6-2简谐振动的叠加

x1 = A cos(ω1t + ϕ )
ν =ν2 −ν1
x2 = A cos(ω 2t + ϕ )
合振动为 x = x1 + x2 = A cos(ω1t + ϕ ) + A cos(ω 2t + ϕ )
= 2 A cos(
ω 2 − ω1
2
t )cos(
ω 2 + ω1
2
t +ϕ)
4
拍的振幅为 振幅的周期为
′ A 2 ′ A 1
ω2
A
A ω 2 1 A 1
x
A′
O
ω2
A = A 2 + A 2 + 2A A cos[(ω2 −ω1)t + (ϕ2 −ϕ1)] 1 2 1 2
3
由于两个分振动频率的微小差异而 产生的合振 动振幅时强时弱的现象称为拍现象。 动振幅时强时弱的现象称为拍现象。 合振动在1s内加强或减弱的次数称为拍频。 合振动在 内加强或减弱的次数称为拍频。 内加强或减弱的次数称为拍频 拍频为 三角函数法 设两个简谐振动的振幅和初相位相同
9
*四、振动的分解 四 一个复杂的振动可以是由两个或两个以上的 简谐振动所合成。 简谐振动所合成。 把有限个或无限个周 期分别为T ,T/2,T/3,… 期分别为 … (或角频率分别为ω ,2ω, 3ω,…)的简谐振动合成 …)的简谐振动合成 起来， 起来，所得合振动也一 定是周期为T 的周期性 振动。 振动。
5
x = cosω t cos α − sinω t sin α 改写为 A y = cos ω t cos β − sin ω t sin β B
（3） ） （4） ）
乘以(3)式 乘以(4)式 以cos β 乘以 式，cosα 乘以 式，后相减得
x y cos β − cosα = sinωtsin(β −α) A B
A = A1 + A2
A A1
A2
合振幅最大， 合振幅最大，振动加强
2.
ϕ2 −ϕ1 = ±(2k +1)π k = 0,12,⋯ ,
A = A1 − A2
A2
合振幅减小， 合振幅减小，振动减弱
A
A1
A A1
2
3. 一般情况 ∆ϕ 为任意值
ϕ2 −ϕ1 ≠ π
A1 − A2 < A < A1 + A2
简谐振动的叠加
一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成 设有两个同频率的简谐振动 x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) x2 = A2 cos(ωt + ϕ 2 ) 合振动 x = x1 + x2 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) + A2 cos(ωt + ϕ 2 ) 由矢量图得 而
仍为同频率谐振动） x = A cos( ω t + ϕ ) （仍为同频率谐振动）
6
此式表明，两个互相垂直的、 此式表明，两个互相垂直的、频率相同的简谐 振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆， 振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆，而椭圆的 形状决定于分振动的相位差（ 形状决定于分振动的相位差（β－α）。 讨论： 讨论： 1. β－α = 0 或 π 时 x y 2 B ( ∓ ) =0 即 y =± x A B A 合振动的轨迹是通过坐标原点 的直线，如图所示。 的直线，如图所示。
乘以(3)式 乘以(4)式后相减得 以sinβ 乘以 式，sinα 乘以 式后相减得
（5） ）
x y sinβ − sinα = cosωtsin β −α) ( A B
x y 2xy + 2− cos(β −α) = sin2(β −α) A2 B AB
2 2
（6） ）
(5)式、(6)式分别平方后相加得合振动的轨迹方程 式 式分别平方后相加得合振动的轨迹方程
10
傅里叶级数可表示为 周期性函数 f (t) 的傅里叶级数可表示为
f ( t ) = A0 + ∑ An cos( nωt + ϕ n )
n谐振动的 操作，称为频谱分析 频谱分析。 操作，称为频谱分析。 将每项的振幅A和对应的角频率 画成图线， 将每项的振幅 和对应的角频率ω画成图线，就 是该复杂振动的频谱 是该复杂振动的频谱 (frequency spectrum)，其中 ， 每一条短线称为谱线。 每一条短线称为谱线。 谱线
y B b -A o
a A x
-B
β－α = 0 时，相位相同，取正号，斜率为B/A。 相位相同，取正号， β－α = π 时，相位相反，取负号，斜率为-B/A。 相位相反，取负号，
合振动的振幅
C = A2 + B 2
7
π 2. 当 β − α = ± 时 2
x2 A
2
+
y2 B
2
=1
B -A
y
合振动的轨迹是以坐标轴为 主轴的正椭圆，如右图所示。 主轴的正椭圆，如右图所示。
y A A2
ϕ2 ϕ ϕ1
A = A2 + A2 + 2A A cos(ϕ2 −ϕ1) 1 2 1 2
A sinϕ1 + A sinϕ2 2 ϕ = arctan 1 A cosϕ1 + A cosϕ2 1 2
A1 x1 x x
1
o
x2
讨论：1. ϕ2 −ϕ1 = ±2kπ k = 0,1,2,⋯
2Acos(
ω2 −ω 1
2
t)
拍频为 1 ω2 −ω1 ν= = =ν2 −ν1 T 2π 拍的振动曲线如右图
2 2 T=( )= ω2 −ω ω2 −ω 1 1
三、两个互相垂直的简谐振动的合成 两简谐振动为
x = A cos( ω t + α )
y = B cos( ω t + β )
（1） ） （2） ）
A2
二、同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成 两简谐振动分别为
x1 = A1 cos( ω 1t + ϕ 1 )
x 2 = A2 cos( ω 2 t + ϕ 2 )
y
ω1
合振动 x = x1 + x2 = A1 cos(ω1t + ϕ1 ) + A2 cos(ω 2t + ϕ 2 ) 合振动不再是简谐振动， 合振动不再是简谐振动， 而是一种复杂振动 如图] 矢量图解法 [如图 如图 由矢量图得合振动的振幅为
A
O
ω
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β－α= π/2 时，
o -B
A x
合振动沿顺时针方向进行； 合振动沿顺时针方向进行；
A y
β－α = −π/2 时，
合振动沿逆时针方向进行。 合振动沿逆时针方向进行。
-A
o -A
A x
A=B，椭圆变为正圆，如右图所示。 ，椭圆变为正圆，如右图所示。
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3.如果 3.如果(β−α)不是上述数 值，那么合振动的轨迹 为椭圆， 为椭圆，其范围处于边 长分别为2A(x方向)和 方向) 长分别为 方向 2B(y方向 的矩形内。 方向)的矩形内 方向 的矩形内。 两个分振动的频率相 差较大， 差较大，但有简单的整 数比关系， 数比关系，合振动曲线 称为利萨如图形 利萨如图形。 称为利萨如图形。