余子式与代数余子式
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《线性代数》知识点归纳整理-大学线代基础知识
《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编01、余子式与代数余子式- 2 -02、主对角线- 2 -03、转置行列式- 2 -04、行列式的性质- 3 -05、计算行列式- 3 -06、矩阵中未写出的元素- 4 -07、几类特殊的方阵- 4 -08、矩阵的运算规则- 4 -09、矩阵多项式- 6 -10、对称矩阵- 6 -11、矩阵的分块- 6 -12、矩阵的初等变换- 6 -13、矩阵等价- 7 -14、初等矩阵- 7 -15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵- 7 -16、逆矩阵- 7 -17、充分性与必要性的证明题- 8 -18、伴随矩阵- 9 -19、矩阵的标准形：- 9 -20、矩阵的秩：- 9 -21、矩阵的秩的一些定理、推论- 10 -22、线性方程组概念- 10 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）- 10 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念- 12 -25、线性方程组的向量形式- 12 -26、线性相关与线性无关的概念- 12 -27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关- 12 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题- 12 -29、线性表示与线性组合的概念- 12 -30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题- 12 -31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理- 13 -32、最大线性无关组与向量组的秩- 13 -33、线性方程组解的结构- 13 -01、余子式与代数余子式（1）设三阶行列式D ＝333231232221131211a a a a a a a a a ，则①元素11a ，12a ，13a 的余子式分别为：M 11＝33322322a a a a ，M 12＝33312321a a a a ，M 13＝32312221a a a a对M 11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式33322322a a a a ，这个行列式即元素11a 的余子式M 11。
余子式与代数余子式的定义
余子式与代数余子式的定义余子式与代数余子式的定义一、什么是余子式与代数余子式余子式和代数余子式是矩阵理论中常见的概念，它们与行列式密切相关。
我们来明确一下余子式和代数余子式的定义。
余子式：对于一个n阶矩阵A，若去掉其中的第i行和第j列后得到的（n-1）阶矩阵记作A(i, j)，则A(i, j)的行列式称为矩阵A的余子式，记作M(i, j)。
代数余子式：对于一个n阶矩阵A，矩阵A的任一元素a(i, j)与其对应的余子式M(i, j)的乘积记作A(i, j)，即A(i, j) = a(i, j)·M(i, j)。
其中，正负号由元素的位置(i, j)决定，根据“剪切法则”确定。
总结起来，余子式就是一个矩阵中去掉某行某列后得到的子矩阵的行列式，而代数余子式则是某个元素与其对应的余子式的乘积。
二、深入探讨余子式与代数余子式的性质与作用接下来，我们将从深度和广度两个维度分别探讨余子式和代数余子式的性质与作用。
1. 深度探讨：余子式的性质和作用余子式在矩阵理论和线性代数中有着重要的地位和作用，具体表现在以下几个方面：1.1. 行列式的计算：余子式是行列式计算中的关键环节。
通过递归地计算余子式，可以得到行列式的值。
具体而言，对于一个n阶矩阵A，我们可以选择任意一行或一列，计算该行（列）中每个元素与其对应的余子式的乘积，并按照正负号相加得到行列式的值。
1.2. 矩阵的逆与伴随矩阵：通过余子式的概念，可以定义矩阵的逆和伴随矩阵。
对于一个n阶可逆矩阵A，其逆矩阵A^(-1)的第i行第j列的元素可以表示为A^(-1)(i, j) = M(j, i) / |A|，其中M(j, i)为A的余子式，|A|为A的行列式。
1.3. 特殊矩阵的性质：余子式在研究特殊矩阵的性质时发挥了重要作用。
如果一个方阵A的所有余子式都为零，则A必定是奇异矩阵，即不可逆；又如，一个上（下）三角矩阵A的对角线上所有元素的余子式都为1，则A是一个单位上（下）三角矩阵。
代数余子式
n
D ,当 i = j , ∑ aik Ajk = Dδ ij = 0 ,当 i ≠ j; k =1
n
1 ,当 i = j， 其中 δ ij = 0 ,当 i ≠ j .
思考题
设n阶行列式
1 1 Dn = 1 ⋮ 1 2 2 0 ⋮ 0 3 0 3 ⋮ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ n 0 0 ⋮ n
a22 ⋯ a2 n ⋮ ⋮ an 2 ⋯ ann
1+1
即有 D = a11 M 11 . 又 从而
A11 = (− 1)
M 11 = M 11 ,
D = a11 A11 .
在证一般情形, 在证一般情形 此时
a11 ⋯ a1 j ⋯ a1n ⋮ D= 0 ⋮ ⋮ aij ⋯ aij ⋮ ⋮ ⋯ 0 ⋮
1 = ( x 2 − x1 )( x 3 − x1 )⋯( x n − x1 ) x2 ⋮
n x2 −2
1 x3 ⋮
⋯ ⋯
1 xn ⋮
n n x3 −2 ⋯ xn −2
n-1阶范德蒙德行列式 阶范德蒙德行列式
∴ Dn = ( x 2 − x1 )( x 3 − x1 )⋯( x n − x1 ) =
A12 = (− 1) M 12 = − M 12 . a11 a12 a13 M 44 = a21 a22 a23 , A44 = (− 1)4+ 4 M 44 = M 44 . a31 a32 a33
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式.
阶行列式， 引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 外都为零， 元素除 a ij外都为零，那末这行列式等于 a ij 与它的 代数余子式的乘积， 代数余子式的乘积，即 D = a ij Aij ． a11 a12 a13 a14 例如 D =
D ,当 i = j , ∑ aik Ajk = Dδ ij = 0 ,当 i ≠ j; k =1
n
1 ,当 i = j， 其中 δ ij = 0 ,当 i ≠ j .
思考题
设n阶行列式
1 1 Dn = 1 ⋮ 1 2 2 0 ⋮ 0 3 0 3 ⋮ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ n 0 0 ⋮ n
a22 ⋯ a2 n ⋮ ⋮ an 2 ⋯ ann
1+1
即有 D = a11 M 11 . 又 从而
A11 = (− 1)
M 11 = M 11 ,
D = a11 A11 .
在证一般情形, 在证一般情形 此时
a11 ⋯ a1 j ⋯ a1n ⋮ D= 0 ⋮ ⋮ aij ⋯ aij ⋮ ⋮ ⋯ 0 ⋮
1 = ( x 2 − x1 )( x 3 − x1 )⋯( x n − x1 ) x2 ⋮
n x2 −2
1 x3 ⋮
⋯ ⋯
1 xn ⋮
n n x3 −2 ⋯ xn −2
n-1阶范德蒙德行列式 阶范德蒙德行列式
∴ Dn = ( x 2 − x1 )( x 3 − x1 )⋯( x n − x1 ) =
A12 = (− 1) M 12 = − M 12 . a11 a12 a13 M 44 = a21 a22 a23 , A44 = (− 1)4+ 4 M 44 = M 44 . a31 a32 a33
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式.
阶行列式， 引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 外都为零， 元素除 a ij外都为零，那末这行列式等于 a ij 与它的 代数余子式的乘积， 代数余子式的乘积，即 D = a ij Aij ． a11 a12 a13 a14 例如 D =
一、余子式、代数余子式
练习：
a 0 0 0 a 0 1. 计算行列式 Dn 0 0 a 1 0 0
1 0 0 . a
a1 b 2. 设 D 1 c1 d1
a2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
f f , 求 A11 A21 A31 A41 . f f
答案： 1. a n a n2
2014-9-28
数学科学学院 李本星
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n11
a1n a2 n
an1,1 an1,2 0 0
an1,n1 an1,n 0 1
a11 a12 a11 a12 a11 a12
a1,n1 a1,n1 a1,n1
2014-9-28
数学科学学院 李本星
称 Aij
( ai a j ) 1 j i n
注： 范德蒙行列式 Dn 0 a1 , a2
2014-9-28
an 中，至少两个相等．
数学科学学院 李本星
例3.证明：
a11 a1k 0 0 a1k b11 akk br 1 b1r brr
a11 ak 1 akk 0 0 c11 c1k b11 b1r a k1 cr 1 crk br 1 brr
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
i 1,2, ,n
ain Ain aik Aik
k 1
n
或 D a1 j A1 j a2 j A2 j
j 1,2, ,n
anj Anj akj Akj
k 1
n
2014-9-28
数学科学学院 李本星
推论
称之为元素 a ij 的余子式,记作 M ij ．
1-2余子式与代数余子式
a nn
把 a jk 换成 a ik ( k 1,, n), 可得
a11 ai1 a i 1 A j 1 a in A jn ai1 a1 n a in , a in
第i 行 第 j行
相同
当 i j 时,
a n1
a nn
ai 1 A j1 ai 2 A j 2 ain A jn 0,
n
D ,当 i j , aik Ajk D ij 0 , 当 i j; k 1
n
1 ,当 i j， 其中 ij 0 ,当 i j .
思考题
设n阶行列式
1 2 3 n 1 2 0 0 Dn 1 0 3 0 1 0 0 n
n
1 ,当 i j， 其中 ij 0 ,当 i j .
3 5 3
例３ 计算行列式 D 0 7 解 按第一行展开，得
D 3 1 0 7 2 5 0 0 7 2
1 0 7 2
3
0 1 7 7
27.
5 1
例４ 计算行列式
3 7
1 2 0 2 5 2 3 3 1 0 5 0
(i j ).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j ).
关于代数余子式的重要性质
D ,当 i j , aki Akj D ij 0 ,当 i j; k 1
n
D ,当 i j , aik Ajk D ij 0 , 当 i j; k 1
1 0 0 n
求第一行各元素的代数余子式之和
A11 A12 A1n .
余子式与代数余子式
又 A11 1 11 M11 M11,
从而 D a11A11.
在证一般情形, 此时
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0
an1 anj ann
把D的第i行依次与第i 1行,第i 2行,第1行对调, 0 aaiijj 0
a31 a32 a33
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式.
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 aij外都为零，那末这行列式等于aij与它的 代数余子式的乘积，即 D aij A．ij
a11 a12 a13 a14 例如 D a21 a22 a23 a24
an1 anj ann
aiij 0 0
于是有 ai1, j ai1, j1 ai1,n aij Mij ,
故得
anj aaiijj
an, j1 0
ann 0
D 1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n 1 i j aijMij .
anj an, j1 ann
aij 0 0
元素aij在行列式ai1, j ai1, j1 ai1,n 中的
anj an, j1 ann
余子式仍然是aij在
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0 中的余子式 Mij .
a11
a22 a32
a23 a33
按行按列展开
求第一行各元素的代数余子式之和
A11 A12 A1n .
思考题解答
解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成
11 1 1 2 0 A11 A12 A1n 1 0 3 1 0 0
1
0
0
n!1
n j2
1 j
.
n
Def3:k阶子式的代数余子式为 (1)i1i2 L ik j1 j2L jk M 其中i1i2 L ik为k阶子式所在的行号, j1 j2 L jk为k阶 子式所在的列号
定理 (拉普拉斯定理)设n阶方阵A (aij),在det A中 任选定k行(1 k n),由这k行的所有k阶子式与之对应 的代数余子式乘积之和等与det A
4(12) 48 2
2 2 1
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 aij外都为零，那末这行列式等于aij与它的 代数余子式的乘积，即 D aij A．ij
例如
a11 a12 a13 a14
0 0 a33 0
D a21 0
a22 0
a23 a33
a24 (1)31 a11
a43 a41 a42 a44 a33A33
2、行列式按行（列）展开法则
定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元 素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain i 1,2, , n
证
a11
a12
a1n
D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
A11 A12 A1n .
思考题解答
解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成
11 1 1 2 0 A11 A12 A1n 1 0 3 1 0 0
1
0
0
n!1
n j2
1 j
.
n
Def3:k阶子式的代数余子式为 (1)i1i2 L ik j1 j2L jk M 其中i1i2 L ik为k阶子式所在的行号, j1 j2 L jk为k阶 子式所在的列号
定理 (拉普拉斯定理)设n阶方阵A (aij),在det A中 任选定k行(1 k n),由这k行的所有k阶子式与之对应 的代数余子式乘积之和等与det A
4(12) 48 2
2 2 1
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 aij外都为零，那末这行列式等于aij与它的 代数余子式的乘积，即 D aij A．ij
例如
a11 a12 a13 a14
0 0 a33 0
D a21 0
a22 0
a23 a33
a24 (1)31 a11
a43 a41 a42 a44 a33A33
2、行列式按行（列）展开法则
定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元 素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain i 1,2, , n
证
a11
a12
a1n
D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
一、余子式与代数余子式.
a11 ai 1 b1 a n1 a12 ai 2 b2 an 2 a1n ai n
证 把行列式D按第 j 行展开,
第 i行
b1 Aj1 b2 Aj 2
bn ann
bn Aj n
第 j行
10
例 证明范德蒙行列式 1 1 1 x1 x2 x3 2 2 2 x2 x3 Dn x1
1 xn
A44 (1)44 M44 M44 .
4
引理 如果n阶行列式第i 行所有元素除ai j外都为零，
那末行列式等于ai j与它的代数余子式的乘积,D=ai j Ai j． 例如
D
a11 a 21 0 a 41
a12 a 22 0 a 42
a13 a 23 a 33 a 43
a14 a 24
a12 a13 a14 a22 a23 a24 , a32 a33 a34 a42 a43 a44
1 2
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 , a41 a43 a44
A12 (1)
M12 M12
a11 a12 a13 M 44 a21 a22 a23 , a31 a32 a33
a12
0
a11
D
a1n
0 ai n
ai1 0 0 0 ai 2 0 an1 an 2
ann
6
a11 a12
ai 1 0
a1n
0
a11 a12
0
a1n
0 ...
ai 2
an1 an2
a11 a12
... 0 0
ann
a1n
an1 an2
ann
ai n ai1 Ai1 ai 2 Ai 2
证 把行列式D按第 j 行展开,
第 i行
b1 Aj1 b2 Aj 2
bn ann
bn Aj n
第 j行
10
例 证明范德蒙行列式 1 1 1 x1 x2 x3 2 2 2 x2 x3 Dn x1
1 xn
A44 (1)44 M44 M44 .
4
引理 如果n阶行列式第i 行所有元素除ai j外都为零，
那末行列式等于ai j与它的代数余子式的乘积,D=ai j Ai j． 例如
D
a11 a 21 0 a 41
a12 a 22 0 a 42
a13 a 23 a 33 a 43
a14 a 24
a12 a13 a14 a22 a23 a24 , a32 a33 a34 a42 a43 a44
1 2
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 , a41 a43 a44
A12 (1)
M12 M12
a11 a12 a13 M 44 a21 a22 a23 , a31 a32 a33
a12
0
a11
D
a1n
0 ai n
ai1 0 0 0 ai 2 0 an1 an 2
ann
6
a11 a12
ai 1 0
a1n
0
a11 a12
0
a1n
0 ...
ai 2
an1 an2
a11 a12
... 0 0
ann
a1n
an1 an2
ann
ai n ai1 Ai1 ai 2 Ai 2
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2424
第二章 行列式
5 3 1 2
1 25 2 0 2
3
1
r2
Байду номын сангаас
2r1
2
5
2 4
3 1
1 4
0 4 1 4 r3 r1
2 35
02 35
2 3 1
10 0 7 2 10 2 7 2
66 0 66
20 42 12 1080.
§6 行列式按一行（列）展开 © 2009, Henan Polytechnic University
把D的第i行依次与第i 1行,第i 2行,第1行对调, 0 aaiijj 0
得 D 1 i1 ai1,1 ai1, j ai1,n
an1 anj ann
§6 行列式按一行（列）展开 © 2009, Henan Polytechnic University
1111
第二章 行列式
例
a x1 a
a Dn
a x2
a a .
a
a a xn
解 依第n列把 Dn 拆成两个行列式之和
p11
0
D
pk1 c11
pkk c1k
q11
,
cn1 cnk qn1 qnn
故 D p11 pkk q11 qnn D1 D2 .
§6 行列式按一行（列）展开 © 2009, Henan Polytechnic University
44
第二章 行列式
例 计算
12300 21000
D 1 0 1 0 0.
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2121
关于代数余子式的重要性质
第二章 行列式
n aki Akj
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
n aik Ajk
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
其中
1 ,当 i j， ij 0 ,当 i j.
第六节 行列式按一行（列）展开
一、余子式与代数余子式 二、行列式按行(列)展开法则
1
第二章 行列式
a11 a1k
0
例
设
D
ak1 c11
akk c1k
b11
b1n
cn1 cnk bn1 bnn
a11 a1k
b11 b1n
D1 det(aij )
, D2 det(bij )
再把D的第j列依次与第j 1列,第j 2列,第1列 对调, 得
aiijj
0
0
D
1 i1
1
a j1 i1, j
ai1, j1
ai 1,n
anj an, j1 ann
§6 行列式按一行（列）展开 © 2009, Henan Polytechnic University
1212
第二章 行列式
证
a11
a12
a1n
D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
an1
an2
ann
§6 行列式按一行（列）展开 © 2009, Henan Polytechnic University
1616
第二章 行列式
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
a A i1 j1 a A i2 j2 a A in jn 0, i j .
证 把行列式 D det(aij ) 按第 j 行展开，有
a11 a1n
ai1 ain
a j1 A j1 a jn A jn
,
a j1 a jn
an1 ann
§6 行列式按一行（列）展开 © 2009, Henan Polytechnic University
例如
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31
1 33 a33 a21 a22 a24 .
a41 a42 a44
§6 行列式按一行（列）展开 © 2009, Henan Polytechnic University
99
证 当 aij 位于第一行第一列时,
a11 0 0
D
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
即有 D a11M11.
10643
02421 123
43
解 D 2 1 0
21 101
111 3 2 0 2 01 11 3 1 0 0 2 21 41 3 2
6 2 12.
§6 行列式按一行（列）展开 © 2009, Henan Polytechnic University
55
第二章 行列式
一、余子式与代数余子式
记 Aij 1i j Mij， 叫做元素 a ij 的代数余子式．
例如
a a a a 11
12
13
14
D a21 a22 a23 a24
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
a11 a12 a14 M 23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 123 M 23 M 23 .
对 D2 作运算 ci kc j ,把 D2 化为下三角形行列式
q11
0
设为 D2
q11 qnn .
qn1 pnk
§6 行列式按一行（列）展开 © 2009, Henan Polytechnic University
33
第二章 行列式
对 D 的前 k 行作运算 ri krj，再对后 n 列作运 算 ci kc j ,把 D 化为下三角形行列式
1414
第二章 行列式
aiij 0 0
于是有 ai1, j ai1, j1 ai1,n aij Mij ,
anj an, j1 ann
故得
aaiijj
0
0
D 1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n 1 i j aijMij .
anj an, j1 ann
2323
第二章 行列式
例 计算行列式
5 3 1 2 0 1 7 2 52 D 0 2 3 1 0 0 4 1 4 0 0 2 3 50
5 3 1 2 0 1 7 2 52 解 D 0 2 3 1 0 0 4 1 4 0 0 2 3 50
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2525
例设
3 5 2 1
1 1 0 5 D
1 3 1 3
2 4 1 3
第二章 行列式
求 A11 A12 A13 A14 及 M11 M 21 M 31 M 41
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2626
第二章 行列式
2020
第二章 行列式
把 a jk 换成 aik (k 1,,n),可得
a11 a1n
ai1 ain
ai1 Aj1 ain Ajn
,
ai1 ain
第i行
相同
第 j行
当 i j 时,
an1 ann
ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn 0, (i j).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).
ai1 0 0 0 ai2 0
an1 an2 ann
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
0 0 ain ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain
i 1,2,,n
an1 an2 ann
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aiijj
0
0
1 i j2 ai1, j ai1, j1 ai1,n
anj an, j1 ann
aij 0 0
1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n
anj an, j1 ann
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1313
第二章 行列式
aij 0 0
元素aij在行列式ai1, j ai1, j1 ai1,n 中的
anj an, j1 ann
余子式仍然是aij在
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0 中的余子式 Mij .
an1 anj ann
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a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a23 a33
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66
第二章 行列式
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作 M ij .
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