时域、S域、Z域转换

自动控制中，基于时间考虑，控制系统包括时间连续和时间离散两种，对于连续时间控制系统，一般会考虑将其转换为s 域进行分析处理；对于离散时间控制系统，则一般考虑将其转换到z 域进行分析处理。

在这几种空间域中，存在相互转换的关系。

下面分别进行分析描述：
1 时域
时域是对控制系统最直观的描述，不管是连续还是离散控制系统，其结构都可以用时间来进行描述。

2 s 域
s 域又称为频域，其对控制系统的分析是纯数学分析，而时域则是对控制系统和控制过程的直观描述。

一般将正弦波视为频域中唯一存在的波形（因为时域中的任何波形都可以用正弦波进行合成）注：任
何两个频率不同的正弦波都是正交的。

如果将两个正弦波相乘并在整个时间轴上求积分，则积分值为零。

这说明可以将不同的频率分量
相互分离开。

3 z 域
z 域是对离散时间系统的描述，其来源于连续系统的拉氏变换，z 变换时对采样函数拉氏变换的变形。

对连续时间系统进行采样，并对采样信号进行处理的空间域就称为z 域。

4 域间转换 4.1
时域到s 域
对于时域到s 域的转换可以跟踪积分、微分关系进行转换。

如，
对于系统22()d i di
f t A B C idt dt dt
=++⎰，可根据积分、微分的对应，直接
将其转换为2()C
F s As Bs s
=++。

对于系统的积分，一般都是考虑将积分转换为微分进行处理的。

结合拉普拉斯变换0()()st F s f t e dt ∞
-=⎰，可以对时域到S 域进行转换，另外，令s j ω=，则可以对S 域进行频域分析。

4.2
时域到z 域
对于时域到z 域的转换可以根据各次时间量的时间次序进行转换。

如，对于系统()(1)(2)()(1)y t Ay t By t Cx t Dx t =---++-，则可以将
其转换为1
12
()()()1Y z C Dz G z X z Az Bz ---+==
-+。

结合z 域的含义，定义0
()()n n E z e nT z ∞
-==∑，然后结合等比级数求
和的方法进行整合。

4.3
s 域与z 域
z 域可来自于时域，也可来自于s 域。

设连续函数()e t 是可拉氏变换的，且在0t 时，存在()0e t =，则拉氏变换式可以写为()()st E s e t e dt ∞
--∞=⎰。

对于采样信号()e t *
，存在0
()()()n e t e nT t nT δ∞
*
==-∑。

对此采样信号
进行拉氏变换，则可得：0()()()st
n E s e nT t nT e dt δ∞
∞
*
--∞=⎡⎤=-⎢⎥
⎣⎦
∑⎰。

结合()()()t nT f t dt f nT δ∞
-∞-=⎰，可以知道：0
()()nsT n E s e nT e ∞
*
-==∑
其展开各相中均含有sT e ，令sT z e =，即1ln s z T
=，则可得：
1
ln 0
()()|
()n s z n T
E z E s e nT z ∞
*
-====∑。

附录：
1 z 域、s 域分析
令()1()e t t =，则存在123()1n E z z z z z ----=++++++ ，对()E z 进行求和，则得1
1
()1E z z
-=
-，则当11z -<，此无穷级数收敛。

因为11,Re()sT T z e e s σσ---==<=，所以在级数收敛时，存在条件
0σ>。

2 z 变化表。