，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6x 03＋x 20，2x 20－63＋x 20，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫18x 027＋x 20，－2x 20＋5427＋x 20.直线MN 的方程为y －2x 20－63＋x 20＝－x 20－96x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋6x 03＋x 20， 即y ＝－x 20－96x 0x ＋1.故直线MN 恒过定点B (0,1)．又∵F (0，－1)，B (0,1)是椭圆E 的焦点，∴△FMN 的周长＝|FM |＋|MB |＋|BN |＋|NF |＝4b ＝8. 4．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，直线l ：y ＝2kx －1.(1)设P (x ，y )是y ＝f (x )图象上一点，O 为原点，直线OP 的斜率k ＝g (x )，若g (x )在x ∈(m ，m ＋1)(m >0)上存在极值，求m 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得直线l 是曲线y ＝f (x )的切线？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；(3)试确定曲线y ＝f (x )与直线l 的交点个数，并说明理由． 解 (1)∵g (x )＝y x ＝ln x ＋xx(x >0)，∴g ′(x )＝1－ln xx2＝0，解得x ＝e. 由题意得，0<m <e<m ＋1，解得e －1<m <e.(2)假设存在实数k ，使得直线l 是曲线y ＝f (x )的切线， 令切点Q (x 0，y 0)，∴切线的斜率2k ＝f ′(x 0)＝1x 0＋1.∴切线的方程为y －(ln x 0＋x 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋1(x －x 0)，又∵切线过点(0，－1)，∴－1－(ln x 0＋x 0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1(0－x 0)．解得x 0＝1，∴2k ＝2， ∴k ＝1.(3)由题意，令ln x ＋x ＝2kx －1，得k ＝ln x ＋x ＋12x .令h (x )＝ln x ＋x ＋12x (x >0)，∴h ′(x )＝－ln x2x 2， 由h ′(x )＝0，解得x ＝1.∴h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴h (x )max ＝h (1)＝1，又x →0时，h (x )→－∞；x →＋∞时，h (x )＝12＋ln x ＋12x →12，∴k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪{1}时，只有一个交点；k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，有两个交点；k ∈(1，＋∞)时，没有交点．高难拉分攻坚特训(三)1．若函数f (x )＝ax －x 2－ln x 存在极值，且这些极值的和不小于4＋ln 2，则a 的取值范围为( )A ．[2，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．[23，＋∞)D ．[4，＋∞)答案 C解析 f ′(x )＝a －2x －1x ＝－2x 2－ax ＋1x，因为f (x )存在极值，所以f ′(x )＝0在(0，＋∞)上有根，即2x 2－ax ＋1＝0在(0，＋∞)上有根，所以Δ＝a 2－8≥0，显然当Δ＝0时，f (x )无极值，不符合题意，所以Δ＝a 2－8>0，即a >22或a <－2 2.记方程2x 2－ax ＋1＝0的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系得x 1x 2＝12，x 1＋x 2＝a2，易知a >0，则f (x 1)，f (x 2)为f (x )的极值，所以f (x 1)＋f (x 2)＝(ax 1－x 21－ln x 1)＋(ax 2－x 22－ln x 2)＝a (x 1＋x 2)－(x 21＋x 22)－(ln x 1＋ln x 2)＝a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24－1＋ln 2≥4＋ln 2，所以a ≥2 3.综上，a 的取值范围为[23，＋∞)，选C.2．A ，B 为单位圆(圆心为O )上的点，O 到弦AB 的距离为32，C 是劣弧AB ︵(包含端点)上一动点，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，233解析 如图，以圆心O 为坐标原点建立直角坐标系，设A ，B 两点在x 轴上方且线段AB与y 轴垂直，∵A ，B 为单位圆(圆心为O )上的点，O 到弦AB 的距离为32，∴点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，即λOA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－λ2，3λ2，μOB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫μ2，3μ2，∴OC →＝λOA →＋μOB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－λ2，3λ＋μ2，又∵C 是劣弧AB ︵(包含端点)上一动点，设点C 坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤12，32≤y ≤1，∵OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－λ2，3λ＋μ2＝(x ，y )，∴32≤y ＝3λ＋μ2≤1，解得1≤λ＋μ≤233，故λ＋μ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，233.3．已知函数f (x )＝x (a ＋ln x )有极小值－e －2. (1)求实数a 的值； (2)若k ∈Z ，且k <f xx －1对任意的x >1恒成立，求k 的最大值． 解 (1)f ′(x )＝a ＋1＋ln x ，令f ′(x )>0⇒x >e －a －1，令f ′(x )<0⇒0<x <e－a －1，故f (x )的极小值为f (e－a －1)＝－e－a －1＝－e －2，得a ＝1.(2)当x >1时，令g (x )＝f x x －1＝x ＋x ln xx －1， 则g ′(x )＝x －2－ln x x －2，令h (x )＝x －2－ln x ，∴h ′(x )＝1－1x＝x －1x>0， 故h (x )在(1，＋∞)上是增函数．由于h (3)＝1－ln 3<0，h (4)＝2－ln 4>0，故存在x 0∈(3,4)，使得h (x 0)＝0. 则当x ∈(1，x 0)时，g ′(x )<0，g (x )为减函数；x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数．∵h (x 0)＝x 0－2－ln x 0＝0，∴ln x 0＝x 0－2，∴g (x )min ＝g (x 0)＝x 0＋x 0ln x 0x 0－1＝x 0，∴k <x 0，又x 0∈(3,4)，∴k max ＝3.4．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0，圆P 在y 轴的右侧且与y 轴相切，与圆C 外切． (1)求圆心P 的轨迹Γ的方程；(2)过点M (2,0)，且斜率为k (k ≠0)的直线l 与Γ交于A ，B 两点，点N 与点M 关于y 轴对称，记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在常数m ，使得1k 21＋1k 22－mk2为定值？若存在，求出该常数m 与定值；若不存在，请说明理由．解 (1)圆C 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1， 则圆心C (1,0)，半径r ＝1.设圆心P 的坐标为(x ，y )(x >0)，圆P 的半径为R ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝x ，R ＋1＝|PC |，所以|PC |＝x ＋1，即x －2＋y 2＝x ＋1，整理得y 2＝4x .所以圆心P 的轨迹Γ的方程为y 2＝4x (x >0)．(2)由已知，直线l 的方程为y ＝k (x －2)，不妨设t ＝1k，则直线l 的方程为y ＝1t(x －2)，即x ＝ty ＋2.联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝ty ＋2，消去x ，得y 2－4ty －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－8.因为点M (2,0)与点N 关于y 轴对称，所以N (－2,0)， 故k 1＝y 1x 1＋2，所以1k 1＝x 1＋2y 1＝ty 1＋2＋2y 1＝t ＋4y 1， 同理，得1k 2＝t ＋4y 2，所以1k 21＋1k 22－m k2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4y 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4y 22－m k2＝2t 2＋8t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 1＋1y 2＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 21＋1y 22－mt 2＝2t 2＋8t ×y 1＋y 2y 1y 2＋16×y 1＋y 22－2y 1y 2y 1y 22－mt 2＝2t 2＋8t ×4t－8＋16×t2－－－2－mt 2＝2t 2＋4－mt 2＝(2－m )t 2＋4，要使该式为定值，则需2－m ＝0，即m ＝2，此时定值为4. 所以存在常数m ＝2，使得1k 21＋1k 22－mk2为定值，且定值为4.高难拉分攻坚特训(四)1．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＋1＋a n ＝2n ＋1，且S n ＝1350.若a 2<2，则n 的最大值为( )A ．51B ．52C ．53D ．54 答案 A解析 因为a n ＋1＋a n ＝2n ＋1 ①， 所以a n ＋2＋a n ＋1＝2(n ＋1)＋1＝2n ＋3 ②，②－①得a n ＋2－a n ＝2，且a 2n －1＋a 2n ＝2(2n －1)＋1＝4n －1，所以数列{a n }的奇数项构成以a 1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n }的偶数项构成以a 2为首项，2为公差的等差数列，数列{a 2n －1＋a 2n }是以4为公差的等差数列，所以S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ＋2＋a 1－，n 为奇数，nn ＋2，n 为偶数.当n 为偶数时，n n ＋2＝1350，无解(因为50×51＝2550,52×53＝2756，所以接下来不会有相邻两数之积为2700)．当n 为奇数时，n n ＋2＋(a 1－1)＝1350，a 1＝1351－n n ＋2，因为a 2<2，所以3－a 1<2，所以a 1>1，所以1351－n n ＋2>1，所以n (n ＋1)<2700，又n ∈N *,51×52＝2652，所以n ≤51，故选A.2．底面为正多边形，顶点在底面的射影为底面多边形中心的棱锥为正棱锥，则半径为2的球的内接正四棱锥的体积最大值为________．答案51281解析 因为正四棱锥内接于球内，且欲使正四棱锥的体积最大，则球的球心在正四棱锥的高上，如图所示，其中球的球心为E 点，设BC ＝a ，则BO ＝22a ，在Rt △EOB 中，则有EO 2＋OB 2＝EB 2，故EO ＝4－a 22，正四棱锥的高为2＋4－a 22，正四棱锥的体积为V ＝13×a 2×⎝⎛⎭⎪⎫2＋4－a 22，令x ＝4－a 22，x ∈(0,2)，则V (x )＝13×(8－2x 2)×(2＋x )，即V (x )＝13×(－2x 3－4x 2＋8x ＋16)，对V (x )求导得，V ′(x )＝13×(－6x 2－8x ＋8)，令V ′(x )＝0，即－6x 2－8x ＋8＝0，解得x ＝23或x ＝－2(舍去)，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23时，V ′(x )>0，V (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2时，V ′(x )<0，V (x )单调递减，故当x ＝23时，V (x )max ＝51281.3．已知F 是抛物线C ：x 2＝2py ，p >0的焦点，G ，H 是抛物线C 上不同的两点，且|GF |＋|HF |＝3，线段GH 的中点到x 轴的距离为54.点P (0,4)，Q (0,8)，曲线D 上的点M 满足MP →·MQ→＝0.(1)求抛物线C 和曲线D 的方程；(2)是否存在直线l ：y ＝kx ＋m 分别与抛物线C 相交于点A ，B (A 在B 的左侧)、与曲线D 相交于点S ，T (S 在T 的左侧)，使得△OAT 与△OBS 的面积相等？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)由抛物线定义知54＋p 2＝32，得p ＝12，故抛物线的方程为x 2＝y .由MP →·MQ →＝0得点M 的轨迹D 是以PQ 为直径的圆， 其方程为x 2＋(y －6)2＝4.(2)由△OAT 与△OBS 的面积相等得|AT |＝|BS |， 则|AS |＝|BT |，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，S (x 3，y 3)，T (x 4，y 4)， 由AS →＝(x 3－x 1，y 3－y 1)，TB →＝(x 2－x 4，y 2－y 4)， 且AS →＝TB →得x 3－x 1＝x 2－x 4，即x 1＋x 2＝x 4＋x 3.(ⅰ)当直线l 的斜率为0时，l 的方程为y ＝m ，此时只需点(0，m )在圆D 内即可，此时4<m <8.(ⅱ)当直线l 的斜率不为0时，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝y 得x 2－kx －m ＝0，因为直线l 与抛物线交于A ，B 两点， 所以Δ＝k 2＋4m >0，① 且x 1＋x 2＝k .由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋y －2＝4得(1＋k 2)x 2＋2k (m －6)x ＋(m －6)2－4＝0，直线l 与圆D 交于S ，T 两点，所以圆心D (0,6)到直线l 的距离d ＝|m －6|1＋k2<r ＝2，即(m －6)2<4(1＋k 2)，②且x 3＋x 4＝－2km －1＋k2.因为x 1＋x 2＝x 4＋x 3，所以k ＝－2k m －1＋k 2，k ≠0，化简得k 2＝11－2m .代入①②得⎩⎪⎨⎪⎧11＋2m >0，m －2－m ，解得－2<m <6.又k 2＝11－2m >0，∴－2<m <112. 综上所述，实数m 的取值范围为(－2,8)．4．已知函数f (x )＝ln x ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－1，a ∈R .(1)若f (x )≥0，求实数a 取值的集合；(2)当a ＝0时，对任意x ∈(0，＋∞)，x 1<x 2，令x 3＝x 2－x 1f x 2－f x 1，证明：x 1<x 3<x 2.解 (1)由已知，有f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2.当a ≤0时，若取x ＝12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－ln 2＋a <0，与条件f (x )≥0矛盾； 当a >0时，若x ∈(0，a )，则f ′(x )<0，f (x )单调递减； 若x ∈(a ，＋∞)，则f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴f (x )在(0，＋∞)上有最小值f (a )＝ln a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1＝ln a ＋1－a .由题意f (x )≥0，∴ln a ＋1－a ≥0.令g (x )＝ln x －x ＋1，∴g ′(x )＝1x －1＝1－xx.当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．∴g (x )在(0，＋∞)上有最大值g (1)＝0. ∴g (x )＝ln x －x ＋1≤0.∴ln a －a ＋1≤0. ∴ln a －a ＋1＝0，∴a ＝1，综上，当f (x )≥0时，实数a 的取值的集合为{1}．(2)证明：当a ＝0时，f (x )＝ln x ，则1x 3＝ln x 2－ln x 1x 2－x 1＝lnx 2x 1x 2－x 1.由(1)，可知ln x ＋1x－1≥0.∴ln x ≥1－1x(当且仅当x ＝1时取等号)． ①∵x 2>x 1>0，∴x 2x 1>1.∴ln x 2x 1>1－x 1x 2＝x 2－x 1x 2，∴1x 3>1x 2.∵当x >1时，有ln x <x －1，x 2x 1>1， ∴ln x 2x 1<x 2x 1－1＝x 2－x 1x 1.∴1x 3<1x 1. 综上所述，有1x 1>1x 3>1x 2>0，∴x 1<x 3<x 2.高难拉分攻坚特训(五)1．已知函数f (x )＝sin2x 的图象与直线2kx －2y －k π＝0(k >0)恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为x 1，x 2，x 3，则(x 1－x 3)tan(x 2－2x 3)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1 答案 B解析 记直线2kx －2y －k π＝0为l ，则l 必过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0.又l 与f (x )的图象均关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，所以由题意可知，x 1＋x 3＝2x 2＝π，且l 是曲线y ＝f (x )的一条切线，(x 3，f (x 3))是其中一个切点．因为f (x )＝sin2x ，所以f ′(x )＝2cos2x ，所以切线l 的斜率k ＝2cos2x 3＝sin2x 3x 3－π2，即x 3－πx 3sin2x 3＝1，所以(x 1－x 3)tan(x 2－2x 3)＝(π－2x 3)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x 3＝π－2x 3x 3sin2x 3＝－1.故选B.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝3，且S n ＋1＋S n －1＝2n＋2S n (n ≥2)，若λ(S n－a n )＋λ＋7≥(2－λ)n 对任意n ∈N *都成立，则实数λ的最小值为________．答案332解析 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝3，且S n ＋1＋S n －1＝2n＋2S n (n ≥2)， 所以S n ＋1－S n ＝2n＋S n －S n －1，故a n ＋1－a n ＝2n(n ≥2)，因为a 2－a 1＝21，所以a n ＋1－a n ＝2n(n ≥1)， 所以a n －a n －1＝2n －1，a n －1－a n －2＝2n －2，…，a 2－a 1＝21，则a n －a 1＝21＋22＋…＋2n －1，故a n ＝1＋21＋…＋2n －1＝2n－12－1＝2n －1， 所以S n ＝21＋22＋23＋ (2)－n ＝n－2－1－n ＝2n ＋1－n －2，所以S n －a n ＝2n－n －1，因为λ(S n －a n )＋λ＋7≥(2－λ)n 对任意n ∈N *都成立， 所以λ≥⎝⎛⎭⎪⎫2n －72n max . 设c n ＝2n －72n ，则c n ＋1－c n ＝2n －52n ＋1－2n －72n ＝9－2n 2n ＋1，当n ≤4时，c n ＋1>c n ，当n ≥5时，c n ＋1<c n ， 因此c 1<c 2<c 3<c 4<c 5＞c 6＞c 7＞… 即λ≥c 5＝332，故λ的最小值为332.3．已知函数f (x )＝ln x ＋ax＋x (a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的单调性； (2)若a ＝1，f (x )>x －k xx －1＋x －1在(1，＋∞)上恒成立，求k 的取值范围．解 (1)由题可知f ′(x )＝1x －a x 2＋1＝x 2＋x －ax2(x >0)， ①当a ≤0时，此时f ′(x )≥0恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a >0时，令f ′(x )>0，解得x >－1＋4a ＋12；令f ′(x )<0，解得0<x <－1＋4a ＋12.∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1＋4a ＋12上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1＋4a ＋12，＋∞上单调递增．(2)原不等式等价变形为(k －1)ln x ＋x －1x>0恒成立． 令g (x )＝(k －1)ln x ＋x －1x(x >1)，则g ′(x )＝k －1x ＋1＋1x 2＝x 2＋k －x ＋1x 2.令h (x )＝x 2＋(k －1)x ＋1，①当k ≥－1时，此时h (x )的对称轴：x ＝－k －12＝1－k2≤1，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．又∵h (1)＝k ＋1≥0，∴h (x )≥0在(1，＋∞)上恒成立．∴g ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，即g (x )在(1，＋∞)上单调递增． ∴g (x )>g (1)＝0. ∴k ≥－1符合要求．②当k <－1时，此时h (1)＝k ＋1<0，∴h (x )＝0在(1，＋∞)上有一根，设为x 0， 当x ∈(1，x 0)时，h (x )<0，即g ′(x )<0. ∴g (x )在(1，x 0)上单调递减．∴g (x )<g (1)＝0.这与g (x )>0在(1，＋∞)上恒成立矛盾． 综合①②可得，k 的取值范围为[－1，＋∞)．4．已知点A 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝32上任意一点，点C (2，0)，线段AC 的中垂线交线段AB 于点M .(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若动直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝83相切，且与动点M 的轨迹交于点E ，F ，求△OEF 面积的最大值(O 为坐标原点)．解 (1)由题知|MA |＝|MC |，∵|MA |＋|MB |＝42， ∴|MB |＋|MC |＝42>4＝|BC |，∴M 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，其方程为x 28＋y 24＝1.(2)①当l 的斜率存在时．设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y24＝1得，(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4km2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－82k 2＋1，可得|EF |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝22·1＋k 2·8k 2－m 2＋42k 2＋1， ∵l 与圆O 相切，∴3m 2＝8(1＋k 2)，从而|EF |＝463·＋k2k 2＋k 2＋2，令2k 2＋1＝t ，得k 2＝t －12(t ≥1)，∴|EF |＝433·－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋1t＋2 ＝433·－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122＋94≤433×32＝2 3. 当且仅当t ＝2，即k ＝±22时取等号． ∴(S △OEF )max ＝12×23×83＝2 2. ②当l 的斜率不存在时．易得l 的方程为x ＝263或x ＝－263.此时|EF |＝463，∴S △OEF ＝12×463×83＝83<2 2. 由①②可得，S △OEF 的最大值为2 2.。