高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)本章复习教学设计新人教A版1
第二章基本初等函数（Ⅰ）本章复习整体设计教学分析函数是描述客观世界变化规律的重要的数学模型，面对纷繁复杂的变化现象，我们还可以根据变化现象懂得对不同特征进行分类研究．而指数函数、对数函数以及幂函数是研究客观世界变化规律的三类重要且常用的基本初等函数，本章学习了这三类基本初等函数的概念和性质，因此我们对这一些基本知识和三类基本初等函数学完的前提下，综合复习所学知识，进行知识梳理和整合，同时通过进行知识梳理和整合，使学生形成知识网络，强化数学思想和方法的运用，通过复合函数和抽象函数的复习，提高学生的综合能力．三维目标1．理解指数与对数，指数函数与对数函数及幂函数的概念和联系，通过提问，提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认知结构．2．让学生熟悉，能更加熟练地解决与指数函数、对数函数、幂函数有关的问题，培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力．3．对复合函数，抽象函数有一个新的认识，培养学生分析、解决问题和交流以及分类讨论的能力．重点难点教学重点：指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质．教学难点：灵活运用函数性质解决有关问题．课时安排1课时教学过程应用示例思路11计算：(1)20.52130.25323435(0.008)(0.2)0.062 589---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⋅+÷÷⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；(2)2lg5lg8000(lg11lg600lg0.36lg0.122⋅+--.活动：学生观察、思考，学生观察式子的特点，特别是指数和真数的特点，教师引导学生考虑题目的思路，对有困难的学生及时提示，组织学生讨论交流，并对学生作及时的评价．解：(1)原式＝()()()23()21133()()420.532437()0.20.20.523⨯-⨯--⨯⨯⎡⎤⎛⎫⎢⎥⋅÷÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＋＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49×73＋52÷5÷0.5＝5627＋105＝56＋270527.(2) 2lg 5lg8000(lg 11lg600lg 0.36lg 0.122⋅+--＝332221lg 5lg(210)2)11lg(2310)lg(0.6)lg1022-⋅⨯+⨯⨯--＝223lg 5lg 3lg 53(lg 2)3[lg 5lg 2(lg 5lg 2)]15lg 2lg 32lg 0.6lg 6lg 0.622⋅++++=++-+-+＝67.点评：在指数运算中，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式，注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用.例2 已知a ＞0，a ≠1，x ＝1()2nn a a -+，求(x ＋x 2－1)n 的值．活动：学生思考，观察题目的特点，教师引导学生考虑问题的思路，从整体上看，应先化简，然后再求值，要有预见性，1na 与1na -具有对称性，它们的积是常数1，为我们解题提供了思路，必要时给予提示．x 2－1＝1121()4n n a a -+－1＝2201(2)14n n a a a -+⋅+-＝2201(2)4n n a a a --⋅+＝2221()4nn a a --. 这时应看到x 2－1111||2n n a a -=-.解：将x ＝111()2n n a a -+代入x 2－1，得x 2－1＝11112211()1()44n n n n a a a a --+-=-.所以x 2－1111||2n n a a -=-，x ＋x 2－1＝111111()||22n nn na a a a --++-＝11,1,,0 1.n n a a a a -⎧>⎪⎨⎪<<⎩所以(x ＋x 2－1)n＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a >1，1a，0<a <1.点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键，要深刻理解这种做法．3若函数f (x )的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，3，求f (log 3x )的定义域． 活动：学生思考，小组讨论，教师引导，学生展示思维过程，教师评价．根据你的学习经历，回顾求一个函数的定义域的方法．已知抽象函数f (x )的定义域，求抽象函数f [g(x )]的定义域，要借助于f (x )的定义域来求，由于函数f(x )的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，3，所以f (log 3x )中的log 3x 的范围就是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，3，从中解出x ，即为f (log 3x )的定义域． 解：因为函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，3，所以f (log 3x )中的log 3x 的范围就是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，3， 即0.5＜log 3x ≤3，即3＜x ≤27.因此函数f (log 3x )的定义域为(3，27]． 点评：求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围，对复合函数的定义域要严格注意对应法则.例1 求函数y ＝1－2x4x 的定义域、值域和单调区间．活动：学生观察，思考交流，独立解题，教师要求学生展示自己的思维过程．求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围；函数的值域要根据定义域来求；求函数的单调区间一般用定义法，有时也借助复合函数的单调性．由于自变量处在指数位置上，分母是一个指数式，因此自变量取值无限制；值域转化为二次函数，单调区间用复合函数的单调性确定．解：函数y ＝1－2x 4x 的定义域是全体实数，因为y ＝1－2x4x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－12x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －122－14≥－14，所以函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞. 设u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则它在(－∞，＋∞)上单调递减，而二次函数y ＝u －122－14在u ≤12时是减函数，在u ≥12时是增函数，令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12，则x ≥1，令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥12，则x ≤1， 所以函数y ＝1－2x4x 在[1，＋∞)上是增函数，在(－∞，1]上是减函数．点评：这里求函数值域的方法是配方法，求单调区间是用复合函数的单调性确定的． 例2 已知函数f(x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫12x －1＋12.(1)指出函数的奇偶性，并予以证明；(2)求证：对任何x (x ∈R 且x ≠0)，都有f (x )＞0.(1)解：函数f (x )是偶函数，证明如下：因为f (x )的定义域是不为0的实数，关于原点对称，又f (－x )＝－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋12＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x2x －1－12＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x2x －1－1＋12＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＝f (x )，所以f (x )是偶函数．(2)证明：当x ＞0时，2x＞1，所以f (x )＞0.当x ＜0时，由f (x )为偶函数，有f (x )＝f (－x )＞0.所以对一切x ∈R ，x ≠0，恒有f (x )＞0.点评：利用函数的奇偶性常可使解法简化，如本题，当x ＜0时，证明f (x )＞0较繁，若注意到f (x )为偶函数，则只需证明当x ＞0时，f (x )＞0，而这是显然的．知能训练课本本章复习参考题A 组 1、3、4、6、8、10.拓展提升问题：已知过原点O 的一条直线与函数y ＝log 8x 的图象交于A 、B 两点，过A 作x 轴的垂线，垂足为E ，过点B 作y 轴的垂线，交EA 于C ，若C 恰好在函数y ＝log 2x 的图象上，试求A ，B ，C 三点的坐标．活动：学生先仔细审题，理解题目的含义，然后思考交流，教师适当时候提示指导． 画出函数的图象，设出点的坐标，由图形间的关系建立方程求解． 解：先画出函数的图象如图．图1设A (x 1，log 8x 1)、B (x 2，log 8x 2)，则C (x 1，log 8x 2)．因为C 在函数y ＝log 2x 的图象上， 所以log 8x 2＝log 2x 1，即13log 2x 2＝log 2x 1.所以x 2＝x 31.又OE EA ＝OF FB ，即x 1log 8x 1＝x 2log 8x 2，所以x 1log 8x 31＝x 31log 8x 1.所以3x 1log 8x 1＝x 31log 8x 1.由x 1＞1，所以log 8x 1≠0. 从而有3x 1＝x 31.所以x 1＝3，x 2＝3 3.所以A ，B ，C 三点的坐标分别为A (3，log 83)，B (33，log 833)，C (3，log 23)．课后作业课本本章复习参考题A 组 2,5,7,9.设计感想本堂课是对过去学过的一章知识进行复习，目的是构建知识体系，形成知识网络，总结解题的方法规律和思想，以便综合运用这些知识，使学生能够见题想法，见题有法，能够做到一题多解，触类旁通，由于涉及的知识点和方法思想较多，所以设计的题目也较多，要注意解题方法的总结和提炼，希望加快处理速度，提高课堂复习效果，做到以不变应万变，使全体同学在知识和技能上都有较大的提高．备课资料【备用习题】1．函数y ＝log 2x －2的定义域是( ) A ．(3，＋∞) B．[3，＋∞) C ．(4，＋∞) D．[4，＋∞)2．已知函数f (x )＝a －12x ＋1，若f (x )为奇函数，则a ＝__________.3．函数y ＝log 2x 2＋16的值域是__________．4．已知函数y ＝2x的图象与y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，则f (16)＝__________.5．若函数y ＝log 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 2＋(a －1)x ＋14的定义域为R ，则a 的取值范围是__________．参考答案：1．D 2．12 3．[2，＋∞) 4.4 5．3－52＜a ＜3＋52。
湖南省衡阳市高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质(2)教案新人教A版必修1
湖南省衡阳市高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2.2对数函数及其性质（2）教案新人教A版必修1一. 教学目标：l.知识与技能(1)进一步掌握对数函数的图象和性质；(2)会利用对数函数的图象和性质解决有关问题；(3)了解底数相同的指数函数和对数函数互为反函数。
2. 过程与方法(1) 理解对数函数的图象和性质；(2) 能够利用对数函数的图象与性质解决问题；(3) 培养学生数学应用意识．3. 情感.态度与价值观(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化；(2)用联系的观点看问题；(3)了解对数在生产、生活实际中的应用．二. 教学重难点1、教学重点：对数函数的图象性质的理解.2、教学难点：对数函数的图象与性质的应用.三.教学准备1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.2. 教学用具：投影仪.四. 教学过程【引入课题】20世纪80年代末，教会用高科技手段澄清了一个历史大悬案，这就是关于耶稣裹尸布真伪的鉴定，鉴定证明了那块使人崇敬了多年的裹尸布是假的，它的原料纤维是十三世纪才种出来的，而此时耶稣已被钉在十字架上1200多年了。
这个轰动世界的年代鉴定是由研究碳14含量做出的。
【课堂探究】（2）对数函数的图象和性质二、图象和性质的应用1、对数函数的图象2、利用对数函数的单调性比较大小点评：两个对数比较大小1.同底数比较大小时(1)当底数确定时，则可由函数的单调性直接进行判断;(2)当底数不确定时，应对底数进行分类讨论;2.同真数的比较大小,常借助函数图象或对数的运算性质变形后进行比较；3.若底数、真数都不相同, 则常借助1、0等中间量进行比较。
3.探究：对数函数与指数函数之间的关系4、对数函数在生活中的应用例3.溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过pH刻画的. pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.【课时小结】1.掌握利用对数函数的性质比较数的大小的方法；2.对数函数单调性的灵活应用；3.对数函数与指数函数互为反函数．【课后作业】P74 习题2.2 A组第9题P75 习题2.2 B组第1题五、板书设计六、课后反思。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)复习教案 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学教案
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
一.知识结构及知识梳理.
14．几个常用结论：
⑴负数与零没有对数 ⑵01log =a ，
⑶1log =a a ⑷N
a N a =log 16.对数换底公式：a
N N m m a log log log = ( 其中a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0)
推论：①1log log =⋅a b b a ，
②
b m n b a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1） 17.对数函数：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数。
其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．值域为R
18.对数函数的概念、图象和性质．
19．幂函数定义：函数αx y =叫做幂函数其中x 是自变量，α是常数。
性质:（1）幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，抛物线型图象，并且在[0，+∞ 上是增函数； α＜0时，幂函数的图象都不过原点，双曲线型图象，在区间（0，+∞）上是减函数.
三、应用举例.
例1.求下列各式的值： 例2、
例3.求下列函数的定义域：
例4.比较下列各组中两个值的大小：
作 业
()()11
2
2641121;249-⎛⎫ ⎪⎝⎭2314log 3=a,log 7,,log 56.b a b =已知试用表示
P82 A组 3、5 P83 B组2。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)章末复习提升课课件新人教A版必修1
定成立的是( )
A．3c>3b
B．3c>3a
C．3c＋3a>2
D．3c＋3a<2
【解析】 (1)由题意 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象过(3，1)点，
可解得 a＝3.选项 A 中，y＝3－x＝13x，显然图象错误；选项 B
中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项 C 中，y＝(－x)3＝
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
章末复习提升课
指数与对数的运算
求下列各式的值： (1)287－23－3 e·e23＋ （2－e）2＋10lg 2； (2)lg25＋lg2×lg 500－12lg215－log29×log32.
【解】 (1)287－23－3 e·e23＋ （2－e）2＋10lg 2 ＝233－23－e13·e23＋(e－2)＋2 ＝23－2－e＋e－2＋2＝322＝94. (2)lg25＋lg 2×lg 500－12lg215－log29×log32 ＝lg25＋lg 2×lg 5＋2lg 2－lg15－log39 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋2lg 2－lg 2＋1－2 ＝lg 5＋lg 2－1＝1－1＝0.
解析：当 x＝－1 时，y＝a0－2＝－1，所以该定点的坐标是(－1， －1)． 答案：(－1，－1)
2．已知 lg a＋lg b＝0，则函数 f(x)＝ax 与函数 g(x)＝－logbx 的 图象可能是________(填序号)．
解析：因为 lg a＋lg b＝lg(ab)＝0， 所以 ab＝1，即 b＝1a， 则 f(x)＝ax，g(x)＝logax. 当 a>1 时，在各自的定义域内，f(x)是增函数，g(x)是增函数， 所以②正确；0<a<1 时，在各自的定义域内，f(x)是减函数，g(x) 是减函数，所以①③④都不正确．
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)21指数函数211指数与指数幂的运算教学设计新人教A版1.
2.1.1 指数与指数幂的运算整体设计教学分析我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：GDP 的增长问题和碳14的衰减问题．前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幂，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值．后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质．掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．2．掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．3．能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．4．通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质．展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美．重点难点教学重点(1)分数指数幂和根式概念的理解．(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质．(3)运用有理指数幂的性质进行化简、求值．教学难点(1)分数指数幂及根式概念的理解．(2)有理指数幂性质的灵活应用．课时安排3课时教学过程第1课时导入新课思路1．同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化，又怎样判断它们所处的年代？(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的，第二个问题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的．教师板书本节课题：指数函数——指数与指数幂的运算．思路2．同学们，我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根…n 次方根呢？答案是肯定的，这就是我们本堂课研究的课题：指数函数——指数与指数幂的运算．推进新课新知探究提出问题(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？(2)如x4＝a，x5＝a，x6＝a，根据上面的结论我们又能得到什么呢？(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？(4)可否用一个式子表达呢？活动：教师提示，引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题(2)的结论进行引申、推广，相互交流讨论后回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n次方根的概念，评价学生的思维．讨论结果：(1)若x2＝a，则x叫做a的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如：4的平方根为±2，负数没有平方根，同理，若x3＝a，则x叫做a的立方根，一个数的立方根只有一个，如：－8的立方根为－2.(2)类比平方根、立方根的定义，一个数的四次方等于a，则这个数叫a的四次方根．一个数的五次方等于a，则这个数叫a的五次方根．一个数的六次方等于a，则这个数叫a的六次方根．(3)类比(2)得到一个数的n次方等于a，则这个数叫a的n次方根．(4)用一个式子表达是，若x n＝a，则x叫a的n次方根．教师板书n次方根的意义：一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n＞1且n∈N*.可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例．提出问题(1)你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗？(多媒体显示以下题目).①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤－32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根.(2)平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分别对应的方根的指数是什么数，有什么特点？4，±8，16，－32，32，0，a6分别对应什么性质的数，有什么特点？(3)问题(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，数a有正有负，还有零，结论有一个的，也有两个的，你能否总结一般规律呢？(4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢？活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念，求一个数a的n次方根，就是求出的那个数的n次方等于a，及时点拨学生，从数的分类考虑，可以把具体的数写出来，观察数的特点，对问题(2)中的结论，类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．讨论结果：(1)因为±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，－2的5次方等于－32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，－32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分别是±2，±2，±2,2，－2,0，a2.(2)方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数．总的来看，这些数包括正数，负数和零．(3)一个数a的奇次方根只有一个，一个正数a的偶次方根有两个，是互为相反数.0的任何次方根都是0.(4)任何一个数a的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在，因为没有一个数的偶次方是一个负数．类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般情形，得到n次方根的性质：①当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，如果是负数，负的n次方根用－na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a＞0)．②n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示．③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零．上面的文字语言可用下面的式子表示：a 为正数：⎩⎨⎧n 为奇数， a 的n 次方根有一个为n a ，n 为偶数， a 的n 次方根有两个为±n a .a 为负数：⎩⎪⎨⎪⎧ n 为奇数， a 的n 次方根只有一个为n a ，n 为偶数， a 的n 次方根不存在.零的n 次方根为零，记为n0＝0. 可以看出数的平方根、立方根的性质是n 次方根的性质的特例．思考根据n 次方根的性质能否举例说明上述几种情况？活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握，即正数的奇偶次方根，负数的奇次方根，零的任何次方根，这样才不重不漏，同时巡视学生，随机给出一个数，我们写出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意义，注意观察方根的形式，及时纠正学生在举例过程中的问题．解：答案不唯一，比如，64的立方根是4,16的四次方根为±2，－27的5次方根为5－27，而－27的4次方根不存在等．其中5－27也表示方根，它类似于n a 的形式，现在我们给式子n a 一个名称——根式．根式的概念： 式子na 叫做根式，其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数． 如3－27中，3叫根指数，－27叫被开方数．思考 n a n 表示a n 的n 次方根，式子n a n ＝a 一定成立吗？如果不一定成立，那么n a n 等于什么？ 活动：教师让学生注意讨论n 为奇偶数和a 的符号，充分让学生多举实例，分组讨论．教师点拨，注意归纳整理． 〔如3(－3)3＝3－27＝－3，4(－8)4＝|－8|＝8〕．解答：根据n 次方根的意义，可得：(n a )n ＝a .通过探究得到：n 为奇数，n a n＝a .n为偶数，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，－a，a≥0，a<0.因此我们得到n次方根的运算性质：①(na)n＝a.先开方，再乘方(同次)，结果为被开方数．②n为奇数，na n＝a.先奇次乘方，再开方(同次)，结果为被开方数．n为偶数，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，－a，a≥0，a<0.先偶次乘方，再开方(同次)，结果为被开方数的绝对值．应用示例思路1 例求下列各式的值：(1)3(－8)3；(2)(－10)2；(3)4(3－π)4；(4)(a－b)2(a＞b)．活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些知识，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题目仔细分析．观察学生的解题情况，让学生展示结果，抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药．求下列各式的值实际上是求数的方根，可按方根的运算性质来解，首先要搞清楚运算顺序，目的是把被开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还是偶数，如果是奇数，无需考虑符号，如果是偶数，开方的结果必须是非负数．解：(1)3(－8)3＝－8；(2)(－10)2＝10；(3)4(3－π)4＝π－3；(4)(a－b)2＝a－b(a＞b)．点评：不注意n的奇偶性对式子na n的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用．例1 下列各式中正确的是( )A．4a4＝aB．6(－2)2＝3－2C．a0＝1D．10(2－1)5＝2－1活动：教师提示，这是一道选择题，本题考查n次方根的运算性质，应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解，既要考虑被开方数，又要考虑根指数，严格按求方根的步骤，体会方根运算的实质，学生先思考哪些地方容易出错，再回答．解析：(1)4a4＝a，考查n次方根的运算性质，当n为偶数时，应先写na n＝|a|，故A项错．(2)6(－2)2＝3－2，本质上与上题相同，是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，结论为6(－2)2＝32，故B项错．(3)a0＝1是有条件的，即a≠0，故C项也错．(4)D项是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，故D项正确．所以答案选D. 答案：D点评：本题由于考查n次方根的运算性质与运算顺序，有时极易选错，选四个答案的情况都会有，因此解题时千万要细心．例2 3＋22＋3－22＝__________.活动：让同学们积极思考，交流讨论，本题乍一看内容与本节无关，但仔细一想，我们学习的内容是方根，这里是带有双重根号的式子，去掉一层根号，根据方根的运算求出结果是解题的关键，因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了，从何处入手？需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式．正确分析题意是关键，教师提示，引导学生解题的思路．解析：因为3＋22＝1＋22＋(2)2＝(1＋2)2＝2＋1，3－22＝(2)2－22＋1＝(2－1)2＝2－1，所以3＋22＋3－22＝2 2.答案：2 2点评：不难看出3－22与3＋22形式上有些特点，即是对称根式，是A±2B形式的式子，我们总能找到办法把其化成一个完全平方式．思考上面的例2还有别的解法吗？活动：教师引导，去根号常常利用完全平方公式，有时平方差公式也可，同学们观察两个式子的特点，具有对称性，再考虑并交流讨论，一个是“＋”，一个是“－”，去掉一层根号后，相加正好抵消．同时借助平方差，又可去掉根号，因此把两个式子的和看成一个整体，两边平方即可，探讨得另一种解法．另解：利用整体思想，x＝3＋22＋3－22，两边平方，得x2＝3＋22＋3－22＋2(3＋22)(3－22)＝6＋232－(22)2＝6＋2＝8，所以x＝2 2.点评：对双重二次根式，特别是A±2B形式的式子，我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式，问题迎刃而解，另外对A＋2B±A－2B的式子，我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解．(教师用多媒体显示在屏幕上) 1．以下说法正确的是( ) A．正数的n次方根是一个正数B．负数的n次方根是一个负数C．0的n次方根是零D．a的n次方根用na表示(以上n＞1且n∈N*)答案：C2．化简下列各式：(1)664；(2)4(－3)2；(3)4x8；(4)6x6y3；(5)(x－y)2.答案：(1)2；(2)3；(3)x2；(4)|x|y；(5)|x－y|. 3．计算7＋40＋7－40＝__________.解析：7＋40＋7－40＝(5)2＋25·2＋(2)2＋(5)2－25·2＋(2)2＝(5＋2)2＋(5－2)2＝5＋2＋5－ 2＝2 5.答案：2 5拓展提升问题：na n＝a与(na)n＝a(n＞1，n∈N)哪一个是恒等式，为什么？请举例说明．活动：组织学生结合前面的例题及其解答，进行分析讨论，解决这一问题要紧扣n次方根的定义．通过归纳，得出问题结果，对a是正数和零，n为偶数时，n为奇数时讨论一下．再对a是负数，n为偶数时，n为奇数时讨论一下，就可得到相应的结论．解：(1)(na)n＝a(n＞1，n∈N)．如果x n＝a(n＞1，且n∈N)有意义，则无论n是奇数或偶数，x＝na一定是它的一个n次方根，所以(na)n＝a恒成立．例如：(43)4＝3，(3－5)3＝－5.(2)na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a，|a|，当n为奇数，当n为偶数.当n为奇数时，a∈R，na n＝a恒成立．例如：525＝2，5(－2)5＝－2.当n为偶数时，a∈R，a n≥0，na n表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么na n＝a.例如434＝3，40＝0；如果a＜0，那么na n＝|a|＝－a，如(－3)2＝32＝3，即(na)n＝a(n＞1，n∈N)是恒等式，na n＝a(n＞1，n∈N)是有条件的．点评：实质上是对n次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解．课堂小结学生仔细交流讨论后，在笔记上写出本节课的学习收获，教师用多媒体显示在屏幕上．1．如果x n＝a，那么x叫a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被开方数，n叫根指数．(1)当n为偶数时，a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，如果是负数，负的n次方根用－na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a＞0)．(2)n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示．(3)负数没有偶次方根.0的任何次方根都是零．2．掌握两个公式：n为奇数时，(na)n＝a，n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，－a，a≥0，a<0.作业课本习题2.1A组 1. 补充作业：1．化简下列各式：(1)681；(2)15－32；(3)6a2b4.解：(1)681＝634＝332＝39；(2)15－32＝－1525＝－32；(3)6a2b4＝6(|a|·b2)2＝3|a|·b2.2．若5＜a＜8，则式子(a－5)2－(a－8)2的值为__________．解析：因为5＜a＜8，所以(a－5)2－(a－8)2＝a－5－8＋a＝2a－13.答案：2a－133．5＋26＋5－26＝__________.解析：对双重二次根式，我们觉得难以下笔，我们考虑只有在开方的前提下才可能解出，由此提示我们想办法去掉一层根式，不难看出5＋26＝(3＋2)2＝3＋ 2.同理5－26＝(3－2)2＝3－ 2.所以5＋26＋5－26＝2 3.答案：2 3设计感想学生已经学习了数的平方根和立方根，根式的内容是这些内容的推广，本节课由于方根和根式的概念和性质难以理解，在引入根式的概念时，要结合已学内容，列举具体实例，根式na的讲解要分n是奇数和偶数两种情况来进行，每种情况又分a＞0，a＜0，a＝0三种情况，并结合具体例子讲解，因此设计了大量的类比和练习题目，要灵活处理这些题目，帮助学生加以理解，所以需要用多媒体信息技术服务教学．第2课时作者：郝云静导入新课思路1．碳14测年法．原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14，并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织，先为植物吸收，再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失．对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代(半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半)．引出本节课题：指数与指数幂的运算之分数指数幂．思路2．同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的．这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂．推进新课新知探究提出问题(1)整数指数幂的运算性质是什么？(2)观察以下式子，并总结出规律：a＞0，1025a a===；②a8＝(a4)2＝a4＝82a，；③4a12＝4(a3)4＝a3＝124a；④2a10＝2(a5)2＝a5＝102a.(3)利用(2)的规律，你能表示下列式子吗？x>0，m，n∈N*，且n>1).(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？(5)你能推广到一般的情形吗？活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比(2)的规律表示，借鉴(2)(3)，我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他学生鼓励提示．讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：a n＝a·a·a·…·a，a0＝1(a≠0)；00无意义；a－n＝1a n(a≠0)；a m·a n＝a m＋n；(a m)n＝a mn；(a n)m＝a mn；(ab)n＝a n b n.(2)①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根．实质上①5a10＝105a，②a8＝82a，③4a12＝124a，④2a10＝102a结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了105，82，124，105，形式上变了，本质没变．根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式(分数指数幂形式)．(3)利用(2)的规律，453＝345，375＝537，5a7＝75a，n x m＝mnx.(4)53的四次方根是345，75的三次方根是537，a7的五次方根是75a，x m的n次方根是mnx.结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的．(5)如果a＞0，那么a m的n次方根可表示为na m＝mna，即mna＝n a m(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：规定：正数的正分数指数幂的意义是mna＝n a m(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．提出问题(1)负整数指数幂的意义是怎样规定的？(2)你能得出负分数指数幂的意义吗？(3)你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义？(4)综合上述，如何规定分数指数幂的意义？(5)分数指数幂的意义中，为什么规定a＞0，去掉这个规定会产生什么样的后果？(6)既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？活动：学生回想初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明a＞0的必要性，教师及时作出评价．讨论结果：(1)负整数指数幂的意义是：a－n＝1a n(a≠0)，n∈N*.(2)既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义．规定：正数的负分数指数幂的意义是mna-＝1mna＝1na m(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．(3)规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．(4)教师板书分数指数幂的意义．分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是mna＝n a m(a＞0，m，n∈N*，n＞1)，正数的负分数指数幂的意义是mna-＝1mna＝1na m(a＞0，m，n∈N*，n＞1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．(5)若没有a＞0这个条件会怎样呢？如13(1)-＝3－1＝－1，26(1)-＝6(－1)2＝1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的．因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如无a ＞0的条件，比如式子3a 2＝23||a ，同时负数开奇次方是有意义的，负数开奇次方时，应把负号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数幂，也就是说，负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指数上．(6)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数． 有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r ，s ，均有下面的运算性质： ①a r·a s＝ar ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q )，②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q )， ③(a ·b )r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )．我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题，来看下面的例题．应用示例例1 求值：(1)238；(2)1225-；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5；(4)341681-⎛⎫ ⎪⎝⎭.活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23,25写成52，12写成2－1，1681写成⎝ ⎛⎭⎪⎫234，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来．解：(1)222333338(2)2⨯==＝22＝4； (2)1112222225(5)5⎛⎫⨯--- ⎪⎝⎭==＝5－1＝15；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝(2－1)－5＝2－1×(－5)＝32； (4)33444162813⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＝278.点评：本例主要考查幂值运算，要按规定来解．在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如238＝382＝364＝4.例2 用分数指数幂的形式表示下列各式．a 3·a ；a 2·3a 2；a 3a (a ＞0)．活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结．解：a3·a＝a3·12a＝17322a a+=；a2·3a2＝a2·23a＝28233a a+=；a 3a＝1421133322()()a a a a⋅==.点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算．对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数．例3 计算下列各式(式中字母都是正数)．(1)211511336622(2)(6)(3)a b a b a b-÷-；(2)31884()m n-.活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序，再解答，把自己的答案用投影仪展示出来，相互交流，其中要注意到(1)小题是单项式的乘除运算，可以用单项式的乘除法运算顺序进行，要注意符号，第(2)小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算，熟悉后可以简化步骤．解：(1)原式＝[2×(－6)÷(－3)]211115326236a b+-+-＝4ab0＝4a；(2)33311188888888444()()()m n m n m n---⨯⨯==＝m2n－3＝m2n3.点评：分数指数幂不表示相同因式的积，而是根式的另一种写法．有了分数指数幂，就可把根式转化成分数指数幂的形式，用分数指数幂的运算法则进行运算了．本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用．(1)(325－125)÷425；(2)a2a·3a2(a＞0)．活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，化为同底．利用分数指数幂计算，在第(1)小题中，只含有根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，最后写出解答．解：(1)原式＝121131 332422 (25125)25(55)5 -÷=-÷＝21131326225555---=-＝65－5；(2)a2a·3a2＝125222362132aa aa a--==⋅＝6a5.知能训练课本本节练习1,2,3.【补充练习】教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答，教师巡视，启发，对做得好的同学给予表扬鼓励．1．(1)下列运算中，正确的是( )A．a2·a3＝a6 B．(－a2)3＝(－a3)2C．(a－1)0＝0 D．(－a2)3＝－a6(2)下列各式①4(－4)2n，②4(－4)2n＋1，③5a4，④4a5(各式的n∈N，a∈R)中，有意义的是( )A．①② B．①③ C．①②③④ D．①③④(3)(34a6)2·(43a6)2等于( )A．a B．a2 C．a3 D．a4(4)把根式－25(a－b)－2改写成分数指数幂的形式为( )A．252()a b--- B．522()a b---C．22552()a b---- D．55222()a b----(5)化简2115113366221()(3)3a b a b a b⎛⎫⎪-÷⎪⎝⎭的结果是( )A．6a B．－a C．－9a D．9a2．计算：(1)130.027-－⎝⎛⎭⎪⎫－17－2＋34256－3－1＋(2－1)0＝__________.(2)设5x＝4,5y＝2，则52x－y＝__________.3．已知x＋y＝12，xy＝9且x＜y，求11221122x yx y-+的值．答案：1．(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2．(1)19 (2)83．解：11111111 22222222111111222222()()2()()x y x y x y x x y yx yx y x y x y----+==-++-.因为x＋y＝12，xy＝9，所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝144－36＝108＝4×27.又因为x＜y，所以x－y＝－2×33＝－6 3.所以原式＝122()x y xyx y+--＝12－6－63＝－33.拓展提升1．化简：132111333311111 x x x xx x x x-+-+-+++-.活动：学生观察式子特点，考虑x的指数之间的关系可以得到解题思路，应对原式进行因式分解，根据本题的特点，注意到：x－1＝133()x－13＝121333(1)(1)x x x-++；x＋1＝133()x＋13＝121333(1)(1)x x x+-+；1111112333333[()1](1)(1) x x x x x x x-=-=-+．构建解题思路教师适时启发提示．解：132111 333311111 x x x x x x x x-+-+-+++-＝11121 333333333 21113333 ()1()1111 x x x x x x x x x-+-+-+++-＝12112111133333333321113333(1)(1)(1)(1)(1)(1)11(1)x x x x x x x x x x x x x-+++-+-++-+++-＝12121 33333 11x x x x x -+-+--＝13x-.点拨：解这类题目，要注意运用以下公式，11112222()()a b a b-+＝a－b，11222()a b±＝a±11222a b＋b，112112333333()()a b a a b b±+＝a±b.2．已知11223a a-+=，探究下列各式的值的求法．(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)33221122a aa a----.解：(1)将11223a a-+=，两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7；(2)将a＋a－1＝7两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，即a2＋a－2＝47；(3)由于331133 2222()()a a a a---=-，所以有331111122222211112222()()a a a a a a a aa a a a--------++=--＝a＋a－1＋1＝8.点拨：对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．课堂小结活动：教师，本节课同学们有哪些收获？请把你的学习收获记录在你的笔记本上，同学们之间相互交流．同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点：(1)分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是mna＝n a m(a＞0，m，n∈N*，n＞1)，正数的负分数指数幂的意义是mna-＝1mna＝1na m(a＞0，m，n∈N*，n＞1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．(2)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．(3)有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)，②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)，③(a·b)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．(4)说明两点：①分数指数幂的意义是一种规定，我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性，其中没有推出关系．②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用．因而分数指数幂与根式可以互化，也可以利用()m m n n nnaa⨯=＝a m来计算．作业课本习题2.1A 组 2,4.设计感想本节课是分数指数幂的意义的引出及应用，分数指数是指数概念的又一次扩充，要让学生反复理解分数指数幂的意义，教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解，用观察、归纳和类比的方法完成，由于是硬性的规定，没有合理的解释，因此多安排一些练习，强化训练，巩固知识，要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务．第3课时 作者：郑芳鸣导入新课思路1．同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数(有理数)，有理数到实数．并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是无理数．对无理数指数幂，也是这样扩充而来．既然如此，我们这节课的主要内容是：教师板书本堂课的课题〔指数与指数幂的运算(3)〕之无理数指数幂．思路2．同学们，在初中我们学习了函数的知识，对函数有了一个初步的了解，到了高中，我们又对函数的概念进行了进一步的学习，有了更深的理解，我们仅仅学了几种简单的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等，这些远远不能满足我们的需要，随着科学的发展，社会的进步，我们还要学习许多函数，其中就有指数函数，为了学习指数函数的知识，我们必须学习实数指数幂的运算性质，为此，我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂，因此我们本节课学习：指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂，教师板书本节课的课题．推进新课新知探究 提出问题(1)我们知道2＝1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，是2的什么近似值？(2)多媒体显示以下图表：同学们从上面的两个表中，能发现什么样的规律？。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.1 对数与对数运算教材梳理素材 新人教A版必修1
2.2.1 对数与对数运算疱丁巧解牛知识·巧学·升华 一、对数 1.对数一般地，如果a x=N （a ＞0，a ≠1），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x=log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.对数式的对数就是原指数式的指数，只是表示形式不同而已，即已知指数式a b=N ，用a 、N 表示b 的运算叫对数运算，记作b=log a N.对数式是指数式的另一种表达形式，对数运算是指数运算的逆运算.常用符号“log ”表示对数，但它仅是一个符号而已.同“+、-、×、”等符号一样，表示一种运算.要从以下几个方面来理解对数的概念．（1）会依据定义把指数式写成对数式.例如：∵32=9，∴2是以3为底9的对数.记作log 39=2； ∵41=4，∴1是以4为底4的对数.记作log 44=1； ∵20=1，∴0是以2为底1的对数.记作log 21=0； ∵318=21，∴-31是以8为底21的对数.记作log 821=-31.（2）log a N=b 中规定底数a ＞0且a ≠1.这是因为若a ＜0，则N 为某些值时，b 不存在，如log （-2）21；若a=0，N 不为0时，b 不存在，如log 03，N 为0时，b 可为任意正数，是不唯一的，即log 00有无数个值；若a=1，N 不为1时，b 不存在，如log 12，N 为1时，b 可为任意数，是不唯一的，即log 11有无数个值.总之，就规定了a ＞0且a ≠1.(3)只有正数才有对数，零和负数没有对数.在解决有关对数问题时，容易忽视对数的真数大于零的问题．因为底数a ＞0且a ≠1，由指数函数的性质可知，对任意的b ∈R ，a b＞0恒成立，并且由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以N ＞0.（4）指数式、对数式、根式的关系及相应各字母的名称.记忆要诀 指数式进行的是乘方运算，由a 、b 求N ；根式进行的是开方运算，由N 、b 求a ；对数式进行的是对数运算，由a 、N 求b. （5）对数恒等式：①Na alog =N ；②log a a b=b.证明：①∵a b=N ，∴b=log a N.∴a b=Nalog =N ，即Na alog =N.②∵a b =N ，∴b=log a N.∴b=log a N=log a a b,即log a a b=b. 如5log 33=5，6log 44=6,log 335=5,3222log =32等.要熟记对数恒等式的形式，会使用这一公式化简对数式.要点提示 证明对数恒等式，一要注意指数与对数式的互化，二要紧扣对数的定义. （6）两个特殊的对数式：log a a=1；log a 1=0.证明：∵a 1=a ，∴log a a=1.∵a 0=1，∴log a 1=0，即底的对数等于1，1的对数等于0. 2.常用对数当底数a=10时，对数log a N 叫做常用对数，记作lgN.（1）常用对数是指底数为10的对数，它的形式可由log 10N 缩写为lgN ，其中lgN 默认它的底数为10. （2）会求常用对数的值.若真数易转化成以10为底的幂的形式，可直接求值.如lg10，lg100，lg0.001等，∵102=100，∴lg100=2.又∵10-3=0.001，∴lg0.001 =-3.一般情况下，可通过.如lg200 1，lg0.032，lg187.5等.使用计算器时，应先按上真数，然后再按lg2 001≈3.301 2，lg0.032≈-1.494 9，lg187.5≈2.273 0.因为对数表只能查得1≤a ＜10的对数，所以对于不在该范围内的数，使用对数表求值时，应先用科学记数法把真数表示成a ×10n（1≤a ＜10，n ∈Z )的形式，运用后面的对数性质化简后，再求值.联想发散 要会使用科学记数法记数.当N ＞10时，可把N 写成a ×10n的形式，其中n比N 的整数位数少1，如10 001=1.000 1×104；当0＜N ＜1时，可把N 写成a ×10-n，其中n 是从左边第一个不是0的数字算起前面所有0的个数，如0.001 02=1.02×10-3. 3.自然对数在科学技术中，常常使用以无理数e=2.718 28…为底的对数.以e 为底的对数叫做自然对数.log e N 通常记作lnN.①自然对数与常用对数的关系： lnN ≈2.302 6lgN. ②可直接使用计算器求自然对数值.它的使用规则同常用对数一样，也是先按真数值，再按ln 键，即可直接求出常用对数值.如ln34≈3.526 4，也可查表，求自然对数的值. 要点提示 自然对数与常用对数是对数的两个特例，只有它们才既能查表，又能使用计算器求值. 二、对数运算1．积、商、幂的对数运算性质 （1）log a MN=log a M+log a N ，两个正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和．该法则可以推广到若干个正因数积的对数，即log a （N 1·N 2·…·N k ）=log a N 1+log a N 2+…+log a N k . （2）log aNM=log a M-log a N. 两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数.（3）log a M n=nlog a M （n ∈R ）.正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数对数的运算法则既可正用，也可逆用，由积、商的运算法则可知，若逆用该公式，可把对数式转化成同底数的对数的和、差的形式．误区警示 使用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，只有各个对数式都存在时，等式才成立.例如：lg （-2）（-3）存在，但lg （-2），lg （-3）不存在，lg （-10）2存在，但lg （-10）不存在等.因此不能得出lg （-2）（-3）=lg （-2）+lg （-3），lg （-10）2=2lg （-10）. 2.换底公式（1）换底公式：log a b=abc c log log （a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0）.证明：设log a b=c ，则a c=b.两边取以c 为底的对数，得clog c a=log c b ， 所以c=a b c c log log ，即log a b=abc c log log .换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简，凡是所求对数式的底数与题设中的对数底数不同的，都可考虑用换底公式求解，使用换底公式推论的前提是底数或真数能化成幂的形式.①换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是 若M ＞0，N ＞0，M=N ，则log a M=log a N.②自然对数与常用对数的关系可以通过换底公式建立关系： lnN=e N lg lg ≈4343.0lg N≈2.302 6lgN. ③可把一般对数式转化成常用对数或自然对数，通过计算器或查表求值. ④换底公式可用于对数式的化简、求值或证明. （2）换底公式的三个推论：n a b n log =log a b ，m a b n log =nmlog a b ，log a b ·log b a=1. 推广：log a b ·log b c ·log c d ·…·log e a=1. 问题·思路·探究问题1 对数运算性质的实质是什么？思路：对数运算性质是指数运算性质的拓展引申，它们之间可以互相转化.探究:由于指数运算中遇到次数高的指数进行乘、除、乘方和开方时运算量太大，操作很繁，而对数运算恰恰将指数运算这些弱点克服，可以将乘、除、乘方和开方时运算转化为对数的加、减、乘的运算，从而降低了运算难度，加快了运算速度，简化了计算方法，有力地促进了涉及与高次数运算有关领域如天文、航海、工程、贸易及军事的发展.问题2 式子log a M n=nlog a M 表明真数的指数可以直接拿到对数式前作系数，那请问：底数的指数也可以直接拿到对数式前作系数吗？若不能，有没有类似性质呢？怎么证明呢？ 思路：log a M n与nlog a M 与log a nM=n1log a M 的结合使进行对数运算时更加简便快捷，同时也提醒我们在进行对数运算过程中，如果运算性质不能直接运用时，可以通过先化成指数式，变形后再化成对数式的方法达到计算的目的探究:一般不能，比如2=log 416=log 2216而，2log 216=8≠log 2216=2,但有类似的性质，这个性质是 log a nM=n 1log a M. 证明如下：令log a M=x,则M=a x,所以n 1=log a M=n 1x ，而M n a log =x a a n log =a x n a log =x ·n 1，所以M n a log =n1log a M.典题·热题·新题例1 (2006浙江高考,理)已知0＜a ＜1，log a m ＜log a n ＜0，则（ ）A.1＜n ＜mB.1＜m ＜nC.m ＜n ＜1D.n ＜m ＜1 思路解析：∵0<a<1,∴y=log a x 为减函数，由log a m<log a n<0,可得1<n<m. 答案：A例2 设log 189=a ，18b=5，求log 3645.思路解析：本题是条件求值问题，解题的关键是把结论化成已知的形式，换底是显然的.解：∵18b=5，∴b=log 185. ∴log 3645=aba b a b a -+=-+=++=++=29log 2918log 12log 19log 5log 36log 45log 18181818181818.深化升华 换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简. 例3 计算：lg25+32lg8+lg5·lg20+lg 22. 思路解析：本题主要考查对数的运算性质. 解：原式=lg25+328lg +lg210·lg （10×2）+lg 22 =lg25+lg4+（lg10-lg2）（lg10+lg2）+lg 22=lg100+lg 210-lg 22+lg 22=2+1=3.深化升华 对于对数的运算性质要熟练掌握，并能够灵活运用，在求值的过程中，要注意公式的正用和逆用. 例4 设3x=4y=36，求yx 12+的值. 思路解析：本题主要考查对数的定义及运算性质.从所求的值来看，解题的关键是设法把x 、y 表示出来，再结合对数的运算性质就可以求出数值. 解：∵3x=4y=36，∴x=log 336，y=log 436.则x1=log 363，y 1=log 364.∴x 2+y1=2log 363+log 364=log 36（32×4）=1. 深化升华 指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但真数相等，式子两端取倒数之后，利用对数的换底公式可消除差异.例5 已知a 、b 、c 均为正数，3a =4b =6c，求证：cb a 212=+. 思路解析：本题主要考查对数的定义及其运算性质.从求证的结论看，解题的关键是设法把a 、b 、c 从连等号式中分离出来，为便于找出a ，b ，c 的关系，不妨设3a =4b =6c=k （k ＞0），则a 、b 、c 就可用这一变量k 表示出来，再结合对数的运算性质就可证得结论.证明：设3a =4b =6c=k ，则k ＞0.由对数的定义得a=log 3k ，b=log 4k ，c=log 6k ， 则左边=kk b a 43log 1log 212+=+=2log k 3+log k 4=log k 9+log k 4=log k 36， 右边=k c 6log 22==2log k 6=log k 36，∴cb a 212=+. 深化升华 证明恒等式常用的方法（1）作差比较法；（2）化简较为复杂的一边等于较简单的一边； （3）化简左、右两边，使它们等于同一式子；（4）先证明另一恒等式，再推出所要求证的恒等式.例6 设a 、b 同号，且a 2+2ab-3b 2=0，求log 3（a 2+ab+b 2）-log 3（a 2-ab+b 2）的值.思路解析：本题考查对数性质的应用.已知只告诉我们关于a 、b 的一个齐次方程，因此不可能求出a 、b 的值，只能求出a 、b 的关系式，从求证的结论看，由对数的运算性质可得真数也是一个齐次式，这样就把条件同结论联系到一起了.解：∵a 、b 同号，∴b ≠0.把方程a 2+2ab-3b 2=0两边同除以b 2，得（b a ）2+2（ba）-3=0. ∴（b a +3）（b a -1）=0，得b a =1或ba=-3（舍去）.∴a=b. ∴log 3（a 2+ab+b 2）-log 3（a 2-ab+b 2）=log 3（3a 2）-log 3a 2=log 33=1.深化升华 ：条件代数式的求值同条件代数式的化简、证明一样，解题的关键是找到题设与结论的联系，可化简结论，用上条件，可化简条件得出结论，也可同时化简条件与结论等.。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.2第1课时指数函数的图象及性质课件新人教A版必修1
与指数函数有关的定义域、值域问题
求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝
；(2)y＝23－|x|.
思路点拨：
指数函数y＝axa＞0， 且a≠1的定义域是R
―→
函数y＝afxa＞0，且a≠1 与fx的定义域相同
―→
值域
解：(1)由xx＋ －11≥0，得 x≤－1 或 x＞1.
已知指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(6)＝________. 解析：设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)． ∵函数f(x)的图象过点(3,8)． ∴8＝a3，∴a＝2. ∴f(x)＝2x. ∴f(6)＝26＝64. 答案：64
2．指数函数的图象和性质 a＞1
图象图象
如图是指数函数：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④ y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
思路点拨：
解析：方法一：在①②中底数大于零且小于 1，在 y 轴右 边，底数越小，图象向下越靠近 x 轴，故有 b＜a，在③④中底 数大于 1，在 y 轴右边，底数越大，图象向上越靠近 y 轴，故 有 d<c.故选 B.
1．指数函数的图象一定在x轴的上方．( ) 2．当a＞1时，对于任意x∈R总有ax＞1.( ) 3．函数f(x)＝2－x在R上是增函数．( ) 答案：1.√ 2.× 3.×
指数函数的概念
函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，求a的值． 思路点拨： ax的系数为1 ―→ a为常数，a＞0且a≠1 ―→ 不等式组 解：∵y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数， ∴aa＞2－03且a＋a≠3＝1，1， 解得aa＝ ＞10或 且2a，≠1. ∴a＝2.
高中数学(人教版A版必修一)配套课件：第二章 基本初等函数(Ⅰ) 第二章 章末复习课
超级记忆法-记忆规律
第四个记忆周期是 1天 第五个记忆周期是 2天 第六个记忆周期是 4天 第七个记忆周期是 7天 第八个记忆周期是15天 这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。 所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法--场景法
解析 f(x)＝12x 在 x∈(－∞，0)上为减函数，g x＝log1 x 为偶函数， 2
x∈(0，＋∞)时g x＝log1 x 为减函数，所以在(－∞，0)上为增函数.
2
解析答案
1 2345
4.已知 P＝2－32，Q＝253，R＝123，则 P，Q，R 的大小关系是( B ) A.P＜Q＜R B.Q＜R＜P C.Q＜P＜R D.R＜Q＜P 解析 由函数 y＝x3 在 R 上是增函数知，253＜123，
跟踪训练3 函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0<a<1). (1)求函数f(x)的定义域； 解 要使函数有意义，则有1x＋－3x>>00， ， 解得－3<x<1，∴定义域为(－3,1).
解析答案
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值.
解 函数可化为f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x ＋1)2＋4]. ∵－3<x<1，∴0<－(x＋1)2＋4≤4. ∵0<a<1，∴loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4.
解析答案
1
2.函数 y＝x3 的图象是( B )
1 2345
解析 ∵0＜13＜1.
1
∴在第一象限增且上凸，又 y＝x3 为奇函数，过(1,1)，故选B.
人教A版数学必修一第2章《基本初等函数》(1)(幂函数)备课资料
人教A版数学必修一第2章《基本初等函数》(1)（幂函数）备课资料中学高中数学必修1第2章基本初等函数（1）-4.备课资料（幂函（数字）历史上数学计算方面的三大发明你知道数学计算的三大发明吗？这些是阿拉伯数字、十进制和对数研究自然数遇到的第一个问题是计数法和进位制的问题,我们采用的十进制是中国人的一大发明.在商代中期的甲骨文中已有十进制,其中最大的数是3万,印度最早到六世纪末才有十进制.但是,目前使用的计数法和阿拉伯数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0是印度人最早开始使用,后来传到阿拉伯,由阿拉伯人传到欧洲,并被欧洲人所接受.小数点计数法的诞生是自然数发展史上的一次飞跃。
同一个数因其位置不同而具有不同的值。
无限自然数可以由有限个符号控制，所有自然数都可以轻松清晰地表达出来16世纪前半叶,由于实际的需要,对计算技术的改进提出了前所未有的要求.这一时期计算技术最大的改进是对数的发明和应用,它的产生主要是由于天文和航海计算的迫切需要.为了简化天文航海方面所遇到的繁杂数值计算,自然希望将乘除法归结为简单的加减法.苏格兰数学家纳皮尔(napier,j.1550~1617)在球面天文学的三角学研究中,首先发明了对数方法.1614年他在题为《奇妙的对数定理说明书》一书中,阐述了他的对数方法,对数的使用价值为纳皮尔的朋友――英国数学家布里格斯(birggs,h.1561~1630)所认识,他与纳皮尔合作,并于1624年出版了《对数算术》一书,公布了以10为底的14位对数表,并称以10为底的对数为常用对数.常用对数曾经在简化计算上为人们做过重大贡献,而自然对数以及以e为底的指数函数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具.恩格斯曾把对数的发明与解析几何的创始,微积分学的建立并称为17世纪数学的三大成就.法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾说:“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命.”直到一8世纪，瑞士数学家欧拉（l.1707~1783）才发现指数和对数之间的关系。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.2指数函数及其性质教学设计新人教A版必修1
2.1.2 指数函数及其性质整体设计教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学(1)》(人教A版)第二章第一节第二课(2.1.2)《指数函数及其性质》．根据实际情况，将《指数函数及其性质》划分为三节课〔指数函数的图象及其性质，指数函数及其性质的应用(1)，指数函数及其性质的应用(2)〕，这是第一节课“指数函数的图象及其性质”．指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究．学生学习情况分析指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用．教材在之前的学习中给出了两个实际例子(GDP的增长问题和碳14的衰减问题)，已经让学生感受到了指数函数的实际背景，但这两个例子的背景对于学生来说有些陌生．本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望．设计思想1．函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置．如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机地结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望——持久的好奇心．我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的．本节课力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去．2．在本节课的教学中我努力实践以下两点：(1)在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式．(2)在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法．3．通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法．教学目标根据学生的实际情况，本节课的教学目标是：理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题；在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识．重点难点教学重点：指数函数的概念、图象和性质．教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质.教学过程一、创设情境、提出问题(约3分钟)师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米，……，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？学生回答后教师公布事先估算的数据：51号同学该准备102粒米，大约5克重．师：如果改成让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，5号同学准备32粒米，……，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？学情预设学生可能说出很多或能算出具体数目．师：大家能否估计一下51号同学该准备的米有多重吗？教师公布事先估算的数据：51号同学所需准备的大米约重1.2亿吨．师：1.2亿吨是一个什么概念？根据2007年9月13日美国农业部发布的最新数据显示，2007～2008年度我国大米产量预计为1.27亿吨．这就是说51号同学所需准备的大米相当于2007～2008年度我国全年的大米产量！设计意图用一个看似简单的实例，为引出指数函数的概念做准备；同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望．在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用y表示，每位同学的座号数用x表示，y与x之间的关系分别是什么？学生很容易得出y＝2x(x∈N*)和y＝2x(x∈N*)．学情预设学生可能会漏掉x的取值范围，教师要引导学生思考具体问题中x的取值范围．二、师生互动、探究新知1．指数函数的定义师：其实，在本章开头的问题中，也有一个与y＝2x类似的关系式y＝1.073x(x∈N*，x≤20)．(1)让学生思考讨论以下问题(问题逐个给出，约3分钟)：①y＝2x(x∈N*)和y＝1.073x(x∈N*，x≤20)这两个解析式有什么共同特征？②它们能否构成函数？③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？ 设计意图引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型．学生对比已经学过的一次函数、反比例函数、二次函数，发现y ＝2x ，y ＝1.073x 是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣．引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量．师：如果可以用字母a 代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成y ＝a x 的形式．自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数．(2)让学生讨论并给出指数函数的定义(约6分钟)．对于底数的分类，可将问题分解为：①若a ＜0，会有什么问题？(如a ＝－2，x ＝12，则在实数范围内相应的函数值不存在) ②若a ＝0，会有什么问题？(对于x ≤0，a x 都无意义)③若a ＝1又会怎么样？(1x 无论x 取何值，它总是1，对它没有研究的必要)师：为了避免上述各种情况的发生，所以规定a ＞0且a ≠1.在这里要注意生生之间、师生之间的对话．①若学生从教科书中已经看到指数函数的定义，教师可以问，为什么要求a ＞0，且a ≠1；a ＝1为什么不行？②若学生只给出y ＝a x ，教师可以引导学生通过类比一次函数(y ＝kx ＋b ，k ≠0)、反比例函数(y ＝k x ，k ≠0)、二次函数(y ＝ax 2＋bx ＋c ，a ≠0)中的限制条件，思考指数函数中底数的限制条件．学情预设设计意图①对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值；②讨论出a ＞0，且a ≠1，也为下面研究性质时对底数的分类做准备．接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函数？教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如y ＝2×3x ，y ＝32x ，y ＝－2x.学情预设学生可能只是关注指数是否是变量，而不考虑其他的．设计意图加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解．2．指数函数的性质(1)提出两个问题(约3分钟)①目前研究函数一般可以包括哪些方面？设计意图让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三要素(对应法则、定义域、值域)和函数的基本性质(单调性、奇偶性)．②研究函数(比如今天的指数函数)可以怎么研究？用什么方法、从什么角度研究？ 可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；可以从具体的函数入手(即底数取一些数值)；当然也可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功倍！还可以借助一些数学思想方法来思考．设计意图①让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法，由此引导学生可以从图象和解析式(包括列表)两个不同的角度对函数进行研究；②对学生进行数学思想方法(从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论)的有机渗透．(2)分组活动，合作学习(约8分钟)师：下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究．①让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手(不画图)研究指数函数，一组借助电脑通过几何画板的操作从图象的角度入手研究指数函数；②每一大组再分为若干合作小组(建议4人一小组)；③每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流．学情预设考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做适当的指导．通过自主探索、合作学习，不仅让学生充当学习的主人更可加深对所得到结论的理解．设计意图(3)交流、总结(约10～12分钟)师：下面我们开一个成果展示会！教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果．教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析．这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是否还有其他性质？师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一些有价值的副产品呢？〔〕如过定点(0，1)，y ＝a x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 的图象关于y 轴对称学情预设①首先选一个从解析式的角度研究的小组上台汇报；②对于从图象的角度研究的，可先选没对底数进行分类的小组上台汇报；③问其他小组有没有不同的看法，上台补充，让学生对底数进行分类，引导学生思考哪个量决定着指数函数的单调性，以什么为分界，教师可以马上通过电脑操作看函数图象的变化．设计意图①函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，通过这个活动，让学生知道研究一个具体的函数可以从多个角度入手，从图象角度研究只是能直观的看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过对解析式的论证；特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的．②让学生上台汇报研究成果，使学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养；③对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解决分类问题，使该难点的突破显得自然．师：从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性，以及过定点(0,1)，但定义域、值域却不可确定；从解析式(结合列表)可以很容易得出函数的定义域、值域，但对底数的分类却很难想到．教师通过几何画板中改变参数a的值，追踪y＝a x的图象，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变化规律．师生共同总结指数函数的图象和性质，教师可以边总结边板书．0＜a＜1a＞1(0，＋∞)过定点(0,1)1．例：已知指数函数f(x)＝a x(a＞0，且a≠1)的图象经过点(3，π)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值．解：因为f(x)＝a x的图象经过点(3，π)，所以f(3)＝π，即a 3＝π.解得13πa =，于是f (x )＝3πx . 所以f (0)＝1，f (1)＝3π，f (－3)＝1π. 设计意图通过本题加深学生对指数函数的理解．师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？师：从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因此只要一个条件，即布列一个方程就可以了．设计意图让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗透方程的思想．2．练习：(1)在同一平面直角坐标系中画出y ＝3x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的大致图象，并说出这两个函数的性质；(2)求下列函数的定义域：①y =112xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 3．师：通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识？你有什么收获？学情预设学生可能只是把指数函数的性质总结一下，教师要引导学生谈谈对函数研究的学习，即怎么研究一个函数．设计意图①让学生再一次复习对函数的研究方法(可以从多个角度进行)，让学生体会本节课的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去．②总结本节课中所用到的数学思想方法．③强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系，相互作用，才能融会贯通．4．作业：课本习题2.1A 组 5.教学反思1．本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到指数函数的性质，更重要的是让学生体会到对函数的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”．2．教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本节课使用几何画板可以动态地演示出指数函数的底数的变化过程，让学生直观地观察底数对指数函数单调性的影响．3．在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉地运用这些数学思想方法去分析、思考问题．指数函数及其性质的应用整体设计三维目标1．知识与技能理解指数函数的图象和性质，会利用性质来解决问题．2．过程与方法能利用指数函数的图象和性质来比较两个值的大小，图象间的平移，去探索利用指数函数的单调性来求未知字母的取值范围．3．情感、态度与价值观在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识．重点难点教学重点：指数函数的图象和性质．教学难点：指数函数的性质应用．教学过程第2课时指数函数及其性质的应用(1)作者：王建波导入新课思路1．复习导入：我们前一节课学习了指数函数的概念和性质，下面我们一起回顾一下指数函数的概念、图象和性质．如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题，这就是本堂课要讲的主要内容．教师板书课题．思路2．我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在理论上，我们能否严格的证明(特别是指数函数的单调性)，以便于我们在解题时应用这些性质，本堂课我们要解决这个问题．教师板书课题：指数函数及其性质的应用(1)．应用示例例1 比较下列各题中的两个值的大小：(1)1.72.5与1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2；(3)1.70.3与0.93.1.活动：学生自己思考或讨论，回忆比较数的大小的方法，结合题目实际，选择合理的方法，再写出答案(最好用实物投影仪展示写得正确的答案)．比较数的大小，一是作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大；图1二是作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小；三是计算出每个数的值，再比较大小；四是利用图象；五是利用函数的单调性．教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正并评价．解法一：用数形结合的方法，如第(1)小题，用图形计算器或计算机画出y＝1.7x的图象，如图1.在图象上找出横坐标分别为2.5,3的点，显然，图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以1.72.5＜1.73，同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1.解法二：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77,1.73≈4.91，所以1.72.5＜1.73.同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1.解法三：利用函数单调性，(1)1.72.5与1.73的底数是1.7，它们可以看成函数y＝1.7x，当x＝2.5和3时的函数值；因为1.7＞1，所以函数y＝1.7x在R上是增函数，而2.5＜3，所以1.72.5＜1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2的底数是0.8，它们可以看成函数y＝0.8x，当x＝－0.1和－0.2时的函数值；因为0＜0.8＜1，所以函数y＝0.8x在R上是减函数，而－0.1＞－0.2，所以0.8－0.1＜0.8－0.2；(3)因为1.70.3＞1.70＝1,0.93.1＜0.90＝1，所以1.70.3＞0.93.1.点评：在第(3)小题中，可以用解法一、解法二解决，但解法三不适合．由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小，这里的1是中间值．思考在上面的解法中，你认为哪种方法更实用？活动：学生对上面的三种解法作比较，解题有法但无定法，我们要采取多种解法，在多种解法中选择最优解法，这要通过反复练习强化来实现．例活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤，单调性的定义证明函数的单调性，要按规定的格式书写．证法一：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则y 2－y 1＝21121(1)x x x x a a a a x -=--．因为a ＞1，x 2－x 1＞0，所以21>1x x a-，即21x x a -－1＞0. 又因为1x a ＞0，所以y 2－y 1＞0，即y 1＜y 2.所以当a ＞1时，y ＝a x，x ∈R 是增函数．同理可证，当0＜a ＜1时，y ＝a x 是减函数． 证法二：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则y 2与y 1都大于0，则y 2y 1＝2211x x x x a a a -=. 因为a ＞1，x 2－x 1＞0，所以21>1x x a-＞1，即y 2y 1＞1，y 1＜y 2. 所以当a ＞1时，y ＝a x ，x ∈R 是增函数．同理可证，当0＜a ＜1时，y ＝a x是减函数．例1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)?活动：师生共同讨论，将实际问题转化为数学表达式，建立目标函数，常采用特殊到一般的方式，教师引导学生注意题目中自变量的取值范围，可以先考虑一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：1999年底 人口约为13亿；经过1年 人口约为13(1＋1%)亿；经过2年 人口约为13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2亿；经过3年 人口约为13(1＋1%)2(1＋1%)＝13(1＋1%)3亿；……经过x 年 人口约为13(1＋1%)x亿；经过20年 人口约为13(1＋1%)20亿．解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x 年后，我国人口数为y 亿，则 y ＝13(1＋1%)x ，当x ＝20时，y ＝13(1＋1%)20≈16(亿)．答：经过20年后，我国人口数最多为16亿．点评：类似此题，设原值为N ，平均增长率为p ，则对于经过时间x 后总量y ＝N (1＋p )x (x ∈N )，像y ＝N (1＋p )x 等形如y ＝ka x (k ∈R ，且k ≠0；a ＞0，且a ≠1)的函数称为指数型函数．知能训练1．函数y ＝a |x |(a ＞1)的图象是( )图2解析：当x ≥0时，y ＝a |x |＝a x 的图象过(0,1)点，在第一象限，图象下凸，是增函数． 答案：B2．下列关系中正确的是( )A ．221333111252⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．122333111225⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．212333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．221333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案：D3．已知函数f (x )的定义域是(0,1)，那么f (2x)的定义域是( )A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞) 解析：由题意得0＜2x ＜1，即0＜2x ＜20，所以x ＜0，即x ∈(－∞，0)． 答案：C4．若集合A ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则( ) A ．AB B ．AB C ．A ＝B D ．A ∩B ＝∅解析：A ＝{y |y ＞0}，B ＝{y |y ≥0}，所以A B .答案：A5．对于函数f (x )定义域中的任意的x 1、x 2(x 1≠x 2)，有如下的结论： ①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)；②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2.当f (x )＝10x时，上述结论中正确的是__________． 解析：因为f (x )＝10x，且x 1≠x 2，所以f (x 1＋x 2)＝1212101010x x xx +=⋅＝f (x 1)·f (x 2)，所以①正确；因为f (x 1·x 2)＝1212101010x x xx ⋅≠+＝f (x 1)＋f (x 2)，②不正确；因为f (x )＝10x是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)与x 1－x 2同号， 所以f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，所以③正确．因为函数f (x )＝10x图象如图3所示是上凹下凸的，可解得④正确．图3答案：①③④另解：④.∵10x 1＞0,10x 2＞0，x 1≠x 2，∴1210102xx +>1210102xx +>即121221010102x x x x ++>.∴f (x 1)＋f (x 2)2＞f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.拓展提升在同一坐标系中作出下列函数的图象，讨论它们之间的联系． (1)①y ＝3x，②y ＝3x ＋1，③y ＝3x －1；(2)①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，②y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，③y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1.活动：学生动手画函数图象，教师点拨，学生没有思路，教师可以提示．学生回忆函数作图的方法与步骤，按规定作出图象，特别是关键点．解：如图4及图5.观察图4可以看出，y ＝3x，y ＝3x ＋1，y ＝3x －1的图象间有如下关系：y ＝3x ＋1的图象由y ＝3x 的图象左移1个单位得到； y ＝3x －1的图象由y ＝3x 的图象右移1个单位得到； y ＝3x －1的图象由y ＝3x ＋1的图象向右移动2个单位得到．观察图5可以看出，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象间有如下关系：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象左移1个单位得到；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象右移1个单位得到； y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象向右移动2个单位得到． 你能推广到一般的情形吗？同学们留作思考．课堂小结思考本节课我们主要学习了哪些知识，你有什么收获？把你的收获写在笔记本上.活动：教师用多媒体显示以下内容，学生互相交流学习心得，看是否与多媒体显示的内容一致．本节课，在复习旧知识的基础上学习了数形结合的思想、函数与方程的思想，加深了对问题的分析能力，形成了一定的能力与方法．作业课本习题2.1 B组1,3,4.设计感想本节课主要是复习巩固指数函数及其性质，涉及的内容较多，要首先组织学生回顾指数函数的性质，为此，必须利用函数图象，数形结合，通过数与形的相互转化，借助形的直观性解决问题，本节课要训练学生能够恰当地构造函数，根据函数的单调性比较大小，有时要分a＞1,0＜a＜1，这是分类讨论的思想，因此加大了习题和练习的量，目的是让学生在较短的时间内，掌握学习的方法，提高分析问题和解决问题的能力，要加快速度，多运用现代化的教学手段．第3课时指数函数及其性质的应用(2)作者：刘玉亭导入新课思路1．我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在上节课的探究中我们知道，函数①y＝3x，②y＝3x＋1，③y＝3x－1的图象之间的关系，由其中的一个可得到另外两个的图象，那么，对y＝a x与y＝a x＋m(a＞0，m∈R)有着怎样的关系呢？在理论上，含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢？这是我们本堂课研究的内容．教师点出课题：指数函数及其性质的应用(2)．思路2．我们在第一章中，已学习了函数的性质，特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点，我们刚刚学习的指数函数，严格地证明了指数函数的单调性，便于我们在解题时应用这些性质，在实际生活中，往往遇到的不单单是指数函数，还有其他形式的函数，有的是指数函数的复合函数，我们需要研究它的单调性和奇偶性，这是我们面临的问题，也是我们本节课要解决的问题——指数函数及其性质的应用(2)．推进新课新知探究提出问题(1)指数函数有哪些性质？(2)利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些？(3)对复合函数，如何证明函数的单调性？(4)如何判断函数的奇偶性，有哪些方法？活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容．讨论结果：(1)指数函数的图象和性质一般地，指数函数y＝a x在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：图象分布在一、二象限，与轴相交，落在x轴的上方都过点(0,1)第一象限的点的纵坐标都大于1第二象限的点的纵坐标都大于第一象限的点的纵坐标都大于0且小于1；第二象限的点①取值．即设x1，x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2.②作差变形．即求f(x2)－f(x1)，通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号．根据给定的区间和x2－x1的符号确定f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论．④判断．根据单调性定义作出结论．(3)对于复合函数y＝f(g(x))可以总结为：当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y＝f(g(x))是增函数；当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y＝f(g(x))是减函数；又简称为口诀“同增异减”．(4)判断函数的奇偶性：一是利用定义法，即首先是定义域关于原点对称，再次是考查式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性；二是作出函数图象或从已知图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．应用示例例 1 在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y＝2x的图象的关系．(1)y＝2x＋1与y＝2x＋2；(2)y＝2x－1与y＝2x－2.活动：教师适当时候点拨，学生回想作图的方法和步骤，特别是指数函数图象的作法，学生回答并到黑板上作图，教师指点学生，列出对应值表，抓住关键点，特别是(0,1)点，或用计算机作图．解：(1)列出函数数据表作出图象如图6.图6比较可知函数y＝2x＋1、y＝2x＋2与y＝2x的图象的关系为：将指数函数y＝2x的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x＋1的图象；将指数函数y＝2x的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x＋2的图象．(2)列出函数数据表作出图象如图7.图7比较可知函数y ＝2x －1、y ＝2x －2与y ＝2x的图象的关系为：将指数函数y ＝2x的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y ＝2x －1的图象；将指数函数y ＝2x的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y ＝2x －2的图象．点评：类似地，我们得到y ＝a x与y ＝ax ＋m(a ＞0，a ≠1，m ∈R )之间的关系：y ＝a x ＋m (a ＞0，m ∈R )的图象可以由y ＝a x 的图象变化而来．当m ＞0时，y ＝a x的图象向左移动m 个单位得到y ＝ax ＋m的图象； 当m ＜0时，y ＝a x 的图象向右移动|m |个单位得到y ＝a x ＋m的图象．上述规律也简称为“左加右减”．例2 已知定义域为R 的函数f (x )＝2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围． 活动：学生审题，考虑解题思路．求值一般是构建方程，求取值范围一般要转化为不等式，如果有困难，教师可以提示，(1)从条件出发，充分利用奇函数的性质，由于定义域为R ，所以f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)，(2)在(1)的基础上求出f (x )，转化为关于k 的不等式，利用恒成立问题再转化．(1)解：因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即b －1a ＋2＝0⇒b ＝1.所以f (x )＝1－2xa ＋2x ＋1；。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)章末总结课件新人教A版必修12(1)
专题二 指数函数、对数函数及幂函数的图象与性质 指数函数、对数函数、幂函数是中学数学中重要的基本初等 函数．它们的图象与性质始终是高考考查的重点．由于指数函数 y＝ax，对数函数 y＝logax(a>0，a≠1)的图象与性质都与 a 的取 值有密切的联系，幂函数 y＝xα 的图象与性质与 α 的取值有关， a，α 变化时，函数的图象与性质也随之改变；因此，在 a，α 的 值不确定时，要对它们进行分类讨论．
当 t≥1 时，点 M(1,4)在曲线 y＝(12)t－a 上，则(12)1－a＝4，得 a ＝3，这时 y＝(12)t－3，
4t0≤t≤1， 所以 f(t)＝12t－3t>1.
(2)由题意知，需 f(t)≥0.25，当 0≤t≤1 时，由 4t≥0.25，得 t≥116，所以116≤t≤1；当 t>1 时，由(12)t－3≥0.25＝(12)2，得 t≤5， 所以 1<t≤5.所以满足 f(t)≥0.25 时，116≤t≤5.由此知，服药一次 治疗疾病有效的时间为 5－116＝41156小时．
[例 4] 方程 log2(x＋2)＝ －x的实数解有( B )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
[分析] 令 y1＝log2(x＋2)，y2＝ －x，分别作出两个函数图 象，利用数形结合的方法解题．
[解析]
令 y1＝log2(x＋2)，y2＝ －x，分别画出两个函数图象，如 图所示．
函数 y1＝log2(x＋2)的图象是由函数 y＝log2x 的图象向左平 移 2 个单位长度得到．
4．对数的运算性质：logaMN ＝logaM－logaN，loga(MN)＝logaM ＋logaN，logaMn＝nlogaM(n∈R)，其中 a>0，且 a≠1，M>0，N>0.