2014届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件：第6讲_函数的性质(二)——奇偶性、周期性、对称性

一
函数奇偶性的判定
【例 1】判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝(x＋1) 1－x ； 1 ＋x
(2)f(x)＝ x2－1＋ 1－x2； 1－x2 (3)f(x)＝ ； |x＋2|－2
1 －x 【解析】(1)由 ≥0，得－1<x≤1， 1 ＋x 1－x 所以函数 f(x)＝(x＋1)· 的定义 1＋x 域是(－1,1]，不关于原点对称，所以函数 f(x)是非奇非偶函数．
(2)因为 x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. 设 x∈[－2,0]，则－x∈[0,2]，又 f(x)是奇函数， 所以 f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)－(－x)2]＝2x＋x2. 当 x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]， 所以 f(x)＝f(x－4)＝2(x－4)＋(x－4)2＝2x－8＋x2 －8x＋16＝x2－6x＋8. 即当 x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
(2)
所以函数 f(x)的定义域是{－1,1}，此时 f(x)＝0， 所以 f(x)＝ 1－x2＋ x2－1既是奇函数又是偶函数．
(3)
，解得－1≤x<0 或 0<x≤1，它
关于原点对称，且此时|x＋2|－2＝x＋2－2＝x， 1－x2 从而 f(x)＝ x ， 1－－x2 1－x2 从而 f(－x)＝ ＝－ x ＝－f(x)， －x 1－x2 所以 f(x)＝ 是奇函数． |x＋2|－2
(2)(3)(4) .
(2)f(x)＝x3－2x； (4)y＝sinx＋tanx.
【解析】 利用奇函数定义判断，易知(2)(3)(4)是奇函数．
2.若函数 f(x)在(4，＋∞)上是减函数，且对任意 x∈R， 有 f(4＋x)＝f(4－x)，则( A．f(2)>f(3) C．f(3)>f(5) ) B．f(2)>f(5) D．f(3)>f(6)3】设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且其图
象关于直线 x＝1 对称，当 x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当 x∈[2,4]时，求 f(x)的解析式； (3)计算 f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．
【解析】(1)因为 y＝f(x)的图象关于 x＝1 对称，且 f(x) 为奇函数， 所以 f(2－x)＝f(x)． 因为 f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)， f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数．
【点评】判断函数的周期性只需证明 f(x＋T)＝f(x)(T≠0) 便可证明函数是周期函数，且周期为 T，函数的周期性常与函 数其他性质综合．
素材3
设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且满足：①f(x)＝f(2 －x)；②当 0≤x≤1 时，f(x)＝x2. (1)判断函数 f(x)是否是周期函数； (2)求 f(5.5)的值．
【解析】由已知，f(－x)＝f(x)，所以 ax2－bx＝ax2＋bx， 即 bx＝0 对定义域内一切 x 均成立，故 b＝0.
1 4.已知函数 f(x)＝a－ x ， 若 f(x)是奇函数， 则 a＝ 2 ＋1
1 2
.
1 【解析】因为 f(x)＝a－ x 是奇函数， 2 ＋1 所以 f(－x)＋f(x)＝0， 1 1 2x 1 所以 a－ －x ＋a－ x ＝2a－( x ＋ x ) 2 ＋1 2 ＋1 2 ＋1 2 ＋1 1 ＝2a－1＝0，故 a＝2.
(3)由 x∈[0,2]时， f(x)＝2x－x2， 可得 f(0)＝0， f(1) ＝1，f(2)＝0， 又 x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8，可得 f(3)＝－1， 所以 f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，而 f(x＋4)＝f(x)， 所以 f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝[f(0)＋f(1)＋ f(2)＋f(3)]×503＝0.
【分析】 (1)用赋值法； (2)依题设构造 f(－x)与 f(x)的关系； (3)存在型问题，可由存在入手推导相关结论．
【解析】 (1)证明：令 x＝y＝0，则 2f(0)＝2f2(0)． 又 f(0)≠0，所以 f(0)＝1. (2)令 x＝0，则 f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)， 所以 f(y)＝f(－y)，即 f(x)＝f(－x)， 又 x∈R，所以 f(x)为偶函数．
【解析】
⇒f(x)＝f(x＋2)⇒f(x)是周期为 2 的周期函数． (2)f(5.5)＝f(2×3－0.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)＝0.25.
四
函数性质的综合应用
【例 4】 定义在实数集 R 上的函数 f(x)， 对任意 x、
y∈R，有 f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)· f(y)且 f(0)≠0. (1)求证：f(0)＝1； (2)判断 y＝f(x)的奇偶性； C (3)若存在正常数 C，使 f( 2 )＝0. ①求证：对任意 x∈R，有 f(x＋C)＝－f(x)成立； ②试问函数 f(x)是不是周期函数？如果是，找出 它的一个周期；如果不是，请说明理由．
C C (3)①证明：用 x＋ 2 ， 2 (C>0)替换 x，y， C C C C C C 则 f(x＋ 2 ＋ 2 )＋f(x＋ 2 － 2 )＝2f(x＋ 2 )· f ( 2 )． C 又 f( 2 )＝0，所以 f(x＋C)＋f(x)＝0， 即 f(x＋C)＝－f(x)； ② 由 ① 的 结 论 知 f(x ＋ 2C) ＝ － f(x ＋ C) ＝ f(x)(C>0)， 所以 f(x)是周期函数，2C 就是它的一个周期．
【解析】 由已知， y＝f(x)的图象的对称轴为 x＝4， 又 y＝f(x)在(4，＋∞)上递减，所以 f(3)＝f(5)>f(6)， 故选 D.
3.已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶 函数，那么 a＋b 的值是( 1 A．－3 1 C. 2 ) 1 B. 3 1 D．－2
【点评】判断函数的奇偶性，首先必须检验函数的定义域 是否关于原点对称，然后检验对定义域内任意的 x，是否 有 f(－x)＝f(x)或 f(－x)＝－f(x)成立，必要时，应对函数作 一些变形化简，而对于较复杂的函数，可以变式计算 f(－ x)± f(x)的值．若 f(－x)＋f(x)＝0，则 f(x)是奇函数；若 f(－ x)－f(x)＝0，则 f(x)是偶函数．
二
函数奇偶性的应用
【例 2】 若 f(x)＝x5＋ax3＋bx＋3 在(0， ＋∞)上的
最大值是 8，求 f(x)在(－∞，0)上的最小值．
【分析】 注意到 g(x)＝x5＋ax3＋bx 是奇函数， 则 g(－x)＋g(x)＝0.
【解析】当 x>0 时，f(x)≤8，则当 x<0 时，－x>0， f(－x)≤8，设 x∈(－∞，0)，则 f(x)＝x5＋ax3＋bx＋3 ＝－[(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＋3]＋6 ＝－f(－x)＋6≥－8＋6＝－2. 所以 f(x)在(－∞，0)上的最小值是－2.
【要点指南】①对于函数定义域内任意一个 x；②f(－ x)＝－f(x)；③f(－x)＝f(x)；④原点；⑤中心；⑥0；⑦ y 轴；⑧轴；⑨f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；⑩必要不充分；⑪ 奇函数；⑫偶函数；⑬偶函数；⑭偶函数；⑮x＝a； a＋b ⑯x＝ 2 ；⑰f(x＋T)＝f(x)；⑱2a
1.下列函数中，所有奇函数的序号是 (1)f(x)＝2x4＋3x2; 1－x (3)f(x)＝lg ； 1＋x
【点评】 函数的奇偶性是函数重要性质之一， 奇偶性常与 函数的单调性、最值以及周期性结合在一起，进行综合应用．
素材2
(1)已知 f(x)与 g(x)都是定义在 R 上的奇函数，若 F(x)＝af(x)＋bg(x)＋3， 且 F(－2)＝5， 则 F(2)＝ 1 ； (2)已知函数 f(x)＝x3＋sinx 的定义域为(－1,1)， 则满足不等式 f(a2－1)＋f(1－2a)<0 的 a 的取值范围 是 (0,1) .
2．奇函数的图象是关于④ _______ 成⑤ _______ 对称图形．若奇函数的定义域含有数0，则必有 f 0 ＝⑥ ______ ；偶函数的图象是关于⑦ _____ 成⑧ _______ 对称图形，对于定义域的任意x的值， 则必有⑨ __________________.
3．定义域在数轴上关于原点对称是函数f x 为奇 函数或偶函数的⑩ ____________ 条件；在定义域 的公共部分内，当f x ，g x 均为奇函数时，有 f x g x 是 11 _______ ，f x g x 是 12______ ； 当f x ，g x 均为偶函数时，有f x g x 是 13___ ， f x g x 是 14________.
素材1
x＋a 已知 f(x)＝ 2 (－1≤x≤1)是奇函数，求 a＋b 的值． x ＋bx＋1
x＋a 【解析】 因为 f(x)＝ 2 (－1≤x≤1)是奇函数， 所 x ＋bx＋1 以 f(0)＝a＝0， x 从而 f(x)＝ 2 (－1≤x≤1)． x ＋bx＋1 而上式的分子是奇函数，要使函数 f(x)是奇函数，其分 母 g(x)＝x2＋bx＋1 必为偶函数， 由 g(－x)＝x2－bx＋1＝g(x) ＝x2＋bx＋1，得 b＝0. 故 a＋b＝0.
理解函数奇偶性，周期性与对称性的概念，
掌握函数奇偶性的判定方法及图象特征，掌握 周期性的判断方法，能综合应用函数的性质解 决相关问题．
1．一般的，如果① _______________________ ，
1 都有② _______ ，那么函数f x 就叫做奇函数； 2 都有③ _______ ，那么函数f x 就叫做偶函数．
【解析】(1)因为 f(x)与 g(x)都是奇函数， 所以 f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝－g(x)， 所以 F(x)＋F(－x)＝af(x)＋bg(x)＋3＋a[－f(x)]＋ b[－g(x)]＋3＝6， 所以 F(x)＝6－F(－x)， 所以 F(2)＝6－F(－2)＝6－5＝1.