北京市海淀区2017-2018高三文科数学期末试卷-含答案

北京市海淀区2017-2018高三文科数学期末试卷第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知i 是虚数单位，若()1+i a i i +=，则实数a 的值为 A.1B.0C.1- D. 2-（2）已知,a b R ∈，若a b ，则A. 2a bB. 2ab b C. 1122a b D.33a b（3）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为 A.4 B.5 C.6 D.7（4）下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5各同学在一次 数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题5分，共8道题）：已知两组数据的平均数相等，则,x y 的值分别为 A.0,0B.0,5C.5,0D.5,5（5）已知直线0x y m -+=与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，且AOB ∆为正三角形，则实数m 的值为或（6）设，则“1a =”是“直线10ax y +-=与直线++10x ay =平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,（7）在ABC ∆中，=1,AB AC D =是AC 的中点，则BD CD ⋅的取值范围是 A. 31(,)44- B. 1(,)4-∞ C. 3(,)4-+∞ D. 13(,)44（8）已知正方体的1111ABCD A B C D -棱长为2，点,M N 分别是棱11,BC C D 的中点，点P 在平面1111A B C D 内，点Q 在线段1A N上，若PM PQ 长度的最小值为115-D.5第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知双曲线221ax y -=的一条渐近线方程为y x =，则实数k 的值为.（10）若变量,x y 满足约束条件010220y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最大值是.（11）ABC ∆中，1,a b =且ABC ∆的面积为2，则c =.（12）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中最大的值是.（13）函数2,0()(2),0x x f x x x x ⎧≤=⎨-⎩ 的最大值为；若函数()f x 的图像与直线(1)y k x =-有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围是 .（14）某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、则甲同学答错的题目的题号是，其正确的选项是.三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分） 已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且2375,a S a ==. （Ⅰ）数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2n a n b =，求数列{}+n n a b 前n 项和.（16）（本小题13分） 已知函数()cos 2tan()4f x x x π=⋅-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的值域.（17）（本小题14分）据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。

为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小．．．．，速度越快．．．．，单位是MIPS ）设,i i a b 分别表示第次测试中品牌A 和品牌B 的测试结果，记i i i X a b =-(1,2,,12)i = （Ⅰ）求数据12312,,,,X X X X 的众数；（Ⅱ）从满足4i X =的测试中随机抽取两次，求品牌A 的测试结果恰好有一次大于品牌B 的测试结果的概率； （Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.（18）（本小题13分） 如图，三棱柱111ABC A B C -侧面11ABB A ⊥底面ABC ，,AC AB ⊥12,AC AB AA ===0160AA B ∠=，,E F 分别为棱11,A B BC 的中点.（Ⅰ）求证：AC AE ⊥；（Ⅱ）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（Ⅲ）在直线1AA 上是否存在一点P ，使得//CP 平面AEF ？若存在，求出AP 的长；若不存在，说明理由.（19）（本小题14分）已知椭圆22:+13x y C m m=，直线:20l x y +-=与椭圆C 相交于两点,P Q ，与x 轴交于点B ，点,P Q 与点B 不重合.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）当2OPQ S ∆=时，求椭圆C 的方程；（Ⅲ）过原点O 作直线l 的垂线，垂足为N .若PN BQ λ=，求λ的值.（20）（本小题13分）已知函数2()(1)x f x x e ax =-+.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：“=0a ”是“函数()y f x =有且只有一个零点” 的充分必要条件.参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.(有两空的小题第一空3分)9.110.211.2或[0,)+∞14.5 A 三、解答题: 本大题共6小题，共80分. 15（本题共13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d⎩⎨⎧+=+=+da d a d a 6335111，解得31=a ，2=d ------------------------3分 由d n a a n )(11-+=，则12+=n a n ------------------------5分 因此，通项公式为12+=n a n .（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：12+=n a n ，则122+=n n b422121121==++++n n n n b b )(------------------------7分 因为3128b ==，------------------------8分所以{}n b 是首项为8，公比为4=q 的等比数列.------------------------9分 记{}n n b a +的前n 项和为n T ，则)()()(n n n b a b a b a T ++⋅⋅⋅++++=2211)()(n n b b b a a a +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=2121------------------------10分qq b a a n n n --++=11211)()(------------------------12分314822)(-++=n n n ---------------------13分16（本题共13分） 解：（Ⅰ）24π+π≠π-k x ，Z k ∈------------------------2分解得：43π+π≠k x ，Z k ∈------------------------3分 所以，函数的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≠Z k k x x ,|43------------------------4分 （Ⅱ）)tan(cos )(42π-⋅=x x x f xx x x tan tan )sin (cos +-⋅-=1122------------------------6分xx xx x x x x sin cos cos sin )sin )(cos sin (cos +-⋅+-=------------------------8分2)sin (cos x x --=12-=x x cos sin12-=x sin ------------------------9分因为3,4x k k Z ππ≠+∈，所以32,2x k k Z ππ≠+∈，所以sin 21x ≠-，------------------------11分所以，函数()f x 的值域为],(02-.------------------------13分 17.（本题共13分）解：（Ⅰ）所以i X 等于1有2次，i X =2有3次，i X =4有4次，i X =6有2次，i X =7有1次， 则数据12312,,...X X X X 的众数为4------------------------5分 （Ⅱ）设事件D =“品牌A 的测试结果恰有一次大于品牌B 的测试结果”.满足4i X =的测试共有4次，其中品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果有2次即测试3和测试7，不妨用M ，N 表示.品牌A 的测试结果小于品牌B 的测试结果有2次即测试6和测试11，不妨用P ，Q 表示.从中随机抽取两次，共有MN ,MP ,MQ ,NP ,NQ ,PQ 六种情况，其中事件D 发生，指的是MP ,MQ ,NP ,NQ 四种情况.故42()63P D ==. ------------------------10分 （Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1分，结合已有数据，能够运用以下两个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.标准1: 分别比较两种不同测试的结果，根据数据进行阐述 标准2：会用测试结果的平均数进行阐述 ------------------------13分可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下： 结论一：，品牌B 处理器对含有文字与表格的文件的打开速度快一些，品牌A 处理器对含有文字与图片的文件的打开速度快一些。

理由如下：从前6次测试（打开含有文字与表格的文件）来看，对于含有文字与表格的相同文件，品牌A 的测试有两次打开速度比品牌B 快(数值小），品牌B 有四次比品牌A 快，从后6次测试（打开含有文字与图片的文件）来看，对于含有文字与图片的相同文件，品牌A 有四次打开速度比品牌B 快（数值小）.结论二：从测试结果看，这两种国产品牌处理器的文件的打开速度结论：品牌A 打开文件速度快一些 理由如下：品牌A 处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为9212，品牌B 处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为9712，所以品牌A 打开文件速度快一些.（且品牌A 方差较小） 其他答案情况，比照以上情况酌情给分.18.（本题共14分）（Ⅰ）证明：三棱柱111C B A ABC -中， 侧面⊥11A ABB 底面ABC ，AB AC ⊥，又因为侧面11ABB A I 底面AB ABC =，⊂AC 底面ABC ， 所以⊥AC 平面11A ABB ，-----------------------3分 又因为⊂AE 平面11A ABB ，所以AE AC ⊥；------------------------4分（Ⅱ）解：连接1AB ,因为三棱柱111C B A ABC -中，所以AB B A =11.因为12AB AA ==，所以1112A B AA ==.又因为06011=∠B AA，且AE =所以△11B AA 是边长为2的正三角形.因为E 是棱11B A 的中点，所以11B A AE ⊥， 又因为AC AE ⊥，AC C A //11，所以11C A AE ⊥. 因为11111AC A B A =I ，⊂1111,B A C A 底面111C B A ， 所以⊥AE 底面111C B A .------------------------6分 所以三棱柱111C B A ABC -的体积为1111111112222A B C V S AE A B AC AE ∆=⋅=∙∙=⨯⨯ …………………………8分 （Ⅲ）在直线1AA 上存在点P ，使得//CP 平面AEF .------------------------9分 证明如下：连接BE 并延长，与1AA 的延长线相交，设交点为P .连接CP . 因为11//BB AA ，所以11A PE B BE，故1111EA A P EPEB BB EB==----------------------10分 由于E 为棱11A B 的中点，所以11EA EB =，故有PE EB =----------------------11分 又F 为棱BC 的中点，故EF 为BCP ∆的中位线，所以//EF CP .------------------------12分 又EF ⊂平面AEF ，CP ⊄平面AEF ，所以//CP 平面AEF . ------------------------13分 故在直线1AA 上存在点P ，使得//CP 平面AEF .此时112A P BB ==，124AP AA ==. -------------------------14分19.（本题共14分）解：（Ⅰ）m a 32=，m b =2，m c 22=，------------------------2分32222==a c e ，故36=e .------------------------4分（Ⅱ）设()11,y x P ，()22,y x Q⎩⎨⎧=-+=+023322y x m y x ，得到03122=-+m x x 12-4， 依题意，由2(12)44(123)0m ∆=--⨯⨯->得1m >.且有121231234x x m x x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，------------------------6分12|PQ x x =-==------------------------7分原点到直线l 的距离2=d ------------------------8分所以11||222OPQ S PQ d ∆=⋅==------------------------9分解得73m =>1， 故椭圆方程为223177x y +=.------------------------10分 （Ⅲ）直线l 的垂线为:ONy x =，------------------------11分由20y xx y =⎧⎨+-=⎩解得交点)1,1(N ，------------------------12分因为PN BQ λ=，又123x x +=所以BQPN =λ=122212221=--=--x x x x ，故λ的值为1.------------------------14分20.（本题共13分）解：（Ⅰ）依题意，()2,xf x xe ax x R '=+∈-----------------------------1分所以切线的斜率()00k f '==又因为()01f =-，-----------------------------2分 所以切线方程为.-----------------------------3分（Ⅱ）先证不必要性.当0a =时，()()1xf x x e =-，令()0f x =，解得1x =.-----------------------------4分此时，()f x 有且只有一个零点，故“()f x 有且只有一个零点则0a <”不成立. -----------------------------5分 再证充分性. 方法一：当0a <时，()()2xf x x e a '=+.令()0f x '=，解得()120,ln 2x x a ==-.-----------------------------6分（i ）当()ln 20a -=，即12a =-时，()()10xf x x e '=-≥， 所以()f x 在R 上单调增.又()()2010,220f f e =-<=-> ，所以()f x 有且只有一个零点.-----------------------------7分 （ii ）当()ln 20a -<，即102a -<<时， ()f x ，()f x '随x 的变化情况如下:-----------------------------8分当0x ≤时，()1e 0xx -<，20ax ≤，所以()0f x <-----------------------------9分又()222e 4e 20f a =+>->所以()f x 有且只有一个零点.-----------------------------10分 （说明：如果学生直接写出x →+∞时()0f x >，要扣1分） （iii ）当()ln 20a ->，即12a <-时，()f x ，()f x '随x 的变化情况如下:因为()010f =-<，所以(,ln(2)]x a ∈-∞-时，()0f x <-----------------------------12分 令01x a =-，则01x >. 下面证明当1x >时，2e xx >.设2()(1)ex x g x x =>，则(2)'()e xx x g x -=.当(1,2)x ∈时，'()0,()g x g x >在1,2（）上单调递增； 当(2,+)x ∈∞时，'()0,()g x g x <在2,+∞（）上单调递减 所以当=2x 时，()g x 取得极大值24(2)1eg =<. 所以当1x >时，()1g x <, 即2e x x <. 所以0022000()e (e )0x x f x a ax a x =-+=->. 由零点存在定理，()f x 有且只有一个零点.综上，0a <是函数()f x 有且只有一个零点的充分不必要条件.-----------------------------13分 （说明：如果学生写出下面过程，()010f =-<，x →+∞时()0f x >，()f x ∴有且只有一个零点.要扣1分） 方法二：当0a <时，注意到0x ≤时，()10xx e -<，20ax ≤，()0f x ∴<，因此只需要考察()0,+∞上的函数零点.-----------------------------7分 （i ）当()ln 20a -≤，即102a -≤<时，()0,x ∈+∞时，()0f x '>， ()f x ∴单调递增.-----------------------------8分又()2210,(2)e 4e 20f a f a =<=+≥->()f x ∴有且只有一个零点.-----------------------------10分（ii ）当()ln 20a ->，即12a <-时，以下同方法一.。