第5讲 函数及其表示(教师版) 备战2021年新高考数学考点精讲与达标测试

第5讲函数及其表示
思维导图
知识梳理
1．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
2．函数的三种表示法
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
核心素养分析
本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系。

重点提升数学抽象、逻辑推理、数学运算素养。

题型归纳
题型1 函数的定义域
【例1-1】（2020•东城区一模）函数f(x)=√x−2
x 2+1
的定义域为（ ） A ．（﹣1，2]
B ．[2，+∞）
C ．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）
D ．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）
【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，列不等式求出解集即可． 【解答】解：函数f(x)=√x−2
x 2+1
， 令
x−2x 2+1
≥0，得x ﹣2≥0，
解得x ≥2，
所以f （x ）的定义域为[2，+∞）． 故选：B ．
【例1-2】（2020春•邯山区校级月考）函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣1，2]，则函数y ＝f （1+x ）+f （1﹣x ）的定义域为（ ） A ．[﹣1，3]
B ．[0，2]
C ．[﹣1，1]
D ．[﹣2，2]
【分析】由已知可得{−1≤1+x ≤2−1≤1−x ≤2，求解不等式组得答案．
【解答】解：∵函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣1，2]， ∴由{−1≤1+x ≤2−1≤1−x ≤2
，解得﹣1≤x ≤1．
∴函数y ＝f （1+x ）+f （1﹣x ）的定义域为[﹣1，1]．
故选：C ．
【例1-3】（2019秋•武邑县校级期中）若函数f(x)=√mx −mx+2
R ，则实数m 取值范围
是 ．
【分析】根据题意知不等式mx 2﹣mx +2＞0恒成立，讨论m ＝0和m ≠0时，分别求出满足条件的m 取值范围即可．
【解答】解：函数f(x)=
x
√mx −mx+2
的定义域为R ，
则mx 2﹣mx +2＞0恒成立，
当m ＝0时，不等式为2＞0，满足题意； 当m ≠0时，应满足{
m ＞0
△=m 2−8m ＜0
，解得0＜m ＜8；
综上，实数m 的取值范围是[0，8）． 故答案为：[0，8）．
【跟踪训练1-1】（2020•北京）函数f （x ）=
1
x+1
+lnx 的定义域是 ． 【分析】根据函数成立的条件建立不等式组，解不等式即可． 【解答】解：要使函数有意义，则{x +1≠0
x ＞0，
得{x ≠−1x ＞0， 即x ＞0且x ≠﹣1， 即函数的定义域为{x |x ＞0}， 故答案为：{x |x ＞0}．
【跟踪训练1-2】 （2019秋•椒江区校级月考）已知f(x)=x+1
√−mx +6mx+m+10
的定义域为R ，则实数m
的取值范围是 ．
【分析】根据f （x ）的定义域为R 即可得出，不等式﹣mx 2+6mx +m +10＞0的解集为R ，容易看出m ＝0时满足题意，m ≠0时，得出m 需满足{−m ＞0
△=(6m)2
+4m(m +10)＜0，解出m 的范围即可．
【解答】解：∵f （x ）的定义域为R ， ∴﹣mx 2+6mx +m +10＞0的解集为R ， ①m ＝0时，10＞0恒成立；
②m ≠0时，{
−m ＞0
△=(6m)2
+4m(m +10)＜0
，解得﹣1＜m ＜0；
∴实数m 的取值范围是{m |﹣1＜m ≤0}． 故答案为：{m |﹣1＜m ≤0}． 【名师指导】 1.常见函数的定义域
2.求抽象函数定义域的方法
题型2 求函数的解析式
【例2-1】（2020春•郑州期中）已知函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且f(x)=2f(1
x )⋅√x −1，则f （x ）＝（ ） A ．
13
√x +2
3(x ＞0)
B ．
23
√x +1
3(x ＞0)
C ．√x +1(x ＞0)
D ．√x −1(x ＞0)
【分析】在已知函数解析式中，以1
x
替换x ，得到f(1
x )=2f(x)⋅√1
x −1，与已知等式联立即可求得f （x ）的解析式．
【解答】解：由f(x)=2f(1
x )⋅√x −1，①
以1
x
替换x ，得f(1x )=2f(x)⋅√1x
−1，②
把②代入①，可得f(x)=2√x[2f(x)⋅√1
x
−1]−1， 即3f(x)=2√x +1． ∴f （x ）=23√x +1
3（x ＞0）．
故选：B ．
【跟踪训练2-1】（2020春•莲湖区校级期中）已知y ＝f （x ）是一次函数，且有f [f （x ）]＝16x ﹣15，则f （x ）的解析式为 ．
【分析】由题意设f （x ）＝ax +b ，代入f （f （x ））＝16x ﹣15，化简后列出方程组，解出a ，b 的值即可． 【解答】解：由题意设f （x ）＝ax +b ，
∴f （f （x ））＝a （ax +b ）+b ＝a 2x +ab +b ＝16x ﹣15，
则{a 2=16ab +b =−15
，解得{a =−4b =5或{a =4
b =−3，
∴f （x ）＝4x ﹣3或f （x ）＝﹣4x +5， 故答案为：f （x ）＝4x ﹣3或f （x ）＝﹣4x +5． 【名师指导】
求函数解析式的方法
(1)待定系数法
先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．
(2)换元法
对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．
(3)配凑法
由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式． (4)解方程组法
已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．
题型3 分段函数
【例3-1】（2020•汉中二模）设f （x ）={x −2，x ≥10
f[f(x +6)]，x ＜10
，则f （5）的值为（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
【分析】欲求f （5）的值，根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x ≥10内的函数值即可求出其值．
【解答】解析：∵f （x ）={x −2(x ≥10)
f[f(x +6)](x ＜10)，
∴f （5）＝f [f （11）] ＝f （9）＝f [f （15）] ＝f （13）＝11． 故选：B ．
【例3-2】（2019秋•连云港期末）已知函数f(x)={
lgx(x ＞0)
2x (x ≤0)
，若f(m)=12，则m ＝ ． 【分析】由于函数f （x ）为分段函数，故方程f(m)=1
2可转化为不等式组，分别解得方程的解即可 【解答】解：f(m)=1
2⇔{m ＞0lgm =12或{m ≤02m =12 解得m =√10或m ＝﹣1 故答案为√10或﹣1
【跟踪训练3-1】（2020•宝鸡二模）若f （x ）={sin πx
6(x ≤0)1−2x(x ＞0)，则f [f （3）]＝ ．
【分析】先求出f （3）来，再求f [f （3）]，一定要注意定义域选择好解析式． 【解答】解：f （3）＝1﹣2×3＝﹣5 f [f （3）]＝f （﹣5）＝sin （−5π6
）=−1
2
故答案为−12
．
【跟踪训练3-2】（2020春•和平区期末）设函数f （x ）={x 2+2(x ≤2)
2x(x ＞2)，若f （x 0）＝8，则x 0＝ ．
【分析】按照x 0≤2与x 0＞2两种情况，分别得到关于x 0的方程，解之并结合大前提可得到方程的解，最后综合即可． 【解答】解：由题意，得
①当x0≤2时，有x02+2＝8，解之得x0＝±√6，
而√6＞2不符合，所以x0=−√6；
②当x0＞2时，有2x0＝8，解之得x0＝4．
综上所述，得x0＝4或−√6．
故答案为：4或−√6．
【名师指导】
1.求分段函数的函数值的步骤
(1)先确定要求值的自变量属于哪一个区间．
(2)然后代入相应的函数解析式求值，直到求出具体值为止．
2.求参数或自变量的值(范围)的解题思路
(1)解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．
(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．。